Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones

1. Introducción.

Tanto en las ciencias como en las ingenierías se desarrollan modelos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos. Generalmente, estos modelos producen una ecuación que contiene algunas derivadas de una función incógnita. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales no solo se utilizan en las ciencias e ingenierías, sino en otros campos del conocimiento humano como: la medicina, la economía, la investigación de operaciones y la psicología.

Definición. Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial (E.D).

2. Clasificación de las ecuaciones diferenciales.

Clasificación por el tipo. Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o varias variables dependientes con respecto a una variable independiente se dice que es una ecuación ordinaria (E.O.D). Una ecuación diferencial ordinaria puede ser escrita como:

2

223 , 7 0 y 8 2 ~ (1)dy d y dy dy dyy senx y x y

dx dx dx dx dt

Una ecuación con derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (E.D.P). Por ejemplo,

2 2 2 2

2 2 2 20, 2 y ~ (2)u u u u uu v x y y t x

son ecuaciones diferenciales parciales.

Según el orden. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de máximo orden que aparece en la ecuación diferencial. Ejemplo:

2

2 7 0d y dy ydx dx

es una ecuación de segundo orden

Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden de una variable dependiente, puede expresarse mediante la forma general

( , , ',..., ) 0 ~ (3)nF x y y y

Donde F es una función de valores reales de 2n variables:

, , ',..., nx y y y .

Por conveniencia práctica la ecuación (3) suele escribirse de la forma:

1

1, , ,..., ~ (4)n n

n n

d y dy d yf x ydx dx dx

De acuerdo a la linealidad. Una ecuación diferencial ordinaria de

orden n es lineal si F es lineal en , , ',..., nx y y y . Esto significa que una E.D.O de orden n es lineal cuando (3) es

11 1 0( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ) 0n n

n na x y a x y a x y a x y g x o bien

11 1 0( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ) ~ (5)n n

n na x y a x y a x y a x y g x

Dos casos especiales de (5) son las E.D.O de primer orden y segundo orden:

2

1 0 2 1 02( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ~ (6)dy d y dya x a x y g x a x a x a x y g xdx dx dx

.

Las dos propiedades características de una E.D.O lineal son:

La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es uno.

Los coeficientes 0 1 2, , ,..., na a a a depende solo de la variable independiente x .

Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es simplemente una que no es lineal. Las siguientes ecuaciones son no lineales:

2 32 2 5

2 35 ln , tanh y 0dy d y d yy y x y x ydx dx dx

3. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales y los problemas de valores iniciales.

Solución de una ecuación diferencial ordinaria.

Definición. Cualquier función , definida en un intervalo I y con al

menos derivadas continuas en I , que al sustituirse en una E.D.O de n-ésimo orden reduce la ecuación en una identidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.

Intervalo de definición. Es el intervalo donde la ecuación tiene su solución.

Curva solución. La gráfica de una solución de una E.D.O se llama

curva solución. Como es una función diferenciable, es continua en su intervalo de definición.

Tipos de soluciones.

Solución explicita: Una función ( )x tal que al sustituirla en vez de yen la ecuación diferencial satisface la ecuación para toda x en el

intervalo I .

Ejemplo 1. Compruebe que la función dada es una solución de la ecuación diferencial.

2

2

2 2

2 2

2 2

25, 5 tan 5

:

25sec 5

:25sec 5 (5 tan 5 ) 25 ~ ( )25sec 5 25 tan 5 25 ~ ( )

: tan 5 sec 5 1 ~ ( )

dy y y xdxDerivamos a ydy xdxAhora sustituímos a y y su derivada en la ecuación diferencial

x x ax x b

Sabemos que x x cSustituy

2 2

2 2

( ) ( ) :25sec 5 25(sec 5 1) 2525sec 5 25sec 5 25 2525 25

endo c en b tenemosx xx x

Solución implícita: Una relación ( , ) 0G x y es una solución implícita de

una ecuación diferencial en un intervalo I , siempre que exista al menos una función ( )x que satisface tanto la relación como la

ecuación diferencial en I .

Ejemplo 2. Verifique que la relación dada es una solución de la ecuación diferencial.

