SEGUNDA PARTE ECUACIONES DIFERENCIALES CON SOLUCIONES

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Temas Presentes en la siguiente guía: GUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALESGUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALESGUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALESGUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2da PARTE.2da PARTE.2da PARTE.2da PARTE. Con más de 250 ejercicios.Con más de 250 ejercicios.Con más de 250 ejercicios.Con más de 250 ejercicios. (1) Algunos Tipos de Sustituciones. (2) Reducción de Ordenes (3) Sistema de Ecuaciones Diferenciales. (4) A coeficientes constantes…. (5.1) Homogéneos. (5.2) No Homogéneos. (5) Ecuaciones diferencial de orden “n” Homogéneas. (6) Método de Variación de Parámetros. (7) Método del Anulador. (8) Método de Coeficientes Indeterminados. (9) Ecuación de Euler. Fe de Errata:

En la guía de Ecuaciones Diferenciales Primera Parte, en el ejercicio (g) de la pregunta 8 pagina 3. ; <;<= > 2= ? 5;@ A B CDCB > ED ? FBG

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GUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES. SEGUNDA PARTE. DIFERENTE TIPO DIFERENTE TIPO DIFERENTE TIPO DIFERENTE TIPO DE CAMBIO DE VARIABLEDE CAMBIO DE VARIABLEDE CAMBIO DE VARIABLEDE CAMBIO DE VARIABLE1111.... 1.1.1.1.---- Realice el cambio de variable L ? ;/=N con la n indicada. i.- OPOQ ? RSQPTUQTP V ? W RU ii.- OPOQ ? UX@QPTYQTP V ? @Y iii.- OPOQ ? PSQPTQXQTP V ? W1 2.2.2.2.---- Pruebe que ;[ > \(=); ? ](=). ;. log';) puede resolverse mediante el cambio de variable L ? log ';) y aplique esto para resolver. =;[ ? 2=U; > ; log';) SOLUCIONES FUNDAMENTALES DE ECUACIONES HOMOGENEASSOLUCIONES FUNDAMENTALES DE ECUACIONES HOMOGENEASSOLUCIONES FUNDAMENTALES DE ECUACIONES HOMOGENEASSOLUCIONES FUNDAMENTALES DE ECUACIONES HOMOGENEAS2222.... 3333....---- En las siguientes ecuaciones determine. 'a) Verificar que las funciones ;R, ;U son soluciones LI de la ecuación dada. 'b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. 'c) Encuentre la solución que satisfaga las condiciones iníciales. i.- ;[[ W 5;[ > 6; ? 0 ;R ? _UQ ;U ? _@Q ;'0) ? W1 ;['0) ? W4 ii.- ;[[ W 2;[ > 5; ? 0 ;R ? _Q cos'2=) ;U ? _Q sin'2=) ;'0) ? 2 ;['0) ? 0 iii.- =U;[[ W 2; ? 0 ;R ? =U ;U ? =SR ;'1) ? W2 ;['1) ? W7 iv.- ;[[ > ;[ W 2; ? 0 ;R ? _Q ;U ? _SUQ ;'0) ? 8 _ ;['0) ? 2 1 Este ejercicio muestra que puede haber varios tipos de cambio de variable o sustituciones, pero el curso solo se adapta a

las enseñadas en clases. 2 Trate los siguientes ejercicios como ecuaciones lineales de orden “n”. Acuérdese de Wronskiano el cual permite saber si

dos soluciones son LI.

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v.- ;[[ > ;[ W 2; ? 0 ;R ? _Q ;U ? _SUQ ;'1) ? 0 _ ;['1) ? 0 vi.- ;[[ > 5;[ > 6; ? 0 ;R ? _SUQ ;U ? _S@Q ;'0) ? 1 _ ;['0) ? 1 vii.- ;[[ > ;[ ? 0 ;R ? 1 ;U ? _SQ ;'2) ? 0 ;['2) ? _SU 4444....---- Considere la ecuación diferencial ;[[ > 5;[ W 6; ? 0 'a) Demuestre que `R ? a_Q; _Q W 6_ScQd es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación. 'b) Demuestre que `U ? a_Q; 3_Q > _ScQd es otro conjunto fundamental de soluciones de la ecuación. 'c) 3Verifique que e'Q) ? _ScQ es solución de la ecuación; exprese luego e'Q) como combinación lineal de funciones pertenecientes a R̀. Análogamente hágalo con `U. COMO OBTENER UNA SEGUNDA SOLUCION CONOCIDA UNA.COMO OBTENER UNA SEGUNDA SOLUCION CONOCIDA UNA.COMO OBTENER UNA SEGUNDA SOLUCION CONOCIDA UNA.COMO OBTENER UNA SEGUNDA SOLUCION CONOCIDA UNA. 5555....---- Demuestre que la segunda solución se obtiene mediante la siguiente igualdad ;U'=) ? h'=);R'=) donde ;R'=) es la solución conocida de la ecuación diferencial. ;[[ > \'=);[ > ]'=); ? 0 6666....---- La ecuación. =;[[[ > '1 W =);[[ > =;[ W ; ? 0 Tiene a h'=) ? = como solución. Use la sustitución ;'=) ? i'=)h'=) para reducir esta ecuación de tercer orden a una ecuación lineal homogénea de segundo orden en la variable j ? ik. 7777....---- En los siguientes problemas se da una ecuación diferencial y una solución NO trivial. Determine una segunda solución linealmente independiente. i.-;[[ W 3;[ > 2; ? 0 h'=) ? _Q ii.- ;[[ > 2;[ W 15; ? 0 h'=) ? _@Q 3 Describa la solución general como combinación lineal cuyo resultado es _ScQ

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iii.- =U;[[ > 6=;[ > 6; ? 0 = l 0 h'=) ? =SU iv.- =U;[[ W 2=;[ W 4; ? 0 = l 0 h'=) ? =SR v.- =;[[ W '= > 1);[ > ; ? 0 = l 0 h'=) ? _Q vi.- =;[[ > '1 W 2=);[ > '= W 1); ? 0 = l 0 h'=) ? _Q RRRREDUCCION DE ORDENEDUCCION DE ORDENEDUCCION DE ORDENEDUCCION DE ORDEN 8888....---- Resolver las siguientes ecuaciones. i.- ;;[[ > ';[)U ? 0 ii.- =;[[ ? ;[ > ';[)@ iii.- ;[[ W mU; ? 0 iv.- =U;[[ ? 2=;[ > ';[)U v.- 2;;[[ ? 1 > ';[)U vi.- ;;[[ W ';[)U ? 0 vii.- =;[[ > ;[ ? 4= 9999....---- Hallar la solución particular en cada caso. i.- '=U > 2;[);[[ > 2=;[ ? 0 ; ? 1 _ ;[ ? 0 nopo = ? 0 ii.- ;;[[ ? ;U;[ > ';[)U ; ? W RU _ ;[ ? 1 nopo = ? 0 iii.- ;[[ ? ;[_P ; ? 0 _ ;[ ? 2 nopo = ? 0

