Transformada Inversa: Laplace · PDF fileTransformada Inversa: Laplace Análisis de...

Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería

Análisis de Sistemas y Señales

Transformada Inversa:

Laplace

Alumnos:

Anzures Robles Jorge García Luciano Laura Quezada Borja Arnulfo Rojas Arteaga I. Karina

Fecha de entrega: Abril-2008.

Universidad Nacional Autónoma de México

Facultad de Ingeniería

Análisis de Sistemas y Señales

Transformada Inversa: Laplace

Análisis de Sistemas y Señales 2

Transformada 1.- [Ejercicio que se le asignó al equipo para exponer]

Sea X(s) la siguiente función: , calcular su transformada inversa

Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación.

… Dividiendo tenemos:

Sustituyendo nos queda la siguiente expresión:

X(s)=s-4+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:

Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado:

√= = √ √ , las raíces de esta ecuación son:

Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= . ,

Descomponiendo: v(s)= . ,

; calculando A y B para sustituirlos.

a) Si s=0.449 20(0.449)-12=A(0.449+4.449)

b) Si s=-4.449 20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449)

v(s)= ..

.,

, con esta expresión tenemos la expresión completa,

X(s)= s-4+ ..

.,

aplicando la anti-transformada

s‐4 +4s‐2 +0 +4s‐4 ‐ ‐4 +2s ‐4 +4s‐4 4 +16s‐8 20s‐12

x1= 0.449 y x2=-4.449

A=-0.616

B=20.616

4 0.616 . 20.616 . ; 0

4 0.616 . 20.616 . ; 0



Ejercicios:

1.- Sea X(s)= hallar su anti-transformada x(t)

Dividiendo tenemos:


X(s)=2+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:



Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= . .

Descomponiendo: v(s)= . .


a) Si s=-0.585 -17(-0.585)-39=A(0.585-3.414)

b) Si s=-3.414 -17(-3.414)-39=A(-0.585+3.414)

v(s)= ..

.

. ;, con esta expresión tenemos la expresión completa,

X(s)= 2+ ..

.,


2 +4s+2 2 ‐9s‐35 ‐2 ‐8s‐4 ‐17s‐39

x1= -0.585 y x2=-3.414

A=-10.27

B=-6.72

9 2 ; 0 2 10.27 . 6.72 . ; 0

9 2 ; 0 2 10.27 . 6.72 . ; 0



-1 0 -1 0

1 0 S=-2

2.- Sea la siguiente ecuación X(s)= hallar su anti-transformada x(t)

X(s)= Vemos que se puede factorizar, se tiene la siguiente expresión:

Comprobando cuáles son sus raíces por división sintética:

Entonces comprobamos que tenemos la siguiente expresión: y descomponemos en

fracciones parciales: ²

y resolvemos, para obtener las constantes A, B y C.

a) Si s=-2 3[(-2)²+2(-2)+1] ) = B(-2+1)

b) Si s=-1 3[(-1)²+2(-1)+1] ) = C(-1+2)

c) Si s=0 1=A(2)+(-9)+2(4)

Sustituyendo el valor de las constantes nos queda la función así: x(s) = ²

Aplicando entonces tenemos que la función en términos de t es:

1 5 8 4

-2 -2 -6 -4

1 3 2 0 S=-2

0 0 0

-2 0 -2 -2

1 1 0 S=-2

B=-9

C=2

A=1

9 2 ; 0

9 2 ; 0



3.- Sea la señal X(s)=2

5 3 2 2 2

118 81 9 ( 9)s A Bs C Ds E

s s s s s s+ + +

= + ++ + + +

Obtener su anti-transformada

2 2 2 2

2 4 2 2 2 2

2 4 2 4 2 3 2

1 ( 9) ( )( )( 9) ( )1 ( 18 81) ( 9)1 18 81 9 9

s A s Bs C s s Ds E ss A s s Bs Cs s Ds Ess As As A Bs Bs Cs Cs Ds Es

+ = + + + + + +

+ = + + + + + + +

+ = + + + + + + + +

Agrupando los coeficientes en sistemas de ecuaciones y determinando su valor:

1081

018 9 721 18 9 1 ;81 81 81

0 9 011 8181

A B B A

C

A B D D D

C E E

A A

= + ⇒ = − = −

=

= + + ⇒ − + = =

= + ⇒ =

= ⇒ =

Sustituyendo en ecuación de fracciones parciales los valores de A, B, C, D y E:

2 2 2

1 1 7281 81 81

9 ( 9)

s Ds

s s s− +

+ +

1

1 1 1 12 2 2 2 2 2

12 2

:1 1 72 1 1 7281 81 81 81 81 81

9 ( 9) 9 ( 9)

721 1 81cos(3 )81 81 ( 9)

st

aplicando

s Ds s s

s s s s s s

se t

s

−

− − − −

− −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

− + = − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ + + +⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪

= − + ⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

D

D D D D

D

Por tablas identificamos a qué función se parece y sustituimos:

1 12 2 2 2 2

722 7281( ) (3 )

( ) ( 9) 486

sas tsen at tsen ts a s

− −

⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫

= ⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ +⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭

D D

21

5 3

1 1 1 72cos(3 ) (3 )18 81 81 81 486

sts e t tsen ts s s

− −⎧ ⎫+= − +⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

D



4.- Sea la expresión X(S) hallar su transformada inversa.

X(S) = = = ²

=²=

² ²

= ²

²=

²

Igualando coeficientes

A+B=0; A=‐B 18A+9B+D=1; ‐18B+9B+D=1

9B+D=1

D=1‐9B

D=1+ (9/81)

D=90/81 = 10/9; C=0;

9C+E=0; E= 0

A81=1; A= 1/81 y B=‐1/81

Sustituyendo tenemos:

s+ 12

(s+ 12

)2 +34

−13

32

(s+ 12

)2 +34

+2e−s

3

32

(s+ 12

)2 +34

Y aplicando la transformada inversa

tenemos que la ecuación con su transformada inversa es:

e12

tcos 3

2t − 1

3e

12

tsen 3

2t + 2

3e

12

tsen 3

2t(u(t +1))



5.- Tenemos la siguiente función: x(s)= ²

, calcular su transformada inversa.

Para poder resolver aplicando división al primer término de la suma:

Sustituyendo el resultado obtenido en la función

x(s) = 1²

²

De (1) y ; Tenemos: ² y tomamos solo

² =

² , una vez separadas en fracciones resolvemos el valor de las constantes:

s= A(s+1)² + B(s+1) Resolviendo el sistema de ecuaciones: A=1, B=-1

Sustituyendo queda de la siguiente manera:

² ² = X(s´), y sabemos que =

Recordando una propiedad: f(x)h(t-x)dx tenemos entonces que:

F[s]= Calculando su H[s]=

f(t)= 1 h(t)=

Quedando la transformada inversa de X(t´)= (2-t) 1 … . 1´ 0

De (2) Tenemos que: ² es ahora: s´´ y calculando su transformada inversa

queda la ecuación de la siguiente manera aplicando las siguientes propiedades

y . A partir de esto calculamos:

F[s]= Calculando su H[s]=

f(t)= 2 h(t)=

Quedando la transformada inversa de X(t´´)= (t-2) 2 … . 2´ 0

Agregando estas transformadas inversas a la ecuación X(s) para obtener x(t) es:

1 s+1 s ‐s‐1 ‐1

(1) (2)

2A+B=1 A+B=0

2 t 1 t 2 2 ; 0

2 t 1 t 2 2 ; 0



Exposiciones

1.- Sea la función x(s)=2 2

3 2 2

3 4 1 3 4 12 2 ( 2)( 1)

s s s ss s s s s

+ + + +=

+ + + + +. Calcular su transformada

inversa

Factorizando 3 22 2s s s+ + + agrupando: 3 2( ) (2 2)s s s+ + + sacando factor común: 2 2 2( 1) 2( 1) ( 2)( 1)s s s s s+ + + = + + por fracciones parciales:

2

2

3 4 1( 2)( 1)

s ss s

+ ++ +

= 2 .....12 1

A Bs CS s

++

+ + Tenemos el sistema de ecuaciones que resolveremos:

2 2

2

3 4 1 ( 1) ( )( 2)3 4 1 2 2 2 2s s A s Bs C ss s As A Bs Bs Cs C+ + = + + + +

+ + = + + + + +Agrupando términos e igualando coeficientes:

2 2 23 3 ....24 2 4 2 ....31 2 .....4

s As Bs A Bs Bs Cs B C

A C

= + ⇒ = += + ⇒ = +

= +Despejando:

...4 1 2 ...4 '

4 ' 2 3 1 2 ...2 '

2 2 2 ...3'

3' 3 4 4 40 5 013 1 2

de A C

sust en C B

despejando B de B C

sust en C CC C

AB B

⇒ = −

⇒ = − +

⇒ = +

⇒ = + += ⇒ === + ⇒ =

2

3 2 2

1

1 22

, 1:3 4 1 1 2

2 2 2 1

:1 2 2cos .

2 1t

sust A B y C ens s s

s s s S s

aplicandos e t

S s

−

−

+ += +

+ + + + +

⎧ ⎫+ = +⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

D

D

2

2



2.-Sea X(s) la siguiente función: , calcular su transformada inversa

Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación.

… Dividiendo tenemos:


X(s)=s-4+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:



Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= . ,

Descomponiendo: v(s)= . ,


a) Si s=0.449 20(0.449)-12=A(0.449+4.449)

b) Si s=-4.449 20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449)

v(s)= ..

.,

, con esta expresión tenemos la expresión completa,

X(s)= s-4+ ..

.,


s‐4 +4s‐2 +0 +4s‐4 ‐ ‐4 +2s ‐4 +4s‐4 4 +16s‐8 20s‐12

x1= 0.449 y x2=-4.449

A=-0.616

B=20.616

4 0.616 . 20.616 . ; 0

4 0.616 . 20.616 . ; 0



3.- Sea la función X(s)= calcular su transformada inversa de Laplace.

Factorizando el término del denominador tenemos: y descomponiendo den

fracciones parciales tenemos a la ecuación de la siguiente manera: y resolviendo el

valor de las constantes A, Bs y C efectuamos las siguientes operaciones.

De esta matriz se ve el valor de:

A +4As+BA+B +Cs= +2+16 y resolviendo tenemos:

A=2; B=-1y C=-6

2 64 8

26

4 8

=2- cos 2 2 2

4.-Teniendo la siguiente función H(s)= , calcular su transformada inversa de Laplace.

H(s)= , buscamos sus raíces para poder descomponerla en fracciones parciales que son:

H(s)= ; Descomponiendo tenemos: H(s)= Y calculando el valor de A y B.

A=[s{x(s)}]s=0 = s=0 = A=4

B=[s+{x(s)}]s=-1 = s=-1 = B=-1 Y sustituyendo: H(s)=

Tenemos a la siguiente ecuación a la que hallaremos su transformada inversa.

1 1 0 1 4 0 1 2 8 0 0 16

=2- cos 2 2 2

4 11

4



5.- Tenemos a la siguiente señal con ecuación x(s)= , obteniendo las raíces

de la parte del denominador que le llamaremos D(s) tenemos que son las siguientes:

S1=2.7+1.6i, S2=-2.7-1.6i y S3=0.6

Y como vemos que tuvimos dos raíces complejas separamos de la siguiente manera en fracciones parciales:

Se obtiene de hacer D(s) = (s+27.1.6i)(s+27+1.6i)(s+0.6)=( +27s)+(8.6)(s+0.6) lo siguiente:

X(s) = . .

Calculando C2 haremos:

C2= [s+0.6 ]= . s=0.6 0.65

( 27 8.6)(s+0.6)=(Cs-d)(s-0.6)+0.65( 27 8.6) 3.3 10.22 5.16 =

C +ds+0.65+0.6d+0.65 +1.76s+5.59=(c+0.65) +(d+0.6C+1.76)s+0.6d+5.59

Igualando términos C+0.65=3.3 d+0.6 (2.65)+1.76=10.22 C=2.65 d=6.88

Quedando x(s)= . ..

..

Redondeamos para facilitar cálculos:

x(s)= … 1 Completamos el trinomio (1) y queda: x(s)= Entonces:

x(s)= Y por propiedades resolvemos:

x´(s)= = 3

x´´(s)= =

x´´´(s)= =

Quedando la transformada inversa completa de la siguiente manera:

X(t)= 3 + +

3 32

32

254

52

32

254

11

X(t)= 3 + +



6.- Teniendo la ecuación x(s)= = Hallar su transformada inversa.

Factorizando 2 ² 5 2 este polinomio tenemos:

Agrupando ( +5) + (25² +2)

Sacado el factor común (S +2) (S² +1) Y desarrollado por fracciones:

= + ²

…..(1)

3 + 4 1 1 2

3 + 4 1 2 1 2

Calculando sus coeficientes:

3 ² 3 = A+B… (2)

4s = 2Bs + Cs 4 = 2B+C…. (3)

1 = A+2i…. (4) Despejando de 4; A = 1-2c… (4)

Substituyendo 4´ en 2 3 = 1-2c+B… (2´) Despejando B de 2´

B =2+2c… (3´) substituyendo 3´en 3 4 = 4+4c+C

O = 5c C=O ; A = 1 ; B = 2

Substituyendo A, B y C en (1)

=

12

2² 1

2 cos t

12

2² 1

2 cos t



7.‐ Sea la señal cuya transformada de Laplace es la siguiente x = ²

Calcular

su transformada inversa.

Buscando raíces s²+7s+12 = 0 Factorizando (S+3) (S+4) = 0 Sus raíces son: S1 = ‐3 y S2 = ‐4

Reescribiendo la ecuación x

Calculando A=1 y sustituyendo… x

8.-Sea x²

= Hallar su transformada inversa de Laplace

Obteniendo raíces S (s²+ 5s+7) =0 a partir de la resolución de la ecuación de segundo grado.

Aplicando la ecuación cuadrática S1 = 0

√= = √ S2 =

√ α=- 52

S3 =√ β=√3

2

Aplicando las raíces como son complejas realizamos:

x √

√

√3

C 1 = 1 7

C2 + √ i C2

C2 ‐ √ i x (t) =2(c1) αt cos (β+ < C1)

(C2)= 1/√7 ‹ = 180°‐ 79.10

‹ = 100.89° Sustituyendo tenemos que es:

= + = ‐ +2

= + = ‐ +2

= 1/7 + 2(1√7 ) 2.5 cos √ 100.89 ; t >, 0

= 1/7 + 2(1√7 ) 2.5 cos √ 100.89 ; t >, 0



9.- X(s) = = , determinando raíces por división sintética

Tenemos entonces que es: x(s)= y

acomodando

en fracciones parciales: y resolviendo el valor de las constantes:

3 4 1= C1(s+2) 1)+(c2s( 1))+(c3s+c4)(s(s+2))

3 4 1= C1 ( 3 3 2 +(C2 ))+C3( 2 )+C4( 2 )

Agrupando... 3 4 1=(C1+C2+C3) +(3C1+C2+2C3+C4) +(3C1+C2+2C4)s+2C1

C1+C2+C3=0…(1) De (4) 3C1+C2+2C3+C4=3…(2) C1=1/2 y sustituyendo C1 en (1,2 y 3) 3C1+C2+2C4=4…(3) C2+C3=-1/2 2C1=1…(4) C2+2C3+C4=3/2 C2+2C4=5/2 Despejando C3 y C4 de (1) y (3)

