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MEMORIAS DEL XXVII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 22 al 24 DE SEPTIEMBRE DE 2021 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO

Tema A4 Termofluidos: Transferencia de calor en aletas

“Transferencia de calor en aletas de geometría pre-fractal: Experimentos y simulaciones numéricas”

Carlos Arturo Debenardi Aguirre a, Luis Enrique Martínez Alvarado b, Francisco Antonio

Godínez Rojano c, d, Francisco Javier Solorio Ordaz a, Rafael Chávez Martínez a, *.

a Departamento de Termofluidos, DIMEI, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Circuito Exterior S/N, Ciudad

Universitaria, Ciudad de México, C.P. 04510, México b Programa de Maestría y Doctorado en Ingeniería - Facultad de Ingeniería UNAM c Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, C. U., Ciudad de México, C.P. 04510, México d Polo Universitario de Tecnología Avanzada, km. 10 PIIT, C. P. 66629, Apodaca Nuevo León, México * Autor contacto. Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

En el presente trabajo se estudia de forma experimental y numérica el efecto de la primera iteración de la alfombra de

Sierpinski en la transferencia de calor en una aleta cuadrada de cobre en condiciones de convección natural. Los campos

de temperatura en la aleta se obtuvieron mediante termografía infrarroja, mientras que las simulaciones numéricas se

realizaron con el software ANSYS considerando transferencia de calor por conducción en la aleta y por convección al aire

circundante. Los resultados experimentales muestran que para la misma potencia de entrada, la temperatura en la base de

la aleta con geometría fractal se incrementa en 5 ºC debido a la eliminación de material y por consecuencia la disminución

del área de transferencia de calor por conducción. Las simulaciones numéricas muestran que la aleta con la primera

iteración de la alfombra de Sierpinski fomenta la circulación de aire a través de la ventana cuadrada.

Palabras Clave: transferencia de calor en aletas, convección natural, geometría pre-fractal, alfombra de Sierpinski.

A B S T R A C T

In the present work the effect of the first iteration of the Sierpinski carpet on the heat transfer process in a copper squared

fin in a natural convection environment is studied experimentally and numerically. Infrared thermography was used to

measure the temperature fields and numerical simulations were carried out using the ANSYS CFD software. For the same

input power in the heating base experimental results showed the temperature in the pre-fractal fin increases in 5 ºC compared

to the squared fin, due to the diminishing of the conduction heat transfer area in the fin. Numerical simulations show an air

flow through the window in the pre-fractal fin, promoting convection heat transfer and diminishing the temperature in the

edges of the window.

Keywords: heat transfer fins, natural convection, pre-fractal geometry, Sierpinski carpet.

1. Introducción

Los dispositivos tecnológicos que utilizamos en nuestra

vida cotidiana generan como producto residual calor, que

tiene que ser disipado a su entorno para garantizar un

óptimo desempeño. Los elementos que se encargan de

transferir esta energía térmica se conocen como

disipadores de calor, que se dividen en activos y pasivos.

Los primeros requieren suministro de electricidad,

mientras que los pasivos no ya que basan su

funcionamiento en la transferencia de calor por

convección natural. En la transferencia de calor por convección

interactúan una superficie y el fluido que lo circunda, el

calor transferido se calcula con la ley de enfriamiento de

Newton, ec. (1). De acuerdo con esta ecuación y

considerando a la temperatura de pared Ts fija, existen

tres formas de aumentar la transferencia de calor. Estas

se basan en incrementar: (a) el coeficiente de

transferencia de calor por convección h, (b) la diferencia

de temperatura entre la superficie y el fluido circundante,

o (c) el área de intercambio de calor A. La última da como

ISSN 2448-5551 T 232 Derechos Reservados © 2021, SOMIM


resultado la generación de las aletas, incrementar su

capacidad de transferir calor es de interés tanto para la

industria como para la ciencia y es tal su importancia que

se han escrito libros sobre el tema [1].

𝑞 = ℎ 𝐴 (𝑇𝑠 − 𝑇𝑎) (1)

