Unidad I Funciones Expresar una función Dominios finales 2015/Matematicas... · Una ventana...

Academia de Matemáticas, Física e Informática Guía Anual Matemáticas 6 – Área 1 y 2

Unidad I Funciones

Expresar una función 1. Un rectángulo tiene un perímetro de 20m. Exprese el área del rectángulo como función de la longitud

de uno de sus lados. 2. Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro como función de la longitud de uno de

sus lados. 3. Una ventana “normanda” tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el

perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área “A” como función del ancho “x”.

Dominios 1.

𝑓 𝑥 = 𝑥³ + 2𝑥² − 3𝑥 − 1

𝑥 ∈ _____________________

2.

𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥² − 3𝑥

𝑥 ∈ _____________________

3.

𝑓 𝑥 = 2𝑥! − 3𝑥! − 3𝑥

𝑥 ∈ _____________________

1.

𝑓 𝑥 =2𝑥 − 1𝑥 − 5

𝑥 ∈ _____________________

2.

𝑓 𝑥 =2𝑥

4𝑥 − 5

𝑥 ∈ _____________________

3.

𝑓 𝑥 =2𝑥 − 16𝑥 − 5

𝑥 ∈ _____________________


4.

𝑓 𝑥 = 4𝑥! − 𝑥

𝑥 ∈ _____________________

5. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥

𝑥 ∈ _____________________

6. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 6𝑥 + 5

𝑥 ∈ _____________________

7.

𝑓 𝑥 =𝑥 − 2𝑥 + 4

𝑥 ∈ _____________________

8.

𝑓 𝑥 =𝑥 + 1𝑥 − 5

𝑥 ∈ _____________________

9.

𝑓 𝑥 =2− 𝑥𝑥 − 6

𝑥 ∈ _____________________


Rangos 1.

𝑓 𝑥 =3𝑥 + 23𝑥 + 4

𝑦 ∈ _____________________

2.

𝑓 𝑥 =6𝑥 − 32− 3𝑥

𝑦 ∈ _____________________

3.

𝑓 𝑥 =3𝑥 + 24𝑥 − 4

𝑦 ∈ _____________________

4. 𝑓 𝑥 = − 2− 𝑥 + 2

𝑦 ∈ _____________________

5. 𝑓 𝑥 = − 𝑥 + 2− 3

𝑦 ∈ _____________________

6. 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 1

𝑦 ∈ _____________________

7.

𝑓 𝑥 =𝑥 − 2𝑥 + 4

𝑦 ∈ _____________________

8.

𝑓 𝑥 =𝑥 + 1𝑥 − 5

𝑦 ∈ _____________________

9.

𝑓 𝑥 =2− 𝑥𝑥 − 6

𝑦 ∈ _____________________


Función inversa 1. ( ) 3−= xxf

( )=− xf 1

2. ( ) 23 += xxf

( )=− xf 1

3. ( ) 2xxf =

( )=− xf 1

4. ( ) 1+= xxf

( )=− xf 1

5. ( ) 32 +−= xxf

( )=− xf 1

6. ( ) 212 −−= xxf

( )=− xf 1


Unidad II Límites

1. =→ 72lim

0x

2. =−∞→

2

32lim e

x

3. ( )=−

→32lim

2x

x 4. ( )=−−

−→12lim 2

2xx

x

5. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

−→ xxxx

x 2

2

1

23lim 6.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++

→ 238lim 2

2

1 xxx

x

7. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++

→ 422lim 2

2

2 xxx

x 8. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

→ 945lim 2

2

3 xxx

x


9. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

++→ xx

xxx 2

2

1

23lim 10.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+

→ 232lim 2

2

2 xx

x

11. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

→ 81435lim 3

2

2 xxx

x

12. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−+

−→ 4253lim 2

2

2 xxx

x

13.

=−

−−→ 8

445lim 3

2

2 xx

x

14.

=−

−+→ 9

516lim 2

2

3 xx

x


15. ( )=−−∞→

42lim xxx

16. ( )=−+∞→

xxx

3lim

17. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

∞→ 2343lim 2

2

xxx

x

18.

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−+∞→ 12

232lim24

2

xxxx

x

19. =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

∞→ 23324lim

2

xxx

x 20. =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−+−∞→ 43

34lim36

23

xxxxx

x


Continuidad

1. Determinar el intervalo donde ( )41

2 −−

=xxxf

es continua.

