Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES LINEALES

REPASO DE SERIES DE POTENCIAS

Serie de potencias Una serie de potencias es aquella que tiene la

forma:

en donde x es una variable y los cn son constantes llamadas coeficientes de la serie.

De una manera más general, la serie de la forma:

se llama serie de potencias en (x-a), o serie de potencias centrada en a.

33

2210

0

xcxcxccxcn

nn

33

2210

0

)()()()( axcaxcaxccaxc n

nn

Convergencia

Una serie de potencias es convergente en un valor especificado de x si su sucesión de sumas parciales {SN(x)} converge, es decir, existe

Si el límite no existe en x, entonces se dice que la serie es divergente.

n

nn axc )(

0

.)()(

0n

nnN axC

N

LimxS

N

Lim

Ejemplo

La serie:

es una serie de potencias con cn=1 para toda n.Esta serie es una serie geométrica que converge si -1<x<1.El valor de convergencia de la serie es:

32

0

1 xxxxn

n

xxxxx

n

n

1

11 32

0

Intervalo de convergencia

Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia. El intervalo de convergencia es el conjunto de números reales x para los que converge la serie.

Radio de convergencia

Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia R. Si R>0, entonces la serie de potencias converge para

Ix-aI<R y diverge para Ix-aI>R.

Si la serie converge sólo en su centro a, entonces R=0. Si la serie converge para toda x, entonces se escribe

n

nn axc )(

0

.R

Convergencia absoluta

Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente. En otras palabras, si x es un número en el intervalo de convergencia y no es un extremo del intervalo, entonces la serie de valores absolutos converge.

0n

nn axC )(

Prueba de la razón

La convergencia de una serie de potencias suele determinarse mediante el criterio de la razón. Suponga que para toda n y que

Si L<1, la serie converge absolutamente.Si L>1, la serie diverge ySi L=1, el criterio no es concluyente.

0nC

LC

C

n

Limax

axC

axC

n

Lim

n

nn

n

nn

1

11

)(

)(

Una serie de potencias define una función

Una serie de potencias define una función cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Si el radio de convergencia es R>0, entonces, f es continua, diferenciablee integrable en el intervalo (a-R,a+R). Además f´(x) y se encuentran mediante diferenciación e integración término a término.

0n

nn axCxf )()(

dxxf )(

Una serie de potencias define una función…

La convergencia en un extremo se podría perder por diferenciación o ganar por integración.

Si es una serie de potencias en x,

entonces las primeras dos derivadas son:

Obsérvese que omitiendo los términos que son cero

0n

nn xCy

0

2

0

1 1n

nn

n

nn xnnCyynxCy )(

2

2

1

1 1n

nn

n

nn xnnCyynxCy .)(

Propiedad de identidad

Si R>0, para los números x

en el intervalo de convergencia, entonces Cn=0 para toda n.

,)( 00

n

nn axC

Analítica en un punto

Una función f es analítica en un punto a si se puede representar mediante una serie de potencias en x-a con un radio positivo o infinito de convergencia.

Series de Taylor y de Maclaurin

Supongamos que f es cualquier función representable mediante una serie de potencias:

Es posible verificar a partir de ello, que:

44

33

2210 )()()()()( axcaxcaxcaxccxf

34

2321 )(4)(3)(2)´( axcaxcaxccxf

2432 )(4*3)(3*22)´´( axcaxccxf

2543 )(5*4*3)(4*3*23*2)´´´( axcaxccxf

Series de Taylor y de Maclaurin…

Si continuamos derivando y evaluando para x=a, podemos llegar a lo siguiente:

Al despejar el valor de cn, el resultado es:

Esta fórmula es válida aún para n=0 si adoptamos las convenciones de que 0!=1 y que f(0)=f. De esta manera demostramos el siguiente teorema:

nn cnaf !)()(

!

)()(

n

afc

n

n

Series de Taylor y de Maclaurin…

Si f tiene una representación (desarrollo) en forma de serie de potencias en a, esto es:

los coeficientes están expresados por la fórmula:

n

nn axcxf )()(

0

!

)()(

n

afc

n

n

Serie de Taylor

n

n

n

axn

afxf )(

!

)()(

0

)(

32 )(!3

)´´´()(

!2

)´´()(

!1

)´()( ax

afax

afax

afaf

Serie de Maclaurin

En el caso especial de que a=0, la serie de Taylor se transforma en:

Esta serie recibe el nombre de serie de Maclaurin.

32

0

)(

)(!3

)0´´´()(

!2

)0´´()(

!1

)0´()0()(

!

)0()( x

fx

fx

ffx

n

fxf n

n

n

Problemas:

Obtenga la serie de Maclaurin para cada una de las siguientes funciones:

1. f(x) = ex

2. f(x) = Sen(x)

3. f(x) = Cos(x)

Nota: Son analíticas en x=0.

!!!

!!!

!!!

6421

753

3211

642

753

32

xxxCosx

xxxxSenx

xxxe x

Aritmética de series de potencias

Las series de potencias se combinan mediante operaciones de suma, multiplicación y división. Los procedimientos para las series de potencias son similares a los que se usan para sumar, multiplicar o dividir dos polinomios, es decir, se suman los coeficientes de potencias iguales de x, se usa la ley distributiva y se reúnen términos semejantes.

Problema

Escriba como una suma de términos la multiplicación de ex y Senx.

Recuerde que:

!!!

!!!

753

3211

753

32

xxxxSenx

xxxex

Cambio del índice de suma

Es común simplificar la suma de dos o más series de potencias expresada en una notación de suma (sigma), en una expresión con una sola sumatoria. Su escritura puede requerir una reindización, es decir el cambio del índice de la suma.

Problema

Reescriba la expresión dada como una sola serie de potencias en cuyo término general aparezca xk.

0

1

1

1 62n

nn

n

nn xCxnC