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PREFACIO Cuando un profesor planea la clase de una asignatura; independientemente de la asignatura que sea, realiza un trabajo previo que consiste en consultar la bibliografa pertinente y en esquematizar los temas, de modo que stos sean presentados a los estudiantes en forma dinmica, prctica y sistemtica; con el objetivo de facilitar la comprensin y la posterior profundizacin de los temas en la bibliografa recomendada. Con el propsito de facilitar la actividad de compresin temtica y profundizacin bibliogrfica, en la Asignatura Control I, de la Escuela de Ingeniera Electrnica, de la UPTC, Seccional Sogamoso, est diseado este libro de apuntes de clase, que adems intenta brindarle al estudiante una herramienta gua que le permite tener acceso a la informacin de las clases respectivas. La temtica presentada se inicia desde el Modelaje de Sistemas Dinmicos, Anlisis de Sistemas en el Dominio del Tiempo y la Frecuencia, para terminar con el Diseo de Controladores; utilizando diferentes tcnicas tanto de anlisis como de diseo. Cabe sealar, que aunque no se puede considerar como un libro de Control Anlogo, s es esa pauta terica y conceptual que como estudiantes necesitamos y que generalmente buscamos obtener a travs de los apuntes de clase. De otro lado, agradezco posibles sugerencias u opiniones orientadas al mejoramiento de este texto, para posteriores presentaciones.

Liliana, Sogamoso 2002-2004 [email protected]

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UNIDAD I 1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL 1.1 Generalidades La teora de control es una herramienta general que puede ser aplicada en diversas ramas del conocimiento. No solamente los ingenieros electrnicos estudian control, tambin lo hacen los economistas, ingenieros qumicos, ingenieros de sistemas, expertos en finanzas, etc., y por supuesto los ingenieros de control. Todos los sistemas que puedan ser modelados o analizados a travs de modelos matemticos o lingsticos estn disponibles para ser trabajados con sta teora. Una vez se obtiene un modelo matemtico es indiferente si se dedujo de un sistema econmico o mecnico ya que, para el anlisis es simplemente un modelo. El control automtico aparece como una aplicacin de la teora de control con el fin de manejar una o varias variables de salida a partir de la manipulacin de una o varias variables de entrada; dicha manipulacin debe ser efectuada por un controlador sobre una planta o proceso de inters. Antes de seguir hablando sobre el controlador, es necesario conocer algunos conceptos claves que permiten aclarar diversos interrogantes en el tema: 1.1.1 Plantas: Una planta es el objeto de control, puede ser un conjunto de elementos o piezas de una mquina que realizan una operacin establecida. Entonces, como ejemplo de planta se tiene un motor D.C, un horno de calentamiento, una caldera, un tanque de almacenamiento de lquidos, una banda transportadora, etc., -Cualquier objeto que necesite control-. 1.1.2 Proceso: Es un conjunto o secuencia de pasos o acciones que busca obtener un resultado final. Como ejemplo estn los procesos econmicos, financieros, qumicos etc. 1.1.3 Seales Son funciones que estn definidas en el dominio del tiempo y proporcionan informacin sobre las variables de entrada, salidas o intermedias de un proceso y/o planta. 1.1.4 Variables de Entrada: Una variable de entrada es aquella que es independiente de la salida, de otras variables de entrada, y del proceso y/o planta, pero que permite su manipulacin con el fin de obtener unas variables de salida con caractersticas determinadas. Por ejemplo, en un motor D.C. las variables de entrada pueden ser el voltaje de alimentacin de la armadura y/o el de la excitacin del campo magntico.

Introduccin a los Sistemas de Control

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1.1.5 Variables de Salida: Las variables de salida son el resultado del proceso, dependen de las variables de entrada manejadas y de la dinmica de la planta. Utilizando el ejemplo anterior como variables de salida en el motor D.C. se tendran la posicin y/o la velocidad. 1.1.6 Sistema: Es una agrupacin de elementos que trabajan conjuntamente y tienen un objetivo final (Buscan determinadas caractersticas en una variable de salida). Como ejemplo de stos estn el sistema digestivo, sistema respiratorio, sistema de suministro de agua etc. En la naturaleza existen sistemas en lazo abierto y cerrado, que pueden ser SISO (Single Input, Single Output) una entrada una salida o MIMO ( Multiple Inputs, Multiple Outputs) mltiples entradas mltiples salidas. 1.1.7 Sistemas de Control Realimentado: Un sistema de control realimentado utiliza para realizar el control la comparacin entre la salida y una seal de referencia (salida deseada), obteniendo una seal conocida como error, ya que es la diferencia entre lo que se tiene como salida(s) y lo que se quiere en la salida(s). Hay sistemas que no poseen retroalimentacin negativa (diferencia) sino positiva; esto trae como consecuencia que el error se hace cada vez ms grande y el sistema no se puede controlar. 1.1.8 Sistema de Control en Lazo Abierto: Un sistema en lazo abierto es aquel que para buscar su objetivo final no utiliza informacin de la salida. Como ejemplo de esta clase de sistema se tiene una lavadora cuyo objetivo final es limpiar la ropa, sin embargo, ella una vez termina el ciclo de lavado no indaga sobre el estado final de la ropa, para saber si se cumpli o no con el objetivo. 1.1.9 Sistema de Control en Lazo Cerrado: Un sistema en lazo cerrado verifica el objetivo final con el fin de saber si lo obtuvo correctamente, en otras palabras, observa la salida y devuelve esa informacin para corregirla a travs de la manipulacin de las seales de entrada (operacin realizada por el controlador). Los sistemas de control en lazo cerrado hacen parte de los sistemas de control realimentados y son la base en control automtico Como ejemplo de sistemas en lazo cerrado esta la cisterna del tanque de agua del inodoro, ya que una vez se baja el agua del tanque, ste se vuelve a llenar de manera automtica. 1.1.10 Sistemas de Control Automtico Son sistemas que realizan operaciones determinadas sin necesidad de la intervencin de los operarios. En la automatizacin de procesos se busca hacer que las plantas operen de forma automtica con el fin de que el proceso opere de forma similar; teniendo como premisa la alta productividad y el control de las variables que determinan la calidad del servicio o producto.


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1.1.11 Perturbaciones: Son seales que afecta adversamente la salida de un sistema. Los sistemas realimentados buscan anular el efecto de las perturbaciones en la salida. 1.2 Partes que conforman un Sistema de Control Un sistema de control est compuesto de varias partes que cumplen con una tarea especfica. En la figura 1.1a aparecen las partes generales que conforman un sistema de control en lazo abierto y en la figura 1.1b las partes generales que conforman un sistema en lazo cerrado.

Figura 1.1a. Sistema de Control en Lazo Abierto

Figura1.1b. Sistema de Control en Lazo Cerrado

Figura 1.1 Diagrama de bloques de un Sistema de Control.

En la grfica se observa la planta que es el objeto de control; el controlador, que es el encargado de mantener las variables de salida con unas caractersticas determinadas; y el bloque de medicin. En el caso de los sistemas en lazo cerrado, el bloque de medicin es el encargado de medir y convertir la seal de salida en una seal que se pueda comparar con la referencia. En los sistemas en lazo abierto los controladores cumplen con tareas que han sido preescritas a travs de la experiencia (informacin obtenida de un operario), o con anlisis estadsticos del comportamiento de la planta. Si los parmetros o las condiciones de operacin de la planta cambian el sistema quedara sin control (Para el ejemplo de la lavadora cada ciclo ha sido diseado con el fin de que satisfaga las necesidades de limpieza requeridas por un tipo de ropa, si es ropa delicada el ciclo dura menos que uno para ropa fuerte; sin embargo, el primero puede

Controlador

Planta

Salida(s) Referencia Seal de Control

Bloque de Medicin

Seal Medida

u(t) y(t) r(t)

Controlador

Planta

Salida(s) Referencia Seal de Control

r(t) u(t) y(t)


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resultar lesivo para una ropa muy delicada, as como el segundo resultara insuficiente para una ropa dura y de gran percudido. Sera de gran utilidad una lavadora automtica pero a lazo cerrado que midiera el grado de suciedad de la ropa durante todo el tiempo del ciclo, y as se controlara su duracin). No obstante, los sistemas en lazo abierto generalmente estn supervisados por un operario, l hace la medicin, la comparacin y se convierte en parte del controlador, en consecuencia, el sistema quedara en lazo cerrado. Se puede hacer una descripcin ms detallada de los elementos que haran parte de un sistema de control teniendo en cuenta los conocimientos adquiridos en instrumentacin industrial. En la figura 1.2 aparece un sistema de control en lazo cerrado y todas sus posibles partes. Cabe aclarar que si se va a identificar un sistema de control, ste puede poseer todas o algunas de estas partes, en ocasiones un mismo elemento cumple con diversas funciones (Un sistema en lazo abierto podra estar formado por las mismas partes del sistema en lazo cerrado, pero no existira el comparador; los sistemas de control en lazo abierto tambin pueden poseer sistema de medicin con el fin de ayudar al operario a establecer el estado de las variables del sistema).

Figura 1.2. Diagrama de bloques detallado de un sistema de Control a lazo cerrado. Con el avance tecnolgico del ltimo siglo los computadores, los microprocesadores, microcontroladores, DSP y en general los sistemas digitales resultan una forma econmica y de gran capacidad de procesamiento, para disear controladores que acten sobre sistemas analgicos, para esto los conversores Anlogo- Digital y Digital Anlogo vistos en los cursos de Instrumentacin y Electrnica III sirven como puente entre las dos formas de tratar las seales. Sin embargo, de forma analgica tambin se pueden disear controladores, comparadores y dems elementos del sistema, generalmente implementados con amplificadores operacionales. Las partes que conforman un sistema de control, adems de la planta son: 1.2.1 Comparador: Como su nombre lo indica es el encargado de comparar la seal de salida (seal que enva el sistema de medicin) con la seal deseada que recibe el nombre de referencia, consigna o set point; y as obtener la seal de error ( )(te ). En la realidad consiste en un circuito compuesto por amplificadores operacionales configurado como restador, cuando el sistema de control es anlogo, o en un algoritmo que cumple con esta labor entre dos registros; si el controlador es digital. Aunque su funcin es especfica generalmente se considera parte del controlador

Comparador Controlador D/A Potencia Actuador Planta

A/D

Sensor Transmisor Transductor

Bloque de Medicin

Referencia r(t)

Salida y(t)

y(t)

e(t) u(t) u(t) m*(t) m(t)


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1.2.2 Controlador: Recibe la seal de error y de acuerdo con su valor decide que seal de control ( )(tu ) enviar hacia el actuador. Puede ser analgico (funcin implementada con Op-Amp.) o digital (Algoritmo dentro del sistema digital). 1.2.3 Bloque de Potencia: Aparece cuando la seal enviada hacia el actuador por el controlador no tiene la suficiente potencia para excitarlo; hacindose necesario un sistema de potencia adicional. En el caso de un motor D.C. cuya velocidad es controlada con el voltaje de armadura, el rectificador controlado por el PWM, que proporciona dicho voltaje conformara el bloque de potencia; la seal de control solo tiene que comandar al PWM, ms no proporcionar el voltaje de alimentacin al motor. 1.2.4 Actuador: Generalmente hace parte de la planta est encargado de recibir la seal de control ( )(tu ) y actuar sobre las entradas de la planta para que las salidas sean similares a las deseadas. En el ejemplo de un horno elctrico la resistencia sera el actuador, ya que es el elemento que incide directamente en el cambio de la temperatura (seal de salida). 1.2.5 Bloque de Medicin: En este bloque estn todas las componentes necesarias para llevar la seal de salida a una seal que se pueda trabajar en el sistema de control. Si se va a disear un controlador analgico de temperatura para un horno elctrico, generalmente un Ingeniero Electrnico busca llevar la seal de temperatura a una seal que se pueda manipular de forma analgica, por ejemplo voltaje; para lo cual se utilizan elementos que sensen, transduzcan, transmitan y adecuen dicha seal en los rangos y caractersticas que se desean; de ser as, la seal de referencia debe tener las misma caractersticas (tambin sera de voltaje).

