Aplicaciones de la Geometría Fractal en las ciencias de la tierra.pdf

7/25/2019 Aplicaciones de la Geometra Fractal en las ciencias de la tierra.pdf

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DEPARTAMENTO DE MATEMTICA APLICADA

Y MTODOS INFORMTICOS

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS

514 PAR A-5-4-18/a

0000297808

APLICACIN DE LA GEOMETRA FRACTAL

EN LAS CIENCIAS DE LA TIERRA

CARLOS PAREDES BARTOLOM

Ingeniero

d e

Minas

DIRECTOR

FRANCISCO JAVIERELORZA TENREIRO

Doctor Ingenierod e M inas

f UNIVE-iSlDAD P O L ' T ^ ' ^ ^ A ^ T A

1995

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2/461

TRIBUNAL ENCARGADO

DE JUZGAR LA TESIS DOCTO RAL

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politcnica de

Madrid, el da.....-. de ...f jii..h ^^ r. de 19..7./T

PRESIDENTE:

D.

lf,-ct** CL*C*~

O/e^

VOCALES:

D. 7

e/c^, j

Ce

D . kczi^ t-\^s\r\h

VOCAL SECRETARIO:

C c r (

D.

O(JIL L c f c u r o

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el da....J.....He...

0, se puede apreciar que

si H'(E ) 0 entonces H '(E ) =

oo

(9')

(9")

Por lo tanto, existe un nico valor de s tal que si t < s , entonces H '( E ) = oo, y si

t > s, entonces H '( E ) = 0 . Diremos que s es la dimensin de Hausdorff D

H

de E.

11


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Captulo 2. Introduccin.

Entre las propiedades que posee la medida deHausdorff,una de las propiedades

ms importantes y simples, es su invaranza al cambio de escala, o tambin denominada

homotecia, lo cual permite afirmar que aquellos cuerpos cuya medida no sea nula ni

infinita poseen homotesia interna, este concepto tambin puede ser utilizado de forma

equivalente al de autosemejanza. La propiedad de invaranza se verifica cuando tomado

un conjunto Ec5R", y dado un ratio

"k

de cambio de escala positivo, se define la

reduccin de E a escala

\

como:

XE= {Xx ;xeE } (10)

entonces, al estimar

la

medida de Hausdorffdei conjunto rescatado esta es:

H

,

(XE) = A.

,

.H*(E) (11)

lo cual es fcilmente demostrable si se tiene en cuenta que 1O5-recubrimientos de E

permiten formar lo s 5-recubrimientos rescalados pork,y adems:

(d i a m X U j ) ' = (d i a m d J j ) ' (1 2 )

luego tomando nfimos sobre todos los 6-recubrmientos de E:

HJ,(XE ) = X'.H ;(E) (13)

llegndose a (11 ) cuando se toman lmites en 5>0.

H'(XE) = A.*.H

,

(E)

En la definicin de la medida y dimensin de Hausdorf se han utilizado

recubrimientos formados por conjuntos arbitrarios, sin embargo, pueden ofrecerse

definiciones anlogas utilizando recubrimientos formados por conjuntos pertenecientes a

clases ms restringidas, llegndoseal mismovalor de la dimensin, que es lo que interesa

al aplicar el anlisis fractal en la prctica, pero distinto para la medida. Pueden as

utilizarse recubrimientos de boias ( esferas segn el espacio en el que se embeba E), o

intervalos didicos que permiten crear retculas espaciales sobre E.

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Captulo 2.

Introduccin.

2.3. E L MTODO DE BOX-COUNTING Y OTROS MTODOS

PARA LA E VALUAC IN DE LA DIMENSIN DE HJAUSDORFF.

Tericamente y en la prctica, a la hora de determinar la dimensin fractal de un

conjunto irregular E, se aplica el concepto deHausdorf, cuando se trabajan ccn datos

reales, la experiencia requiere la utilizacin de tcnicas ms simples, basadas en la teora

de la medida de Hausdorf pero fcilmente computables e mplementables en programas

de ordenador, los que es de esperar es que estas tcnicas, que si bien se encuentran

basadas como se ha indicado en la medida de

Hausdorf,

ofrezcan un resultado en la

dimensin muy aproximado al que se obtendra de la aplicacin directa de la definicin.

Una de las tcnicas ms extendidas para esta finalidad es la denominada de box-

counting. Como su traduccin directa indica es una tcnica basada en el conteo de

celdas. La idea que hay de fondo en este mtodo est en cmo realizar el recubrimiento

de E, conjunto a dimensionar, que se basa en utilizar una malla superpuesta a E (como

un e-recubrimiento, en el que se obtendra H^(E)) y contar cuntas celdas poseen al

menos un elemento de E. D ado que el tamao de la celda e con la que se recubre E, en la

teora se denota como 5, debemos tomar el lmite en el que la escala sea nula (e -> 0,

para obtener H*(E)). Cuando el comportamiento es de tipo fractal se verificar que el

nmero de celdas N(e), de tamao e, varia con la escala de medida segn la expresin:

N ( e ) e

D

(14)

donde el exponente D es la dimensin fractal deE ,y que generalmente es un nmero real

de valor superior a la dimensin topolgica de E. (D > d

T

). La ley as formulada

corresponde con una evaluacin del recubrimiento de E segn:

N(e)

N(e).e'

=

Xe* (15)

en el que la eleccin de la dimensin s apropiada verifica que en el lmite de e>0:

si s > D, entonces N (e).e* -> 0

si s < D, entonces N (e).e

s

->

Pero pueden existir ciertas diferencias entre la evaluacin as dada del

recubrimiento y la de la dimensin deHausdorf.A unque en ambos casos se estudia una

13


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Captulo 2. Introduccin.

situacin crtica de singularidad, en el que se pasa de oo a 0 en la medida, los

recubrimientos utilizados en el mtodo de box-counting son finitos, y adems todos los

conjuntos U,, o sea las celdas, aportan el mismo peso de informacin a la hora de la

evaluacin, lo cual no ocurre en HJ(E), en el que cada U, aporta su propio peso, su

dimetro elevado a s:

'N(e)

\

N(e).e* = inf-j e \ 6 = diam(U ,); donde { , } es el e - recubrimiento finito de E

>

(16)

N(e)

f

I

( di am (U ,)) "; donde {U,} es el e - recubrimiento finito de E [

(17)

Cuando se trabaja con conjuntos de datos procedentes de medidas reales la

situacin es an ms comprometedora. En estos casos se debe de tener en cuenta

aspectos tales como los mencionados (el recubrimiento no es infinito hasta escalas de e

casi nulas), sino que adems el conjunto que se est estudiando solamente es fractal

dentro de un determinando rango de escalas, esto proporciona serias dificultades a la

hora de estimar D, ya que los resultados de aplicar (14) no son del todo correctos.

La forma de proceder es la siguiente. Una vez se encuentra discretizado el cuerpo

geom trico en e studio, se tiene una escala mnima de aplicacin del box-counting, ya que

para escalas inferiores los resultados que se obtendran seran falsos y no tendran

significacin fsica alguna, esta escala mnima e

nim

es el denominado inner-cutoff y

corresponde con la escala fsica para la cual el cuerpo posee el comportamiento que

vamos a determinar. La escala mxima e

mK l

, tambin denominadaouer-cutqff,es para

la cual el cuerpo se comporta como una entidad cuya dimensin fractal es la topolgica.

En tre ambas escalas es don de se va a aplicar el algoritmo de box-counting. Tericamente

la idea consiste en, partiendo de una escala elevada se realiza el recubrimiento con una

malla cuadrada de paso e, y se procede a contar el nmero de celdas que recubren

nuestro cuerpo en estudio N(e) . Se puede refinar esta malla, segn un ratio r < 1,

pasando a tener una malla de paso re, y se cuentan de nuevo N(r.e) celdas, as

sucesivamente hasta alcanzar la e ^ La dimensin fractal se calcula como la pendiente

de la recta:

logN(e )ocD.loge ; conee [ e ^ . e ^ J (18)

14


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Captulo 2.

Introduccin.

Est e p roc eso iterativo, que parece sencillo a simple vista y realizable a mano para

po co s N(e ), resulta bastante complicado de plasmar en un c dig o, le cual es interesante

cuando se trabaja a escalas pequeas prximas a e ^ e ^ , y por lo ianto el conteo

manual de N(e) se hace impracticable. La tctica para el clculo de la dimensin fractal,

o como se suele tambin denominar de recubrimiento por el mtodo, y que aqu se ha

desarrollado, consiste en efectuar un seguimiento inverso de la metodologa planteada.

Supongamos que E, el conjunto fractal, se encuentra sobre un plano (la tcnica es

igualmente aplicable en una tres dimensiones) y es una figura cerrada (el ca so d e que E

sea una nube de puntos es un caso particular de la tcnica). Se comienza efectuando un

recubrimiento de E mediante una malla a la escala del

inner-cutoff,

que define el

investigador. En esta escala, la malla se puede suponer tan fina (por el tamao de la

discretizacin) que cada celdilla se puede asociar a un punto que puede estar o no dentro

de E. Evaluaremos cuntas de las celdas-punto se encuentran dentro de E, mediante un

algoritmo de determinacin de puntos interiores a una figura cerrada, como por ejemplo

el que determina el nmero de cortes de un recta trazada desde el punto con la frontera

de E (por ello se han asociado cada celda con su punto central interior). Una vez se han

contado cuntos puntos hay dentro de E se tiene determinado N'e^). Esta es la

operacin ms costosa del algoritmo. Pero puede ocurrir que algunas de las celdas que a

esta esca la tienen una parte dentro de E, su punto medio n o lo est , por e llo se realiza un

paseo sobre todas las celdas del primer mallado comprobando si sin estar su centro

dentro de E, tienen algn punto del contorno de E (ya que E se define como un

permetro poligonal cerrado), este nmero de celdas se aade a 1^(8

min

) para obtener el

definitivo N e ^ ) . Ahora hay que llegar hasta e, ^ . Para ello basta con utilizar un ratio

de desrrefinamiento de la malla de 2, lo que supone que en el paso siguiente al primero

ms costoso el tamao pasa a ser 2.E

min

, y se realiza un nuevo conteo. Este paso es

muc ho m s fcil, ya que basta con encontrar que un punto, el punto central por el cual s e

han definido las celdas del primer paso, se encuentra dentro de una celda de tamao

2 . E

m

. En este proceso se realiza otro paseo sobre las celdas de este tamao

comprobando que al menos tienen un punto central dentro de ellas, en el momento que

as ha sido se salta a la siguiente del paseo , ya no hace falta tener en cuenta la forma d e E

porque ha quedado almacenada en forma de coordenadas de los centros de las celdas que

recubren E. Una vez revisadas todas las celdas se duplica el tamao de la malla y se

repite el proc eso, revisnd ose si una celda tiene al meno s un punto central de la celda a la

escala anterior. As se procede hasta alcanzar una escala de aproximadamente un cuarto

del dimetro mximo de E, el cual se determina mediante un marco que se le aplica a su

alrededor.

