transformada de continuo a discreto

7/26/2019 transformada de continuo a discreto

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MATERIA: Control digital de sistemas

SEMESTRE: Enero/Junio

Instructor: Dr. Juan Antonio Rojas Estrada.

Alumno: Ing. Natividad Hernández Romero.

Tarea: #1

Instituto Tecnológico de Nuevo León

Posgrado en M.I.M

Caso de estudio



ACTIVIDAD 1.-

Problema B-2-3. Obtenga la transformada de z de −.

Método convolución:

1.-Obtener de la tabla la transformada de Laplace!( )+ 2( )

Donde se obtienen los valores de: 2 ( )

′

3( )

Según la formula se obtiene que:

∗() 23() ∗ 11 −(−)

∗() 2(3( ))(1 −(−))



PROBLEMA B-2-7

Intervalos de las curvas:

() { 0, 0 ≤ ≤ 213 ( ), 2 < ≤ 51 > 5

Encontrar la pendiente de la curva 2;

1 05 2 13

Primera curva:

∑ 0−= 0

Segunda curva:

∑ 13 ( 2)−= 0 13 − 23 − 33 −

Utilizando el teorema de corrimiento para la curva 3:

− ∑ 1−∞= 1 − − −

∗() −∗() 1



∗ 11 −

− ∗ 11 −

Con la suma de las tres curvas−3 2−3 3−3 −1 − − − 2(− −) 3(− −) 3−3 (1 −) − − 4− 3−3 3 −



Problema B-2-9. Encuentra la transformada z inversa a través del método de expansión

de fracciones parciales de:

() −(0.5−)

(1 0.5 −)(10.8−)

1.

Se pasa la z como denominador en la función X(z)

() (0.5−)(1 0.5 −)(10.8−)

2.

Se desarrolla el numerador. () 0 . 5 −11.6− 0.64− 0.5 − 0.8 − 0.03−

3.

Se suman los términos algebraicamente y se reducen.

() 0 . 5 2.1 0.16 0.03

4.

Se factorizan los valores del denominador.

0 . 5 − 0 . 5 (2.01) (0.17)(0.08) 5.

Se aplica el método de fracciones parciales para encontrar los valores que pueden hacer

más fácil la solución de la función.

0 . 5 −

(2.01)

(0.17)

(0.08)

6.

Se desarrolla la función0 . 5 − (0.17)(0.08) (2.01)(0.08) (2.01)(0.17)

7.

Se obtienen los valores de cada cero que pertenece a cada polo. () 0.017(2.01) 1.9156(0.17) 1.9173(0.08)

8.

Se adapta la función para que relacionarse con alguna función que se encuentra en tablas.

() 0.017(2.01) 1.9156(0.17) 1.9173(0.08)



9.

Se ubica en las tablas la función relacionada y se procede a sustituir los valores.

() 0.017 1−(2.01) 1.9156 1−(0.17) 1.9173 1−(0.08)

10.

Aplicando las tablas de transformadas z

() 0.017 1(12.01−) 1.9156 1(10.17−) 1.9173 1(10.08−)

11.

El resultado es: () 0.017( 2.01) 1.9156(0.17) 1.9173(0.08)

x(KT) o x(k) X(z)

1(k) 11 −



Problema B-2-9. Encuentra la transformada z inversa a través del método computacional

Matlab de:

() −(0.5−)

(1 0.5 −)(10.8−)

1.- Se reescribe la función desarrollando el numerador y el denominador. () 0.5− −11.6− 0.64− 0.5 − 0.8 − 0.03−

2.- Se multiplica por z con el valor de exponencial más elevado, en este caso por . () 0.5 2.1 0.16 0.03

3.- Ingreso de datos al programa MATLAB.

>> num = [0 0.5 -1 0];

>> den = [1 -2.1 0.16 0.03];

>> x=[1 zeros(1,50)];

>> v=[0 50 -1 1];

>> axis(v);

>> k=0:50;

>> y=filter(num,den,x);

>> plot(k,y,'o')

>> grid

>> grid

>> title('Respuesta a la entrada delta de kronecker')

>> xlabel('k')

>> ylabel('y(k)')



5.- Se obtuvo la siguiente salida de datos.

y =

1.0e+12 *

Columns 1 through 12

0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000


0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000


0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0001


0.0001 0.0003 0.0006 0.0012 0.0024 0.0049 0.0098 0.0198 0.0398

0.0802 0.1614 0.3250


0.6542 1.3169 2.6511



6.- Se obtuvo la siguiente grafica de datos.