La automatizacin de sistemas no es reciente, data incluso de siglos A.C. Actualmente la automatizacin industrial incorpora nuevas teoras para la realizacin de algoritmos de control y nuevas tecnologas que hacen ms eficientes los procesos. Muchas empresas tienen sistemas automticos que son obsoletos, no por el tipo de algoritmo de control que utilizan, sino por el tipo de tecnologa con el que se implementaron. IDEAS COMPLEMENTARIAS Aunque los ejemplos presentados en las anteriores definiciones fueron solamente tcnicos; en procesos y sistemas que no son industriales tambin se pueden identificar las componentes mas generales de un sistema de control, como son Planta, Comparador, Controlador, Actuador, Bloque de Medicin y las variables que lo conforman, en estos casos generalmente las variables tienen otra presentacin. Por lo tanto la teora de control es general y no particularizada para sistemas industriales con mando electrnico, elctrico o mecnico como se tiende a pensar inicialmente. Por ejemplo:

Se puede tomar como planta la poblacin de Colombia y como una variable de salida el crecimiento de la poblacin, si se desea controlar dicho crecimiento dentro de unos estndares preestablecidos por el gobierno se pueden definir reglas de control que permitan actuar sobre la poblacin, as se tiene como controlador el Gobierno, como sistema de medicin el DANE


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(realiza la medicin a travs de encuestas etc. y la presenta a travs de estadsticas), y como actuadores el Ministerio de Salud y Educacin que desarrollan campaas de educacin y servicios de salud. Para el ejemplo se ha tomado un sola salida sin embargo, la poblacin es un sistema MIMO. El ejercicio se puede repetir tomando otra variable diferente como el nivel de educacin, la distribucin por edades, la distribucin por reas geogrficas etc., e identificando nuevamente las partes que conforman el sistema de control.

El cuerpo humano posee sistemas en lazo cerrado y se pueden identificar las partes de estos

sistemas con claridad, el controlador es el cerebro, como sensores estn los cinco sentidos la visin, el odo, el gusto el olfato y el tacto; y se poseen diversos actuadores como msculos, glndulas etc.

En el proceso enseanza aprendizaje tambin se pueden identificar las partes de un sistema de

control. En un caso el profesor hace las veces de controlador y el objeto de control sera el conocimiento que sobre su clase tengan los alumnos, la referencia estara dada por un mnimo conocimiento sobre el tema, el cual se medira a travs de quices, parciales etc.

Se presentan confusiones entre la seal de control y la seal manipulada. Cuando se tiene un motor D.C. controlado por voltaje de armadura la seal del controlador es la referencia de PWM que manipula el nivel de voltaje de armadura con el cual se va a controlar el motor. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

DORF, Richard C. SISTEMAS MODERNOS DE CONTROL. Capitulo I. Introduccin a los sistemas de Control PAG 1-26. Ed. ADDISON WESLEY IBEROAMERICANA, 1989.

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UNIDAD II 2 MODELAJE DE SISTEMAS Uno de los objetivos del curso de control I es proporcionar al estudiante las herramientas para modelar, analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) y disear controladores analgicos para diferentes sistemas. 2.1 Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo ( LTI): Las caractersticas principales que permiten identificar un sistema lineal invariante en el tiempo son:

Estn descritos por una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes.

Siempre responden de igual forma ante el mismo estmulo.

Cumplen con el teorema de la superposicin. En esta unidad se desarrollarn cinco formas de representar el modelo matemtico de una planta o sistema, entre estas estn la ecuacin diferencial, la funcin de transferencia, el diagrama de bloques, el diagrama de flujo y el espacio de estados. Para poder realizar cualquiera de estas representaciones matemticas del modelo, es necesario analizar con leyes fsicas el sistema o la planta de inters. En la prctica realizar un modelo requiere de gran conocimiento de la planta y de un trabajo interdisciplinario que permita conocer detalles y profundizar en las diversas dinmicas que la conforman, hay sistemas tan complejos que obtener un modelo para estos puede convertirse en un verdadero reto, que en ocasiones se desarrolla a travs de trabajos de grado, tesis de maestra o incluso a travs de tesis de doctorado y posdoctorado. A continuacin se presentan algunas generalidades que permiten modelar sistemas LTI, mecnicos, elctricos, electromecnicos, trmicos y de nivel y caudal, con ecuaciones diferenciales. 2.2 Sistemas Mecnicos En sta seccin se analizarn los sistemas mecnicos traslacionales y rotacionales, utilizando la segunda ley de Newton, La aceleracin en cualquier cuerpo rgido es directamente proporcional al desequilibrio de fuerza que actu en l e inversamente proporcional a la masa del cuerpo

= amF Ec.2.1

donde F es la sumatoria de Fuerzas que actan sobre el cuerpo en una direccin especfica, m es la masa del cuerpo y a la aceleracin resultante en esa direccin; de manera anloga para sistemas rotacionales

Modelaje de sistemas

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= JT Ec. 2.2

donde T es la sumatoria de torques que actan alrededor de un eje dado, J es el momento de inercia alrededor de dicho eje y es la aceleracin angular. En la Tabla 2.1 se encuentra descritas las variables, los parmetros y la definicin de las fuerzas que hacen parte de un sistema mecnico. Los resortes son elementos que se deforman proporcionalmente a la fuerza que se les aplique, en un sistema traslacional, o al par, en un sistema rotacional. Los amortiguadores son elementos que disipan energa en forma de calor por eso tambin se conocen como resistencias mecnicas. Tabla 2.1 Elementos que conforman un sistema mecnico

Movimiento Traslacional

Movimiento Rotacional Elemento Parmetro

Asociado Variable

Fuerza

Asociada Elemento Parmetro

Asociado Variable Par

Asociado Resorte Lineal Constante

de elongacin

k ,mN .

Posicin lineal x(t)

F= k(X1 X2)

Resorte de Torsin

Constante de torsin

kr radmN

Posicin angular (t)

T=kr(1(t)-2(t))

Amortiguador Traslacional

Coeficiente de friccin viscosa

Cf , smN/

.

(Resistencia mecnica)

Velocidad lineal v(t)

)()( txdt

tdx &=

F=Cf (V1 V2)

Amortiguador Rotacional

Coeficiente de friccin

viscosa

b srad

mN/

(Resistencia mecnica)

Velocidad angular (t)

)()( tdt

td &=

T=b(1(t)- 2(t))

Masa m, Kg. Aceleracin lineal a(t)

F=ma(t) Momento de Inercia

J Aceleracin angular (t)

T=J(t)

2.2.1 Sistemas Traslacionales: En el anlisis de sistemas mecnicos traslacionales no se va a tener en cuenta el peso mg, solamente se realizar el anlisis de la dinmica del sistema a partir del reposo, ya sea para observar la interaccin de sus elementos o los cambios en las variables del sistema debidos a fuerzas externas que hagan salir el conjunto de ste estado. A continuacin se presenta el anlisis de un sistema Masa Resorte.

Figura 2.1. Sistema masa-resorte


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Como se observa en la figura 2.1 al colgar la masa hay una pequea elongacin del resorte que contrarresta el peso y para el anlisis interesa la dinmica del sistema masa-resorte una vez los dos elementos estn unidos Tabla 2.2 Anlisis del sistema masa-resorte

Antes de Colgar la Masa

Despus de Colgar la Masa

Existen dos fuerzas la que ejerce el resorte F1 y el peso del cuerpo F2

Por tanto analizando el diagrama de cuerpo libre se tendra que = amF

amFF .21 =+ , donde dt

tyda )(2

= )(ty es la posicin inicial. La Ecuacin diferencial (Modelo matemtico del sistema) sera:

mgtkydt

tydm += )()(2

Ec. 2.3

Pero como += )()( txty , reemplazando en la ecuacin Ec 2.3 quedara:

( ) mgktkxmgtxkdt

ddt

txdm +=++=

+ )()()(

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Ec 2.4 La elongacin del resorte al colgar la masa cambio la posicin en una distancia constante de y el cuerpo quedo en reposo lo que significa que kmg = y

02

=dt

d por tanto la ecuacin quedara de la

forma )()(2

tkxdt

txdm = ordenndola

0)()(2

=+ tkxdt

txdm Ec. 2.5

y la dinmica de inters ahora es con respecto a la posicin x(t) y no a y(t) (antes de colgar la masa). Nota: En los ejercicios posteriores el anlisis se har a partir de sta consideracin y por consiguiente no se tendr en cuenta el peso del cuerpo.

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

En esta ocasin el anlisis se realiza para obtener el modelo matemtico de un sistema masa-resorteamortiguador cuando ste es excitado por una fuerza externa.

Figura 2.2 Sistema masa-resorte-amortiguador


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Como se observa en la figura 2.2 la seal excitadora es la fuerza f(t) y como salida la seal de posicin x(t). Las seales de entrada o excitadoras son las variables independientes, para este caso la fuerza, y las de salida son variables dependientes como por ejemplo la posicin, la velocidad o la aceleracin de la masa m.

Figura 2.3 Diagrama de cuerpo libre sistema masa-resorte-amortiguador

En la figura 2.3 se observan las fuerzas que actan sobre la masa m, se tienen tres fuerzas el estimulo f(t) y las fuerzas que ejercen el resorte y el amortiguador, por tanto:

== 21)(. FFtfamF

El estimulo aplicado se encuentra en sentido contrario a las fuerzas F1 y F2 reemplazando F1 y F2 en trminos de la posicin, la ecuacin quedara:

2

2 )()()()(dt

txdmdt

tdxCtkxtf f =

Ordenndola se tendra un modelo matemtico del sistema representado por una ecuacin diferencial.

