Unidad 7 – Funciones exponenciales y...
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Unidad 7 – Funciones exponenciales y logarítmicas PÁGINA 120 SOLUCIONES Propiedades de las potencias. ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 4 2 8 2 5 2 2 2 2 23 2 2 a) 2 b) 2 c) 3 2 2 2:3 − − − ⋅ ⋅ ⋅ = = = Propiedades de las raíces. Escribe como potencias las siguientes raíces. 1 2 1 3 1 4 3 3 3 4 2 1 3 3 a) 2 2 b) 2 2 c) 2 d) 4 4 2 − ⎛ ⎞ = = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las raíces. 3 6 12 3 6 2 1 a) 3 b) 2 5 10 c) 2 2 d) 2 2 2 = ⋅ = = =
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Unidad 7 – Funciones exponenciales y logarítmicas PÁGINA 120
SOLUCIONES
Propiedades de las potencias.
( ) ( )2 23 3 23 42 8 2
5 2 2
2 2 2 32 2a) 2 b) 2 c) 3
2 2 2 : 3
−
−−
⋅ ⋅⋅= = =
Propiedades de las raíces. Escribe como potencias las siguientes raíces.
121 3 14 33 3 4 21 3 3
a) 2 2 b) 2 2 c) 2 d)4 42
− ⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las raíces.
3 6 123
6 2 1a) 3 b) 2 5 10 c) 2 2 d)
22 2= ⋅ = = =
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SOLUCIONES
1.
a)
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 81
Creciente en
b)
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 1/81
Decreciente en
c)
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y -1/8 -1/4 -1/2 -1 -2 -4 -8 -16
Decreciente en
2.
a) ver ap. b) del ejercicio 1.
b)
c)
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SOLUCIONES
3. a) f(x)=3x+2
x 0 - ∞ ∞ 1 2 5 -1
f(x) 3 2 ∞ 5 11 245 2’33 b)g(x)=3x-5
x 0 -∞ ∞ 1 2 3 f(x) -4 -5 ∞ -2 4 22
3c) ( ) 5
2
x
h x ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
x 0 -∞ ∞ 1 2
f(x) 6 5 ∞ 6’5 29/4 d) i(x)=3x-6
x 0 -∞ ∞ 6 7 8 f(x) 1’37·10-3 0 ∞ 1 3 9
1) ( ) 3
4
x
e j x ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
x 0 -∞ ∞ 1 -1 -2
f(x) -2 ∞ -3 -(11/4) 1 13
f) h(x)=3x+7
x 0 -∞ ∞ 1 -7 -6
f(x) 2187 0 ∞ 6561 1 3
4. 2 7( ) 3 5xf x += −
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SOLUCIONES
5.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3
3
2a) log log 2 log 3 0 '301 0 '477 0 '176
3
1 1 1b) log 24 log 2 ·3 log 2 log 3 3log 2 log 3
2 2 21
3·0 '301 0 '477 0 '692
c) log(6000) log 2·3·1000 log 2 log 3 log 10
0 '301 0 '477 3 3'778
200d) log log 200 lo
3
⎛ ⎞ = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤= = + = + =⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
+ =
= = + + =
= + + =
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1g 3 log 2·10 log 3
2
1 1log 2 log 10 log 3 0 '301 2 ·0 '477 2 '0625
2 2
= − =
= + − = + − =
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SOLUCIONES
6.
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
33 3
12
4 4
35 5 5 5
a)log 27 log 3 3
1b)log 2 log 4
2
1c)log log 1 log 125 0 log 5 3
125
= =
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞ = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
7.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
5
3
4
log 10 1a) log 10 1'43
log 5 0 '7
log 34b) log 34 3'21
log 3
log 0 '00034c) log 0 '00034 5'76
log 4
= = =
= =
= = −
8.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
33 7 3
3
5
log 3a) log 7 ·log 3 log 7 · 1
log 7
ln( )b) ln 5 ·log ln 5 · 1
ln 5ee
= =
= =
9.
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
3
6
6
log 2 0 '301a) log 2 0 '631
log 3 0 '4771
10b) log 5 log log 10 log 2 1 0 '301 0 '699
2
log 10 1 1 1c) log 10 1'285
log 6 log 2·3 log 2 log 3 0 '7781
log 51 1 0 '699d) log 5 · 0 '449
2 log 6 2 0 '7781
= = =
⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
= = = = =+
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
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SOLUCIONES
10.
a)f(x)=log(x)
( ) ( )( )3
log) ( ) log
log 3
xb g x x= =
( )( )0'2
log) ( ) log ( )
log 0 '2
xc g x x= =
d) h(x)=-log(x)
11. a)f(x)=log(x-5)
• Dom(f)= (5,∞ ) • Im(f)= • f(6)=0 • f(x)→- ∞ cuando x→5 • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
b)g(x)=log(x)+5
• Dom(f)= (0,∞ ) • Im(f)= • f(1)=5 • f(x)→- ∞ cuando x→0 • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
c)log(x-1)+2
• Dom(f)= (1,∞ ) • Im(f)= • f(2)=2 • f(x)→- ∞ cuando x→1 • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
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SOLUCIONES
12.