Debido a los avances tecnológicos se crean

dispositivos y sistemas cada vez más compactos, que

generan una cantidad de calor por unidad de área cada

vez más grande. Lo anterior implica serias restricciones

de peso o espacio para los sistemas de enfriamiento. Lo

que ha llevado a estudiar diversas alternativas para el

enfriamiento de los dispositivos como utilizar fluidos

mezclados con nanopartículas [2-3], así como el uso de

aletas perforadas [4-5]. Los fractales son objetos cuya estructura geométrica

se repite indefinidamente a diferentes escalas. Por lo que

no importa si el objeto se amplía o reduce, el patrón

observado siempre será el mismo. Estos han sido tema de

estudio por varios años [6-7] y se han aplicado en

diferentes áreas de la ingeniería como las

telecomunicaciones [8-10], así como en otras áreas del

conocimiento como la biología [11] y la medicina [12-

13], por mencionar algunas. Uno de los fractales más

utilizados es la alfombra de Sierpinski, cuya primera

iteración se construye cuando un cuadrado de longitud l,

es dividido en nueve secciones cuadradas iguales, cuyos

lados miden l/3, y se elimina la sección central del

arreglo. Este proceso se aplica nuevamente a cada uno de

los ocho elementos restantes, para obtener la segunda

iteración. El proceso sigue sucesivamente hasta que se

llega a la iteración deseada. Los fractales son por

definición entes complejos que solo existen como

modelos matemáticos. En el mundo real solo se pueden

diseñar y construir estructuras conocidas como pre-

fractales, generadas a partir de un número finito de

iteraciones del fractal. En el caso de la alfombra de

Sierpinski, físicamente es muy difícil ir más allá de la

cuarta iteración. En lo que respecta al estudio de aletas fractales, se han

desarrollado diversos estudios tanto experimentales

como numéricos, algunos se pueden encontrar

publicados como tesis [14-16]. Utilizando la premisa de

aletas perforadas, Dannelley y Baker estudiaron

experimentalmente [17] las primeras tres iteraciones de

la alfombra de Sierpinski, maquinadas en aletas de

aluminio, y numéricamente [18] a las primeras cuatro

iteraciones, en ambos casos el enfriamiento de las aletas

fue por convección natural. Encontraron que la

efectividad de las aletas fractales es proporcional al área

de superficie, así como la relación efectividad por unidad

de masa es mayor al aumentar la iteración del fractal en

las aletas. Además, hipotetizaron que la cuarta iteración

tendría una mayor efectividad por unidad de masa que

una aleta rectangular sólida. Por su parte, Calamas et al. desarrollaron varios

trabajos experimentales en los que estudiaron el efecto de

las primeras cuatro iteraciones de la alfombra de

Sierpinski bajo convección natural [19], convección

forzada [20], así como el efecto del tamaño de la aleta y

de la potencia a disipar [21]. En todos ellos evaluaron la

eficiencia, efectividad y efectividad por unidad de masa

de las aletas estudiadas, y compararon sus resultados con

una aleta de las mismas dimensiones sin perforaciones.

Encontraron que la cuarta iteración de la alfombra de

Sierpinski tiene una mayor efectividad por unidad de

masa al compararlo con el caso base, mientras que la

transferencia de calor por radiación juega un papel

importante en el calor disipado por la aleta. Posteriormente, Calamas et al. ampliaron el trabajo de

Dannelley y Baker, estudiaron experimentalmente la

efectividad de aletas inspiradas en las primeras cuatro

iteraciones de la alfombra de Sierpinski en entornos de

convección natural [22], así como mixtos y forzados [23].

En estos trabajos Calamas et al. confirmaron la hipótesis

de Dannelley y Baker sobre la efectividad de una aleta

con la cuarta iteración de la alfombra de Sierpinski y

obtuvieron de forma analítica que una aleta inspirada en

la cuarta iteración resulta en un aumento en la efectividad

en comparación con una aleta plana rectangular sin

perforaciones. El presente trabajo tiene por objetivo estudiar de

forma experimental y numérica el efecto que tiene la

primera iteración de la carpeta de Sierpinski en la

transferencia de calor por conducción en una aleta

cuadrada de cobre, así como a la disipación de calor por

convección en su superficie. Enfocándose en el efecto de

la ventana de la primera iteración sobre el flujo

convectivo generado alrededor de la aleta. Para ello se

mide la distribución de temperatura por medio de

termografía infrarroja y se utiliza el software ANSYS

para simular el proceso de transferencia de calor.

2. Dispositivo experimental

Los experimentos fueron realizados en el Laboratorio de

Investigación en Termofluidos de la Facultad de

Ingeniería, en cuya entrada fueron instaladas barreras de

plástico para minimizar la generación de corrientes de

aire al ingresar al laboratorio, éstas también ayudaron a

disminuir la variación de la temperatura ambiente.

2.1 Dispositivo experimental

El arreglo experimental está conformado por una aleta y

una base de calentamiento. Durante los experimentos se

utilizaron dos tipos de aletas. La primera es una aleta

cuadrada de 10 cm de ancho, 10.5 cm de alto y 0.35 cm

de espesor. La segunda aleta es de dimensiones idénticas

y posee una ventana cuadrada en su centro, conforme la

primera iteración de la alfombra de Sierpinski, nombrada

en adelante como aleta pre-fractal. Dicha ventana se

maquinó con equipo CNC, teniendo una precisión en la

manufactura de ± 0.1 mm. Las aletas fueron pintadas de

color negro mate para garantizar que la emisividad de su



superficie fuese lo más cercana a uno. En la Fig. 1 se

muestran esquemas de aletas utilizadas en los

experimentos. La base de calentamiento consiste en una barra

cuadrada de cobre electrolítico de 1.27 cm de lado y 10.0

cm de largo. Para acoplar la aleta a la barra de cobre, se

maquinó en la cara superior de esta última, una ranura de

0.5 cm de profundidad y 0.35 cm de ancho, con ajuste de

apriete. Para minimizar la resistencia térmica de contacto

entre las piezas se utilizó pasta térmica de silicón.

Adicionalmente se maquinaron tres agujeros en la pared

posterior de la base, en la que se instalaron termopares

para monitorear su temperatura, resaltados en color rojo

como se muestra en la Fig. 2. El calor es generado por

una resistencia eléctrica de 1.8 Ω y dimensiones de 10 cm

de largo, 1.27 cm de ancho y 0.35 cm de espesor, la cual

se fija en la superficie inferior de la barra de cobre. La

resistencia puede alcanzar una temperatura de hasta 100

ºC. Para minimizar las pérdidas de calor al ambiente, se

aisló a la base de calentamiento con madera de pino de

0.5 cm de espesor que funciona también como soporte

para todo el arreglo. Mediciones durante los

experimentos mostraron una pérdida de calor máxima del

5% a través del aislante. La Fig. 2 muestra un esquema del ensamble de las

piezas descritas. Al acoplar la aleta a la base de

calentamiento se tiene una aleta cuadrada de 10 cm por

lado.

2.2 Instrumentación

El equipo utilizado para la realización de los

experimentos consta de una fuente de alimentación que

suministra energía a la resistencia eléctrica, tiene una

capacidad máxima de 10 A y 24 V. La humedad relativa

en el laboratorio se monitoreó con el lector de humedad

SDL500 de la compañía EXTECH. Para la medición de temperatura se instrumentó un

termómetro digital de cuatro canales 88503-4ch-K-SD.

Se utilizaron termopares tipo K, tres instalados en la base

de calentamiento y uno para monitorear la temperatura

ambiente en el laboratorio, la posición del último se

puede observar en la Fig. 3. Se programó el dispositivo

para guardar la información con una frecuencia de

muestreo de 1 dato/s. Se utilizó un termistor SA1-TH-44034-40-T para

calibrar la cámara térmica. Este tiene una precisión de ±

0.1 ºC, y se conectó a un controlador DP25-TH para

monitorear en tiempo real la temperatura de la aleta. Para medir el campo de temperaturas en las aletas, se

empleó la cámara termográfica ThermaCAM P40 de la

marca FLIR SYSTEMS. Esta permite tomar fotografías

a intervalos de tiempo definidos o de forma manual. El

lente de la cámara se colocó perpendicularmente y a una

distancia de 0.4 m de la superficie frontal de la aleta. Para

mejorar las lecturas obtenidas, parámetros como

temperatura ambiente y humedad relativa fueron

monitoreados y especificados en el software de control

de la cámara. El arreglo experimental se instaló dentro de un

cilindro de acrílico para minimizar las perturbaciones del

espacio de trabajo en la aleta, este tiene 0.70 m de alto,

0.50 m de diámetro interno y un espesor de 0.05 m. El

interior fue recubierto con papel negro mate para

minimizar reflejos. Se maquinó una ventana circular de

0.10 m de diámetro en la parte frontal del cilindro, que

sirve como ventana de visualización para tomar las

termografías. A 3.0 cm de la base del cilindro se

maquinaron dos ranuras de 6.0 cm de largo y 2.0 cm de

ancho, que sirven como ventilación. El arreglo

experimental completo se muestra en la Fig. 3.

Fig. 1 - Vista en isométrico de las aletas utilizadas. Izquierda -

iteración 0 (I0). Derecha - iteración 1 (I1)

Fig. 2 – Ensamble de la aleta y la base de calentamiento

Fig. 3. Arreglo experimental. 1): Termistor, 2) Termómetro

digital, 3) Fuente de alimentación, 4) Ranura de ventilación, 5)