C3=-1/2-C2…(5) 2C4=5/2-C2 C4=5/4-1/2C2…(6) Sustituyendo (5) y (6)

C2+2(-1/2-C2)+(5/4-1/2C2)=3/2

1 3 3 2 ‐2 ‐2 ‐2 ‐2 1 1 1 0



10.- Sea la señal X(s)= 2s² + 12s + 20 Hallar su transformada inversa de Laplace:

S3 + 6s2 + 10s + 8 X3 + 6x2 + 10x + 8 F(-x) = (-x )3 + 6 (-x ) + 10 (-x ) + 8 = x3 + 6x – 10 ( -x ) + 8

= 8 = 4(2)(1) -1/4 -1/5 -1/2 1 6 10 8 1 6 10 8 -4 -4 -8 -8 (x+4) (x2 +2x +2) -1 -1 -5 -5 1 2 2 0 1 5 5 3 2s2 + 8 A + Bs + D S+4 s2 + 2s +2 …….(A) 2s2 + 8s + 10 (s+4) (s2 + 2s +2 ) (s+4) (s2 + 2s + 2) Determinando el valor de las constantes tenemos: 2(s2 +8+10) = A(s2 + 2s + 2) + ( 8s + D) (s+4) A+B = 2…………………(1) Resolviendo el sistema de ecuaciones... 2A +2B+16 = 16 ……….(2) 2(A + 2) = 20…………….(3) 8 + 2s +24 S2+4 s2 + 25 + 2 Transformando a partir de las tablas nos queda de la siguiente manera: 8 = 8 e -4j

S+4 2s + 24 = 2s+2+22 s2 + 2s + 2 (s+1) 2 + 1 2(s+1) + 22 = = 2 e-j cos j + 22 e-j sen j (s+1)2 +1 (s+1) 2 + 1



11.- Sea la función X(s)= ²

Calculando las raíces de el denominador y vemos que contiene raíces complejas r1= 5/2 + √3/2 j r2 = 5/2 - √3/2 j ( s2 – r1) ( s + r2) y sustituyendo en la ecuación α = 5/2 β= √3/2 p= α + pj x(s) = c1 + c2 Calculando el valor de las constantes (S-r 1) (S- r 2) C1 = -3 / 2/√3 j + ½ C2 = C1

C2= (3 / 2/√3) j + ½ X(t) = 2 (C1) e2t cos (β + α c1) + c3 e β3t

tan-1 (ln C1/ R2 C1 ) cuando Re C1 > 0 } α C1

180º + tan -1 (ln C1/ R2 C1) cuando Re C1 < 0 α C1 = 180º + tan -1 ( -3 ( 2√3) / ½ ) = 120º

Entonces tenemos que la transformada inversa de esta función es:

x(t) = 2 e-2t cos (√3/2 t +120º)



12.- Teniendo la ecuación x(s)= = Hallar su transformada inversa.

Factorizando 2 ² 5 2 este polinomio tenemos:

Agrupando ( +5) + (25² +2)

Sacado el factor común (S +2) (S² +1) Y desarrollado por fracciones:

= + ²

…..(1)

3 + 4 1 1 2

3 + 4 1 2 1 2

Calculando sus coeficientes:

3 ² 3 = A+B… (2)

4s = 2Bs + Cs 4 = 2B+C…. (3)

1 = A+2i…. (4) Despejando de 4; A = 1-2c… (4)

Substituyendo 4´ en 2 3 = 1-2c+B… (2´) Despejando B de 2´

B =2+2c… (3´) substituyendo 3´en 3 4 = 4+4c+C

O = 5c C=O ; A = 1 ; B = 2

Substituyendo A, B y C en (1)

=

12

2² 1

2 cos t

12

2² 1

2 cos t

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