Unidad 3 Apuntes_pla_ Io1

III DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

III. DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. 1

El propósito de un estudio de programación lineal es ayudar a guiar la decisión final de la administración con un panorama de las consecuencias posibles de seguir varias opciones administrativas bajo una variedad de suposiciones acerca de las condiciones futuras.

La mayoría de las percepciones importantes se logran al realizar un análisis después de hallar una solución óptima para la versión original del modelo básico.

Este análisis suele recibir el nombre de análisis de sensibilidad porque involucra estudiar algunas preguntas de qué ocurre con la solución óptima si se hacen diferentes supuestos acerca de condiciones futuras.

3.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DUAL

Asociado con cada modelo de programación lineal existe otro modelo llamado Dual, al modelo original se le conoce con el nombre de Primal. Ambos modelos tienen propiedades muy relacionadas de modo que la solución óptima de cualquiera de los dos, revela cierta información concerniente a la solución óptima del otro.

Las estructuras duales permiten entre otras cosas: 1. Resolver modelos lineales que tienen más restricciones que variables.

2. Hacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los problemas de programación

lineal.

3. Generar métodos como el dual-simplex para el análisis de sensibilidad de los problemas de programación lineal.

3.2 OBTENCIÓN DEL MODELO DUAL A PARTIR DEL MODELO PRIMAL

El Modelo Primal en forma canónica tiene la siguiente estructura Dual:

Modelo Primal en Forma canónica

Sujeta a:

Para toda i=1,2,……..m j=1,2,……..n

Modelo Dual Asociado

Ejemplo

Obtener el modelo dual asociado del siguiente modelo primal en forma canónica:

Maximizar Z = 3X1 + 5X2 S.A. X1 ≤ 4 2X2 ≤ 12 3X1+ 2X2 ≤ 18

«2013»…….IPN-UPIICSA»María Virginia Guzmán Ibarra 190


X1≥0, X2≥0

Primer paso:

Verificar que el modelo cumple con las características de la forma canónica, es decir: i) La función objetivo es de Maximizar

ii) Todas las restricciones son del tipo ≤

iii) Todas las variables de decisión son no negativas

Sí no es así, aplicar las reglas de equivalencia correspondientes hasta obtener la forma canónica. Para el ejemplo que nos ocupa, si se cumplen todas y cada una de dichas características.

Segundo paso

El número de variables del modelo dual corresponderá al número de restricciones del modelo primal. Para nuestro ejemplo serán tres variables duales porque el modelo primal en forma canónica tiene tres restricciones.

Por lo tanto: Y1, Y2, y Y3 son las variables duales.

X1 ≤ 4 ................. Y1 2X2 ≤ 12 ............... Y2 3X1+ 2X2 ≤ 18 ................ Y3

Tercer paso:

La función objetivo dual se formula obteniendo (la transpuesta del vector de disponibilidad de recursos), es decir

Por lo tanto

Por lo que la función objetivo del modelo dual es:

Minimizar Y0 = 4Y1 + 12Y2 + 18Y3

Cuarto paso:

Las restricciones duales se formulan obteniendo (la transpuesta del vector de costos o utilidades) y (La transpuesta de la matriz de coeficientes tecnológicos).

Por lo tanto



Por lo tanto

Las restricciones duales son:

Quinto paso:

Para identificar la naturaleza de las variables duales, debemos observar el tipo de restricciones que tenemos en el modelo primal en forma canónica, para el ejemplo que nos ocupa, todas las restricciones en el modelo primal son del tipo ≤ por lo que las variables duales serán todas del tipo ≥0, es decir: Y1≥0

Y2≥0

Y3≥0

En resumen el modelo dual asociado al modelo primal en forma canónica es el siguiente:

Minimizar Y0 = 4Y1 + 12Y2 + 18Y3

Sujeta a: Y1 + 3Y3 ≥ 3 Y2 + 2Y3 ≥ 5 Y1≥ 0 ;Y2≥ 0; Y3≥ 0

De la formulación Dual asociada a un modelo primal en forma canónica, se deducen las siguientes reglas:

1. A cada restricción del modelo primal le corresponde una variable en el modelo dual.

2. Los elementos (coeficientes) del lado derecho de las restricciones (vector b) del modelo primal, son igual a los respectivos coeficientes de la función objetivo del modelo dual.

3. Sí la función objetivo del modelo primal es de Maximizar, la función objetivo del modelo dual asociado será de Minimizar.

4. Sí las restricciones en el modelo primal son del tipo ≤, las variables en el modelo dual serán del tipo ≥0.

5. Si las variables, en el modelo primal son del tipo ≥0, las restricciones en el modelo dual serán del tipo ≥.

El modelo Primal en forma Estándar tiene la siguiente estructura dual:

Modelo primal en forma estándar



Maximizar o Minimizar

Sujeta a:

Para toda i=1,2,……….m J=1,2,……….n

Modelo dual Asociado

Ejemplo: Modelo primal en forma estándar:

Obtener el modelo dual asociado del siguiente modelo primal en forma estándar:

Máx. Z = 5X1 + 12X2 + 4X3 S.A. X1 + 2X2 + X3 = 4 2X1 - 2X2 +3X3 = 12 X1≥0, X2≥0, X3≥0

Primer paso:

Verificar que el modelo cumple con las características de la forma Estándar, es decir: i) La función objetivo puede ser de maximizar o de minimizar.

ii) Todas las restricciones son ecuaciones, es decir, del tipo =.

iii) El lado derecho de las ecuaciones de restricción es positivo, es decir, vector b positivo.

iv) Todas las variables de decisión son no negativas.

