Sistema Tempo Discreto

7/21/2019 Sistema Tempo Discreto

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Sinais Discretos Sistemas Discretos

Anlise no Domnio do Tempo de Sistemas em

Tempo Discreto

Edmar Jos do Nascimento

(Anlise de Sinais e Sistemas)http://www.univasf.edu.br/edmar.nascimento

Universidade Federal do Vale do So FranciscoColegiado de Engenharia Eltrica
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Roteiro

1 Sinais Discretos

Modelos de Sinais Discretos

Operaes com Sinais Discretos

2 Sistemas Discretos

Equaes de Diferena

Resposta de Entrada NulaResposta de Estado Nulo

Estabilidade de Sistemas Discretos
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Introduo

Sinais discretos so sinais definidos em instantesdiscretos de tempo

Representados porx[n], n ZPodem ser discretos por natureza ou resultado de uma

operao de discretizao (passagem do tempo contnuopara o tempo discreto)

Sistemas discretos so aqueles que processam sinais

discretos, resultando em um sinal de sada tambm

discreto

Sinais contnuos tambm podem ser processados porsistemas discretos desde que eles sejam discretizados

previamente

x(t) = et

x(nTs) =e

nTs

x[n] =e0,1n (Ts=0,1)
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Roteiro

1 Sinais Discretos




Equaes de Diferena


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Impulso discreto

[n] = 1, n=00, n=0 Degrau unitrio

u[n] = 1, n 00, n


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Exponencial Discreta

A exponencial discretaen representada freqentemente

na forman, sendo

n = en (=e ou = ln )

O planopode ser mapeado para o plano Eixo imaginrio () - Crculo unitrio ()

= j=ej ||= |ej|= 1

SPE () - Interior do crculo unitrio ()

= a+j=eaej ||= |ea|< 1(a< 0)

SPD () - Exterior do crculo unitrio ()

= a+j=ea

ej

||= |ea

|> 1(a> 0)

Si i Di t Si t Di t
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Exponencial Discreta

Mapeamento do plano para o plano

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Senide Discreta

Uma senide discreta no tempo representada por

x[n] = Ccos (n+ ) =Ccos (2F

n+ )

Camplitudefase em radianos freqncia em radianos/amostra

n ngulo em radianosF= 1

N0freqncia em ciclos/amostra

N0 perodo

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Senide Discreta

Senide discreta cos( 12 n+ 4 )

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Exponencial Complexa Discreta

Uma exponencial complexa discreta representada por

ejn

A sua relao com a senide discreta dada por

ejn = (cos n+jsin n)

ejn = (cos njsin n)

cos

n =

ejn+ ejn

2

sin n = ejn ejn

2j

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1 Sinais Discretos




Equaes de Diferena



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Energia e Potncia de Sinais Discretos

A energia de um sinal discretox[n] dada por

Ex =

n=

|x[n]|2

Se 0


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Operaes com Sinais

Deslocamentoxs[n] =x[nM],M ZM>0 deslocamento para a direita (atraso)M


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Decimao

xd[n] =x[2n]



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Interpolao

xd[n] =x[n/2]



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Sistemas Discretos

Um sistema discreto um sistema que processa sinais

discretos resultando em sadas discretas

Sistemas discretos podem ser expressados atravs de

equaes de diferena

Esses sistemas podem ser inerentemente discretos ou

podem ser obtidos a partir da discretizao de sistemas

contnuos no tempo

Os softwares de simulao transformam os sistemascontnuos em discretos

O usurio tem a "iluso"de estar trabalhando com umsistema contnuo

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Sistemas Discretos

Exemplo 3.6

Projetar um sistema discreto para diferenciar sinais contnuos

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Sistemas Discretos

Soluo

y(nT) = dx(t)dt |t=nT = lim

T0x(nT) x((n 1)T)

T

y[n] = limT0

x[n] x[n 1]T

y[n] =

x[n]

x[n

1]

T =

x[n]

T x[n

1]

T (Tpequeno)

T escolhido de acordo com o sinal a ser diferenciado.