Termopar



2. Método numérico

El software utilizado en las simulaciones es la versión

estudiantil de ANSYS FLUENT 2021 R1. Para el

análisis, se trataron de reproducir lo más fielmente

posible las condiciones experimentales. En

consecuencia, se usaron exactamente los mismos

materiales de construcción y las mismas geometrías y

dimensiones de las aletas disipadoras; así mismo, se

contempló la base de calentamiento para establecer el

posicionamiento correcto de las aletas en el interior del

cilindro ranurado. Es importante destacar que la base no

interviene en el análisis térmico, solo sirve para

posicionar y dar soporte a la aleta e igualar las

condiciones geométricas de los experimentos. El

dominio de aire alrededor de cada disipador se consideró

con la misma forma y dimensiones del contenedor

cilíndrico, tal como se muestra en la Fig. 4. Además, se

tomaron en cuenta dos entradas laterales de aire (ranuras

de ventilación, ver Fig.4) y una entrada frontal (ventana

circular), mientras que la parte superior del cilindro se

consideró como una salida circular de aire. Las tres

entradas y la salida de aire se tomaron como condiciones

de frontera a una presión atmosférica de 101 kPa y a una

temperatura ambiente de 17 °C. El fenómeno simulado incluye a la conducción de

calor a través de la aleta y las pérdidas de calor por

convección hacia el aire circundante. La ecuación de

gobierno únicamente para la conducción de calor en el

disipador es la ecuación de energía en estado permanente:

∇2𝑇𝐷 = 0 (2)

donde 𝑇𝐷 es la temperatura en el disipador de calor. Las

condiciones de frontera en este caso, consisten en

considerar una temperatura constante en la base

𝑇𝐷(x=0,y,z,t) = γ °C, mientras las demás caras del

disipador permanecen en contacto con el aire

circundante, donde ocurren las pérdidas de calor por

convección, como se ilustra en la Fig. 5. Para las

simulaciones se utilizaron los resultados de las pruebas

experimentales, es decir con la aleta I0 se utilizó

γ = 62 ºC, mientras que para la aleta I1 se utilizó

γ = 67 ºC. Como también es de interés conocer las variaciones

de temperatura, velocidad y densidad en el aire, se

considera la continuidad de energía entre los medios

sólido y fluido, por lo que se considera una condición de

frontera del tipo conjugada, donde el calor que gana el

aire es el mismo que pierde el disipador:

𝑛 ∙ (𝑘𝐴 ∇𝑇𝐴)|𝑖𝑛𝑡 = 𝑛 ∙ (𝑘𝐷 ∇𝑇𝐷)|𝑖𝑛𝑡 (3)

donde 𝑘 es la conductividad térmica, mientras que los

subíndices 𝐴 y 𝐷 indican respectivamente, aire y

disipador. Las ecuaciones de gobierno para el aire son las

de conservación de masa, momentum y energía,

respectivamente [24]:

Fig. 4. Modelo usado para las simulaciones. El ensamble aleta-

base se encuentra inmerso en un dominio de aire con la forma del

contenedor cilíndrico. Se consideran tres entradas y una salida de

aire

Fig. 5. Condiciones de frontera para el disipador

∇ ∙ �̅� = 0 (4) ρ(�̅� ∙ ∇ �̅�) = −∇𝑃 + 𝜇∇2�̅� + 𝜌 �̅� (5) 𝛼 ∇2 𝑇𝐴 = �̅� (∇ ∙ 𝑇𝐴) (6)

donde �̅� es la velocidad, 𝜌 es la densidad, 𝛼 es la

difusividad térmica, 𝑇𝐴 es la temperatura, 𝑃 es la presión,

𝜇 es la viscosidad, y �̅� es la aceleración de la gravedad

(-9.81 m/s2, en la dirección negativa del eje x como se

aprecia en la Fig. 4). Dado que el aire se considera

incompresible, las variaciones en la densidad dependen

principalmente de la temperatura, de acuerdo con la ley

de los gases ideales se tiene:

𝜌 (𝑇) = 𝑃 𝑀

𝑅𝑢 𝑇 (7)

donde Ru es la constante del gas ideal, M es la masa

molar del aire, P es la presión y T es la temperatura en

Kelvin. En la Tabla 1 se muestran los valores de los

parámetros usados en las simulaciones, tanto para el

material de las aletas como para las propiedades del aire. El modelo de interpolación/discretización utilizado en

las simulaciones es el “Upwind de segundo orden”;

mientras que el esquema “Coupled” se usó para el

acoplamiento de la distribución de la presión con las

ecuaciones de conservación de cantidad de movimiento.

Los residuos de las ecuaciones de continuidad,



momentum y energía se fijaron por debajo de 1 × 10−2.

El mallado de los dominios (sólido y gaseoso) se

construyó con elementos hexaédricos y tetraédricos de un

tamaño mínimo de 10 mm.

Tabla 1 – Propiedades del material de las aletas y del aire

circundante

Propiedad Disipador Aire

Conductividad térmica 394 W/m K -

Difusividad térmica - 2.035×10-5 m2/s2

Densidad 8900 kg/m3 1.217 kg/m3

Viscosidad dinámica - 1.812 ×10-5 Pa·s

Calor específico - 1007 J/kg K

Constante del gas ideal - 8.314

kJ/kmol K

Masa molar - 28.964 kg/mol

Coeficiente de expansión

volumétrica

- 3.440×10-3 K-1

Viscosidad cinemática - 18×10-6 m2/s

Número de Prandtl - 0.72

1. Desarrollo experimental

Para minimizar las fuentes de ruido que afecten a las

termografías, los experimentos se realizaron en un

ambiente sin luz natural o artificial. El cilindro de acrílico

evita que fuentes de calor externas como las

computadoras, el equipo utilizado y el usuario del equipo,

afecten a las lecturas. La temperatura promedio en el

laboratorio fue de 17.5 ºC ± 0.8 ºC, mientras que la

humedad relativa se mantuvo en 60%.