22 , ln 11

la relación tenemos que:1 2 ~ ( )

a :

1 22 obtiene la ecuación dada 1

dy xy y y xdx yDerivandody dy x adx y dx

dyDespejandodx

y dy dy xyx sey dx dx y

Familias de soluciones.1

Una solución ( )x algunas veces se denomina integral de la ecuación, y su gráfica se llama curva integral. Al resolver una ecuación diferencial de primer orden ( , , ') 0F x y y , por lo común se obtiene una solución que contiene una constante arbitraria o parámetro c . Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto ( , ) 0G x y de soluciones al que se le llama familia uniparamétrica de soluciones. Cuando se resuelva una ecuación diferencial de n-ésimo orden ( , , ',..., ) 0nF x y y y , se busca

una familia no paramétrica de soluciones 1 2 3( , , , , ,..., ) 0nG x y c c c c .

Esto significa que una ecuación diferencial puede poseer un número infinito de soluciones que corresponden al número ilimitado de elecciones para el (los) parámetro(s). Una solución de una ecuación que está libre de parámetro se llama solución particular.

Una ecuación diferencial posee una solución que no es miembro de una familia de soluciones de la ecuación, es decir, una solución que no se puede obtener al especificar algunos de los parámetros de la

1 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

familia de soluciones. Esta clase de solución extra se llama solución singular.

Problemas de valores iniciales

Definición. Por un problema con valores iniciales para una ecuación diferencial de orden n

, , ',... 0n

nn

d y f x y y ydx

Se entiende, hallar una solución de la ecuación diferencial en un

intervalo I que satisfaga 0x en las n condiciones iniciales

0 0

0 1

1

11

0 0 1 1

( ) ,

( ) ,

,

, , ..., son constantes dadas.

n

nn

n

y x ydy x ydx

d y ydxdonde x I y y y y

Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

Ejemplo 3. Encuentre la solución al problema de valor inicial dado

2

1 2 2

1 2

1 2

1 2 1 2

~ (1), 0, (0) 1, '(0) 2

(1) :' ~ (2)'' ~ (3)

. (1) (3) . . :0

0 0

x x

x x

x x

x x x x

d yy c e c e y y ydx

Derivamos respecto de xy c e c ey c e c eSust y en la ec dif para verificar si es la soluciónc e c e c e c e

Igual

0 01 2

0 01 2

1 2

1 2

1 2

2

(1) (2) :12

1~ (4)

2Re . (3) :

3 1 , :2 232 2

xx

amos y a las condiciones inicialesc e c ec e c ec cc c

solvemos el sist de ecuaciones

c y c entonces

c eey

4. Teorema. Existencia y unicidad de la solución2 Dado el problema con valor inicial

0 0( , ), ( ) ,dy f x y y x ydx

supóngase que ff yy

son funciones continuas en un rectángulo

( , ) : ,R x y a x b c y d

2 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

que contiene al punto 0 0( , )x y . Entonces el problema de valor

inicial tiene una única solución ( )x en algún intervalo

0 0x x x , donde 0 .

Del teorema anterior podemos sacar las siguientes dos conclusiones: 1. Cuando una ecuación satisface las hipótesis del teorema de

existencia y unicidad, tenemos la seguridad que existe una solución al problema de valor inicial.

2. Si se satisfacen las hipótesis, existe una única solución del problema con valor inicial. Esta unicidad nos dice que si podemos determinar una solución, entonces ésta es la única solución para el problema con valor inicial.

Ejemplo 4. Determine si el teorema de existencia y unicidad implica que el problema de valor inicial dado tiene una solución única.

3 3

3 3

3 3

2

, (0) 6.

:

, :

( , )

3

var ( , ) (0,6), por

tan

dy x y ydxdyDespejamos a dx

dy x y entonces tenemos quedxf x y x yf yy

fComo podemos obser f x y y son funciones continuas enyto la EDO tiene una única

(0- ,0 ), solución en donde

5. Campo de direcciones y el método de las isoclinas

Una técnica útil para visualizar las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden consiste en bosquejar el campo de direcciones de la ecuación. Para describir el método, necesitamos una observación general: una ecuación de primer orden

( , )dy f x ydx

especifica una pendiente en cada punto del plano xy donde f está definida. En otras palabras, proporciona la dirección que debe tener una solución de la ecuación en cada punto.

Preparador por: Prof. Gil Sandro Gómez.

Definición. Un bosquejo con pequeños segmentos de recta 3trazados en diversos puntos del plano xy para mostrar la pendiente de la curva solución en el punto correspondiente es un campo de direcciones de la ecuación diferencial.

Ecuación diferencial de primer orden autónoma

Definición. Una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece de manera explícita es autónoma. Si el símbolo x denota la variable independiente, entonces una ecuación diferencial de primer orden autónoma se puede escribir como ( , ') 0f y y o en forma normal como

( ) ~ (1)f ydydx

Se asume que la función f en (1) y su derivada 'f son funciones continuas de en algún intervalo I .