Ec. 2.6 m,Cf y k son parmetros del sistema, estos dependen de las caractersticas fsicas del sistema por tanto, se pueden medir directamente u obtenerse en el laboratorio. x(t) es la variable se salida posicin. f(t) es la variable de entrada

IDEAS COMPLEMENTARIAS En algunas ocasiones, al analizar sistemas mecnicos, el sentido de las fuerzas no coincide con el que se presenta en los textos guas. Sin embargo, al igual que en los circuitos elctricos, s una variable se toma en sentido contrario a como acta realmente, al resolver la ecuacin diferencial da negativa. A continuacin se presenta un mtodo para definir el sentido de las fuerzas y hacer ms sencillo el anlisis:

1. Si existe estimulo externo tmelo como positivo. 2. Recuerde que hay dos puntos de cero movimiento nombre para la referencia-, el techo y el piso. 3. Coloque flechas indicando el sentido de las fuerzas. Hgalo con respecto a cada masa, o sea, por

cada masa dibuje un diagrama de cuerpo libre. 4. Todas las fuerzas son positivas. S una fuerza depende de dos posiciones coloque como positiva

la que est en la punta de la flecha y como negativa la que se encuentre en la cola de la flecha. 5. Por ltimo, escriba la ecuacin y ordnela.


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Ejemplo 1: Para el siguiente sistema masa-resorte-amortiguador montado sobre un carro obtenga la ecuacin diferencial que describe su dinmica, tomando como salida la posicin de la masa y(t) y como entrada la posicin del carro u(t).

Figura 2.4 sistema masa-resorte-amortiguador sobre un carro

1. No hay estimulo externo de fuerza, la entrada es la posicin del carro; en sta ocasin no

interesa como cambia la posicin del carro con respecto a un estimulo externo, sino la dinmica de la posicin de la masa con respecto a la del carro en la que se encuentra ubicada.

2. El punto de cero movimiento sera el piso, sin embargo, no se va a utilizar para el anlisis. 3. El diagrama de cuerpo libre quedara: (No se tiene en cuenta el peso)

Figura 2.5 Diagrama de cuerpo libre sistema masa-resorte-amortiguador sobre un carro

4. Observe en la figura 2.5 las flechas se colocaron en el sentido de las fuerzas, como dependen de dos posiciones stas se establecen como en la tabla 2.1, la punta de la flecha esta hacia la posicin u(t) y la cola hacia y(t), por lo cual las fuerzas se describen como aparece en el grfico.

5. Ahora se escribe la ecuacin: =+== a.m2F1Fa.mF reemplazando el valor de F1 y F2 se tendra que ( )

dt)t(ydm)t(y)t(uk

dt)t(dy

dt)t(duC2F1F

2

f =+

=+ , ordenndola:

Ec 2.7 La Ecuacin diferencial que aparece en Ec 2.7 es la que describe la dinmica del sistema. Ejemplo 2: Para el sistema que aparece en Figura 2.6 obtenga las ecuaciones que describen su dinmica.


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Figura 2.6 Sistema mecnico de dos grados de libertad.

1. No hay estimulo excitador. 2. Los puntos de cero movimiento (posicin cero) son el techo y el piso. 3. Los diagramas de cuerpo libre de las masas quedan como aparecen en la Figura 2.7

Figura 2.7 . Diagramas de cuerpo libre sistema mecnico de dos grados de libertad

Como son dos masas es necesario hacer un diagrama de cuerpo libre especificando el sentido de las fuerzas en cada una.

4. Las fuerzas dependen de dos posiciones; se coloca como positiva la de la punta de la flecha y como negativa la de la cola de la flecha. En ste ejemplo los puntos de cero movimiento o posicin cero deben tenerse en cuenta, para el caso de F1 en la masa m1 que es la fuerza ejercida por el resorte con constante de elongacin k1 quedara F1= k1(0 x1(t)) porque la posicin que est indicando la punta de la flecha es cero y la que est indicando la cola es x1(t). Obsrvese tambin que la fuerza F2 = -F3 , sin embargo, es mejor definir fuerzas por cada masa y as evitar confusiones.

5. En ste ejemplo hay dos ecuaciones por cada masa, una =+== 1111 am2F1FamF y

=+== 2222 am4F3FamF . Reemplazando los valores de las fuerzas en trminos de los parmetros quedaran:

dt

)t(xdm))t(x)t(x(k))t(x0(k 1

2

112211 =+ y dt)t(xd

m))t(x0(k))t(x)t(x(k 22

223212 =+ Ordenando las ecuaciones:


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Ec 2.8

Ec 2.9

Las Ec 2.8 y 2.9 describen la dinmica del sistema. 2.2.2 Sistemas Rotacionales: Para los sistemas rotacionales el anlisis se realiza a partir de la sumatoria de torques que actan sobre un eje.

Sistema rotor montado en cojinetes El sistema que aparece en la Figura 2.8 muestra la situacin en la que se desea mover un rotor, pero existe una inercia inicial y los cojinetes en los cuales est montado presentan resistencia mecnica. Significa que el torque externo aplicado debe ser suficiente para vencer la inercia y la resistencia mecnica. Utilizando la segunda ley de Newton para sistemas rotacionales (Ec 2.2) se puede obtener la ecuacin que determina la dinmica de ste sistema.

Figura 2.8 Sistema rotor montado en cojinetes. En esta oportunidad como seal excitadora est el torque (t), como salida se desea observar la velocidad angular (t) (tambin se puede hacer el anlisis con respecto a la posicin o la aceleracin del rotor, se plantea con respecto a una variable y las otras se pueden obtener a travs de su equivalencia), y como parmetros del sistema estn el momento de inercia J y la resistencia mecnica de los cojinetes b; entonces aplicando la Ec 2.2 se tendra:

== )()( tbtJT

Existen dos torques, el torque excitador y el torque de frenado que coloca la resistencia mecnica. Por tanto, ordenando la ecuacin se tiene que:

Ec 2.10

La Ecuacin 2.10 contiene el modelo matemtico que describe la dinmica del sistema rotor montado en cojinetes. La Ec. 2.11 es la misma dinmica representada en trminos de la posicin angular.


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Ec.2.11 IDEAS COMPLEMENTARIAS En los sistemas mecnicos rotacionales como el descrito en la figura 2.8, tambin se puede hablar de la constante de torsin kr cuando se tiene un eje flexible que presente estas caractersticas, generalmente los ejes de los sistemas rotacionales son rgidos y este parmetro se desprecia. Sin embargo, si se tiene en cuenta el modelo matemtico de la dinmica del sistema quedara:

== )()()( tktbtJT r ordenando la ecuacin,

Ec. 2.12 en trminos de la posicin

Ec 2.13

2.3 Sistemas Elctricos En sta seccin se recordarn dos ejemplos de sistemas elctricos, con el fin de utilizarlos posteriormente en el anlisis de sistemas mecnicos por analogas mecnicas-elctricas; sin entrar a hacer una descripcin profunda en el anlisis de circuitos. 2.3.1 Circuito RLC en serie: Para obtener el modelo de un circuito RLC en serie, se va a utilizar la ley de voltaje (mallas) de Kirchhoff. En la figura 2.9 aparece el circuito y se describen las cadas de tensin en cada uno de sus elementos

Figura 2.9 Circuito RLC en serie aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff se tendra que:

)()()()( tVtVtVte CRL ++=

reemplazando los voltajes en trminos de sus parmetros y la corriente, el modelo del sistema quedara como aparece en la Ec. 2.14


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Ec.2.14

Teniendo en cuenta que dt

tdqti )()( = , la dinmica del sistema se puede expresar en trminos de la carga (Ec 2.15)

Ec.2.15 2.3.2 Circuito RLC en paralelo: Para obtener la ecuacin diferencial que describe la dinmica de un circuito RLC en paralelo, se va a utilizar la ley de corrientes (nodos) de Kirchhoff. En la figura 2.10 aparece el circuito y se describen las corrientes que circulan a travs de cada uno de sus elementos.

Figura 2.10 Circuito RLC en paralelo

Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff se tiene que:

)()()()( titititi LRC ++=

Reemplazando las corrientes en trminos de sus parmetros y del voltaje, la ecuacin diferencial que describe la dinmica del sistema tendra la forma que aparece en la Ec. 2.16

Ec.2.16

como dtdte =)( , en trminos del flujo magntico el modelo del sistema quedara:

Ec.2.17

2.4 Analogas entre los sistemas Mecnicos y Elctricos


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El anlisis de sistemas mecnicos se puede realizar utilizando las analogas elctricas-mecnicas que permiten obtener un circuito equivalente elctrico de un sistema mecnico. Se dice que dos sistemas son anlogos si sus modelos matemticos son similares. Los modelos matemticos obtenidos anteriormente y representados en las ecuaciones Ec. 2.6, Ec. 2.13, Ec 2.15 y Ec 2.17 son modelos anlogos y todos tienen la forma:

Ec 2.18

donde P1, P2 y P3 son parmetros fsicos medibles de la planta o el sistema de inters, y(t) es la variable de salida y u(t) la variable excitadora o estmulo. Tabla 2.3 Modelos anlogos Mecnicos Elctricos

Clase de sistema Ecuacin Diferencial (modelo matemtico)

Parmetro P1

Parmetro P2

Parmetro P3

Seal de salida

y(t)

Seal de entrada

u(t) Mecnico

Traslacional m Masa Cf

Resistencia mecnica

k Constante

de elongacin x(t)

Posicin lineal

f(t) Fuerza

Mecnico Rotacional

J Momento de

inercia

b Resistencia mecnica

kr Constante de torsin

(t) Posicin angular

(t) Torque

Elctrico RLC serie L

Inductancia R

Resistencia 1/C

Inverso de la Capacitancia

q(t) Carga

elctrica

e(t) Voltaje

Elctrico RLC paralelo C

Capacitancia 1/R

Conductancia 1/L

Inverso de la Inductancia

(t) Flujo

magntico

i(t) Corriente

Existen dos tipos de analogas. La analoga directa conocida con el nombre de fuerza- corriente o de movilidad y la analoga impedancia (indirecta) o de fuerza-voltaje. La analoga directa recibe ste nombre porque a travs de un mtodo -que se describir posteriormente-, se puede obtener el circuito elctrico equivalente directamente del sistema mecnico; en ste caso la seal excitadora es una fuente de corriente (paralelo). La analoga que da como resultado un circuito elctrico alimentado con fuente de voltaje (serie) se obtiene a partir del circuito de corriente, por eso se conoce con el nombre de analoga indirecta. En algunos casos a pesar de haber obtenido el circuito de analoga directa se prefiere pasar a fuerza-voltaje para realizar el anlisis, trabajar uno u otro circuito depende de la habilidad en el manejo de las leyes de Kirchhoff, o en general en el anlisis de circuitos. La Tabla 2.4 presenta las analogas de movilidad e impedancia para sistemas mecnicos. Las analogas son utilizadas para el anlisis de sistemas mecnicos porque en la formacin como Ingenieros Electrnicos es ms sencillo analizar un circuito elctrico que un sistema mecnico. Los puntos de cero movimiento son anlogos a la tierra elctrica en los circuitos. Para sistemas que incluyan palancas, poleas, engranajes, etc., se pueden hacer analogas con transformadores elctricos.


17

Tabla 2.4 Analogas Elctricas de movilidad e impedancia para sistemas mecnicos.

