UN ACERCAMIENTO A LA GEOMETRÍA FRACTAL

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Un acercamiento a la Geometría F r a c t a l

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Un acercamiento a la

GeometríaF r a c t a l

1) Introducción (texto leído)

2) ¿Qué es un objeto fractal?

3) La propiedad de homotecia

4) La dimensión

4.1 Dimensión topológica

4.2 Dimensión fractal

5) Construcción de fractales

6) Fractales famosos (en orden cronológico a su descubrimiento)

7) Galería fractálica

8) Geometría analítica fractal

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

¿Qué es un

objeto fractal?

Definición: Un objeto fractales un ente geométrico que posee la propiedad deautosemejanza y se loconstruye en un espacio dedimensiones fraccionarias, mediante un procedimiento iterativo ad infinitum de lafunción que lo genera.

•Fractal: Del latín

fractus, que significa fracturado, fraccionario, irregular, no liso, aserrado, rugoso, discontinuo o indiferenciable, etc.

Esta propiedad se observa en

objetos geométricos que

conservan su estructura tanto en la

escala macro como en la micro.

Cuando encontramos objetos así,

decimos que su estructura es

“invariante al cambio de escala”.

La propiedad de autosemejanza

Autosemejanza en el “Helecho matemático”

Autosemejanza en el “Helecho matemático”

Autosemejanza en los “cuadrados armónicos”

Autosemejanza en los “cuadrados armónicos”

Autosemejanza en la curva de Koch

Autosemejanza en el triángulo de Sierpinski

Autosemejanza en la carpeta de Sierpinski

Autosemejanza en la esponja de Menger

Autosemejanza en las magnolias fractales

Autosemejanza en las bóvedas fractales

Bronquios iterativos en un dominio planoAutosemejanza en los bronquios fractales

Autosemejanza en las bóvedas fractales

Dimensión

topológica

y

dimensión fractal

• ¿QUÉ ENTENDEMOS POR

DIMENSIÓN?

• ¿ QUÉ ENTENDEMOS POR

PUNTO?

Dimensión Topológica

= = conjunto vacío D = -1

• D = 0

D = 1

D = 2

D=3.

.

.

Relación entre la escala y el número de partes

Consiguientemente la relación entre la escala r y el número N de

elementos será: dimensión 1: Nr1 =1; dimensión 2: Nr2=1;

dimensión 3: Nr3=1 ; … dimensión D: NrD =1. De esta última

ecuación se obtiene

r

ND

1log

log

1

1

1

¿QUÉ ES LOGARITMO?

+ EJEMPLOS

DESPEJE DE LA FÓRMULA A PARTIR DE

LAS PROPIEDADES DE LOS

LOGARITMOS

r

ND

1log

log

Dimensión fractal

Como se puede constatar, en esta ecuación la

dimensión D puede tomar valores numéricos

enteros o fraccionarios. Cuando D toma estos

últimos se denomina dimensión fractal.

Ejemplos

...4649735.13log

5logD

...2618.13log

4logD

13log

3logD

Ejemplos

...4649735.1D

...2618.1D

1D

Como hemos podido percatarnos,

un objeto fractal está básicamente

caracterizado por dos aspectos, a

saber: la propiedad de Homotecia

o autosemejanza y la dimensión

fraccionaria o fractal en la que está

construido.

Conclusión

CONSTRUCCIÓN

DE

FRACTALES

EL “ COPO DE NIEVE“ DE

KOCH

Iniciador Generador

l =1

Generador

35

2Área

Construción del Triángulo de Sierpinski

Triángulo de

Sierpinski

Construcción de la carpeta de Sierpinski

La carpeta de Sierpinski

La esponja de Menger en el espacio euclideano

Menger (1902-1985)

La esponja de Menger en el espacio euclideano

Menger (1902-1985)

La esponja de Menger en el espacio esférico

Los fractales más famosos

5) La esponja de Menger

El cuadrado de Sierpinski como antena de un celular

Curva de Peano

Curva de Hamilton

Fractales del

sistema L

Los L-sistemas consisten en un dialecto del leguaje de la geometría fractal que fue concebido en 1968 por el biólogo Aristid Lindenmayer

(1925-1989) para describir el proceso natural de las plantas. Posteriormente, en 1984, fue adaptado por A. R. Smith a la tecnología de los PC para generar patrones fractales.

La idea central de Lindermayer consistió en

crear hileras de palabras, mediante un proceso

iterativo, de suerte que cada hilera h(n+1)

pueda ser obtenida de la hilera h(n) al

aplicar la reglas de producción o

crecimiento.

