Transf z Para CONTROL
40
TRANSFORMADA z SEÑALES Y SISTEMAS LINEALES UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE MINAS ESCUELA DE MECATRÓNICA
description
Transformada Z para control
Transcript of Transf z Para CONTROL
TRANSFORMADA z
SEÑALES Y SISTEMAS LINEALESUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
FACULTAD DE MINASESCUELA DE MECATRÓNICA
2
Recordar…
Sistemas de Control
3
Transformada z unilateralLa transformada z unilateral es particularmente útil para el análisis de sistemas LTI causales. Se define como
El límite inferior de cero en la sumatoria implica que la transformada z unilateral de una señal arbitraria x[n] y su versión causal x[n]u[n] son idénticas.
0
][)(k
kzkxzX
4
Algunos pares de transformada (1)
5
Algunos pares de transformada (2)
6
Región de convergencia (ROC)
La ROC de la transformada z de una señal x[n], excluye las posiciones de todos los polos donde se X(z) se vuelve infinita. Si es una señal Unilateral derecha Causal, su ROC es la región externa del círculo cuyo radio es igual a la magnitud del polo más grande, excluyendo al origen.
nx
7
Región de convergencia (ROC)
Sea
Si se considera que x[n] es unilateral derecha causal, la ROC es
(debido a que )
32)(
z
z
z
zzX
3z
3mayor
polo
Ejemplo:
Propiedades de la transformada z
9
Propiedades de la transformada z
10
Propiedad de desplazamiento a la derecha de la transformada z unilateral
La transformada z unilateral de una secuencia y su versión causalson idénticas. Un desplazamiento a la derecha de coloca aquellas muestras para las que n<0 en el intervalo donde n≥0.
][nx ][][ nunx][nx
Estos resultados pueden generalizarse de la siguiente manera:
][...]2[]1[)(][ )2()1( NxxzxzzXzNnx NNN
11
El desplazamiento a la izquierda de coloca las muestras para las que n≥0 en el intervalo n<0, con lo que éstas ya no contribuyen a la parte causal de la transformada z.
Propiedad de desplazamiento a la izquierda de la transformada z unilateral
][][ nunx
Si se desplaza sucesivamente a la izquierda, se obtiene la relación general.
][][ nunx
]1[...]1[]0[)(][ 1 NzxxzxzzXzNnX NNN
12
Polos, ceros y plano z
La transformada z de muchas señales es una función racional con la forma
Si las raíces de son y las de son , entonces también puede de expresarse en forma factorizada como:
Suponiendo que ya se han cancelado los factores comunes, las M
raíces de y las N raíces de se conocen como ceros y polos respectivamente.
NN
MM
zAzAzA
zBzBzBB
zD
zNzX
...1
...
)(
)()(
22
11
22
110
)(zN Mizi ,...,2,1, )(zD
Nkpk ,...,2,1, )(zX
))...()((
))...()((
)(
)()(
21
21
N
M
pzpzpz
zzzzzzK
zD
zNKzX
)(zN )(zD
13
Gráficas de polos y ceros
Ejemplo 4. Sea encontrar sus ceros y polos.
El grado del numerador es 2 y los dos ceros son y
El grado de l denominador es 5 y los cinco polos finitos son , y
El factor de ganancia es K=2
)54)()((
)1(2)(
2412
31
zzzz
zzzH
0z 1z
3/1z21jz jz 2
14
Función de transferencia
La respuesta de un sistema que tiene una respuesta al impulso , ante una entrada , se determina mediante la convolución . Puesto que la convolución se transforma en un producto, se tiene:
][ny][nh ][nx
][][][ nhnxny
)()()( zHzXzY )(
)()(
zX
zYzH
Respuesta del sistemas al impulso
h[n]
Función de transferencia del
sistema H(z)
Entrada x[n]
Entrada X(z)
Salida y[n]=x[n]*h[n]
Salida Y(z)=X(z)H(z)
15
Formas de representar un sistema LTI relajado
Un sistema LTI relajado puede describirse de varias maneras: por su ecuación en diferencias, por su respuesta al impulso o por su función de transferencia.
Ejemplo 5: Sea la función de transferencia y su respuesta al impulso se obtiene de la siguiente manera:
][2]1[8.0][ nxnyny
)(2)(8.0)( 1 zXzYzzY
8.0
2
8.01
2
)(
)()(
1
z
z
zzX
zYzH
][)8.0(2][ nunh n
16
Estabilidad de sistemas LTI
En el domino del tiempo, la estabilidad entrada acotada-salida acotada (BIBO) de un sistema LTI requiere que la respuesta al impulso h[n] sea absolutamente sumable.