4.1 Calibración del equipo

Para obtener los campos de temperatura fue necesario

obtener la emisividad de las aletas y realizar la

calibración de la cámara térmica. Para ello, se utilizó el

termistor SA1-TH-44034-40-T como instrumento de

comparación el cual fue colocado en la parte central de la

superficie posterior de la aleta I0. El procedimiento de calibración consiste en

establecer una temperatura constante en la aleta. Se

comparan las lecturas del termistor y de la cámara

térmica. De ser necesario se corrige el valor de la

emisividad en el software de la cámara, hasta obtener la

misma temperatura en ambos instrumentos en la región

central de la aleta. Como resultado de este proceso se

obtuvo que la emisividad de la aleta es 1. Este

procedimiento sirvió también para establecer la escala

para convertir las termografías a una matriz de

temperaturas. Se asignó a cada color en escala de gris en

la región central de la aleta la temperatura en esa área. La

calibración se realizó para temperaturas de 20 ºC a 80 ºC,

con incrementos de 5 ºC.

4.2 Obtención de resultados

Para minimizar el ruido en los campos de temperatura se

dividió a la aleta en áreas de interrogación de 5 pixeles ×

5 pixeles en las que se promedió la temperatura,

físicamente estas áreas son de 0.125 mm × 0.125 mm. El

área ocupada por las aletas en las termografías es de 400

pixeles × 400 pixeles, por lo que la matriz de

temperaturas resultante es de 80 × 80 elementos. Para verificar la repetibilidad de los experimentos, se

realizaron diez pruebas con la aleta I0, suministrando

25 W a la base de calentamiento. El tiempo promedio

necesario para alcanzar una temperatura estable en la

aleta fue de 42 minutos. La temperatura promedio en la

base de calentamiento fue de 80.18 ºC ± 0.21 ºC. La

máxima incertidumbre de la temperatura en la placa es de

0.98 ºC, que es aproximadamente un orden de magnitud

mayor al presentado por el termistor utilizado para

calibrar a la cámara térmica. De las pruebas realizadas se

encontró que la temperatura en la base de la aleta es de

62 ºC y 67 ºC para I0 e I1 respectivamente. Estos datos

se utilizaron como condición de frontera en la base de la

aleta para realizar las simulaciones. Los vectores del flujo de calor (W/m2) en la aleta se

calcularon por medio de la ley de Fourier aplicada para Z

y X

𝑞𝑧" = − 𝑘

∆ 𝑇

∆ 𝑧 = 𝑘

𝑇(𝑖+1,𝑗) − 𝑇(𝑖,𝑗)

𝑧(𝑖+1) +𝑧(𝑖) (8)

𝑞𝑥" = − 𝑘

∆ 𝑇

∆ 𝑥 = 𝑘

𝑇(𝑖,𝑗+1) − 𝑇(𝑖,𝑗)

𝑥(𝑗+1) +𝑥(𝑖) (9)

donde Δz = Δx = 0.125 mm, es la distancia de separación

entre el centro de cada elemento de la matriz de

temperatura para la dirección Z y X respectivamente. El

material se consideró isotrópico y de acuerdo con el

fabricante k = 394 W/ m2K.

4.3 Presentación de resultados

Los resultados experimentales se presentan en gráficas de

iso-temperatura, de vectores de flujo de calor y perfiles

de temperatura en puntos específicos tanto para Z, como

X. Los primeros permiten observar la distribución de

temperatura en toda la aleta. Debido a que se quiere

estudiar el comportamiento del flujo de calor por

conducción en la superficie de la aleta y el efecto de la

ventana generada por la primera iteración de la alfombra

de Sierpinski, los vectores de flujo de calor fueron

calculados únicamente en la superficie de la aleta,

ignorando la transferencia de calor por convección en los

bordes de esta. Por su parte, los perfiles de temperatura

permiten estudiar en detalle el comportamiento de la aleta

en ciertas regiones de esta, estos fueron obtenidos para Z

= 3.12 cm, y Z = 5.00 cm, mientras que en dirección

horizontal se graficaron para X = 1.50 cm a X = 9.00 cm,

en intervalos de 1.5 cm.



Los resultados numéricos se presentan en gráficas de

iso-temperatura tanto en la superficie de la placa, y

superficies de iso-temperatura e iso-velocidad para el

flujo convectivo alrededor de la placa.