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE GRADO UNO,SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE GRADO UNO,SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE GRADO UNO,SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE GRADO UNO, HOMOGENEO Y NO HOMOGENEOHOMOGENEO Y NO HOMOGENEOHOMOGENEO Y NO HOMOGENEOHOMOGENEO Y NO HOMOGENEO 10101010....---- Determine la solución de los sistemas que se presentan a continuación, algunos son homogéneos otros son no homogéneos. La prima (‘) indica derivada respecto a t. s. W t <= ;[ W = ? 5=[ > ;[ > ; ? 1v si. W w'x > y)'=) W 'x > y)';) ? _z'x W y)'=) > '2x > y)';) ? 5v i. W w =[ > ;[ > 2= ? 0=[ > ;[ W = W ; ? sin(u)v is. W t <= ; ? uU

W= > <; 2; > 5u<; 4; > 17uv isss. W { =[ ? 3= > ; W L;[ ? = > 2; W LL[ ? 3= > 3; W Lv

s=. W {=[ ? ; > L;[ ? = > LL[ ? = > ;v =. W t<= 4;<; 3;v

=s. W t<= 2;v =ss. W t <= 5;v

=sss. W t<= 4;<; ; v =si. W t<= 6;<; 6;v

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ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES DE ORDEN “n” HOMOGENEAS.DE ORDEN “n” HOMOGENEAS.DE ORDEN “n” HOMOGENEAS.DE ORDEN “n” HOMOGENEAS.4444 11111111....---- Encuentre la solución de la ecuación diferencial. i.- ;[[ > ;[ W 2; ? 0 ii.- ;[[ > 5;[ > 6; ? 0 iii.- ;[[ W 8;[ > 16; ? 0 iv.- ;[[ > 6;[ > 9; ? 0 v.- ;[[ > ;[ W ; ? 0 vi.- ;[[ W 5;[ > 6; ? 0 vii.- 7;[ > 10; ? 0 viii.- ;[[ W ;[ W 11; ? 0 ix.- 6;[[ > ;[ W 2; ? 0 x.- 4;[[ W 4;[ > ; ? 0 xi.- 4;[[ > 20;[ > 25; ? 0 xii.- 3;[[ > 11;[ W 7; ? 0 12121212....---- Resuelva el problema con valor inicial.

i.- ;[[ > ;[ ? 0 ;'0) ? 2; ;['0) ? 1

ii.- ;[[ > 2;[ W 8; ? 0 ;'0) ? 3 ; ;['0) ? W12

iii.- ;[[ > 2;[ > ; ? 0 ;'0) ? 1 ;['0) ? W3

iv.- ;[[ W 4;[ > 3; ? 0 ;'0) ? 1 ;['0) ?R

@

v.- ;[[ W 2;[ W 2; ? 0 ;'0) ? 0 ;['0) ? 3

vi.- ;[[ W 6;[ > 9; ? 0 ;'0) ? 2 ;['0) ?U|

@

vii.- ;[[ W 4;[ > 4; ? 0 ;'1) ? 1 ;['1) ? 1

viii.- ;[[ W 4;[ W 5; ? 0 ;'W1) ? 3 ;['W1) ? 9

11113.3.3.3.---- Resuelva los siguientes apartados

'a) Comprobar que ;R ? _SQ ;U ? _UQ son soluciones de la ecuación reducida

;[[ W ;[ W 2; ? 0 ¿Cuál es la solución general?.

'b) Hallar a y b tales que ;� ? o= > � sea una solución particular de la ecuación completa

;[[ W ;[ W 2; ? 4=. Usar esta solución junto con el resultado en a.- para escribir la

solución general de esta ecuación.

4 La mayoría de los ejercicios son ecuaciones de grado n=2, al final se le presenta ecuaciones de ordenes superiores.

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14141414....---- Determine la solución general de cada una de las ecuaciones.5 i.- ;[[ > ;[ W 6; ? 0 ii.- ;[[ > 2;[ > ; ? 0 iii.- ;[[ > 8; ? 0 iv.- 2;[[ W 4;[ > 8; ? 0

v.- ;[[ W 4;[ > 4; ? 0 vi.- ;[[ W 9;[ > 20; ? 0

vii.- 2;[[ > 2;[ > 3; ? 0 viii.- W12;[ > 9; ? W4;kk

ix.- ;[[ > ;[ ? 0 x.- ;[[ W 6;[ > 25; ? 0

xi.- 25; ? W4;[[ W 20;k xii.- ;[[ > 2;[ > 3; ? 0

xiii.- ;[[ ? 4; xiv.- 4;[[ W 8;[ > 7; ? 0

xv.- 2;[[ > ;[ W ; ? 0 xvi.- 16;[[ W 8;[ > ; ? 0

xvii.- i[[ > 4i[ > 5i ? 0 xviii.- ;[[ > 4;[ W 5; ? 0

15151515....---- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de valor inicial.

i.- ;[[ W 5;[ > 6; ? 0 ;'1) ? _U _ ;['0) ? 3_U

ii.- ;[[ W 6;[ > 5; ? 0 ;'0) ? 3 _ ;['0) ? 11

iii.- ;[[ W 6;[ > 9; ? 0 ;'0) ? 0 _ ;['0) ? 5

iv.- ;[[ > 4;[ > 5; ? 0 ;'0) ? 1 _ ;['0) ? 0

v.- ;[[ > 4;[ > 2; ? 0 ;'0) ? W1 _ ;['0) ? 2 > 3√2

vi.- ;[[ > 8;[ W 9; ? 0 ;'1) ? 2 _ ;['1) ? 0

ECUACIONES AUXILIARES CON RAICES COMPLEJAS.ECUACIONES AUXILIARES CON RAICES COMPLEJAS.ECUACIONES AUXILIARES CON RAICES COMPLEJAS.ECUACIONES AUXILIARES CON RAICES COMPLEJAS.

16161616....- Determine la ecuación auxiliar de la ecuación diferencial dada. La misma tiene raíces complejas. Encuentre la solución general.

i.- ;[[ > ; ? 0 ii.- ;[[ W 6;[ > 10; ? 0

iii.- ;[[ > 4;[ > 6; ? 0 iv.- 4;[[ > 4;[ > 6; ? 0

5 Aquí le presento mas ejercicios referente a la pregunta 11 y 12.

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17171717....---- Obtenga la solución general de la ecuación diferencial. i.- ;[[ > 4;[ > 8; ? 0 ii.- ;[[ > 10;[ > 25; ? 0 iii.- ;[[ > 2;[ > 5; ? 0 iv.- ;[[ W 3;[ W 11; ? 0 v.- ;[[ W ;[ > 7; ? 0 vi.- 3;[[ > 4;[ > 9; ? 0 18181818....---- Resuelva el problema con valor inicial dado.

i.- ;[[ > 2;[ > 2; ? 0 ;'0) ? 2 ;['0) ? 1

ii.- ;[[ W 4;[ > 2; ? 0 ;'0) ? 0 ;['0) ? 1 iii.- ;[[ W 2;[ > ; ? 0 ;'0) ? 1 ;[(0) ? W2 iv.- ;[[ W 2;[ > 2; ? 0 ;'�) ? _� ;['�) ? 0 11119999....---- En el estudio de un circuito eléctrico que consta de una resistor, capacitor, inductor y una fuerza electromotriz se llega a un problema de valor inicial de la forma �. <s �s > �� ? �'u) �'0) ? �� s'0) ? s�

Donde L es la inductancia en henrios, R es la resistencia en ohmios, C es la capacitancia en faradios,, E't) es la fuerza electromotriz en voltios, q't) es la carga en coulombios en el capacitor en el tiempo t e s ? O�Oz es la corriente en amperios. Encuentre la corriente en el instante t si la carga en el capacitor es inicialmente 0, la corriente inicial es 0, L?10 H,

R=20 ohmios, C=1/6260 F y E(t)=100 V.