Sistema Mecnico

Anlogo a:

Sistema Elctrico

Traslacional

Rotacional Analoga Directa Fuerza-corriente

(Torque-corriente)

Analoga Indirecta Fuerza-voltaje

(Torque voltaje)

f(t) Fuerza

(t) Torque

i(t) Corriente

e(t) Voltaje

x(t) Posicin lineal

(t) Posicin angular

(t) Flujo magntico

q(t) Carga elctrica

v(t) Velocidad lineal

(t) Velocidad

angular

e(t) Voltaje

i(t) Corriente

m Masa

J Momento de

inercia

C Capacitancia

L Inductancia

Cf Resistencia mecnica

b Resistencia mecnica

1/R Conductancia

R Resistencia

k Constante de elongacin

kr Constante de

torsin

1/L Inverso de la Inductancia

1/C Inverso de la Capacitancia

IDEAS COMPLEMENTARIAS A continuacin se presenta un mtodo para llevar un sistema mecnico a uno elctrico. Este mtodo permite obtener la analoga directa, la analoga de impedancia se halla a partir de la directa.

1. Obtener un circuito equivalente mecnico. Para obtener el circuito equivalente mecnico de un sistema mecnico es necesario identificar los puntos de cero movimiento y convertirlos en uno solo (generalmente se deja el piso), despus se disponen todas las masas con respecto a ese nico punto y por ltimo se conectan los dems elementos tal y como aparecen en el sistema a analizar.

2. Reemplazar los elementos mecnicos por sus equivalentes elctricos, para esto se utiliza la tabla

2.4. Hay que tener en cuenta las unidades de los elementos mecnicos para ser reemplazados por elementos elctricos de una forma equivalente. Por ejemplo, s hay una masa de 10Kg no se puede colocar un condensador de 10 Faradios, porque en un circuito elctrico comnmente no se tienen dimensiones de Capacitancia de ese orden, se podra emular la masa con un capacitor de 10 F, pero sin olvidar la equivalencia que se estableci para hallar la equivalencia de los dems elementos.

3. Identificar las seales que se deben analizar en el esquema elctrico con el fin de inferir en el

sistema mecnico. Si se desea analizar la velocidad de una masa en el sistema mecnico y se obtiene la analoga directa, entonces el anlisis debe realizarse sobre el voltaje en el sistema elctrico.

Ejemplo1: Para el sistema masa-resorte-amortiguador presentado en la Figura 2.2 se puede obtener su equivalente elctrico as:

1. El punto de cero movimiento es el techo pero el sistema se referencia con respecto al piso (tambin es un punto de cero movimiento), se dispone la masa con respecto a ese punto como aparece en la figura 2.11a. Enseguida se colocan los dems elementos (como el resorte y el amortiguador van de la masa al punto de cero movimiento, entonces se disponen de igual


18

forma). Para terminar la fuerza que se aplica a la masa se coloca como una fuente de fuerza sobre sta y referenciada con respecto al piso. El circuito equivalente mecnico se encuentra en la figura 2.11b

a) Sistema mecnico masas referenciadas

b) Circuito mecnico equivalente

c) Circuito elctrico anlogo

Figura 2.11 Analoga directa sistema mecnico masa-resorteamortiguador

2. Se reemplazan los elementos mecnicos por sus equivalentes elctricos utilizando la tabla 2.4. El

resorte por una inductancia, el amortiguador por una resistencia, la masa por un condensador y la fuente de fuerza por una de corriente. El circuito que obtiene es un RLC en paralelo como el que aparece en la figura 2.11c. El valor con que se deben escoger los elementos debe mantener la equivalencia, por ejemplo la Cf resistencia mecnica, es representada por la conductancia de un elemento resistor, si Cf = 0.5, entonces en el circuito elctrico se coloca una resistor de valor R1=2 para que sean anlogos.

3. Cmo la seal de salida que se desea es la posicin de la masa significa que en el circuito

elctrico se debe analizar la integral del voltaje e(t).

La analoga de fuerza voltaje se puede obtener a partir del circuito anlogo fuerza- corriente as:

1. Todo lo que est en paralelo se coloca en serie y lo que est en serie en paralelo, as se obtiene un pseudo-circuito equivalente.

2. Una vez se tiene el pseudo-circuito se reemplazan los elementos por los de la analoga indirecta,

los condensadores por inductancias, los resistores por resistores, donde su valor anlogo ya no es la conductancia sino la resistencia, las inductancias por condensadores y las fuentes de corriente por fuentes de voltaje; no se olvide que stos deben cumplir con las equivalencias de la tabla 2.4.


19

Ejemplo 2: Para el sistema masa-resorteamortiguador presentado en la Figura 2.2 se puede obtener su equivalente elctrico fuerza voltaje a partir del circuito RLC en paralelo de la Figura 2.11c.

1. Como todos los elementos estn en paralelo ahora quedaran en serie. 2. Al reemplazar los elementos se deben tener en cuenta sus nuevas equivalencias, para el ejemplo

anterior donde Cf resistencia mecnica era equivalente a la conductancia de un elemento resistor, ahora es representada por su resistencia, por tanto, si Cf = 0.5, entonces en el circuito elctrico anlogo de fuerza-voltaje se coloca una resistor de valor R2 =0.5; la masa va a estar representada por una inductancia y el resorte por un condensador donde k=1/C. En la figura 2.12 aparecen representados de forma grfica los pasos anteriores.

a) Analoga directa

Figura 2.12 Analoga indirecta sistema mecnico masa-resorteamortiguador

Cmo la seal de salida que se desea es la posicin de la masa, entonces el anlisis se hace sobre la integral de la corriente i2(t) en el circuito elctrico. Ejemplo 3: Para el sistema de la Figura 2.13 obtenga el circuito equivalente elctrico de fuerza-corriente y de fuerza-voltaje.


20

Figura 2.13 Sistema mecnico Siguiendo el mtodo estudiado se pueden obtener ambos equivalentes (tabla 2.5) tal y como aparecen en las figuras 2.14 y 2.15

Equivalente fuerza-corriente: En ste caso se analizan los voltajes en los condensadores C1 y C2, ya que son anlogos a las velocidades de las masas

Figura 2.14 Analoga fuerza-corriente

Equivalente fuerza-voltaje: Las corrientes de las inductancias La1 y La2 seran las salidas a analizar, por ser anlogas a las velocidades de las masas.


21

Figura 2.15 Analoga fuerza voltaje

Tabla 2.5 Equivalencias de los elementos mecnicos en los anlogos elctricos.

Sistema Mecnico Analoga de Movilidad (fuerza-corriente)

Analoga de Impedancia (fuerza-voltaje)

m1 C1 La1m2 C2 La2k1 1/L1 1/Ca1 k2 1/L2 1/Ca2 k3 1/L3 1/Ca3 Cf 1/R1 Ra1

2.5 Sistemas Electromecnicos Algunas plantas como las mquinas elctricas combinan sistemas mecnicos y sistemas elctricos. Cuando se presenta sta situacin es aconsejable seccionar el problema para obtener el modelo. En la figura 2.16 se tiene un motor D.C. controlado por corriente de armadura y excitacin de campo constante, para ste ejemplo se va a dividir el sistema en cuatro partes, la parte elctrica, la transferencia elctrica-mecnica, la parte mecnica y la transferencia mecnica-elctrica.

Figura 2.16. Sistema motor elctrico D. C. controlado por corriente de armadura Como variable de entrada se tiene el voltaje de armadura ea(t) que es la variable independiente y como posibles salidas estn el torque (t) (por ejemplo cuando el motor D.C hace parte de una


22

gra), la velocidad (t) (en un ventilador) o la posicin (t) (en un robot). De acuerdo con la aplicacin donde se encuentre ubicado el motor se escoger una o varias salidas, en esta ocasin el anlisis se va a realizar tomando como salida la velocidad (t). En sta planta existen seales intermedias como la corriente de armadura ia(t), el torque elctrico en el eje T(t), el voltaje generado eg(t); posteriormente cuando se hallen modelos por espacio de estados se observar como stas seales son candidatas a ser variables de estado. 2.5.1 Parte elctrica: Inicialmente se analiza la parte elctrica del motor D.C. indicada en la figura 2.17 como salida de la parte elctrica se tiene la corriente de armadura ia(t) y como entrada la seal de voltaje ea(t).

Figura 2.17 Circuito elctrico motor D.C.

Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff se tiene que:

Ec.2.19

Para definir la dinmica del motor D.C. se requiere ms de una ecuacin, siendo la primera Ec 2.19, la cual describe la parte elctrica. 2.5.2 Transferencia Existen dos tipos de transferencia, una elctrica-mecnica donde como resultado se tiene un torque en funcin de la corriente, y otra mecnica-elctrica que da como resultado un voltaje en funcin de la velocidad angular de la mquina. La figura 2.18 muestra la dinmica a analizar.

Figura 2.18 Dinmica de transferencia del motor D.C.

Las relaciones entre el torque y la corriente, y la velocidad y el voltaje generado se encuentran en la Ec. 2.20 y Ec. 2.21, stas ecuaciones describen respectivamente la dinmica de la transferencia de energa elctrica en mecnica, y a su vez, la retroalimentacin interna que existe en la mquina la cual acta como reguladora ya que a mayor velocidad hay mayor voltaje generado, y por tanto la corriente de armadura se ve afectada.

Ec.2.20

Ec. 2. 21


23

2.5.3 Parte mecnica: En la figura 2.19 se observa el esquema correspondiente a la parte mecnica del motor D.C. El anlisis de ste subsistema da como resultado la Ec. 2.22, que completa el grupo de ecuaciones que contienen la dinmica del motor D.C., controlado por corriente de armadura.

Figura 2.19 Subsistema mecnico motor D.C.

La parte mecnica es similar al sistema mecnico rotacional estudiado anteriormente en la seccin 2.2

Ec 2.22

Tambin se puede realizar el anlisis para el motor D.C., controlado por campo; la seal de entrada sera el voltaje de excitacin de las bobinas de campo ef(t). Recuerde que los sistemas LTI cumplen con el teorema de la superposicin. 2.6 Sistemas de Nivel y Caudal En la figura 2.20 aparece el esquema de un tanque, las variables que se encuentran asociadas a ste son el nivel del tanque )t(H y el caudal de salida )t(Qo . Como el sistema tiene un modelo no lineal en sta seccin se trabajar con un modelo linealizado alrededor del punto de operacin )(tH y )(tQo respectivamente, donde h(t) son las variaciones alrededor del punto de operacin del nivel y qo(t) las variaciones alrededor de un punto de operacin de caudal; lo que significa que )t(h)t(H)t(H += y )t(q)t(Q)t(Q ooo += . La linealizacin de un modelo no lineal se estudiar posteriormente.

Figura 2.20 Sistema de nivel

Como posibles salidas de inters en este sistema se encuentra el nivel (para situaciones donde ste es indispensable como los tanques de almacenamiento de agua), o el caudal (sistemas de regado, acueducto) y como entrada se tendra un caudal )t(q)t(Q)t(Q iii += .


