unidad 4 ecuaciones diferenciales

1 Unidad 4: SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

INSTITUTO TECNOLOGICO De Lázaro Cárdenas

ECUACIONES DIFERENCIALES

INVESTIGACION 4 SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

NOMBRE DEL ALUMNO: APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)

Garcia

Hurtado

Santos Uriel

SEMESTRE: ENERO-JUNIO DE 2014 GRUPO: 42S SALON: M2 FECHA DE ENTREGA: 4 de junio del 2014


Índice

4.1 Teoría preliminar……………………………………………………………..3

4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales……………………..3

4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos…...6

4.1.3 Sol. gral. y sol. Particular de Sistemas de E.D.L……………………8

4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL……………………………9

4.2.1 Método de los operadores………………………………………………10

4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace………………………………….12

4.3 Aplicaciones………………………………………………………………….14


REPASO DE MATERIAL

En esta unidad se usará la notación matricial y sus propiedades se usarán con

mucha frecuencia a lo largo del mismo. Es indispensable que repase un texto

de álgebra lineal si no está familiarizado con estos conceptos

Recuerde que en las unidades pasadas se ilustró cómo resolver sistemas de n ecuaciones

diferenciales lineales con n incógnitas de la forma

Donde las eran polinomios de diferentes grados en el operador diferencial D.

Este capítulo se dedica al estudio de sistemas de ED de primer orden que son

casos especiales de sistemas que tienen la forma normal

Un sistema tal como (2) de n ecuaciones diferenciales de primer orden se llama

sistema de primer orden

4.1 Teoría preliminar

4.1.1 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales


SISTEMAS LINEALES Cuando cada una de las funciones en (2)

es lineal en las variables dependientes se obtiene la forma

normalde un sistema de ecuaciones lineales de primer orden.

Nos referimos a un sistema de la forma dada en (3) simplemente como un

sistema lineal. Se supone que los coeficientes así como las funciones son

continuas en un intervalo común I. Cuando se dice que

el sistema lineal (3) es homogéneo; de otro modo es no homogéneo.

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Si denotan

matrices respectivas

Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) se

pueden escribir como

Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es entonces


EJEMPLO 1 Sistema escrito en notación matricial

Entonces la forma matricial del sistema homogéneo

Entonces la forma matricial del sistema homogéneo


Comenzaremos estudiando el sistema homogéneo La

linealidad del operador garantiza el principio de superposición, que asegura

que toda combinación lineal con coeficientes constantes de soluciones del

sistema homogéneo es también solución del mismo:

Por consiguiente, el conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo es

un subespacio vectorial del espacio de funciones vectoriales regulares x(t)

definidas en el intervalo considerado I, donde la independencia lineal de un

sistema de vectores xi se define, en la forma habitual, como la imposibilidad de

hallar más combinación lineal que se anule en todo el intervalo que la que tiene

coeficientes nulos. Si el sistema es linealmente dependiente,

existe solución no trivial del sistema lineal homogéneo

Siendo la fila número i del vector columna En consecuencia, el

determinante del sistema, que es el wronskiano del conjunto de vectores,

4.1.2 Sistemas de Ecuaciones diferenciales lineales homogéneos


se anula en todo el intervalo I. En general, el recíproco de este resultado no es

cierto, pero si los vectores son solución del sistema homogéneo, y el

wronskiano se anula en un cierto punto del intervalo, W (𝑡0)=0, el sistema lineal

homogéneo

tiene una solución no trivial para los con la que podemos construir para

todo el vector Por el principio de superposición este

vector es solución del sistema diferencial homogéneo y satisface condiciones

iniciales nulas en t=𝑡0 por la forma en que se han elegido los El teorema de

existencia y unicidad asegura entonces que el vector x tiene que ser el

elemento nulo, que satisface las mismas ecuaciones y condiciones, por lo que

y los vectores son linealmente dependientes, lo que a su vez implica que el

wronskiano se anula en todos los puntos del intervalo. Vemos, por tanto, que

para un conjunto de n soluciones del sistema de orden n las condiciones de

dependencia lineal, anulación del wronskiano en un punto y anulación del

mismo en todo el intervalo son completamente equivalentes, como ya

sucediera con la ecuación lineal homogénea de orden n.