Sí no es así, aplicar las reglas de equivalencia correspondientes hasta obtener la forma estándar Para el ejemplo que nos ocupa, si se cumplen todas y cada una de dichas características.

Segundo paso:

El número de variables del modelo dual corresponderá al número de restricciones del modelo primal. Para nuestro ejemplo serán dos variables duales porque el modelo primal en forma estándar tiene dos restricciones.

Y1, Y2, son las variables duales.

X1 + 2X2 + X3 = 4..................Y1

2X1 - 2X2 +3X3 = 12................Y2

Tercer paso:

La función objetivo dual se formula obteniendo (la transpuesta del vector de disponibilidad de recursos), es decir



Por lo tanto

Por lo que la función objetivo del modelo dual es:

Minimizar Y0 = 5Y1 + 2Y2

Cuarto paso:

Las restricciones duales se formulan obteniendo (la transpuesta del vector de costos o utilidades) y

(La transpuesta de la matriz de coeficientes tecnológicos).

Por lo tanto

Por lo tanto

Las restricciones duales son:

Quinto paso:

Para identificar la naturaleza de las variables duales, debemos observar el tipo de restricciones que tenemos en el modelo primal en forma estándar, para el ejemplo que nos ocupa, todas las restricciones en el modelo primal son del tipo = por lo que las variables duales serán todas del tipo "no restringidas en signo, es decir:

Y1 no restringida en signo Y2 no restringida en signo

En resumen el modelo dual asociado al modelo primal en forma estándar es el siguiente: Minimizar Y0 = 5Y1 + 2Y2

Sujeta a:

Y1 no restringida en signo; Y2 no restringida en signo

De la formulación Dual asociada a un modelo primal en forma estándar, se deducen las siguientes reglas:



1. A cada restricción del modelo primal le corresponde una variable en el modelo dual.

2. Los elementos (coeficientes) del lado derecho de las restricciones (vector b) del modelo primal, son igual a los respectivos coeficientes de la función objetivo del modelo dual.

3. Sí la función objetivo del modelo primal es de Maximizar, la función objetivo del modelo dual asociado será de Minimizar, en el otro caso, si la función objetivo es de Minimizar , la función objetivo del modelo dual asociado será de Maximizar,

4. Sí las restricciones en el modelo primal son ecuaciones, es decir, del tipo =, las variables en el modelo dual serán no-restringidas en signo.

5. Si las variables, en el modelo primal son del tipo =0, las restricciones en el modelo dual serán del tipo =.

En resumen las reglas generales para obtener el modelo dual asociado a un modelo primal y viceversa son:

Ejemplo 1:

Aplicando las reglas de dualidad (forma directa de obtener el dual), obtenga el modelo dual asociado del siguiente modelo primal en forma mixta

Máx. Z = 5X1 + 2X2 S.A. -X1 + X2 ≤ -3 2X1 + 3X2 ≤ 5 3X1 + 2X2 ≤ 18

X1≥ 0, X2≥0 Modelo dual asociado 1. Sobre la función objetivo: Como la función objetivo del modelo primal es de maximizar nos ubicamos del lado izquierdo de la tabla y obtenemos su correspondiente modelo dual asociado del lado derecho, es decir:

Minimizar Y0 = -3Y1 + 5Y2

2. Sobre las variables duales Cada restricción en el modelo primal define una variable en modelo dual, de tal manera que las variables duales serán dos porque se tienen dos restricciones en el modelo primal y su naturaleza esta determinada



por el tipo de restricción, para nuestro ejemplo las dos restricciones en el modelo primal son del tipo ≤ por lo que las variables duales serán Y1 ≥0 y Y2 ≥0

3. Sobre las restricciones duales Para definir el tipo de restricciones duales debemos observar la naturaleza de las variables del modelo primal, para nuestro ejemplo, X1≥0 y X2≥0, por lo tanto las restricciones duales serán del tipo ≥, es decir:

-Y1 +2Y2 ≥ -5 Y1 +3Y2 ≥ 2

En resumen el modelo dual asociado es:

Minimizar Y0 = -3Y1 + 5Y2 Sujeta a: -Y1 +2Y2 ≥-5 Y1 +3Y2 ≥ 2

Y1 ≥0 y Y2 ≥0

Ejemplo 2:

Aplicando las reglas de dualidad (forma directa de obtener el dual), obtenga el modelo dual asociado del siguiente modelo primal en forma mixta

Máx. Z = 5X1 + 6X2 Sujeta a: X1 +2X2 = 5 -X1 +5X2 ≥ 3

X1 libre, X2≥ 0

Modelo dual asociado

1. Sobre la función objetivo: Como la función objetivo del modelo primal es de maximizar nos ubicamos del lado izquierdo de la tabla y obtenemos su correspondiente modelo dual asociado del lado derecho, es decir: Minimizar Y0 = 5Y1 - 3Y2