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Captulo 2.

Introduccin.

Como aplicacin de esta tcnica tomemos por ejemplo una serie de figuras

cerradas,que corresponden con los permetros topografiados de dos g rutas francesas de

la

misma

formacin krstica que es el macizo de Cap de la Lesse (de ah la posible

semejanza de dimensiones ractales de recubrimiento), a las que se les ha aplicado el

algoritmo anterior.

Cp

8

Cavidad**:

SalanHa k D-174

* dataria da la Rotonda D -1 7I

- O

Gruta da Niaux D-r*

J i I l L J l

-3 -2.5 -2

Figura4. Ejemplo deaplicacind el programa DF Psobrela gruta de Niaux.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

log1/e

^ca

?

4 -

3 -

2 -

Cavidad*:

O LombrtVM D-1*

Sabart D"174

Pta . CS4jgnoD"1"7

W EmprainfM 0-1 V1

i I i j L j i 1 i.

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

loglfe

Figura5.Ejemplo deaplicacind el programa DFP sobre e l resto de grutas.

16


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Captulo 2.

Introduccin.

El algoritmo puede verse plasmado en un cdigo (programado en FORTRAN 77)

en el anexo A-E Programa de anlisis geomtrico fracta l DFP . La subrrutina DIMASS es

la que permite realizar el clculo.

Cuando E se compone de nubes de puntos en el espacio la tcnica aplicada es

exactamente igual a la anterior, pero con la diferencia de que el primer paso de

determinacin de si el centro de una celda esta dentro de E no se realiza. En cada paso

de la iteracin, para cada escala e, se cuentan cuntas celdas poseen al menos un punto

de E y se almacena su centro geomtrico, que se utilizar en la siguiente iteracin. La

subrrutina BOXCOUNT, del programa DFP, que se encuentra tambin en el anexo A-E,

permite calcular la dimensin de recubrimiento de nubes de puntos.

Esta tcnica puede ser utilizada en la determinacin de la denominada dimensin

fractal de informacin, solamente asociando a cada celda un peso que co rresponder con

la probabilidad p, de que un pun to de E se encuentre en su interior:

N(e)

D.=l im-^ (19)

"* lojk e

Esta dimensin mide cuntos bits de informacin son necesarios para especificar

un punto del fractal con cierta precisin e. Se basa en la teora de la informacin de

Shanon en la que el promedio de informacin necesaria para especificar una celda en

particular que posea un punto es:

N(e)

I(e)=- p

i

. log

2

p

1

(20)

1=1

La definicin de la dimensin de Hausdorff que se ha dado mediante las

ecuaciones (9 ), (9') y (9"), requiere que la dimensin de los conjuntos que constituyen el

recubrimiento de E, y por lo tanto la escala del anlisis, tienda a hacerse nula. Pero en

general los sistemas fsicos poseen una longitud mnima caracterstica como puede ser la

que poseen sus partculas constituyentes, tomos, molculas, clulas, etc., que se

corresponderan con una escala menor que el

inner-cutoff

definido anteriorm ente.

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Captulo 2 . Introduccin.

Muchos de stos sistemas (coloides, agregados moleculares, celulares,

precipitados redes de percolacin, electrodepsiciones, elementos de crecimiento por

agregacin o por digitacin viscosa, etc.) poseen una caracterstica en la distribucin de

su densidad, y sta es que cuando corresponden con estructuras fractales,su densidad

disminuye a medida que aumenta el volumen de estudio. Entendiendo corno volumen de

estudio aquel, generalmente esfrico, que se encuentra centrado en el germen de

crecimiento central, y que posee un radio r. Es habitual estudiar cmo vara la densidad

media del agregado a medida que aumenta este volumen. Para ello si se fija el centro del

agregado en el germen, y se constata la masa M(r) que hay en el interior de la esfera de

radio r, se puede ver cmo paradiversos cuerpos su densidad p(r) vara como:

p(r)ocr

Dd

(21)

cuando el cuerpo en estudio se encuentra en un espacio euclideo d

E

-dimensional. En

base a esta expresin se puede decir que la masa M(r) del fractal contenida en el interior

de una bola de radio

r

centrada en el fractal, vara como:

M(r) x r

D

(22)

donde el exponente D se denomina aqu dimensin fractal de agregacin de masa.

Obsrvese que en base a este razonamiento es posible concebir a los agregados o a los

cuerpos fs ico s estudiados como estructuras que poseen una masa que es proporcional al

volumen D-dimensional de las esferas que lo contienen.

En la prctica se definen igualmente dos escalas, una inferior dada por r^ ,, que

puede ser dada por el investigador en base al conocimiento de la fsica del cuerpo a

analizar, segn sea el tamao de las partculas o del menor agregado posible, incluso

dependiendo de la calidad de la discretizacin ( segn la digitalizacin) y otra superior

notada como r^,, que puede ser el radio mximo del fractal. El proceso es sencillo,

basta con elegir un punto en el fractal o en su entorno, trazar una esfera de radio r, y

determinar la masa M(r) que hay en su interior (como nmero de partculas, pixels,

celdas que ocupa el fractal). Esto se realiza para diferentes r hasta alcanzar el ^ . La

determinacin de la dimensin de agregacin se realiza mediante un ajuste en la zona

donde M(r) posee un comportamiento del tipo especificado en (20), esto es, es posible

un

ajuste lineal en la recta:

logM(r)xD.logr (23)

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Captulo 2 .

Introduccin.

Esta tcnica ha sido implementada en el programa DFP, que se encuentra

desarrollado en el anexo A-E, en concreto en la subrrutina DEVLASS.Como ejemplo de

aplicacin se expone el resultado de calcular la dimensin de agregacin sobre una

estructura que constituye una red de percolacin, supuesta sta que ha sido generada

como un proceso de crecimiento, sobre una superficie fracturada, mediante la adicin

sucesiva de huecos (aire) por donde fluye el agua. Este ejemplo corresponde a una

muestra obtenida en El Cabril por el equipo del D.M.A.M.I. de la E.T.S.I. de Minas de

Madrid.

A pa rte de la estimacin numrica de la variacin de M (r), se ha obtenido la funcin de

lacunandad L(r). Esta funcin permite estimar la invaranza por traslacin sobre el frac tal

de la funcin de masa M(r), ya que ste puede presentar huecos considerables en su

distribucin espacial. Por lo tanto los valores de la lacunandad dan una idea de, en

funcin de las

fluctuaciones

de M(r) alrededor de r

D

, cuales son las desviaciones de sta

ley:

L(r) =

( (M ( r )

2

) - (M(r ) )

2

)

(M(r)>

(24)

Como se pueden observar en los resultados, la varanza de M(r), como cuadrado

de L(r) (q ue es una desviacin estandard) disminuye a media que aumenta la distancia r,

lo que permite presuponer que el fractal se hace ms homogneo a medida que aumenta

r. Puede ocurrir que diferentes conjuntos fractales posean la misma dimensin fractal,

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Capitulo 2 .

Introduccin.

pero la distribucin de masa puede tener huecos, variaciones de textura, que la ley de

M (r) no sea capaz de recoger. Para su determinacin se aplica la ecuacin (21 ), mediante

el clculo sucesivo para diferentes r, de la funcin M(r) sobre diferentes puntos de las

proximida des del fractal. El resultado ofrece una dimensin fractal de 1'95, lo cual afirma

la densidad de ocupacin espacial de la red de percolacin.

Existen otras tcnicas, que tambin se encuentran implementadas en DF P (anexo

A-E), que, basndose en el mismo tipo de comportamiento en forma de ley potencial

(tambin llamada ley de distribucin fractal), calculan otras magnitudes. Son tcnicas

aplicables a casos concretos defractalescomo distribuciones espaciales de puntos, en los

que se calcula la dimensin de correlacin D

O T

en base a la integral de correlacin,

cuyos fundamentos se exponen en el captulo . Otras tcnicas como la denominada de

compass-counting se utiliza para determinar la dimensin fractal de perfiles lineales

autosemejantes, etc . D e las relaciones ms importantes que existen entre las dim ensiones

fractales calculadas sobre cu erpos geomtricos hay que destacar aquella que se basa en la

definicin de la desigualdad:

D ^ ^ D . ^ D ( 2 5 )

Relacin que permite establecer una serie de cotas entre las dimensiones

calculadas.

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Captulo 2.

Introduccin.