24

Para obtener un modelo del tanque bajo las anteriores condiciones es necesario observar los parmetros de la planta; se observan bsicamente dos, la capacitancia del tanque C que es un parmetro medible en unidades de rea, (en un tanque con rea transversal constante sera la parte que no varia cuando se desea medir la capacidad almacenada en el tanque en funcin del nivel, la capacidad almacenada es igual al rea por la altura de la columna de lquido, esta ltima se conoce como nivel, por tanto, para ste caso C sera la seccin transversal del tanque), y la resistencia de la de salida R medida en unidades de longitud/flujo, depende de las caracterstica geomtricas de la tubera en la salida del tanque. Teniendo en cuenta los parmetros del tanque, se puede decir que cualquier variacin en el nivel da como resultado un cambio de volumen de lquido almacenado (si C es constante, que es la situacin, ya que se habla de sistemas LTI), ese cambio de volumen de lquido almacenado es igual a la diferencia entre la variacin del caudal de llegada y la variacin del caudal de salida (s Qi(t) y Qo(t) se mantuvieran constantes e iguales, entonces no existira variacin en el nivel). Las Ec 2.23 y Ec. 2.24 definen la dinmica del sistema de nivel para variaciones de las variables alrededor del punto de operacin )(tH , )(tQo y )(tQi respectivamente.

Ec 2.23

Ec 2.24

La Ec. 2.25 contiene la dinmica del tanque tomando como salida el nivel h(t) y como entrada el caudal qi(t).

Ec 2.25 En la expresin Ec 2.26 se tiene la dinmica del sistema tomando como salida el flujo qo(t).

Ec 2.26

IDEAS COMPLEMENTARIAS En los sistemas de nivel y caudal la alimentacin del sistema puede provenir de un tanque de almacenamiento de mayor capacitancia, (por ejemplo un embalse); en consecuencia, la seal de entrada ser un nivel. Enseguida se obtendrn las ecuaciones que determinan la dinmica en algunos ejemplos de sistemas de nivel y caudal en los cuales se tienen tanques en serie, en cascada alimentados por flujos o que dependen del nivel de otro tanque. Ejemplo1: En la figura 2.21 se muestran dos tanques en serie. Se tiene como salida el caudal q2(t) y como entrada el flujo de alimentacin qi(t).


25

Figura 2.21 Tanques en serie alimentados por un caudal.

Las ecuaciones que expresan la dinmica del sistema seran cuatro.

La del primer tanque representada en Ec 2.27

Ec 2.27

La del flujo entre los tanques, este depende de ambos niveles Ec 2.28.

Ec 2.28

La del segundo tanque se encuentra en la Ec.2.29

Ec 2.29

La del flujo de salida en la Ec. 2.30

Ec 2.30

Ejemplo 2: La figura 2.22 contiene un sistema de nivel-caudal en el cual el segundo tanque se alimenta del nivel del primero, el nmero de ecuaciones se reduce debido a que el primer tanque funciona como fuente. La dinmica de ste sistema esta determinada por las ecuaciones Ec 2.28, Ec 2.29 y Ec 2.30, pero la seal de entrada ahora es h1(t).

Figura 2.22 Tanques alimentados por un nivel

Ejemplo3: El funcionamiento de los tanques en cascada difiere de los tanques en serie en que el caudal q1(t) ya no depende del nivel del segundo tanque; pues no hay conexin directa con ste, como se observa


26

en la figura 2.23. La dinmica de ste sistema estara estipulada en las ecuaciones Ec 2.27, Ec 2.29, Ec 2.30 y Ec 2.31.

Ec 2.31

La Ec.2.31 muestra que el caudal q1(t) solo depende de h1(t). Como entrada se tiene qi(t) y como salida q2(t). Ejemplo 4: En ste ejemplo el primer tanque es la fuente para el segundo; en consecuencia la entrada es h1(t) como en el ejemplo 3 (ver figura 2.24); el nmero de ecuaciones tambin se reduce y, en ste caso la dinmica del sistema estara definida por las ecuaciones Ec 2.29, Ec 2.30 y Ec 2.31.

Figura 2.23 Tanques en cascada alimentados por un caudal

Figura 2.24 Tanque en cascada alimentado por un nivel.

Los sistemas de nivel-caudal tienen analoga directa con los sistemas elctricos; las fuentes de nivel son anlogas a las fuentes de voltaje, las de caudal a las de corriente, la capacitancia a la capacitancia elctrica y la resistencia a la resistencia elctrica. Las fuentes dependientes de corriente se utilizan en el caso de los tanques en cascada. La Figura 2.25 muestra los circuitos anlogos elctricos de los ejemplos anteriores.


27

Figura 2.25 Circuitos anlogos de los sistemas de nivel y caudal. 2.7 Sistemas Trmicos El anlisis de sistemas trmicos es importante en la obtencin de modelos de plantas reales. Generalmente en la industria se encuentran hornos, intercambiadores de calor, etc.; y variables como la temperatura y el flujo de calor son comunes en estos ambientes. La figura 2.26 muestra un sistema trmico donde como variables de entradas se tienen la variaciones de la temperatura de entrada i(t) y las variaciones del flujo de calor de entrada hi(t).


28

Figura 2.26 Sistema trmico

El punto de operacin del sistema es )t(H),t( ii , las variaciones de la temperatura y/o el flujo de calor de entrada provocan un cambio en el flujo de calor de salida y en la temperatura de salida; haciendo que vare de su estado estacionario )t()t(a)t( oo + . Los parmetros a tener en cuenta para el anlisis del sistema son la resistencia trmica, R (C s /kcal) y la capacidad trmica C (kcal/C).

Ec 2.32 La ecuacin Ec 2.32 describe la dinmica del sistema en general; pero como ste es un sistema MIMO (mltiples entradas mltiples salidas) las ecuaciones Ec. 2.33 y 2.34 contienen la dinmica del sistema tomando como salida la temperatura (t) y como entradas la variacin del flujo de calor hi(t) y de la temperatura respectivamente i(t), siendo R = /ho(t).

Ec 2.33

Ec 2.34

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

OGATA, Katsuhiko. INGENIERA DE CONTROL MODERNA. Capitulo II Modelado matemtico de sistemas dinmicos PAG 98-193. Segunda Edicin Ed. Prentice Hall. 1993 OGATA, Katsuhiko. DINAMICA DE SISTEMAS. Ed. Prentice Hall. 1987 2.8 Funciones de Transferencia La transformada de Laplace brinda la facilidad de trabajar las ecuaciones diferenciales como polinomios en variable s, donde s = + j, es una variable compleja con parte real y parte imaginaria (frecuencia angular). La funcin de transferencia G(s) est definida como la relacin entre la transformada de Laplace de la seal de salida, y la transformada de Laplace de la seal de entrada (Ec 2.35).


29

Ec 2.35

De esta forma se pueden hallar las transformadas de Laplace de las ecuaciones obtenidas anteriormente en los anlisis de los sistemas, y representar sus modelos matemticos con funciones de transferencia. Aquellas plantas y sistemas en los cuales su dinmica est establecida por varias ecuaciones (aunque sean SISO) en el dominio del tiempo se puede lograr una sola expresin (funcin de transferencia), que condense toda su dinmica en el dominio de la frecuencia.

Figura 2.27 Sistema MIMO (Mltiple entrada Mltiple Salida)

En las plantas y sistemas tipo MIMO, como el que se observa en la figura 2.27, la dinmica se define a travs de la Matriz de Transferencia M(s), donde cada componente es una funcin de transferencia. S se tiene un sistema con p salidas y r entradas se tendra una matriz de transferencia de orden p x r, donde cada componente se representara de la forma Gij(s) teniendo que i = 1,2, p y j = 1,2, r; el vector de salida sera de orden p x 1 y el de entrada r x 1. La Ec 2.36 condensa la representacin de la dinmica de un sistema MIMO utilizando Matriz de Transferencia.

=

=

)s(U

)s(U)s(U

)s(G)s(G)s(G

)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G

)s(Y

)s(Y)s(Y

r

2

1

pr2p1p

r22221

r11211

p

2

1

ML

MMMMLL

M

M(s)U(s)Y(s)

Ec 2.36

Como es una representacin para sistemas LTI, cada salida del sistema cumple con el teorema de la superposicin y se puede representar como una combinacin lineal de las variables de entrada. Por tanto :

)()()( sUsGsY jr

jiji

==

1

, donde [ ][ ]0=

==jkU

j

i

j

iij sU

sYtutysG

)()(

)()()(

LL

Por ejemplo para Y2(s) sera:

)()()()()()()()( sUGsUsGsUsGsUsGsY rrjr

jj 2222121

122 +++==

=L , donde,

02

222

2==

kUsUsYsG)()()(


30

Obsrvese que todas las variables estn en dominio de s y M(s); no debe confundirse con la representacin matricial de las variables de estado las cuales se encuentran en el dominio del tiempo. En la tabla 2.6 se condensan las funciones de transferencia para algunos de los ejemplos estudiados en ste capitulo y se observan las diferentes funciones de transferencia; ntese que estas estn determinadas por los parmetros de la planta o el sistema y dependen solo de estos y no del tipo de seal que se aplique a la entrada. Es importante recordar que los modelos obtenidos son para sistemas LTI, donde los parmetros son constantes o han sido hallados en un punto de operacin especfico de la planta o el sistema. Tabla 2.6 Funciones de Transferencia

Sistema Ecuaciones que determinan la dinmica del Sistema

Variable(s) de Entrada

Variable(s) de salida

Funcin de Transferencia

Masa-Resorte-Amortiguador Figura 2.2

Fuerza f(t)[ ] )()( sFtf =L Posicin x(t)[ ] )()( sXtx =L

Masa-resorte-amortiguador sobre un carro Figura 2.4

Posicin del carro u(t) [ ] )()( sUtu =L

Posicin de la masa y(t) [ ] )()( sYty =L

Rotor montado en cojinetes Figura 2.8

Torque de entrada (t) [ ] )()( st =L

Posicin angular (t) [ ] )()( st =L

Rotor montado en cojinetes Figura 2.8

Torque de entrada (t) [ ] )()( st =L

Velocidad angular (t) [ ] )s()t( =L

Circuito RLC en serie Figura 2.9

Voltaje e(t)[ ] )()( sEte =L Carga q(t)[ ] )()( sQtq =L Circuito RLC en paralelo Figura 2.10

Corriente i(t)[ ] )()( sIti =L Flujo (t) [ ] )()( st =L

IDEAS COMPLEMENTARIAS La dinmica de los sistemas que aparecen en la tabla 2.6 se establece por una sola ecuacin, pero en el caso del motor DC, de los tanques en serie y otros; son un grupo de ecuaciones las que definen la dinmica. Por ende, para encontrar una funcin de transferencia total, se requiere hallar la transformada de la Laplace de las ecuaciones en el dominio del tiempo y posteriormente realizar los reemplazos que sean necesarios para obtener, en el dominio de s, la relacin entre la variable de salida y la variable de entrada. Ejemplo 1: En el Motor DC de la figura 2.16 se tienen cuatro ecuaciones para determinar su dinmica, de las cuales se pueden obtener cuatro funciones de transferencia. En la tabla 2.7 se muestran las ecuaciones en el dominio del tiempo y su equivalente en el dominio de la frecuencia; con las funciones de transferencia se llega a la funcin de transferencia total expresada por la Ec. 2.37 a travs del procedimiento algebraico que se describe enseguida Tabla 2.7 Ecuaciones que definen la dinmica del motor D.C.

