Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
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Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
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Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida para t > 0; a la expresión: se le llama Transformada de Laplace de la función f(t), si la integral existe. Ejemplo 1. - PowerPoint PPT Presentation
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Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
Transformada de Laplace.
Sea f(t) una función definida para t>0; a la expresión:
se le llama Transformada de Laplace de la función f(t), si la integral existe.
0
dttfetf st )()}({L
Ejemplo 1
Sea f(t) = cObtenga la transformada de Laplace para dicha función.
para s>0
s
e st
cb
Limdtec
b
Limcdtec
b
bstst
0
00
}{L
s
c
sc
b
Lim
s
ec
b
Lim sb
11
Ejemplo 2
Obtenga la transformada de Laplace para la función f(t)=eat.
para s>a
btastasatstat dte
b
Limdtedteee
000
)()(}{L
astas
b
Limeas
b
1
01
0
)(
Ejemplo 3 Obtenga la transformada de Laplace para
la función f(t)=tn.
200
0
0
110
1
sdte
sdte
s
st
tdtet ststst
ste
}{L
300
0
0
22 220
22
sdtte
sdte
s
tst
dttet ststst
set
{t}L
L }{
Ejemplo 3…
para n=1,2,3,…1
n
n
s
nt
!}{L
40
2
0
2
0
0
33 330
33
sdtet
sdte
s
tst
dttet ststst
set !
}{
}t { 2L
L
Ejemplo 4
Obtenga la transformada de Laplace para la función f(t)=Cos(bt).
0
0
0
dtebtSens
bst
dtbtCosebtCos stst
s
ebtCos)()()}({
)(L
)}({
)()()(
btCos
stdtebtCoss
bst
s
b
s s
ebtSen
L
0
0
10
Ejemplo 4…
Obtenga la transformada de Laplace para la función f(t)=Cos(bt)…
22
2
2
2
2
11
1
bs
sbtCos
ss
bbtCos
btCoss
b
sbtCos
)}({
)}({
)}({)}({
L
L
LL
L es una transformación lineal
Para una combinación lineal de funciones se puede escribir:
Siempre que ambas integrales converjan para s>c. Por consiguiente se deduce que:
000
dttgedttfedttgtfe ststst )()()]()([
)}({)}({)}()({ tgtftgtf LLL
Problemas
Obtenga la Transformada de Laplace para las funciones:
f(t) = 1+5t2
f(t) = 4e-2t + 10 Cos(2t)
Orden exponencial
Se dice que f es de orden exponencial c si existen constantes c, M>0 y T>0 tal que |f(t)|<Mect para toda t>T.
NOTA: Esta condición significa que f(t) está acotada por exponenciales; es decir:
- Mect < f(t) < Mect
Condiciones suficientes para la existencia
Si f es una función continua por partes en [0,+Inf) y de orden exponencial c, entonces existe L {f(t)} para s>c
Comportamiento de F(s) cuando
Si f es continua por partes en (0,+Inf) y de orden exponencial y F(S) = L {f(t)}, entonces:
s
.)( 0
SFs
Lim
Problema
Determine la transformada de Laplace para la función:
2
21
10
0
1
t
t
tt
tf
;
;
;
)(
Transformada inversa
Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f(t), es decir: L {f(t)}=F(s), se dice entonces que f(t) es la transformada de Laplace inversa de F(s) y se escribe: f(t) = L -1{F(s)}.
Algunas transformadas inversas
22
1
22
1
22
1
22
11
1
11
7
65
41
3
21
bs
sbtCosh
bs
bbtSenh
bs
sbtCos
bs
bbtSen
ase
s
nt
s
cc
at
n
n
L
L L
L L
L L
)(.
)(.)(.
)(..
!..
Problemas
Evalúe:
))((..
..
..
426
2
1115
1
14
4
623
62
11
21
21
21
21
21
31
ss
s
sss
ss
s
s
s
s
L L
L L
L L
Transformada de una derivada
)()()(
)()]()([
)()(
)()()()´´(
)()(
)()(
)()()()(
00
00
0
0
0
2
00
0
00
0
fsfsFs
ffssFs
tfsf
dttfestfedxxfexf
fssF
tfsf
dttfestfedxxfexf
ststst
ststst
L
L
L
L
Transformada de una derivada…
De igual manera se puede demostrar que:
Si f, f´, f´´,…, f(n-1) son continuas en [0,+Inf) y son de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0,+Inf), entonces:
)()()()()( 00023 ffsfssFsxf L
).()()()()()( )()( 0000 1321 nnnnnn ffsfsfssFsxf L
Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace
depende de y de las n-1
derivadas de y(t) evaluadas en t=0.
Esta propiedad hace que la Transformada de Laplace sea adecuada para resolver problemas lineales de valores iniciales en los que la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes.
n
n
dt
yd L )()( tysY L
Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace…
En el problema:
Donde las ai, i=0,1,2,…,n y y0, y1,.., yn-1 son constantes, por la propiedad de linealidad de la Transformada de Laplace tenemos:
11
10
01
1
1
000
nn
n
n
nn
n
n
yyyyyy
tgyadt
yda
dt
yda
)(;;)(;)(
)(
)(
)(
)(
tgyadt
yda
dt
yda
tgyadt
yda
dt
yda
n
n
nn
n
n
n
n
nn
n
n
L L L L
L L
01
1
1
01
1
1
Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace…
De la Transformada de una derivada:
la ecuación:
se transforma en:
donde:
)()()()()( )( 0000 1321
nnnnn
n
n
ffsfsfssFsdt
yd L
)(tgyadt
yda
dt
yda
n
n
nn
n
n L L L L
01
1
1
)()()]()()([
)]()()([)(
)(
sGsYayyssYsa
yyssYsannn
n
nnnn
0221
1
11
00
00
)()()()( sGtgysYty L L
Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace…
La Transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes se convierte en una ecuación algebraica en Y(s).
Si se resuelve la ecuación transformada
para Y(s), primero se obtiene:
)()()]()()([
)]()()([)(
)(
sGsYayyssYsa
yyssYsannn
n
nnnn
0221
1
11
00
00
)()()()( sGsQsYsP
Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace…
Luego, a partir de:se escribe
Donde: , es un polinomio en s de orden menor o igual a n-1 que consiste en los diferentes productos de los coeficientes ai; i=1, 2,…, n y las condiciones iniciales establecidas y0, y1,…, yn-1 y G(s) es la Transformada de g(t).
)()()()( sGsQsYsP
)(
)(
)(
)()(
sP
sG
sP
sQsY
01
1 asasasP nn
nn
)( )(sQ
Solución de Ecuaciones Diferenciales lineales mediante la Transformada de Laplace…
Normalmente se escriben los dos términos de la ecuación sobre el
mínimo común denominador y luego se descompone la expresión en dos o más fracciones parciales. Por último, la solución y(t) del problema de valores iniciales original es , donde la transformada inversa se hace término a término.
)(
)(
)(
)()(
sP
sG
sP
sQsY
)(sYy(t) L 1
Proceso de solución de ED mediante la tranformada
Ecuación diferenciallineal con coeficientes
constantes ycondiciones iniciales
Solución de laEcuación diferencial
y(t) = L -1 {Y(s)}
Ecuación algebraicapara Y(s) = L {Y(t)}
Solución de laEcuación algebraica
Y(s)
L {y(t)}
L -1 {Y(s)}
Problema
Utilice la Transformada de Laplace para resolver el problema con valores iniciales siguiente:
206 2 )(yeydt
dy t