SugerenciaSugerenciaSugerenciaSugerencia: derive para obtener una ecuación homogénea y de orden 2. 6

6 Este tipo de problema lo estará resolviendo en física 4 aquellas persona quienes lleguen ahí. Son conocidos como

circuitos RLC. Resistencia Capacitancia Condensador.

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ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEASECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEASECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEASECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS METODOS PARA DETERMINAR METODOS PARA DETERMINAR METODOS PARA DETERMINAR METODOS PARA DETERMINAR LA SOLUCION PARTICULARLA SOLUCION PARTICULARLA SOLUCION PARTICULARLA SOLUCION PARTICULAR METODO (1) METODO (1) METODO (1) METODO (1) COEFICIENTES INDETERMINADOS COEFICIENTES INDETERMINADOS COEFICIENTES INDETERMINADOS COEFICIENTES INDETERMINADOS 20.20.20.20.---- Encuentre una solución particular de la ecuación diferencial dada. i.- ;[[ > 2;[ W ; ? 10 ii.- ;[[ > ; ? 5_UQ iii.- 2;[ > ; ? 2=U > 10= iv.- ;[[ > ;[ > ; ? 2 cos(2=) W 3sin'2=) v.- ;[[ W 5;[ > 6; ? =_Q vi.- ;[[ W ; ? =�sV'=) vii.- ;[[ W 2;[ > ; ? 8_Q viii.- ;[[ W 6;[ > 9; ? =U > _Q 21.21.21.21.---- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. i.- ;[[ W ; ? W11= > 1 ii.- ;[[ > ;[ W 2; ? =U W 2= > 3 iii.- ;[[ W 3;[ > 2; ? _Qsin (=) iv.- ;[[ > 2;[ > 2; ? _SQcos (=) v.- ;[[ W 4;[ > 4; ? =_UQ vi.- ;[[ > 4;[ > 5; ? _SQ W sin '2=) vii.- ;[[ > ;[ > ; ? cos'=) W =U_Q viii.- ;[[ > 3;[ W 10; ? 6_YQ ix.- ;[[ > 4; ? 3sin '=) x.- ;[[ > 10;[ > 25; ? 14_S|Q xi.- ;[[ W 2;[ > 5; ? 25=U > 12 xii.- ;[[ W ;[ W 6; ? 20_SUQ xiii.- ;[[ W 3;[ > 2; ? 14 sin'2=) W 18sin '2=) xiv.- ;[[ > ; ? 2cos '=) xv.- ;[[ W 2;[ ? 12= W 10 xvi.- ;[[ W 2;[ > ; ? 6_Q xvii.- ;[[ W 2;[ > 2; ? _Qsin (=) xviii.- ;[[ > ;[ ? 10=Y > 2 22.22.22.22.---- Encuentre la solución del problema de valor inicial. i.- ;[ W ; ? 1 ;(0) ? 0 ii.- ;[[ > ; ? 2_SQ ;(0) ? 0 ? ;[(0) iii.- ;[[ W ;[ W 2; ? cos(=) W sin(2=) ;(0) ? W �U� ;[(0) ? R| iv.- ;[[ > ;[ W 12; ? _Q > _UQ W 1 ;(0) ? 1 ;[(0) ? 3 v.- ;[[ W ; ? sin'=) W _UQ

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23.23.23.23.---- Determine como es la forma de una solución particular de la ecuación diferencial. i.- ;[[ > ; ? sin(=) > =��(=) > 10Q ii.- ;[[ W ;[ W 2; ? _Q cos(=) W =U > = > 1 iii.- ;[[ W 4;[ > 4; ? =U_UQ W _UQ iv.- ;[[ W ; ? _Q W 7 > cos '=) 24.24.24.24.- Sea ;[[ > 2;[ > 5; ? �'=) ;'0) ? 0 ;['0) ? 0 Con �'=) ? t10, 0 � = � 3�20, = l 3�2

v 'a) Encuentre una solución del problema de valor inicial para 0 � = � @�U . 'b) Encuentre la solución general para = l @�U 'c) Elija ahora las constantes de la solución general de la parte 'b) de manera que la solución de la parte 'a) y la solución de 'b) coincidan en = ? @�U . Esto proporciona una función continua que satisface la ecuación diferencial excepto en = ? @�U .

22225555....---- Si ;R'=) _ ;U'=) son soluciones de ;[[ > \'=);[ > ]'=); ? �R'=) ; ;[[ > \'=);[ > ]'=); ? �U'=) Pruebe que ;'=) ? ;R'=) > ;U'=) es una solución de ;[[ > \'=);[ > ]'=); ? �R'=) > �U'=) 'a) Utilice este método para determinar. i.- ;[[ > 4; ? 4 cos'2=) > 6 cos'=) > 8=U W 4= ii.- ;[[ > 9; ? 2 sin(3=) > 4 sin'=) W 26_SUQ > 27=@

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METODO (2) VARIACION DE PARAMETROS.METODO (2) VARIACION DE PARAMETROS.METODO (2) VARIACION DE PARAMETROS.METODO (2) VARIACION DE PARAMETROS. 26.26.26.26.---- Hallar una solución particular de cada una de estas ecuaciones. i.- ;[[ > 4; ? tan '2=) ii.- ;[[ > 2;[ > ; ? _SQlog '=) iii.- ;[[ W 2;[ W 3; ? 64_SQ

iv.- ;[[ > 2;[ > 5; ? _SQsec '2=) v.- 2;[[ > 3;[ > ; ? _S@Q vi.- ;[[ W 3;[ > 2; ? (1 > _SQ)SR 22227777.- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial empleando el método de variación de parámetros. i.- ;[[ > 4; ? tan'2=) ii.- 2;[[ W 2;[ W 4; ? 2_@Q iii.- ;[[ W 2;[ > ; ? =SR_Q iv.- ;[[ > 16; ? sec(4=)

v.- ;[[ > 4; ? cscU 2=

28282828....---- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada.

i.- ;[[ > ; ? tan(=) > _@Q W 1

ii.- ;[[ > 4; ? secY(2=)

iii.- ;[[ > ; ? 2 sec(=) W =U > 1

iv.- RU ;[[ > 2; ? tan(2=) W RU _Q

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METODO METODO METODO METODO (3) ANULADOR.(3) ANULADOR.(3) ANULADOR.(3) ANULADOR.

29.29.29.29.---- Encuentre un operador diferencial que anule a la función dada.

i.- 3=U W 6= > 1 ii.- =Y W =U > 11 iii.- _|Q iv.- _S�Q v.- _UQ W 6_Q vi.- =U W _Q vii.- =U_SQsin (2=) viii.- =_@Qcos (5=) ix.- =U_Q W =�sV(4=) > =@

x.- = _SUQ > =_S|Qsin (3=)

30.30.30.30.---- Utilice el método de los anuladores para resolver las siguientes ecuaciones.

i.- ;[[ W 5;[ > 6; ? cos(2=) > 1

ii.- ;[[ W 5;[ > 6; ? _@Q W =U

iii.- ;[[ > 2;[ > ; ? =U W = > 1

iv.- ;[[ > 2;[ > 2; ? _SQ cos(=) > =U

v.- ;[[[ W 2;[[ > ;[ ? = W _Q

SUPERPOSICION SUPERPOSICION SUPERPOSICION SUPERPOSICION DE SOLUCIONESDE SOLUCIONESDE SOLUCIONESDE SOLUCIONES....

31313131....---- Se le da una ecuación no homogénea y una solución particular de ella. Encuentre la

solución general de la ecuación.

i.- ;[[ > ;[ ? 1 ;�(=) ? =

ii.- ;[[ W ;[ W 2; ? 1 W 2= ;�(=) ? = W 1

iii.- ;[[ > 2;[ > 4; W 4 cos(2=) ? 0 ;�(=) ? sin (2=)

iv.- OT�

OzTW

O�

Oz> � ? sin(u) ��(u) ? cos (u)

v.- ;[[ ? 2; > 2 tanU(=) ;�(=) ? tan (=)

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32323232....- Puesto que ;R(=) ? cos '=) es solución de ;[[ W ;[ > ; ? sin '=) y ;U'=) ? _UQ/3 es

solución de ;[[ W ;[ > ; ? _UQ determine soluciones a cada una de las siguientes

ecuaciones:

i.- ;[[ W ;[ > ; ? 5sin '=)

ii.- ;[[ W ;[ > ; ? sin'=) W 3_UQ

iii.- ;[[ W ;[ > ; ? 4 sin'=) > 18_UQ

ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES DE ORDEN “n” GENERALDE ORDEN “n” GENERALDE ORDEN “n” GENERALDE ORDEN “n” GENERAL

33.33.33.33.---- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

i.- ;[[[ W 3;[[ W ;[ > 3; ? 0 ii.- 6;[[[ > 7;[[ W ;[ W 2; ? 0

iii.- ;[[[ > 3;[[ W 4;[ W 6; ? 0 iv.- ;[[[ W ;[[ > 2; ? 0

v.- ;[[[ W 9;[[ > 27;[ W 27; ? 0 vi.- ;[[[ > 5;[[ > 3;[ W 9; ? 0

vii.- ;Y > 4;[[ > 4; ? 0 viii.- ;[[[ W 3;[[ > 2;[ ? 0

ix.-;[[[ W 3;[[ > 4;[ W 2; ? 0 x.- ;[[[ W ; ? 0

xi.- ;[[[ > ; ? 0 xii.- ;[[[ > 3;[[ > 3;[ > ; ? 0

xiii- ;Y > 4;[[[ > 6;[[ > 4;[ > ; ? 0 xiv.- ;Y W ; ? 0

xv.- ;Y > 5;[[ > 4; ? 0 xvi.- ;Y W 2oU;[[ > oY; ? 0

xvii.- ;Y > 2oU;[[ > oY; ? 0 xviii.- ;Y > 2;[[[ > 2;[[ > 2;[ > ; ? 0

xix.- ;Y > 2;[[[ W 2;[[ W 6;[ > 5; ? 0 xx.- ;[[[ W 6;[[ > 11;[ W 6; ? 0

xxi.- ;Y > ;[[[ W 3;[[ W 5;[ W 2; ? 0 xxxxxixixixiiiii....---- ;| W 6;Y W 8;[[[ > 48;[[ > 16;[ W 96; ? 0

34.34.34.34.---- En este ejercicio se indica la ecuación característica determine las soluciones.

i.- 'p W 1)U'p > 3)'pU > 2p > 5)U ? 0

ii.- 'p > 1)U'p W 6)@'p > 5)'pU > 1)'pU > 4) ? 0

iii.- 'p W 1)@'p W 2)'pU > p > 1)'pU > 6p > 10)@ ? 0

iv.- 'p > 4)'p W 3)'p > 2)@'pU > 4p > 5)Up| ? 0

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35.35.35.35.- Resuelva el problema de valor inicial.

i.- ;[[[ > 7;[[ > 14;[ > 8; ? 0 ;'0) ? 1 ;['0) ? W3 ;[[(0) ? 13

ii.- ;[[[ W ;[[ W 4;[ > 4; ? 0 ;(0) ? W4 ;[(0) ? W1 ;[[(0) ? W19 iii.- ;[[[ W 4;[[ > 7;[ W 6; ? 0 ;'0) ? 1 ;['0) ? 0 ;[['0) ? 0 ECUACION DE EULERECUACION DE EULERECUACION DE EULERECUACION DE EULER 36363636....---- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de Euler. i.- =;[[ > ;[ ? 8= = l 0 ii.- ;[[ ? 4=�;k

iii.- ;[[ ? 1 > (;[)U

iv.- ;[;[[ ? 1

v.- ;[[ > ;(;[)@ ? 0

vi.- ;[[ > ;;[ ? 0

vii.- ;[[ W �UQ� ;[ ? =Y W 3=@ > =U = l 0

viii.- ;[[ ? ;[_P

ix.- (1 > ;U);[[ ? ;[ > (;[)@

37373737.- Para determinar la resistencia de una pequeña esfera que se mueve a velocidad constante en un fluido viscoso, es necesario resolver la ecuación diferencial

=@;Y > 8=U;[[[ > 8=;[[ W 8;[ ? 0 Determine su solución y demuestre que es exactamente ; ? �R=U > �U=SR > �@=S@ > �Y

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38383838.- Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. i.- =U;[[ > 3=;[ > 10; ? 0

ii.- 2=U;[[10=;[ > 8; ? 0 iii.- =U;[[ > 2=;[ W 12; ? 0 iv.- 4=U;[[ W 3; ? 0

v.- =U;[[ W 3=;[ > 4; ? 0

vi.- =U;[[ > 2=;[ W 6; ? 0 vii.- =U;[[ > 2=;[ > 3; ? 0

viii.- =U;[[ > =;[ W 2; ? 0 ix.- =U;[[ > =;[ W 16; ? 0 x.- =@;[[[ > 3=U;[[ ? 0

xi.- =@;[[[ > =U;[[ W 2=;[ > 2; ? 0 xii.- =@;[[[ > 2=U;[[ > =;[ W ; ? 0

16

REVISIONREVISIONREVISIONREVISION 39.39.39.39.---- Utilice el método de variación de parámetros y resuelva lo siguiente: a.- ;[[ > ; ? secU u tan u b.- ;[[ W ; ? URX�� c.- ;[[ > 2;[ W 8; ? 2_SUz W _Sz ;'0) ? ;['0) ? 0 d.- ;[[ > 2;[ > ; ? _Sz ln 'u) e.- ;[[[ > ;[ ? tan'u) W �U � u � �U 40404040.- Use el método de coeficientes indeterminados a.- ;[[ > 8; ? 5u > 2_Sz b.- ;[[ W ;[[ ? u > _z c.- ;Y W 16; ? 1 W 16cos '2u) d.- ;[[ > 4;[ > 5; ? 10 ;'0) ? ;['0) ? 0 e.- ;[[ > 4;[ > 5; ? 8 sin'u) ;'0) ? ;['0) ? 0 f.- ;Y W 4;[[ ? 5u W _Uz 41414141.- Resuelva por medio del polinomio anulador. a.- ;[[ > oU; ? sin 'ou) b.- ;[[[ W ;[ ? _z > 1 c.- ;[[ > 2;[ > ; ? RY u > _Sz 44442222.- Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. i.- ;[[ > 8;[ W 9; ? 0 ii.- 4;[[ W 4;[ > 10; ? 0 iii.- 9;[[ W 30;[ > 25; ? 0 iv.- 36;[[ > 24;[ > 5; ? 0 v.- 16;[[ W 56;[ > 49; ? 0 vi.- =U;[['=) > 5;'=) ? 0 = l 0

17

vii.- ;';[)@ W ;[[ ? 0 viii.- 3;[[[ > 10;[[ > 9;[ > 2; ? 0 ix.- ;[[[ > 3;[[ > 5;[ > 3; ? 0 x.- 4;[[[ > 8;[[ W 11;[ > 3; ? 0 xi.- ;[[ W 3;[ > 7; ? 7=U W _Q xii.- ;[[ > 16; ? tan '4=)

xiii.- 4;[[ W 12;[ > 9; ? _|Q > _@Q xiv.- =U;[[ > 2=;[ W 2; ? 6=SU > 3=

43434343.- Determine la solución con condición inicial.

i.- 4;[[ W 4;[ > 5; ? 0 ;'0) ? 1 ;['0) ? WRR

U

ii.- ;[[ W 2;[ > 10; ? 6 cos'3=) W sin'3=) ;'0) ? 2 ;['0) ? W8

iii.- ;[[[ W 12;[[ > 27;[ > 40; ? 0 ;'0) ? W3 ;['0) ? W6 ;[['0) ? W12

44444444....- Encuentre la solución general de la ecuación dada.

i.- ;[[[ W 2;[[ W 5;[ > 6; ? _Q > =U

ii.- ;[[[ > 3;[[ W 4; ? _SUQ

iii.- ;[[[ > 4;[[ > ;[ W 26; ? _S@Q sin'2=) > =

iv.- ;[[[ > 2;[[ W 9;[ W 18; ? W18=U W 18= > 22 ;'0) ? W2 ;['0) ? W8 ;[['0) ? W12

v.- ;[[[ W 2;[[ W 3;[ > 10; ? 34=_SUQ W 16_SUQ W 16_SUQ W 10=U > 6= > 34

;'0) ? 3 ;['0) ? ;[['0) ? 0

18

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS. PREGUNTA 1.PREGUNTA 1.PREGUNTA 1.PREGUNTA 1. i.- = ? �_QPT ii.- 2 > 5=;U ? �=�T iii.- = ? �;_QP PREGUNTA 2.PREGUNTA 2.PREGUNTA 2.PREGUNTA 2.

log';) ? 2=U > �= PREGUNTA 3.PREGUNTA 3.PREGUNTA 3.PREGUNTA 3. i.- '�) ; ? �R_UQ > �U_@Q '�); ? _UQ W 2_@Q ii.- '�); ? �R_Q cos'2=) > �U_Qsin '2=) '�); ? 2_Q cos'2=) W _Qsin '2=) iii.- '�); ? �R=U > �U=SR '�) ; ? W3=U > =SR iv.- 6_Q > 2_SUQ v.- ; ? 0 vi.- ; ? 4_SUQ W 3_S@Q vii.- ; ? _SU W _SQ PREGUNATA 4.PREGUNATA 4.PREGUNATA 4.PREGUNATA 4. '�) e'=) ? _Q > 'W1)'_Q W _ScQ) e'=) ? 'W3)_Q > '1)'3_Q > _ScQ) PREGUNTA 5PREGUNTA 5PREGUNTA 5PREGUNTA 5 `_o ;U ? h'=). ;R'=) derivamos dos veces ;[U'=) ? h'=). ;kR > h[. ;R ;kkU ? h. ;kkR > 2;kRh[ > h[[. ;kR Sustituimos en ;[[ > \'=);[ > ]'=); ? 0 reordenamos

h'=)�;[[R > \'=);[R > ]'=);R� > h[['=);R> h[�2;[R > \;R� ? 0 Como ;R es solución se tiene

h[['=);R > h[�2;[R > \;R� ? 0 h[['=);R ? Wh[�2;[R > \;R�

h[['=)h['=) ? W 2;[R;R W \;R ? log�h['=)� W 2 log';R) W \ <=

h['=) ? 1;RU _S ¡ ¢'Q)OQ ?l £'D) ? ¤B¤E ¥S ¡ ¦'D)CD CD PREGUNTA 7PREGUNTA 7PREGUNTA 7PREGUNTA 7 i.- ; ? _UQ iii.- ; ? =S@ v.- ; ? = > 1 PREGUNTA PREGUNTA PREGUNTA PREGUNTA 8888 i.- ;U ? �R= > �U ii.- =U > '; W �U)U ? �RU iii.- ; ? �R_§Q > �U_S'§Q) iv.- ; ? W RU =U W �R= W �RU log'= W �R) > �U v.- 2��R; W 1 ? ¨�R= > �U vi.- ; ? �U_©ªQ vii.- ; ? =U > �R log'=) > �U PREGUNTA 9PREGUNTA 9PREGUNTA 9PREGUNTA 9 i.- ; ? 1 ó 3; > =@ ? 3 ii.- 2; W 3 ? 8;_«¬T iii.- ; ? W log'2_SQ W 1) PREGUNTA 10PREGUNTA 10PREGUNTA 10PREGUNTA 10 i.- = ? @U �R_Uz W �U_S@z