2. Sobre las variables duales Cada restricción en el modelo primal define una variable en modelo dual, de tal manera que las variables duales serán dos porque se tienen dos restricciones en el modelo primal y su naturaleza esta determinada por el tipo de restricción, para nuestro ejemplo la primera restricción es de tipo = por lo que la variable dual Y1 será libre ó no-restringida en signo y la variable dual Y2 será del tipo ≥0

3. Sobre las restricciones duales Para definir el tipo de restricciones duales debemos observar la naturaleza de las variables del modelo primal, para nuestro ejemplo, X1 Libre y X2≥ 0, por lo tanto la primera restricción dual será del tipo = y la segunda restricción dual será del tipo ≥, es decir: Y1 + Y2 = 5 2Y1 -5Y2 ≥ 6

En resumen el modelo dual asociado es:

Minimizar Y0 = 5Y1 - 3Y2

Y1 + Y2 = 5 2Y1 -5Y2 ≥ 6 Y1 Libre y Y2 ≥0



3.3 SOLUCIÓN DUAL ÓPTIMA A PARTIR DE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA DEL PROBLEMA PRIMAL E INTERPRETACIÓN ECONOMICA DE LAS VARIABLES DUALES.

Con el siguiente ejemplo aprenderemos como a partir de la solución óptima del modelo primal obtenemos automáticamente la solución óptima del modelo dual.

Máx. Z = 5X1 + 12X2+ 4X3 Sujeta a: X1 + 2X2 + 2X3 ≤ 5 2X2 - X2 + 3X3 = 2 X1≥ 0; X2≥ 0; X3≥ 0

El método que aplica para la solución de este problema es el método penal

Obteniendo la forma estándar del modelo e igualando a cero la función objetivo y aplicando los pasos del método penal para la solución:

Max. Z -5X1 – 12X2-4X3 – 0X4 + MW1 = 0 Sujeta a: X1 +2X2 + X3 +X4 = 5 2X1 - X2 +3X3 +W1 = 2 X1≥0; X2≥0; X3≥0; X4≥0

Utilizando la tabla simplex para la solución:

La solución óptima del modelo primal es:



X1 = 9/5 X2 = 8/5

El valor óptimo de la función objetivo Z = 141/5

Ahora obtendremos el modelo dual asociado del modelo primal y procederemos a determinar la solución óptima del modelo dual por el método penal:

Modelo Dual asociado

Minimizar Y0 = 5Y1 + 2Y2 Sujeta a: Y1 +2Y2 ≥ 5 2Y1 - Y2 ≥ 12 Y1 +3Y2 ≥ 14 Y1≥0 Y2 no-restringida en signo

Obteniendo la forma estándar del modelo e igualando a cero la función objetivo y aplicando los pasos del método penal para la solución:

Minimizar Y0 - 5Y1 - 2Y3+ 2Y4 – MW1 – MW2 - MW3 = 0 Sujeta a: Y1 +2(Y3-2Y4) –Y5 +W1 =5 2Y1 - (Y3- Y4) -Y6 +W2 =12 Y1 +3(Y3+ Y4) -Y7 +W3 =14

Y1≥0; Y2 = (Y3+ Y4) para toda Y3; ≥0 y Y4≥0 Utilizando la tabla simplex para la solución:



La solución óptima del modelo dual es:

Y1 = 29/5 Y2 = (Y3+ Y4) Y2 = (0- 2/5) Y2 = -2/5

El valor óptimo de la función objetivo Y0= 141/5 Una observación de las tablas óptimas del modelo primal y del modelo dual revela los siguientes resultados:

Ignorando la constante "M", nótese que los coeficientes de las variables de holgura X4 y de la variable



artificial W1 en la tabla óptima generan automáticamente la solución óptima de la variable Y1 = 29/5 y de Y2 = -2/5, la cual es la misma solución obtenida al resolver el problema dual independientemente.

Una observación similar de las tablas dual y primal revela:

Ignorando la constante "M", nuevamente comprobamos que los coeficientes de las variables artificiales W1, W2 y W3 en la tabla óptima generan automáticamente la solución óptima de la variable X1 = 9/5 y de X2 = 8/5 y X3 = 0, la cual es la misma solución obtenida al resolver el problema primal independientemente.

Conclusión: La solución óptima del modelo primal (modelo dual) proporciona información sobre la solución óptima del modelo dual (modelo primal). Las siguientes reglas son útiles para facilitar la obtención de la solución dual óptima a partir de la tabla óptima del primal.

Regla 1

Si la variable dual corresponde a una variable inicial de holgura en el problema primal, el valor óptimo de la variable dual esta dado directamente por los coeficientes de esta variable de holgura en la ecuación cero es decir Z óptima (renglón de la función objetivo).

Regla 2

Si la variable dual corresponde a una variable artificial inicial del problema primal, el valor óptimo de la variable dual estará dado por los coeficientes de la variable artificial en la ecuación cero de la tabla óptima, eliminando la constante M.