Ejemplo 5. Diga si las siguientes ecuaciones son autónomas.

4 3

cos

1. 0 3. 2 ln

2. tan 4. y

seny y y y y

yxy y ex

dy dydx dxdy dydx dx

Las ecuaciones 1 y 3 son autónomas y las ecuaciones 2 y 4 no.

Puntos críticos. Los ceros de la función f en (1) son de vital

importancia. Se dice que un número real c es un punto crítico de la ecuación diferencial autónoma (1) si es un cero de f , es decir,

( ) 0f c . Un punto crítico también se llama punto de equilibrio o punto estacionario. Podemos observar que si que si sustituimos la

3 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

función constante ( )y x c en (1), entonces ambos lados de la ecuación son cero. Esto significa:

Si c es un punto crítico de (1), entonces ( )y x c es una solución constante de la ecuación diferencial autónoma.

Una solución ( )y x c de (1) se llama solución de equilibrio; los equilibrios son las únicas soluciones constantes de (1).

6. Método de Aproximación de Euler 4 El método de Euler (o método de la recta tangente) es un procedimiento que permite construir aproximaciones a las soluciones de un problema con valor inicial, para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden 0 0 ~ (1)' ( , ), ( )y f x y y x y Para ser más preciso, supongamos que el problema con valor inicial (1) tiene una única solución ( )x en cierto intervalo con

centro 0x . Sea h un número positivo fijo (llamado el tamaño del

paso) y considerando los puntos equidistantes

0 , 0,1,2,3,...nx x nh n

La construcción de los valores ny que aproximan los valores de la

solución ( )x procede de la manera siguiente: En el punto

0 0( , )x y , la pendiente de la solución (1) está dada por

0 0( , )dy f x ydx

. Por tanto, la recta tangente a la curva solución en el

punto inicial 0 0( , )x y es

0 0 0 0( ) ( , )y y x x f x y .

Usamos esta recta tangente para aproximar ( )x y vemos que

para el punto 1 0x x h

1 1 0 0 0( ) ( , )x y y hf x y .

Ahora partimos del punto 1 1( , )x y para construir la recta con pendiente dada por el campo de direcciones en el punto 1 1( , )x y ;

4 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.

es decir, con pendiente igual a 1 1( , )f x y . Si seguimos esta recta

1 1 1 1( ) ( , )y y x x f x y al pasar de 1 2 1 x a x x h , obtenemos la aproximación

2 2 1 1 1( ) ( , )x y y hf x y .

Al repetir el proceso, obtenemos

3 3 2 2 2

4 4 3 3 3

( ) ( , )( ) ( , ), etcx y y hf x yx y y hf x y

5 Este sencillo procedimiento es el método de Euler y se puede resumir mediante la fórmula recursiva

1

1

~ (2)( , ) ~ (3), 0,1,2,...

n n

n n n n

x x hy y hf x y n

Ejemplo 6. Use el método de Euler para aproximar la solución del problema con valor inicial dado, en los puntos

0.1,0.2,0.3, 0.4 y 0.5x , utilice un tamaño de paso 0.1h .

(2 ), (0) 3dy y y ydx

20 0

1

1

1

21 0 0 0 0 0

Pr ( , ) :( , ) 2 , 0, 3 0.1

( , ) 0

0 0.1 0.1

0.1 ( , ) 3 0.1 2 3 0.1 2(3) 3

n n

n n n n

imero identificamos a f x y y luego aplicamos la fórmula de recurrenciaf x y y y x y y hx x hy y hf x yPara nx

y y f x y y y

2

2 22 1 1 1

2 23 2 2 2

24 3 3 3

2.7

1

0.1 2 ( ) 2.7 0.1 2(2.7) (2.7) 2.511

2

0.1 2 ( ) 2.511 0.1 2(2.511) (2.511) 2.3827

3

0.1 2 ( ) 2.3827 0.1 2(2.3827) (2.3827)

Para n

y y y y

Para n

y y y y

Para n

y y y y

2

2 25 4 4 4

2 26 5 5 5

2.2915

4

0.1 2 ( ) 2.2915 0.1 2(2.2915) (2.2915) 2.2247

5

0.1 2 ( ) 2.2247 0.1 2(2.2247) (2.2247) 2.1747

Para n

y y y y

Para n

y y y y

5 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez.