-1- Prof. Simón Lyon

Unidad de aprendizaje 3

Trigonometría

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y ángulos de los triángulos.

Ángulos: ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común llamado vértice

Existen distintas manera de nombrar los ángulos:

Sistemas de medidas de ángulos

1) Sistema sexagesimal: mide los ángulos en unidades llamadas grados, dividiendo la circunferencia en 360°.

Un radian es el ángulo que se forma

cuando la longitud del arco barrido es igual

a la longitud del radio. Si el arco es igual al

radio entonces 𝛼 = 1 radian

En el sistema sexagesimal, el ángulo que abarca la circunferencia completa mide 360º, por lo que se puede establecer la ya vista relación entre grados y radianes:

1 vuelta completa = 360º = 2 · π radianes

-2- Prof. Simón Lyon

Un grado sexagesimal equivale a 60minutos (´)y un minuto equivale a 60 segundos (´´), es decir, 1° = 60´ u 1´ = 60´´

Ejemplo

Para expresar el ángulo 47,325° en grados minutos y segundos se procede:

A) Determinan los grados que corresponden a la parte entera 47° B) Luego los minutos multiplicando la parte decimal por 60, la parte entera que resulta de la multiplicación serán los minutos: 0.325 * 60 = 19,5 : los minutos 19

C) Se determinan los segundos multiplicando la nueva parte decimal por 60: 0.5 * 60 = 30: los segundos serian 30

Por lo tanto el ángulo 47,325° se expresa como 47°19´30´´

2) Sistema radian (circular) : mide los ángulos en unidades llamadas radianes.

Conversión de ángulos a otros sistemas

1) Del sistema sexagesimal al sistema radian

360° = 2𝜋 rad

180° = 𝜋 rad 1° = 𝜋

180 rad

Ejemplo: Expresar 215° a radian

a) Como 1° = 𝜋

180 rad, entonces 215° = 215 (

𝜋

180) rad

c = Hipotenusa

b = cateto adyacente

a =cateto opuesto

-3- Prof. Simón Lyon

Simplificado 215° = 43

36 𝜋 rad

2) Del sistema radian y sexagesimal

180° = 𝜋 rad 1 rad = 180°

𝜋

Ejemplo: pasar 3

4𝜋 rad a grados

Como 1rad = 180°

𝜋 entonces

3

4 𝜋 rad =

3

4 𝜋 rad .

180°

𝜋 =

3

4 .180 = 135 °

Actividad I

1) Convertir los siguientes ángulos a grados, minutos y segundos

a) 44,01 º b) 132,4567 º c) 29,9656° d) 109,9550°

2) Convertir los siguientes ángulos a grados.

a) 98°22´45´´ b) 45°30´30´´ c) 102°43´12´´ d) 80,35´ 3) Pasar a radianes los siguientes ángulos

a) 120° b) 45° c)12° d)5° e) 325° f) 225° g) 6° h)36°

4) Pasar a grados los siguientes ángulos

a)𝜋

6 b)

𝜋

4 c)

2𝜋

3 d)

14𝜋

3 e)

7𝜋

4 f)

3𝜋

18

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los

tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus

tres lados a, b y c.

sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y

la hipotenusa (c).

El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto

adyacente (b) y la hipotenusa (c).

La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o

cateto adyacente (b).

-4- Prof. Simón Lyon

Razones trigonométricas inversas

A partir de las razones del seno, coseno y tangente se pueden definir las razones

inversas.

Cosecante de α:

Secante de α:

Cotangente de α:

Actividad II

1) Hallar seno, coseno y tangente del ángulo indicado en cada triángulo

a) c) e)

b) d) f)

2) En un triángulo rectángulo el sen α = 3

4 . calcular las razones trigonométricas

inversas

3) Un triángulo rectángulo es isósceles y su hipotenusa vales 7 2. Calcula las

razones trigonométricas de cualquiera de sus ángulos.

4) El cateto opuesto a α y la hipotenusa de un triángulo valen 2 5 y 5

respectivamente. Calcula las razones trigonométricas del ángulo β , sabiendo

que β es de α.

Unidad de aprendizaje 4

Razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60°

-5- Prof. Simón Lyon

Ejemplo

Calcular todos los lados del siguiente triangulo

Como se tiene el valor del CA aplicamos la definición de cos α

cos α = 𝐶𝐴

𝐻 despejando H =

𝐶𝐴

𝐶𝑂𝑆 𝛼 se sustituye por el valor de 30 en la tabla

H = 2 5

3

3

2

= 4 5

3 3 =

4 15

9

Aplicando la definición de tangente: tg α = 𝐶𝑂

𝐶𝐴 despejando CO = CA . TG α se

sustituye CO = 2 5

3 .

