LFM II.cinematica 05 Cinematica Del Solido Rigido

7/18/2019 LFM II.cinematica 05 Cinematica Del Solido Rigido

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5.- Cinemática del sólido rígido.

§5.1. Concepto de sólido rígido (109); §5.2. Condición cinemática de rigidez (110);§5.3. Movimiento de traslación (111); §5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidadangular (112); §5.5. Principio de superposición de movimientos (114); §5.6. Composiciónde rotaciones (115); §5.7. Movimiento rototraslatorio (117); §5.8. Movimiento helicoidal(118); §5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento (118); §5.10. Teorema de Chasles(120); §5.11. Axoides. Representación de Poncelet (121); §5.12. Aceleración. Vectoraceleración angular (122); §5.13. Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura ypivotamiento (126); §5.14. Movimiento plano del sólido rígido (127); §5.15. Base y ruleta(129); §5.16. Velocidad de sucesión del CIR (133); §5.17. Movimiento de rotaciónalrededor de un eje fijo (134); Problemas (136)

§5.1. Concepto de sólido rígido.- En esta lección describiremos elmovimiento del sólido rígido, entendiendo por tal aquel sistema de partículas en elque la distancia entre dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcursodel tiempo. Los cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor omenor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si

éstas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciablesy, entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólidorígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe.En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólidoreal, al igual que lo fue, en la lección anterior, el punto material.

Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se

Figura 5.1

muestra en la Figura 5.1. Indicaremos por ri

y r j los vectores de posición de dos puntos,Pi y P j, del sólido; la condición geométrica

de rigidez se expresa por

[5.1]( ri

r j )2 cte.

La posición del sólido con respecto alsistema de ejes coordenados queda perfecta-mente determinada si conocemos la posiciónde tres cualesquiera de sus puntos, no alinea-dos, como los puntos 1, 2 y 3 que se indicanen la Figura 5.1. Para especificar la posición decada uno de ellos se necesitan tres parámetroso coordenadas; de modo que en total necesi-

Manuel R. Ortega Girón 109



110 Lec. 5.- Cinemática del sólido rígido.

tamos, aparentemente, nueve parámetros o coordenadas para especificar la posición delsólido en el espacio. Los tres puntos que hemos tomado como referencia están ligados porlas condiciones de rigidez expresadas por [5.1]; esto es

[5.2]

( x1

x2

)2 ( y1

y2

)2 ( z1

z2

)2 k 2

12

( x2 x3)2 ( y2 y3)

2 ( z2 z3)2 k

223

( x3 x1)2 ( y3 y1)

2 ( z3 z1)2 k

231

tres ecuaciones que nos permiten despejar tres incógnitas en función de las demás, de modoque el número mínimo de parámetros o coordenadas necesarias para especificar la posicióndel sólido es solamente seis. Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad .Volveremos sobre este asunto en §20.6.

§5.2. Condición cinemática de rigidez.- Para describir el movimiento de un sólidorígido deberíamos describir el movimiento de cada uno de los puntos materiales que loconstituyen. La situación puede parecernos demasiado complicada pero, afortunadamente,la propia condición de rigidez impone ciertas restricciones al movimiento de los distintospuntos materiales del sólido, de modo que la situación se simplifica enormemente.

Para cada pareja de partículas pertenecientes al sólido rígido, la (Pi,P j) por ejemplo,

Figura 5.2 Figura 5.3

podemos escribir la condición geométrica de rigidez, esto es, la ec. [5.1], que derivada conrespecto al tiempo nos conduce a

[5.3]2 ( r

i r

j )

d ri

dt

d r j

dt 0

que también podemos escribir en la forma

[5.4] rij

vij

0

donde rij y vij representan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de lapartícula Pi con respecto a la P j. La ec. [5.4] expresa un resultado importante: al no ser nulos

ninguno de los vectores que intervienen en el producto escalar, han de ser perpendicularesentre sí. Dicho de otro modo: todo vector que tenga sus extremos fijos en el sólido rígido(como el rij) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a vij).

La ec. [5.3] puede escribirse:



§5.2.- Condición cinemática de rigidez. 111

en la forma [5.5] rij

vi

rij

v j

o también [5.6] r

ij

r ij

vi

rij

r ij

v j

ecuación que expresa la igualdad de las proyecciones de las velocidades de los puntos Pi

y P j sobre la recta que los une. Este resultado constituye la condición cinemática de rigidez

que se enuncia así:

Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un sólido rígido danidéntica proyección sobre la recta que definen.Manifiestamente, la condición cinemática de rigidez expresa la imposibilidad de que

se modifique la distancia entre dos puntos cualesquiera del sólido en el transcurso delmovimiento de éste.

§5.3. Movimiento de traslación.- Veremos más adelante que el movimiento másgeneral del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos demovimiento: de traslación y de rotación. Estudiaremos, primero, cada uno de estos dosmovimientos básicos por separado.

El movimiento de traslación es el más sencillo que puede experimentar el sólidorígido. Desde un punto de vista geométrico lo podemos definir del modo siguiente:

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de traslación cuando

todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo así mismo en el transcurso del movimiento.

Consideremos un sólido rígido animado de un movimiento de traslación, como se

Figura 5.4

muestra en la Figura 5.4. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij= ri- r j

ha de mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además,en virtud de la definición geométrica delmovimiento de traslación, también ha demantener constante su dirección y sentido;entonces, siendo c un vector constante,podemos escribir

[5.7] ri

r j

c

y derivando con respecto al tiempo

[5.8]d r

i

dt

d r j

dt 0

o sea [5.9]vi

v j

constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es:

Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslacióntienen, en cada instante, la misma velocidad.




Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de

traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismasconsideraciones pueden aplicarse a la aceleración. En consecuencia, una vez definido elmovimiento de un punto cualquiera del sólido rígido que se traslada, tenemos definido elmovimiento del sólido.

Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las

Figura 5.5

trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes. En efecto, consideremosde nuevo dos puntos cualesquiera, Pi y P j, pertenecientes al sólido, y sean ri y r j susvectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. Imaginemos undesplazamiento experimentado en una traslación del sólido, de modo que los vectores de

posición de esos puntos, con respecto al mismo origen O,sean ahora r′i y r′ j, respectivamente. La condicióngeométrica de rigidez junto con la condición geométricaque define al movimiento de traslación se expresa en laforma

[5.10] ri

r j

r i r j

o sea [5.11] r i ri

r j r j

[5.12]∆ ri

∆ r j

de modo que el desplazamiento experimentado por cadauno de los puntos del sólido durante un intervalo de tiempo

∆t es único. De este resultado,

junto con la noción de la línea curva como límite de una poligonal y de la continuidad delmovimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntosdel sólido rígido.

Es conveniente que insistamos en que el movimiento de

Figura 5.6

traslación no prejuzga forma alguna para las trayectorias delos distintos puntos que constituyen el sólido. Evidentemen-te, si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cadauno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoriarectilínea con celeridad constante y todas esas trayectorias

serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme).Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por queser constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Así, porejemplo, las trayectorias recorridas por los distintos puntosdel cuerpo pueden ser circunferencias, todas ellas del mismoradio (congruentes) aunque de distinto centro. Esta situaciónse presenta en una noria de feria de eje horizontal, como se

muestra en la Figura 5.6; la armadura gira en torno al eje (rotación), pero las barquillassuspendidas de dicha armadura, prescindiendo de pequeñas oscilaciones pendulares,experimentan una traslación con trayectorias circulares.

§5.4. Movimiento de rotación. Vector velocidad angular.- Desde el punto devista geométrico, podemos enunciar:



§5.4.- Movimiento de rotación. Vector velocidad angular. 113

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotaciónalrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circularescentradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste.

El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso,

Figura 5.7

los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demáspuntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos delsólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso,la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en uninstante dado, tendrá un módulo tantomayor cuanto mayor sea la distanciadel punto al eje de rotación. Dichavelocidad viene dada por

[5.13]v v e t

El módulo de la velocidad, esdecir, la celeridad, es

[5.14]v lím∆t →0

∆s

∆t

ds

dt

pero se verifica que ds = r dθ, mi-diéndose el ángulo en radianes (rad),de modo que

[5.15]v ds

dt r dθ

dt

El cociente dθ /dt recibe el nombre de celeridad angular y podemos expresar la celeridadv de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridad angular por la distanciar del punto al eje de rotación. Designando por ω la celeridad angular, podemos escribir

Figura 5.8

[5.16]v ω r

La introducción del concepto de celeridad angular

es de gran importancia por la simplificación quesupone en la descripción del movimiento de rotacióndel sólido, ya que, en un instante dado, todos lospuntos del sólido poseen la misma celeridad angular,en tanto que a cada uno de ellos le corresponde unaceleridad que es función de su distancia al eje derotación. Así pues, la celeridad angular caracteriza almovimiento de rotación del sólido rígido en torno a uneje fijo. La celeridad angular se mide en radianes por

segundo (rad/s).