Todas las tcnicas que han sido descritas hasta aqu son aplicables a los fractales

denominados autosemejantes. Estos fractales son aquellos que permiten realizar una

cambio de escala en la misma proporcin sobre las direcciones espaciales del espacio

donde se encuentran, mantenindose las propiedades de distribucin al cambio de escala

de la medida de Hausdorff, segn la ecuacin (1 1). En cambio existen otros cu erpos, en

los qu e para que se mantenga dicha invarianza, los ratios de cambios de escala seg n las

diferentes direcciones del espacio eucldeo que los contiene, son diferentes. Este tipo de

fractales se denominan autoafnes, ya que el ratio de homotecia ya no es de semejanza,

como en los primeros, sino de afinidad. Esta distincin permite crear una primera

clasificacin simple de los fractales en autosemejantes y en autoafnes, la cual es muy

importante a la hora de saber qu tcnicas se deben de aplicar para determinar su

dimensin fractal. Fundamentalmente las tcnicas aplicadas a ste ltimo tipo de fractales

para el clculo de la dimensin fractal, se basan en sus propiedades correlatoro

espectrales. Algunas de estas tcnicas se explican y se aplican sobre fractales reales en

esta Tesis.

Otras clasificaciones de los fractales se basan en su comportamiento con

respecto a la aleatoriedad, dividindolos en deterministicos y en aleatorios.

Determinsticos son aquellos en los que no hay ninguna componente perturbadora en

forma d e ruido en su conceptualizacin, son por ejemplo, los fractales matemticos tipo,

que aparecen en la bibliografa ms simple, como por ejemplo el conjunto de Cantor, la

curva de Peano, la superficie de Koch, etc. En cambio los aleatorios son los que ms

frecuentemente podemos encontrar en la naturaleza, ya que nos es muy difcil especifcar

una regla que los genere si no es en el sentido de las distribuciones estadsticas de sus

elementos. De todas formas, no por ser determinstico su estructura es ms simple, el

resultado de un fractal determinstico puede ser tan complejo como el de uno aleatorio.

En esta Tesis, al trabajar con casos reales, se tratarn siempre con fractales aleatorios, ya

que es muy difcil encontrar reglas deterministicas que nos permitan entender la

fracta lidad que he mos encontrado en la naturaleza.

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FRACTALES

EN LAS CIENCIAS DE LA TIERRA.


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Captulo 3 .

Fractales enlasCienciasde la Tierra.

3. LA OBSERVACIN PE

ESTRUCTURAS FRACTALES EN LA APLICACIN DE

LAS CIENCIAS DE LA TIERRA.

Los fractales han cambiado mi concepcin sobre las formas y los procesos que se

pueden encontrar en la naturaleza, en especial, sobre aquellos que se encuentran en el

terreno. Desde la concepcin de los fractales por Mandelbrot, la Geometra Fractal ha

revolucionado la forma en la que los cientficos realizaban su trabajo. Lo cual no es

sorprendente si se estima el nmero de stos que han adoptado la Geometra Fractal

como ciencia descriptiva, aplicable a la geologa, hidrologa, tectnica, hidrogeologa,

geologa estructural, ssmica, cristalografa, sedimentologa, etc. Para ello basta con

apreciar el nmero de artculos que han aparecido desde 1978 hasta nuestra dcada. En

fsica el crecimiento es prcticamente exponencial, y en Ciencias de la T ierra es an lineal

como se aprecia en lafigura8.

81.200

1.000

IB

a too

z

g. 00

S 400

n

200

7 SO 12 M M tt M 02

ao

Figura8.Evolucinanual de laspublicaciones sobre

ractales

(segnA vnir 1 989).

Los problemas fundamentales en la investigacin en Ciencias de la Tierra se

encuentra en que los datos obtenidos, a partir de muestreo sobre la superficie del terreno,

en afloramientos, sondeos, calicatas, trincheras, logs, minas o galeras, etc., con los

objetivos de reconstruir la geologa de los almacenamientos de petrleo, acuferos, o

simplemente determinar la distribucin espacial de una formacin litolgica, ya sea con

fines econmicos de exploracin y prospeccin. No solo la escala espacial, en cuanto a

distribucin de formas, es importante en estos estudios, sino que tambin la temporal

cobra inters desde el punto de vista del anlisis de la dinmica de las estructuras del

r t e u i e t d * :

fttct

Qubnlc

C I n c l a i < t * U T w m .

;

i irt4^rK^r-rrTTT

22


37/461

Captulo 3 .

Fractales

en las Ciencias de la Tierra.

subsuelo. Dinmica que queda patente al monitorzar las respuestas en el tiempo a

esfuerzos tectnicos, efectos de erosin, procesos de degradacin qumica, disolucin y

precipitacin, o el efecto de la lluvia y su infiltracin sobre la cantidad de agua que mana

de una fuente. La geometra fractal proporciona una herramienta para el estudio de cmo

las distribuciones espaciales y las respuestas temporales, se comportan a diferentes

escalas, en espacio y tiempo respectivamente. De hecho muchas veces es sencillo

observar cm o, por ejemplo, un pliegue en un estrato se encuentra formado a su vez por

pequeos micropliegues, y estos a su vez por otros, comportamiento que se da en un

rango no muy reducido de escalas. Otros ejemplos pueden observarse en las

concreciones de calcita en las paredes de una gruta, en las irregulares superficies

estilolticas, en los macizos fracturados, etc. En todos ellos se observa que existe un

comportamiento repetitivo, una semejanza estadstica en las estructuras que es invariante

a los cambios de escala. Esto es una de las caractersticas que permite sugerir que nos

encontramos ante un comportamiento de tipo fractal.

En la naturaleza, los sistemas geolgicos son esencialmente heterogneos, no

existe una porcin de roca que sea exactamente igual a otra muy prxima, y la

Geometra Fractal ha servido de ayuda a la hora de poder cuantificar, mediante la

dimensin fractal, por ejemplo, y formular modelos que permitan reproducir el

comportamiento heterogneo del subsuelo que son ms autoconsistentes e intuitivos,

reproduciendo sistemas de gran complejidad m ediante la simple repeticin de un p roceso

no lineal.

Incluso los sistemas que ofrecen sus respuestas, debido a su complejidad son no

lineales, y su descripcin determinstica solo la consiguen un nmero reducido de

modelos, en los que se realizan unas hiptesis muy restrictivas en las que se supone que

el sistema se comporta de forma no catica. Pero si verdaderamente el sistema es

catico, lo que no quiere decir que sea aleatorio, por qu no se estudia, analiza y se

reproduce como tal?. Ocurre que en muchas de las series temporales medidas en la

naturaleza, un rango de escalas se comporta de manera autosemejante. Un ejemplo muy

burdo pueden ser las variaciones que se producen en la temperatura diaria y la anual,

ambas son un cic lo, c on caractersticas muy semejantes, a diferencia de la escala a la que

se producen. Medidas en los transitorios autorregulativos de temperatura, presin,

humedad en microclimas que pueden encontrarse, por ejemplo en cavidades krsticas,

incluso la lluvia, que se muestra tan aparentemente aleatoria, presentan tambin un

comportamiento autosemejante que se hace patente al estudiarlas en el dominio

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Captulo 3.

Fraciales enlasCienciasdea Tierra.

frecuencial, ya que muestran una zona de ruido estructurado, previo a las frecuencias de

ruido blanco, y que corresponde con un fractal de tipo autoafn.

100

0

M

40

20

0

0

y

1

ll 11

(00

ll

L L

, j

.1

1

\{

J

| |

i

,1

1,

,000 1.H0 2,000 2.800

das

Figura 10. Ejemplo de la distribucin temporal de una serie de lluvias (datos en mm ).

Los campos de las Ciencias de la tierra donde se aplican los fractales para su

estudio son muy diversos. A continuacin se muestran algunos ejemplos.

^ Hidro loga superficial: El objetivo de los estudios se dividen en varios aspecto s.

Unos estiman la mxima anchura de los meandros de los antiguos cauces de los ros,

utilizando solo las profundidades de las paleocorrientes que se miden en una serie de

pozos, se encuentran entonces relaciones que siguen leyes fractales relacionando la

anchura del canal con su profundidad. Igualmente se estudian las relaciones entre el rea

de la cuen ca d e drenaje y la longitud del ro al que se le dan los aportes de agua. Tambin

se estudian las relaciones en los rdenes de corriente, segn el nivel de aporte al que se

encuentra un afluente, en funcin de la dimensin del ro, y de su organizacin

jerrquica. Inclus o se aplican para determinar la longitud total de cauce de un ro.

g | Percolacin: En este campo las posibilidades de aplicacin son muy amplias.

Desde las relaciones entre la propiedades microscpicas (tamaos de los poros,

relaciones permetro-superficie a diversas escalas) de los medios porosos con sus

propiedades a escala macroscpica (conductividad hidrulica, resistividad elctrica, etc.).

Se investigan las situaciones crticas de percolacin, en la que se encuentra el umbral de

percolacin prximo a la desconexin total, y cmo influye esta situacin en la

dimensin fractal de la red y en los exponentes de las leyes de percolacin. Los

resultados y las teoras aqu desarrolladas pueden aplicarse a medios fracturados, medios

krsticos co n disolucin, transporte de materia en medio po roso, etc.

24


39/461

Captulo 3.

Pradales

en

l as

Ciencias de

la

Tierra.

PJ Topografa: Lo s modelo s DE M (Digital Elevation M odels) suelen suministrarse

de las tcnicas fractales para la simulacin ms detallada de los accidentes topogrficos.

Permiten crear incluso nuevos m odelos topogrficos con mod elos de erosin acoplados.

Incluso su estudio permite evaluar de forma ms eficiente las determinaciones

dimensionales de superficies, permetros, etc. , cuando se trabaja a distintas esc alas

H Geofsica: Aqu tambin el mbito de aplicacin es muy diverso. De sde la

utilizacin para el anlisis de los resultados de testificacin en logs de pozos y sondeos,

hasta el estud io de los pro cesos ssmicos, y distribuciones espaciales y temporales de lo s

terremotos. Se aplican en la creacin de modelos de fragmentacin de las rocas, tanto en

situaciones de fragmentacin natural (por procesos erosivos), como artificial (en

voladuras). En el dom inio temporal se aplican en el estudio de seales del tipo 1/fP.