; ? �R_Uz > �U_S@z v ii.- = ? W RU �R_@z > RU �U_Sz

; ? �R_@z > �U_Sz v iii.- w= ? W5; ? 1 v iv.- {= ? �R > �U_Sz > RU _z > |@ u

; ? �R W 2�U_Sz > |@ u v

v.- ® = ? �R_z > RY cos'u) W RY sin 'u); ? W3�R_z W @Y cos'u) W RY sin 'u)v

vi.- w= ? W�R sin'u) > �U cos'u) > 2u W 1; ? �R cos'u) > �U sin'u) > uU W 2 v

19

vii.- = ? W U@ �R_Uz > �U_�z > u > 1; ? �R_Uz > �U_�z W 5u W 2 v viii.- t = ? RU _z�'�R W �U) cos'u) > '�R > �U) sin'u)�>�@_Uz

; ? _z'�R cos'u) > �U sin'u))L ? @U _z�'�R W �U) cos'u) > '�R > �U) sin'u)� > �@_Uzv

x.- w= ? 2�R_Sz > �U_z; ? �R_Sz > �U_z v xi.- w = ? _@z'2�R cos'3u) > 2�U sin'3u)); ? _@z'�R'cos'3u) > 2 sin'3u)) > �U'sin'3u) W 3 cos'3u))v xii.- w = ? _@z'�R cos'2u) > �U sin'2u)); ? _@z'�R'sin'2u) W cos'2u)) W �U'sin'2u) > cos'2u))v xiii.- w= ? W2�R_@z > �@'1 > 2u)_@z; ? �R_@z W �Uu_@z v xiv.- w = ? 3�R > �U_SUz; ? 4�R > 2�U_SUz v xv.- w= ? �R_Uz; ? �U_@z v xvi.- w= ? �R_S@z > �U'1 W u)_S@z; ? W�R_S@z > �Uu_S@z v xvii.- w= ? 2�R_R�z > 3�U_@z; ? �R_R�z W 2�U_@z v PREGUNTA 11PREGUNTA 11PREGUNTA 11PREGUNTA 11 i.- �R_Q > �U_SUQ ii.- �R_SUQ > �U_S@Q iii.- �R_YQ > �U=_YQ iv.- �R_S@Q > �U=_S@Q v.- �R_�¯ª¯√«�¬T > �U_�¯ª°√«�¬T vi.- �R_UQ > �U_@Q vii.- �R_Sª±¬² viii.- �R_�ª°«√��¬T > �U_�ª¯«√��¬T ix.- �R_¬T > �U_ST¬« x.- �R_�ª°√T�¬T > �U_�ª¯√T�¬T xi.- �R_S�¬T > �U=_S�¬T xii.- �R_�¯ªª°√T±��¬T > �U_�¯ªª¯√T±��¬T PREGUNTA 12PREGUNTA 12PREGUNTA 12PREGUNTA 12 i.- 3 W _SQ ii.- 3_SYz iii.- _SQ W 2=_SQ iv.- Y@ _z W R@ _@z

v.- �√@U � �_�RX√@�Q W _�RS√@�Q� vii.- '2 W =)_UQSU PREGUNTA 13PREGUNTA 13PREGUNTA 13PREGUNTA 13

'a) ; ? �R_SQ > �U_UQ 'b) ; ? �R_SQ > �U_UQ W 2= > 1 PREGUNTA 14PREGUNTA 14PREGUNTA 14PREGUNTA 14

i.- �R_UQ > �U _S@Q ii.- �R_SQ > �U=_SQ

iii.- �R cos�2√2=� > �Usin '2√2=) iv.- _Q��R cos�√3=� > �U sin�√3=�� v.- �R_UQ > �U=_UQ vi.- �R_|Q > �U_YQ vii.- _S¬T ��R cos �√|QU � > �U sin �√|QU �� viii.- �R_«¬T > �U=_«¬T ix.- �R > �U_SQ x.- _@Q'�R cos'4=) > �U sin'4=)) xi.- �R_S�¬T > �U=_S�¬T xii.xii.xii.xii.---- _SQ��R cos�√2=� > �U sin�√2=�� xiii.- �R_UQ > �U_SUQ xiv.- _Q ��R cos �√@QU � > �U sin �√@QU �� xv.- �R_¬T > �U_SQ xvi.- �R_¬³ > �U=_¬³ xvii.- _SUQ'�R cos'=) > �U sin'=)) xviii.- �R_Q > �U_S|Q PREGUNTA 15PREGUNTA 15PREGUNTA 15PREGUNTA 15 i.- _@QSR ii.- _Q > 2_|Q iii.- 5=_@Q iv.- _SUQ'cos'=) > 2 sin'=)) v.- ; ? _�SUX√U�Q W 2_�SUS√U�Q vi.- ; ? |́ _QSR > R| _S´'QSR) PREGUNTA 16PREGUNTA 16PREGUNTA 16PREGUNTA 16

i.- �R cos'=) > �Usin '=) ii.- �R_@Q cos'=) > �U_@Qsin '=) iii.- �R_SUQ cos�√2=� > �U_SUQ sin�√2=�

20

iv.- �R_S¬T cos �√|QU � > �U_S¬T sin �√|QU � PREGUNTA 17PREGUNTA 17PREGUNTA 17PREGUNTA 17 i.- �ReSUµ'cos'2=) > �U_SUQ sin'2=)

ii.- �R_S|Q > �U=_S|Q

iii.- �R_SQ cos'2=) > �U_SQsin '2=)

iv.- �R_�«°√�«�¬

T > �U_�«¯√�«�¬

T

v.- �R_¬T cos �@√@Q

U � > �U_¬T sin �@√@Q

U �

PREGUNTA 18PREGUNTA 18PREGUNTA 18PREGUNTA 18

i.- _SQ cos'=) > 3_SQsin '=)

ii.- √UY �_�UX√U�Q W _�US√U�Q�

iii.- _Q W 3=_Q

iv.- _Q sin'=) W _Qcos '=)


i.- ;� ? W10 ii.- ;� ? _UQ

iii.- ;� ? 3=U W 2= > 4

iv.- ;� ? sin'2=) v.- ;� ? Q�¬

U > @�¬

Y

vi.- ;� ? W Q¶·N'Q)X¸¹º'Q)U

vii.- 4=U_Q viii.- QT

´ > YQU� > U

U� > �¬

Y


i.- �R_Q > �U _SQ > 11= W 1

ii.- �R_Q > �U_SUQ W QT

U > QU W �

Y

iii.- �R_Q > �U_UQ > �¬'¸¹º'Q)Sº»¼'Q))U

iv.- _SQ'�R cos'=) > �U sin'=)) > =_SQ sin'=) /2

v.- �R_UQ > �U=_Q > =@_UQ/6

vi.- _SUQ ��R cos'=) > �U sin'=)) > �¯¬

U � W Rc| sin'2=) >

½c| cos '2=)

vii.- _S¬T ��R cos �√@

U =� > �U sin �√@U =�� > sin'=) >

_Q �W QT

@ > U@ = W Y

´�

viii.- �R_UQ > �U_S|Q > R@ _YQ

ix.- �R sin'2=) > �U cos'2=) > sin '=)

