Modelos de Toma de Decisiones

Aplicaciones de la Programación Linealp cac o es de a og a ac ó ea

AgendaAgenda• El Problema de TransporteEl Problema de Transporte.• El Problema de Asignación.• El Problema de Transbordo.

Modelos de Redes

• Un modelo de redes es aquel que puedeq q pser representado por un conjunto denodos un conjunto de arcos y un conjuntonodos, un conjunto de arcos y un conjuntode funciones (costos, ofertas, demandas)q e están asociadas a los arcos /o a losque están asociadas a los arcos y/o a losnodos.

• Los problemas de Transporte, Asignación yTransbordo son ejemplos de problemas deTransbordo son ejemplos de problemas deredes.

Generalidades

• Cada uno de los tres modelos presentados se podráformular como un programa lineal y resolver conalgoritmos propios de la programación lineal.

• En cada uno de los tres problemas, si en el ladoderecho (RHS) todos los valores son enteros,entonces la solución óptima también será entera.

• Debido a la estructura especial de la formulaciónplineal de los problemas, se pueden utilizar algoritmosde redes para alcanzar soluciones eficientemente.

Problema de TransporteEl problema de transporte busca minimizar los

l d “b ” d dcostos totales de transportar “bienes” desde morígenes (cada uno con una oferta si) a nidestinos (cada uno con una demanda dj),donde el costo unitario de transporte desde undonde el costo unitario de transporte desde unorigen, i, a un destino, j, es cij.

Problema de Transporte• Representación como RedTanto los orígenes como los destinos serepresentan como nodos, por lo cual se tienep pdos conjuntos mutuamente excluyentes denodos.Los arcos representan las diferentes rutasentre origen y destinoentre origen y destino.A cada arco se le asigna un costo cij, a cadanodo de origen una oferta límite si y a cadadestino una demanda mínima dj.

Ejemplo de RedEjemplo de Red2 Orígenes, 3 Destinos

1 dd11

cc1111

cc1212

cc1ss11

cc1313

cc2121 cc2222

2 dd22

cc2323 3

2

dd33

s2

3

ORIGENESORIGENES DESTINOSDESTINOS

Formulación PLSea xij , la cantidad enviada desde el origen il dal destino j.

Min c xMin   cijxiji j

s.a.    xij < si para todo origen ijxij = dj para todo destino  jii

xij > 0  para todo i y j

Casos EspecialesCasos Especiales

– Requerimiento mínimo de transporte desde ihasta j:  

xij > Lij

– Capacidad máxima de la ruta de i a j:

x < Lxij < Lij

– Ruta inaceptable:  

Remueva la correspondiente variable de decision.

Ejemplo 1Ejemplo 1Building Brick Company (BBC) tiene ordenes por 80 tonBuilding Brick Company (BBC) tiene ordenes por 80 ton  de ladrillos en tres locaciones suburbanas:  Northwood(25 ton) Westwood (45 ton) y Eastwood (10 ton) BBC(25 ton), Westwood (45 ton) y Eastwood (10 ton).  BBC tiene dos plantas, cada una de las cuales puede producir 50 ton por semanaproducir 50 ton por semana.  Cuál debería ser el plan de envíos si los costos de transporte por tonelada (en US$) son:transporte por tonelada (en US$) son:

Northwood Westwood EastwoodPlanta 1         24       30  40Planta 2         30             40  42

Ejemplo 1 RedEjemplo 1. Red

2525

1 25

3030

40402

150

453030 4040

2

250

45

42423

250

10

PlantasPlantas DestinosDestinos

Ejemplo 1 SolSea xij la cantidad de ladrillos, en ton, enviadas desde la planta i al destino j (i 1 2 j 1 2 3)la planta i al destino j (i=1,2; j=1,2,3).

Min 24x + 30x + 40x + 30x + 40x + 42xMin  24x11 + 30x12 + 40x13 + 30x21 + 40x22 + 42x23

s.a. x11 + x12 + x13 < 50s.a.  x11   x12   x13  50x21 + x22 + x23 < 50x11 + x21 = 2511  21 x12 + x22  = 45x13 + x23  = 10

x11 ,x12 ,x13 ,x21 ,x22 ,x23 > 0

Ejemplo 1 Sol

• Solución Optima

D d A C tid d C tDesde A Cantidad CostoPlanta 1    Northwood 5            120Planta 1    Westwood 45         1,350l h dPlanta 2    Northwood 20            600

Planta 2    Eastwood 10            420Costo Total  =  US$2,490

Problema de AsignaciónProblema de Asignación

• El problema de asignación busca minimizar el costo total de asignar m agentes a m tareas, dado que el costo de usar al agente i para realizar la tarea j es cij.  j ij

• Se asume que todos los agentes son asignados y que todas las tareas son realizadasque todas las tareas son realizadas. 

