Unidad AV IV

Prof. Gruber A. Caraballo V.

Universidad de Carabobo

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería Mecánica

Departamento de Térmica y Energética

Semestre 1-2008

Dinámica de gases

UC Semestre 1-2008. Prof. Gruber A. Caraballo V.

Onda de choque normal

Relaciones de Rankine-Hugoniot

UNIDAD IV: Ondas de choque normal

Línea de Fanno y línea de Rayleigh

Introducción

Ondas de choque en toberas convergente-divergente

Las ondas de sonido se generan por variaciones de presión infinitamente pequeños que viajan a través de un

medio a la velocidad del sonido transportando energía mecánica.

Onda: es una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o

campo magnético, que se propaga a través del espacio transportando energía.

Ondas Mecánicas:

Ondas Electromagnéticas:

2

22

2

2

x

t,xc

t

t,x

…(4.1)

(x,t): propiedad del medio perturbado

c: velocidad de propagación

Transversal: Longitudinal:

1






Introducción


Una onda de choque es una distorsión donde ocurren cambios repentinos y finitos en las propiedades del fluido

tales como presión, temperatura, densidad y entropía.

Onda de Choque

Propiedades

x

p

T

s

x

px

Tx

sx

y

Ty

sy

py

Cambios

infinitesimales

Dinámica de gases

2






Introducción


Durante una onda de choque normal se puede considerar flujo estacionario sin transferencia de calor o

interacciones de trabajo, y sin cambios de energía potencial, de esta manera se tiene:

0

0

0

0

0

s

h

T

p

x

x

x

x

x

s

V

T

p

y

y

y

y

y

s

V

T

p

V.C.

Continuidad:

yyxx AVAV

yyxx VV …(4.2)

Cantidad de movimiento:

xyyx VVmApp …(4.3)

Cantidad de la energía:

2

Vh

2

Vh

2y

y

2x

x …(4.4)

0sss xy

Apx

Apy

Dinámica de gases

3

Sea: y que al combinarlas:






Introducción


Las relaciones de conservación de la masa (4.2) y de energía (4.4) pueden combinarse en una sola ecuación y graficarse en un

diagrama h-s. La curva resultante se denomina línea de Fanno y en ella se localizan los estados que tienen el mismo valor de

entalpía de estancamiento y flujo de masa por unidad de área.

GV 2

Vhh

2

0 2

2

02

Ghh

h

1v

ctteh0

ctteG

Aumento del flujo másico

Aumento de la entropía

ctteh0

h

s

Puntos de máxima entropía

1h

2h

2

V21

2

V22

ctteG

cttes

Dinámica de gases

4

Sea: que se puede escribir como






Introducción


De la misma manera al combinar las relaciones de conservación de la masa (4.2) y de cantidad de movimiento (4.3) en una sola

ecuación y graficarse en un diagrama h-s, se obtiene la curva denomina línea de Rayleigh.

2x

2yyx VV

A

mpp

p

1v

Aumento de la temperatura

Aumento de la entropía

ctteh0

h

s

ctteT

2x

2yyx VVVpp

ctteGVp 2 G2yy

2xx GVpGVp

ctteG

pó2

Punto de

máxima

temperaturaPunto de

máxima

entropía

Aumento de la presión

Punto límite

máxima entropía

Punto límite

máxima temperatura

Dinámica de gases

5






Introducción


Al superponer las líneas de Fanno y Rayleigh en el mismo diagrama h-s, los puntos de intersección entre las curvas del mismo flujo

másico por unidad de área representan los estados en que se cumplen las leyes de conservación antes y después de la onda de

choque normal.

ctteh0

KgKJh

KKg

KJsxs ys

x0p y0p

1M

1M

1M

Puntos límites de

máxima entropía

x

y

2

V2x

2

V2y

xh

yh

Dinámica de gases

6






Introducción


Estas relaciones se utilizan para evaluar las propiedades del flujo justo antes y justo después de la onda de choque y

están basadas en las ecuaciones fundamentales de conservación.