PJ Anlisis de superficies: Su aplicacin en el estudio y anlisis de superficies de

fractu acin es interesante, por los resultados que se pueden obtener, desd e el punto d e

vista de simulacin de crecimientos de fracturas bajo esfuerzos, influencia de las

rugosidades, intensidad de las mismas, en comportamientos a la fnccin. Se aplican en

modelos de adsorcin, en la evaluacin de las deposiciones electrolticas, en la creacin

de modelos de rocas porosas, en modelos de texturas. Incluso para la descripcin de

tipos de partculas de polvo, de tipo metlico, explosivo, procedente de concentrados,

respirables, etc .

25


40/461

Captulo 3 .

Fractales en

las

Ciencias de

la Tierra.

R Crecim iento de estructuras: El inters fundamental de su aplicacin se encuentra

en la ingeniera del petrleo, especialmente en la descripcin de modelos que simulen el

movimiento de las masas de petrleo en los medios porosos que lo contienen, la posicin

y descripcin de la interfases inestables entre agua-petroleo-gas, y las prdidas de presin

que suponen en la recuperacin del almacn. Otros campos de inters se encuentran el

los estudios electroqumicos, para la mejora de los rendimientos en las deposiciones de

metales por electrlisis, en la determinacin de los frentes de contaminacin en aguas

subterrneas, o por emisiones areas, en la simulacin de procesos de karstifcacin, etc.

26


41/461

FRACTALES EN HIDROGEOLOGIA.

\


42/461

Captulo 4 . Anlisis fractalySimulacine n

hidroge ologla.

4. ANLISIS FRACTAL APLICADO A LA

HIDROLOGA SUBTERRNEA. INTERPRETACIONES

FSICAS. SIMULACIN DE GEOFRACTALES EN

HIDROGEOLOGIA.

Habitualmente el trabajo que se realiza en hidrogeologa se efecta sobre

acuferos que son heterogneos, anistropos, de dinmica irregular, en definitiva son

sistemas que espacial y temporalmente se comportan d e manera muy compleja.

Podemos encontrar esta situacin en medios porosos comunes, formados por

depsitos sedimentarios de areniscas, lentejones de gravas de diversos tamaos, arenas,

limos, materiales detrticos, etc. en la mayora de los casos, sus parmetros

caractersticos, en lo que se refiere a aquellos que influyen en el flujo del agua, y como

pueden ser la permeabilidad, la porosidad, el coeficiente de almacenamiento (y que

adems se especifican en la ecuacin de flujo en medios porosos y en la ley de Darcy),

son magnitudes escalares, y cuya cuanta puede variar en la direccin en la que se estima

presentando cierto carcter anisotrpo, lo cual no presenta ningn problema, ya que es

posible definir un volumen elemental representativo, donde se promedian los valores de

manera aceptable ya que son magnitudes estacionaras. Pero cuando la heterogeneidad

del medio es muy significativa el promediado que se realiza no es vlido, no existe una

estacionaredad en las variaciones con la escala. Es en estos casos donde la Geometra

Fractal puede ayudar a crear un modelo conceptual de la distribucin espacial de las

propiedades, siendo usado con xito en las modelizaciones de almacenamientos

petrolferos, y en medios donde las diferencias entre los valores de las propiedades en

dos puntos prximos, estando correlacionadas y sin constituir un ruido blanco.

Cuando el medio en el que se trabaja es de tipo fracturado, por ejemplo un medio

cristalino, grantico metamrfico, las singularidades que formas las fallas fracturas

simplemente los planos de debilidad de la roca, suelen crear una serie de discontinuidades

en el medio que en ciertos casos forman barreras para el agua, pero que en otros , los ms

frecuentes, crean vas preferenciales de flujo. En el estudio de este tipo de medios se ha

visto cmo, por ejempio, la permeabilidad es una magnitud tensoral, y adems es

imposible la definicin de un volumen elemental representativo VER, debido a que a

27


43/461

Captulo 4 .

Anlisis /racial y

Simulacin enhidrogeologa.

pequea escala es muy probable que no entre ninguna fractura en su interior, y si se

aumenta mucho la escala del VER las propiedades no sean representativas del conjunto

regional, porque el VER sea casi de su tamao. Por otra parte, si se considera cmo se

distribuyen geomtricamente en el espacio esta singularidades, puede encontrarse que

forman agrupamientos de propiedades estadsticas semejantes a diferentes escalas, lo cual

demuestra que poseen un comportamiento fractal. En algunos modelos se utiliza este

hecho para la simulacin de medios fracturados, mediante la utilizacin de un punto

caracterstico de la fractura (su centro geomtrico), y crear nubes de puntos fractales

sobre las que se apoyan luego las fracturas sintticas. Estos modelos trabajan con las

dimensiones fractales obtenidas en campo a partir de los centros de las fracturas

cartografiadas, lo cual no quiere decir que la dimensin fractal obtenida en este estudio

sea la del medio fracturado, sino que ms bien corresponde con la de la nube de puntos

de soporte (artificial) de las fracturas, que por cierto, puede ser distinta a su vez de la

dimensin fractal de la nube de puntos en tres dimensiones, si se consideran a las

fracturas no como lneas (abstraccin matemtica) sino como planos en el espacio

(dem). Si se hace la suposicin de que la nube de puntos es autosemejante, por

proyeccin se puede obtener la dimensin de la nube de puntos en el espacio

tridimensional, sin ms que aadir una unidad a la obtenida en el plano (topografa, de

foto lneas, foto area, etc.). La verdadera dimensin fractal del medio fracturado, y

supuesto ste obtenido por la interseccin de un plano (superficie) con el m acizo ro coso ,

se calcula mediante, por ejemplo un mtodo de box-counting, en el que la masa dentro

de la celda se cuantifica por la longitud total de las longitudes que haya dentro de cada

celda (longitud total por unidad de rea, como medida invariante). De aqu se obtendra

la probabilidad p, til para el clculo de la dimensin de informacin. Pero si se desea

ms sencillamente calcular la dimensin de recubrimiento hay que estimar para cada

escala de recubrimiento cuntas celdas poseen al menos una parte de fractura en su

interior. Como se puede ver no basta con estudiar los centros de las fracturas.

El caso hidrogeolgicamente hablando ms complejo se presenta cuando se

estudian los acuiferos (crsticos. En estos medios es absolutamente imposible la

definicin prctica de una permeabilidad, con la consecuente inaplicabilidad de la ley de

Darcy, y en definitiva de definir un REV. Al trabajar en este tipo de acuiferos podemos

darnos cuenta que intervienen los dos anteriores, se acoplan el medio poroso, por su

capacidad de almacenamiento, y de difusin energtica ms lenta, y el medio fracturado,

pero con unas aperturas que permiten que se den regmenes turbulentos en su interior.

Las geometras que se observan, cuando son visitables por el hombre, corresponden con

autnticos ros subterrneos que se entrecruzan en el espacio del macizo calcreo

28


44/461

4 .

Anlisisrac.aly

Simulacin

en hidrogeologta.

karstificado. Como es de prever esta estructuracin espacial tan compleja va a producir

dinmicas complicadas de describir m ediante los modelos clsicos de acuferos porosos,

estas dinmicas se traducen en que en las surgencias (crsticas los niveles de caudales

obtenidos van a variar de un tipo de estructuras a otras supuestas que tienen el mismo

aporte de infiltracin efectiva.. Adems hay que mencionar que el macizo krstico,

cuando se encuentra con agua, posee una estructura espacial evolutiva debido al

constante proceso de disolucin-precipitacin de carbonatos que se da en su interior.

Ante las situaciones descritas es de esperar que se practique un gran esfuerzo en

el intento de comprender, conceptualizar. "lodelizar y simular, los sistemas acuferos,

especialmente aquellos ms complicados como son los krsticos. Una parte de ste

inters es debido a la fuente de recursos hdricos que suponen las aguas subterrneas, los

posibles daos que pueden darse por su contaminacin y el impacto que producen en el

ecosistema en el que se encuentran; pero la otra corresponde fundamentalmente por el

reto cientfico que supone la descripcin detallada de estos fenmenos de la naturaleza.

Para comenzar a estudiar los medios heterogneos y desarrollar un modelo

conceptual descriptivo, se parte de una serie de datos de campo que provienen de dos

fuentes diferentes principalmente:

Datos Geolgicos: que corresponderan con los que nos permiten describir la

variabilidad espacial de las propiedades en estudio y de las litologas en el terreno. El

estudio de los datos de los testigos en sondeos, ensayos de bombeo y su interpretacin,

afloramiento a la superficie del subsuelo rocoso, y especialmente todos aquellos estudios

en campo sobre la hidrologa, geologa, y bibliografa nos pueden aportar datos de

inters. Adems de las foto interpretaciones y ios mapas topogrficos de los que se

puede obtener una primera visin bidimensional.

Datos temporales: fundamentalmente no van a describir cual es la respuesta del sistema

a una excitacin externa, que en el caso de los acuferos suele estar formada

especialmente por la lluvia. Esta respuesta se recoge en forma de caudales q ue m anan d e

fuentes, o bien en aforos, acometidos en los cauces de los ros, prximos a los

manantiales de ios mismos. Otros datos importantes sobre la distribucin hidrodinmica

del flujo en el subsuelo se pueden obtener mediante ensayos de trazadores, que pueden

ser tiles para reconocer efectos de canalizaciones en su recorrido por el acufero.

29


45/461

Captulo 4.

Anlisis fractal y Simulacin e n hidrogeologia.

Normalmente se recaba muchsima informacin de un acuifero, pero normalmente

la informacin de la que se dispone es muy pobre comparada con la complejidad del

acuifero para describir su dinmica y especialmente cuando son acuferos (crsticos

Veremos a continuacin cmo podemos abordar el reto, y dnde sta Tesis aporta sus

resultados.