3

3 =

2 15

9 x =

𝟐 𝟏𝟓

𝟗 y =

𝟒 𝟏𝟓

𝟗

Actividad III

1) Calcula lo indicado en cada triangulo

a) B) c)

Unidad de aprendizaje 5

Círculo trigonométrico

Es aquel círculo cuyo centro coincide con el origen de coordenadas del plano cartesiano

y cuyo radio mide la unidad

Signos de las razones trigonométricas

-6- Prof. Simón Lyon

Identidades fundamentales de la trigonometría

Ejemplo:

Si Sen α = 3

2 y α ϵ I cuadrante. Calcular las otras razones trigonométricas

Aplicando: sen2α + cos2α = 1 Despejando cos α = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼

Sustituyendo cos α = 1 − ( 3

2)2 = 1 −

3

4 =

4−3

4 =

1

4 =

1

2

Aplicando la relación: tg α = 𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼 sustituyendo: tg α =

3

21

2

= 2 3

2 = 3

Aplicando las fórmulas de las inversas csc α = 1

𝑠𝑒𝑛 𝛼 =

1

3

2

= 2 3

3

Sec α = 1

cos𝛼 =

11

2

= 2

Ctg α = 1

𝑡𝑔 𝛼 =

1

3= 3

3

Actividad IV

1) Halla las razones trigonométricas restante en el cuadrante dado

a) sen α = 1

2 ( α ∈ II C) d) tg α = 2 ( α ∈ III C)

b) ctg α = - 2

2 ( α ∈ II C) e) csc α = 3 ( α ∈ I C)

c) sen α =- 2 2

5 ( α ∈ III C)

2) Demuestra las siguientes identidades

A) Cos x . Tg x = Sen x B) 1−𝑆𝐸𝑁2𝛼

1−𝐶𝑂𝑆2𝛼 = 𝐶𝑡𝑔2 α c) cos α . tg α = sen α

-7- Prof. Simón Lyon

D)𝑆𝑒𝑐 𝛼+𝐶𝑜𝑠 𝛼

𝑆𝑒𝑐 𝛼 − 𝐶𝑜𝑠 𝛼 =

1+ 𝑐𝑝𝑠 2𝛼

𝑠𝑒𝑛 2𝛼

Fórmula para la suma y diferencia de ángulos

Actividad V

1) Calcula las siguientes expresiones o simplifica usando las fórmulas de sumas y

diferencias de ángulos.

A) Sen 105° B) Tg 90° C) Sen 15° D) Cos 10

Unidad de aprendizaje 6

Ley del coseno y ley del seno

Son aplicaciones trigonométricas usadas en triángulos no rectángulos. Es la relación

entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente,

establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo

opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

Ejemplo

-8- Prof. Simón Lyon

Ejemplo 1 (ley del coseno)

Se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo

ángulo α mide 47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo.

Como queremos calcular el lado a del triángulo, aplicamos la siguiente fórmula del

teorema del coseno:

Tenemos los datos necesarios para calcular a, es decir, tenemos b, c y al ángulo α. Por

tanto, sustituyendo los datos y haciendo la raíz cuadrada obtenemos:

Ejemplo 2 (ley del seno)

En el siguiente triángulo de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular cuánto mide el

ángulo β sabiendo que el ángulo γ mide 45º.

Como conocemos los lados a y b y el ángulo α, aplicamos el teorema del seno:

Por tanto,

Despejamos el seno de β:

Finalmente, despejamos β utilizando la inversa del seno (arcoseno):

Luego el ángulo es

A) Ronaldo camina en line recta desde su casa

al colegio 200 m y 100 m a la cancha.

¿Cuántos metros tendrá que caminar del

colegio a la cancha? Sabiendo que en la

cancha se forma un ángulo de 40°

B) Dos niños se encuentran a 25 m de distancia

observando un avión. Tomando en cuenta los

datos suministrados en la imagen determina a

que altura se encuentra el avión.

-9- Prof. Simón Lyon

Actividad VI

1) Aplicando la ley del coseno resuelve los siguientes triángulos

A) a= 12 c= 15 b= ? β = 110° α = ? θ = ?

B) a= 18 c= 30 b= ? β = 45° α = ? θ = ?

C) a= 6 c= 12 b= 8 β = ? α = ? θ = ?

2) Aplicando la ley del coseno resuelve los siguientes triángulos

A) a= 18 c= 18 b= ? β = ? α = ? θ = 18°

B) a= 17 c=? b= 32 β = 45 α = ? θ = ?

C) a= 60m c= b= β = 50° α = 80° θ = ?

3) problemas