Definiremos el vector velocidad angular ω , como un vector situado sobre el eje derotación, cuyo módulo es la celeridad angular anteriormente definida, o sea




[5.17]ω ω lím∆t →0

∆θ∆t

dθdt

y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en quelo hace el sólido (regla de la mano derecha). Si designamos por e al versor que indica la

dirección del eje, y cuyo sentido sea el definido por la regla anterior, tenemos

[5.18]ω dθdt

e ω e dθdt

donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ,cuya dirección y sentido están definidos por la regla del tornillo. Llamando et y en a losversores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, lavelocidad de ese punto puede expresarse en la forma

[5.19]v v e t r ω (e n×e) (r e n)× (ω e) PO × ω de modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual almomento del vector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P.

Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución develocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [5.19] puedeescribirse en la forma

[5.20]v ω × OP

o bien [5.21]v ω × r

donde r=OP es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un puntocualquiera del eje de rotación. Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidadangular ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación; en efecto, se verifica que

[5.22]ω × OP ω × O1P ω × O2P

siendoO,O1 y O2 distintos puntosdel eje derotación,yaque esOP= O1P sen φ1 = O2P sen φ2.

§5.5. Principio de superposición de movimientos.- El principio de superposiciónde movimientos en un sólido rígido establece lo siguiente:

Si un sólido rígido está animado de varios movimientos simultáneos que originanvelocidades v′, v″ , ... en un punto genérico P del sólido, la velocidad resultante

v de ese punto genérico es la suma vectorial de las velocidades que le correspondeen cada uno de los movimientos componentes por separado.En efecto, por el principio de superposición de los desplazamientos elementales originados por cada

uno de los movimientos simultáneos, se cumple que[5.23]d r d r′ d r″ v′dt v″ dt (v′ v″ ) dt

de modo que, en el instante t , la velocidad del punto genérico P es



§5.5.- Principio de superposición de movimientos. 115

[5.24]v v′ v″

Otra forma de enunciar el principio de superposición es la siguiente:

Si un sólido rígido esta animado de varios movimientos simultáneos, para cada

uno de los cuales se cumple la condición cinemática de rigidez, el movimientoresultante también cumple esa condición.En efecto, consideremos dos puntos del sólido, Pi y P j (Figura 5.9); por cumplirse la condición

Figura 5.9

cinemática de rigidez para cada uno de los movimientos componentes (simultáneos), podemos escribir:

[5.25]v i r ij

v j r ij

v i rij

v j rij

que sumados dan

[5.26](v i′ v i″ ) r ij

(v j′ v

j″ ) r

ij

de modo que, teniendo en cuenta [5.24],resulta

[5.27]vi

rij

v j

rij

que es la expresión de la condicióncinemática de rigidez para el movimientoresultante.

§5.6. Composición de rotaciones.- A partir de la definición del vector velocidadangular, y al quedar completamente representado por dicho vector el movimiento derotación del sólido, es fácil comprender que componer dos o más rotaciones se reducirá asumar los vectores de velocidad angular que las representan, sin olvidar que dichos vectoresson deslizantes. Consideraremos dos casos sencillos.

(1) Rotaciones cuyos ejes concurren en un punto.- Consideremos un sólido rígido animadode dos rotaciones simultáneas1, ω 1 y ω 2, cuyos ejes concurren en el punto O (Figura 5.10).La velocidad de un punto genérico P del sólido2 será la suma de las velocidades, v1 y v2,

que le corresponderían a ese punto en cada rotación por separado; i.e.,[5.28]v1 ω 1 × R v2 ω 2 × R

1 Podemos imaginar las dos rotaciones simultáneas del modo que se ilustra en la (Figura 5.10).Esto es, el sólido está en rotación con una velocidad angular ω 2 alrededor de un cierto eje; a suvez, este eje está rotando con una velocidad angular ω 1 alrededor de un eje fijo en el espacio. La

rotación ω 2 suele denominarse rotación intrínseca; la rotación ω 1 recibe el nombre de precesión.

2 Entenderemos que el punto P pertenece materialmente al sólido o que, en caso contrario, esun punto del espacio que se mueve como lo haría si perteneciese realmente al sólido (i.e., que semueve solidariamente con el sólido).




de modo que [5.29]v v1 v2 (ω 1 ω 2 ) × R ω × R

o sea que

el resultado de la superposición de dos o más rotaciones simultáneas cuyos ejes

concurren en un punto es igual a otra rotación cuyo eje pasa por dicho punto ycuya velocidad angular es la suma (vectorial) de las velocidades angularescorrespondientes a las rotaciones componentes.

(2) Par de rotaciones.- Consideremos un sólido rígido que esté animado simultáneamente


de dos movimientos de rotación, en torno a ejes paralelos entre sí y de modo que lasvelocidades angulares correspondientes, localizadas sobre dichos ejes, tengan el mismomódulo y sentidos opuestos (Figura 5.11); esto es, ω 1=ω y ω 2=-ω . Los vectores ω y -ω constituyen un par de rotaciones. La velocidad de un punto genérico P del sólido será

[5.30]v (ω × O1P) ( ω × O

2P) ω × (O

1P PO

2)

o sea [5.31]v ω × O1O

2

resultando ser independientes del punto P. En consecuencia, tenemos un movimiento enel que todos los puntos del sólido poseen, en un instante dado, la misma velocidad. Endefinitiva, podemos enunciar:

Un par de rotaciones equivale a una traslación

Figura 5.12

cuya velocidad es la expresada por [5.31], osea, el momento del par .

Y recíprocamente:

Una traslación equivale a un par de rotacionescuyo momento sea la velocidad de traslación.

Como puede parecernos algo difícil aprehender intuitiva-mente el enunciado anterior, recurriremos a un ejemplo sencillo.

Sea AB una recta del sólido (Figura 5.12); supongamos quesólo existiese la rotación ω 1=ω y giremos el sólido un ciertoángulo φ (=90° en la figura) alrededor del eje de ω 1, de modo

que la recta AB pase a la posición A′B′. A continuación consideremos la rotación ω 2=-ω , de modo quela recta A′B′ girará (en el mismo intervalo de tiempo) el mismo ángulo φ en sentido contrario al anterior,



§5.6.- Composición de rotaciones. 117

pasando a la posición A″ B″ . Se observa que la recta AB es paralela a la A″ B″ ; esto es, en el transcursodel movimiento combinado y simultáneo toda recta ligada al sólido permanece paralela a sí misma, porlo que se trata de un movimiento de traslación.

§5.7. Movimiento rototraslatorio.- El movimiento más general del sólido rígido es

el movimiento rototraslatorio; esto es, el originado por la superposición de los dosmovimientos básicos definidos anteriormente: el movimiento de traslación y el movimientode rotación.

Consideremos un sólido rígido que está animado simultáneamente de un cierto númerode movimientos de traslación y de rotación. Cada uno de los movimientos de traslaciónquedará completamente definido por la velocidad de traslación correspondiente; esto es, v1,v2, ... vm. Análogamente, cada una de las rotaciones quedará completamente definida porel vector velocidad angular correspondiente; esto es ω 1, ω 2, ... ω n. Teniendo en cuenta queun movimiento de traslación es equivalente a un par de rotaciones cuyo momento es iguala la velocidad de traslación, el estado de movimiento del sólido rígido estará definido porun conjunto de rotaciones simultáneas, ω 1, ω 2, ... ω n, ω n+1, ... ω n+2m, cuyos ejes de rotaciónpasan por los puntos O1, O2, ... On+2m (Figura 5.13). En definitiva, el movimiento del sólidoestá descrito por un sistema de vectores deslizantes.

La velocidad de un punto genérico del sólido, P, viene dada por el momento resultantedel sistema de vectores deslizantes ω i (i=1, 2, ...) en el punto P; i.e.,

[5.32]vPi

POi × ω

ii

ω i × O

i P

Por otra parte, el momento del

Figura 5.13

sistema de vectores deslizantes en otropunto, P′, del sólido (i.e., la velocidaddel punto P′) está relacionado con elanterior mediante la expresión

[5.33]vP v P ω × PP

siendo ω = Σ ω i la resultante generaldel sistema de vectores deslizantes (i.e.,la velocidad angular resultante) que es

un invariante del sistema (primerinvariante o invariante vectorial).