3.4 INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL PROBLEMA Y DE LAS VARIABLES DUALES

Mientras que la interpretación física del problema primal es inmediata, la interpretación correspondiente al dual no es muy evidente, sin embargo, el significado de la función objetivo y de las restricciones del dual pueden ser explicadas más fácilmente interpretando los problemas primal y dual en términos de unidades físicas:

Si el problema primal consiste en:

El problema dual consistirá en:



La interpretación más descriptiva de los problemas primal y dual puede ser establecida en la forma siguiente:

Problema primal. Dada una unidad de valor para cada producto (Cj) y dado un limite para la disponibilidad de cada insumo ¿Cuántas unidades de cada producto (Xj) deben ser producidas con objeto de maximizar el valor del producto total?

Problema dual. Con una disponibilidad dada de cada insumo (bi) y un límite al valor unitario para cada producto (Cj) ¿Qué valores unitarios deberían ser asignados a cada insumo (Yi) con objeto de minimizar el valor del insumo total? A las variables duales Yi se les conoce como costos marginales o precios sombra.

Una interpretación importante de las variables duales puede reconocerse a partir de la definición de la función objetivo, dada por:

Dónde bi representa la disponibilidad del i-ésimo recurso. Puesto que la solución óptima maximizar Z = Minimizar Y0 ; las variables duales Yi pueden interpretarse como la contribución unitaria del i-ésimo recurso al valor de la función objetivo.

Para entender mejor, considere el ejemplo anterior dónde la función objetivo del problema dual esta dada por:

Y0 = 5Y1 + 2Y2

Y los valores óptimos de las variables duales por Y1 = 29/5 y Y2= -2/5. Nótese que cada unidad del primer recurso (b1=5) contribuye con 29/5 al valor de la función objetivo, mientras que cada unidad del segundo recurso (b2=2) contribuye con –2/5. Esto significa que b2 no solo no incrementará Y0 sino que cada unidad adicional de (b2) disminuye Y0 (y por lo tanto Z) en 2/5. En cambio una unidad de b1 incrementará Y0 en 29/5. 3.5 MÉTODO DUAL-SIMPLEX

El método dual-simplex se aplica para resolver problemas que empiezan con factibilidad dual, es decir, óptimos pero infactibles.

Un problema se puede resolver por el método dual-simplex, cuando, después de igualar acero la función objetivo y convertir las restricciones en ecuaciones, agregando las variables de holgura necesarias, al menos uno, cualquiera de los elementos del vector b (vector de disponibilidades) es negativo y la condición de optimalidad se satisface. Un comparativo entre el método simplex y el método dual-simplex.



El método dual-simplex requiere de la aplicación de dos criterios para su solución: El criterio de optimalidad que asegura que la solución permanecerá óptima todo el tiempo y el criterio de factibilidad que forza las soluciones básicas hacia el espacio factible.

Criterio de Factibilidad. La variable saliente será aquella variable básica que tenga el valor más negativo en el vector bi. Si todas las variables básicas son positivas o sea ≥0 se tiene la solución final, óptima y factible.

Criterio de optimalidad. La variable entrante se selecciona de entre las variables no-básicas como sigue:

Dividir los coeficientes de la ecuación cero entre los coeficientes de la ecuación asociada con la variable saliente, ignorando denominadores positivos y/o ceros. La variable entrante será aquella cuyo cociente sea el menor, si el problema es de minimizar, ó el de menor valor absoluto si es de maximizar. Si todos los denominadores son ≥0, el problema no tendrá solución factible.

La aplicación del método dual-simplex es especialmente útil para el tema de análisis de sensibilidad. El procedimiento del método dual-simplex se explicara más objetivamente con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Considere el siguiente modelo de PL y determine su solución por el método dual-simplex.

Minimizar. Z= 2X1 + X2 Sujeta a: 3X1 + X2 ≥ 3 4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 3 X1≥0; X2≥0; X3≥0

Igualando a cero la función objetivo y agregando las variables de holgura para obtener ecuaciones de restricción.

Minimizar. Z-2X1 - X2 = 0 Sujeta a: -3X1 - X2 +X3 =-3 -4X1 -3X2 +X4 =-6 X1 +2X2 X5 = 3 X1≥0; X2≥0; X3≥0

Obteniendo la forma tabular para aplicar el procedimiento del dual-simplex.



Conclusión.

La solución óptima es: X1 = 3/5 X2= 6/5 Con Zoptima = 12/5

Ejemplo 2.

Considere el siguiente modelo de PL y determine su solución por el método dual-simplex.

Maximizar. Z= -4X1 -12 X2 -18 X3 Sujeta a: X1 +3X3 ≥ 3 +2X2 +2X3 ≥5 X1≥0; X2≥0; X3≥0

Igualando a cero la función objetivo y agregando las variables de holgura para obtener ecuaciones de restricción.

Minimizar. Z+4X1 +12 X2 +18 X3= 0 Sujeta a: -X1 -3X3 + X4 =-3 -2X2 -2X3 + X5 =-5 X1≥0; X2≥0; X3≥0

Obteniendo la forma tabular para aplicar el procedimiento del dual-simplex.



