TEMA 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALESObjetivo: El alumno aplicará la transformada de Laplace en la resoluciónde ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

¿Quién fue Laplace? …

• Pierre Simon Marqués de Laplace• Astrónomo, físico y matemático francés,nació el 28 de marzo de 1749 enNormandía, Francia y murió el 5 demarzo de 1827 en París, Francia.

¿Quién fue Laplace?...• Su alma máter fue la Universidad de Caen• Supervisores doctorales Jean d'Alembert,Christophe Gadbled, Pierre Le Canu.

• Estudiantes destacados: Siméon DenisPoisson, Joseph Fourier

• Conocido por : Teorema de Laplace,Transformada de Laplace, Determinismocientífico.

…¿Quién fue Laplace?• Cónyuge: Marie‐Charlottede Courty de Romanges

INTRODUCCIÓN…

• Muchas de las ED que se resolvieron en el tema anterior,también se pueden resolver mediante otro método muydiferente.

• Así mismo también se resolverán sistemas de ED.

x x x

x x x

1 1 2

2 1 2

2 2

13 4

x , x1 20 0 0 5Sujeto a las condiciones

.

…INTRODUCCIÓN

• Este método se basa en el concepto de la transformadade Laplace de una función se puede emplear paraconvertir una ED o un sistema de ED en una ecuaciónalgebraica o en un sistema de ecuaciones algebraicas.

Método para resolver una ED usando Transformada de Laplace

VENTAJAS• Método de solución relativamente más rápido yeficaz.

• Es mucho mas conveniente para resolver problemascon valor inicial para EDL con coeficientes constantes(aun habiendo discontinuidad de salto).

• Reemplazar las ED con coeficientes constantes en eldominio de t por ecuaciones algebraicas (massencillas) en el dominio de s.

Nota: existen tablas y teoremas que facilitan la conversión en muchas circunstancias útiles.

DESVENTAJAS

• Este método de la transformada de Laplace es menos útil con ecuaciones que tienen coeficientes variables o con ecuaciones no lineales.

• Necesitamos álgebra elemental.

Subtema 3.1 * Definición de la transformada de Laplace. * Condición suficiente para la existencia de la transformada de Laplace. * La transformada de Laplace como un operador lineal. * Teorema de traslación en el dominio de s (primer teorema de traslación). 

* Transformada de la enésima derivada de una función. * Derivada de la transformada de una función. Transformada de la integral de una función. 

* Definición de las funciones: rampa, escalón e impulso unitarios, así como sus respectivas transformadas de Laplace. 

* Teorema de traslación en el dominio de t (segundo teorema de  traslación).

¿Transformadas?

En el tema anterior estudiamos los operadoresdiferenciales. Estos operadores consideraban una función yla transformaban (mediante la derivación) en otra función.La transformada de Laplace es un operador integral, es otrade tales trasformaciones, que a una función (o ED) dada, latransforman en una función diferente.

Recordando de Álgebra Lineal: Transformación lineal de V en W.

Transformación es una función entre espacios vectoriales sobre un mismocampo, a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo uno delcodominio.

Ejemplo…

Sea V1=t2 para ser transformada bajo la regla:

donde a , b son constantes 0<a<b y s es un parámetro.T(V1)= 1

PROPIEDADES DE UN OPERADOR LINEAL.TEOREMA.• Para todo V1, V2.Entonces:

donde y son constantes.

DEFINICIÓN

Dadas k(s,t) y f(t) llamaremos transformación lineal integralde f (t) sobre k(s,t) a la siguiente expresión:

k(s,t) es conocido como el KERNEL o núcleo de latransformación.

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA.

DEFINICIÓNSea f (t ) una función en [0,∞) . La transformada de Laplace de f es la funciónF definida mediante la integral.

(1)

El dominio de F(s) está formado por todos los valores de s para los que laintegral en (1) existe.

Observe que la integral (1) es una integral impropia

siempre que el limite exista. Esto ocasiona que la existencia de latransformada de Laplace de una función este en función a la convergencia dela integral impropia.

“El nombre de transformada proviene del hecho de que este operadortransforma una función en el dominio de t (frecuentemente el tiempo) en unafunción F en el dominio de s (en muchos casos la frecuencia)”.

→

TEOREMA. Condiciones para la existencia de la transformada.

• Si f(t) es continua en partes en [0,∞) y de ordenexponencial , entonces L {f(t)} existe para s > α.

NOTA: Pueden existir funciones que no cumplan con estashipótesis y su transformada exista.

Continuidad seccional de una función.• Una función f(t) es seccionalmente continua en el intervalo , si eseintervalo puede ser dividido en un número finito de subintervalos de talmodo que en cada uno de ellos:

• f(t) sea continua• f(t) se aproxima a un limite, a medida que t se aproxima a cada extremo del intervalodesde adentro, es decir, que en un subintervalo existen:

a t b

c t d

lim limt c t d

f t y f t

Función de orden exponencial• Se dice que una función f(t) es de orden exponencial c, cuando , siexisten constantes c, M>0 y un valor t0 >0 tales que:

• Esta condición significa que f(t) esta acotada por exponenciales:es decir:

t

0c tf t M e para t t

c t c tM e f t M e

Nota: Hay bibliografía que lo define como alfa (α) en vez de c, pero es lo mismo.

LA TRANSFORMADA COMO UN OPERADOR LINEAL.TEOREMA. Linealidad de la transformada• Sean f1, f2 y f3 funciones cuyas trasformadas de Laplace existen para s > α y c es unaconstante. Entonces:

Este teorema afirma que la transformada de Laplace es lineal, por lo tanto cumple contodas las propiedades de las trasformaciones lineales vistas en Álgebra lineal.

Si no tuviéramos acceso a una tabla detransformadas de Laplace, tendríamosque recurrir a la definición, esto implicala evaluación de integrales impropias, loque podría ser una tarea “tediosa”,aunque la propiedad de linealidad de latransformada nos puede ser de ayudasolo en algunos casos (sumas) pero ¿si setienen multiplicaciones de funciones ?

Debido a ello ahora analizaremos algunas propiedades adicionales de la trasformada de Laplace que simplifican su cálculo. Así como también nos permitirán usar la trasformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial.

TEOREMA DE TRASLACIÓN EN EL DOMINIO DE S (PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN)

• Si la trasformada de Laplace existe para esuna constante entonces se cumple que

• Este teorema ilustra el efecto sobre la transformada de Laplace de lamultiplicación de una función f (t) por .

• O bien se puede decir:

0,s c y a

at

s s aL e f t L f t

,atL e f t F s a para s a c

L f t F s

DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN

• Sea F (s) = L{ f (t)} y suponga que f (t) es continua porpartes en [0,∞) y de orden exponencial c . Entonces:

TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN

Sea f (t) una función de orden exponencial c. Suponga que f (t) se definepara s > c, (salvo posiblemente en una sucesión finita o infinita que tiende a∞), y que f (t) es integrable en el intervalo [0,t] para cualquier t ≥ 0 .Entonces:

Este teorema nos da la oportunidad de obtener la transformada de Laplacede una integral sin tener que evaluar primero la integral.

Tarea: Revisar los siguientes ejercicios donde se utilizan varios teoremas

3

0

0

1) https://www.youtube.com/watch?v=p0BI0TnHfzM

2) https://www.youtube.com/watch?v=AxfthC9DW6g

2) https://www.youtube.com/watch?v=bI5bLd9VMi0

t

t

t

t

f t t e sent

f t e t senht d t

sentf t t d tt

Función escalón, función  rampa y función impulso

Funciones seccionalmente continuas y su transformada de Laplace

INTRODUCCIÓN…

•Hasta este momento hemos vistotransformadas de Laplace de funcionesque son continuas para todos lospuntos, o al menos para todo t > 0 . Sinembargo, las transformadas de Laplacese adaptan muy bien para tratar confunciones que son discontinuas enalgunos puntos.

INTRODUCCIÓN…• En este subtema veremos algunas funciones especiales que surgen con frecuencia al aplicar el método de la transformada de Laplace a problemas físicos. En particular serán funciones que presentan discontinuidades de salto, las cuales aparecen de manera natural en problemas físicos.

INTRODUCCIÓN…

• Por ejemplo, la introducciónrepentina de una nuevaespecie o de una enfermedaddesconocida que afecte a unapoblación o el encendido yapagado de un interruptorson fenómenos discontinuos.

…INTRODUCCIÓN•Las ecuaciones diferenciales que contienenfunciones discontinuas son difíciles de trataranalíticamente usando los métodos vistospreviamente, pero la transformada de Laplacepuede facilitar el tratamiento de esasdiscontinuidades.

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO• Definición La función escalón unitario u(t) esta dada por

donde se observa que u(t) tiene una discontinuidad en t=0 donde salta de 0 a 1

0

0 , 01 , 0

tu t u t

t

Escalón unitario con desplazamiento

Escalón no unitario con desplazamiento

• Una función de esta forma se llama función escalón o función de Heaviside (en honor al ingeniero Oliver Heaviside). Es útil al modelar procesos discontinuos tales como el encendido de un interruptor de corriente eléctrica.

• Cualquier función continua por partes se puede expresar en términos de funciones escalón unitario.

Propiedades de la función 

escalón

Transformada de Laplace de la función escalón

asM eL Mu t a

s

• La propiedad de traslación de F(s) analizada en el primer teorema de traslación describía el efecto sobre la transformada de Laplace de multiplicar una función por eat .

• El siguiente teorema ilustra un efecto análogo de multiplicar la transformada de Laplace de una función por e−as .

Recordando…

¿Qué pasa al graficar?

FUNCIÓN RAMPA 

m=1

FUNCIÓN RAMPA 

m = pendiente

r1

r2

r3

r4

a= valor donde empieza la inclinación

Función rampa unitaria

Propiedad

FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO• Introducción En los sistemas mecánicos, circuitos eléctricos, doblamiento de vigas y otras aplicaciones, aparecen funciones con un valor muy grande durante un intervalo de tiempo muy corto. Por ejemplo, el golpe que un martillo, es una fuerza relativamente grande durante un intervalo de tiempo relativamente corto.

FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO• Para trabajar con fuerzas violentas o de corta duración, los físicos y los ingenieros usan una función delta introducida por Paul A.M. Dirac.

Nacimiento: 8 de agosto de 1902, Brístol, Reino UnidoFallecimiento: 20 de octubre de 1984 (82 años), Tallahassee, Florida EE. UU.

FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO• DefiniciónLa función delta de Dirac se caracteriza por las propiedades siguientes:

0 , 0)

, 0t

a tt

) 0

c)

b f t t d t f

o con desplazamiento

f t t a d t f a

para cualquier función f(t) que sea continua en un intervalo abierto que contiene a t=0 o t=a

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO

1

a s

L t

L t a e

TRANSFORMADA DE LA PRIMERA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

• Sean f (t) continua en [0,∞) y f ′(t ) continua por partes en[0,∞) ambas de orden exponencial . Entonces:

•Donde es la condición inicial en cero

TRANSFORMADA DE LA ENÉSIMA DERIVADA DE UNA FUNCIÓNSean

Subtema 3.2 

* Transformada inversa de Laplace.* La no unicidad de la transformada inversa.* Linealidad de la transformada inversa.* Definición de convolución de funciones.* Uso del teorema de convolución para obtener algunas transformadas inversas de Laplace.

•Como podemos ver la transformada de Laplace es una herramienta útil para el curso, para resolver problemas con valores iniciales. Nos dicen que al usar la transformada de Laplace podemos reemplazar la “derivación con respecto de t” con la “multiplicación por s”, convirtiendo con ello una ED en una ecuación algebraica.

DEFINICION DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACECon frecuencia, será necesario invertir el proceso de obtener unatransformada de Laplace. Esto es, se requerirá la capacidad de obtener unafunción f (t) , para la cual se tiene una función dada en s, que es latransformada de Laplace.

Por ejemplo se reconoce que es la transformada de la función constante 3esto es:

y decimos que 3 es la transformada inversa de 

DEFINICION DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACEDEFINICIÓNDada una función F(s), si existe una función f (t) que sea continua en [0,∞) ysatisfaga L{f(t)}=F(s) entonces decimos que f(t) es la transformada inversa deLaplace de F(s) y utilizamos la notación

NOTA: Las tablas de transformadas de Laplace serán de gran ayuda paradeterminar la transformada inversa de Laplace de una función dada F(s).

LA NO UNICIDAD DE LA TRANSFORMADA INVERSASi dos funciones diferentes tienen la misma transformada de Laplace estasdifieren solamente en un conjunto de puntos de discontinuidad en los quelos límites laterales existen, es decir a lo mas una de ellas puede sercontinua.

NOTA: En el curso trabajaremos con funciones continuas pues las solucionesde ED son continuas.

LINEALIDAD DEL OPERADOR 

Suponga que existen y soncontinuas en y sea c cualquier constante.Entonces:

1) 

INTRODUCCIÓN…

Hasta este momento no existe una fórmula general para la trasformada deLaplace de un producto de funciones de la forma

en términos de las transformadas de Laplace individuales.

Los teoremas vistos en clases pasadas son multiplicación de ciertas funcionesy se aplican únicamente cuando son esas funciones.

L f t g t

Ahora para las inversas… si dos funciones de s, F (s) y G(s) se sabeque tienen inversas f(t) y g(t) respectivamente, entonces la inversadel producto F(s)G(s) se puede obtener en términos de f(t) y g(t)como

Como vemos esta fórmula involucra una integral, esa integral queaparece tienen un nombre, este es, convolución de las funcionesf(t) y g(t) y se representa mediante el símbolo f(t) g(t) así entoncesse tienen la siguiente definición…

1 ( ) ( )fL F s G ts g t

Sean f(t) y g(t) funciones con nuas por partes en [0,∞). La convolución de f(t) y g(t) que se denota como f(t) g(t) se define como

suponiendo que dicha integral existe.

NOTA: El traslado lo determina el grado de dificultad de las funciones, es decir la más sencilla se traslada.

0 0

*t t

f t g t f v g t v d v f t v g v d v

DEFINICIÓN DE CONVOLUCIÓN

Se usa envez de v

OJO: La convolución es distinta a la multiplicación común sin embargo si se satisfacen algunas propiedades.

PROPIEDADES DE LA CONVOLUCIÓN

Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

• El objetivo es mostrar la forma de usar las transformadas deLaplace para resolver problemas con valores iniciales paraecuaciones diferenciales lineales.

• Los métodos estudiados en los temas anteriores pararesolver estos problemas, primero se requería hallar unasolución general de la ED y luego sustituir las condicionesiniciales para determinar la solución final, veremos que elmétodo de transformada de Laplace conduce a la solucióndel problema con valores iniciales y sin hallar primero unasolución general.

Método para resolver un problema con valores iniciales utilizando transformada de Laplace1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos lados de la(s) 

ED.2. Usar las propiedades de la transformada de Laplace y las 

condiciones iniciales para así obtener una ecuación en el dominio de s lo cual permite obtener una ecuación algebraica en donde la variable es la imagen F(s) de la incógnita f(t)

3. Despejar la función incógnita4. Determinar la transformada inversa de Laplace de la 

función incógnita, ya sea buscando en la tabla o usando un método adecuado (fracciones parciales) junto con la tabla.

Condiciones de frontera, de borde o contorno

• Los problemas que se pueden modelizar mediante una ecuación diferencial de segundo orden con condiciones en dos puntos dados, extremos de un intervalo de estudio [a,b], son los denominados problemas de ecuaciones diferenciales con valores en la frontera, o problemas de contorno. 

• Y se formulan de la siguiente manera:

y’’ =    f ( t, y, y’ ),         y(a) = α,          y(b) = β

Condiciones de frontera

•Para definir la solución se necesitan dos condiciones de contorno:

• Si se dan para un mismo punto, se tiene un problema de valor inicial.

• Si se dan para dos puntos, se tiene un problema de valores en la frontera

Tipos de Condiciones de frontera• Condición de frontera de Dirichlet (o de primer tipo): 

• Es un tipo de condición de frontera o contorno, denominado así en honor al matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805‐1859), resultado de su trabajo en cálculo de varicaciones, cuando en una ecuación diferencial ordinaria o una en derivadas parciales, se le especifican los valores de la solución que necesita la frontera del dominio.

• Es decir se conoce el valor de la función al evaluarse en un punto. 

Tipos de Condiciones de frontera

• Condición de frontera de Neumann (o de segundo tipo): • Es un tipo de condición de frontera o contorno, llamada así en honor al matemático alemán Carl Gottfried Neumann (1832‐1925). Se presenta cuando una ecuación diferencial ordinaria o de derivadas parciales, se le especifican los valores de la derivada de una solución tomada sobre la frontera o contorno del dominio.

• Es decir se conoce el valor de la derivada de la función evaluada en un punto.

Tipos de Condiciones de frontera• Condiciones de frontera de Robin (o de tercer tipo):• Es un tipo de condición de frontera o contorno, denominado así en honor a Victor Gustave Robin (1855‐1897), matemático francés que trabajó en el campo del análisis y la matemática aplicada. 

• Y ocurre cuando en una ecuación diferencial ordinaria o en una de derivadas parciales, se le especifica una combinación lineal de los valores de una función y los valores de su derivada sobre la frontera del dominio.

• También se puede entender como un tipo de condición mixta; ya que es una combinación lineal de las condiciones de frontera de Dirichlet y Neumann. Aplicación en problemas

electromagnéticos

Tipos de Condiciones de frontera

• Condición de frontera de Cauchy: • En ecuaciones diferenciales ordinarias o en ecuaciones diferenciales parciales imponen valores específicos a la solución de una ecuación diferencial que se toma del dominio y de la derivada normal de la frontera. 

• Esto es igual a imponer dos tipos de condiciones: la condición de frontera de Dirichlet y la condición de frontera Neumann. Su nombre hace honor al prolifero matemático francés del siglo XIX Augustin Louis Cauchy, matemático francés (1789‐1857).

Tipos de Condiciones de frontera

• Condición de frontera periódicas: 

• Cuando el valor de la función y la derivada coinciden en el mismo punto.

Aplicación ingeniería civil (Condiciones de frontera)Las condiciones de frontera y continuidad se utilizan para encontrar deflexiones en vigas estéticamente determinadas, donde se utiliza la ecuación de momentos flexionantes por medio de la resolución de ecuaciones diferenciales.

El cálculo de deflexiones es una parte importante del análisis y diseño estructural, así como el análisis dinámico.

Para dar solución al problema de deflexiones en vigas, además de las ecuacionesdiferenciales deben prescribirse condiciones de frontera.

Sistemas de ecuaciones diferenciales Representación matricialHasta ahora, hemos considerado solamente ED que contienen una sola función desconocida. Sin embargo, en las aplicaciones aparecen sistemas de dos o mas ED, por lo general lineales que contienen dos o mas funciones desconocidas.Ahora consideraremos situaciones en las que se relacionan dos o más funciones desconocidas mediante algún conjunto o sistemas de ED, se hará un cambio en la notación estándar empleando t como variable independiente con x,y,z y otros símbolos más que representan a las funciones desconocidas que dependen de t

Definición Sea el sistema de EDL de primer orden

111 1 12 2 1

212 1 22 2 2

1 1 2 2

...

nn n n

d xa x a x b t

dtd x

a x a x b tdt

d xa x a x b t

dt

Resulta útil representar los sistemas de ecuaciones y sus soluciones en notación de vectores en columna; así entonces, del sistema anterior se puede identificar:

11 11 1 12 2 1

2 12 1 22 2 2 2

1 1 2 2

; ; ;... ... ... ...

n n n n n

b tx a x a x xx a x a x x b t

x a x a x x b t

x1 ,x2 ,…,xn son las incógnitas del sistema; estos elementos son funciones diferenciales que satisfacen el sistema, donde t es la variable independiente

Entonces, ese sistema podría escribirse en su forma matricial como

0x Ax b t ; si b t el sistema es homogéneo

Un sistema lineal homogéneo siempre tiene la solución trivial, en la cual todas las incógnitas son ceros.

La solución de sistemas de ED implica el conocer como operar las matrices de funciones, así mismo el proceso de solución requiere establecer qué se entiende por solución de un sistema de ecuaciones diferenciales

Transformación de una ecuación diferencial de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden

Es posible transformar una ED de orden na un sistema equivalente de primerorden, el procedimiento para estatransformación es introducir n variablesdependientes igual al orden de la ED, conello las nuevas variables representantodas las variables salvo la derivada demayor orden, para cada una de lasincógnitas originales.

Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Definición:Se dice que un sistema de ED tiene una solución en un intervalo dado, si existe un conjunto de n funciones x1 ,x2 ,…,xn todas funciones diferenciables en cualquier punto de dicho intervalo.Al conjunto de funciones, si existe, se le llama solución del sistema de ecuaciones