La expresión [5.33] nos permite decir que la velocidad que le corresponde a unpunto P′ de un sólido rígido es igual a la que le corresponde a otro punto arbitrariodel mismo, P, más la velocidad que le correspondería al punto P′ en una rotacióninstantánea, ω , alrededor de un eje que pasase por el punto P. En definitiva, podemosenunciar:

El movimiento general de un sólido rígido (movimiento rototraslatorio)puede reducirse a una rotación de velocidad angular ω = Σ ω i alrededor de

un eje paralelo a ω y que pasa por un punto arbitrario del sólido, más unatraslación cuya velocidad es el momento resultante del sistema de vectoresω i (i=1, 2,...) con respecto a dicho punto arbitrario.




El enunciado anterior nos indica que cualquier movimiento del sólido rígido, porcomplejo que nos parezca, puede reducirse siempre a la superposición de dosmovimientos básicos: uno de traslación y otro de rotación.

Obsérvese que la velocidad de cualquier punto del sólido queda perfectamentedeterminada con el conocimiento de la velocidad angular ω del sólido y la velocidad

vP de un punto cualquiera del mismo; i.e., por los vectores ω y vP, a los quedenominaremos, conjuntamente, grupo cinemático en P.

§5.8. Movimiento helicoidal.- Un movimiento rototraslatorio de especial

Figura 5.14

interés es el que resulta de combinar un movimiento de rotación en torno a un ejedado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje; el resultado esun movimiento helicoidal.

Sean vO la velocidad de traslación y ω la velocidad angular de rotación del sólido

rígido. La velocidad de un punto genéricoP, perteneciente al sólido y que no estásituado sobre el eje de rotación (Figura 5.14),viene dado por

[5.34]v P v O ω × OP

Como el vector ω × OP resulta serperpendicular a ω y, por lo tanto, a vO, lavelocidad del punto P es la suma de dos

vectores perpendiculares entre sí; el vO,paralelo al eje y el ω ×OP, debido a larotación, perpendicular al eje y que depende de la posición del punto P con respectoa dicho eje.

Si tanto vO como ω son indepen-

Figura 5.15

dientes del tiempo (traslación y rotaciónuniformes), el punto P describe unatrayectoria que es una curva alabeadallamada hélice (Figura 5.15), cuyo eje esla recta soporte de ω , y el movimientodel sólido se llama helicoidal uniforme.El paso de la hélice estará dado por

[5.35]h vO T 2π vO

ω

Obsérvese que en el movimientohelicoidal el eje actúa como eje de rotación y deslizamiento, ya que el sólido rígido,al tiempo que gira en torno al eje se traslada o desliza a lo largo del mismo.

Si son vO(t ) y ω (t ) (i.e., funciones del tiempo), el movimiento sigue siendo heli-coidal, pero tanto el eje de rotación y deslizamiento como el paso de la hélicevariarán en el transcurso del tiempo.



§5.9.- Eje instantáneo de rotación y deslizamiento. 119

§5.9. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.- En los apartados ante-riores hemos visto como podemos reducir el estudio del movimiento general delsólido rígido al del sistema de vectores deslizantes, ω i (i=1, 2, ...), que lo representa.Así, la velocidad de un punto del sólido rígido puede considerarse como el momento

de dicho sistema de vectores con respecto al punto considerado [5.32], y la velocidadde un segundo punto del sólido está relacionada con la del anterior por la expresión[5.33]. A cada punto del sólido le corresponde una velocidad distinta (en general);pero, en un instante dado, todas esas velocidades dan la misma proyección en ladirección de la velocidad angular resultante ω . En efecto, multiplicando escalarmentepor ω ambos miembros de la exp. [5.33], tenemos

ω vP ω v P ω (ω × PP ) ω v P

o sea

Figura 5.16

[5.36]

ω v cte.que es la expresión del segundo invariante o invariante escalar del sistema devectores deslizantes ω i (i=1, 2, ...). Por tanto, podemos enunciar que

en un instante dado, el producto escalar de los dos vectores del grupocinemático tiene el mismo valor en todos los puntos del sólido; i.e., esinvariante.

El módulo de la velocidad v de un punto del sólido rígido tendrá un valor mínimo sidicha velocidad es paralela a la velocidad angular resultante ω . Pero el lugar geométrico

de los puntos cuya velocidad (momento) es paralela a ω (resultante) sabemos que es unarecta definida por la ecuación(Figura 5.16):

[5.37]OE ω × v O

ω 2λω

que es la ecuación del eje central delsistema de vectores deslizantes ω i(i=1, 2, ...), en un referencial de

origen en el punto O. Obviamente, vOrepresenta la velocidad que le corres-pondería al punto O, en el caso deque perteneciera al sólido. Cuando elsistema de vectores deslizantes estáconstituido por vectores de velocidadangular ω i, el eje central del sistemade vectores recibe el nombre especialde eje instantáneo de rotación y deslizamiento (EIRD). Así pues, el EIRD quedadefinido como

el lugar geométrico de los puntos del sólido de velocidad mínima

o bien




el lugar geométrico de los puntos del sólido cuya velocidad es paralela a ladirección de la velocidad angular del mismo.

Obviamente, el módulo de la velocidad mínima puede determinarse proyectandola velocidad v de un punto cualquiera del sólido sobre la velocidad angular ω del

mismo; esto es,

[5.38]vmín

ω v

ω

y su dirección es la del vector ω (i.e., la del EIRD).

§5.10. Teorema de Chasles.-

Figura 5.17

Cuando el invariante escalar delsistema de rotaciones es distinto de

cero (i.e., ω v ≠0) es posibler ed uc ir c an ón ic am en te e lmovimiento rototraslatorio a los dosmovimientos básicos: rotación ytraslación. Tomando un punto E deleje central como centro dereducción, el sistema de rotacionesresulta ser equivalente a unarotación única, ω = Σ ω i, localizadasobre el eje central del sistema de

rotaciones, más una traslación o deslizamiento a lo largo de dicho eje, con unavelocidad vd, llamada velocidad mínima o de deslizamiento, dada por

[5.39]vmín vd v Ei

ω i × O

iE

que constituye la expresión del

TEOREMA DE CHASLES.- El movimiento general de un sólido rígido resultaequivalente a una rotación pura alrededor del eje central del sistema derotaciones ω i (i=1, 2, ...) más una traslación a lo largo de dicho eje.

Por esa razón el eje central de un sistema de rotaciones recibe el nombre de eje

instantáneo de rotación y deslizamiento y el movimiento resultante se denominamovimiento helicoidal tangente.

Cuando el invariante escalar es nulo, o sea ω v = 0, siendo v la velocidad deun punto genérico del sólido, se nos pueden presentar los siguientes casos:

(1) Que sea ω = 0 y v = 0: Esta condición prevalecerá para cualquier puntodel sólido. En ese instante, el sólido se encuentra en reposo.

(2) Que sea ω = 0 y v ≠ 0: Todos los puntos del sólido tienen la misma

velocidad. En ese instante, el movimiento del sólido es una traslación pura.(3) Que sea ω ≠ 0 y v = 0: El sistema de rotaciones está definido por unsistema de vectores deslizantes concurrentes o paralelos. Se trata de unarotación pura alrededor de un eje que pasa por el punto de concurrencia



§5.10.- Teorema de Chasles. 121

(propio o impropio). En los demás puntos del sólido, fuera de la recta deacción de ω , aparecerá una velocidad que será siempre perpendicular a ω ,por ser ω v=0.

(4) Que sea ω ≠ 0 y v ≠ 0: En este caso deberá ser v⊥ω , de modo que cadapunto del sólido se moverá en un plano perpendicular al eje instantáneo de

rotación (o sea, al vector ω ). Como para los puntos de dicho eje deberá ser,además, v ω , la velocidad de dichos puntos será nula. Por consiguiente, elsólido pasará en cada instante por un estado de rotación pura, con velocidadangular ω , alrededor del eje instantáneo de rotación, pero sin que existadeslizamiento alguno a lo largo de dicho eje. Este movimiento recibe elnombre de movimiento de rodadura y en él los puntos del eje instantáneo

de rotación se encuentran instantáneamente en reposo.

§5.11. Axoides. Representación de Poncelet.- Recordemos que todo cuanto

Figura 5.18

hemos estudiado hasta ahora ocurre en un instante determinado y, así, la ec. [5.37],que define al eje instantáneo de rotación y deslizamiento (eje central), depende de losvalores instantáneos de ω y de vO, de modo que representa una recta móvil en elespacio. En efecto, losvectores ω y vO puedenvariar de un instante a otrode modo que el eje instantá-neo, en general, cambiaráconstantemente de posición,en el transcurso del tiempo,

tanto con respecto a unsistema de ejes fijos en elespacio, como con respectoa otro sistema de ejes liga-dos al sólido rígido y que semueven solidariamente conél. El eje instantáneo sóloestará indefinido en aquellosinstantes en los que el movi-miento del sólido sea unatraslación pura.