Conclusión.

La solución óptima es: X2 = 3/2 X3= 1 Con Zoptima = -36

3.6 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Después de que se ha obtenido la solución óptima de un problema de programación lineal (PL), puede darse el caso de que uno o varios parámetros de la formulación original cambien dando origen a un nuevo problema, sin embargo mediante la aplicación de la técnica llamada análisis de sensibilidad no será necesario volver a resolver el problema desde el principio.

La utilidad del análisis de sensibilidad en los modelos de PL consiste, en que permite una interpretación razonable de los resultados ya obtenidos. En muchos casos la información generada por la aplicación del análisis de sensibilidad es más importante y mucho más informativa que el simple resultado obtenido en la solución óptima. En cierto sentido, el análisis de sensibilidad convierte la solución estática de los modelos de PL. en un instrumento dinámico que evalúa las condiciones cambiantes.

El nuevo problema puede diferir del original en uno ó varios de los siguientes cambios que pueden ocurrir simultáneamente:

1. Cambios en la disponibilidad de recursos (vector bi). 2. Cambios en los costos o utilidades unitarias (vector Cj). 3. Cambios en los coeficientes tecnológicos (matriz aij).

La estructura inicial de una tabla simplex es la siguiente:



Y la estructura óptima de una tabla simplex es:

El análisis de sensibilidad se basa en el conocimiento de la tabla inicial simplex y en la aplicación de las propiedades de la estructura óptima de una tabla simplex.

3.6.1 Cambios en la disponibilidad de recursos (Vector bi)

Los valores óptimos de las variables de un modelo de PL está determinada por la propiedad XB=B-1b =0 y para Z=CBXB. Al experimentar un cambio en el vector b* XB cambia a:

B = B-1b*

Si B ≥0 entonces la nueva solución será óptima.

Si B ≤0 entonces la nueva solución B no es factible y será necesario aplicar el método dual-simplex para restaurar la factibilidad.

El método dual-simplex, en caso de aplicarse, deberá hacerse a la tabla óptima del problema original,

cambiando la columna XB por B.

Ejemplo 1.

Considere el siguiente modelo de PL y su correspondiente solución inicial y solución óptima.

Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 Sujeta a: 3X1 +5X2 ≤ 15 5X1 +2X2 ≤ 10 X1≥ 0; X2≥ 0



Si se decide experimentar un cambio en el vector

a ¿Cuál es el nuevo problema y cuál es la nueva solución óptima?

Solución: El nuevo problema a resolver es:

Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 Sujeta a: 3X1 +5X2 ≤ 5 5X1 +2X2 ≤ 5 X1≥ 0; X2≥ 0 Aplicando la técnica de análisis de sensibilidad no es necesario volver a resolver el problema desde el principio, lo primero que debemos definir es la propiedad que aplica, para los cambios en el vector b siempre se aplicará la siguiente propiedad:

B = B-1b*

Identificando valores:

Sustituyendo valores:



Como ≥0 la solución sigue siendo factible

La solución óptima para el nuevo modelo es:



La otra manera de obtener es:


Conclusión:

La solución óptima del nuevo modelo obtenido por análisis de sensibilidad es:



Ejemplo 2 Supongamos ahora que se decide experimentar otro cambio en el vector

a ¿Cuál es el nuevo problema y cuál es la nueva solución óptima?

Solución:

El nuevo problema a resolver es:

Maximizar. Z= 5X1 + 3X2 Sujeta a: 3X1 +5X2 ≤ 10 5X1 +2X2 ≤ 20 X1≥0; X2≥0 Aplicando la técnica de análisis de sensibilidad, la propiedad que aplica para los cambios en el vector b es:

B = B-1b*



≤ 0

Como ≤ 0 la solución es

infactible, en estos casos se debe aplicar el método dual-simplex para restablecer la factibilidad del nuevo

problema, utilizando la tabla óptima del problema original y sustituyendo los valores de B en lugar de XB.



La solución óptima para el nuevo modelo es:



Conclusión:


3.6.2 Cambios en los costos o utilidades unitarias (vector Cj).

Si se experimentan cambios en el vector Cj el nuevo modelo es:



Este tipo de cambios toma como punto de partida la solución óptima del problema original. Al cambiar el

vector , la propiedad debe ser actualizada, es decir

Donde es la columna de la matriz

Si los valores actualizados de son no negativas para las variables no-básicas y cero para las variables básicas para el caso de maximizar ó negativas y cero para el caso de minimizar, estas cumplen con las condiciones de optimalidad y entonces la asociada a la tabla óptima original permanece óptima y el

nuevo valor de la función objetivo será:

En caso contrario, mediante operaciones matriciales elementales y/o el algoritmo del método simplex obtendremos las condiciones de optimalidad.

Ejemplo 1

Considere el siguiente modelo de programación lineal y su correspondiente tabla óptima:

Supongamos que el coeficiente disminuye a ¿Cuál es el nuevo modelo y su

correspondiente solución óptima?