Se puede comenzar a trabajar en la lnea tal y como han sido expuestos los tres

tipos de acuferos. Comenzando por los medios porosos sin singularidades, la necesidad

esta en encontrar una manera para describir la heterogeneidad, y en concreto de la

permeabilidad, aunque en la Tesis tambin ha sido aplicada la metodologa que

brevemente se expone aqu, a otros datos espacialmente distribuidos (superficies,

aperturas, etc.). Primero es necesario aplicar una anlisis a los datos que nos determinen

los parmetros necesarios para la simulacin fractal del campo, uno de stos parmetros

es la dimensin fractal, otro s las escalas inner-cutoff y outer-cutoff, direcciones de

anisotropa, y momentos de la variable espacial ( variable regional). El anlisis que aqu

se aplica es de tipo correlatorio-espectral bidimensional que permite calcular (utilizando

el programa CPBLOG2 del anexo A-J) las dimensiones fractales procedentes del

espectro, y del variograma, y los rangos de escalas de validez del comportamiento. Una

vez realizado el anlisis se pueden utilizar tcnicas del tipo de desplazamiento de puntos

medios, espectrales las denominadas POCS (Projection Onto Convex Sets) para su

simulacin, esta ltima de reciente aparicin. Por ejemplo, la proyeccin para mantener

las restricciones espectrales consiste en tomar la transformada de Fourier de los datos,

redenir la amplitud de la trasformada en los puntos donde exceda de un valor

determinado, pero sin alterar su fase, y transformando inversamente al dominio espacial.

La proyeccin de un conjunto E consiste en renormalizar la energa de la funcin hasta

uno determinado si es excedido. En esta tesis se describen las tcnicas de midpoint,

corregidas de las que se pueden encontrar en la bibliografa de Barnsley, debido a

problemas que aparecan en las interpolaciones y clculo de los valores en las fronteras

del dominio; y las espectrales, de amplio inters por su utilidad cuando se pretenden

simular medios anistropos. Igualmente se dan una serie de directrices a seguir cuando

se analizan los datos de campo para construir el modelo conceptual fractal, qu datos se

debes de tomar y cuales descartar, igualmente sugirindolas en sentidos diferentes a los

que se encuentran en la bibliografa clsica de anlisis de campos aleatorios

bidimensionales.

Al tratar con medios fracturados, ya se ha especificado cmo debe de calcularse

su dimensin fractal. El inters de estos medios se encuentra, no en la posibles reservas

30


46/461

de agua que pueden constituir, sino en su capacidad como barrera geolgica de un

almacenamiento de residuos txicos en su seno. Obviamente en el momento qu e se de un

nmero suficiente de fracturas, con sus orientaciones y buzamientos, estas formarn una

red de percolacin, que puede ser conexa o no, siendo el primer caso el ms

desfavorable, pero el de mayor inters para su estudio, ya que posibilitar la m igracin a

travs de la barrera de los compuestos txicos, hacia el exterior o biosfera La

modelizacin de esto s medios es una tarea que se realiza en tres etapas, siempre en base

a los datos d e campaas de campo La primera consiste en establecer los puntos de

soporte de las fracturas, supuestas estas como planos finitos infinitos discos en el

espacio. Habitualmente las tcnicas de simulacin de puntos en el espacio seguan

procesos de puntos de Poisson, de Gibss, aqu se propone una tcnica de distribucin

de pu ntos qu e funciona con los parmetros de dimensin fractal medida en campo sobre

las nubes de puntos. Se dan dos tcnicas, dependiendo de cmo ha sido medida la

dimensin fractal, si con box-counting, o por agregacin. Estas permiten simular nubes

de puntos creando agregados, o con una distribucin pseudo homognea, pero siempre

fractal en el sentido d e la ley aplicada.

Y finalmente los medios krsticos, donde se acoplan ambos medios hay que

utilizar todas las tcnicas disponibles, adems de las que se describen para el estudio y

anlisis de las series temporales qu e n os proporcionan es tos medios. 1 anlisis espacial

en este tipo de medios resulta un problema ya que no siempre son accesibles al hom bre y,

cuando lo son, pocas veces se dispone de una topografa de calidad, que pueda servir

para aplicar los algoritmos de anlisis fractal espacial. Para la comparacin de este tipo

de acuferos se han escogido cuatro casos tipo que el Laboratorio Subterrneo de Mo ulis

del C.N.R.S. haba ya estudiado y clasificado segn sus propiedades de respuesta unitaria

de los caudales a la lluvia, por su tiempo de respuesta y por su frecuencia de corte,

dond e no se puede encontrar en el dominio frecuencia ms informacin sobre

periodicidad. De esta manera se consigui una primera clasificacin de los sistemas

krsticos de los muy poco karstificados (como el caso que se tratar de Aliou) hasta los

que se comportan como verdaderos medios porosos por su alto ndice de karstificacin

(que es el caso del Torca ) Utilizando sus series temporales se ha aplicado un anlisis

fractal definindose la metodologa para ello, en base al variograma y al espectro,

recogiendo los rangos de tiempo y frecuencias donde el comportamiento es fractal.

Adem s se han aplicado las tcnicas descritas por Hurst de rango rescalado y la descritas

por Grassberger para la reconstruccin de atractores en

ai

espacio de fases, esta ltima

de gran inters porque permite determinar parmetros como la entropa del sistema que

son m uy tiles a la hora d e realizar predicciones y estudiar la caoticidad del sistema. Una


47/461

4 . Anlisis fractal y Simulacin en hidrogeologla.

vez visto que se da un com portamiento fractal en

la

jerarquizacin espacial del karst y en

su respuesta dinmica, no sera posible relacionar ambos resultados?. El inters de esta

pregunta se encuentra en que en base a la firm a que el acufero deja en su respuesta, ya

que funciona como un filtro de la seal lluvia, pudiera ser posible inferir datos

cuantificables sobre su distribucin espacial de forma estadstica, y creo que una forma

de cuantificar esto es mediante la Geometra Fractal, y mediante la dimensin fractal,

mediante el espectro multifractal.

Si el resultado fuese afirmativo, estaramos en disposicin de ser capaces de

simular una estructura espacial, utilizando como dato nicamente la respuesta que da

(caudal en los acuferos) a un impulso (la lluvia).

32


48/461

FRACTALES

A UTOSEMEJANTES.


49/461

Captulo S.

Fractales autosemejantes

5.

FRACTALES AUTOSEMEJANTES.

En los apartados que se exponen a continuacin se presentan una serie de

tcnicas para la generacin de nubes de puntos autosemejantes. La utilizacin de cada

una en la prctica depender de cul ha sido el tipo de anlisis practicado a los datos de

campo para determinar la dimensin fractal. Amba tcnicas se basan en la ley de

distribucin fractal, teniendo en cuenta la teora de la media de Hausdorff cuando se

traten de distribuciones ms homogneas, se tendr en cuenta la de distribucin de masa

radial.

5. 1. GENER ACIN Y ANLISIS DE PROCESOS DE PUNTOS CON

DISTRIBUCIN FRA CTAL.

Dentro de un dominio E en un espacio Eucldeo d

F

dimensional, la generacin de

distribuciones espaciales de puntos con carcter fractal pueden basarse en las leyes tipo

potencia (o leyes fractales de distribucin) que son caracterizadas segn la dimensin

fractal D. En el caso de valores de D nicos, esto es, para fractales homogneos y sin

singularidades (no para los multifractales) estas leyes son, simplificando [FEDE-88],

[FALC-90], [GUZM-93], fundamentalmente dos:

O Segn el nmero de estructuras encontradas al realizar un recubrimiento finito

del conjunto fractal F mediante conjuntos cerrados y acotados U, tales que el

diam (U) =

e,

y verificndose que entre ellos son disjuntos:

r iUi=0

(26)

se puede decir pues que, dado el conjunto fractal de puntos F c E, y tal que x e F ,

entonces:

c a r d | u /x e U i ; f |U = 0 ;d ia m (U ) =

E

i ocer

D

(27)

33


50/461

Captulo 5.

/ raciales

aulosemej antes.

0

Segn la

masa

encontrada en el interior de una bola B(x,r) centrada en x e E

del frac tal F, tal que B (x , r) c E es de radio r, entonces se verifica que:

cardfxj/Xj eBfx.O.Xj eF;x eEcW

d E

} o c

r

n

(28)

En ambas definiciones, el valor del exponente D se espera, y as ocurre en los

casos mas sencillos y cotidianamente analizados, que tienda hacia el valor de la

dimensin de Hausdorff D

H

[FALCO-90], Esto no ocurre as cuando el fractal

considerado posee ciertas singularidades, dentro de determinados rangos de escalas; esto

es,

cuando el conjunto en estudio posee un comportamiento multifractal [PALA-87],

[JENS-87],

[FEDE-88]. Tambin ocurre que este valor de D as calculado no suele

coincidir con el que realmente posee F; por ejemplo, cuando F no es autosemejante

(vanse las aproximaciones de [HUBE-92]), o bien cuando la nube de puntos F

corresponde con un atractor extrao procedente de un sistema dinmico (como se

expone en [GRAS-81], [GREE-82], [GRAS-83a], [GRAS-83b], [GRAS-83c], por

ejemplo). Com putacionalmente, el valor de D difiere (como se explica en [GRAS-85b] y

en [PEIT-92]), para ambos casos, ligeramente del valor obtenido con el de la aplicacin

estricta de la definicin de Hausdorff y, especialmente, en aquellos casos concretos, y

generalmente tericos, en los que se conoce D

H

. Incluso, la definicin dada en la

proposicin enunciada en O se aproxima ms a la definicin dada para D

H

. El valor de

D que regula la densidad de puntos en el espacio debe de variar entre la dimensin

topolgica del cuerpo que se est generando, en este caso 0 ya que es un punto, y la

dimensin eucldea del dominio E donde se soporta la simulacin de F, que es d

E

.