Ecuacin en el dominio del tiempo Ecuacin en el dominio de s


31

)()()()( g tetiRdttdiLte aaaaa ++=

aaga

a

RsL)s(E)s(E)s(I

)s(G +==1

1

)()( vg tKrpmKte == v

g K)s()s(E

)s(G ==2 )()()( tiKtiKtT aaa ==

aa

K)s(I)s(T)s(G ==3

)()()( tTtbdt

tdJ =+ bJs)s(T

)s()s(G +== 14

Tomando como salida la velocidad en el eje del motor (t), y como entrada el voltaje de alimentacin de la armadura ea(t), y conociendo que [ ] )s()t( =L y [ ] )s(E)t(e aa =L , se debe llegar a una funcin de transferencia total de la forma:

De la funcin de transferencia G4 se deduce que )s(TbJs1)s( += (1).

Sabiendo que de acuerdo con G3 el torque se puede escribir en trminos de Ia, )s(IK)s(T aa= reemplazando esta equivalencia en la expresin anterior (1) se tiene una nueva expresin que relaciona la

velocidad y la corriente )s(IKbJs

1)s( aa+= (2). De G2 se dice que: )(sKE vg = (3) relaciona el voltaje generado con la velocidad. Observando la funcin de transferencia G1 se sabe que: [ ])s(E)s(ERsL 1)s(I gaaaa += (4). Reemplazando (3) en (4), [ ])s(K)s(ERsL

1)s(I vaaa

a += (5)

Por ltimo, se reemplaza (5) en (2) [ ])s(K)s(ERsL1K

bJs1)s( va

aaa ++= y se despeja (s) de la

expresin resultante as:

o ( ) [ ])s(K)s(EK)RsL(bJs)s( vaaaa =++ o ( ) )s(KK)s(EK)RsL(bJs)s( vaaaaa =++ o ( ) ( )[ ]vaaaaavaaa KK)RsL(bJs)s()s(EK)s(KK)RsL(bJs)s( +++==+++

Escribindola como funcin de transferencia :

Ec 2.37

De la ecuacin Ec 2.37, utilizando la transformada inversa de Laplace, se puede deducir una ecuacin diferencial, que exprese totalmente la dinmica del motor D.C del ejemplo (Ec. 2.38).

Ec 2.38

Ejemplo 2: Para el sistema de tanques en serie de la figura 2.21 se puede hallar una funcin de transferencia general que contenga su dinmica realizando un procedimiento algebraico con las ecuaciones obtenidas. La tabla 2.8 contiene las ecuaciones halladas y sus respectivas transformadas de Laplace. Tabla 2.8 Funciones de transferencia tanques en serie figura 2.21


32

Ecuacin en el dominio del tiempo Ecuacin en el dominio de s

)()()( tqtqdt

tdhC i 111 = sC)s(Q)s(Q)s(H)s(G

i 11

11

1==

1

211 R

ththtq )()()( = 121

12

1R)s(H)s(H

)s(Q)s(G ==

)()()( tqtqdt

tdhC 2122 = sC)s(Q)s(Q)s(H)s(G

221

23

1==

2

22 R

thtq )()( = 22

24

1R)s(H

)s(Q)s(G == Si se toma como salida el caudal q2(t), como entrada el caudal qi(t), y sabiendo que [ ] )s(Q)t(q 22 =L y [ ] )s(Q)t(q ii =L entonces:

De observar la funcin de transferencia G4 se evidencia que: )s(HR)s(Q 2

22

1= (1).

De la funcin de transferencia G3 se tiene que [ ])s(Q)s(QsC)s(H 21221 = reemplazando esta

equivalencia en (1) quedara: [ ])s(Q)s(QsCR

)s(Q 2122

211 = (2)

Despejando Q2(s) se obtendra una expresin en trminos del flujo Q1(s), por tanto de (2) se deduce que: o )s(Q)s(Q)s(sQCR 21222 = o )s(Q)s(Q)s(sQCR 12222 =+ o ( ) )s(QsRC)s(Q 2221 1+= (3)

Observando G4 se obtiene que )s(QR)s(H 222 = (4) y de G1 que [ ])s(Q)s(QsC)s(H i 1111 = (5)

reemplazando (3) en (5) entonces ( )[ ])s(QsRC)s(QsC

)s(H i 2221

1 11 += (6)

Ahora de G2 se tiene que [ ])s(H)s(HR)s(Q 21111 = (7) reemplazando (4) y (6) en (7) as:

o [ ])s(H)s(HR)s(Q 21111 =

o ( )[ ]

+= )s(QRsRC)s(Q)s(QsCR

)s(Q i 2222211

1 111 (8)

Reemplazando en (8) a Q1(s) por su equivalente en (3) entonces se logra una expresin en trminos de

Q2(s) y Qi(s) ( ) ( )[ ]

+=+ )s(QR)s(QsRC)s(QsCR

)s(QsRC i 2222211

222 1111 , por ultimo queda

organizar la ecuacin, como una funcin de transferencia, de la siguiente manera:

o ( ) ( )[ ]

+=+ )s(QR)s(QsRC)s(QsCR

)s(QsRC i 2222211

222 1111

o ( ) ( )

+=+ )s(QR)s(QsRCsC

)s(QsCR

)s(QsRC i 22222111

222 11111


33

o ( ) ( ) )s(QRR)s(QsRCsCR)s(QsCR)s(QsRC i 22122211112221111111 +=+

Despejando a Q2(s):

o ( ) ( ) )s(QsCR)s(QRR)s(QsRCsCR)s(QsRC i11221222112221111111 =++++

o ( ) ( ) )s(QsRC)s(QRRsRCsRCsRC i1122122112211111 =

++++

o ( ) ( ) )s(QsRC)s(QRRsRCsRCsRC i1122122112211111 =

++++

o ( ) ( )

)s(QsRC

)s(QsRC

sRCsRCsRCsRCi

112

11

21222211 111 =

++++

o ( ) ( )[ ] )s(Q)s(QsRC1sRC1sRCsRC i221222211 =++++ o [ ] )s(Q)s(QsRCsRCsRCsRRCC i=++++ 221221122121 1 la funcin de transferencia total sera:

Ec.2.39

De la misma forma que en el ejemplo anterior se puede hallar un modelo del sistema representado por una sola ecuacin diferencial.

Obtener la funcin de transferencia de sistemas que definen su dinmica a partir de varias ecuaciones resulta un poco engorroso, por lo que, es recomendable utilizar otro tipo de anlisis que facilite ste proceso. Comnmente cuando se cuenta con plantas o sistemas cuyos modelos son de esta clase; es mejor trabajar tcnicas como el lgebra de diagramas de bloques o de flujo. 2.9 Diagramas de Bloques El lgebra de diagramas de bloques es una herramienta que en ocasiones facilita la obtencin de la funcin de transferencia total de una planta o sistema. El diagrama de bloques no es ms que una representacin grfica, de una funcin de transferencia )s(U

)s(Y)s(G = ; el bloque contiene la funcin y las ramas llevan las variables implicadas como se muestra en la Figura 2.28a.

Figura 2.28a Diagrama de Bloques con variables en s

Figura 2.28b Diagrama de Bloques en Simulink

Figura 28 Representacin de G(s) en diagramas de bloques


34

Actualmente en los paquetes de simulacin como Simulink de Matlab el diagrama de bloques ya es un modelo totalmente trabajable, que permite gran interactividad en su anlisis; teniendo en cuenta que en Simulink aunque los bloques contienen las funciones de transferencia (en variable s), en las ramas se pueden observar las variables en el dominio del tiempo (ver figura 2.28b).

La tabla 2.9 contiene las operaciones principales utilizadas en el lgebra de bloques para obtener una funcin de transferencia total equivalente al modelo representado por ste. En la actualidad, la reduccin de los diagramas de bloques se realiza poco, debido a que esto ocasiona perdida de informacin sobre el estado de las variables intermedias del sistema o de la planta.

Figura 2.29 Puntos de suma de seales

Los paquetes de simulacin ofrecen grandes ventajas en el anlisis de modelos representados de esta manera, sin embargo, es necesario aprender a construir el diagrama a partir de las ecuaciones que determinan la dinmica de la planta o sistema; muchas veces estas ecuaciones incluyen suma de seales, las cuales se pueden representar por puntos de suma, como aparece en la figura 2.29. Tabla 2.9 lgebra de Bloques Diagrama Inicial Equivalencia del Diagrama Inicial 1

La suma es una operacin que cumple con la propiedad asociativa y conmutativa

)s(N))s(U)s(X()s(Y += entonces )s(N)s(U)s(X)s(Y +=

))s(N)s(U()s(X)s(Y += ordenando)s(N)s(U)s(X)s(Y +=

)s(N)s(U)s(X)s(Y += 2 == )s(U)s(G)s(Xy)s(X)s(G)s(Y 12

)s(U)s(G)s(G)s(Y 12= )s(GG)s(U)s(Y

21=

)s(GG)s(U)s(Y

21=

3


35

)s(U)s(G)s(Y = (G()s(G

1)s(U)s(U)s(G)s(Y)s(G

1)s(U ===)s(U)s(U =

4

5

)s(X)s(Q)s(Y += y )s(U)s(G)s(X 2= , )s(U)s(G)s(Q 1=

reemplazando en Y(s), quedara : )s(U)GG()s(UG)s(UG)s(Y 2121 +=+=

)s(U)GG()s(Y 21 +=

)s(U)GG()s(Y 21 +=

6

Y(s)=G(s)X(s) y X(s)=U(s)-Q(s) reemplazando la equivalencia de X(s) en Y(s) se tiene que: Y(s)=G(s)[U(s)-Q(s)] =G(s)U(s)-G(s)Q(s) como Q(s)=H(s)Y(s), entonces Y(s)=G(s)U(s)-G(s)H(s)Y(s) factorizando Y(s), Y(s)[1+G(s)H(s)]=G(s)U(s) escrita como

funcin de transferencia: )s(H)s(G1

)s(G)s(U)s(Y

+=

)s(H)s(G1)s(G

)s(U)s(Y

+=

En la reduccin de diagramas de bloques el lgebra de bloques es muy importante y se requiere de habilidad en su utilizacin, ya que una operacin no adecuada puede complicar el ejercicio. Poco a poco el analista va desarrollando destrezas que le indican que regla aplicar, con el fin optimizar el trabajo en la reduccin del diagrama. IDEAS COMPLEMENTARIAS Para construir un diagrama de bloques se sugieren los siguientes pasos:

1. Obtener inicialmente las diferentes ecuaciones que definen la dinmica de una planta o de un sistema segn sea el caso.

2. Construir el diagrama empezando por la ecuacin que contenga la seal de salida -

generalmente la ltima-. La seal de entrada de este bloque ser la salida del siguiente bloque a construir. Continuar as sucesivamente hasta dibujar el bloque que tiene como entrada, la entrada general del sistema o la planta. Es recomendable no volver a utilizar una ecuacin ya trabajada -Una ecuacin se representa como bloque una sola vez-. Se deben emplear todas la ecuaciones obtenidas (salvo si alguna es linealmente dependiente de otra).