x.- �R_S|Q > �U=_S|Q > 7=U_S|Q

xi.- _Q'�R cos'2=) > �U sin'2=)) > 2 > 4= > 5=U

xii.- �R_@Q > �U_SUQ W 4=_SUQ

xiii.- �R_Q > �U_UQ > 2 sin'2=) > 3cos '2=)

xiv.- �R sin'=) > �U cos'=) > =�sV'=)

xv.- �R > �U_UQ > 2= W 3=U

xvi.- �R_Q > �U=_Q > 3=U_Q

xvii.- _Q'�R��'=) > �U sin'=)) W RU =_Qcos '=)

xviii.- �R > �U_SQ > 2=| W 10=Y > 40=@ W 120=U > 242=


i.- _Q W 1 ii.- _SQ > sin'=) W cos '=)

iii.- @U� sin'2=) W R

U� cos'2=) W @R� cos'=) W R

R� sin '=)

iv.- �³¬

c� > RRU W �¬

R� W �T¬

c > ��«¬

c

v.- W RU sin'=) W �T¬

@ > @Y _Q > �

RU _SQ


i.- '¾=U > ¿=) sin'=) > '�=U > x=) cos'=) > �10Q

ii.- _Q�¾��'=) > ¿�sV'=)� > �=U > x= > �

iii.- _UQ'¾=Y > ¿=@ > �=U)

iv.- ¾=_Q > ¿ > ��sV'=) > x��'=)

21

PREGUNTA 24PREGUNTA 24PREGUNTA 24PREGUNTA 24 (a) – _SQ sin(2=) W 2_SQ cos(2=) > 2 (b) _SQ(�R sin(2=) > �U cos(2=)) (c)

; ? { – _SQ sin(2=) W 2_SQ cos(2=) > 2 0 � = � @�U�W1 W _«ÁT � _SQ sin(2=) > �W2 W _«ÁT � _SQ = Â @�Uv

PREGUNTA 25PREGUNTA 25PREGUNTA 25PREGUNTA 25 i.- �R sin(2=) > �U cos(2=) > =�sV(2=) > 2 cos(=) W 1 W= > 2=U ii.- �R sin(3=) > �U cos(3=) W R@ =��(=) > RU sin(=) W2_SUQ > 3=@ W 2= PREGUNTA 26PREGUNTA 26PREGUNTA 26PREGUNTA 26 i.- ;� ? W RY cos(2=) log(�_�(2=) > uoV(2=)) ii.- ;� ? RU =U_SQ log(=) W @Y =U_SQ iii.- ;� ? W_SQ(8=U > 4= > 1) iv.- ;� ? RU =_SQ sin(2=) > RY _SQ cos(2=) log (cos(2=)) v.- ;� ? RR� _S@Q vi.- ;� ? _Q log(1 > _SQ) W _Q > _UQ log(1 > _SQ) PREGUNTA 27PREGUNTA 27PREGUNTA 27PREGUNTA 27 i.- �R cos(2=) > �U sin(2=) W RY cos(2=) ln(�_�(2=) >uoV2= ii.- �R_UQ > �U_SQ > _«³Q iii.- �R_Q > �U=_Q > =_Qln (=) iv.- �R cos(4=) > �U sin(4=) > QY sin(4=) > RRc cos(4=) ln(��(4=)) v.- �R cos(2=) > �U sin(2=) > RY (cos(2=) ln(��(2=) >��u�2=W1

PREGUNTA 28PREGUNTA 28PREGUNTA 28PREGUNTA 28 i.- �R cos(=) > �U sin(=) > �«¬

R� W 1 W cos(=) ln(�_�(=) >uoV(=)) ii.- �R cos(2=) > �U sin(2=) > RUY secU(2=) W R½ >R½ (sin(2=) . ln(�_�(2=) > uoV(2=)) iii.- �R cos(=) > �U sin(=) W =U > 3 > 3=�sV(=) >3 cos(=) ln(��(=)) iv.- �R cos(2=) > �U sin(2=) W �¬

| W RU (cos(2=) ln(�_�(2=) >uoV2= PREGUNTA 29PREGUNTA 29PREGUNTA 29PREGUNTA 29 i.- x@ iii.- x W 5y v.- (x W 2y)(x W y) vii.- ((x W y)U > 4y)U ix.- xY(x W y)@(xU > 16y)U PREGUNTA 30PREGUNTA 30PREGUNTA 30PREGUNTA 30 i.- �@ cos(2=) > �Y sin(2=) > �| ii.- �@=_@Q > �Y=U > �|= > �c iii.- �@=U > �Y= > �| iv.- �@=_SQ cos(=) > �Y=_SQ sin(=) > �|=U > �c= > �� v.- �U= > �@=U > �c=U_Q PREGUNTA 31PREGUNTA 31PREGUNTA 31PREGUNTA 31 i.- �R > �U_SQ > = ii.- �R_UQ > �U_SQ > = W 1 iii.- _SQ��R cos�√3=� > �U sin�√3=�� > sin (2=) iv.- _ �T ��R cos �√@U =� > �U sin �√@U =�� > cos(u) v.- �R_√UQ > �U_S√UQ > tan (=) PREGUNTA 32PREGUNTA 32PREGUNTA 32PREGUNTA 32 i.- 5cos (=) ii.- cos(=) W _UQ iii.- 4 cos(=) > 6_UQ

22


i.- �R_Q > �U_SQ > �@_@Q ii.- �R_SQ > �U_ST«Q > �@_

¬T

iii.- �R_SQ > �U_�SRX√��Q > �@_�SRS√��Q

iv.- �R_SQ > �U_Q cos(=) > �@_Qsin '=)

v.- �R_@Q > �U=_@Q > �@=U_@Q

vi.- �R_Q > �U_S@Q > �@=_S@Q

vii.- �R cos�√2=� > �U=��√2=� > �@ sin�√2=� >�Y sin�√2=�

viii.- �R > �U_Q > �@_UQ

ix.- �R_Q > _Q'�U cos'=) > �@ sin'=))

x.- �R_Q > _S¬T ��U cos �√@

U =� > �@ sin �√@U =��

xi.- �R_SQ > _¬T ��U cos �√@

U =� > �@ sin �√@U =��

xii.- '�R > �U= > �@=U)_SQ

xiii.- '�R > �U= > �@=U > �Y=@)_SQ

xiv.- �R_Q > �U_SQ > �@ cos'=) > �Ysin '=)

xv.- �R cos'=) > �U sin'=) > �@ cos'2=) > �Ysin '4=)

xvi.- '�R > �U=)_ÃQ > '�@ > �Y=)_SÃQ

xvii.- '�R > �U=) cos'o=) > '�@ > �Y=) sin'o=)

xviii.- '�R > �U=)_SQ > �@ cos'=) > �Ysin '=)

xix.- '�R > �U=)_Q > _SUQ'�@ cos'=) > �Y sin'=))

xx.- �R_Q > �U_UQ > �@_@Q

xxi.- �R_UQ > '�U > �@=>�Y=U)_SQ

xxii.- '�R > �U=)_UQ > '�@ > �Y=)_SUQ > �|_cQ


i.- �R_Q > �U =_Q > �@_S@Q > (�Y > �|=)_SQ cos(2=) >'�c > ��=)_SQsin '2=)

iii.- '�R > �U= > �@=U)_Q > �Y_UQ > �|_S¬T cos �√@

U =� >

�c_S¬T sin �√@

U =� > '�� > �½= > �´=U)_S@Q cos'=) >'�R� > �RR= > �RU=U)_S@Qsin '=)


i.- _SQ W _SUQ > _SYQ

iii.- _UQ W √2_Qsin '√2=)