2. Determinar el intervalo donde

( )311

523 +−−−

=xxx

xxf es continua.

3. Determinar el intervalo donde ( ) 3−= xxf es continua.

4. Determinar el intervalo donde ( ) 1522 −−= xxxf es continua.


( )⎩⎨⎧

≥

<=

2422

xsixsixxf es continua.


( )⎩⎨⎧

>−

≤−=

032012

xsixxsixxf es continua.


( )⎩⎨⎧

≥−

<+=

21221

xsixxsix

xf es continua

8. Determina el intervalo donde

( )⎩⎨⎧

≥−

<−=

1132

xsixxsix

xf es continua


Derivada por definición (Método de los 4 pasos)

1. 54)( 2 −−= xxxf

2. 52)( 3 +−= xxxf

3. 12)( += xxf

4. xxxf 1)( −

=


Unidad III Derivada

1. =

−=

)('43)(

xf

xf 2. =

=

)(')( 2

xfexf

3. =

=

)x('fx)x(f

4. =

=

)y('fy)y(f

5. =

=

)z('qz)z(q

6. =

=

)t('rt)t(r

7. =

=

)(')( 4

θ

θθ

WW

8. =

= −

)(')( 2

rQrrQ

9. =

=−

)(')( 3

1

tTttT

10. =

=

)(')( 2

5

rPrrP

11. =

=

)(')(xf

xxf

12. =

=

)(')( 3 4

ygyyg

13. =

=

)x('fx)x(f 23

14. =

=

)x('fx)x(f 52

15. =

−+= −

)x('fxxx)x(f 32 253

16. =

−+=−

−

)('432)( 4

3312

xfxxxxf


17. =

++=

)('

242)( 33 2

xfxx

xxf

18. =

−−=

)('

243)( 5

2

3 2

xfxx

xx

xxf

19.

( )=

+=−

)x('fxx)x(f 32 23

20. ( )

=

−+=

−+=

)x('fxx)x(f

xx)x(f21

432

4322

2

21. ( )=

++=

++=

)('23)(

23)(21

23

23

xfxxxf

xxxf

22.

( )( )=

−−=

−−=

)('14)(

14)(32

2

3 22

xfxxxf

xxxf

23. ( ) ( )=

+−=

)x('fxx)x(f 53 23 24. ( ) ( )

=

−+=

)x('fxx)x(f 54 4352


25. ( )=

−+=

)x('fxx)x(f 25

26.

( )=

+−=

)x('fxx)x(f 432

27. =

=−

+−=

)x('f)x('f

xxxx)x(f223

2

2

28. ( )( )=

+

−=

)x('fxx)x(f 6

2

41


29.

=−

+=

)x('fxx)x(f

21

30. =

+=

)('

4)(

xfxxxf

31. ( ) =

+=

xfxsenxf

')18()( 2

32. ( )==

xfsenxxf

')( 4

33. ( ) =

+=

xfxxf

'24cos)( 34.

( )==

xfxxf

'2cos)( 3

35. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

=

xfxxxf

'26tan)(

36. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

xfxxxf

'

12tan)(


37. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

=

xfxxxf

'32cot)(

38. ( )=

+=

xfxxxf

'926cot)(

39. ( )=

+=

xfxxf

'36sec)(

40. ( )=

=

xf

xxf

'46sec)(

41. ( )

( )=+=

xfxxxf

'223csc)(

42. ( ) ==

xfxxf

'6csc)( 7 6

43. ( )

( ) =++=

xfxxarcsenxf

'168)( 2

44. ( )( )=

+=

xfxarcsenxf

'4)( 3


45. ( )

( )=+=

xfxxxf

'53arccos)( 2

46. ( )( )=

+=

xfxxf

'62arccos)( 6

47. ( ) ( )

( ) =+++=

xfxxxf

'19arctan26arctan)(

48. ( )( ) ==

xfxxf

'6arctan)(

49. ( )

( ) =++=

xfxxarcxf

'16249cot)( 2

50. ( )( )=

+=

xfxarcxf

'26cot)( 3

51. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

=

xfx

xarcxf

'9416sec)(

52. ( )( ) =

+=

xfxarcxf

'65sec)( 2


53. ( ) ==

xfxxf

'6ln)(

54. ( )