A continuacin se desarrollan tres ejemplos que muestran la construccin de diagramas de bloques Ejemplo1: Recordando el ejemplo del motor D.C. de la figura 2.16, tratado en la seccin anterior; donde a travs de un procedimiento algebraico se obtena su funcin de transferencia total. En sta


36

ocasin se va a construir el diagrama de bloques para despus reducirlo con lgebra de bloques y, as hallar la funcin de transferencia total.

1. Determinar las ecuaciones de la dinmica del sistema, -Estas haban sido obtenidas previamente en la seccin 2.5 (sistemas electromecnicos), y sus transformadas de Laplace se encuentran en la tabla 2.7 (ver seccin anterior)-.

aaga

a1 RsL

1)s(E)s(E

)s(I)s(G +== , vg

2 K)s()s(E

)s(G == , aa3K

)s(I)s(T)s(G == y

bJs1

)s()s()s(G 4 +=

= .

2. Se inicia por la funcin que contenga la variable de salida

G4(s), representada en diagrama de bloques quedara:

Ahora se toma la ecuacin que como salida tiene a T(s), sera la G3(s), y se dibuja el bloque en forma consecutiva (recuerde que G4 no se vuelve a utilizar).

Tomando a G1(s) que tiene como salida Ia(s) y dibujndolo se observa:

Como se ve en el diagrama anterior hace falta definir a Eg(s), ya que sta no es una variable de entrada y adems, la funcin G2(s) no se ha utilizado. El modelo matemtico representado en diagrama de bloques, del motor D.C. del ejemplo, se observa en la figura 2.30

Figura 2.30 Representacin en diagramas de bloques del motor D.C. controlado por corriente de armadura.

Ejemplo 2: Se construir el diagrama de bloques de los tanques en serie (ver figura 2.21), tratados en la seccin anterior. 1. Las funciones de transferencia de las ecuaciones que establecen la dinmica de esta planta

son:


37

[ ] sC1

)s(Q)s(Q)s(H)s(G

11i

11 == , [ ] 121

12 R

1)s(H)s(H

)s(Q)s(G == , [ ] sC1

)s(Q)s(Q)s(H)s(G

221

23 == y

22

24 R

1)s(H)s(Q)s(G ==

Se inicia representando a G4(s), donde est la seal de salida (como salida -observe

que G3(s) tambin la contiene pero como entrada-):

Ahora se usa G3(s) que tiene como salida a H2(s) y se dibuja el bloque:

Q2(s) ya se tena en el diagrama, pero hace falta definir Q1(s). Por tanto, la funcin de transferencia que sigue sera G2(s).

Solo falta utilizar a G1(s). Esta funcin define la dinmica de H1(s) con respecto a la entrada de la planta y al flujo Q1(s) que ya est representado en el diagrama. En la figura 2.31 se muestra el diagrama general del modelo matemtico de los tanques en serie alimentados por caudal.

Figura 2.31 Representacin en diagramas de bloques de los tanques en serie alimentados por caudal

Ejemplo 3: Cuando se tiene un modelo como el del sistema trmico de la figura 2.26, que tiene dos entradas, y las ecuaciones que determinan su dinmica son:

)t(Rh)t(dt)t(dRC i=+ cuya transformada de Laplace expresada como funcin de

transferencia sera 1RCs

R)s(H)s()s(G

i1 +=

= , sabiendo que [ ] )s()t( =L y [ ] )s(H)t(h ii =L )t()t(dt

)t(dRC i=+ , como funcin de transferencia 1RCs1

)s()s()s(G

i2 +=

= conociendo que [ ] )s()t( ii =L .

Si se tiene como salida (t) y como entradas hi(t) y i(t), la representacin en diagrama de bloques sera como se encuentra en la figura 2.32.


38

Figura 2.32 Representacin en diagramas de bloques del sistema trmico con dos entradas Para obtener las funciones de transferencia totales se va a realizar la reduccin de dos de los diagramas de bloques obtenidos, utilizando el lgebra de bloques contenida en la tabla 2.9. Ejemplo 4: Para el motor D. C se obtuvo el siguiente diagrama de bloques :

Como se tienen bloques en serie se puede aplicar la operacin 2 de la tabla 2.9, lo que exige que no deben existir puntos de toma de seal entre bloques. El nuevo diagrama sera:

El diagrama queda similar al caso 6 de la tabla 2.9. Por tanto, aplicando esta regla se reduce a:

La funcin de transferencia contenida en el bloque es la misma que aparece en la ecuacin Ec 2.37, obtenida en la seccin anterior. Ejemplo 2: El diagrama de bloques de los tanques en serie est en la figura 2.31. Aunque existen bloques en serie, entre ellos hay puntos de toma, por tanto, no se pueden reducir. Primero se debe quitar el punto de toma para poderlos multiplicar (ver figura 2.33). Como se observa en la figura 2.33b se sugiere cambiar el punto de toma hacia el lado contrario del punto de suma -esto cuando la rama que se origina en el punto de toma se dirige hacia un punto de suma ms lejano-, ya que en ocasiones cambiarlo hacia el lado del punto de suma complica la reduccin del diagrama.

Para cambiar el punto de toma se aplic la regla 3 la rama ahora tiene una ganancia de R2 que es equivalente a dividir por la ganancia

2R1 .


39

Figura 2.33 Cambio de un punto de toma (regla 3 lgebra de bloques) Ahora se pueden multiplicar los bloques en serie. El nuevo diagrama quedara:

La seal que llega al segundo punto de suma sigue siendo H2(s), por lo que la transformacin es totalmente valida. En el diagrama aparece un lazo de retroalimentacin que se puede reducir aplicando la regla 6 de la tabla 2.9

Se observa que nuevamente hay dos bloques en serie y un punto de toma entre ellos. Aplicando la regla 3 (cambio del punto de toma) y la regla 1 (multiplicacin de bloques en serie) el diagrama se reduce a:

Realizando la reduccin del lazo de retroalimentacin con la regla 6, y multiplicando los bloques que estn en serie, entonces el nuevo diagrama sera:


40

La seales intermedias H1(s) y H2(s) ya no estn representadas en el diagrama (Si el diagrama anterior se analizara con Simulink la seales h1(t) y h2(t) no se podran observar). Se aprecia un nuevo lazo de retroalimentacin.

Por ltimo, con la regla 6 se reduce el diagrama; llegando a la misma funcin de transferencia que se encuentra en la ecuacin Ec 2.39

2.10 Diagramas de Flujo Los diagramas de flujo son una herramienta que permite representar el modelo matemtico de una planta o sistema de forma sencilla. Su ventaja sobre el diagrama de bloques es que existe un mtodo sistemtico para hallar la funcin de transferencia total. Los diagramas de flujo estn compuestos de ramas y nodos. La flecha encima de la rama indica el sentido del flujo y sobre sta se coloca la ganancia (funcin de transferencia o transmitancia para el caso) de la misma. El nodo representa a una variable en el modelo.

Figura 2.34 Representacin de un funcin de transferencia con diagramas de flujo

Una funcin de transferencia de la forma )(

)()( sUsYsG = se representa como aparece en la figura

2.34. El lgebra de los diagramas de flujo tiene tres reglas bsicas contenidas en la tabla 2.10; stas reglas permiten hallar trayectorias y lazos que posteriormente se operan en lo que se conoce como la Formula de Ganancia de Mason, que permite obtener una funcin de transmitancia total. La representacin de sistemas en diagramas de flujo no exige una transformacin obligatoria a ecuaciones en variable s. Por ejemplo, un circuito elctrico resistivo o un amplificador implementado con opamp (amplificadores operacionales), se puede representar en diagramas de flujo sin necesidad de hallar la transformada de Laplace de las ecuaciones que determinan su dinmica. Tabla 2.10 lgebra de diagramas de flujo

Regla Definicin


41

Adicin

=

=n

1jjiji XGX

El valor de la variable en un nodo es igual a la suma de todas las seales que llegan al nodo.

Transmisin

fijokn,...,2,1iXGX kiki

==

El valor de la variable en un nodo se transmite por cada una de las ramas que parte del nodo.

Multiplicacin 1)1n(n433221n XGGGGX = L

Las ramas en serie se pueden reemplazar por una sola rama. La multiplicacin de sus ganancias ser la ganancia de la nueva rama.

Las definiciones de la tabla 2.11 son importantes en la reduccin de grficas de flujo porque permiten entender la frmula de ganancia de Mason de forma sencilla. Tabla 2.11 Definiciones utilizadas en el lgebra de diagramas de flujo (ver figura 2.35) Trayectoria: Es una sucesin de ramas en una sola direccin (ningn nodo se pasa ms de una vez)

Nodo de entrada: Nodo con ramas salientes solamente (nodo X1) Nodo de Salida: Nodo con ramas entrantes solamente (nodo X7) Trayectoria Directa Es una trayectoria que se inicia en el nodo de entrada y termina en el de salida (la que

pasa por los nodos X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 y X8, y la formada por X1, X2, X7 y X8 ). Lazo de Retroalimentacin

Trayectoria que empieza y acaba en el mismo nodo (como ejemplos se tiene el lazo compuesto por los nodos X3, X4, X5, y X3, y el lazo X2, X3, X4 y X2.)

Lazo simple Es un lazo de retroalimentacin que consta de una sola rama (el de ganancia G66.) Ganancia de Trayectoria (Pk)

Producto de las ganancias de las ramas que conforman la trayectoria (para la trayectoria directa constituida por X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 y X8 sera

877665544332211 GGGGGGGP = y para la trayectoria directa compuesta por X1, X2, X7 y X8 sera 8772212 GGGP =

Ganancia de lazo (Lk) Producto de las ganancias que conforman un lazo (como ejemplo se tiene el lazo formado por X3, X4, X5, y X3, con ganancia 3554431 GGGL = , y el lazo X2, X3, X4 y X2 con ganancia 2443322 GGGL =


42

Figura 2.35 Ejemplo de un diagrama de flujo

2.10.1. Frmula de ganancia de Mason: Permite encontrar la relacin entre la seal del nodo de salida y el nodo de entrada. Para este caso sera la funcin de transferencia total del modelo lineal representado por ecuaciones algebraicas sucesivas a travs del diagrama. La frmula de ganancia de Mason se define en la ecuacin Ec 2.40.

= k kkP1P Ec. 2.40

Donde P es la ganancia total del diagrama equivalente a la funcin de transferencia total GT(s) del sistema o la planta que se est analizando, el determinante del grfico, k es el nmero de trayectorias directas en la grfica de flujo. Por tanto, Pk sera la ganancia de la k-sima trayectoria directa y k el determinante de la k-sima trayectoria directa. El determinante del diagrama, = 1- (suma de todas las ganancias de los lazos de individuales) + (la suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos que no se tocan (disjuntos))- (la suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos que no se tocan) + (la suma de los productos de ganancias de todas las combinaciones posibles de cuatro lazos que nos se tocan) El determinante de la k-sima trayectoria directa k es igual al determinante del grfico eliminando todos los lazos que toca la k-sima trayectoria (se incluyen tambin el producto de ganancias que involucren lazos que tocan la trayectoria Pk). IDEAS COMPLEMENTARIAS Para dibujar un diagrama de flujo se puede tomar como base el diagrama de bloques. La figura 2.36 muestra la grfica de flujo equivalente del sistema de tanques de la figura 2.21, cuyo diagrama de bloques se estudi en seccin anterior.