Que el espacio de soluciones tiene al menos dimensión n se sigue del teorema

de existencia y unicidad que garantiza la existencia de las n soluciones

linealmente independientes correspondientes a las condiciones iniciales

O cualesquiera otras que hagan que el wronskiano en 𝑡0 no sea nulo. Existen,

por tanto, sistemas fundamentales de soluciones, que están formados por

definición por n soluciones linealmente independientes. Que un sistema

fundamental es una base del espacio de soluciones, que tiene,

por tanto, dimensión n, se sigue del hecho de que toda solución x de la

homogénea, Lx = 0, puede expresarse como combinación lineal de las del

sistema fundamental con coeficientes constantes que pueden calcularse

resolviendo en un punto 𝑡0 el sistema.

Que tiene solución única porque su determinante, que es el wronskiano del

sistema fundamental en 𝑡0 es distinto de cero. La unicidad de la solución

correspondiente a condiciones iniciales en 𝑡0 garantiza que

Con los coeficientes elegidos en 𝑡0 Por tanto, la solución general del sistema

homogéneo que incluye todas las soluciones es una combinación con

coeficientes constantes arbitrarios de vectores de un conjunto fundamental X=

4.1.3 Sol. gral. y sol. Particular de Sistemas de E.D.L.


Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual

que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal,

también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el

método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un

sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como,

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de

ecuaciones diferenciales lineales será,

4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL


Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o

más ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes

(las funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El

método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones

diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de

eliminación de variables. Veremos que la operación análoga de multiplicar una

ecuación algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta

combinación de derivadas.

ELIMINACIÓN SISTEMÁTICA

La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales

lineales se facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de

operador diferencial.

Donde las son constantes, puede escribirse como

Se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores

conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema

En términos del operador D, primero se escriben los términos con variables

dependientes en un miembro y se agrupan las mismas variables.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de

funciones suficientemente derivables etcétera, que

satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común I.

4.2.1 Método de los operadores


MÉTODO DE SOLUCIÓN

Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden

Operando con D la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se

multiplica por – 3 y después se suma para eliminar y del sistema, se obtiene

raíces de la ecuación auxiliar de la última ED son

se obtiene

Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la

segunda con D y después restando, se obtiene la ecuación diferencial para

Inmediatamente se tiene que:

Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de

porque el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una

solución que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que

sustituyendo x(t) y y(t) en la primera ecuación del sistema original (1), después

de simplificar, se obtiene

Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos

tener Estas dos ecuaciones nos permiten

escribir 𝑐3 como un múltiplo de 𝑐1 y 𝑐4 como un múltiplo de 𝑐2:

Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser

Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar

que se cumple la misma relación (4) entre las constantes.


Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes

reales donde son funciones dadas e

es la función vectorial incógnita. Supongamos Además

las condiciones iniciales

Donde números reales para sea

Entonces, tomando la Transformada de Laplace en (2.15) y teniendo en cuenta

(2.16) obtenemos que

De donde, si denota la matriz identidad,

Y de aquí

Una vez calculada de este modo obtendremos y tomando la Transformada inversa. Por ejemplo consideremos el sistema

4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace


Junto con las condiciones iniciales

Entonces la solución del problema viene dada por


Circuitos eléctricos con varias ramas

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales también aparecen cuando

consideramos circuitos eléctricos con varias ramas, como muestra la siguiente

figura:

En este caso debemos aplicar las leyes de Kirchoff para obtener las

ecuaciones. La primera de ellas afirma que en cada nudo o punto de

ramificación del circuito, la suma de las intensidades entrantes es igual a la

suma de las intensidades salientes. En el circuito de la figura esto nos

proporciona la ecuación

En segundo lugar, consideramos los dos subcircuitos que hay y fijamos un

sentido de la corriente, como muestra la siguiente figura

4.3 Aplicaciones.


Tomamos el primer subcircuito por separado, que es

Para este subcircuito tenemos la ecuación

Donde

Donde q1 es la carga que da lugar a la intensidad I1,

Teniendo en cuenta que las intensidades I1 e I2 llevan el sentido que nosotros

hemos prefijado, y tomando la derivada primera, tenemos la ecuación

Tomamos ahora el segundo subcircuito que muestra la figura


Cuya ecuación será

Teniendo en cuenta que ahora I2 va en sentido contrario a prefijado por

nosotros al principio y de ahí el signo negativo. Procediendo como antes

obtenemos la ecuación

y combinando las tres ecuaciones tenemos el sistema

Eliminando I1 tenemos las dos ecuaciones

e introduciendo la variable , el sistema queda

Despejamos y tenemos el sistema en la forma


que en forma matricial es

Donde

Otros circuitos similares serán estudiados en los problemas de este tema.

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