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
5 5
1 13 3
2 2
52
a)2 1 log 2 log 1 0
log 3b)5 3 log 5 log 3 0 '683
log 5
log(7)c)3 7 log 3 log 7 1 1 1'77 2 '77
log(3)
2log
2 2 3d)3·2 2 2 log 2 log 0 '585
3 3 log 2
5 5e)5 2 1 log
2 2
x x
x x
x x
x x x
xx x
x
x
x x
x
− −
= → = → =
= → = → = =
= → = → − = → = + =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= → = → = → = = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛= → = →⎜ ⎟⎝ ⎠
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
52
132 1 1 2 1 1
2 23
log 1 0
log 3f)2 3 log 2 log 3 2 1
log 2
12 1 1 0 '631 2 1 1 1'262 0 '631
0 '6310 '262 1'631 6 '225
x
xx x x x
x
x
xx x x x x
x x
−+ − + −
⎞ = → =⎜ ⎟⎝ ⎠
= → = → + = →
−+ = → − = + → − = + →
= − → =
13.
( )( )
( )
2
23
4
a) log 2 10 100
b) log 2 3 9
10000c) log 3 4 3 10 10000 3333'33
3
x x
x x
x x x
= → = =
= → = =
= → = = → = =
( ) 3d) ln 3 20 '085x x e= → = =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 1
2
2
e) log 2 log 1 log ·2 1 log 2 1 2 10
5 5
f) log log 2 1 2 log 2 102 1 2 1
100100 200 100 199 100 0 '502
2 1 199
x x x x x x
x xx xx x
x xx x x x x
x
+ = → = → = → = →
= → = ±
⎛ ⎞− − = → = → = →⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= → = − → = → = =−
PÁGINA 128
SOLUCIONES
14.
15. es la función a representar. Construimos una tabla de
valores:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1500 1551 1603 1658 1714 1772 1833 1895 1959
PÁGINA 129
SOLUCIONES
16.
(t en horas) Al cabo de 10h, habrá: f(10)=1500·310=1500·59 049=88 573 500 bacterias
( ) 1500·3tf t =
PÁGINA 132
SOLUCIONES
17.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
18.
a)
x 0 1 -1 2 -2
y 1 4 1/4 16 1/16
b)
x 0 1 -1 2 -2
y -1 -4 -1/4 -16 -
1/16
c)
x 0 1 -1 2 -2
y 1 3/2 2/3 9/4 4/9
d)
x 0 1 -1 2 -2
y 1 1/4 4 1/16 16
19.
20. a)
b)
c)
d)
21. a) b) c) d)
Otras funciones exponenciales.
22. a)f(x)=2x-3
• Dom(f)= • Im(f)=(-3,∞ ) • f(0)=-2 • f(x)→-3 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
b) g(x)=3-2x
• Dom(f)= • Im(f)=(3,-∞ ) • f(0)=2 • f(x)→3 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→-∞ • f es decreciente
c)h(x)=2x+5
• Dom(f)= • Im(f)=(5,∞ ) • f(0)=6 • f(x)→5 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
d) i(x)=2-x+3
• Dom(f)= • Im(f)=(∞ ,3) • f(0)=4 • f(x)→ ∞ cuando x→-∞ • f(x) →3 cuando x→∞ • f es decreciente
23. 1
) ( ) 32xa f x = −
• Dom(f)= • Im(f)=(∞ ,-3) • f(0)= -2 • f(x)→ ∞ cuando x→-∞ • f(x) →-3 cuando x→∞ • f es decreciente
1) ( ) 4
2xb g x = +
• Dom(f)= • Im(f)=(∞ ,4) • f(0)= 5 • f(x)→ ∞ cuando x→-∞ • f(x) →4 cuando x→∞ • f es decreciente
1) ( ) 5
2 xc h x −= −
• Dom(f)= • Im(f)=(-5,∞ ) • f(0)= -4 • f(x)→ -5 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
1) ( ) 3
2xd i x = −
• Dom(f)= • Im(f)=(- ∞ ,3) • f(0)= 2 • f(x)→ -∞ cuando x→-∞ • f(x) →3 cuando x→∞ • f es creciente
24. a) f(x)=3x+2
• Dom(f)= • Im(f)=(0, ∞ ) • f(0)= 9 • f(x)→ 0 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
b) g(x)=2x-3
• Dom(f)= • Im(f)=(0, ∞ ) • f(3)= 1 • f(x)→ 0 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
c) h(x)=2x+4
• Dom(f)= • Im(f)=(0, ∞ ) • f(-4)= 1 • f(x)→ 0 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
d) i(x)=3x-5
• Dom(f)= • Im(f)=(0, ∞ ) • f(5)= 1 • f(x)→ 0 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
25.
