UNIDAD 10. LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES...

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES 1.º BACHILLERATO © Material fotocopiable / GRUPO EDELVIVES

UNIDAD 10. LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES C-07-01

1.

a) 2

lim fx

x

7

b) 0

lim fx

x

3

c) 4

lim fx

x

4

d) 4

lim fx

x

5

e) 3

lim fx

x

+

f) 3

lim fx

x

–

2.

a) 2

lim 32x

x

2

b) 1

2 1lim

3 2x

x

x

c) 3 2

1lim 2x

x x

–3

d) 3 2

50

2 3lim

1 2x

x x

x x

–3

e) 3

1lim 3x

x x

2

f) 4 1

0

1lime

e

x

x

g) 5

52

lim log 7x

x

2

h) 2lim 3lnx e

x

–6

i) 3 2

limcos4 2 2x

x

SOLUCIONES | ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS


3.

a) 0

1lim f

2xx

b) 3

lim fx

x

1

c) 1

lim fx

x

–4

d) 1

lim fx

x

1

e) 1

1lim f

3xx

f) 1

lim fx

x

–1

4.

a) 1 1

lim f , lim fx x

x x

b) 1 1

lim f , lim fx x

x x

c) 0 0

lim f , lim fx x

x x

d) 3 3

lim f , lim fx x

x x

e) 2 2

lim f , lim fx x

x x

f) 2 2

lim f , lim fx x

x x



5.

a)

b)

c)

d)

e)

f)



LÍMITES DE FUNCIONES EN EL INFINITO C-07-02

1.

a) lim fx

x

0

b) lim fx

x

–2

c) lim gx

x

–6

b) lim gx

x

2.

a) 3 2lim 2

xx x

b) 3 5lim 5 3

xx x

c) 4 3lim 5 2

xx x

d) 3lim 3

xx x

e) 3 2lim

xx x

f) 3 2

5

3lim

1x

x x

x x

0

g)

5 2

5lim

1x

x x

x x

1

h) 3 2

3

6lim

1 3x

x x x

x

2

i) 4

3 2

5lim

3x

x

x x

3. d < c < e < a < b < f



4.

a) lim ex

xx

b) lim ex

xx

0

c) 3 2

limxx

x x

e

0

d) 3 2

limxx

x x

e

e) 5ln

lim3x

x

x 0

f) 5

3lim

ln 2x

x

x

g)

35 2 1

3 2lim

1

x

x

x

x x

x x

h) 2

5limx

xx x

i)

11

lim1

x

x x

0



INDETERMINACIONES C-07-03

1.

a) 4 2

3 20

2 2lim

5 5x

x x

x x

b) 2

21

2 1limx

x x

x x

0

c) 2

4

4lim

8 2x

x x

x

–2

d) 21

1lim

3 2x

x

x x

–1

e) 2

3 21

1lim

2 7 7 2x

x

x x x

0

f) 4 3 2

5

13 57 95 50lim

5x

x x x x

x

0

g)

2

2 23

2 23

23

9lim

9 6 9lim

6 9 9lim

6 9

x

x

x

x

x x x

x x x

x x

h)

2

2 22

2 22

22

5 6lim

5 6 4 4lim

4 4 5 6lim

4 4

x

x

x

x x

x x x x

x x x x

x x

2.

a)

2 26lim

1 1x

x x

x x

2

b)2 3

2

1 2 1lim

3x

x x

x x

–

c)

3 2

2

1lim

2 1x

x x

x x

0

d)

2

4 3

6 3 1lim

4 3x

x x

x x

3

e) 3 2lim 1 2x

x x x

+

f) 2 1

lim 12x

x x x



3.

a) 3

3 3lim

3 6x

x

x

b) 1

2 3 1lim

1 4x

x

x

c) lim cosx

x

–1

d)

2

lim tgx

x

+

CONTINUIDAD C-07-04

1. Discontinua de salto finito en x = –4 y discontinua de salto infinito en x = 3.

2.

a) Continua en por ser un polinomio.

b) Discontinua de salto infinito en x = 0.

c) Discontinua de salto infinito en x = –2 y en x = 2.

d) Discontinua de salto infinito en x = –1 y en x = 3.

3.

a) 1 1

lim f 3 1 lim fx x

x x

Discontinuidad de salto finito

b) 0 0

1lim f lim f

2x xx x

Continua

c) 1 1

lim f lim f 1 1 f 1x x

x x

Discontinuidad evitable

d) 2 2

lim f lim f 0x x

x x

Discontinuidad de salto infinito

4.

a) k = 7

2

b) k = 4

17

5.

a) a = 1, b = 2

b) a = 6

, b = –

3



APLICACIONES DE LOS LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES A LAS CIENCIAS

SOCIALES C-07-05

1. Como lim ( ) ( ) 1t

t td p

podemos afirmar que la diferencia se estabilizará, por lo que no

habrá peligro de extinción de estas especies.

2. Calculamos el límite:

2 2 2

2

1 2 3 3 2 3lim ( ) lim lim 1,5

1 2 5 2 7 5 2t t t

t t t t

t t t tB t

Es decir, a largo plazo el beneficio tenderá a estabilizarse en 1,5 millones de euros anuales. 3. La función no puede calcularse para t = 3, pero sí podemos hallar el límite cuando nos acercamos a 3 (por la izquierda).

2 2 33 3 3

5 35 15 5lim ( ) lim lim lim

6 9 ( 3) ( 3)tt t t

ttt

t t t tP

La presión aumentará indefinidamente conforme nos acercamos a los 3 minutos, por lo que el recipiente estallará. 4. a) Si estacionas “algo menos de una hora”:

1 1lim ( ) lim1,2 1,2x x

x xf

Si estacionas «algo más de una hora»:

2

1 1lim ( ) lim 0,1 0,3 0,6 1x x

x x xf

Hay una incoherencia en el resultado: Además de no ser un precio continuo, el precio del estacionamiento por «algo menos de una hora» sería mayor que el precio por estacionar «algo más de una hora».

b) Como 3 3

lim ( ) lim ( ) 2,4x x

x xf f

en este caso sí existe coherencia y continuidad en el

precio al cambiar la tarifa.



VOCABULARIO MATEMÁTICO C-07-06

Todos los apartados admiten varias soluciones. Ejemplos:

1.

a)

b)

c)



d)

•

a) 1

f2

xx

b) 2 si 3

f 1si 3

3

x

xx

x

c) 1

0f

0

si xx x

x si x

o f exx x

d) f1

xx

x

2.

A



B

3.

A

B



LÍMITES CON WIRIS C-07-07

1.

a) 2

lim 32x

x

2

b) 3 2

limcos4 2 2x

x

c)3 2lim 2

xx x

+

d) 4

3 2

5lim

3x

x

x x

–

e) 4 2

3 20

2 2lim

5 5x

x x

x x

f) 3 2lim 1 2x

x x x

+

2. Discontinua de salto finito.

TEST MATEMÁTICO C–07–08

1. d

2. a

3. c

4. c

5. d

6. b

7. a

8. d

9. d

10. c


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