Solución. El nuevo modelo es:

Obteniendo la solución del nuevo modelo de PL por análisis de sensibilidad, la propiedad a aplicar es:

Para el ejemplo que nos ocupa, la propiedad a aplicar es:



Identificando valores

Como el único coeficiente del vector que cambio es Obteniendo la solución del nuevo modelo de

PL por análisis de sensibilidad, la propiedad a aplicar es:


Identificando valores.

= Como el único coeficiente del vector que cambio es entonces la propiedad correspondiente es:


Sustituyendo el nuevo valor de en la tabla óptima del modelo original.

Al sustituir el coeficiente "2" en la tabla óptima, observamos que la variable X2 es básica por lo que la solución pierde su estructura básica para restablecerla debemos hacer cero el coeficiente 2, y después verificar la optimalidad si es óptima la solución hemos concluido, de no ser así, aplicar el algoritmo del método simplex hasta obtener la solución óptima.



Conclusión:


Ejemplo 2 Considere el siguiente modelo de programación lineal y su correspondiente tabla óptima:

Supongamos que el vector cambia a ¿Cuál es el nuevo modelo y su correspondiente solución óptima?

Solución. El nuevo modelo es:





Identificando valores

Como los coeficientes del vector que cambiaron son y habrá que aplicar la

propiedad correspondiente tantas veces como cambios se estén experimentando en el vector .


Para

La propiedad específica a aplicar es:

Identificando valores.


Ahora debemos sustituir el nuevo valor de

En la tabla óptima del modelo original.

Para

Como el coeficiente del vector que cambio es entonces la propiedad correspondiente es:




Sustituyendo los nuevos valores para y en la tabla óptima

del modelo original:

Al sustituir los coeficientes 4 y 2 en la tabla óptima, observamos que las variables X1 y X2 son básicas por lo que la solución pierde su estructura básica para restablecerla debemos hacer ceros los coeficientes 4 y 2, y después verificar la optimalidad, si es óptima la solución hemos concluido, de no ser así, aplicar el algoritmo del método simplex hasta obtener la solución óptima. Para nuestro ejemplo, al restablecer la estructura básica se obtiene la solución óptima.

Conclusión: La solución óptima del nuevo modelo obtenido por análisis de sensibilidad es:

3.6.3 Cambios en la matriz de coeficientes tecnológicos ( matriz aij)

Ahora se analizará el efecto de cambiar algunos de los elementos de la matriz solo el caso que incluye,



cambios en las columnas no-básicas.

Suponga que la columna no-básica se modifica a . Entonces la nueva columna actualizada es:

, entonces la solución anterior es óptima; en caso

contrario, el método simplex continúa después de actualizar la columna j de la tabla, introduciendo la variable no básica

3.7 OBTENCIÓN DEL MODELO ORIGINAL A PARTIR DE LA TABLA ÓPTIMA

Aplicando las propiedades del análisis de sensibilidad y con la siguiente tabla óptima determine el modelo de PL al que corresponde dicha solución.

Las propiedades de una tabla óptima son:

Pasos

Paso1. Obteniendo el vector b (vector de disponibilidades de recursos).

La propiedad que aplica es:



Resolviendo operaciones matriciales y construyendo las ecuaciones de primer grado para encontrar los valores del vector b.



Resolviendo el sistema de ecuaciones de primer grado obtenemos los siguientes valores del vector b

Paso2. Obteniendo la matriz (matriz de coeficientes tecnológicos).






Resolviendo los sistemas de ecuaciones de primer grado obtenemos los siguientes valores de la matriz

Paso3.

Obteniendo el vector (vector de costos ó utilidades).




=

Por lo tanto el modelo original es:

3.8 EJERCICIOS PROPUESTOS DE DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD



DUALIDAD

Determinar el modelo dual asociado, en forma directa (usando las tablas de dualidad) de los siguientes modelos primales:

Determine, partiendo del modelo en forma canónica, el modelo dual asociado a los siguientes modelos primales:



11.- Anote dentro del paréntesis los siguientes números que correspondan a los enunciados.

(1) Los parámetros ; (2) El análisis de sensibilidad ; (3) La dualidad ; (4) Las variables duales ; (5) El valor óptimo; (6) La solución factible ; (7) El método dual-simplex ; (8) El método heurístico (9) Variable dual Yi; (10) Precios sombra; (11) Modelo primal (__) _______________de la función objetivo primal es igual al valor óptimo de la función objetivo dual.

. (__) En el método dual-simplex, si todas las variables básicas no son negativas el proceso termina y se alcanza _______________

. (__) _______________Permanecen constantes para cada problema, pero varían con problemas distintos.

(__) _______________Es útil en el análisis de sensibilidad.

(__) _______________Para desarrollar soluciones aproximadas aceptables. (__) _______________Es un método para investigar el efecto que tienen cambios en los diferentes parámetros sobre la solución óptima de un problema de PL.

(__) _______________Tienen importantes interpretaciones económicas.

(__) _______________Permite entre otras cosas resolver modelos lineales que tienen más restricciones que variables.

(__)_________________Contribución unitaria del i-ésimo recurso al valor de la función objetivo.



(__) La expresión CBXB de la tabla óptima, representa_______________.

(__) El dual del dual es el modelo_______________.

12.- Determine el modelo dual, a partir de su forma canónica y a partir de las reglas de dualidad (forma directa) del siguiente modelo de PL.