3
1a) ( )
2 xf x −=
• Dom(f)= • Im(f)=(∞ ,0) • f(0)= 8 • f(x)→ ∞ cuando x→-∞ • f(x) →0 cuando x→∞ • f es decreciente
4
1) ( )
3xb g x +=
• Dom(f)= • Im(f)=(∞ ,0) • f(-4)= 1 • f(x)→ ∞ cuando x→-∞ • f(x) →0 cuando x→∞ • f es decreciente
2
1) ( )
2xc h x += −
• Dom(f)= • Im(f)=(∞ ,0) • f(-2)=- 1 • f(x)→- ∞ cuando x→-∞ • f(x) →0 cuando x→∞ • f es creciente
26.a)f(x)=3x+1 -4
• Dom(f)= • Im(f)=(-4, ∞ ) • f(0)=- 1 • f(x)→-4 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
b)g(x)=22x+3-5
• Dom(f)= • Im(f)=(-4, ∞ ) • f(0)=3 • f(x)→-5 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
2
1) ( ) 3
2 xc h x −= +
• Dom(f)= • Im(f)=(3, ∞ ) • f(2)=4 • f(x)→3 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
d) i(x)=3-2x+3
• Dom(f)= • Im(f)=(3, -∞ ) • f(0)=-5 • f(-3)=2 • f(x)→3 cuando x→-∞ • f(x) →-∞ cuando x→∞ • f es decreciente
27. f(x)= 2x-5, f(0)= -4, f es creciente→ e) g(x)=2x+1, g(0)= 2, f es creciente→ a) h(x)=2-x+3, h(0)= 4, f es decreciente, Im(f)= ( ),3∞ → c)
i(x)=-2-x+4, I(0)= 3, f es creciente→ f) j(x)=-2x+5, j(0)= 4, f es decreciente, Im(f)= ( )5,−∞ → b)
k(x)=-2x+1, k(0)= 0, f es decreciente→ d)
PÁGINA 133
SOLUCIONES
28. Logaritmo en base 10. 29. a) log(4)=log(2·2)=log(2)+log(2)=0’301+0’301=0’602 b) log(8)=log(2·2·2·2)= log(2)+log(2)+log(2)+log(2)=4·0’301=1’204 c) log(20)=log(2·2·2·2·2)= log(2)+log(2)+log(2)+log(2)+ log(2)=5·0’301=1’505 d) log(0’25)=log(1/4)=log(1)-log(4)=0-log(4)=- 0’602 e) log(0,0025)=log(1/400)=log(1)-log(400)=0-log(400)=-log(400)=-log(4·100)= -[log(4)+log(100)]=-0’602-log(100)=-0’602-2=-2’602 f)log(2000)=log(2·1000)=log(2)+log(1000)=0’301+3=3’301 30. a) log(6)=log(2·3)=log(2)+log(3)= 0’301+0’477=0’778 b) log(2/3)=log(2)-log(3)= 0’301-0’477=-0’176
c) 1 1log( 2) log(2) ·0 '301 0 '1505
2 2= = =
3
2
10d) log(5) log log(10) log(2) 1 0 '301 0 '699
2
e) log(24) log(3·8) log(3) log(8) 0 '477 log(2 ) 0 '477 3log(2)
0 '477 3log(2) 0 '477 3·0 '301 1'38
4f) log(0 '004) log log(4) log(1000) log(2 ) 3 2·
1000
⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
= = + = + = + =+ = + =
⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
0 '301 3
2 '398
− =
= −
31.
4 4
a) log(3000) log(3·1000) log(3) log(1000) 0 '477 3 3'477
b) log(0 '0006) log(6·10 ) log(6) log(10 ) log(2·3) 4·log(10)
log(2) log(3) 4 0 '301 0 '477 4 3'222
c) log(1400) log(2·7·100) log(2) log(7) log(100)
− −
= = + = + =
= = + = − == + − = + − = −
= = + +
( )
5 5
0 '301 0 '845 2
3'146
d) log(42000) log(2·3·7·1000) log(2) log(3) log(7) log(1000)
0 '301 0 '477 0 '845 3 4 '623
e) log(0 '00032) log(32·10 ) log(32) 5log(10) log(2 ) 5
5·log(2) 5 5·0 '301 5 3'495
1f) log 14
2
−
= + + ==
= = + + + == + + + =
= = − = − == − = − = −
=1 1
log(2·7) [log(2) log(7)] (0 '301 0 '845)2 2
0 '573
= + = + =
=
32. a)log(3)+log(5)-log(4)=log(3·4)-log(4)=log(12)-log(4)=log(12/4)=log(3)
b)2log(3)-log(4)=log(32)- log(4)=9
log4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1--2 2
1--2 2
2
1 13 4 2
3
14
1c)-2log(5)+log(15)- log(2)=log(5 )+log(15)+log 2
2
15 15 3log(5 ·15·2 ) log log log
5 · 2 25· 2 5· 2
1 1)3log(5) log(2) log(25) log(5 ) log 2 log 25
4 2
5 · 25log
2
d−
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛
=4 4
125·5 625log log
2 2
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
33.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
33
33 3
4 42 2
3 3
log log log( ) log( ) log 3log( )a)
1log( ) log( ) 3log( )
2
1b) log log log log log( ) log( )
2
13log( ) log( ) log( )
2
c) log log log 2log
x a x a b x a bb
x a b
a b a b c a b cc
a b c
a c a cx x xb b
⎛ ⎞= − = + − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + −
⎛ ⎞= − = + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠( ) ( )
( ) ( )
34log log
12log log 3log( )
4
a c b
x ac b
+ =
= + +
Logaritmo en base a. 34.