• Un problema de asignación es un caso especial d bl d l l d lde un problema de transporte en el cual todas las ofertas y todas las demandas son de una unidad.

Problema de Asignación

ió d

Problema de Asignación

• Representación como RedTanto los agentes como las tareas segrepresentan como nodos, por lo cual se tienedos conjuntos mutuamente excluyentes dedos conjuntos mutuamente excluyentes denodos.Los arcos representan los diferentes costos deLos arcos representan los diferentes costos derealización de las tareas por cada agente. Ad l i tcada arco se le asigna un costo cij.

Ejemplo de RedEjemplo de Red3 agentes, 3 tareas

cc1111

cc1212cc1313

1111

cc2121cccc2222

cc2323

22 22

cc3131

cc3232

33 33cc333333 33

AGENTESAGENTES TAREASTAREAS

Formulación PLFormulación PLSea xij , la cantidad enviada desde el origen il dal destino j.

Min c xMin   cijxiji j

s.a.    xij = 1  para todo agente ijxij = 1 para toda tarea  jiixij = 0 o 1  para todo i y j

Casos EspecialesCasos Especiales– Numero de agentes excede el numero de tareas:Numero de agentes excede el numero de tareas:

xij < 1 para todo agente ijj

– Numero de tareas excede el numero de agentes:Añ d fi i d (f l )Añada suficientes agentes dummy (falsos) para igualar el número de tareas. Los coeficientes de las nuevas variables serán 0.

– Las asignaciones se hacen en termino de beneficios:beneficios:Resuelva el problema con criterio de maximización

Casos EspecialesCasos Especiales– Un agente puede realizar a tareas:Un agente puede realizar a tareas:

xij < a para todo agente ijj

U i ió i t bl– Una asignación es inaceptable

Remueva la variable del problemaRemueva la variable del problema

Ejemplo 2Ejemplo 2Un contratista paga sus empleados un sueldo base más unaUn contratista paga sus empleados un sueldo base más unacomisión proporcional a la distancia recorrida para hacer eltrabajo. En un día en particular el contratista tiene quecumplir con tres trabajos eléctricos asociados a diferentesproyectos. A continuación se presentan las distancias de losempleados a cada proyectoempleados a cada proyecto.

Proyectos A B CW 50 36 16

Empleados F 28 30 18G 35 32 20U 25 25 14U 25 25 14

¿Como deberán asignarse los empleados a cada proyectopara minimizar los costos totales?p

Ejemplo 2 Red5050

Ejemplo 2. RedWW AA

3636

1616

WW AA

28283030

1818BBFF

os 1818

3535

Proyempl

eado

32322020

2525

CCGG

ectosEm

2525 2525

1414UU

Ejemplo 2 SolEjemplo 2 SolMin  50x11+36x12+16x13+28x21+30x22+18x23

+35x31+32x32+20x33+25x41+25x42+14x43s.a. x11+x12+x13 < 1s.a.  x11+x12+x13 < 1

x21+x22+x23 < 11

Agentesx31+x32+x33 < 1x41+x42+x43 < 1

g

x11+x21+x31+x41 = 1x12+x22+x32+x42 = 1

Tareasx12 x22 x32 x42   1x13+x23+x33+x43 = 1

0 1 t d i jxij = 0 o 1    para todo i y j

Ejemplo 2 SolEjemplo 2 Sol

Ó• Assignación Óptima

E l d P t Di t iEmpleado Proyecto DistanciaW               C              16F             A              28

( d )G                           (no asignado) U              B              25

Distancia Total =  69 miles 

Problema de TransbordoProblema de Transbordo• Los problemas de transbordo son problemas deLos problemas de transbordo son problemas detransporte en los cuales se pueden utilizar nodosintermedios (nodos de transbordo) antes de alcanzarintermedios (nodos de transbordo) antes de alcanzarun destino particular.

• Los problemas de transbordo pueden ser convertidosbl d á den un problema de transporte más grande y

resueltos con algoritmos de transporte. También sed l ó l l l ópuede utilizar programación lineal para su solución.

Problema de Transbordo• Representación como RedTanto los orígenes, los destinos y los transbordosse representan como nodos, por lo cual se tienetres conjuntos mutuamente excluyentes denodos.Los arcos representan las diferentes rutas entreorigen‐transbordo y transbordo‐destino.A cada arco se le asigna un costo cij, a cada nodode origen una oferta límite si y a cada destino unag i ydemanda mínima dj. Los nodos de transporte notienen demanda.