Las siguientes cinco preguntas, están relacionadas al modelo dual obtenido, mediante la forma canónica. (_ ) El número de variables de decisión del modelo dual es:

a). Seis b). Cinco c). Cuatro d). Tres e). Ninguna

( _) Los coeficientes de la segunda restricción del modelo dual son: a). (0, 1, 3) b). (0, 1,-1 ,6) c). (0, 3, 1) d). (-8, 0, 0, -1) e). Ninguna

( _) Los costos del modelo dual son, respectivamente: a). (0, -6 ,6 ,4) b). (5, -2, 0)t

c). (-5, 5, 2, 0)t

d). (0, 6) e). Ninguna

( _) El tipo de optimización del modelo dual es: a). Min.G b). Máx. Z c). –Min.(-G) d). –Max.-(G) e). Ninguna

(_ ) Los recursos del modelo dual son respectivamente: a). (0, 6) b). (-5, 5, 2, 0, 0) c). (0, 6, -6)t

d). (5,-5, 2, 0,0)t

e). Ninguna Las siguientes cinco preguntas, están relacionadas con el modelo dual en forma directa. (_ ) Los costos duales:

a). (0, 0, 6) b). (0, -6, 6) c). (-5, 2, 0) d). (0, 6, 4) e). Ninguna



( _) Los recursos duales son: a). (5, -2, 0)t

b). (-5, 2, 0)t

c). (5,-5, 2, 0, 0) d). (0, 6) e). Ninguna

( _) La naturaleza de las variables duales, es respectivamente: a). ≥0, libre b). ≥0, ≥0, ≥0 c). ≥0, libre d). ≥0, , libre, ≥0 e). Ninguna

( _) Las restricciones duales son del tipo, respectivamente: a). =, ≥, = b). =, ≥, = c). =, ≥, d). =, =, ≥ e). Ninguna

(_) La segunda restricción dual es:: a). Y2-6Y3 ≥2 b). -8Y1+Y3 = -5 c). 2Y1-3Y2 ≥ 0 d). -Y2≥0, e). Ninguna


Las siguientes cinco preguntas, están relacionadas al modelo dual obtenido, mediante la forma canónica.

(_) El número de variables de decisión del modelo dual es: a). Dos b). tres c). Cuatro d). Cinco e). Ninguna

(_)Los recursos del modelo dual son: a). (1, 0, 2)t

b). (1, 0,2 ,0)t

c). (24, 0, 0)t

d). (-1, 0, 0, 2,)t

e). Ninguna

(_)Los costos del modelo dual son, respectivamente: a). (0, -24, 24) b). (1, -2, 0)t

c). 24, 0, 0)t

d). (24, 0) e). Ninguna

(_)El tipo de optimización del modelo dual es:



a). –Min.(-G) b). Max. Z c). Min.G d). –Max.-(G) e). Ninguna

(_)Los coeficientes de la tercera restricción del modelo dual son: a). (6, -2, 2) b). (-1, 1, -1) c). (0, -1, 1) d). (6, 2) e). Ninguna

Las siguientes cinco preguntas, están relacionadas con el modelo dual en forma directa.

(_)Los costos duales son: a). (1, 0, 2) b). (24, 0, 0 c). (-24, 24, 0) d). (24, 0,) e). Ninguna

(_)Los recursos duales son: a). (24, 0, 0)t

b). (1, 2, 0)t

c). (1, 0, 2)t

d). (24, 0)t

e). Ninguna

(_) La naturaleza de las variables duales, es respectivamente: a). ≥0, libre b). ≥0, ≥0, ≥0 c). libre, ≥0, d). libre, libre, e). Ninguna

(_) Las restricciones duales son del tipo, respectivamente: a). =, ≥, = b). =, ≥, = c). =, ≥,≥ d). ≥, =, ≥ e). Ninguna

(_) La segunda restricción dual es: a). Y1+Y2 ≥2 b). Y1+Y2 = 0 c). 6Y1-2Y2 ≥ 0 d). -Y2≥1 e). Ninguna




Las siguientes cinco preguntas, están relacionadas al modelo dual obtenido, mediante la forma canónica.

( _) El número de variables de decisión del modelo dual es: a). Dos b). Tres c). Cuatro d). Cinco e). Ninguna (_) 5.4.2. Los recursos del modelo dual son: a). ( 0, 0, 4, -1)t

b). ( 0, 4, 1)t

c). (4, -1)t

d). (15, 70, -70)t

e). Ninguna

( _) Los costos del modelo dual son, respectivamente: a). ( 0, 0, 4, -1)t

b). ( 0, 4, 1)t

c). (15, -70, 70)t

d). (15, 70, -70)t

e). Ninguna

( _) El tipo de optimización del modelo dual es: a). –Min.(-G) b). Max. Z c). Min.G d). –Max.-(G) e). Ninguna

(_ ) Los coeficientes de la tercera restricción del modelo dual son: a). (-6, 2, -2) b). ( 3, -3, 0, 2) c). (-2, 0, 0) d). (2, 0) e). Ninguna

Las siguientes cinco preguntas, están relacionadas con el modelo dual en forma directa.