2. Resultados

En la Fig. 6 se presentan los campos de temperatura

obtenidos experimentalmente para I0 e I1, en ambos

casos se suministraron 25 W a la base de calentamiento.

Ambas aletas tienen una distribución lineal de

temperatura, como se muestra en las Figs. 7 y 8,

interrumpida en I1 por la perforación cuadrada en la

aleta. Para I1 se presenta una temperatura mayor en la base

de la aleta que para I0, esto se debe a que al eliminar la

zona central de la aleta se disminuye en un tercio el área

de transferencia de calor por conducción,

incrementándose en la misma proporción la resistencia

térmica por conducción en la aleta (Rt), definida como:

𝑅𝑡 = 𝐿

𝑘 𝐴 (10)

donde L es la distancia entre dos puntos de temperatura

en dirección X, k es la conductividad térmica de la aleta

y A es el área transversal de la aleta. El incremento de temperatura en I1 es uniforme en

toda la aleta, 5 ºC aproximadamente. Por otro lado, para

I0 la zona de alta temperatura abarca únicamente el

primer centímetro desde la base, mientras que para I1 ésta

se extiende hasta los 3 cm aproximadamente, justo

debajo de la perforación de la aleta. Algo similar ocurre

para la zona de baja temperatura en el extremo de la aleta,

como se muestra en la Fig. 6. En la aleta I0, el efecto del borde de la aleta se puede

observar en la Fig. 9. En ambos extremos de la aleta,

Z = 0 cm y Z = 10 cm, hay un decremento de

aproximadamente 2 ºC cerca de la base, mientras que en

el extremo de la aleta es de solo 1 ºC, esto se debe a que

la diferencia de temperatura de la placa respecto al

ambiente es mayor en la base. Para I1, el efecto de la perforación en la aleta se hace

evidente en la Fig. 7, donde el perfil de temperatura en

Z = 3.12 cm disminuye drásticamente 3 ºC en la zona

adyacente a la perforación, es decir de X = 3.3 cm a

X = 6.6 cm, rango en el cual el perfil de temperatura para

I0 e I1 son prácticamente iguales. Los perfiles de

temperatura en Z = 5.0 cm se presentan en la Fig. 8, en la

que los bordes de la perforación están señalados con

líneas verticales, para I1 se presenta una disminución de

temperatura de aproximadamente 5 ºC en el borde

inferior y de 1 ºC en el borde superior, en este último la

resolución de los resultados experimentales no permite

obtener la temperatura en el borde.

Fig. 6. Contornos de temperatura para I0 (arriba) e I1 (abajo),

resultados experimentales

Fig. 7. Perfiles de temperatura en X para I0 e I1, para Z = 3.12 cm

Fig. 8. Perfiles de temperatura en X para I0 e I1, Z = 5 cm

Fig. 9. Perfiles de temperatura de I0, en el eje Z para distancias de

la base X = 1.5 cm, 3.0 cm, 4.5 cm, 6.0 cm, 7.5 cm y 9 cm



Fig. 10. Flujo de calor en la aleta I1

El efecto de la perforación también se puede observar

en la gráfica de flujo de calor, ver Fig. 10, en la que los

vectores adyacentes a este espacio son normales a sus

bordes y su tamaño es claramente mayor que en el resto

de la aleta. Por lo que se puede concluir que la

perforación cuadrada favorece la transferencia de calor

en las zonas adyacentes a ésta.

5.1 Comparación de resultados experimentales y

numéricos En las Figs. 6 y 11 se presentan los campos de

temperatura obtenidos de los experimentos y de las

simulaciones numéricas respectivamente. Al comparar

cualitativamente ambos resultados, se puede encontrar

gran similitud entre ellos. Por ejemplo, en la Fig. 11 se

puede observar que la región de mayor temperatura es

más amplia para I1. De igual forma se visualiza que en la

parte inferior de la ventana, se favorece la transferencia

de calor al curvar las superficies de iso-temperatura. Una

comparación cuantitativa muestra diferencias claras entre

ambas metodologías, siendo la temperatura de las aletas

5 ºC menor en los resultados experimentales.

5.2 Flujo convectivo

Las Figs. 12 y 13 presentan, respectivamente, las

distribuciones de temperaturas y velocidades

correspondientes al flujo convectivo en las

inmediaciones y en las zonas apartadas de las aletas I0

(usada como referencia) e I1. En la parte superior de cada

figura, se han dispuesto la vista frontal (VF) y la lateral

(VL) de la aleta I0, mientras que en la parte inferior se

observan la VF y la VL correspondientes a la aleta I1.