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Sistemas Discretos

Soluo

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Sistemas Discretos

Em geral, uma equao diferencial qualquer pode ser

convertida em uma equao de diferenas

Considere o exemplo da equao diferencial de primeira

ordem abaixo

dy(t)

dt + cy(t) =x(t) lim

T0

y[n] y[n 1]T

+ cy[n] =x[n]

SeT pequeno, ento pode-se ter a aproximao

y[n] y[n 1]T

+ cy[n] =x[n] y[n] + y[n 1] =x[n]ou

y[n+ 1] + y[n] =x[n+ 1]



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Classificao de Sistemas Discretos

A classificao dos sistemas discretos segue a mesma

linha dos sistemas contnuos

Sendo assim, os sistemas discretos podem serLineares ou no linearesVariantes ou invariantes no tempoCausais ou no causaisInversveis ou no inversveis

Estveis ou instveisCom memria ou sem memria

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Equaes de Diferena

Roteiro

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Equaes de Diferena

Resposta de Entrada Nula

Resposta de Estado Nulo


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Equaes de Diferena

Equaes de Diferena

Uma equao de diferenas pode ser escrita usandooperaes de avano ou de atraso

As duas formulaes so equivalentes

A formulao com avanos similar obtida para asequaes diferenciais contnuas

Uma equao de diferenas de ordem max (N,M)naforma de avano pode ser escrita como

y[n+ N] + a1y[n+ N 1] + + aNy[n] =bNMx[n+ M] + bNM+1x[n+ M 1] + + bNx[n]

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Equaes de Diferena

Equaes de Diferena

Se o sistema discreto for causal, ento N M, logo umsistema causal genrico de ordemNpode ser escrito

fazendo-seM=N

y[n+ N] + a1y[n+ N 1] + + aNy[n] =b0x[n+ N] + b1x[n+ N 1] + + bNx[n]

A equao de diferenas acima pode ser escrita na forma

de atraso fazendo-se a transformaon

n

N,

resultando em

y[n] + a1y[n 1] + + aNy[n N] =b0x[n] + b1x[n 1] + + bNx[nN]

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Equaes de Diferena

Soluo Iterativa

O mtodo mais simples de soluo de uma equao de

diferenas o recursivo ou iterativo

Nesse mtodo, os valores dey[n]so obtidosseqencialmente a partir da entradax[n]e das condiesiniciais

Esse tipo de soluo adequada para computadores

y[n] = a1y[n 1] + aNy[n N]+ b0x[n] + + bNx[n N]

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Equaes de Diferena

Soluo Iterativa

Exemplo

Resolver recursivamente a equaoy[n+ 1] + 2y[n] =x[n+ 1]parax[n] =enu[n]e y[1] =0

Soluo

y[n] + 2y[n 1] = x[n] y[n] = 2y[n 1] + enu[n]

y[0] = 2y[1] + e0

=1y[1] = 2y[0] + e1 = 1, 6321y[2] = 2y[1] + e2 =3,3996

... = ...

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Equaes de Diferena

Soluo Iterativa

Exemplo

Resolver recursivamente a equaoy[n+ 1] + 2y[n] =x[n+ 1]parax[n] =enu[n]e y[1] =0

Soluo

y[n] + 2y[n 1] = x[n] y[n] = 2y[n 1] + enu[n]

y[0] = 2y[1] + e0

=1y[1] = 2y[0] + e1 = 1, 6321y[2] = 2y[1] + e2 =3,3996

... = ...