En el transcurso del movimiento del sólido, el eje instantáneo modifica suposición con respecto a un referencial de ejes fijos en el espacio ( xyz), generando unasuperficie reglada que recibe el nombre de axoide fijo. Por otra parte, el ejeinstantáneo, en su movimiento con respecto al referencial de ejes ligados al sólido( x′ y′ z′), genera otra superficie reglada que recibe el nombre de axoide móvil. Secomprende que, en cada instante, ambos axoides deben tener una recta común, quees el eje instantáneo correspondiente a dicho instante, de modo que ambos axoidesson tangentes a lo largo de la recta mencionada.

Pero además, en cada instante, el sólido rígido realiza una traslación odeslizamiento a lo largo de dicho eje o recta común a ambos axoides, con unavelocidad vd que es la velocidad de traslación del movimiento helicoidal tangente, yque es simplemente la proyección del vector velocidad v de cualquier punto del




sólido sobre el eje instantáneo de rotación y deslizamiento; i.e.,

[5.40]vd

ω v

ω

En definitiva, el movimiento general del sólido rígido (rototraslatorio) se puederepresentar de forma continua suponiendo que el sólido está ligado y se muevesolidariamente con una superficie móvil (axoide móvil) que rueda sobre unasuperficie fija (axoide fijo) al mismo tiempo que experimenta un deslizamiento a lolargo de la generatriz común instantánea. Tal representación del movimiento delsólido se debe al matemático y general francés Jean Victor PONCELET (1788-1867).

En el caso de que uno de los puntos

Figura 5.19

del sólido permanezca fijo durante elmovimiento, ambos axoides degeneran enconos tangentes entre sí a lo largo de una

generatriz y el movimiento continuo dePoncelet se reduce a una rodadura del cono

móvil sobre el cono fijo, ya que no habrádeslizamiento por ser nula la velocidad deuno de los puntos del sólido. En laFigura 5.19 ilustramos este tipo de movi-miento. El sólido rígido (y el cono móvilal cual es solidario) gira con velocidadangular ω 1 al mismo tiempo que el eje deω 1 gira con una velocidad angular ω 2alrededor de un eje fijo en el espacio. El

resultado de estos dos movimientos combinados es una rodadura del cono móvilsobre el cono fijo, siendo el eje instantáneo de rotación (puntos de velocidadinstantánea nula con respecto al sistema de ejes fijos) la generatriz comúninstantáneamente a ambos conos. Obviamente, será ω = ω 1 + ω 2, como se ilustra enla Figura 5.19, siendo ω la velocidad angular instantánea del sólido.

§5.12. Aceleración. Vector aceleración angular.- Consideremos un puntogenérico P de un sólido rígido en movimiento y sea vP su velocidad. Si consideramos

un segundo punto, O, perteneciente al sólido, cuya velocidad sea vO, la relaciónexistente entre ambas velocidades es de la forma

[5.41]vP vO ω × OP

donde ω es la velocidad angular resultante, que la podemos considerar localizadasobre un eje que pase por el punto O. Derivando la expresión anterior con respectoal tiempo, obtenemos la aceleración aP del punto P; esto es,

[5.42] aP

dvP

dt

dvO

dt

dω

dt

× OP ω × dOP

dt



§5.12.- Aceleración. Vector aceleración angular. 123

aO

dω dt

× OP ω × (vP vO) aO

dω dt

× OP ω × (ω × OP)

dondees la aceleración del punto O; a

O

es la aceleración tangencial del punto P en su rotación alrede-dω dt

× OPdor de un eje en la dirección de ω y que pasa por el punto O;

es la aceleración normal del punto P respecto al eje anterior-ω × (ω × OP)mente citado.

Obviamente, la suma de las aceleraciones tangencial y normal del punto P en surotación en torno al eje definido por ω y que pasa por el punto O es igual a a- aO, o

sea la aceleración (relativa) del punto P respecto al punto O.Definimos el vector aceleración angular , y lo representamos por α, de modo que

[5.43]α dω dt

ddt

(ω e ) dω dt

e ω de

dt

resultando que, en general, el vector α

Figura 5.20

no está localizado sobre el eje de rota-ción. La aceleración angular se mide enrad/s2.

En el caso particular de que el ejede rotación mantenga una orientaciónfija en el espacio (movimiento plano,vide §5.14), entonces será de /dt =0 y elvector aceleración angular α estarálocalizado sobre el eje de rotación. Estoes,

[5.44]α dω dt

e d2θ

dt 2 e α e

de modo que el módulo de la aceleración angular es la derivada de la celeridadangular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación conrespecto al tiempo); su dirección es la del eje de rotación y su sentido es el de ω cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, pero es de sentido opuesto sidisminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija enel espacio, será de /dt ≠0, aunque e =1, ya que el versor del eje cambia de direcciónen el transcurso del movimiento. Puesto que e es un versor (módulo unitario,constante), su derivada será un vector perpendicular a e, como se ilustra en laFigura 5.21, de la que se deducirá fácilmente que




[5.45]de dφ sen θ

de

dt

dφdt

sen θ Ω sen θ

siendo Ω la velocidad angular instantánea

Figura 5.21

asociada a la rotación del eje (definidopor e) en el espacio, lo que nos lleva a

[5.46]ω

de

dt Ω ω sen θ

o sea [5.47]ω de

dt Ω × ω

Así pues, en el caso más general, la acele-

ración angular α se expresará en la forma

[5.48]α dω dt

dω dt

e Ω × ω

en la que observaremos que la aceleración

Figura 5.22

angular α tiene dos componentes (Figu-

ra 5.22): una componente longitudinal (i.e.,en la dirección del eje de rotación) cuyomódulo es dω /dt y una componente trans-

versal (i.e., perpendicular al eje de rota-ción) cuyo módulo es Ω×ω . Así pues,en general, el vector α no tendrá la mis-ma dirección que el vector ω ; dicho deotra manera, el vector α no tendrá ladirección del eje de rotación.

En definitiva, la dirección de la acele-ración angular sólo coincide con la delvector velocidad angular, o sea, con el eje

de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio

(Figura 5.34).En cualquier caso, de acuerdo con las anteriores definiciones, la expresión [5.42]

puede escribirse ahora en la forma

[5.49] a aO α × OP ω × (ω × OP)

y vemos que, puesto que at=α × OP, podemos considerar la aceleración tangencialdel punto P del sólido, en la rotación instantánea alrededor de un eje que pasa porel punto O, como el momento del vector α con respecto al punto P.

En realidad, una pequeña reflexión nos descubrirá que el resultado [5.48] es mas general de lo

que pudiera parecernos a primera vista, ya que podemos emplear cualquier magnitud vectorial en[5.48], en el lugar del vector velocidad angular ω , y la forma del resultado sería la misma. Así, laoperación de calcular la derivada temporal de cualquier magnitud vectorial, expresando el resultadodescompuesto en dos componentes asociadas, respectivamente, al cambio de su módulo



§5.12.- Aceleración. Vector aceleración angular. 125

(componente longitudinal, i.e., en la dirección de la propia magnitud vectorial) y al cambio de sudirección (componente transversal, i.e., perpendicular a la misma), es equivalente a efectuar laoperación simbólica

[5.50]d

dt

d

dt e Ω ×

donde representa el vector, su módulo, e el versor en la dirección del vector y Ω la velocidadangular instantánea asociada a la rotación del versor e en el espacio.

Así, por ejemplo, si sustituimos en el operador [5.50]

por e, obtenemos

[5.51]de

dt

d e

dt e Ω × e Ω × e

ya que e =1, de donde se sigue (Figura 5.21)

[5.52]

de

dt

Ω ×e Ω sen θ

que es la misma expresión [5.45] encontrada anteriormente mediante consideraciones fundamental-mente geométricas.

Ejemplo I.- Un disco circular, de radio R2, gira alrededor de un eje perpendicular a él y que pasa

Figura 5.23

por su centro, con una velocidad angular constante ω 2. A su vez, dicho eje gira alrededor de otroeje, perpendicular al primero y que lo corta a

una distancia R1 del centro del disco, como seilustra en la Figura 5.23, con movimiento uni-formemente acelerado. Determinar lavelocidad y la aceleración del punto Pindicado en la figura.

(a) La velocidad angular resultante delsólido rígido es

ω ω 1 ω 2

00

ω 1

ω 20

0

ω 20

ω 1

La velocidad y la aceleración del punto O,"perteneciente" al sólido rígido, son nulas, porencontrarse dicho punto en la intersección de los dos ejes de rotación; i.e., vO=0 y aO=0.