Problema B-2-17. Resuelve la siguiente ecuación diferencial X(k+2) – X(K+1) + 0.25 X(K) =

U(K+2), Donde X (0) =1 y X (1) =2, la función de entrada U(K), está dada por

U(K)=1, K=0,1,2,3,4…

Las transformada de z de x(k), x (k + 1) y x(k+2) están dadas, respectivamente, por;

Z[x(k)] = X(z)

Z[x(k+1)] = z X(z) – zx(0)

Z[x(k+2)] = X(z) - x (0) – zx(1)

Además, la transformada z de u[k+2] es

Z[u(k+2)] = U(z) - u (0) – zu (1) =− - - z

Ya que u(0) = u (1) = 1

Al tomar las transformadas de z de ambos miembros de la ecuación en diferencias dada, se

obtiene

() 2 () 0.25() − - - z

Despejando X(z)/z, para luego aplicar el método de inversión por fracciones parciales: () 1.250.25 ( 1)( 12)

La función expandida tendrá la forma:



()

( 12)

( 12)

( 1 ) Aplicando roots en Matlab se tiene que 12

= -3

= 4

Remplazando y multiplica ambos miembros por z:

X(z) =(− ) − −

La transformada inversa resulta:

x(k) = 4



Problema B-2-17. Resuelve la siguiente ecuación diferencial X(k+2) – X(K+1) + 0.25 X(K) =

U(K+2), a través de Matlab.

clear all clc

% Metodo iterativo - Ecuacion de diferencias

y(1)=25; y(2)=6;

N=30; u=[0 0 ones(1,N+1)]; for n=1:N+1

y(n+2)=(1/5)^(n-1)*u(n+2)+(5/6)*y(n+1)-(1/6)*y(n); end n=-2:N; subplot(2,1,1); stem(n,y); title('Metodo iterativo - Ecuaciones de diferencias');

% Metodo iterativo - Expresion en la forma cerrada; for n=1:N+1

y(n)=3/(2^(n-2))-2/(3^(n-2))+1/(5^(n-3)); end n=-2:N; subplot(2,1,2); stem(n,y,'r'); title('Metodo iterativo - Expresion en la forma cerrada');



Actividad 2.- Realiza un programa en Matlab para resolver el ejercicio anterior.

clear all close all clc syms Z ; input('Teclea Enter para iniciar el programa')

disp('Ingrese tres variables por separado para el numerador') a=input('ingrese el valor de grado dos: '); b=input('ingrese el valor de grado uno: '); c=input('ingrese el valor de grado cero: '); num=[a b c]; disp('Ingrese tres variables por separado para el denominador') d=input('ingrese el valor de grado tres: '); e=input('ingrese el valor de grado dos: '); f=input('ingrese el valor de grado uno: '); g=input('ingrese el valor de grado cero: '); den=[d e f g];

muestra=input('Ingrese el valor del tamaño de la muestra para graficar: ') %muestra=40;

[R,P,K] = residue([num],[den]) % sacar R(1) un valor del vector % primer termino A R1=R(1); P1=-1*P(1); AA=vpa(R1,'4'); BB =vpa((Z/Z)+(P1/Z), '4'); CC=vpa(AA/BB,'4'); trans=vpa(-CC,'4'); pretty(trans) % Segundo Termino B R2=R(2); P2=-1*P(2); DD=vpa(R2,'4');

EE =vpa((Z/Z)+(P2/Z), '4'); FF=vpa(DD/EE,'4'); trans2=vpa(-FF,'4'); pretty(trans2) % Tercer termino C R3=R(3); P3=-1*P(3); GG=vpa(R3,'4'); HH =vpa((Z/Z)+(P3/Z), '4'); II=vpa(GG/HH,'4'); trans3=vpa(-II,'4'); pretty (trans3) disp('Busca en las tablas aquella se que paresca al resultado')

%graficando la funcion

x=[1 zeros(1,muestra)]; v=[0 muestra -1 1]; axis(v); k=0:muestra; y=filter(num,den,x) plot(k,y) grid

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