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Equaes de Diferena

Soluo Iterativa

y[n+ 1] + 2y[n] =x[n+ 1]

0 1 2 3 4 530

25

20

15

10

5

0

5

10

15

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Equaes de Diferena

Soluo Geral

Assim como foi feito para as equaes diferenciais, til

representar uma equao de diferena usando operadores

O operador de avano definido por

Eix[n] = x[n+ i]

Assim, um sistema causal genrico pode ser escrito como

(EN

+ a1EN1

+ aN) Q[E]

y[n] = (b0EN

+ b1EN1

+ bN) P[E]

x[n]

Q[E]y[n] = P[E]x[n]

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Equaes de Diferena

Soluo Geral

A soluo geral consiste em uma expresso paray[n]emfuno denque verifique a equao de diferenas

Q[E]y[n] =P[E]x[n]

Assim como foi verificado para o caso contnuo, a soluogeral (resposta total) de um sistema discreto dada por

y[n] = resposta de estado nulo

devido entrada+

resposta de entrada nula devido s condies iniciais

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Equaes de Diferena




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A resposta de entrada nulay0[n] a resposta do sistemaquandox[n] =0, ou seja

y0[n+ N] + a1y0[n+ N

1] +

+ aNy0[n] = 0

Q[E]y0[n] = 0

A soluo obtida a partir da equao caracterstica

Q[] =0

N + a1N1 +

+ aN=0

( 1)( 2) ( N) =0

As razes1, 2, , Nso chamadas de razescaractersticas


R t d E t d N l
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Trs casos podem ser possveis

AsNrazes so distintas

y0[n] = c1n1 + c2

n2 + cNnN

H razes repetidas( 1)r( r+1) ( N) =0

y0[n] = (c1+ c2n+ + crnr1)n1 + cr+1nr+1+ cNnNH razes complexas=

||ej e =

||ej

y0[n] = c1n+ c2

n =c||ncos (n+ )

AsNconstantes so determinadas a partir dasN

condies iniciais


Resposta de Entrada N la
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Exerccio E3.12

Determinar a resposta de entrada nula de

y[n] + 0,3y[n 1] 0, 1y[n 2] =x[n] + 2x[n 1]comy0[

1] =1 ey0[

2] =33.

Soluo

y[n+ 2] + 0,3y[n+ 1] 0, 1y[n] =x[n+ 2] + 2x[n+ 1]Q[E] =E2 + 0,3E 0,1

Q[] =2 + 0, 3 0, 1= 0 1 = 0,5; 2 =0,2y0[n] =c1(0, 5)n+ c2(0, 2)n

y0[n] =2(

0, 5)n+ (0,2)n


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Exerccio E3.12

Determinar a resposta de entrada nula de

y[n] + 0,3y[n 1] 0, 1y[n 2] =x[n] + 2x[n 1]comy0[

1] =1 ey0[

2] =33.

Soluo

y[n+ 2] + 0,3y[n+ 1] 0, 1y[n] =x[n+ 2] + 2x[n+ 1]Q[E] =E2 + 0,3E 0,1

Q[] =2 + 0, 3 0, 1= 0 1 = 0,5; 2 =0,2y0[n] =c1(0, 5)n+ c2(0, 2)n

y0[n] =2(

0, 5)n+ (0,2)n


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Exerccio E3.13Determinar a resposta de entrada nula de

y[n] + 4y[n 2] =2x[n]comy0[1] = 1/(2

2)e

y0[2] =1/(4

2).

Soluo

y[n+ 2] + 4y[n] =2x[n+ 2]

Q[E] =E2 + 4

Q[] =2 + 4=0 1=2j=2ej

2; 2= 2j=2ej

2

y0[n] =c2ncos (n

2+ )

y0[n] =2ncos (n

23

4

) =

2ncos (n

2

+

4

)


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Exerccio E3.13Determinar a resposta de entrada nula de

y[n] + 4y[n 2] =2x[n]comy0[1] = 1/(2

2)e

y0[2] =1/(4

2).