La velocidad del punto P es

vP vO ω × OP

00

0

ω 20

ω 1

×

R1

0

R2

0ω 1 R1 ω 2 R2

0

y su aceleración es a P a O

dω dt

× OP ω × (ω ×OP)




con

dω dt

dω 1dt

dω 2dt

α1 ω 1 × ω 2

00α1

00

ω 1×

ω 200

0ω 1 ω 2α1

dω dt

× OP

0ω 1ω 2α1

×

R1

0 R2

ω 1ω 2 R2

α1 R1

ω 1ω 2 R1

ω × (ω × OP)

ω 20

ω 1

×

0ω 1 R1 ω 2 R2

0

ω 21 R1 ω 1ω 2 R2

0

ω 1ω 2 R1 ω 22 R2

de modo que a P

ω 21 R1 2ω 1ω 2 R2

α1 R1

ω 22 R2

(b) También podemos partir del punto C, con

v C

0ω 1 R1

0

a C

ω 21 R1

α1 R1

0

CP

00

R2

y obtendremos los mismos resultados que antes, como el lector comprobará fácilmente.

§5.13. Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento.-Consideremos dos sólidos rígidos, S1 y S2, que se mueven de forma que sus

Figura 5.24

superficies mantienen en todo momento un punto (J) de contacto, como se ilustra enla Figura 5.24.

Aunque, en el caso más general, ambos sólidos pueden estar en movimiento,cuando solamente estemos interesados en el movimiento relativo entre las superficies

de los sólidos, podemos considerar uno de ellos(S2) en reposo (Figura 5.24). En estas condiciones,el movimiento instantáneo del sólido S1 conrespecto al S2 queda caracterizado por su grupocinemático en J; i.e., por los vectores ω y v(J).

En virtud de la indeformabilidad de los sóli-dos, el vector v(J) está contenido en el planotangente a ambas superficies en el punto decontacto J. Su existencia indica que existe un

deslizamiento relativo entre las superficies delos sólidos.

El otro vector del grupo cinemático en J,i.e., la velocidad angular ω , se puede



§5.13.- Contacto entre sólidos: deslizamiento, rodadura y pivotamiento. 127

descomponer en dos rotaciones concurrentes en J, en las direcciones ortogonalesdefinidas por la normal NN a ambas superficies en el punto de contacto y por laproyección sobre el plano tangente:

[5.53]ω ω p ω r

La componente ω p recibe el nombre de rotación de pivotamiento; la componente ω rse denomina rotación de rodadura.

Consideramos ahora el caso particularmente importante en el que un sólido (S1)

Figura 5.25

rueda sin deslizar sobre otro sólido (S2) que se encuentra también en movimiento(Figura 5.25). La confluencia de las dos condiciones imponen la anulación de lavelocidad del punto de contacto perteneciente a un sólido en el referencial solidarioal otro; i.e.,

[5.54]vR.S2(JS1) 0 vR.S1(JS2) 0

de donde se sigue la igualdad de las velocidades deambos puntos en cualquier referencial:

[5.55]vRef (JS1) vRef (JS2)

expresión de gran utilidad ya que, si conocemos lacinemática del sólido S2 (en lo que concierne a lasvelocidades) y el estado de rotación del sólido S1

(i.e., ω 1), permite conocer la velocidad de lospuntos del sólido S

1

partiendo de la del punto decontacto JS1.

§5.14. Movimiento plano del sólido rígido.- El movimiento del sólido rígidose simplifica considerablemente cuando todos sus puntos se mueven paralelamentea un plano fijo determinado. Este tipo de movimiento, que recibe el nombre demovimiento plano, se caracteriza por ser planas las trayectorias de todos los puntosdel sólido. Los planos de esas trayectorias, o cualquier otro plano paralelo a ellas,reciben el nombre de planos del movimiento (Figura 5.26).

El movimiento plano del sólido rígido implica:

(1) No hay deslizamiento a lo largo del eje instantáneo de rotación (rotaciónpura); i.e., la velocidad de deslizamiento es nula.

(2) El eje instantáneo de rotación mantiene una dirección fija en el espacio,perpendicular a los planos del movimiento, aunque puede trasladarsemanteniéndose paralelo a sí mismo; i.e., la velocidad angular, ω , del sólidoes un vector de dirección constante.

Por ser nula la velocidad de deslizamiento, el invariante escalar será ω v=0,siendo v (≠0) la velocidad de un punto genérico del sólido. Por consiguiente, elsólido pasará en cada instante por un estado de rotación pura alrededor del ejeinstantáneo de rotación (rodadura). El punto I, determinado por la intersección deleje instantáneo de rotación con un plano del movimiento, se denomina centro

instantáneo de rotación (CIR) o polo de velocidades, correspondiente a dicho plano




del movimiento; evidentemente, dicho punto se encuentra instantáneamente en

reposo.También podemos considerar el movimiento del sólido rígido como la superposición de un

movimiento de traslación paralelo a los planos del movimiento y de una rotación alrededor de uneje cualquiera perpendicular a dichos planos. Frecuentemente, aunque no necesariamente, dicho eje

se elige de modo que pase por el centro de masas del sólido rígido. Así pues, queda bien claro que,en el movimiento plano, el sólido rígido posee tres grados de libertad: dos de ellos asociados conel movimiento de traslación y el otro con el de rotación.

Las expresiones [5.41] y [5.42], que nos relacionan la velocidad y la aceleración


de un punto P del sólido con las de otro punto O del mismo, admiten ahora unainterpretación geométrica más simple, ya que ω y α son normales al plano delmovimiento en el que se encuentran vP y aP. Así, puesto que todos los puntos de

sólido rígido que se encuentran sobre una recta paralela a ω tienen la mismavelocidad y la misma aceleración (vide Problema 5.5) nos serviremos de las expresiones[5.41] y [5.42] para relacionar las velocidades y aceleraciones de dos puntos (O y P)del sólido contenidos en un mismo plano de movimiento; i.e.,

[5.56]v P v O ω × OP

[5.57] a P a O α × OP ω × (ω × OP) a O α × OP ω 2 OP

En la Figura 5.27 mostramos la disposición geométrica particular de los términos deestas expresiones, derivadas del hecho de ser ω⊥OP y α⊥OP.Si en un plano del movimiento partimos del polo de velocidades ( i.e., O≡I), al

ser vI=0, pero aI≠0, las expresiones [5.56] y [5.57] adoptan la forma

[5.58]v P ω × IP

[5.59] a P a I α × IP ω ×(ω × IP) a I α × IP ω 2 IP

La expresión [5.58] pone de manifiesto que el movimiento instantáneo del sólido

es una rotación pura en torno al eje de rotación que pasa por el polo de velocidades,lo que nos permite localizar geométricamente dicho polo de velocidades en los doscasos siguientes:

(a) Si en el plano del movimiento se conocen las direcciones de las velocidades



§5.14.- Movimiento plano del sólido rígido. 129

de dos puntos cualesquiera del sólido, y éstas no son paralelas entre sí, el polo develocidades (I) se encuentra en la intersección de las perpendiculares a ellas en lospuntos respectivos (A y B), como se ilustra en la Figura 5.28, de modo que será

[5.60]ω vA

IA

vB

IB

Obviamente, si las velocidades de los puntos A y B son paralelas entre sí, el punto de intersecciónde las perpendiculares a ellas se encontrará en el infinito (punto impropio) y el movimiento se reduce enese instante a una traslación pura.

(b) Si las direcciones de las velocidades de dos puntos dados, A y B, del sólido


son paralelas entre sí y las perpendiculares a ellas en A y B coinciden con la recta

AB, podemos localizar el CIR sobre la recta AB si conocemos los módulos de esasvelocidades. En efecto, por ser lineal la distribución de velocidades a lo largo de la

Figura 5.30

recta AB, el polo de velocidades quedará definido como el punto de dicha recta develocidad nula, localizándosele geométricamente como se indica en la Figura 5.29,cumpliéndose la relación [5.60].

§5.15. Base y ruleta.- Observemos que los axoides se reducen ahora asuperficies cilíndricas. Lasintersecciones de los axoides

fijo y móvil con un plano delmovimiento definen unascurvas que reciben los nombresde base y ruleta, respecti-vamente (Figura 5.30). En cadaplano del movimiento, la ruletarueda con velocidad angular ω sobre la base, siendo el puntode contacto entre ambas, encada instante, el polo de

v el oc i da de s o c e nt roinstantáneo de rotación.

Obviamente, también podemos dar las siguientes definiciones alternativas parala base y la ruleta:




La BASE es el lugar geométrico o trayectoria del polo de velocidades enel referencial de ejes fijos en el espacio ( xy).

