Números Complejos - MATE 3171- UPRA · rectángulo superior incluye al conjunto del rectángulo...
Transcript of Números Complejos - MATE 3171- UPRA · rectángulo superior incluye al conjunto del rectángulo...
Números Complejos
Presentación 1
Precalculus
Sec. 1.5
Tipos de números reales
• Enteros positivos o números naturales:
• Enteros no-negativos:
• Enteros
1, 2, 3, 4, ...
0, 1, 2, 3, 4, ...
..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Tipos de números reales (con’t)
• Un número racional es un número real que se
puede expresar de la forma donde a
y b son enteros and
• La representación decimal de números
racionales
– decimal finito, por ejemplo
– decimal infinito y periódico, por ejemplo
/ ,a b0 .b
51.25,
4
1773.2181818...
55
Tipos de números reales (cont’d)
• Números Reales que NO son racionales son
irracionales.
• Ejemplos:
– la razón de la circunferencia de un círculo a
su diámetro es apróximadamente 3.14159.
– es apróximadamente 1.414.
• Los irracionales siempre tienen
representaciones decimales infinitas y no-
periódicas.
,
2,
Conjuntos núméricos en Álgebra
Si una línea conecta dos rectángulos, el conjunto del rectángulo superior incluye al conjunto del rectángulo inferior.
La unidad Imaginaria
• La unidad imaginaria, denotada i , tiene las
propiedades:
– i es la raiz cuadrada de -1, esto es,
– i2 = -1 .
• i NO es un número real. Es una nueva entidad
matemática que nos permite definir el
conjunto ℂ de los números complejos.
Los números complejos
Terminología Definición Ejemplos
Número complejo a + bi , donde a y b
son números reales,
i2 = -1
3, 2 + i , -5i
Número imaginario a + bi , donde b≠0
son números reales,
i2 = -1
3 + 2i , 9i
Número imaginario
puro
bi , donde b≠0 -4i , 3𝑖, −𝑖
Igualdad a + bi = c + di si y
solo si a = c y b = d
x + yi = 3 + 4i si y
solo si x = 3 y y=4
Parte real e imaginaria
• Para un número complejo a + bi , llamamosa la parte real y b la parte imaginaria.
• Ejemplo:
• Encontrar los valores de x y y, donde x y y son números reales para
• Igualamos la parte real de ambos números 2x – 4 = 8 2x = 12 x = 6
• Luego la parte imaginaria: 9 = 3y y = 3
Suma y multiplicación
• Expresar en la forma a + bi , donde a y b
son números reales.
• Solución:
Ejemplos AdicionalesExpresar en la forma a + bi , donde a y b
son números reales.
2 + 3𝑖 2 − 3𝑖 =
Conjugados
• Si z = a + bi es un número complejo, entonces
su conjugado, denotado, , es a – bi .
• Sigue que el conjugado de a – bi es
a + bi
Ejemplo: Hallar el conjugado del número complejo:
−6 + 10𝑖
2
Ejemplos Adicionales (cont.)
Potencias de i
Primeramente estudiaremos potencias consecutivos de i.
y luego el ciclo se repite.
División de NumerosComplejos
• La división de números complejos implica
utilizar la multiplicación por el conjugado del
denominador para eliminar la parte
imaginaria del denominador.
• Expresar en la forma a + bi , donde a y b son
reales.
Operaciones con raíces de números
negativos
Expresar en la forma a + bi , donde a y b son números reales
Ejemplo
• Halle el conjunto solución de la ecuación
Es una ecuación polinomial de grado mayor que 2 que factoriza.
Utilizando la propiedad de producto cero,
3 23 4 0x x x
2 3 4 0x x x
0x 2 3 4 0x x
Ejemplo – continuaciónComo no factoriza, utilizamos la fórmula cuadrática para resolverlo.
El conjunto solución de la ecuación es
2 3 4 0x x
b b acx
a
2 4
2
Práctica
• Si r es un número real positivo, entonces la ecuación x2 = r tiene dos
soluciones en los números complejos, , donde 𝑥 = 𝑟 se llama
la raiz principal.
Hallar las soluciones de:
• Resuelva la ecuación x2 – 2x =-26.
• Halle el conjunto solución de la ecuación:
𝑥 = ± 𝑟𝑖
𝑥2 + 24 = 0
3 28 12 2 3 0x x x
• Simplificar las raíces.
a)
b)
c)
4
169
18