Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de algunas

transformadas integrales. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales. Aunque se pueden resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ecuación diferencial.

Cuando se resuelven ecuaciones diferenciales usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ecuación diferencial y posteriormente usar las propiedades de la

transformada.

Definición de la transformada de Laplace.

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f (t) se define como:

Cuando tal integral converge.

Definición de la transformada inversa.

La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir:

Si es que acaso

Esta definición obliga a que se cumpla:

Y

Tabla de transformadas:

1.

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Propiedades de la transformada de Laplace.

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f (t) y g (t) con funciones que poseen

transformada de Laplace.

1. Linealidad

Idea

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

2. Primer Teorema de Traslación

Donde

Idea

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

3. Teorema de la transformada de la derivada.

Idea La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

4. Teorema de la transformada de la integral.

5. Teorema de la integral de la transformada.

Siempre y cuando exista

6. Teorema de la derivada de la transformada.

7. Transformada de la función escalón.

Si representa la función escalón unitario entonces

8. Segundo teorema de Traslación.

9. Transformada de una función periódica.

Si f (t) es una función periódica con período T:

Teorema de la Convolución. Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

Técnicas para la transformada inversa Separación de fracciones Denominador potencia de s

Determine:

Solución Distribuimos primeramente el denominador:

Usando la propiedad de linealidad tenemos:

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Por tanto:

Primer teorema de Traslación

Denominador potencia de (s-a)

Determine:

Solución

El denominador domina el proceso; para aplicar el primer teorema de traslación debemos

hacer que la expresión sea una en s+4. Para ello todas las s en el numerador las cambiaremos

por s+4-4:

O:

El termino s+4 es s-a, es decir a=-4 y al aplicar el primer teorema de traslación tenemos:

Y siguiendo la propiedad de linealidad:

Haciendo uso de la tabla de transformadas:

Por tanto

Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de

; Para s >a

Ejemplo 2: Obtener la transformada de Laplace de f (t)= t.

Aplicando la integración por partes:

L {t} =

Y en general: L { } =

Obtener la transformada de Laplace de Sen at.

Paso 1.- ; resolviendo la integral

por partes:

Paso 2.-

Paso 3.-

Paso 4.- ; Integrando por partes:

Paso 5.- u= Cos at; du= -a Sen at dt;

Paso 6.-

Paso 7.-

Paso 8.-

Paso 9.-