La RULETA es el lugar geométrico o trayectoria del polo de velocidadesen el referencial de ejes ligados al sólido rígido ( x′ y′).

Consideraremos dos referenciales. Un referencial O xyz, con una base vectorialasociada B (i, j, k), que estará fijo en el espacio. Otro referencial O ′ x′ y′ z′, con una basevectorial asociada B′ (i′, j′, k′), que se mueve solidariamente con la sección planamóvil. La posición y orientación de este segundo referencial estarán determinadas encada instante por las coordenadas ( xO′, yO′) de su origen O′ en el referencial O xyz ypor el ángulo θ que forman las direcciones de los ejes O x y O′ x′, como se indica enla Figura 5.31.

La posición del centro instantáneo de rotación en el plano del movimiento vendrá

Figura 5.31

dada por

[5.61]OI ω × vO

ω 2

donde vO representa la velocidad que ten-dría el punto O (origen de coordenadasfijo) si perteneciera a la sección planamóvil (Figura 5.31). Corrientemente nosinteresa determinar el polo de velocidadesa partir de la velocidad de un punto que

realmente pertenezca a la sección planamóvil, tal como el punto P. Entonces, será

[5.62]PI ω × vP

ω 2

pudiéndose expresar las componentes de los vectores bien sea en la base vectorialasociada al referencial O xyz (fijo en el espacio) o en la asociada al referencial O′ x′ y′ z′(solidario a la sección plana móvil).

De acuerdo con las definiciones dadas para la base y la ruleta, las ecuacionesvectoriales de éstas serán respectivamente:

BASE: [5.63]OI B

OP B

PI B

OP B

ω × vP B

ω 2

RULETA: [5.64]O I B

O P B

PI B

O P B

ω × vP B

ω 2

donde la notación B y B′ nos indica la base vectorial en la que deben expresarse

las magnitudes vectoriales. De estas expresiones se siguen de inmediato lasecuaciones paramétricas de la base y de la ruleta.

Desarrollando la expr. [5.63], con P ≡ O′, se sigue




e igual a 2l; en consecuencia, la BASE es una circunferencia de radio 2l y centro en O.

La distancia CI también se mantiene siempre constante e igual a l; por consiguiente, la RULETA

es una circunferencia de radio l y centro en C.

La varilla se mueve como sí estuviese unida a la ruleta y fuese arrastrada por ésta en surodadura sobre la base.

Segundo método (vectorial):

Elegimos el punto A como punto del sólido de velocidad conocida. Entonces, la velocidad delpunto B será:

vB vA ω × AB

vA

0

0

0

0

ω

×

2l senθ

2l cosθ

0

vA 2ω l cosθ

2ω l senθ

0

0

vB

0

de modo que será vA = 2ω l cosθ, o sea ω vA

2l cosθPOLO DE VELOCIDADES:

AI B

ω × vA

ω 21

ω 2

0

0

ω B

×

vA

0

0 B

0

vA / ω

0 B

0

2l cosθ

0 B

AI B

ω ×vA

ω 2

1

ω 2

0

0

ω B

×

vAcosθ

vAsenθ

0 B

vAsenθ / ω

vAcosθ / ω

0 B

2l senθ cosθ

2l cos2θ

0 B

l sen 2θ

l (1 cos 2θ )

0 B

BASE: OI B

OA B

AI B

2l senθ

0

0 B

0

2l cosθ

0 B

2l senθ

2l cosθ

0 B

de modo que la ecuaciones paramétricas de la BASE son:

x 2l senθ y 2l cosθ

y eliminando el parámetro θ entre ellas se obtiene x2 + y2 = (2l)2, por lo que la BASE es unacircunferencia de radio 2l y centro en O.

RULETA: O I B

≡ AI B

l sen 2θ

l ( 1 cos 2θ )

0 B



§5.15.- Base y ruleta. 133

de modo que las ecuaciones paramétrica de la RULETA son:

x l sen2θ y l ( 1 cos2θ )

Para eliminar el parámetro θ, ponemos la segunda ecuación en la forma y′ - l = l cos 2θ, elevamosal cuadrado ambas ecuaciones y las sumamos miembro a miembro; resulta: x′2 + ( y′ - l)2 = l2, i.e.,

una circunferencia de radio l y centro en C.

Tercer método (algebraico):

Tomamos el punto A del sólido como origen del referencial móvil (i.e., A ≡ O′); esto es,

de modo que

xO 2l senθ yO 0

d xO

dθ 2l cosθ

d yO

dθ 0

Ecuaciones paramétricas de la BASE:

x xO

d yO

dθ 2l senθ

y yO

d xO

dθ 2l cosθ

y eliminando el parámetro θ entre ellas se obtiene x2 + y2 = (2l)2, por lo que la BASE es unacircunferencia de radio 2l y centro en O.

Ec. paramétricas de la RULETA:

x

d xO

dθ senθ

d yO

dθ cosθ 2l senθ cosθ l sen 2θ

yd xO

dθ cosθ

d yO

dθ senθ 2l cos2θ l (1 cos 2θ)

y eliminando el parámetro θ entre ellas se obtiene x′2 + ( y′ - l)2 = l2, por lo que la RULETA es unacircunferencia de radio l y centro en C.

§5.16. Velocidad de sucesión del CIR.- Sean I e I′ los centros instantáneos

de rotación en los instantes t y t +∆t ; llamaremos velocidad de sucesión del CIR allímite

[5.67]v s lím∆t →0

II′∆t

que corresponde a la de un punto ficticio cuya trayectoria fuese la base y cuyaposición coincidiese en cada instante con la del centro instantáneo de rotación. Lavelocidad de sucesión vendrá representada por un vector tangente a la base en elCIR.

Aunque la velocidad de sucesión puede determinarse a partir de los recursosusuales de la cinemática, resulta interesante expresarla en función de la velocidad derotación del sólido y de las curvaturas de la base y de la ruleta en el CIR.

Puesto que la ruleta rueda sobre la base, el arco II′B tiene la misma longitud que




el arco II′R. Así pues, durante un intervalo de

Figura 5.33

tiempo infinitesimal tendremos

[5.68]ds arc II

B′ ρ B dφ B

ds arc IIR

′ ρR

dφR

donde ρB y ρR son los radios de curvatura de labase y de la ruleta, respectivamente. Así pues, elmódulo de la velocidad de sucesión será:

[5.69]vs

ds

dt ρ B

dφ B

dt ρ R

dφ R

dt

Por otra parte se verifica

[5.70]dθ dφ B dφ R

ω dθdt

dφ B

dt

dφ R

dt

y, sustituyendo [5.69] en esta expresión tenemos

[5.71]ω vs

ρ B

vs

ρ R

(κ B κ R) vs

de donde [5.72]vsω

κ B κ R

que es la expresión que buscábamos.Préstese atención a que en la deducción de las expresiones anteriores hemos establecido

implícitamente un convenio de signos según el cual la curvatura de la ruleta (o el radio decurvatura) es positiva si el centro de curvatura de la ruleta (C R) está a distinto lado de la tangentecomún base-ruleta que el centro de curvatura de la base (C B), como se ilustra en la Figura 5.33; enel caso contrario, será negativa.

§5.17. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.- El movimiento derotación alrededor de un eje fijo es un caso particular del movimiento plano delsólido rígido. Cuando el sólido rígido gira en torno a un eje fijo en el espacio, sindeslizamiento a lo largo de dicho eje (rotación pura), resulta conveniente tomar elpunto de referencia O sobre dicho eje, pues entonces, al ser vO=0 y aO=0, se lograuna gran simplificación en la descripción del movimiento. Entonces, para un puntogenérico P del sólido, será

[5.73]v ω × OP

a α × OP ω × (ω × OP) α × OP ω × v

y tomando el punto O en la incidencia del eje de rotación y la perpendicular bajada



§5.17.- Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo. 135

desde P, con lo que OP= r, podemos escribir

[5.74]v ω × r

a α × r ω × (ω × r ) α × r ω × v

con:

at=α× r componente tangencial de la aceleración en el movimientocircular que realiza el punto P.

an=ω ×v=ω ×(ω × r) componente normal de la aceleración del punto P.