En un sistema causal, esto equivale a requerir que todos los polos de la función de transferencia H(z) se encuentren dentro del círculo unitario en el plano z.
• Los polos fuera del círculo unitario producen un crecimiento exponencial.
• Los polos múltiples (repetidos) sobre el círculo unitario producen siempre un crecimiento polinomial.
17
Estabilidad de sistemas LTI (2)
• Los polos simples (no repetidos) sobre el círculo unitario también puede causar una respuesta no acotada.
• Si un sistema tiene sus polos simples sobre el círculo unitario, también se le conoce como marginalmente estable. Si tiene todos sus polos y ceros dentro del círculo unitario entonces se le conoce como sistema de fase mínima.
18
Forma General de la Respuesta Natural para sistemas discretos LTI según las raíces de la
ecuación característica
RAIZ DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA
FORMA DE LA RESPUESTA NATURAL
Real y distinta:
Conjugada compleja:
Real, repetida:
Compleja, repetida:
r
jre
1pr
1 pjre
nKr
)()cos( 21 nsenKnKr n
)...( 2210
pp
n nKnKnKKr
)...)(cos( 2210
pp
n nAnAnAAnr
)...)(( 2210
pp
n nBnBnBBnsenr
19
Forma General de la Respuesta Forzada según la función de entrada
Si la función forzada es donde es también una raíz de la ecuación característica repetida p veces, la respuesta forzada se multiplica por
npn
Función para la respuesta forzada (RHS)
Forma de la respuesta forzada
(constante) (otra constante)
(vea nota) o
(vea nota)
(vea nota)
(vea nota)
0C
n)cos( n
)cos( nn
npn
nnnpn
)cos( nn
1C
nC
)()cos( 21 nsenCnC )cos( nC
)()cos( 21 nsenCnCnnCC 10
ppnCnCnCC ...2
210
)( 10 nCCn
)...( 2210
pp
n nCnCnCC
)()()cos()( 4321 nsennCCnnCC
20
Estabilidad y la ROC (1)La ROC de un sistema estable siempre incluye al circulo unitario.
En un sistema causal estable todos los polos deben encontrarse dentro del circulo unitario.
Estabilidad y la ROC (2)
Sea
La ROC es , su respuesta al impulso es , y el sistema es causal. En lo que respecta a la estabilidad, se requiere que para que la ROC incluya al círculo unitario.
z
zzH )(
z ][][ nunh n
1
Ejemplos:
21
Sea un sistema con función de transferencia: 1
)(
z
zzH
2
2
)1()()(
z
zzHzX
Con entrada igual al escalón u[n]:
La respuesta del sistema se hallará como:
1)(
z
zzX
Esta respuesta presenta crecimiento polinomial, ya que su transformada inversa contiene una rampa
22
Transforma z inversaLa definición de inversión formal que produce a a partir de involucra una integración compleja y está descrita por:
En está expresión, Γ describe un contorno de integración que se recorre en dirección de las manecillas del reloj (tal como el círculo unitario) y que encierra el origen. La evaluación de está integral puede realizarse utilizando alternativas más sencillas como la división larga y el desarrollo en fracciones parciales.
][nx )(zX
dzzzXj
nx n 1)(2
1][
23
Transforma z inversa por medio de división larga (1)
Este método requiere que sea una función racional junto con su ROC)(zX
Para una señal unilateral derecha, los polinomios del numerador y del denominador se acomodan en potencias ascendentes de z, y se emplea la división larga para obtener una serie de potencias decrecientes de z, cuya transformada inversa corresponde a la de una secuencia unilateral derecha
Para una señal unilateral izquierda, el numerador y el denominar se acomodan en potencias descendientes de z, y se emplea la división larga para obtener una serie de potencias ascendentes de z, cuya transformada inversa corresponde a la de la secuencia unilateral izquierda
24
Transforma z inversa por medio de división larga (2)
Ejemplo 7: Encuéntrese la inversa lateral derecha de
Primero se acomodan los polinomios en orden descendente de potencias de z y se usa la división larga para obtener:
21
4)(
zz
zzH
...432
321
41
zzz
zzz
1
1
3
1
z
zz
21
21
34
333
zz
zz
...4
44432
321
zz
zzz
Este resultado conduce a . Por tanto la secuencia puede escribirse como:
321 43)( zzzzH
,...}4,3,1,0{][
nh
25
Transforma z inversa por medio de fracciones parciales (1)
Un método de inversión de la transformada z mucho más útil es el que se basa en el desarrollo de fracciones parciales, donde los términos resultantes tienen una transformada inversa que puede identificarse usando una tabla de pares de transformadas.