PREGUNTA 36 PREGUNTA 36 PREGUNTA 36 PREGUNTA 36

i.- 2=U > �R ln(=) > �U ii.- Q�| > U©ªQ«@ > �RU= > �U ó ; Ä � iii.- ln(sec(= > �R)) > �U iv.- ¨ R@ '2= > �R)«T > �U v.- = ? �R > �U; > P«c ó ; Ä � vi.- ; ? �R tan ��U W ©ªQ

U �

; ? �R'�U_©ªQ W 1)2_©ªQ > 1 ; ? 2'= > �)SR

vii.- Q³Y W @R� =| > RR½ =c > �R > �U=@ viii.- ; W ln(_P > �R) ? �R= > �U

; ? Wln (� W =) ; Ä �

ix.- = ? �U W �R; > '1 > �RU) ln(; > �R) ó ; Ä � PREGUNTA 38PREGUNTA 38PREGUNTA 38PREGUNTA 38

i.- =SR(�R cos(Å��(=@)) > �U sin'Å��'=@))

ii.- �R=SU > �U=SUlog '=)

iii.- �R =@ > �U=SY

iv.- �R=«T > �U=Sª

T

v.- �R=U > �U=Ulog '=)

23

vi.- �R=U > �U=S@ vii.- =SªT'�R cos �√RRU Å��(=)� > �U sin �√RR

U Å��'=)�

viii.- �R=√U > �U=S√U

ix.- �R=Y > �U=SY

x.- �R > �U= > �@=SR

xi.- �R= > �U=U > �@=SR

xii.- �R= > �U cos'Å��'=)) > �@ sin'Å��'=))

PREGUNTA 39,40,41PREGUNTA 39,40,41PREGUNTA 39,40,41PREGUNTA 39,40,41 Revise el libro de Viola Prioli para las soluciones.


i.- �R_S´Q > �U_Q

ii.- �R_¬T cos �@

U =� > �U_¬T sin �@

U =�

iii.- �R_�«Q > �U=_

�«Q

iv.- �R_SQ/@ cos �Qc� > �U_SQ/@ sin �Q

c�

v.- �R_²³Q > �U=_

²³Q

vi.- =ªT''�R cos �√R´

U ÅV'=)� > �U sin �√R´U ÅV'=)�)

vii.- = ? �R > �U; W P«

c ó ; Ä �

viii.- �R_SUQ > �U_SQ > �@_S¬«

ix.- _SQ��R > �U cos�√2=� > �@ sin�√2=��

x.- �R_S@Q > �U_¬T > �@=_

¬T

xi.- �R_«TQ cos �√R´

U =� > �U_«TQ sin �√R´

U =� W �¬

| > =U > c� = >

YY´

xii.- �R cos'4=) > �U sin'4=) W RRc cos'4=) ln'�_� 4= >

uoV4=

xiii.- �R_«TQ > �U=_

«TQ > �«¬

´ > RY´ _|Q

xiv.- �R= > �U=SU W 2=SU ln'=) > =ÅV'=)


i.- _ªTQ cos'=) W 6_

ªTQsin '=)

ii.- 2_Q cos'3=) W �@ _Q sin'3=) W sin '3=)

iii.- W_SQ W 3_|Q > _½Q

PREGUNTA 44 PREGUNTA 44 PREGUNTA 44 PREGUNTA 44

i.- �R_Q > �U_@Q > �@_SUQ W Rc =_Q > R

c =U > |R½ = > @�

R�½

ii.- �R_Q > �U_SUQ > �@=_SUQ W Rc =U_SUQ

iii.- �R_UQ > �U_S@Q cos'2=) > �@_S@Q sin'2=) >|

RRc =_S@Q cos'2=) W R|½ =_S@Q sin'2=) W R

Uc = W Rc�c

iv.- W2_@Q > _SUQ�@=_SUQ W Rc =U_SUQ

v.- =U_SUQ W =U > 3

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PUNTOS FINALES.PUNTOS FINALES.PUNTOS FINALES.PUNTOS FINALES. 1.1.1.1.---- Para mayor apoyo en la resolución de los ejercicios descargue la guía de ayuda teórica publicada en la página. 2.2.2.2.---- Practique muy bien la resolución de esta segunda parte para el segundo parcial, son temas muy fáciles pero que si se equivoca en una raíz, autovector, es un error horrible. 3.3.3.3.---- Habrá notado que hay presente en la guía gran cantidad de ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden 2, aunque en el curso de matemática 4 no se detalla como un tema en particular (corresponde a ecuaciones lineales de orden “n”) por lo tanto trate todas estas ecuaciones como de orden “n?2”. Dicho tema se especifica mas delante de la guía cuyos órdenes llegan hasta orden 5. La razón porque detallé las ecuaciones de grado 2 es que estas ecuaciones representan gran utilidad en la ingeniera aplicada por lo cual lo considero de gran importancia. 4.4.4.4.---- La SUPERPOSICION de las soluciones es una herramienta muy útil que le permite determinar soluciones a ecuaciones NO HOMOGENEAS cuando el término forzante está compuesto por varias funciones específicas. 5.5.5.5.---- Recuerde muy bien cómo obtener la solución particular de los SISTEMAS DE ECUACIONES diferenciales, y tengo siempre en cuenta la diferencia con las ECUACIONES LINEALES DE ORDEN “n”. SIRVASE DE AYUDA PARA PRATICAR ECUACIONES DIFERENCIALES PARA EL SEGUNDO PARCIAL DE MATEMATICAS 4. CUALQUIER ERROR TIPOGRAFICO O DE REDACCION FAVOR AVISAR A [email protected] PARA SU CORRECION, MENCIONE NUMERO DE PAGINA, EJERCICIO QUE DICE Y QUE DEBERIA DECIR. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.

(1) Ana M de Viola-Prioli, ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Editorial Equinoccio Universidad Simón Bolívar, Publicación Libros de EL NACIONAL. (2) George F. Simmons, DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH APPLICATIONS AND HISTORICAL NOTES, Ediciones McGraw-Hill (3) R. Kent Nagle, Edward B. Saff, A. David Snider “FUNDAMENTALS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS” FOURTH EDITION, PEARSON ADDISON WESLEY, 2004.

SEGUNDA PARTE ECUACIONES DIFERENCIALES CON SOLUCIONES

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