Cabe señalar que la vista lateral de cada aleta coincide

con el plano vertical de corte XY que pasa por su mitad

geométrica. Los resultados muestran diferencias claras

en los patrones de flujo convectivo generados en las

aletas. La VL de la aleta I0 (ver Fig.12) muestra como el

aire en el exterior del dominio cilíndrico es succionado a

Fig. 11. Contornos de temperatura en las aletas, resultados

numéricos. Arriba- I0, abajo - I1

través de la ventana circular y las ranuras laterales hacia

la cara frontal de la placa, a medida que el aire se acerca

a la superficie, éste se calienta y eleva porque su densidad

disminuye. De este modo, la parte central de la aleta se

vuelve ineficaz porque la corriente de aire caliente pasa

sobre esa zona y no produce una gran transferencia de

calor. En cambio, la aleta I1 revela que el área eliminada

por la perforación cuadrada se compensa con la entrada

de más aire frío (ver VF en la Fig.12). Una inspección

cuidadosa de la Fig. 12, muestra distribuciones

asimétricas de temperatura para las aletas I0 e I1.

Creemos que esto se debe a dos aspectos: 1) la posición

de la aleta no está ubicada en el centro del contenedor

cilíndrico, 2) solo se tiene una ventana lateral circular

como entrada principal de aire. Ambas condiciones hacen

que el sistema sea asimétrico, y por ende, también lo sean

las distribuciones de temperatura y velocidad (ver Fig.

13) de las plumas térmicas. Además, las vistas laterales

de la Fig. 13 dejan ver las distribuciones características

de velocidad en las plumas correspondientes a las aletas

I0 e I1. Las velocidades más grandes se desarrollan a una

cierta distancia del extremo superior de las aletas, lo cual

se debe a un proceso de aceleración del flujo al estar

sujeto a la fuerza de flotación. Otro aspecto que vale la

pena destacar es la diferencia observada en la estructura

de las chimeneas generadas en la parte superior de las

aletas. La parte trasera de la aleta I0 tiende a bloquear el

flujo y circulación de aire generando una zona de

estancamiento (en forma de gota, ver VL en la Fig. 13),



Fig. 12. Distribuciones de temperatura para el flujo aledaño a las

aletas y en zonas lejanas a las mismas. En la parte superior se

muestran las vistas frontal (VF) y lateral (VL) de la aleta I0, en la

parte inferior se muestran las vistas correspondientes a la aleta I1

lo cual impide que el aire caliente se desplace hacia

arriba, disminuyendo la eficiencia en la transferencia de

calor, adicionalmente la chimenea que nace en el extremo

superior de la aleta tiende a rodear la zona de

estancamiento y a pegarse sobre la superficie interna del

contenedor cilíndrico hasta alcanzar la salida circular de

aire. Por su parte, el flujo de aire a través de la ventana

cuadrada como lo evidencian la VF de la Fig. 13 y la Fig.

14 (la cual muestra el campo de velocidades cercano a la

aleta I1), tiene un efecto interesante en la estructura de la

chimenea correspondiente a la aleta I1. En este caso, se

genera una zona de recirculación mucho más amplia que

la zona de estancamiento observada en el caso de la

aleta I0; de manera similar, la chimenea que nace en el

extremo superior de la aleta I1 rodea la zona de

recirculación y tiende a acercarse y pegarse ligeramente

a la superficie interior del cilindro en su parte más alta,

esto facilita mucho más el flujo de aire hacia la zona

superior de descarga de aire caliente, lo cual en principio

mejora el proceso de transmisión de calor. Por otro lado, cuando se diseñan aletas de

enfriamiento es útil conocer las características del flujo

en la capa límite. El número adimensional de Rayleigh

(Ra) es de suma importancia para determinar si el flujo

en la capa límite es laminar o turbulento. Para una placa

plana vertical, el flujo se vuelve turbulento para un valor

de [28]

Fig.13. Distribuciones de velocidad para el aire circundante al

disipador

Fig. 14. Campo de velocidades en las proximidades de la aleta

I1, evidentemente se predice un flujo de aire que pasa a través de

la ventana cuadrada en el centro de la placa

𝑅𝑎 = 𝑔 𝛽 (𝑇𝑠 − 𝑇∞ ) 𝐿3

𝜈2 𝑃𝑟 ≈ 109 (11)

donde β es el coeficiente de expansión del aire, 𝑇𝑠 es la

temperatura en la aleta, 𝑇∞ es la temperatura del aire a

corriente libre, Pr es el número de Prandtl, L es la

longitud característica de la aleta y ν es la viscosidad

cinemática. Tomando los datos correspondientes a la

aleta de referencia I0 (ver Tabla 1), resulta un

𝑅𝑎 = 3.29 × 106. Este valor indica que el flujo en

la capa límite en la aleta de referencia es laminar. Para

este régimen es posible estimar un número de Nusselt,

𝑁𝑢 = 0.59 𝑅𝑎1/4 = 25.13.