35.
( )
( )
33 3
52 2
32
2 2
5 5 5 5 5
34 4 4 43
5
a) log (27) log (3 ) 3
b) log (32) log 2 5
3c) log 8 log 2 1'5
2
8 1d) log (0 '008) log log log (1) log (125) 0 3 3
1000 125
1 1e) log log log (1) log (4 ) 0 3 3
64 4
f) log 0 '00
= =
= =
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )1
5 55 5
1 1 38 log 0 '008 log 0 '008 ( 3)
5 5 5
⎛ ⎞= = = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
132
3 3 3
26 6 6
323
4 42
4 4 4
1 1 3log 27 log 27 log 3 ·3a)
2 2 2
1b) log log 1 log 6 0 2 2
36
log 21 1 1 3 3c) log 8 log 2
2 2 log 4 2 2 4
1 1 1d) log log 1 log 2 0
2 2 2
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞ = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞ = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
443 3 3 3 34
333
9 9 93
81 1e) log log 81 log 3 log 3 log 3
43
1 34
4 4
log 31 3f) log log 1 log 3 0
27 log 9 2
⎛ ⎞ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − =
⎛ ⎞ = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
36.
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
525 25
5
525
5
425 25
39 9 2
3
25
log 51 1 1 1 1a) log 5 log 5
2 2 log 25 2 2 4
log (0 '008) 3 3b) log 0 '008
log (25) 2 2
1 1 3 3c) log 0 '008 log (0 '008)
2 2 2 4
log (3)1 1 1 1 1d) log 3 log 3
2 2 2 2 4log 3
125e) log
31
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = = =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
−= = = −
⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )
5 525 25
5 5
339 9 9
3 3
log 125 log 31251log 125 log 3125
log 25 2 log 2525
3 1 5 3 5 6 5 1
2 2 2 2 4 4 4
log 3log (27)27 1f) log log 27 log 3
log (9) 2 log 93
3 1 1 3 1 6 1 5·
2 2 2 2 4 4 4
⎡ ⎤⎛ ⎞ = − = − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦
−⎛ ⎞= − = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
−= − = − = =
37.
( )
( )
5
3
0'5
3
log(8)a) log (8) 1'29
log(5)
log(5)b) log (5) 1́ 47
log(3)
3log
3 4c) log 0 '41
4 log 0 '5
log(100) 2d) log 100 4 '17
log(3) 0 '48
= =
= =
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
= = =
38.
( ) ( )
( )
4
2
2
2
ln(1000)a) log(1000) 3
ln(10)
ln(5)b) log (5) 1'16
ln(4)
ln 2c) log 0 '87
ln(10) 2 '3
ln(32)d) log 32 5
ln(2)
ee
= =
= =
= = =
= =
39.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
33 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
22 2 2 2
2 2
a) log (24) 3log (2) log (8·3) log (2 ) log 8 log 3 log 8 1
b) log 12 log 81 log 27 log 12· 27 log 81
18 2log 324 log 81 log 18 log 81 log log
81 9
log 2 log 9 1 log 3 1 2log 3
c)3log 2 log 4
− = − = + − =
− + = − =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − = − = −
+ ( ) ( ) ( )4 2 4
1 6 4 1·log 2 3 log 4 log 2 3 2
2 2112
+ += + + = + + = =
=
PÁGINA 134
SOLUCIONES
Función logarítmica. 40. a)f(x)=log(x)
b) f(x)=-log(x)
c) h(x)=1+log(x)
x 0 1 10 100 1000 10000f(x) -∞ 0 1 2 3 4
x 0 1 10 100 1000 10000f(x) ∞ 0 -1 -2 -3 -4
x 0 1 10 100 1000 10000f(x) -∞ 1 2 3 4 5
d) i(x)=log(10x)
41. a)f(x)=log2(x)
• Dom(f)= ( )0,∞
• f(1)=0 • Im(f)= • ( )f x →−∞ cuando x→0
• ( )f x →∞ cuando x→∞
