Ecuaciones Diferenciales 2 Comprobación Soluciones
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..i1cial
:-rrn de Llna
r denomina
t¡iLrstran¡lo
SOLUCIONES DE I-AS ECUACIONES DIFERENCIALES
PROBLEMAS PROPUESTOS
1l
Demostrar que cada una de las siguientes expresiones es una solucién de la correspondiente ecuación dilerencial.il.,sificar caCa una como una solución particular o una solución general (primitiva).
-2l-1. Y=zÁ'2214. x +Y rU,
15. ! = Cz + C+,
16. (l-x¡Yz = at,
l-. J = ex(r-x),
It. ¡' = Cú + Cre",
19. i- = Cfx + Cre**"
:u. !=C*x+Cr"'*+x-4,t tv
:1. .v = L* + L2e
:1. ! = Ctex + C2ezx r,'"t,
xY' = 2Y.
yyt+ x = 0,
y = xyt + (yt)'+ "
k1 y' = y1y2 + Jxz¡.
y"-2y'+y=0.
(x-L)Y"-xyt+Y=0.
y"-y=0,
y" - y = 4 - x,
y"-3y'+2y=0,
Y" - 3Yt+ 2Y = zen1l-x¡.
Solución particular
Primitiva
Primitiva
Solución particular
Solución particular
Solución general
Solución general
Solución general
Solución general
Solución generál
1.2 lntegroles como soluciones generoles y porticulores 17
para la trayectoria del nadador. La condición inicial y(-]) = 0 hace Que c : 1, y así
Entonces
y(x) :3x - 4x3 + I.
y(+):3(+) -+G)'+r:2,así que el nadador es llevado por la corriente 2 mi abajo, mientras que él nada 1 mi a
Tlo largo del río.
Problemas
En los problemas I al l0 encuentre la función y : f(x) quesatisfaga la ecuación difurencíal dada y la condición inicialprescrita.
dt,
'' ú :2x-t t" Y(o) : 3
dt2'
dx : (x -212: Y(21 : I
dtt,. ñ: Jx:yA):0
4- + :1: v(r) : sax
s. y:-!, r'(2): -ldx t/x+2'dv
6. dx
: ¡r/xr + 9l )¡(-4) : 0
7.y:,10-'v(0):o B.Ax x'+ ldvú: "ot2r;
y(0) : I
^ dv I dvn' *: JT=7t Y(or : o lo' fr: "-" Y(o): I
En los problemas lI al ,/8, encuentre lafunción de posiciónl(t) de una partícula moviéndose con una aceleración dadadt); considere como posición inicial xs: ¡(0) y como veloci-dad inicial ue : u(0).
ll. a(t): 50, os :10,xo:2912. a(t) : -20, uo : -15, xo : 5
lj. a(t) : 3t , uo: 5, xo : g
14. a(t) : 2t + l, ut) : -7 , ¡r: 415. a(t): 4(r + 3)2.u0:-1. xo: ¡
16. a(r): + Do:-t.xo:t'/t+4
17. a(t): -l-== . D6 : o. xo : e(/+ t;: "
lE. a(t): 50 sen 5/, o6 :-10,x0 : g
En lo s problemas I 9 al 22, una partícula inicia su recorrido enel origen y viaja a lo largo del eje x con unafunción de veloci-dad a(t) cuya grófica se muestra en las figuras I .2.6 a la L2 .9.Trace lq grdfica de lafunción para la posición que resultanterdt) en el intervalo 0 s /< 10.
6t¡
FIGURA 1.2.6. Gráfica de la funciónpara la velocidad o(r) del problema 19.
(5, s)
t
FIGURA 1.2.7. Gráfica de la funciónpara la velocidad u(t) del problema 20.
19.
t0
t0
1020.
AS
ilabl
i
p)
I
lelI
I
papIaito
Ii
i1
fe-
L
le)21. ro
8
02 6810.T
FIGURA 1.2.8. Gráfica de la funciónpara la velocidad D(t) del problema 21.
h
46.
47.
740 Respuestos o problemos seleccionodos
u(¡) : 50/( 5 + 2t); u : 1 cuando t : 22.5, y u : I cuando
t : 24'7.5. Así, se observa que u(r) se aproxima a 0 conforme /se incrementa sin cota.
(a) C : 10.1; (b) No es C, pero la función constante y('r) = 0satisface las condiciones y' : y2 y )(0) : 0.
Sección 1.2
1. y(r):x2+x+3 2, Y(x)::(x-2)'+1
3. l(x) : \(2xlt'z - 16) 4. v(t) :- tl x + 6
5. y(r) :2",r;Tt-5 6. y(t)::t(x'z +9)3/2 -t251
7. y(r): 10tan r¡ 8. Y(t) : ! sen2x * 1
9. y(x) : sen-'x 10. Y(x) :- (x + 1)e ' +2
ll. x(t):25t2+ 10r+20 12. x(t):-70t2 -15/+513. ;r(¡) - lt3 +5t 14. x(t): \,'+ lt2 -7t +4
15. x(/): lt, - 3't4 -37t -26
16. x(t) : 1Q + 4)3tz - 5t - D
17. x(t): i [t¡ + l) r +r - 1]
ís, sio<r<5,19'xt¡r:ll* 1,, ? si5<¡<ro.
21. x(t) :
22. x(t¡ =
si0<¡<5,si5<¡<10.tu - +t2 -25
40
30
>20
10
0
2,'Jr-;l{-st'+1oo/-290)
t
si0<¡<3,si3<¡<7,si7=/<10.
zo. *t,, :[i" ,. sio < I < 5'-"--"- [5, ; si5<r<10.
¡n
.,1""',ttl
,t6,2st
j"I
23. u(t) : - (9.8)f + 49, de tal manera que la bola alcar: 'x al!üuüm
miíxima (u : 0) después de ¡ : 5 s. Su altura máxrr'. :y(5) : 122.s (m).
u(5) : -160 ftls
El carro se detiene cuando / = 2.78 (s), de ta1 mane:' :'L'
que recorre antes de pararse es de aproximadament: - - ' :
(a)r= 530m (b)t x 20.41s (c)rt 20.61 s
)o ! 178.57 (m)
u(4.77¡x-192.64ft|s
Después 10 s e1 carro ha recorido 200 ft y viaja a
a : 22ftls2; patina por 4 s.
u6 : 10 "40
(-¡ t, cerca de 197.18 km/h.
33. 20llio ! 6-¡.1-' -36. Cerca de 13.ó -
30
.20
10
0
30
>20
l0
0
10
24.)<
26.
27.
28.
29.30.
31.
32.
34.
35.
37.
39.
41.
43.
Si uo : g y lo : hentonceslavelocidady la i:'-. : -
dadasporu : -gty y : 0.5porloque.si' : :l--:
mentonces u- -g
'/f
: ,'ERh
60m
460.8 ft
25 (mi)
6 mph
f = 181.33 ftls
38. t:topm
40. 2.4 mi
42. 25 njTiempo: 6.12245 x 10e s = 194 años;
f)istancia: 1.8367 X 1017 m = 19.4 años luz
.i"'.i , ,,"''
.r/(5.12.5\,'
a: .. J...:.i.\
'",i1j'' i
0
44- Cerca de 54 mi/hora