También, es posible mediante un análisis sencillo

(para los detalles se recomienda consultar [25])

calcular el espesor de la capa límite (δ) en el borde

superior de la aleta, así como la velocidad máxima

desarrollada (u). Mediante las siguientes ecuaciones se

estiman el espesor y la velocidad

𝛿 = 6 𝐿

(𝐺𝑟/4)1/4 (12)

𝑢 = 2 𝜈 𝑓′ (𝜂) 𝐺𝑟1/2

𝐿 (13)

donde 𝑓′ (𝜂) es un parámetro que se toma de gráficas de

perfiles de velocidad [25] y su valor es aproximadamente

0.28, y el símbolo Gr representa el número adimensional

de Grashof, el cual se calcula como:

𝐺𝑟 = 𝑅𝑎

𝑃𝑟 = 4.71 × 106, (14)

así se calcula que δ = 1.82 cm, u = 0.21 m/s. Vale la pena mencionar que estas estimaciones

concuerdan en cierta medida con lo que muestran las

simulaciones numéricas, a pesar de que la aproximación

usada para los cálculos, mediante las ecs. (12) y (13), se

basan en considerar una placa vertical bajo condiciones

isotérmicas, lo cual, por supuesto no se cumple para las

placas que se estudian aquí. En la Fig. 15 se muestran dos acercamientos a las

vistas laterales de las aletas I0 e I1 para visualizar mejor

las características de la capa límite. Se dibujó encima de

cada figura un contorno típico de la forma que adquiere

la capa límite, se indicó además el espesor δ en el borde

superior de la aleta. Para la aleta de referencia I0, se

aprecia a partir de la figura que la distancia δ equivaldría

aproximadamente a 1.66 cm, este valor es 9% menor a lo

estimado con la ec. (11). Por otro lado, la velocidad

máxima según la escala de colores de la simulación es de

alrededor de 0.17 m/s, este valor es 14% menor a lo

estimado con la ec. (12). Para el caso de la aleta I1, se

observa un decrecimiento en el espesor de la capa límite

al compararla con el caso de la aleta I0, de la figura es

posible estimar un valor de δ ≈ 1.37 cm, esto implica una

disminución del 17.5%. En cuanto a la velocidad, según

la escala de colores de la simulación indica que

u ≈ 0.1729 m/s, lo cual implica un ligero incremento con

respecto a lo obtenido para la aleta I0. Esto no es

sorprendente, pues una mayor velocidad en la capa límite

implica por un lado un espesor más delgado

corroborando lo arriba descrito; y por otro lado una capa

menos resistente a la transferencia de calor.

3. Conclusiones

Se llevaron a cabo experimentos, así como

simulaciones numéricas de la transferencia de calor por

convección natural en dos aletas verticales de diferente

geometría: una aleta cuadrada y una aleta pre-fractal

Fig. 15. Distribuciones de velocidad para el aire circundante al

disipador. a) Capa límite desarrollada en la aleta de referencia I0.

b) Capa límite en la aleta perforada I1

perforada de acuerdo con la iteración uno de la alfombra

de Sierpinski. Sobre la base de los resultados numérico-

experimentales obtenidos, se pueden extraer las

siguientes conclusiones: • Los resultados experimentales muestran que en la

aleta pre-fractal se promueve la transferencia de

calor en la periferia de la ventana cuadrada; sin

embargo, debido al material eliminado se disminuye

el área transversal de la aleta, restringiendo la

transferencia de calor por conducción y ocasionando

el incremento de la temperatura en su base.

• Las simulaciones numéricas revelan cómo la

cercanía de las aletas a la pared interna del

contenedor cilíndrico provoca efectos que hacen

ineficaz la transferencia de calor por convección. En

el caso de la aleta sin perforación se predice la

formación de una zona de estancamiento que por un

lado impide al aire caliente desplazarse libremente

hacia la zona de descarga, y por otro lado ocasiona

que la chimenea que nace en el extremo superior de

la aleta tienda a pegarse sobre la superficie interna

del contenedor. Algo similar es predicho para la aleta

perforada, sin embargo, el flujo de aire a través de la

ventana cuadrada tiende a aminorar los efectos

negativos arriba señalados.

• El flujo en la capa límite para ambas placas se

cataloga dentro del régimen laminar. Sin embargo,

se predicen ligeras diferencias entre las

características de la capa límite (espesor y velocidad)

correspondientes a cada aleta. En la placa perforada

se desarrollan capas más delgadas y con velocidades

mayores; lo que implica menos resistencia a la

transferencia de calor y por ende una ventaja que

puede ser explotada para hacer más eficiente la

transferencia de calor.

Agradecimientos

El trabajo es patrocinado por la DGAPA de la UNAM

por medio del proyecto IN-113821. Agradecemos al

Prof. Mihir Sen por los valiosos comentarios.



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