Soluo

y[n+ 2] + 4y[n] =2x[n+ 2]

Q[E] =E2 + 4

Q[] =2 + 4=0 1=2j=2ej

2; 2= 2j=2ej

2

y0[n] =c2ncos (n

2+ )

y0[n] =2ncos (n

23

4

) =

2ncos (n

2

+

4

)


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Equaes de Diferena







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p

Resposta ao Impulso

Para determinar a resposta de estado nulo necessrio

primeiramente determinar a resposta ao impulso

A resposta ao impulso denotada por h[n] a soluo daequao

Q[E]h[n] = P[E][n], comh[1] =h[2] = h[N] =0Q[E] = EN + a1E

N1 + aNP[E] = b0E

N + b1EN1 + bN

QuandoaN=0, a resposta ao impulso dada por

h[n] = bN

aN[n] + yc[n]u[n]


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p

Resposta ao Impulso

yc[n]consiste em uma combinao linear dos modoscaractersticosido sistema

AsNconstantes presentes emh[n]so determinadas apartir deNvalores deh[n](h[0],h[1], ,h[N 1])Esses valores so obtidos iterativamente a partir dosvalores iniciaish[1] =h[2] = = h[N] =0

QuandoaN=0, a expresso da resposta ao impulso

diferenteEsse caso abordado na seo 3.12 do livro texto


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Resposta ao Impulso

Exerccio E3.14a

Determinar a resposta ao impulso dey[n+ 1] y[n] =x[n].

Soluo

Q[E] =E 1Q[] = 1=0 1 =1

yc[n] =c11

n

=c1h[n] = [n] + c1u[n]

h[0] =0 c1 =1h[n] = [n] + u[n] =u[n 1]


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Resposta ao Impulso

Exerccio E3.14a

Determinar a resposta ao impulso dey[n+ 1] y[n] =x[n].

Soluo

Q[E] =E 1Q[] = 1=0 1 =1

yc[n] =c11

n

=c1h[n] = [n] + c1u[n]

h[0] =0 c1 =1h[n] = [n] + u[n] =u[n 1]


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Resposta ao Impulso

Exerccio E3.14bDeterminar a resposta ao impulso de

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] =8x[n 1] 19x[n 2].

Soluo

y[n+ 2] 5y[n+ 1] + 6y[n] =8x[n+ 1] 19x[n]Q[E] =E2 5E+ 6,Q[] =2 5+ 6= 0 1=2, 2=3

yc[n] =c12n

+ c23n

,h[n] = 19

6 [n] + (c12n

+ c23n

)u[n]

h[0] =0,h[1] =8 c1 = 32, c2=

5

3

h[n] =

19

6

[n] + (3

2

2n+5

3

3n)u[n]


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Resposta ao Impulso

Exerccio E3.14bDeterminar a resposta ao impulso de

y[n] 5y[n 1] + 6y[n 2] =8x[n 1] 19x[n 2].

Soluo

y[n+ 2] 5y[n+ 1] + 6y[n] =8x[n+ 1] 19x[n]Q[E] =E2 5E+ 6,Q[] =2 5+ 6= 0 1=2, 2=3

yc[n] =c12n

+ c23n

,h[n] = 19

6 [n] + (c12n

+ c23n

)u[n]

h[0] =0,h[1] =8 c1 = 32, c2=

5

3

h[n] =

19

6

[n] + (3

2

2n+5

3

3n)u[n]


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Um sinal discreto qualquerx[n]pode ser expressadocomo uma combinao linear de impulsos deslocados

x[n] =

m=x[m][n m]Alguns exemplos

u[n

] =

m=0 [

n

m]

nu[n] =

m=0

m[n m]


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Se o sistema linear e invariante no tempo, ento:

entrada = sada[n] =

h[n]

[nm] = h[n m]x[m][n m] = x[m]h[n m]

m=

x[m][n m]

x[n]

=

m=

x[m]h[n m]

y[n]

y[n] a resposta de estado nulo e se deve unicamente entradax[n]


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Define-se

x[n] h[n] =

m=

x[m]h[n m]

x[n] h[n] chamado de somatrio de convoluoAs propriedades do somatrio de convoluo so

similares s da integral de convoluo

Comutatividade

x1[n] x2[n] = x2[n] x1[n]

Distributividade

x1[n]

(x2[n] + x3[n]) = x1[n]

x2[n] + x1[n]

x3[n]


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Somatrio de Convoluo

Associatividade

x1[n] (x2[n] x3[n]) = (x1[n] x2[n]) x3[n]Deslocamento

x1[n] x2[n] = c[n]x1[n m] x2[n p] = c[n m p]