Ejemplo de RedEjemplo de Red2 Orígenes, 3 Transbordos, 2 Destinosg , ,

cc1313

cc3636

cc3737

33

66cc1414

cc1515

ss11

cc3737

cc4646

dd1111

44

cc2323 cc2424

cc4747

55

77cc2525

cc5656

cc5757

dd22ss22 22

55 cc5757

TRANSBORDOSTRANSBORDOSORIGNESORIGNES DESTINOSDESTINOS

Formulación PLSea xij , la cantidad enviada desde el nodo i al nodo j.

Min   cijxiji j

s.a.    xij < si para todo origen ijj

xik ‐ xkj = 0   para cada transbordo ki ji          j

xij = dj para todo destino  jii

xij > 0  para todo i y jij p y j

Ejemplo 3Ejemplo 3

Thomas Industries y Washburn Corporation proveen atres firmas (Zrox, Hewes, Rockwright) las cualespersonalizan los estantes para sus oficinas. Ambosordenan los estantes a los mismos fabricantes, ArnoldManufacturers y Supershelf, Inc.

Actualmente la demanda semanal por parte de susclientes son: 50 para Zrox, 60 para Hewes, y 40 parap , p , y pRockwright. Tanto Arnold como Supershelf puedenentregar a lo sumo 75 unidades semanalmente.g

Ejemplo 3Ejemplo 3Debido a largos contratos basados en acuerdosDebido a largos contratos, basados en acuerdosespeciales, los costos unitarios para cada estante varíanpara cada cliente Éstos son:para cada cliente. Éstos son:

Thomas WashburnArnold 5 8

Supershelf 7 4El costo de instalación en las diferentes firmas es:

Zrox Hewes RockwrightZrox Hewes RockwrightThomas 1 5 8

Washburn 3 4 4Washburn 3 4 4

Ejemplo 3 RedEjemplo 3. RedZROXZROX 5050

11

ZroxZrox

ARNOLD757555

88

1155

88

ArnoldArnold ThomasThomas

HEWES 6060

88 88

33

HewesHewes

WASHBURN

7575

77

44

33 44

44

SuperSuperShelfShelf

WashWash‐‐BurnBurnBURN

4040

44 44ShelfShelf BurnBurnRockRock‐‐WrightWright

Ejemplo 3 SolEjemplo 3 Sol

Variables de Decisionxij = cantidad enviada desde la fabrica i al distribuidor jxjk = cantidad enviada desde el distribuidor j al cliente kcon i = 1 (Arnold), 2 (Supershelf), j = 3 (Thomas), 4 (Washburn) k 5 (Z ) 6 (H ) 7 (R k i h )y k = 5 (Zrox), 6 (Hewes), 7 (Rockwright)

ó bFunción ObjectivoMinimizar Costos Totales de Transporte:  Min   5x13 + 8x14 + 7x23 + 4x24 + 1x35 + 5x36 + 8x37

+ 3x45 + 4x46 + 4x47

Ejemplo 3 SolEjemplo 3 Sol

RestriccionesCantidad enviada por Arnold:          x13 + x14 < 75Cantidad enviada por Supershelf:   x23 + x24 < 75Cantidad que pasa por Thomas:      x13 + x23 ‐ x35 ‐ x36 ‐ x37 =  0Cantidad que pasa por Washburn:  x14 + x24 ‐ x45 ‐ x46 ‐ x47 =  0Cantidad enviada a Zrox:                   x35 + x45 =  50Cantidad enviada a Hewes:               x36 + x46 =  60Cantidad enviada a Rockwright:       x37 + x47 =  40

Non‐negatividad:   xij > 0, para todo i y j.

Ejemplo 3 SolEjemplo 3 Soll $Costo Total =  US$ 1150.000

Variable Valor Costo ReducidoVariable Valor Costo ReducidoX13                    75.000                        0.000X14                      0.000                        2.000X23                      0.000                        4.000X24                    75.000                        0.000X35 50.000 0.000X35                    50.000                        0.000X36                    25.000                        0.000X37                      0.000                        3.000X45 0 000 3 000X45                      0.000                        3.000X46                    35.000                        0.000X47                    40.000                        0.000

Ejemplo 3 SolEjemplo 3 SolZROXZROX 5050

11

ZroxZrox

7575ARNOLD7575

55

88

1155

88

ArnoldArnold ThomasThomas

7575

HEWES 6060

88 88

33

HewesHewes

WASHBURN

7575

77

44

33 44

44

SuperSuperShelfShelf

WashWash‐‐BurnBurnBURN

4040

44 44ShelfShelf BurnBurnRockRock‐‐WrightWright