Evidentemente, tenemos para los módulos

[5.75]v ω r sen 90° ω r

at α r sen 90° α r an ω v sen 90° ω v ω 2 r

En su rotación alrededor de un eje fijo, el sólido rígido posee solamente un grado


de libertad, de modo que su movimiento quedará definido cuando se conoce elángulo θ en función del tiempo, es decir θ=θ(t ). Sin embargo, en muchos problemasprácticos se conocen ω (t ), ω (θ), α(t ), α(θ) ...; entonces, utilizando las expresiones

[5.76]ω dθdt

α dω dt

d2θdt 2

ω dω dθ

podemos encontrar las ecuaciones del movimiento (vide §4.8d).Casos particulares:

(a) Si α=0, el movimiento es de rotación uniforme; esto es, ω es constante y elángulo θ viene dado por

[5.77]θ θ0 ω t

(b) Si α=cte., el movimiento de rotación es uniformemente acelerado, de modo que

[5.78]ω ω 0 α t ω 2 ω 20 2 α (θ θ0) θ θ0 ω 0t

12 α t 2

Cuando los valores de ω y de α tiene el mismo signo, la rotación es uniforme-mente acelerada; en el caso contrario, es uniformemente retardada.




La analogía formal entre las leyes del movimiento rectilíneo de la partícula y lasdel movimiento de rotación del sólido rígido alrededor de un eje fijo, que acabamosde obtener, nos permite establecer las siguientes correspondencias:

x (desplazamiento lineal) ←→ θ (desplazamiento angular)

v (celeridad lineal) ←→ ω (celeridad angular)a (aceleración lineal) ←→ α (aceleración angular)

Problemas

5.1.- Un sólido rígido se mueve con respectoa un sistema de ejes de referencia. En uninstante dado, el punto del sólido de coordena-das (2,3,1) tiene una velocidad v = (2 1 -1).Decir si es posible que el punto del sólido decoordenadas (5,4,6) tenga en ese instantealgunas de las velocidades siguientes: a) v =

(1 2 -2); b) v = (1 4 -1); c) v = (2 1 -1).

5.2.- Los extremos A y B de una varilla

Prob. 5.2

deslizan sobre sendos ejes como se muestra enla figura. Supóngase conocida la velocidad delextremo A y determínese la velocidad delextremo B en el instante que se indica en lafigura.

5.3.- A partir de la expresión vB = vA + ω ×AB,que nos relaciona las velocidades de dospuntos de un sólido rígido, obtener: a) la

condición cinemática de rigidez; b) la expre-sión del invariante escalar.

5.4.- Demostrar que la derivada con respectoal tiempo de un vector que tiene sus extremosen dos puntos de un sólido rígido animado de

un movimiento de rotación, es igual al produc-to vectorial de la velocidad angular por elvector.

5.5.- a) Para el movimiento general del sólidorígido, demostrar que todos los puntos delsólido que se encuentran sobre una recta

paralela a la dirección de la velocidad angularω del sólido tienen la misma velocidad. b) Pa-ra el caso del movimiento plano del sólidorígido, demostrar la misma proposición ante-rior para la aceleración.

5.6.- Un sólido rígido está sometido a dosrotaciones simultáneas con respecto a ejesconcurrentes en el origen de coordenadas. Enun instante dado son ω 1 = (0 0 2) y ω 2 =(0 3 4). a) Determinar la velocidad de unpunto del sólido de coordenadas P(0,2,1).

b) Ídem la aceleración de P, suponiendo que eleje de ω 1 permanece fijo en el espacio, entanto que el de ω 2 rota alrededor del de ω 1,con velocidad angular ω 1, siendo constanteslos módulos de ambas rotaciones.

5.7.- Un sólido se mueve con respecto a unsistema de ejes de referencia, de modo que suvelocidad angular en un instante dado valeω = (5 -2 3). Si la velocidad del puntoP(2,3,1) es en ese instante vP = (1 -1 2), ¿cuálserá la velocidad del punto Q(3,1,1) en eseinstante?

5.8.- En un instante dado, el movimiento de unsólido queda definido por las rotacionessimultáneas siguientes: ω 1 = (-3 0 2), ω 2 =(1 0 1) y ω 3 = (2 1 0), cuyos ejes pasan,



Problemas 137

respectivamente, por los puntos (0,0,0),(0,-9,6) y (-1,5,0). a) Reducir el movimiento alorigen de coordenadas y describir los movi-mientos elementales correspondientes. b) De-terminar el movimiento helicoidal tangente,hallando el eje instantáneo de rotación y

deslizamiento y la velocidad de deslizamiento.c) Determinar la velocidad de un punto delsólido de coordenadas (1,1,2).

5.9.- En un instante determinado, el movi-miento de un sólido rígido consiste en dosrotaciones simultáneas, ω 1 y ω 2, teniendolugar ω 1 alrededor de un eje paralelo al eje zy que pasa por el punto (0,1,0). En eseinstante, el movimiento del sólido se reduce auna traslación del punto "perteneciente" alsólido de coordenadas (0,0,0) y a una rotaciónalrededor de un eje que pasa por dicho punto.

Sean

vO = 2i + j + k y ω = i + j + k

a) Determinar ambas velocidades angulares derotación. b) Determinar el eje de ω 2.

5.10.- Demostrar que el movimiento de unsólido rígido queda completamente definido siconocemos las velocidades de tres de suspuntos no-alineados.

5.11.- En un instante determinado, lasvelocidades de tres de los puntos de un sólidorígido, de coordenadas A(0,0,0), B(1,10) yC(0,1,1) son, respectivamente, vA = (6 -2 6),vB = (4 0 5) y vC = (5 -2 6). a) Comprobar quedicho movimiento es posible. b) Determinar lavelocidad angular del sólido en dicho instante.c) Determinar la ecuación del eje instantáneode rotación y deslizamiento. d) ¿Qué tipo demovimiento tiene lugar?

5.12.- Repetir el Problema 5.11 con los si-

guientes datos: A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,0,0),vA = (1 -2 1), vB = (0 -2 0), vC = (1 -1 1).

5.13.- En un instante dado, el movimiento deun sólido rígido está definido por tres rotacio-nes, dos de las cuales son: ω 1 = j y ω 2 = k,cuyos ejes pasan por los puntos O1 = (1,0,0) yO2 = (0,1,0), respectivamente. Determinar latercera rotación para que el movimientoresultante, en ese instante, sea una traslaciónpura cuyo módulo tenga el menor valor posi-ble.

5.14.- En un instante dado, las velocidades detres de los puntos de un sólido rígido son:

vA = (a 0 0); A=(0,0,0)

vB = (b 1 0); B=(1,0,0)

vC = (-1 c 0); C=(0,2,0)

Determinar: a) los valores de los parámetros a,b y c; b) la velocidad angular y la velocidad

de deslizamiento; c) el eje instantáneo derotación y deslizamiento.

5.15.- Un sólido rígido está sometido a unarotación ω = (3t 0 2) cuyo eje pasa siemprepor el origen de un referencial fijo en elespacio. Para el punto del sólido de coordena-das (1,1,0) y para los instantes t =0 y t =1,determinar: a) la velocidad y b) la aceleración.

5.16.- Demostrar que cuando un cuerpo partedel reposo y gira alrededor de un eje fijo conaceleración angular constante, la aceleración

normal de un punto del cuerpo es directamenteproporcional a su desplazamiento angular.¿Qué ángulo habrá girado el cuerpo cuando suaceleración forme un ángulo de 60 con suaceleración normal?

5.17.- Una escalera de 250 cm de longitud estáapoyada en una pared vertical y en un sueloplano y horizontal. Si el pie de la escalera esempujado de modo que se desplacehorizontalmente con una velocidad constantede 12 cm/s, calcular la velocidad y aceleración

del otro extremo de la escalera en el instanteen que el pie de la misma dista 150 cm de lapared.

5 . 1 8 . - U n a

Prob. 5.18

escalera AB,de longitud l,está apoyadaen una paredvertical OA(vide figura).El pie de laescalera esempujado demodo que se desplaza a velocidad constante v0

alejándose de la pared. a) Demostrar que elpunto medio de la escalera describe una cir-cunferencia de radio l /2 y con centro en elpunto O. b) Determinar la velocidad y laceleridad de dicho punto medio en el instanteen que B dista una distancia x de la pared.c) ¿Cuál sería la función v x(t ) del pie de laescalera para que el movimiento del puntomedio de la misma sea circular uniforme?

5.19.- El extremo superior de la varilla ABdesliza a lo largo de una guía vertical (videfigura), en tanto que la varilla no pierdecontacto en C con el apoyo. a) Determinar elvalor del ángulo θ al que corresponde una




velocidad horizontal

Prob. 5.19

para el extremo libre,B, de la varilla. b) Su-pongamos que el puntoA d e s c i e n d e avelocidad constante vA.

D e t e r m i n a r l avelocidad angular de lavarilla y la velocidaddel extremo B enfunción del valor delángulo θ. c) Ídem laaceleración del puntoB.