• f es creciente en ( )0,∞
b)g(x)=log2(x+1)
• Dom(f)= ( )1,− ∞
• f(0)=0 • Im(f)= • ( )f x →−∞ cuando x→-1
• ( )f x →∞ cuando x→∞
• f es creciente en ( )1,− ∞
c)h(x)=-log2(x)
• Dom(f)= ( )0,∞
• f(1)=0 • Im(f)= • ( )f x →∞ cuando x→0
• ( )f x →−∞ cuando x→∞
• f es decreciente en ( )0,∞
•
x 0 1 10 100 1000 10000f(x) -∞ 1 2 3 4 5
d)i(x)=log2(x-3)
• Dom(f)= ( )3,∞
• f(4)=0 • Im(f)= • ( )f x →−∞ cuando x→3
• ( )f x →∞ cuando x→∞
• f es creciente en ( )3,∞
42. a)f(x)=log0’5(x)
• Dom(f)= ( )0,∞
• f(1)=0 • Im(f)= • ( )f x →∞ cuando x→0
• ( )f x →−∞ cuando x→∞
• f es decreciente en ( )0,∞
b) log0’5(-x)
• Dom(f)= ( )0,−∞
• f(-1)=0 • Im(f)= • ( )f x →∞ cuando x→0
• ( )f x →−∞ cuando x→-∞
• f es decreciente en ( )0,−∞
c)h(x)=log0’5(x+2)
• Dom(f)= ( )2,− ∞
• f(-1)=0 • Im(f)= • ( )f x →∞ cuando x→-2
• ( )f x →−∞ cuando x→∞
• f es decreciente en ( )2,− ∞
d)i(x)=log0’5(x-5)
• Dom(f)= ( )5,∞
• f(6)=0 • Im(f)= • ( )f x →∞ cuando x→5
• ( )f x →−∞ cuando x→∞
• f es decreciente en ( )5,∞
43.
( )3) ( ) loga f x x=
• Dom(f)= ( )0,∞
• f(1)=0 • Im(f)= • ( )f x →−∞ cuando x→0
• ( )f x →∞ cuando x→∞
• f es creciente en ( )0,∞
b) g(x)=log2(1-x)
• Dom(f)= ( ),1−∞
• f(0)=0 • Im(f)= • ( )f x →∞ cuando x→-∞
• ( )f x →−∞ cuando x→1
• f es decreciente en ( ),1−∞
( )5) ( ) log 3c h x x= −
• Dom(f)= ( )3,∞
• f(4)=0 • Im(f)= • ( )f x →−∞ cuando x→3
• ( )f x →∞ cuando x→∞
• f es creciente en ( )3,∞
( )3) ( ) log 1d i x x= −
• Dom(f)= ( ),1−∞
• f(0)=0 • Im(f)= • ( )f x →−∞ cuando x→-∞
• ( )f x →−∞ cuando x→1
• f es decreciente en ( ),1−∞
44. Estas dos funciones difieren en sus dominios: • Dom(log(x2))= ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ ∞
• Dom(2log(x))= ( )0,∞
Así, la representación gráfica de la primera tiene dos ramas (en rosa) y la segunda sólo la de la derecha (azul discontinua): 45. El logaritmo de a toma valores desde 0 hasta ∞: a)f(x)=loge(x
2)=ln(x2) • ( )f x →∞ cuando x→-∞
• ( )f x →−∞ cuando x→0
• ( )f x →∞ cuando x→∞ Por tanto:
Dom(f)= ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ ∞
b)g(x)=log(x+3) x+3=0→x=-3 Dom(g)= ( )3,− ∞
c)h(x)=log3(2x+1) 2x+1=0→x=-1/2
Dom(h)=1
,2
⎛ ⎞− ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
d)i(x)=log0’5(1-3x) 1-3x=0 →x=1/3
Dom(i)=1
,3
⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠
Funciones exponenciales y logarítmicas. 46. a)3x=81 Tomando logaritmos en base 3:
( )43 3 3log (3 ) log (81) log 3 4x x= → = =
b)2x+1=1/2 Tomando logaritmos en base 2:
( ) ( ) ( )12 2 2 2 2
1 1log 2 log 1 log log 1 log 2 0 1 2
2 2x x x+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → + = = − = − → = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c)2x-1=4 Tomando logaritmos en base 2:
( ) ( )12 2log 2 log 4 1 2 3x x x− = → − = → =
d)2x=3 Tomando logaritmos en base 2:
x2 2 2log (2 )=log (3) log (3)x→ =
e)3x-1=4 Tomando logaritmos en base 3 :
13 3 3
3
log (3 ) log (4) 1 log (4)
1 log (4)
x xx
− = → − = →
= +
f)3-x=27 Tomando logaritmos en base 3:
( )3 3log (3 ) log 27 3 3x x x− = → − = → = −
47.