El método es analógico al cálculo de la inversa de las transformadas de Laplace pero con una diferencia importante: puesto que en la transformada z de las secuencias normales siempre aparece un factor de z en el numerador, es más conveniente realizar el desarrollo en fracciones parciales de
Después se multiplica por z para obtener los términos que describen a X(z).
z
zXzW
)()(
26
Transforma z inversa por medio de fracciones parciales (2)
Transforma z inversa por medio de fracciones parciales (3)
Factores lineales distintos
Si W(z) contiene sólo factores lineales distintos, entonces puede expresarse como:
Para encontrar el m-ésimo coeficiente , se multiplican por ambos miembros, con lo que se obtiene:
27
N
N
N pz
K
pz
K
pz
K
pzpzpz
zPzW
...
))...()((
)()(
2
2
1
1
21
mK )( mpz
N
mNm
mm pz
pzKK
pz
pzKzWpz
)(
......)(
)()(1
1
mpzmm zWpzK
)()(
Al evaluar ambos miembros en , el valor de es:mKmpz
28
Transforma z inversa por medio de fracciones parciales (4)
Ejemplo 8: Factores lineales distintos
Encuéntrese la inversa de
Primero se forma el cociente y después se desarrolla en fracciones parciales, con lo que se tiene:
Después de multiplicar por z se llega a:
Y su transformada inversa
)5.0)(25.0(
1)(
zzzX
z
zXzW
)()( )(zW
5.0
8
25.0
168
)5.0)(25.0(
1)()(
zzzzzzz
zXzW
5.0
8
25.0
168)(
z
z
z
zzX
][)5.0(8][)25.0(16][8][ nununnx nn
29
Transforma z inversa por medio de fracciones parciales (5)
Si el denominador de W(z) contiene el término repetido , el desarrollo en fracciones parciales que corresponde a este tipo de términos tiene la forma:
La evaluación de los coeficientes de las raíces repetidas requiere de (y sus derivadas). Con esto se obtiene de manera sucesiva:
krz )(
rs
A
rs
A
rs
AostérotrossX k
kk
1
110 ...)()(
)min_()(
jA
)()( zWrz k
rzk zWrzA
)()(0
rz
k zWrzdz
dA
)()(1
rz
k zWrzdz
dA
)()(
!2
12
2
2
rz
kn
n
n zWrzdz
d
nA
)()(
!
1
30
Transforma z inversa por medio de fracciones parciales (6)
Ejemplo 9: Raíces repetidas, Encuéntrese la inversa de
Se obtiene y se desarrolla en fracciones parciales
El valor de las constantes es:
Luego de reemplazar las constantes y multiplicar por z se obtiene la inversa
)2()1()(
2
zz
zzX
z
zXzW
)()(
1)1(2)2()1(
1)()( 1
20
2
z
K
z
K
z
A
zzz
zXzW
1)1(
1
22
zz
A 1)2(
1
1
0
zz
K 1)2(
1
1
0
z
zdz
dK
1)1(2)(
2
z
z
z
z
z
zzX ][)12(][][][)2(][ nunnunnununx nn
31
ROC e inversiónEjemplo : Encuentre la transformada inversa de:
El desarrollo de fracciones parciales comienza por obtener
para después multiplicar por z:
)5.0)(25.0()(
zz
zzX
z
zXzW
)()(
5.0
4
25.0
4)(
z
z
z
zzX
La ROC del sistema causal es , ya que incluye al circulo unitario el sistema es estable. Su transformada inversa es:
5.0z
][)5.0(4][)25.0(4][ nununx nn
32
Teoremas del valor inicial y del valor final (1)
Los teoremas del valor inicial y del valor final sólo funcionan para la transformada z unilateral y la parte propia de una transformada z racional X(z).
Teorema del valor inicial:
Teorema del valor final:
El teorema del valor final tiene sentido sólo si: Los polos de se encuentran dentro del círculo unitario.