Los símbolos utilizados para formar las

hileras de palabras son letras ordinarias

como F, G, R, etc., y algunos símbolos

como + y - .

La curva de Koch como sistema L

Alfabeto: F, +, -

Axioma: F

Reglas: F -> F + F - - F + F

+ -> +

- -> -

Significado: F = Avanzar una unidad

+ = Giro de 60º

- = Giro de - 60º

Paso 1: F

Paso 2: F + F - - F + F

Paso 3:(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)- -(F + F - - F + F)+(F + F - - F + F)

Construcción de objetos reales

Generación de

paisajes

fractales

Fractales del tipo

SIF o Sistemas

Iterados de

Funciones

El Brócoli SIF

F

Los fractales del tipo SIF se establecieron en 1981. Una

década más tarde M. Barnsley publicó su popular libro fractals

everywhere, donde presenta la matemática de los SIF y prueba

el Teorema del Collage, que establece las condiciones

necesarias y suficientes para que un SIF pueda generar una

imagen. Con este invento nos encontramos en la privilegiada

situación de crear imágenes por codificación matemática, o sea,

se puede ir de una imagen a un sistema iterado de funciones que

pueda generar la original tan exacta como queramos. Ahora

bien, por un lado tenemos que la matemática fractal puede

generar imágenes cuasi reales y, por otro, con los SIF puedo

hacer el proceso inverso. Conclusión: Así pues, el logro más

significativo de la geometría fractal consiste en la codificación

de imágenes reales en conjuntos muy pequeños de números, que

son parámetros para un conjunto de funciones que envían una

región del espacio bidimensional sobre si misma.

En principio, una escena con cualquier

nivel de complejidad y detalle puede ser

almacenada y manejada con números,

dando lugar a una imagen con más de

300.000 pixeles y 8 bits por punto desde

un archivo con una semilla inicial de 1-

KB. Por ejemplo, un helecho puede ser

codificado usando 24 bits en los datos,

requiriendo tan solo cuatro funciones, cada

una con seis parámetros.

Universo homogéneo versus universo fractal

Está aceptado que a pequeña escala el universo no es

homogéneo. El universo tiene estructura fractal en escalas de

hasta 50 millones de años luz.

Dos opiniones:

1. El universo, a grandes escalas, es homogéneo.

2.El universo, a grandes escalas, tiene estructura fractal de

dimensión:

- Dimensión 1,00 (Mandelbrot)

- Dimensión 2,00 (L. Pietronero)

- Dimensión 1,2 - 1,5- 2,2 (otros autores)

Indicaciones de que nuestro universo (visible) posee

estructura fractal.

Método 1.

M(r) es el número de galaxias en un

círculo de radio r centrado en la Tierra.

Si la distribución fuese homogénea, M(r)

crecería como r 3.

En una escala de 450 millones de años

luz, M(r) crece como r 2.

Universo homogéneo versus universo fractal

Universo homogéneo versus universo fractal

Indicadores de que nuestro universo (visible) posee

estructura fractal

Método 2.

C(r) es el número medio de galaxias

en un círculo de radio r.

Si la distribución fuese homogénea,

C(r) crecería como r 3.

En una escala de 450 millones de años

luz, C(r) crece como r 2 (otros autores

deducen exponentes distintos).

Ejercicios

Galería

fractálica

Conjunto de

MANDELBROT

Benoit Mandelbrot

CZZ 0

B u d d h a b r o t

Espiral fractal

Julia-Menge

C u a t e r n i ó n

Curva C de Levy

Way into my microchip

“W o r l d e g g"

Thailand-1

Scorpion fog

Blackhole

Blackhole Sun

Mutant daisies

BorgArt

Cuchillo en la oscuridad

Los fractales más

famosos

Matemático alemán nacido en San Petersburgo, Rusia y fallecido en Halle. Ya en la escuela mostró talento por las matemáticas, haciendo posteriormente de ellas su profesión, al obtener el puesto de profesor en la universidad de Halle en 1872. En 1874 Cantor empezó a introducir conceptos extraños de lo infinito, estableciendo que para tratar el infinito se debe establecer una correspondencia biunívoca entre dos sucesiones cualesquiera. De este modo se puede razonar que la cantidad de números pares es igual a la de los números naturales, diferenciando entre la aritmética de lo infinito y la aritmética familiar de los números finitos. Cantor construyó una estructura lógica completa, en la cual se postulaba que una serie completa de

números transfinitos, representaba diferentes órdenes o categorías de infinitos. De esta manera todos los números racionales podían establecer una igualdad a la serie de números enteros, pero no así los números racionales más los irracionales. Estos eran los números reales y representaban números

transfinitos más elevados que los números enteros. Así la definición de Cantor de número real identifica a este último con una sucesión convergente de números racionales