La idea que aqu se va a desarrollar sobre la descripcin del proceso de puntos

para la generacin de los puntos con una distribucin espacial fractal, ya sea formando

clusters, o distribuciones ms uniformemente repartidas en E, surge de la interpretacin

de las proposiciones anteriormente enunciadas en O y O, digamos que en un sentido

inverso al que se suele utilizar (estimacin de D). Esto es, suponer conocido el valor de

D (en su defecto al de D

H

que se desea simular), as como el nmero de puntos a

posicionar en F, embebido en E, del que se debe de conocer su d

E

. El hecho de que el

nmero de puntos que definen F sea finito no presenta un inconveniente prctico como

se ver, ya que, para que F sea un fractal estrictamente, este nmero debe de ser infinito,

consiguindose que se verifiquen O y en el lmite de e -> 0, o bien cuando r

>

QO,

respectivamente, la acotacin del rango de escalas permite la generacin finita de p unto s.

A partir de esta idea se han desarrollado dos tcnicas fundamentales, cada una

34


51/461

Captulo 5.

Fractales autosemejantes.

correspondiente a lo indicado en O y en O denominadas

box

(para la O) y

radial

(para

la O).

Existen otras tcnicas, como las que se presentan en [STOY-94] y en [DERS-

92],

que funcionan a partir de la sucesin en el espacio de puntos que son coordenadas

de un movimiento browniano fraccionario, denominadas

vuelos de Levy,

y que ser

expuesta brevemente alguna de ellas, en sus fundamentos al final del captulo, como

otros generadores.

Las dos tcnicas anteriormente mencionadas que se han puesto a punto, se

subdividen a su vez en otras dos que se diferencian en los pasos seguidos para la

generacin de las posiciones de los puntos:

{

box jerrquico [radialunitario

J H

RADIAL {

bux aleatorio [radial equidistante

y que, dependiendo de los resultados deseados y de los datos de partida, se deber

escoger una u otra. Clsicamente, los fractales se han modelizado como conjuntos que

pueden ser generados segn tcnicas iterativas (p.e. en [BARN-88] en [PEIT-86]), de

tal forma que lo que se va haciendo es definir el valor de cierta propiedad en una

posicin del espacio a una escala mayor o menor que la que se tom en el paso anterior

del proceso de clculo, en funcin de la dimensin fractal D y de la escala en la que se

esta definiendo la propiedad para cada nueva iteracin.

Al tratarse d e la generacin de un frac tal finito , se trabaja dentro de un intervalo

aco tado de escalas, definindose el proceso a partir de una escala mxima e

m ax

hasta una

escala mnima e

m in

. Por tratarse de las situacin ms comn, en la prctica se va a

trabajar en dominios de simulacin un, bi y tridimensionales, simplificados a una

estructura cbica, pero para ilustrar los generadores aqu propuestos supondremos la

situacin de trabajo en 9?

2

, y E es un cuadrado de tamao L de lado. Esta suposicin no

impide que para algunos de los generadores aqu presentados no pueda extenderse su

aplicacin sobre dominios de frontera irregular. Este aspecto ha sido contemplado en el

cdigo de ordenador PUNFRAC en el que implementa estas tcnicas y se presenta en el

Anexo A-D.

35


52/461

Captulo 5. Fractalesautosemejanles.

5 .1 .1 .TC NICA DE SIMULACIN BOX.

Basndonos en la expresin clsica del comportamiento al cambio de escala e,

para los conjuntos fractales, descrita ampliamente en la bibliografa (pe. [MAND-67],

[MAND-82a],[TAKA-90]), y en la teora aqui expuesta (tambin en O ), se verifica que:

N ( e ) o c e

D

(29)

esto es, para cada escala de medida e el recubrimiento ptimo de F esta formado por un

nmero de N(e) conjuntos U. Entonces, si para una escala determinada e

min

se debe de

tener un cardinal de

^e^),

y suponindose a su vez que esta escala es tan pequea, o

lo suficientemente pequea como para que lo- conjuntos que constituyen el

recubrimiento {U ,} finito se asemejen al centro geomtrico del mismo, a la escala global

de la simulacin (diam (E)), entonces se puede aproximar

Nie^)

al nmero de puntos

que se quieren generar. Un razonamiento ms preciso permite suponer que a la escala

e

min en la que se estara calculando la dimensin fractal, al suponerse F como un

conjunto finito numerable de puntos, cada U poseera un solo x e F, con lo que cuando

al seguir calculando con un e < e^,, al tender hacia el lmite, entonces:

V e - > 0 , N(e) = N(e

ir a

, ) = N Psc ard {F } (30)

Es obvio que, si E es un cuadrado, cuando e coincida con la longitud del lado

E

IMX

= L, se tendr que el recubrimiento perfecto de F se efecta con un nmero de N(L)

= 1. Si se generaliza esta idea para dominios E irregulares cualesquiera, ocurrir que

cuando

e

mtx

=

diam (E ), lo cual es as siempre y cuando F c E, tambin se tiene que

N(L) = 1. Luego es de esperar que un solo U recubra F y por lo tantoN(e

mv i

) = 1:

|d iam(U

i

) = diam(E) = e

m

o N ( e

m a x

) = l

[diamUj) =

Einin

N (

e m m

) = card(F) = NP

Figura

1 1.Definicin

de l as

escaas

d e l

soporte

d e l fractal.

36


53/461

Captulo 5.


Estos dos resultados, para cuando F es finito, pueden ser utilizados para estimar

los parmetros necesarios para realizar la simulacin, segn la forma de proceder que se

escoja{jerrquicaoale atoria)

Generador

box -jerrquico.

Si en la tcnica de clculo de la dimensin fractal denominada

box-counting

se

proceda mediante la realizacin de sucesivos recubrimientos con diferentes e,

tendindose en el lmite a utilizar dimetros de conjuntos recubridores cada vez ms

pequeos, o lo que es lo mismo hacer que e -> 0. Al trabajar de forma discreta, en cada

paso,

se va tomando una escala cada vez menor, siempre tendiendo hacia el lmite, y

contando cuantos conjuntos del recubrimiento poseen una parte (algn punto) de F. En

la generacin estos puntos esto son los que se situarn en el espacio. Si se opera para

cada escala correspondiente, segn la ley fractal con la proporcionalidad estricta, se

establece que:

N(e ) = 3.c"

D

(31)

con lo que si:

e - e ^ - L (32)

entonces:

N(e) = N (

E m

)=I (3.1)

y por lo tanto:

3 = L

D

(34)

y para cada nueva escala, si se toma en el refinamiento cada nueva escala como la mitad

de la anterior:

e

1+1

= e , / 2 , coni= 1 , 2 , . . (35)

luego, el nmero de celdas que deben de aparecer con x e F debe de ser:

37


54/461

Fractales

autoseme jantes.

N (e

lM

) = L

D

.s,;? (36)

Esta cantidad debe de ser, para el primer paso en el que e, = L / 2 , el nmero de

celdas que se escogern de las 2, 4 u 8 disponibles, segn se trabaje en una, dos tres

dimensiones respectivamente, por lo tanto:

N (e

1

) = L

D

. ( L / 2

,

) -

D

= 2

D

' (37)

Est claro que, al menos, una de las celdas originadas en el primer refinamiento

debe de ser escogida ya que de lo contrario no se generar ningn punto en las sucesivas

iteraciones porque no tendr ningn conjunto que lo recubriese. Igualmente, esto se

tendr en cuenta siempre y cuando, en cada iteracin i, el nmero de celdas a escoger,

denotado por N (e,) , sea menor que una, ya que no puede ser as. Por lo tanto, el nmero

de celdas a escoger entre las cuatro posibles producidas en el refinamiento para una

iteracin (cuando se esta en 2D) y la siguiente es tres, por que una est obligada. Si nos

rijamos, este resultado permite generalizar el proceso iterativo. As, para cada nueva

generacin se debern tomar tantas celdas nuevas como, primero, tantas como haba en

el paso anterior i, y segundo, tantas como resten desde las anteriores hasta las que

determina la cantidad:

Ne , , , ) = L

D

. (L / 2 '" ) '

D

=

2

D(,

(38)

I

H

+

+

+

Figura 1

"\Sucesivos refinamientos

d e l

dominio cuadrado segn

cada

paso.

Po r ejemplo a partir de un D arbitrario, se obtienen las iteraciones siguientes:

paso (e = L/2): Nel = 1, Ne = 2

=>

tomar

1

de

3

restantes,

paso (e = L/4): Nel = 2, Ne = 5

=>

tomar

3

de 6 restantes,

paso

(c = L/8): Ne l = 5 , N e = 11 => tomar 6 de 15 restantes.

Captulo 5.

38


55/461

Captulo S.

Fractales

autoseme jantes.

Pero se plantea la pregunta de hasta cundo debemos de seguir iterando.

Lgicamente hasta que lleguemos a haber generado el nmero de puntos NP deseado.

Esto ocurre al llegar, en la direccin de generacin (indicada por la flecha en el grfico

bilogartmico) a una escala mnima que segn:

N ( e ) = 3 . e "

D

(39)

corta en N e ,^ ) - NP en esta escala mnima, como se ve en la figura13.Por lo tanto, se

puede calcular sta como:

N(e ) = 3.e"

" mu '

v

* "n

NP

(40)

Log

N(e)

L

LogNP

X

L o g

e m i n

Loge

Figura

13.

De terminacin grficade lae scala mnimade clculo ene l algoritmo.

y despejando:

e

imi

,=10

ral

/ D

=10

(41)

escala que se ob tiene en un nmero de iteraciones ni , al verificase:

e

m

/2

n I

>e

flux

donde, sustituyendo los valores correspondientes

min

ral

(42)

loge, +log

NP

nl

-

N P

;

refinamiento.