( ) ( )
1
3 3
)3 3 2 3 ·3 3 2 3 (3 1) 2
3 1 log 3 log 1 0
x x x x x
x x
a
x
+ − = → − = → − = →
= → = → =
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
1
2 3 3 3
2 25 5
12
)9 3 2 (3 ) 3 2 0
3
1 1 8 1 32 0
2 21 3 1 0
2 3 2 log 3 log 2 log 2
Solución no válida
)5 5 24 5 5 1 24 24·5 24 log (5 ) log 1
0
)2 2 1 2 2 1 1 2 1 log 2
x x x x
x
x
x x
x x x x x
x x x x
by
y y y
y x
y x
c
x
d
+
− − − − −
+ = → + − =
=
− ± + − ±+ − = → = = =
= → = → =
= − → = − → = − → = −
− = → − = → = → = →
=
− = → − = → = → ( ) ( )2log 1 0
0
x x
x
= → − = →
=
48.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1
3 3 3
1 3)2 2 8 2 2 1 8 2 1 8 2 8
2 2
16 162 log 2 log log 16 log 3 4 log 3
3 3
1)3 3 3 1 3 3 3 1 1 3 3 1 1
3
11 3 33 1 3 log 3 log log 3 lo
3 11 11
x x x x x
x x
x x x x x
x x x
a
x
b
x
− −
+ − −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = → + = → + = → = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞→ = → = → = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− + = → − + = → − + = →⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = → = → = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
( )
( ) ( )
3
3
1
2
1 1
2 2
2 1 2 1
g 11
1 log 11
5)5 5 6 5 6
55
5 6 36 20 6 16 6 46 6 5 0
2 2 2
105 5 5 1
21 5 1 0
)7 7 7 43 7 7 7 1 43 7 43 43 7 1
0
x x xx
x
x
x
x x x x x x
x
c
y
y y y yy
y x
y x
d
x
−
+ +
→
= −
+ = → + =
=
± − ± ±+ = → − + = → = = =
= = → = → =
= → = → =
− + = → − + = → = → = →
=
49. a)log(x)=3→x=103=1000 b)log3(x)=2→x=32=9 c)log2(x)=3/4→x=23/4 d)log2(x)=1→x=2
e)log2(x)=1/2→122 2x = =
f)ln(x)=3→x=e3 Solución no válida 50.
( ) ( )
( )
3
2 2 5 2 53
3 3 32
32
2 23
2 2 1 24
) log( 3) 3 3 10 1003
) log ( 1) 5 ( 1) 3 ( 1) 3 1 243
243 1 15'6 1 14 '6
) log 1 3 1 2 1 2 3
1) log ( ) 3 2 0 '125
81 1
) log 2 3 3 9
) log 1 4
a x x x
b x x x x
x
c x x x x
d x x x
e xx x
f x x x
−
−
−
− = → − = → =
+ = → + = → + = → + = →
= − = − =
− = → − = → − = → =
= − → = → = =
⎛ ⎞ = − → = → = =⎜ ⎟⎝ ⎠
= − → = →1 14 2
x= → =
51. ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4
3 32 2
4 4 4 3
) log log (3) 3
) log log (3) log (5) log log 3·5 log 15 15
2 2 1) log 2 log 4 log log log
4 4 2
1 1) log 3 log 3 log 0 log log 3 log 3
2 2
3 1log 3 log log 3 3
23
a x x
b x x x
c x x x
d x x
x x− −
= → =
= + → = = → =
⎛ ⎞− = → = → = =⎜ ⎟⎝ ⎠
+ + = → = − − =
⎛ ⎞= − → = → = =⎜ ⎟
⎝ ⎠ 2
1
27=
52.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
) log( ) 1 log(2 1) log( ) log(10) log(2 1)
10log log(2 1) 2 1 20 10 19 10
10 10 19
) log 2 log 3 log log 100 log 3 log(100 ) log 3
100 3 0 '03
2 3) log 2 3 log 3 1 log 2 log log 1
3
a x x x xx xx x x x x x
b x x xx x
xc x
− = − → − = − →
⎛ ⎞ = − → = − → = − → = → =⎜ ⎟⎝ ⎠
+ = → + = → = →
= → =
+⎛ ⎞+ − = − → =⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )0 log 2
2 3 10 2 3 10log log 2 3 15 2 12 6
3 2 3 2
x x x x x
− →
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = → + = → = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1) log 1 log 2 1 log 3 log log 10 log 3
2
1 10 1 10log log 3 1 10 2
2 3 2 3
233 3 10 20 7 23
7
xd x xx
x x x xx x
x x x x
+⎛ ⎞+ − − = − → = − →⎜ ⎟−⎝ ⎠+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = → + = − →⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ = − → = → =
53.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3
2 22
3 3
53.