Se tiene que: 2222 kpMkRTMRT

pMc

RT

pV

Sustituyendo (B) y (C) en (A):

Combinando (4.2) y (4.3) se tiene : 2xx

2yyxyxyyx VVAVmVmVVmApp

2xx

2yyyx VVpp …(A)

2xx

2xx MkpV

2yy

2yy MkpV …(C)

…(B)

2xx

2yyyx MkpMkppp

2xxx

2yyy MkppMkpp

2y

2x

x

y

kM1

kM1

p

p

Relación de presiones:…(4.5)

Dinámica de gases

7






Introducción


El principio de la conservación de la energía requiere que la entalpía de estancamiento permanezca constante a través

del choque, es decir, h01=h02 y T01=T02, luego a partir de la ecuación (3.14) se puede escribir:

2

xxx0 M2

1k1TT

2

yyy0 M2

1k1TT

2

yy2xx M

2

1k1TM

2

1k1T

y0x0 TT

2y2

1

2x2

1

x

y

M1k1

M1k1

T

T

…(4.6)

Relación de temperaturas:

y

Por otra parte, de la ecuación de estado y de continuidad, podemos escribir sucesivamente:

x

y

xx

yy

xx

yy

xy

yx

x

y

kRT

kRT

pM

pM

pV

pV

p

p

T

T

2

x

y

xx

yy

2

x

y

kRT

kRT

pM

pM

T

T

2

xx

yy

x

y

pM

pM

T

T

…(4.7)

Dinámica de gases

8






Introducción


Combinando (4.5), (4.6) y (4.7)

2y2

1

2x2

1

2x

2y

2

2y

2x

M1k1

M1k1

M

M

kM1

kM1

0MkMMM2

1k1MM 2

y2x

2x

2y

2x

2y

…(4.8)

En esta ecuación una solución es que Mx=My y corresponde naturalmente a que no existe choque, pero la otra es:

1kkM

M1k1M

212

x

2x2

1

y

…(4.9)

x

y

2

x

y

2

x

y

T

T

M

M

p

p

2y

2x

kM1

kM1

2y2

1

2x2

1

M1k1

M1k1

Relación de los números de Mach:

Dinámica de gases

9






Introducción


dividiendo (4.3) entre (4.2):

xy

yy

y

xx

x VVV

p

V

p

y multiplicando por Vx+Vy, se tiene después de reagrupar:

y

x

y

y

y

y2y

x

y

x

x

x

x2x

V

VppV

V

VppV

aplicando nuevamente que: yyxx VV

x

x

x

y

y

y2y

y

y

y

x

x

x2x

V

VppV

V

VppV

x

y

y

y2y

y

x

x

x2x

ppV

ppV

…(D)

ahora de la (3.19) ecuación de Bernoulli para un gas perfecto se tiene:

…(E)

y

y2y

x

x2x

p

1k

k2V

p

1k

k2V

Dinámica de gases

10






Introducción


restando D menos E:

y

y

x

y

x

x

y

xp

1k

1kpp

1k

1k

p

p

multiplicando por y ordenando la expresión se obtiene: y

yp1k

x

y

x

y

x

y

p

p1k1k

p

p1k1k

…(4.10)

Relación de densidades:

finalmente para las presiones de estancamiento:

x0

x

x

y

y

y0

x0

y0

p

p

p

p

p

p

p

p

1k

k

2yM

2

1k1

2

y

2x

kM1

kM1

1k

k

2xM

2

1k1

1k

1

2x

1k

k

2x

2x

x0

y0

1kkM2

1k

M1k2

M1k

p

p

…(4.11)

Dinámica de gases

11






Introducción


Finalmente con la ecuación (3.24) se puede determinar a partir de la relación de presiones de estancamiento antes y

después del choque, el cambio de entropía :

R

ss

x0

y0

xy

ep

p …(4.12)

ctteh0

KgKJh

KKg

KJsxs ys

x0p y0p

x

y2

V2x

2

V2y

xx T,h

yy T,h

xpx

ypy

x0 y0

Dinámica de gases

12


0p

p

Caso aCaso b

Caso dCaso c

0

0

0

0

0

s

h

T

p

bp

sp

0p

p

G

G S

g

ef

h

Caso d

Caso e

Caso f

Caso g

Caso h





Introducción


Dinámica de gases

13

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