El proceso es anlogo tanto para los casos sobre 9?', como para los de 9? \ en

estos casos se tendr que desarrollar el muestreo con U[0'5,2'5] UfO'5,8'5],

respectivamente, al tener que elegir entre 2 u 8 celdas. Una vez elegidas las celdas

obligatorias, cada vez que se elige una nueva de las restantes se mantiene la probabilidad

de l/n de celdas disponibles (2, 4 u 8), para que el proceso de eleccin de celdas siga

siendo equiprobable, aunque si vuelve a salir la celda elegida previamente esta se

descarta, no se tiene en cuenta, y se busca entre las otras candidatas. As las cosas, cada

celda elegida ser igualmente dividida en

2,

4 u 8 celdas nuevas (segn sea n = 1, 2, 3 ), a

las que se aplicar este proceso iterativo sucesivamente.

Para

finalizar

el proceso, la localizacin de los puntos generados se realiza sobre

el centro de la celda, tomando la coordenada de su punto de referencia, la esquina

inferior izquierda, y se le suma un desplazamiento de e^ /2 a cada componente

coordenada. Los puntos as generados se escriben en un

fichero

ASCII, para su posterior

representacin grfica, como se ver en los ejemplos que se se muestran en los apartados

5.1.4y

5.1.5.

Generador

box -

aleatorio.

En es te m todo generador se va a tomar inicialmente un nivel de refinamiento del

dominio. Posteriormente a este refinamiento se aplica la recurrencia jerrquica con la

reduccin de escalas e

j+1

=e

i

12, habindose realizado un nmero de i = k iteraciones

iniciales. De la malla d

E

dimensional obtenida en este primer paso se seleccionan N(e

k+ 1

)

42


59/461

Captulo S. Fraclales autosemejantes.

celdas aleatoriamente, como en lafiguraen ia que se han tomado 12 celdas, despus de k

= 3 iteraciones de refino de la malla sobre E

El

-

alor de la constante 3 es el mismo:

3

=

L

D

(47)

II

1

9'

6

* -

V

j

I2

1

i'

4

\o

i

J

1

Figura 18. Paso para laeleccin aleatoriamented e las prime ras celdas.

A partir de este momento se proceder como en el mtodo jerrquico anterior,

refinando al tomar cada una de las (12 en el ejemplo) celdas de la iteracin anterior, y

luego tom ando las restantes necesarias hasta completar las indicadas por N (e

1+ 1

), con i >

k. El nmero de iteraciones que se realizar en el algoritmo

box-jerrquico,

despus del

box-aleatorioes el que da la expresin siguiente:

oge^+log

nl =

NP

V

e

rwx

log2

+ l - k

(48)

Hay qu e tener cierta precaucin a la hora de elegir los datos que se dan al utilizar

este algoritmo, que se trata de una aleatonzacin inicial deljerrquico, concretamente

con el nm ero de iteraciones k, y el nmero de puntos a generar. Si k es bastante bajo, el

efecto de la aleatonzacin sobre el resultado del box-jerrquico es poco importante,

producindose agregaciones de puntos. En cambio s k es muy alto, como en cada

iteracin ik hasta k el nmero de posibles puntos generados crece como

2

n i k

,

con lo que

en el momento en que:

N P < 2

n.ik

(49)

43


60/461

Captulo

5.

Fractalesautosemejantes.

el resultadode puntos obtenidos posee una distribucin simpledePoisson, sobreuna

malla ndimensional. Porello,en el cdigo realizado (PUNFRAC) solamente se ha

tomado un

k =

2, lo que proporciona un ligero efecto de aleatoriedad

y

de supresin

de

las agrupaciones de puntos con unas escalas prximas a la mitad del dimetro de E.

La eleccin aleatoriade unnmero N(e)deceldas parala escala dadapor el

nmero

de

iteraciones equivalente

k, as

como

su

localizacin obtenida

en el

proceso

aleatorio, puede suponer una diferencia entre el resultado esperado y el obtenido, cuando

se realiceun anlisis fractal por

box-counting

del resultado final producido poreste

generador.Amedida quesevaya aumentandolaescala,apartirde lautilizada aqu,el

valor de N(e) puede resultar dispar del quesedebera obteneryporlotanto falsearla

regresin lineal bilogartmica obtenida en

el

anlisis. Como consejo prctico,

se

tomar

como escala mximaalhacer este anlisis una escala dadapor eldoblede laaplicada

para el nmero de iteraciones k. Esta escala puede designarse como un

outer-cutoff.

Es

de esperar quelaescala mnima de clculo, tanto para el proceso jerrqu ico, como para

el aleatorio,sea ladadapor elnmerode iteraciones necesarias para representarel

nmero de p untos NP que se da como dato, o tambin.

,

logN(U

D=d D-Dbox


61/461

Captulo 5.

Fractalesautoseme jantes.

5.1.2.TCNICA

DE

SIMULACIN RADIAL.

Cuando en el conjunto en estudio los puntos poseen cierta

masa

(o puntos con

cierta medida no nula) y se encuentran repartidos en el espacio, el comportamiento

considerado como fractal puede regirse por una ley del tipo potencia (punto de 5.1),

que como se ha mencionado en la introduccin, se rige [HAST-93] por una ecuacin del

tipo :

M ( r )o c r

D

(51)

don de la masa M(r), del conjunto fractal F, contenida dentro de una bola de radio r, varia

en funcin de la dimensin fractal D (tambin llamada en este caso dimensin de

agregacin). Esta dimensin fractal es la que posee la distribucin de masa M(r), para

una corona circular de ancho dr, medida desde una bola de radio r centrada dentro de E.

El incremento de radio dr puede expresarse como un aumento unitario en M(r); o bien

como el aumento producido en la masa M (r) cuando el dr es constante. Estos do s p untos

de vista, segn como varia dr, proporcionan las dos tcnicas descritas aqu, y

denominadas como

unitaria

yequidistante, para el proceso espacial de generacin de

puntos.

Generadorrad ial-unitario.

Para este generador el incremento dr se calcula de forma iterativa siguiendo una

funcin que depende del radio inicial r, y de la dimensin fractal D aplicada en la

generacin:

r

1 + I

= f ( r

i t

D )

Figura

20 .Dependencia

d e l

radio

e n e l

algoritmoradial.

45


62/461

Captulo 5.


de tal forma que el incremento de masa unitaria al aumentar en un dr sea de AM(r) = 1.

De esta forma, la masa contenida dentro de una bola centrada en x e E (donde E se

tomar tambin como un cubo), y con radio r, se diferencia en una unidad de la que se

obtendra para la misma bola de radio

r

itl

:

r

1 + I

> r

1

o M ( r

1 +

, ) > M ( r

j

) = M ( r

l t l

)-l (52)

Se debe de calcular el valor de r

1+l

para que este incremento en M(r) de una

unidad se produzca. Como se puede expresar la proporcionalidad absoluta de M(r) con

respecto a la potencia D de r, con la constante B , (constante siempre y cuando el fractal

no posea lacunaridad, segn se ve en los trabajos de de [GOUY-92]):

M(r) = B.r

D

(53)

luego, el incremento unitario, se produce cuando:

AM(r) = M (r

l t I

) -M (r , ) = l

(54)

o lo que es lo mismo:

B-t -r ,

0

)^ (55)

tomando logaritmos y despejando:

D.logr,., =log r,

"

D

4 )

(56)

por lo tan to, la funcin que determina r

|t l

es:

M r M r ' ) l

r

1 + l

= f ( r , ,D ) = 1 0 (57)

Para desarrollar numricamente tal sucesin de valores de {r} es preciso dar un

valor inicial r, correspondiente a la primera iteracin. Para el clculo de este radio

mnimo se debe tener en cuenta que en su interior, esto es, dentro de la bola B(X,

r,),

slo

debe de haber un punto, con lo que su clculo obliga a que:

M ( r < r

1

) = l= > M ( r , ) = I = B.r,

D

(58)

46


63/461

Captulo 5.


y, al tomar logaritmos, fcilmente se puede despejar:

D.logr, = lo g B ' (59)

Figura 21 .Unsolo punto e ncada nueva corona

circular.

y el valor tomado inicial de r, esto

es,

r, de la serie, es:

r, =10^

D

' (60)

la posicin del punto se calcula a partir de sus coordenadas polares ( esfricas en 3D),

este clculo se comen tar con ms detalle posteriormente en el apartado posterior 5.1.3.

La obtencin del valor de la constante B, necesaria para todos estos clculos, es

fcil de deducir. Cuando se haya alcanzado un radio mximo de clculo, que pudiera

corresponderse con el dia m (E )= r ^ , el nmero de puntos dentro de esta bola

B(x, r ^ ) , tal que x e E , debe de corresponder con el nmero de puntos NP que se

desean generar. Con lo que se puede establecer que:

M(r

IM X

) = NP = B . r l (61)

El r ^ puede ser fcilmente introducido si partimos de que, por hiptesis, puede

establecerse qu e:

r ^ d i a m E ) ( 6 2 )

tal que, para el caso de un dominio E regular sencillo como un segmento, crculo,

esfera, su r ^ ser R, en los dos ltimos dominios L/2 en el primero. Si el dominio es

47


64/461

CdptUlO

5 . Fractalesautosemejantes.

un cuadrado , o un cubo, el r, ^ viene dado por el radio R del crculo, esfera,

circunscrito el mismo:

L

4l

2D:cuadrado -> r,^ =

i n

. L.VJ

3D:cubo - * " =

para una figura de lado L.

Pero en el caso de tener una figura polidrica, con lados cncavos y convexos, el

valor de su dimetro se establece segn:

diam(E) = max {d( x

G

, x ) / Vx e d E , x

G

*CD G(E )} (63)

siendo E un conjunto homogneo e istropo (segn la definicin de medida sobre el

conjunto, esta debe de ser invariante por traslacin, lo cua implica la ergodicidad del

conjunto y su medida). Vista la determinacin de r^ , el valor de B puede ser calculado

a partir de:

NP

B= ~ (64)

Generadorrad ial-equd istante.