4) log( ) log(3) log(4) log(3 ) log(4) 3 4
3
)2log( ) 3log(2) log(4) log log 2 log(4)
log log(4) 4 32 322 2
)1 log log 2 log 3 log 10 log log 2 log 3
2 2log 10 log 10
3 3
a x x x x
b x x
x x x x
c x x
x x x
−
+ = → = → = → =
− = → − = →
⎛ ⎞= → = → = → =⎜ ⎟
⎝ ⎠+ = − → + = − →
⎛ ⎞= → = →⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
12
2
2 130 15
1)2 log log 2 log 6 log 100 log log 2 log 6
2
100 2log 100 log log 2 log 6 log log
6
100 1300 300 90000
3
d x x
xx
x xx
= =
⎛ ⎞− = − → − = − →⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − → = →⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ = → = → = =⎜ ⎟⎝ ⎠
54.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2 3 3 33) log log log 2 log log 2 2 2 2a x x x x x+ = → = → = → = =
Comprobamos el resultado:
( ) ( )3
3log 2 log 2=
( ) ( ) ( ) ( )1) log 1 log log 2 log log 2
12 1 2 1
xb x xx
x x x xx
+⎛ ⎞+ − = → = →⎜ ⎟⎝ ⎠
+= → + = → =
Comprobamos el resultado: log(2)-log(1)=log(2)-0=log(2)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 22 2
1
2
) log log 5 log 3 log 2
log log 5 log 3 log 2
log 5 log 6 5 6 5 6 0
5 25 24 5 49 5 7
2 2 21
6
c x x
x x
x x x x x x
x
xx
+ + − = →
+ + = + →
+ = → + = → + − = →
− ± + − ± − ±= = = =
== −
Comprobamos las soluciones :
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
6log 1 log 6 log 3 0 log log 2
3⎛ ⎞+ − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
x2 es una solución no válida
( ) ( )( )
3 3 3 3 3
3 3
1) log 1 1 log (2) log 1 log (3) log (2)
24 13
log 3 1 log (2) 3 1 2 9( 1) 4 19 9
d x x
x x x x x
− + = → − + = →
− = → − = → − = → − = → =
Comprobamos la respuesta:
( )3 3 3 3 3
3
1 13 1 4 4 2log 1 1 log 1 log 1 log log 3
2 9 2 9 9 3
log (2)
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠=
55.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3 3 3 3
3 3
4 4 4 4 4
4 4
) log 2 log 2 2 2 2
) log 3 log 1 log 3 log log 3
3log 3 log 3 3 3 2 3 1'5
2) log 2 1 log 1 2 log 2 1 log 1 log 16
1 1log 2 1 log 2 1 32 16 1 31 17
16 16
1
a x x x x x
b x x x x
x x x x x x
c x x x x
x xx x x x x
x
+ = → + = → =
+ = + → + = + →
+ = → + = → = → = =
− = + − → − = + − →
+ +⎛ ⎞− = → − = → − = + → = →⎜ ⎟⎝ ⎠
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
731
2) log log 3 log 2 log 3 log 3 log
3
2 13 9 2 8 2 0 '25
3 4
xd x x x
xx x x x x
+⎛ ⎞+ = + − → = →⎜ ⎟⎝ ⎠
+= → = + → = → = =
PÁGINA 135
SOLUCIONES
56. a) Cada media hora se duplica el número de bacterias y así, tenemos la tabla: Horas 0 0’5 1 1’5 2 Nº de bacterias
250 250·2 250·22 250·23 250·24
Por tanto, la ecuación de crecimiento será:
0'5( ) 250·2t
f t = (t expresado en horas)
b) 3'5
70'5(3'5) 250·2 250·2 32000f = = =
57. Siguiendo la fórmula del interés:
b)
58. De fórmula de interés:
Sustituyendo:
59. De la fórmula del interés
Sustituyendo:
60. Como el producto radiactivo se degrada una cuarta parte cada año:
1( ) 50000·
4
t
f t ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, t expresado en años
Como nos piden el tiempo que tiene que pasar para que quede en su interior menos de medio kilogramo de producto radiactivo:
( )
( )
15 5
1 144 4
5
1 1 5·10 150000· 0 '5 10 log log 10
4 4 5·10 4
log 10 58'33
1 0 '6log4
t t t
t
−− −
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= → = = → = →⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−= = =
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Por tanto, para tiempos superiores a 8’33 años quedará menos de medio kilogramo de producto radiactivo. 61.a) t/min 0 20 40 60
1 hora80 100 120
2 horas
140 160 180 3
horasNº
bacterias
300 300·5 300·52 300·53 300·54 300·55 300·56 300·57 300·58
300·59
Por tanto, tendremos: Nº de bacterias= 300·59=585.937.500 bacterias
20) ( ) 300·5t
b f t = (t expresado en minutos) c)
20 20 20419263419263 300·5 5 1397 '54 5
300
t t t
= → = → = →
( ) ( )( )
205 5
log 1397 '54 3'14log 5 log 1397 '54 4 '49
20 log 5 0 '7
20·4 '49 89 '8
t t
t
⎛ ⎞= → = = = →⎜ ⎟
⎝ ⎠= =
Por tanto, a los 89’8 minutos tendremos 419 263 bacterias 62. Para que deje de emitir radiaciones f
(t)=0:( ) ( ) ( )
( )
20 20 20
20
205 5
( ) 10 ·5 1 0 10 ·5 1 5 10
log 10 20log 5 log 10 28'57
log 5 0 '7
t t t
t
f t
t t
− − − −
−− −
= − = → = → = →
−= → − = = → =
Por tanto, para un tiempo igual a 28’57, el producto dejará de emitir radiaciones.