1. x[∞]=0 si todos los polos de X(z) se encuentran dentro del círculo unitario (puesto que x[n] sólo contendrá términos amortiguados exponencialmente)
2. x[∞] es constante si existe un solo polo en z=1 (dado que entonces x[n] incluirá un escalón)
3. x[∞] es indeterminado si existen polos conjugados complejos sobre el círculo unitario (dado que entonces x[n])
)(]0[ lim zXxz
)()1(][ lim1
zXzxz
)()1( zXz
Teoremas del valor inicial y del valor final (2)
33
Ejemplo 12: Sea
Entonces:
Valor inicial:
Valor final:
)5.0)(1(
)2()(
zz
zzzX
1)5.01)(1(
21lim)(lim]0[
11
1
zz
zzXx
zz
25.0
)2(lim)()1(lim][lim
11
z
zzzXznx
zzn
Transformada z de señales periódicas conmutadas
34
La transformada z de una señal periódica conmutada con periodo N Está dada por:
Ejemplo 13: Encuéntrese la transformada z de una señal periódica cuyo primer periodo es
El periodo de es N=3. Entonces, la transformada z de es
][][ nunxp
Nz
zXzX
1
)()( 1 es la transformada z del
primer periodo de )(1 zX
][1 nx
}2,1,0{][1
nx
][nx ][nx
3
211
1
2
1
)()(
z
zz
z
zXzX
N
Transformada z y el análisis de sistemas
35
La transforma z unilateral también es una herramienta muy útil para el análisis de los sistemas LTI descritos por ecuaciones de diferencias o funciones de transferencia. Por supuesto, la clave reside en que los métodos de solución son mucho más simples en el dominio de la transformada debido a que la convolución se transforma en una multiplicación. Naturalmente, la solución en el dominio del tiempo requiere de una transformación inversa, penalización que exigen todos los métodos del dominio de la transformada.
Sistemas descritos por ecuaciones de diferencias.
36
Para un sistema descrito por una ecuación de diferencias, la solución se basa en la transformación de la ecuación de diferencias usando la propiedad de desplazamiento e incorporando el efecto de las condiciones iníciales, efectuando después la transformación inversa usando fracciones parciales para obtener la respuesta en el tiempo.
Ejemplo 13: Resuélvase la ecuación en diferenciasCon y[-1]=-2.
][)25.0(20]1[5.0][ nunyny n
25.0
2]}1[)({5.0)( 1
zyzYzzY
)5.0)(25.0(
)25.0()(
zz
zzzY
La transformación usando la propiedad de desplazamiento a la derecha produce:
El desarrollo en fracciones parciales es: 5.0
3
25.0
2
)]5.0)(25.0(
25.0)(
zzzz
zzY
Después d multiplicar por z y tomar la transformada inversa, se tiene:
5.0
3
25.0
2)(
z
z
z
zzY ][])5.0(3)25.0(2[][ nuny nn
Sistemas descritos por la función de transferencia (1)
La respuesta Y(z) de un sistema LTI relajado es igual al producto X(z)H(z) de la transformada de la entrada y la función de transferencia
Si el sistema no está relajado , las condiciones iníciales entregan una contribución adicional, la respuesta de entrada cero , para evaluarla , primero se construye la ecuación de diferencias para el sistema y luego se usa la propiedad de desplazamiento para transformarla cuando hay condiciones iníciales.
ziY
Es posible expresar la respuesta de estado cero Y(z) de un sistema relajado ante una entrada X(z) como Y(z)=X(z)H(z).
Sistemas descritos por la función de transferencia (2)
Ejemplo 14: Sea .
Sea la entrada y las condiciones iníciales
1. Respuesta de estado cero
La respuesta de estado cero se obtiene directamente de como
Después de desarrollar en fracciones parciales y la transformación inversa, se tiene:
61
612
2
)(
zz
zzH
][4][ nunx 12]2[,0]1[ yy
)(zH
)1)()((
4
)1)((
4)()()(
31
21
3
61
612
3
zzz
z
zzz
zzHzXzYzs
1
64.04.2
31
21
z
z
z
z
z
zYzs ][6][)(4.0][)(4.2][ 3
121 nunununy nn
zs
Sistemas descritos por la función de transferencia (3)
2. Respuesta de entrada cero
Primero se construye la ecuación de diferencias. Se comienza con , con esto, se tiene:
Ahora con x[n]=0 (entrada cero) y se transforma esta ecuación empleando la propiedad de desplazamiento a la derecha, para obtener
Utilizando las condiciones iníciales
El desarrollo en fracciones parciales y la transformación inversa
61
612
2
)(
)()(
zz
z
zX
zYzH )()(]1[ 2
611
61 zXzYzz
ziY
0]}2[]1[)({6
1]}1[)({
6
1)( 121 yyzzYzyzYzzY zizizi
))((
22
31
21
2
61
612
2
zz
z
zz
zYzi
31
21
8.075.0
z
z
z
zYzi ][)(8.0][)(2.1][ 3
121 nununY nn
zi
40
Referencias
• AMBARDAR, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y
digitales. THOMSON.
![Transf Genes Plantas [Autoguardado]](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/55cf9c27550346d033a8cc32/transf-genes-plantas-autoguardado.jpg)