5 . 2 0 . - U n a

Prob. 5.20

varilla, que estáapoyada sobreun cilindro de

radio r = 1 cm,puede deslizara lo largo deuna guía tan-gente a dichocilindro, comose indica en laf i g ur a . Lalongitud de la varilla es cuatro veces el radiodel cilindro. En el instante en que el centro dela varilla se apoya en el cilindro, la velocidaddel punto A es 10 cm/s. Calcular, en dicho

instante, las velocidades de los puntos B y Cy la velocidad angular de la varilla.

5.21.- En el me-

Prob. 5.21

canismo articuladoque se muestra enla figura, la varillaDB gira convelocidad angularconstante ω alre-dedor del eje quepasa por D. De-

terminar la veloci-dad y la acelera-ción del extremoC de la varillaAC: a) en elinstante en queθ=60°; b) para un valor genérico del ánguloθ.

5.22.- Un disco de radio R rueda en línea rectasobre una superficie plana y horizontal. En uninstante dado, su velocidad angular es ω y suaceleración angular es

α. Determinar la

velocidad y aceleración en ese instante de unpunto del disco situado sobre el diámetrovertical y a una altura h sobre el centro deldisco.

5.23.- Un cilindro de radio R rueda sin deslizarsobre una superficie plana y horizontal. Si lavelocidad angular al rodar es ω , determinar:a) el eje instantáneo de rotación; b) la veloci-dad y la aceleración de los puntos del eje delcilindro; c) ídem de un punto cualquiera del

cilindro; d) ídem de los puntos del cilindro queinstantáneamente están en contacto con elplano.

5.24.- Sobre un plano horizontal rueda sindeslizar un cono recto de sección circular, de20 cm de generatriz y 30° de semiángulo en elvértice. La rodadura es tal que el cono pisa5 veces/s un punto determinado del plano.Determinar: a) la velocidad angular del conoalrededor de su eje de simetría; b) el punto delcono cuya velocidad (con respecto al planofijo) es máxima, así como la velocidad yaceleración de dicho punto.

5.25.- El disco que se muestra en la figura está

Prob. 5.25

girando con velocidad angular ω 1 y acele-ración angular α1 alrededor de su eje derevolución, al tiempo que dicho eje es arras-trado por el movimiento de rotación de lahorquilla, con velocidad angular ω 2 y acelera-ción angular α2. Determinar la velocidad yaceleración de un punto genérico P de la

periferia del disco.

5.26.- Un disco de radio r está girando alrede-dor de su eje de simetría con velocidad angularω y aceleración angular α. Simultáneamente,el disco está girando, con velocidad angularconstante Ω, alrededor de un eje fijo en elespacio que está contenido en el plano deldisco y es tangente al perímetro de éste en unpunto Q. a) Determinar la velocidad y acelera-ción del punto P del perímetro del discodiametralmente opuesto al punto Q de tangen-

cia. b) Ídem para un punto genérico de laperiferia del disco.

5.27.- Las aspas principales de un helicópterogiran con una velocidad angular de 600 rpm.



Problemas 139

Determinar la posición del eje instantáneo derotación y deslizamiento de las aspas y calcu-lar la velocidad de un punto de una de lasaspas, situado a 1 m del eje de giro de lasmismas, cuando ésta es perpendicular a ladirección del movimiento, en cada uno de los

siguientes casos: a) El helicóptero se trasladahorizontalmente, en línea recta, con unavelocidad de 72 km/h; b) El helicópterodescribe una trayectoria circular, en un planohorizontal, de 200 m de radio, con la mismaceleridad que antes.

5.28.- La hélice de un avión gira a razón de6 000 rpm, en tanto que el avión tiene unavelocidad horizontal, en línea recta, de360 km/h. Determinar: a) El tipo de movi-miento que realiza un punto de la hélicedistante 1 m del eje de la misma; b) la veloci-

dad y aceleración de dicho punto.

5.29.- En el mecanismo de biela y manivelaque se muestra en figura la manivela gira convelocidad angular constante de 10 rad/s y sonl=90 cm y R=30 cm. Calcular la velocidad delpistón A y la velocidad angular de la biela(AB) para los siguientes valores del ángulo θ:a) 0°; b) 90°; c) 180°; d) para un valorgenérico del ángulo θ.

5.30.- En la figura, AB es una biela de pistón

Prob. 5.30

de longitud l. Si A se mueve a lo largo de lalínea horizontal CD mientras que B se muevecon velocidad angular constante sobre unacircunferencia de radio R y centro O, calcularla velocidad y la aceleración del punto A paraun valor genérico del ángulo θ.

5.31.- Un sólido rígido gira en torno a un ejefijo, de modo que en el instante en que suvelocidad angular es 2 rad/s, su aceleraciónangular es 3 rad/s2. Determinar la velocidad yla aceleración de un punto del sólido situado a10 cm del eje de rotación.

5.32.- La aceleración angular de un volante

viene dada por α = -ω 2

/2. Si inicialmente suvelocidad angular es de 120 rpm, determinar eltiempo que debe transcurrir para que suvelocidad angular se reduzca a la mitad, y elnúmero de vueltas que habrá dado el volante

en ese tiempo.

5.33.- Un cilindro de radio r rueda sin deslizar

Prob. 5.33

sobre la superficie de otro cilindro de radio 2r ,de modo que se eje de simetría tienepermanentemente una velocidad de móduloconstante v0. Determinar las velocidades yaceleraciones de los puntos A y B de la perife-ria del cilindro en el instante que se indica enla figura.

5.34.- Un disco de radio R rueda con velocidadconstante sobre un plano horizontal.a) Demostrar que las ecuaciones paramétricasde la trayectoria de cualquier punto de suborde son

x = R (ω t - sen ω t ); y = R (1 - cos ω t )

donde ω es la velocidad angular del disco y eltiempo t se mide a partir del instante en que elpunto estuvo en contacto con el plano.b) Representar gráficamente dicha trayectoria.c) Encontrar las componentes de la velocidady de la aceleración del punto. Interpretar losresultados.

5.35.- En el Problema 5.34, determinar: a) lascomponentes intrínsecas de la aceleración deun punto del borde del disco y b) la curvaturade la trayectoria del punto en la posición másalta de la misma.

5.36.- Un disco de radio R rueda en línea rectasobre una superficie plana y horizontal. En uninstante dado, su velocidad angular es ω y suaceleración angular es α. Determinar la velo-cidad y la aceleración de un punto genéricodel disco.

Prob. 5.37

5.37.- Una ruedade radio r ruedasin deslizar, con

u na v el oc id adangular constanteω , por el interiorde otra (fija) deradio 2r (vide




figura). a) Determinar la trayectoria de unpunto genérico de la rueda pequeña.b) Calcular la velocidad y aceleración de dichopunto.

5.38.- La escuadra que se muestra en la figura

Prob. 5.38

r ea li za u nmovimientoplano desli-zando sobrelos puntosfijos A y B.Determinar labase y lar ul eta d elmovimiento.

5.39.- El extremo A de una varilla desliza a lo

Prob. 5.39

largo de un aro circular fijo de radio R, en

tanto que la varilla está guiada por un pasadororientable fijado en un punto B del aro, comose muestra en la figura. Determinar la base yla ruleta del movimiento de la varilla.

5.40.- La varilla AC que se muestra en la

Prob. 5.40

figura tiene un movimiento plano tal que suextremo A desliza a lo largo de un eje hori-zontal, en tanto que la varilla pasa por unaabrazadera fija y orientable (B), situada a unadistancia h del eje. a) Determinar la base y la

ruleta del movimiento de la varilla. b) Supon-

gamos que el extremo A de la deslizaderadesliza con velocidad constante v y que seO (θ 0) l i 0

la velocidad y aceleración de punto de lavarilla que se encuentra en B en función deltiempo, expresando sus componentes en unabase fija y en una base móvil.

5.41.- En el dispositivo que se muestra en la

Prob. 5.41

figura, el extremo A de la barra se mueve a lolargo del eje vertical sin que la barra pierdacontacto con el disco de radio R. a) Encontrarla velocidad de rotación de la barra en funcióndel ángulo θ. b) Determinar la base y la ruletadel movimiento de la barra.

5.42.- El piñón satélite de radio R que se

Prob. 5.42

muestra en la figura engrana con las dosruedas dentadas coaxiales de radios 2 R y 4 Rque giran con velocidades angulares constantes3ω y 2ω , respectivamente, en sentidos opues-tos, como se indica en la figura. El movimien-to del piñón produce la rotación del brazo OO′

alrededor del eje O. a) Determinar la rotaciónθ instantánea del piñón (indicando su sentido),así como la velocidad de su eje. b) Encontrarla velocidad angular φ del brazo OO′. c) Ob-tener la base y la ruleta del movimiento delpiñón. d) Calcular la velocidad de sucesión delCIR del piñón.

LFM II.cinematica 05 Cinematica Del Solido Rigido

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