1.a)f(x)=2x-3
• Dom(f)= • Im(f)=(-3,∞ ) • f(0)=-2 • f(x)→-3 cuando x→-∞ • f(x) →∞ cuando x→∞ • f es creciente
b)5
1( )
2xg x −=
• Dom(f)= • Im(f)=(0,∞ ) • f(0)=32 • f(x)→ ∞ cuando x→-∞ • f(x) →0 cuando x→∞ • f es decreciente
2.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
25 25
4 4 4 4 4
1) log 5 log 25
21 1
) log 0 '5 log log 1 log 2 0 log 42 2
a
b
= =
⎛ ⎞= = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
3.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
24 4
2
39 9 9 9
3
53
23
log (32)1 1 1 5 5) log 32 log 32
2 2 log 4 2 2 4
log (243)1 1 1) log log 1 log 243 0 log 243
2 2 log (9)243
log (3 )1 1 5 5
2 log (3 ) 2 2 4
a
b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ = − = − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
4.
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
5
6 6 6
3
log 3) log 3 0 '683
log 5
log 2 log 32) log log 2 log 3 0 '226
3 log 6 log 6
log 2) log 2 0 '315
log 3
a
b
c
= =
⎛ ⎞ = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
= =
5.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
2
2
34
) log 18 log 2·9 log 2 log 3 log 2 2log 3 0 '301 2·0 '477
1'255
3) log log 3 log 4 log 3 log 2 log 3 2log 2
4
0 '477 2·0 '301 0 '125
1 1 1) log 24 log 24 log 3·2 log 3 3log 2
4 4 41
0 '477 3·0 '301 0 '3454
6) log
54
a
b
c
d
= = + = + = + =
=
⎛ ⎞ = − = − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
= − = −
= = = + =⎡ ⎤⎣ ⎦
= + =
⎛
⎝( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( )
31log 6 log 54 log 2·3 log 2·3
2
1log 2 log 3 log 2 3log 3
21 1
0 '301 0 '477 0 '301 3·0 '477 0 '778 1'732 0 '0882 2
⎞ = − = − =⎜ ⎟⎠
= + − + =⎡ ⎤⎣ ⎦
= + − + = − = −
6.
( )
( ) ( ) ( )
12
3
12
2 4 2
1 1) log 3
2 3
1) log 1 log 2 log 1 1 2 1 2
2
a x x
b x x x x
−= − → = =
− = → − = → − = = = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
) log log 3 1 log 5 log log 3 log 5 1
5log ( 3) log 5 log 10 log ( 3) log
10
1 1 1 3 9 2 3 11( 3) 3 3 0
2 2 2 2 2
c x x x x
x x x x
x x x x x x x
+ + + = → + + = − →
⎛ ⎞+ = − → + = →⎜ ⎟⎝ ⎠
− ± + − ±+ = → + = → + − = → = =
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
) log 2 log 3 log 3 log 2
3 3 3log log 4 4
4
d x x
xx x
+ = → − = →
⎛ ⎞ = → = → =⎜ ⎟⎝ ⎠
7.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3 3
15 5
1 1)3 log 3 log log 1 log 9 0 2 2
9 9
2
)5 5 6 5 1 5 6 5 1 log 5 log 1 0
x x
x x x x x
a x
x
b x+
⎛ ⎞= → = → = − = − = − →⎜ ⎟⎝ ⎠
→ =
+ = → + = → = → = → =
8.
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 1
22
2
1 5 5 5
2
43 43)7 7 7 7 7 7 1
7 71 43 43 43
7 6 7 7 1 07 7 7 7
)25 5 6 0 5 5 6 0 5 5 6 0
5
1 1 24 1 56 0
2 2log 3
3 5 3 log 5 log 3 log 3 0 '683log 5
2.Solución no
x x x x
x x x
xx x x x x
x
x x
a
x
b
y
y y y
y x
y
− + −+ − = → + − = →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞→ + = → = → = → =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− − = → − − = → − − =
=
± + ±− − = → = = =
= → = → = → = = =
= − válida
9. a)f(x)=log(x+3)
• Dom(f)= ( )3,− ∞
• Im(f)= • ( )f x →−∞ cuando x→-3
• ( )f x →∞ cuando x→∞
• f es creciente en ( )3,− ∞
( ) ( )) ( ) log lneb g x x x= − = −
• Dom(f)= ( )0,∞
• Im(f)= • ( )f x →−∞ cuando x→0
• ( )f x →∞ cuando x→∞
• f es decreciente en ( )0,∞
10. De la fórmula de interés compuesto:
Por tanto:
PÁGINA 136
Llamamos “x” al total de las naranjas: Primera pérdida:
Segunda pérdida
Tercera pérdida
Luego igualando y despejando:
es el total de naranjas que robó
SOLUCIONES