( ) =−=

xfxxf

'98ln)(

55. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

x'fx92x8ln)x(f

56. ( ) =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

=

xfxxxf

'9987ln)(

57. ( )==

xfxxf

'8log)( 5

58. ( )

( ) =−=

xfxxf

'811log)( 6

59. ( )

( ) =−+=

xfxxxxf

'2log)( 23

60. ( )( ) =

−=

xfxxf

'9log)( 3

2

61. =

= −

)(')(

23

xfexf xx

62. =

= −

)(')(

23

xfexf xx


63. ( )

=

= +

)(')(

3 222

xfexf xx

64. =

= −

)(')( 2

xfexf xx

65. ( ) == −

+

xfxf x

x

'4)( 59

26

66. ( ) == +

xfxf x

'3)( 26

67. ( ) ==

xfxf x

'2)(3 6

68. ( ) ==

xfxf x

'7)(

2


Derivada de funciones Implícitas 69. 2522 =+ yx 70. 3649 22 =+ yx

71. 122 =++ yxyx 72. 01252 22 =−−++ yxyx

73. xyyx =+ 22 74. 1522

3 =+− xyxxy

x


75. ( ) ( )

=

=

)('22)(

xfxCosxSenxf

76. ( )

=

=

)('2)( 2

xfxCosxf

77. ( )

=

=

)('3)( 23

xfxTanxf

78. ( ) ( )

=

=

)('32)(

xfxCosxSenxf

79. ( ) ( )

=

=

)('22)( 2

xfxCosxSenxf

80. ( )( )

=

=

)('22

)(2

xfxCosxSen

xf


Unidad IV Aplicaciones de la Derivada

Regla de L’Hopital

1. =+++

+−→ 222

11 xx

xx lnlim

2. =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

→ senxxx

110

lim 3. =−

→ xsenxxx

x

coslim0

4. =−

→ x

xx

x 436lim

0

5. =−→ 221 eex

xx

lnlim 6. =−−

→ 11

0 xx ex )ln(lim


Obtener La Ecuación de la Recta Tangente y la Ecuación de la Recta Norma de la Curva en el punto indicado.

1. Curva ( )2142 2 −−= ,enxy

2. Curva ( )7253 2 ,enxy −−=


3. Curva ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−=

51

27

42 ,en

xxy

Curva 0162 22 =−++ yxx En el punto (3,1)


Máximos y Mínimos 1. Función

196)( 23 ++−= xxxxf

Operación

2. Función

24 6)( xxxf −= Operación


1. Función

2636152 23 −+−= xxxxf )(

2. Función

5223

41)( 24 ++−= xxxxf


Optimización 1. ¿Un hombre quiere sembrar un jardín utilizando un lado de su casa

como muro del jardín y colocando una cerca de alambre en los tres lados restantes. Encuentra las dimensiones del jardín más grande que pueda rodear utilizando 40 pies de malla de alambre?

Respuesta:

2. En el estacionamiento de una tienda se construirá un anexo rectangular que tenga un área de 600 pies2. Las paredes de tres lados se construirán en madera que tiene un costo de $7 el pie lineal. La cuarta se construirá con tabique que tiene un costo de $14 el pie lineal. Encuentre las dimensiones del anexo de mayor tamaño y menor costo.

Respuesta:


3. Se tiene una caja rectangular de base cuadrada cuyos lados miden x y de altura h. Determina las dimensiones para que la caja tenga un volumen de 320 cm3 y el área total de su superficie sea mínima.

Respuesta:

4. En la construcción de un recipiente cilíndrico de hojalata se emplean 100 in2, esta cantidad incluye las tapas. ¿Cuál es el mayor volumen posible que podría tener la lata?

Respuesta:


Razón de Cambio La posición de una partícula que se mueve sobre una recta horizontal es dada por

28182293

31 +−+−= tttts )( . Determinar la aceleración de la partícula cuando la velocidad es igual a cero.

Una escalera de 13m de largo está apoyada sobre una pared. Encuentra la rapidez con que baja el extremo superior de la escalera cuando su extremo inferior dista 5m del muro y se separa a razón de 5m/s.