Como en el caso del generador radialanterior, se va a aplicar igualmente la ley

de distribucin de m asa fractal, o ley de agregacin fractal:

M(r ) = B r

D

(65)

donde la constante B, para esta distribucin ha sido calculada com o:

NP

(O

48


65/461

Captulo 5.

Fractalesautoseme janles.

a partir del nmero de puntos N P que se desean simular con una dimensin fractal O. Si

en el generadorradialunitariolo que se pietenda era calcular el Ar necesario para que

se de un A M(r) = 1, en este m todo el objetivo es diferente. Ahora, para un Ar dado por

un nm ero de bolas deseadasNB,o iteraciones para generar los puntos, se tiene que es:

Ar =

r

- " ~

r

""" (67)

NB

Utilizando este Ar, cul es el AM(r) que debe de aplicarse, y por lo tanto cuntos

puntos deben de generarse en cada iteracin, dentro de la corona circular de ancho ste

Ar. Si se toma de nuevo:

r

1+

, =r ,+ A r (68)

entonces:

A M ( r ) = M ( r

l M

) - M ( r

1

) =B.(r

1

?,-r

1

D

) (69)

la colocacin aleatoria de los puntos dentro de esta corona tambin se hace como en el

generador radial anterior, y se describe despus.

Un aspecto que hay que tener en cuenta en la simulacin sobre dominios E

hipercbicos (para el caso general de n dimensiones) se produce cuando el radio de

simulacin r,., > L / 2 , pero menor que la mitad del dimetro de E . Esto , por ejemplo,

ocurre cuando se est dentro del rango de L/2 a LV2/2 (en 2D) pudiendo ocurrir que un

punto P generado caiga fuera de E, por tener la corona esfrica del soporte de la

simulacin un radio mayor igual superior a la diagonal de E, como se ve en la figura. El

punto con tal posicin ser excluido. Esto tiene cierta transcendencia a la hora de

calcular la dimensin fractal del conjunto F generado, ya que los ltimos puntos son

dependientes de la forma de E. Adems, a medida que r, se acerca a r ^ , el rea de E

restante donde colocar los puntos que quedan, se va reduciendo. Por ello, el proceso

iterativo terminar cuando r

1+I

>L/

2 ,

y habr un:

A r

s

U - r

w

= j ^ "

r

( e n 2 D ) ( 7 0 )

49


66/461

Captulo S. Fractales autosemejantes.

Figura

22. Rangos

espaciales

d e

validez

d e l

algoritmo

radial.

Otro detalle de inters en la aplicacin de estos algoritmos

radiales,

es que se

puede realizar sobre dominios de contomos irregulares, pero en este caso el proceso de

puntos se alarga ya que cada punto P generado debe de ser evaluado en el sentido de

determinar si se encuentra o no dentro de E. En este caso, para cada punto, el algoritmo

evala el nmero de co rtes que posee una horizontal, trazada desde el punto P , con eld E

contomo o frontera de E (este proceso ha sido ya expuesto en otro apartado). De esta

manera se evitan las aglomeraciones y agrupaciones en clusteres artificiales de puntos

meramente producidas por un algoritmo deficiente

5.1.3.COLOCACIN

ALEATORIA DE

LO S

PUNTOS

DENTRO

DE

LA CORONA.

Como se coment anteriormente, la situacin del punto vendr dada, en el

interior de la corona circular o esfrica donde se generan estos, por sus coordenadas

cartesianas, polares o esfricas, segn se trabaje en ID, 2D 3D.

Generalizando al caso de 3 D, esta posicin es:

Espacio de U poiible ubicacin de P

Figura 23.

Definicin

d e

aposicin aleatoria

d e los puntos en la

corona.

50


67/461

Capitulo 5. Fractalesautosemejantes.

x

p

= x

Q

+ Ar'. e o s 4>. co sG

y

p

=y

G

+Ar'.cos


68/461

Captulo 5.


donde D es la dimensin fractal de agregacin, ya utilizada anteriormente en el generador

radial,para el conjunto de puntos que forman el fractal F. El valor de L, es la distancia

de un punto a otro, en el paso anterior, de la secuencia de generacin. Cuando D = 0 la

distribucin de las longitudes en pasos sucesivos es uniforme, luego no existe

clusteing

o

heterogeneidad apreciable en la distribucin de puntos. Cuando D es elevado, la

probabilidad de que se den grandes saltos en el proceso es muy baja, adems de

producirse grandes clusters.

La funcin de distribucin de probabilidad fractal ( tambin denominada Power

Law Probability Distribution Function), es descrita mediante la utilizacin de dos

valores, uno es el valor mnimo L ,^ de la variable aleatoria L, y otro es el exponente D,

con lo que las funciones de distribucin y de densidad de probabilidad son,

respectivamente:

F(L) =

1

- Prob[L > L, ] =

1

- L,

D

f(L) = D.L

f

(Dtl)

(75)

(76)

y, en general, cuando se toma un tamao mnimo L ^ , estas pueden generalizarse en:

F(L) = 1 -

( i \

D

V^nun

J

(77)

y en:

f(L) =

D

f

L

V " >

V ^ r n i n )

(78)

cuando L > L,. y D > 0.

Los valores de la media |i

L

y la desviacin estandard o

L

tambin pueden

relacionarse con L ^ segn las expresiones que figu ran a continuacin, segn los casos

del valor que tenga D :

M

L

=

D

D - l

L,, ; cuando D > 1

nun '

(79)

5 2


69/461

Captulo S.

Fraclalesautosemejantes.

u

L

= oo ; cuando 0 < D 1

''fe)

fe

:*'*

o

L

= oo ; cuando 0 < D < 2

(80)

(81)

(82)

adems, se verifica que, conocidos los parmetros de la distribucin espacial de puntos,

descrito c om o un vue lo de Levy, entonces la distancia mnima media del pro ceso e s:

L =

(83)

y su dimensin fractal:

D = l +

(84)

siempre y cuando D > 2.

5.1.5.EJEMPLOS

DE APLICACIN

DE P U N F R A C .

Como muestra de lo que el cdigo PUNFRAC puede proporcionar, se presentan

a continuacin una serie de ejemplos, en los que se representan los ficheros que

corresponden con el fractal F generado, y la curva que se ha utilizado para su c lculo en

funcin de la escala. Los cuatro algoritmos han sido probados en la generacin de 500

puntos sobre un domino cuadrado y cbico, en dimensin dos y tres, de longitud 1 de

lado.

Los ejempics cada algoritmo se ha probado utilizndolo para generar fractales de

dimensin fractal de

0'5,1'O

y 1*5 .

Finalmente se presenta una posible aplicacin real del programa desarrollado,

para su utilizacinb como generador de puntos de soporte de fracturas, en la generacin

de me dios cristalinos fracturados, supuestas las fracturas com o planos triangulares, c uyo

punto de ap oyo e s uno de los vrtices.

53


70/461

Captulo 5.

Fractales

autoseme jantes.

Generadorbox-jerarquico.

Ejemplos con 500 puntos.

Puntos de soporte generados

Grfica del proceso de generacin

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0 3

0.2

0 1

0.0

1 0 ' = -

* & *

\

i i i i i i i i i

10

2

10'

10

" - - :

> ' ~ ~

. l : . . s

. .

- i=

I

l i l i l I J I I I M l i l i l I I l i l i l

i0

4

10 * lO-* 10 10-* 10-'

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

E

Figura2 9.

Generacin

d e 500 puntos

segn

box-ale atorio. D imensin fractal

= /

10

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0


vssr

& 2 k

I I I I I I


10 *

r

10'

z

10

1

10"

:s: 3 x:::i::l: tefe::: :?:

10

4

10

i

HUM i IIII i u n i niim i HUM i

10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

s

Figura3 0.

Generacin

d e 500 puntos

segn

box-aleatorio. Dime nsin fractal

=

I'5

55


72/461

Captulo 5.


Generador

radial-unitario.



Grficadelproceso de generacin

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

O.S

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

8

o y

- 0

O

T

V 9

9

. *

t e

9

"

* - ? - o "

9

\

V i i

a

i b n ? L

1 0 ' p

10

2

10 ' r -

10 - *

10"

6

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Figura

31.

Generacin

d e 500 puntos

segn

rad iai-initario. D imensin fractal

=

0'5


1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0 3

0.2

0.1

0.0

,* &

=na


73/461

Captulo5.


Generador

radial-equidistante.


Puntos

de

soporte generados

1.0

0.9

0.8

0.7

0 6

0.5

0.4

0 3

0.2

0.1

0.0

>


0.0 0.1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.7

0.8 0.9 1.0

Figura

34.

Generacin

de 500

puntos segn

radial-equidistante.

Dimensin

fractal

'S

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0


io

5

e

- A

10"

Grfica

del

proceso

de

generacin

" < "

" * * ' " " io

J

10'

e

ox-jerrquico.

Dimensin fractal =

t

1 l l l l t

11

1'5

)

58


75/461

Captulo5.

FractnlesA

utosemejantes.

Generador

radial-uniforme.

Puntos

generados.

Curva

del

proceso

de

generacin.

j i i i i m i i i i H I I I J

10

1

Figura39.Generacind e 5 00puntos segnrad ial-uniforme.Dimensin fracta l

=

I'5

10"

Generadorradial-equidistante.

Puntos

generados.

Curva

del

proceso

de

generacin.

J I I l i l i l I I I. I L.I 11

1Q< 10*

Figura40 .Genracind e 5 00puntos segnrad ial-equid istante.Dimensin fracial

=

J'5

59


76/461

Captulo S.

Pradales autosemejantes.

5.1.6.EJEMPLOS DE APLICACIN DE

PUNFRAC

EN LA SIMULACIN DE MEDIOS

GEOLGICOS.

Dentro dei camp

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