Convoluo com o impulso

x[n] [n] = x[n]Largura

Sex1[n]tem larguraW1 eL1 elementos ex2[n]tem larguraW2 eL2 elementos, entox1[n] x2[n]tem larguraW1+ W2

eL1+ L2 1 elementos no nulos


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Sex[n]eh[n]forem causais, ento tem-se que:

x[m] = 0 semn

y[n] =

m=

x[m]h[nm] =n

m=0

x[m]h[n m]


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Exerccio E3.15

Mostrar que(0, 8)n

u[n] u[n] =5[1 (0,8)n+1

]u[n]. Use o fatoque

nk=m

rk = rn+1 rm

r

1

parar=1


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Exemplo 3.14

Determinar a resposta de estado nulo de um sistema LDIT

descrito pory[n+ 2] 0,6y[n+ 1] 0, 16y[n] =5x[n+ 2]sex[n] =4

n

u[n].

Soluo

h[n] = [(0, 2)n

+ 4(0,8)n

]u[n]y[n] = x[n] h[n]

= [1,26(4)n+ 0,444(0,2)n+ 5, 81(0, 8)n]u[n]



R d E d N l


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Exemplo 3.14

Determinar a resposta de estado nulo de um sistema LDIT

descrito pory[n+ 2] 0,6y[n+ 1] 0, 16y[n] =5x[n+ 2]sex[n] =4

n

u[n].

Soluo

h[n] = [(0, 2)n

+ 4(0,8)n

]u[n]y[n] = x[n] h[n]

= [1,26(4)n+ 0,444(0,2)n+ 5, 81(0, 8)n]u[n]



F d T f i
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Funo de Transferncia

Sejazn

uma exponencial com durao infinita e comparmetro complexoz

A resposta do sistema com resposta ao impulso h[n]entradazn dada por

y[n] = h[n]

zn

=

m=

h[m]znm

= zn

m=h[m]zm =H[z]zn

Sendo que,

H[z] =

m=h[m]zm



F d T f i
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H[z] chamada defuno de transfernciado sistema

H[z]pode ser tambm definido da seguinte maneira:

H[z] =

Sinal de sada

Sinal de entrada |entrada=zn

Um sistema LDIT pode ser escrito na forma:

Q[E]y[n] = P[E]x[n]

Logo

Q[E]H[z]zn = H[z](Q[E]zn) =P[E]zn



F d T f i
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Como

Ek

zn

= zn+k

=zn

zk

P[E]zn

=P[z]zn

e Q[E]zn

=Q[z]zn

Logo

H[z] = P[z]

Q[z]



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Roteiro

1 Sinais Discretos




Equaes de Diferena


Resposta de Estado NuloEstabilidade de Sistemas Discretos



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Assim como foi feito para os sistemas contnuos, aestabilidade dos sistemas discretos pode ser avaliadasegundo dois critrios

Estabilidade BIBO (externa)

Estabilidade assinttica (interna)

Um sistema LDIT BIBO estvel se uma entrada limitada

resulta sempre em uma sada limitada

Essa condio sempre verificada se

n=

|h[n]| < K


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As condies de estabilidade assinttica para sistemas

LDIT causais so anlogas s dos sistemas contnuos

quando se faz a correspondncia entre os planos e

Assim, um sistema LDIT assintoticamente estvel setodas as razesiesto dentro do crculo unitrio

Um sistema LDIT assintoticamente instvel se

Ao menos uma raiz estiver fora do crculoOu se houverem razes repetidas no crculo

Um sistema LDIT marginalmente estvel se noexistirem razes fora do crculo e se existirem algumas

razes no repetidas no crculo unitrio



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Os critrios de estabilidade esto relacionados daseguinte forma

Assintoticamente estvelBIBO estvelAssintoticamente instvel e marginalmente estvelBIBO instvel

O inverso nem sempre verdadeiro

S quando o sistema controlvel e observvel (ver

tansformada Z)
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Sistema Tempo Discreto

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