Una persona está parada en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda. Sus manos están a 2m por encima del amarre de la lancha. Si la persona jala la cuerda a razón de 70cm/s. ¿Con qué rapidez se aproxima la lancha al muelle cuando se encuentra a 5m de él?

Un globo de forma esférica está siendo inflado a razón de 0.16 m3/min. ¿Cuál es el volumen del globo cuando su radio está aumentando a razón de 0.2 m/min?


Aplicaciones en la Economía

1. Una empresa estima que el costo por producir x artículos es de C(x)=0.02x2+3x+12000; ¿Cuál es el costo marginal de producir

600 artículos?

2. En una Empresa, la función de ingreso y la función de costo son I(x)=-‐2x2+340x y C(x)=3x2+600. Determina la utilidad máxima.

3. El costo estimado para producir “x” artículos está dado por C(x)=0.004x2+5x+6000; Encuentra el nivel de producción para obtener el costo promedio mínimo.


Unidad V Integrales

1. dxxx

x∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−432

2. dxxx

x∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

333 32

3. dxx

x232∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

4. dxx

x2

3

3∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−


5. ( )∫ =− xdxx 32 23

6. ∫ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − dxx

xx

x 3

3

22 11

7. ( )

∫ =− dxx

x 22

8. ( ) ( )∫ =−− dxxxx 1436 32

9. ( )( )∫ −− dxxxx 42316

10. ( )( ) dxxxxx8232 34612∫ −−


11. dxxsen∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −π

2

12. dxxcos∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −π3

13. ( )dxxtanx∫ 2

14. ( )dxxcot∫ −π23

4. ( )dxxsecx∫ − π32 32

5. ( ) ( )∫ −− dxxxcscx 21 2


Integral por Partes 1. ∫ dx)xarctan(

2. ∫ dx)xarccos(

3. dx)xln(x∫ 22

4. dx)xln(x∫ 3

5. ∫ =+ xxdx1

6. ( )∫ =+ 3

2

1 x

dxx


6. ∫ =+ xxdx1

7. ( )∫ =+ 3

2

1 x

dxx

8. ∫ =dxxa x

9. ∫ =− dxex x2


10. ∫ =xdxsinx

11. ∫ =dxxsinx2

12. ∫ =dy)y(siny 32

13. ∫ =xdxsinx2

14. ∫ =senxdxex

15. ( ) =∫ dxxsene x 23


Integral de Potencias Trigonométricas 1. ∫ =dx)x(sen 33

2. ∫ =dx)x(cos 23

3. ( )∫ =− dxxcos 24

4. ( )∫ =dxxsen π4

5. ( )∫ =dxx22tan

6. ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dxxx

3

22cot


7. ∫ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ dxxπ

3tan

8. ∫ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ dxx2

3 πcot

9. ( )∫ =− dxx 14csc

10. ∫ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− dxx 1

34 πsec

11. ( )∫ =− dxx 23sec

12. ( )∫ =+ dxx 33csc


Integración por sustitución Trigonométrica

1. ∫ =+ dxx 162

2. =−∫ dxx 162

3. ∫ =− dxx

x 252

4. ∫ =− dxxx249


Integración por fracciones Parciales

1. =−−

+∫ dx

xxx

12434

2

2. =−+

−+∫ dx

xxxxx329134

23

2

3. ( )

=−

−+∫ dx

xxxx

2

2

33610

4. ( )

=−

+∫ dxxx

2132


Unidad VI Aplicaciones de la Integral

Obtener la función

1. 20)6(653)(' 2 −==−+= fxxxxf

2. 0)2(24)(' 3 ==−= fyyyyf

3. 2

22cos)(' =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=+=ππ

θθθθ fsenf


Obtener el Área bajo la Curva

1. ( ) 623 21 ==−= xxxxf

16. ( ) 3x3x3xxf 21

3

=−==


Obtener el Área Entre las Curvas 1. 72 −= xy 12 += xy

2. 22 −= xy 2xy −=


Solidos en Revolución 22xy = 0=y 0=x 5=x en torno al eje x

10− 9− 8− 7− 6− 5− 4− 3− 2− 1− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10−9−8−

7−6−

5−4−3−

2−1−

123456789

10Gráfica del área a girar

y

x

a b

2xy = 24 xxy −= en torno al eje x

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