( _) Los costos duales son: a). (0, 4, 1) b). (15, -70, 70) c). (-2, 0, 0) d). (15, 70) e). Ninguna

(_ ) Los recursos duales son: a). (15, 70, -70)t

b). (0, 4, 1)t

c). (0, 0, 4, -1)t

d). ( 15, 70)t

e). Ninguna

(_ ) La naturaleza de las variables duales, es respectivamente: a). ≥0, libre b). ≥0, ≥0, ≥0 c). libre, ≥0 d). libre, libre, e). Ninguna



( _) Las restricciones duales son del tipo, respectivamente: a). =, ≥, = b). =, ≥, ≥ c). ≥, ≥, d). ≥, =, ≥ e). Ninguna

( _) La segunda restricción dual es: a). -Y1+3Y2 =0 b). Y1+3Y2 –3Y3≥ 0 c). -2Y1 ≥4 d). -6Y1-2Y2≥1 e). Ninguna

15.- Considere la siguiente tabla óptima incompleta, de un modelo de P.L., en forma canónica:

( _) El número de variables de decisión originales son: a). 6 b). 5 c). 4 d). 3 e). Ninguna

( _) El tipo de las variables que se agregaron para resolver el problema son: a). Solo holguras b). Solo artificiales c). Una superflua, una artificial y una holgura

d). Una holgura y una artificial

e). Ninguna

( _) El valor del segundo recurso del modelo es: a). 8 b). 10 c). 14 d). 16 e). Ninguna

( _) El valor del primer recurso del modelo es: a). 12 b). 16 c). 14 d). 8 e). Ninguna

( _) Los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo son: a). (0, 2, -3) b). (2, 1, 0) c). (1, 2, 2) d). (-2, 2, 1) e). Ninguna

( _) Los coeficientes de las variables de decisión en la primera restricción son:



a). (2, 1, 0) b). (0, 0, 1) c). ( 2, 0) d). (1, 1, -2) e). Ninguna

( _) Los coeficientes de las variables de decisión en la segunda restricción son: a). (2, 1, 0) b). (0, 0, 1) c). (2, 0) d). (1, 1, -2) e). Ninguna

( _) Los precios sombra que muestra la tabla son: a). (0, 2, 2) b). (3, 0, 0) c). (0, 0, 2) d). (2, 2 ) e). Ninguna

( _) El valor óptimo de la función objetivo es: a). 150 b). 60 c). 36 d). 240 e). Ninguna

( _) Los coeficientes de las variables de decisión en la función objetivo son: a). (X5, X2)t

b). (X3, X4)t

c). (X4, X3)t

d). (X1, X2)t

e). Ninguna

APLICANDO EL METODO DUAL-SIMPLEX, ENCUENTRE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA (SI EXISTE) DE LOS SIGUIENTES MODELOS DE PL:



ANALISIS DE SENSIBILIDAD

35.- Supóngase que se tiene el siguiente modelo de PL

Cuya tabla óptima es:

a).- Encuentre la nueva solución óptima cuando el vector de disponibilidad se cambia a:

b).-Encuentre la nueva solución óptima cuando el vector de costos se cambia a:

36.- La siguiente tabla es una tabla óptima de un modelo de PL con restricciones del tipo ≤



a).- El valor de Z óptimab).- El modelo originalc).- La solución óptima si b1, disminuye en dos unidades y b2 en tres unidadesd).- El valor de las variables duales y el valor de la función dual.

37.- La siguiente tabla simplex es óptima y corresponde a un modelo con restricciones ≤.

Determine:a).- El modelo de programación lineal originalb).- El valor de Z óptima

c).- El valor óptimo si los recursos cambian a:

d).- La nueva solución si el valor de X1 en la función objetivo cambia a C1 = 5

38.- La solución óptima de un modelo con restricciones del tipo ≤ es la siguiente:

Se pide:a).- El modelo originalb).- La solución óptima si el vector C cambia a c).- La solución óptima si el

Vector b cambia a

d).- La solución óptima si la matriz A cambia a

39.- Para el siguiente modelo de programación lineal:



a).- Cuál es la nueva solución si b cambia a

b).- Cuánto tiene que valer C1 para que X1 entre en la solución

40.- La solución óptima de un modelo de maximización es:

a).- Calcule las cantidades originales del modelo de PLb).- Calcule la nueva solución si b3 aumenta en cuatro unidadesc).- Calcule la nueva solución si C2 aumenta en dos unidades

41.- La siguiente tabla óptima incompleta corresponde a un problema de maximización con restricciones del tipo ≤. Determine:a).- Los elementos faltantesb).- El modelo original

c).- Si los recursos cambian a ¿Cuál es la nueva solución del modelo?

d).- Si ambos costos disminuyen a 1, es decir, ¿Cuál es la nueva solución?

42.- Sea el problema original:

Y cuya tabla óptima es:



a).- Si el recurso b1= 4 cambia a ¿Cuál es la nueva solución óptima?

b).- Si la utilidad unitaria C1= 3 cambia a ¿Cuál es la nueva solución óptima?


Unidad 3 Apuntes_pla_ Io1

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