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TRABAJO UNIDAD 2

SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES, RECTAS, PLANOS Y ESPACIOSVECTORIALES

JORGE IVÁN OLAYA VALENCIA COD. 1116240617

GRUPO: 208046_32

TUTOR: JUAN PABLO VARGAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

BOGOTÁ, 06 DE ABRIL DEL 2016


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CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 3

2. CONTENIDO .................................................................................................................................. 4

3. CONCLUSIONES ........................................................................................................................ 16

4. REFERENCIAS ............................................................................................................................ 17


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1. INTRODUCCIÓN


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2. CONTENIDO

2.1. Tres habitantes de un conjunto cerrado dueños de su casa, cuyas profesiones son: uncarpintero, un electricista y un plomero, llegan al acuerdo de hacer reparaciones

necesarias en las tres casas, y deciden trabajar en total diez días cada uno, así :

DIAS DE TRABAJO

CARPINTERO ELETRICISTA PLOMERO

CASA DEL

CARPINTERO2 1 6

CASA DEL

ELECTRICISTA5 5 1

CASA DEL

PLOMERO

3 4 3

Por los impuestos de la DIAN, tienen que reportar y pagarse entre sí un salario diario,incluyendo el trabajo que cada uno hace en su propia casa, Un salario entre $60.000,$70.000 y $80.000 diarios, pero acuerdan ajustar su pago de forma que ningunoobtenga ventaja, es decir de forma que la cantidad pagada por cada uno sea igual a lacantidad total que reciba cada uno.

Hallar el valor que cada uno va a recibir diariamente cada uno teniendo en cuenta queel valor se obtiene en el orden, el que obtenga el mayor valor, se multiplica por el valor

diario establecido en el ejercicio, para así establecer los valores finales individualesde cada uno.

¿Cuál fue el costo total invertido por cada casa?

2.2. Tres extractos de frutas se combinan para formar tres tipos de mermelada.

Una unidad de la mermelada del tipo I requiere 10 Lt. del extracto de fruta A, 30

Lt. del extracto de fruta B y 60 Lt. del extracto de fruta C. Una unidad de mermelada del tipo II requiere 20 Lt. del A, 30 Lt. del B, Y 50 Lt. del

C.

Una unidad de mermelada de tipo III requiere 50Lt. del A y 50 Lt. del C.

Si hay disponibles 1600 Lt. del A, 1200 Lt. del B Y 3200 lt. del C. ¿Cuántas unidadesde los tres tipos de mermelada se pueden producir si se usa todo el extracto de frutadisponible?


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Tenemos las siguientes fórmulas de las mermeladas:

10 + 30 + 60 = 20 + 30 + 50 =

50 + 0 + 50 =

Sacamos las ecuaciones de acuerdo a la cantidad de cada extracto usado en cadatipo de mermelada y para ello tenemos:

10 + 20 + 50 = 1600 → 30 + 30 + 0 = 1200 → 60 + 50 + 50 = 3200 → = =

= Resolver el problema a través de Gauss Jordan para hallar el valor de las variablesestablecidas.

Primero hallamos la inversa de la matriz:

|1 0 2 0 5 03 0 3 0 06 0 5 0 5 0

| |1 0 00 1 00 0 1

| 3 = 3 − 1

|1 0 2 0 5 03 0 3 0 05 0 3 0 0 | | 1 0 00 1 0− 1 0 1|

3 = 3 − 2

|1 0 2 0 5 03 0 3 0 02 0 0 0 | | 1 0 00 1 0− 1 − 1 1| 3 ↔ 1 |2 0 0 03 0 3 0 01 0 2 0 5 0| |

− 1 − 1 10 1 01 0 0|


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3 = 23 − 1 |2 0 0 03 0 3 0 00 4 0 1 0 0| |

− 1 − 1 10 1 03 1 − 1|

2 = 22 − 31

|2 0 0 00 6 0 00 4 0 1 0 0| |− 1 − 1 13 5 − 33 1 − 1| 3 = 63 − 42

|2 0 0 00 6 0 00 0 6 0 0

| |− 1 − 1 13 5 − 36 − 1 4 6

| 2 = 13 2

|2 0 0 00 2 0 00 0 6 0 0| − 1 − 1 11 53 −16 − 1 4 6

3 = 16 3

|2 0 0 00 2 0 00 0 1 0 0| − 1 − 1 11 53 −11 − 73 1

3 = 1003 1 = 201

|1 0 00 1 00 0 1| − 120 − 120 120120 112 − 1201100 − 7300 1100


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Ahora multiplicamos la Inversa de la matriz por los coeficientes libres:

− 120 − 120 120120

112 −

1201100 − 7300 1100 |

160012003200| =

− 120 × 1600 + − 120 × 1200 + 120 × 3200 120 × 1600 + 112 × 1200 + − 120 × 3200 1100 × 1600 + − 7300 × 1200 + 1100 × 3200=

−80 + −60 + 16080 + 100 + −16016 + −28 + 32 = |202020| =

Como resultado tenemos que se pueden elaborar 20 mermeladas de cada tipo.


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Nota: En el entorno de aprendizaje práctico deben verificar el resultado usando el

software que en la hoja de ruta les sugieren o utilizar otra herramienta computacional

que les ayude a comprobar el ejercicio, en el trabajo anexar los pantallazos de la

verificación

2.3. De la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -1,1) y es paralela a la recta quepasa por los puntos A (-2, 0, 1), B (1, 2, 3).

Tenemos los siguientes datos de la gráfica:

, , →

(, , ) =

, , 0,0,0 → = , , − 0,0,0 = , , → = , , − 0, 0, 0 = , , → = → + →


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Dedo lo anterior tenemos:

, , = , , + , , = Ecuación Vectorial→ , , = − = , , − , , = Vector direcciónç

Ahora, tenemos los siguientes datos del ejercicio propuesto:

−2,0,1 1, 2, 3

En donde A es nuestro punto P en la ecuación y B nuestro punto X

Ahora, hallamos el vector dirección y obtenemos:

→, , = − = 1,2,3 − −2,0,1 = 3,2,2


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Entonces la ecuación de la recta es:

, , = −2,0,1 + 3,2,2 → Forma Cartesiana:

= −2 + 3

= 2 = 1 + 2 Por último hallamos la ecuación que es paralela a los puntos A y B y que pasa por elpunto (1, -1,1).

Como ambas rectas son paralelas, estas tienen el mismo vector dirección →, entoncestendremos la siguiente ecuación:

, , = 1,−1,1 + 3,2,2 → Forma: Cartesiana:

= 1 + 3 = −1 + 2 = 1 + 2


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2.4. Hallar la ecuación paramétrica que pasa por el origen y cuya dirección es ortogonal alos vectores

→ = 2 – + 3; → = − – + 2

La ecuación de la recta que se solicita es ortogonal a los vectores → y →. Si hacemosel producto vectorial cruz entre → y → hallaremos un vector → que es ortogonal a losdos vectores.


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→ = → × → = | 2 − 1 3− 1 − 1 2| −1 3

−1 2 − 2 3

−1 2 + 2 −1

− 1 − 1

→ = −12 − 3−1 − 22 − 3−1 + 2−1 − −1−1 → = 2 + 3 − 4 + 3 + −2 − 1 → = 5 − 7 − 3

Como la ecuación pasa por el origen 0,0,0 tendremos la siguiente ecuación de larecta:

, , = 0,0,0 + 5,−7,−3 → Forma Cartesiana:

= 5 = −7 = −3 2.4.1. Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos A (1, 2, 1); B (1, 0,1); C

(0, 1, -1).

+ + + = 0 → = 1,0,1 − 1,2,1 → = 0,−2,0

→

= 0,1,−1 − 1,2,1

→ = −1,−1,−2 → = → × → → = [ 0 − 2 0− 1 − 1 − 2]


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→ = −2 0− 1 − 2 − 0 0− 1 − 2 + 0 −2− 1 − 1 → = −2−2 − 0−1 − 0−2 − 0−1 + 0−1 − −2−1

→

= 4 − 0 − 0 − 0 + 0 − 2

→ = 4 − 0 − 2 Ahora reemplazamos los valores del vector resultante → en la ecuación del plano + + + = 0

4 + 0 − 2 + = 0 4 − 2 + = 0 Ahora, para hallar

reemplazamos los valores de unos de los punto dados

,

y

en

la ecuación del plano, para este caso tomaremos el punto A:41 − 21 + = 0 4 − 2 + = 0 2 + = 0 = −2 Como producto final, tenemos la ecuación completa del plano:

4 − 2 − 2 = 0


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2.5. Demuestre que las líneas = 3 + 7, = 2 + 3y y = 4 + 4 se intersectan. = 3 + 7 1 = 2 + 3 → = − 32 2

= 4 + 4 3

Reemplazamos 2 en 1 = 3 − 32 + 7

= 3 − 92 + 7

− 7 = 3 − 92

− 72 = 3 − 9 2 − 14 = 3 − 9 9 − 14 = 3 − 2 −5 =


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Reemplazamos el valor de en 1 −5 = 3 + 7 −5 − 7 = 3

− 123 =

−4 = Reemplazamos el valor de en 3

= 4−4 + 4 = −16 + 4 = −12 Por lo tanto el punto donde se intersectan los tres planos es:

= −5,−12,−4


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3. CONCLUSIONES


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4. REFERENCIAS

Edi A. 20 de Febrero del 2016. Sistema de Ecuaciones con 3 incógnitas enGeogebra. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=g3cUjY-BHSw

AMR Education. 7 de Marzo del 2014. COMO RESOLVER SISTEMAS DEECUACIONES NXN Y MATRICES INVERSAS RAPIDO Y SENCILLO CONGEOGEBRA. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=lkfZl8eJZe4

8CIFRAS. 31 de Marzo del 2014. Ecuación vectorial de la recta en R3.Recuperadode: https://www.youtube.com/watch?v=s36aSg4ucbg

8CIFRAS. 31 de Marzo del 2014. Ecuaciones paramétricas de la recta enR3.Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=rx65AJYaxg8

8CIFRAS. 31 de Marzo del 2014. Ecuación contínua de la recta en R3.Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=ev3oZGDWjQQ

Zuñiga, Camilo & Rondón, Jorge. Diciembre del 2010. UNAD – Algebra Lineal,Lección 5.2.2 : Rectas en el espacio paralelas y ortogonales. Recuperado de:http://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/leccin_522__rectas_en_el_espacio_paralelas_y_ortogonales.html

Tareasplus. 4 de Octubre del 2011. Ejemplo ecuación plano dados tres puntos.Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=TZCILa1WHfo
https://www.youtube.com/watch?v=g3cUjY-BHSwhttps://www.youtube.com/watch?v=g3cUjY-BHSwhttps://www.youtube.com/watch?v=g3cUjY-BHSwhttps://www.youtube.com/watch?v=s36aSg4ucbghttps://www.youtube.com/watch?v=s36aSg4ucbghttps://www.youtube.com/watch?v=s36aSg4ucbghttps://www.youtube.com/watch?v=rx65AJYaxg8https://www.youtube.com/watch?v=rx65AJYaxg8https://www.youtube.com/watch?v=ev3oZGDWjQQhttps://www.youtube.com/watch?v=ev3oZGDWjQQhttps://www.youtube.com/watch?v=ev3oZGDWjQQhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/leccin_522__rectas_en_el_espacio_paralelas_y_ortogonales.htmlhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/leccin_522__rectas_en_el_espacio_paralelas_y_ortogonales.htmlhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/leccin_522__rectas_en_el_espacio_paralelas_y_ortogonales.htmlhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/leccin_522__rectas_en_el_espacio_paralelas_y_ortogonales.htmlhttps://www.youtube.com/watch?v=TZCILa1WHfohttps://www.youtube.com/watch?v=TZCILa1WHfohttps://www.youtube.com/watch?v=TZCILa1WHfohttps://www.youtube.com/watch?v=TZCILa1WHfohttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/leccin_522__rectas_en_el_espacio_paralelas_y_ortogonales.htmlhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/leccin_522__rectas_en_el_espacio_paralelas_y_ortogonales.htmlhttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/208046/MODULO%202010%20-%203%20CREDITOS%20-%20E-LEARNING/leccin_522__rectas_en_el_espacio_paralelas_y_ortogonales.htmlhttps://www.youtube.com/watch?v=ev3oZGDWjQQhttps://www.youtube.com/watch?v=rx65AJYaxg8https://www.youtube.com/watch?v=s36aSg4ucbghttps://www.youtube.com/watch?v=g3cUjY-BHSw

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