El Conjunto de G. Cantor (1845 -1918)

0 1

Fig. 1

La sucesión que describe este proceso de extracción es:

[A1] ,...}23

1,...,8

3

1,4

3

1,2

3

1,

3

1{)( 1

4321

n

nnS

1) El Conjunto de G. Cantor (1845 -1918)

Después de observar detenidamente,

cómo en cada paso de la construcción

van quedando los dos puntos extremos

de los segmentos involucrados,

concluimos que al n-ésimo paso habrá

2n puntos. Consiguientemente, cuando

n sea infinito habrá infinito número de

ellos.

El conjunto infinito de puntos que obtengo al final de este proceso se denomina conjunto C o “polvo” de Cantor. Aquí, lo más asombroso es que C contiene tantos puntos como el intervalo [0,1], pues los dos tienen la misma numerosidad, 1.

2

3

21

3

2

3

2)(

1

n

S

n

n

n

13

2

2

1)(

La suma de los términos de la sucesión [A1], donde n Z+ que tiende a

infinito, resulta:

Y, la suma de la progresión geométrica infinita de razón igual a 2/3 es:

[A1] ,...}23

1,...,8

3

1,4

3

1,2

3

1,

3

1{)( 1

4321

n

nnS

Por lo tanto, , que es la

longitud del segmento inicial. ¡Eh aquí una paradoja!: por un lado, comprobamos que la suma de las longitudes de los segmentos extraídos es 1, lo que significa que no quedó nada del segmento inicial después de las infinitas extracciones y, por otro, tenemos a C conteniendo infinitos puntos como producto de la pulverización que sufrió el segmento unitario y con una longitud igual a cero.

122

1)(

Este fractal data de 1904, cuando fue creado

por el matemático sueco Helge von Koch.

Helge von Koch

(1879-1924)

2) La curva de Koch

A diferencia del conjunto de Cantor éste se genera por una sucesión infinita de adiciones de segmentos de recta a un segmento inicial como se observa en la figura 2.

La sucesión que describe este

proceso es:

[A2] ,...}43

1,...,4

3

1,4

3

1,4

3

1,

3

1{)( 13

4

2

321

n

nnS

2) La curva de Koch

El proceso anterior es repetido hasta el infinito, o, mejor dicho, hasta

donde haya resolución en la pantalla del televisor, y lo que quede al

final será siempre la curva de Koch, K.

Para saber cuán larga es la curva K bastará sumar la longitud de los

segmentos que hemos añadido.

Así, de [A2] se tiene:

La expresión es la suma de los términos

de una progresión geométrica infinita de razón igual a 4/3. Y, como 4/3

es mayor que 1, resulta que la suma es infinita.

n

n

n

n

n

n

1

1

13

4

4

14

3

1)(

n

n

nS

13

4)(

Crecimiento bajo el área de la curva de Koch

3) El triángulo de Sierpinski

El matemático polaco W. Sierpinski creó varias figuras fractales, entre ellos, el célebre triángulo que lleva su nombre.

Waclaw Sierpinski (1882-1969)

Construcción del triángulo de Sierpinski

La sucesión que describe este proceso de extracción infinita es:

[A3]

Ahora, sumemos los términos de esta sucesión:

Pero, la expresión: es la suma de una progresión

geométrica infinita de razón ¾ , por tanto

,...}34

1,...,3

4

1,3

4

1,3

4

1,

4

1{)(

13

4

2

321

n

nnS

n

n

n

n

n

n

1

1

14

3

3

13

4

1)(

n

n

nS

14

3)(

3

4

31

4

3

4

3)(

1

n

S

Consiguientemente, , que

es el área unitaria inicial. O sea que, el

área removida en el triángulo de

Sierpinski es exactamente toda el área

inicial. Sin embargo, queda un

remanente de infinitos puntos

dispuestos en forma de “polvareda” .

133

1)(

Construcción de la carpeta de Sierpinski

La carpeta de Sierpinski

La esponja de Menger en el espacio euclideano

Menger (1902-1985)

La esponja de Menger en el espacio euclideano

Menger (1902-1985)

La esponja de Menger en el espacio esférico

Los fractales más famosos

5) La esponja de Menger

El cuadrado de Sierpinski como antena de un celular