43

Figura 2.36 Construccin de un diagrama de flujo a partir de uno de bloques Se debe tener especial cuidado con los puntos de suma; en los diagramas de flujo el nodo, segn la regla de la adicin, implica el resultado de una suma. Por lo tanto, cuando hay puntos de toma despus de un punto de suma ambos pueden ser representados por un solo nodo (ver figura 2.37a). Sin embargo, si el punto de toma est antes del punto de suma, significa que la seal que se desea tomar no es el resultado de la suma, luego son dos seales diferentes y se deben dibujar dos nodos aparte (ver figura 2.37 b).

Figura 2.37 Equivalencia de puntos de suma en las grficas de flujo Cuando hay retroalimentaciones, en el grfico se mantiene la direccin del flujo y se coloca el signo menos - en la ganancia de la rama. Es un error dejar el signo de la ganancia positivo e invertir el flujo; pues al invertir el flujo ya no se tendra una retroalimentacin sino una suma algebraica de seales, que no es lo mismo (ver figura 2.38).

Figura 2.38 Retroalimentacin en diagramas de flujo Aplicando la frmula de ganancia de Mason para el grfico de seal de los tanques en serie de la figura 2.21 se tiene:


44

Se identifica una sola trayectoria directa y tres lazos de retroalimentacin. O sea, k =1, luego la funcin

de transferencia total quedara = 11T P)s(G , donde P1 es la ganancia de la trayectoria directa,

221212211

1 sRRCC1

R1

sC1

R1

sC1P == y

sRC1

R1

sC11L

11111

== , sRC

1sC

1R11L

12212

== y

sRC1

R1

sC11L

22223

== son las ganancias de los lazos de retroalimentacin. )LL()LLL(1 31321 +++= los nicos lazos disjuntos son L1 y L3. No hay grupos de mayor

nmero de lazos que no se toquen. Por tanto, el determinante ira hasta la segunda sumatoria.

++++=

+

++= 2

21212212112211221211 sRRCC1

sRC1

sRC1

sRC11

sRC1

sRC1

sRC1

sRC1

sRC11 .

11 = porque la trayectoria P1 toca todos los lazos. Entonces al se le quitaran todos los lazos.

++++

=

=2

2121221211

2212111

T

sRRCC1

sRC1

sRC1

sRC11

1sRRCC

1P)s(G , hallando comn denominador se tiene:

1sRCsRCsRCsRRCC1)s(G

1121222

2121T +++++=

Se obtiene el mismo resultado de la Ec. 2.39 y de la reduccin del diagrama de bloques de la seccin anterior. Como se observa el diagrama de flujo ofrece una solucin sistemtica del modelo que puede ser desarrollada a travs de un algoritmo computacional, lo que es una ventaja sobre el diagrama de bloques que requiere de la destreza del analista para su simplificacin. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

OGATA, Katsuhiko. INGENIERA DE CONTROL MODERNA. Capitulo I Introduccin al anlisis de sistemas de control PAG 46-63. Segunda Edicin Ed. Prentice Hall. 1993. DISTEFANO III STUBBERUD y WILLIAMS. RETROALIMENTACION Y SISTEMAS DE CONTROL. Capitulos VII y VIII. PAG 113-162. Serie SCHAUM. Ed. McGraw-Hill, 1992. 2.11 Espacio de Estados Generalmente los sistemas en la vida real, son no lineales de mltiples entradas y mltiples salidas (MIMO). El espacio de estados es un ente matemtico que permite obtener el modelo de una planta o un sistema en el dominio del tiempo; es tan general que sirve para sistemas no lineales y de mltiples entradas y salidas.


45

El modelo en espacio de estados para una planta con n variables de estado (mnimo nmero de variables linealmente independientes necesarias para definir el estado de una planta o sistema), r entradas y p salidas estara compuesto por dos ecuaciones; la ecuacin de estado en la Ec 2.41 y la ecuacin de salida Ec 2.42; en el que el vector de las variables de entrada es u(t) de orden 1r , el vector que contiene las variables de salida es y(t) de orden 1p y el vector de estado x(t) de orden 1n .

Ec 2.41

Ec 2.42

A: Matriz caracterstica del sistema. Sus componentes estn en trminos de los parmetros de la planta y es de orden nn . B: Matriz de entrada de orden rn C: Matriz de salida de orden np D: Matriz de transferencia directa entrada- salida, de orden rp . En sistemas SISO (single input, single output) lineales invariantes en el tiempo esta matriz generalmente no aparece. Para un sistema el espacio de estados tendra la misma forma, pero en lugar de la seal de entrada u(t) estara la seal de referencia del sistema r(t).

2.11.1 Variables de estado Cannicas: El modelo de una planta tipo SISO expresado por una ecuacin diferencial de orden n, puede ser representado por las ecuaciones de estado, donde el nmero de variables de estado es igual al orden de la ecuacin diferencial. Observando la ecuacin de estado del espacio de estados (Ec 2.41) no son ms que ecuaciones diferenciales de primer orden expresadas en forma matricial -no confundir con matriz de transferencia-.

)t(u)t(yadt

)t(dyadt

)t(ydadt

)t(ydadt

)t(yd012

2

21n

1n

1nn

n=+++++

L Ec 2.43

Recordando que una ecuacin diferencial de orden n puede ser expresada por n ecuaciones de primer orden, entonces la ecuacin diferencial que se encuentra en Ec 2.43 puede ser declarada en trminos de n variables de estado que formaran el vector de estado x(t). Teniendo a u(t) como la entrada y y(t) como la salida de la planta y definiendo las variables de estado como la salida y sus n-1 derivadas:

)t(ydt

)t(yd)t(x

)t(ydt

)t(yd)t(x

)t(ydt

)t(yd)t(x

)t(ydt

)t(dy)t(x

)t(y)t(x

1n

1n

1n

n

2n

2n

2n

1n

2

2

3

2

1

==

==

==

===

M

&&

&

donde el vector

=

)t(x)t(x

)t(x)t(x)t(x

n

1n

3

2

1

Mx(t)


46

declarando las derivadas de las variables de estado como sigue:

n

n

n

n1n

1n

1n

43

3

3

32

2

2

21

dt)t(yd)t(x

)t(xdt

)t(yd)t(x

)t(xdt

)t(yd)t(x

)t(x)t(ydt

)t(yd)t(x

)t(x)t(ydt

)t(dy)t(x

=

==

==

===

===

&

&

M

&

&&&

&&

=

)t(x)t(x

)t(x)t(x)t(x

n

1n

3

2

1

&&

M&&&

&(t)x

Todas la derivadas de las variables de estado quedaron en funcin de variables de estado, excepto )t(x n& . Sin embargo, se puede despejar de la Ecuacin Diferencial Ec 2.43 as:

)t(yad

)t(dyadt

)t(ydadt

)t(yda)t(udt

)t(yd01

2

2

1n

1n

n=

L

Que en trminos de las variables de estado quedara:

)t(xa)t(xa)t(xa)t(xa)t(udt

)t(yd102132n1n

n= L

Entonces las n ecuaciones de primer orden seran:

)t(u)t(xa)t(xa)t(xa)t(xadt

)t(yd)t(x

)t(xdt

)t(yd)t(x

)t(xdt

)t(yd)t(x

)t(x)t(ydt

)t(yd)t(x

)t(x)t(ydt

)t(dy)t(x

n1n322110n

n

n

n1n

1n

1n

43

3

3

32

2

2

21

+==

==

==

===

===

L&

&

M

&

&&&

&&

Expresadas en forma matricial se obtendra la ecuacin de estado (Ec 2.41):


47

)t(u

10

000

)t(x)t(x

)t(x)t(x)t(x

aaaaa10000

010000010000010

)t(x)t(x

)t(x)t(x)t(x

n

1n

3

2

1

1n3210n

1n

3

2

1

+

=

=

MM

LL

MLMMMMLLL

&&

M&&&

&(t)x Ec 2.44

La ecuacin de salida sera: [ ]x(t)00001)t(y L= Ec 2.45

Las ecuaciones Ec 2.44 y Ec 2.45 son la representacin en espacio de estados de la ecuacin diferencial lineal de orden n (Ec.2.43). La matriz caracterstica del sistema A queda en trminos de los coeficientes de la ecuacin diferencial.

=

1n3210 aaaaa10000

010000010000010

LL

MLMMMMLLL

A ,

=

10

000

MB y [ ]00001 L=C

El modelo genrico de espacio de estados obtenido es un modelo en forma cannica, que est compuesto como se muestra en la ecuacin Ec 2.46.

[ ]x(t)y(t)u(t)x(t)x(t)

0

0a

I0

11

=

+

= Ec 2.46

Donde: 0 = vector de ceros de orden 1)1n( o )1n(1 , segn sea el caso. I = Matriz identidad de orden n-1 a = Vector de coeficientes de la ecuacin diferencial de orden n1 Cualquier modelo en espacio de estados cuya matriz caracterstica del sistema tenga estas componentes (0, I y a), sin importar el orden donde se encuentren ubicadas (siempre y cuando cumplan con que A sea de orden n), se considera un modelo cannico de la planta. Si se obtiene la transforma de Laplace de la Ec 2.43, y se expresa en forma de funcin de transferencia como aparece en Ec 2.47, se observa que:

012

21n

1nn asasasas

1)s(U)s(Y)s(G +++++== L

Ec 2.47

Como se observa en la Ec 2.47 el polinomio del denominador de la funcin de transferencia G(s) queda en trminos de los coeficientes de la ecuacin diferencial que determina la dinmica de la


48

planta. Por tanto, el espacio de estados se puede obtener directamente de la funcin de transferencia, teniendo cuidado de dejar el polinomio del denominador de forma mnica (el coeficiente de sn sea 1). Si la ecuacin diferencial incluye derivadas de la entrada (ver Ec 2.48), la funcin de transferencia se cambia, quedando como se muestra en la Ec 2.49 (siendo m el orden del polinomio del numerador y n el orden del polinomio del denominador, para todo m


49

Definiendo la ecuacin de estado en forma matricial queda como la ecuacin Ec 2.44, pero la ecuacin de salida que expresa y(t) se obtendra de la transformada inversa de Laplace de la funcin de transferencia contenida en el bloque que tiene como entrada Z(s) y como salida Y(s).

011m

1mm

m cscscsc)s(Z)s(Y ++++= L , por tanto, aplicando trasformada inversa de Laplace

quedara: [ ] [ ])s(Zc)s(sZc)s(Zsc)s(Zsc)s(Y 011m1mmm ++++= L-1-1 LL , entonces la variable de salida, )t(zc)t(z

dt)t(dzc

dt)t(zdc

dt)t(zdc)t(y 011m

1m

1mm

m

m

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