3 Transf de Laplace

Transformada de LaplaceMatematicas V - Unidad 3

Ruben Hernandez Rodrıguez

ITSSPC

julio 2010

Ruben Hernandez Rodrıguez (ITSSPC) Transformada de Laplace julio 2010 1 / 18

Transformada de LaplaceDefinicion

La transformada de Laplace es una tecnica de transformacion que relaciona funciones de tiempoa funciones dependientes de frecuencia de una variable compleja. Esto permite reducir laderivacion y la integracion a simples operaciones algebraicas permitiendo resolver ED’s de unamanera sencilla.

DefinicionSea f (t) una funcion definida para t ≥ 0.Entonces la transformada de Laplace se define

como:

L{f (t)} .= limP→∞

∫ P

0e−st f (t)dt

la cual es una integral impropia y se puedereescribir como:

L{f (t)} =

∫ ∞0

e−st f (t)dt = F (s)

donde s = jw y j =√−1


Condiciones de existencia de la Transformada de LaplaceContinuidad seccional por trazos

Se dice que una funcion es seccionalmente continua o continua a trazos sien un intervalo α ≤ t ≤ β si es posible partir el intervalo en un numerofinito de subintervalos de tal manera que la funcion sea continua en cadauno de ellos y tenga lımites de izquierda a derecha.


Condiciones de existencia de la Transformada de LaplaceFunciones de orden exponencial

Se dice que f (t) es una funcion de orden exponencial γ si se cumple la desigualdad:

|f (t)| ≤ Meγt

Ejemplos

f (t) = t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces |t| ≤ et

f (t) = e−t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces∣∣e−t

∣∣ ≤ et

f (t) = 2 cos t es de orden exponencial puesto que si M = 2 y γ = 1, entonces|2 cos t| ≤ 2et

f (t) = et2

no es de orden exponencial puesto que no existe una γ que haga que et2

seamenor a Meγt

Condicion suficiente para la existenciaSi f (t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito y de orden exponencial, entonces latransformada de Laplace, existe.


Condiciones de existencia de la Transformada de LaplaceFunciones de orden exponencial

Se dice que f (t) es una funcion de orden exponencial γ si se cumple la desigualdad:

|f (t)| ≤ Meγt

Ejemplosf (t) = t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces |t| ≤ et

f (t) = e−t es de orden exponencial puesto que si M = 1 y γ = 1, entonces∣∣e−t

∣∣ ≤ et

f (t) = 2 cos t es de orden exponencial puesto que si M = 2 y γ = 1, entonces|2 cos t| ≤ 2et

f (t) = et2

no es de orden exponencial puesto que no existe una γ que haga que et2

seamenor a Meγt

Condicion suficiente para la existenciaSi f (t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito y de orden exponencial, entonces latransformada de Laplace, existe.


Transformada de Laplace de funciones basicasobtencion mediante la definicion

La transformada de una constante A se obtiene mediante:

L{A} =

∫ ∞0

Ae−stdt

= A

∫ ∞0

e−stdt

= −A[e−st

s

]∞0

= −A[e−∞

s− e−0

s

]= A

1

s




L{A} =

∫ ∞0

Ae−stdt

= A

∫ ∞0

e−stdt

= −A[e−st

s

]∞0

= −A[e−∞

s− e−0

s

]

= A1

s




L{A} =

∫ ∞0

Ae−stdt

= A

∫ ∞0

e−stdt

= −A[e−st

s

]∞0

= −A[e−∞

s− e−0

s

]= A

1

s



La transformada de f (t) = t se obtiene mediante:

L{t} =

∫ ∞0

te−stdt

=

[(t)

(−e−st

s

)−∫ −e−st

sdt

]∞0

=

[−te−st

s+

1

s

∫e−stdt

]∞0

=

[−te−st

s+

1

s

−1

s

∫(−s)e−stdt

]∞0

=

[te−st

s−

e−st

s2

]∞0

=

[(∞)e−s(∞)

s−

e−s(∞)

s2

]−[

(0)e−s(0)

s−

e−s(0)

s2

]

=1

s2



Afortunadamente ya hubo alguien que se desvelo y nos heredo las tablasde transformadas de laplace de funciones basicas:

f (t) F (s)

1 −→ 1s

t −→ 1s2

tn−1 −→ 1sn

eat −→ as−a

sin ata −→ 1

s2+a2

f (t) F (s)

cos at −→ ss2+a2

sinh ata −→ 1

s2−a2

cosh at −→ ss2−a2


Funciones por tramosobtencion de su transformada

Sea la funcion

f (t) =

{sin t si 0 ≤ t ≤ 2π0 si t ≥ 2π

entonces su transformada de laplace sera:

L{f (t)} =

∫ ∞0

f (t)e−stdt

=

∫ 2π

0sin te−stdt +

∫ ∞2π

(0)e−stdt

L{f (t)} =

∫ 2π

0sin te−stdt

del calculo integral se sabe que

∫eax sin bx dx =

eax (a sin bx + b cos bx)

a2 + b2

por lo tanto

L{f (t)} =

∫ 2π

0sin te−stdt

=

[e−st (− sin t − cos t)

s2 + 1

]2π

0

F (s) =1− e−2πs

s2 + 1


Funcion escalon unitarioDefinicion

Una de las funciones mas utiles en ingenierıaaplicada, es la llamada funcion escalonunitario.La cual se define como:

u(t) =

{1 si t ≥ 00 si t < 0

Si u(t) se multiplica por una cosntantepositiva k, entonces la funcion crece:

Una propiedad importante de la funcionescalon unitario es la traslacion, es decir:

u(t − a) =

{1 si t ≥ a0 si t < a


Transformada de Laplace de la funcion scalon unitarioDefinicion

Se la funcion escalon unitario

u(t − a) =

{1 si t ≥ a0 si t < a

Entonces su transformada de Laplace sera:

L{u(t − a)} =

∫ ∞0

u(t − a)e−stdt

=

∫ a

0(0)e−stdt +

∫ ∞0

(1)e−stdt

= 0 +

[e−st

−s

]∞0

=e−as

s

Nota importante.- del resultado anterior resulta que cuandoa = 0

L{u(t)} =1

s




u(t − a) =

{1 si t ≥ a0 si t < a


L{u(t − a)} =

∫ ∞0

u(t − a)e−stdt

=

∫ a

0(0)e−stdt +

∫ ∞0

(1)e−stdt

=

0 +

[e−st

−s

]∞0

=e−as

s


L{u(t)} =1

s




u(t − a) =

{1 si t ≥ a0 si t < a


L{u(t − a)} =

∫ ∞0

u(t − a)e−stdt

=

∫ a

0(0)e−stdt +

∫ ∞0

(1)e−stdt

= 0 +

[e−st

−s

]∞0

=e−as

s


L{u(t)} =1

s


Propiedad de linealidadDefinicion

Si c1 y c2 son constantes y. f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas son F1(s) y F2(s),entonces:

L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)

Ejemplos: calcular siguientes transformadas

L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}

L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}




L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)


L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}

L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}




L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)


L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}

L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}




L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)


L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}

L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}




L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)


L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}

L{(1 + e2t)2}L{cos2t}




L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)


L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}

L{cos2t}




L{c1f1(t) + c2f2(t)} = c1F1(s) + c2F2(s)


L{4e5t + 6t3 − 3 sin 4t}L{2 cos 2t + 16t + 9}L{et+7}L{2t4}L{−4t2 + 16t + 9}L{(1 + e2t)2}L{cos2t}


Propiedad de traslacionPropiedad 1

Si L{f (t)} = F (s), y a es cualquier numero real, entonces:

L{eat f (t)} = F (s − a)

L{eat f (t)} = L{f (t)}s→s−a

Calcular las siguientes transformadas

L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}




L{eat f (t)} = F (s − a)



L{e3tt3}

L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}




L{eat f (t)} = F (s − a)



L{e3tt3}L{e2t sin 3t}

L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}




L{eat f (t)} = F (s − a)



L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}

L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}




L{eat f (t)} = F (s − a)



L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}

L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}




L{eat f (t)} = F (s − a)



L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}

L{et cosh t + e−t sinh t}




L{eat f (t)} = F (s − a)



L{e3tt3}L{e2t sin 3t}L{e4t cosh 5t}L{e−t sin t}L{e3t(t2 + 2t + 5)}L{et cosh t + e−t sinh t}



Si

g(t) =

{f (t − a) si t > a0 si t < a

entonces

L{g(t)} = e−asF (s)

Ejercicios: Calcule la transformada de Laplacede

1

g(t) =

{(t − 2) si t > 20 si t < 2

2

g(t) =

{et−3 si t > 30 si t < 3

3

g(t) =

{sin(t − 2π) si t > 2π0 si t < 2π

4

g(t) =

{(t − 1)3et−1 si t > 10 si t < 1


Transformada de funciones multiplicadas por tn

Definicion

Se una funcion f (t) multiplicadapor tn, entonces:

L{tnf (t)} = (−1)ndnF (s)

dsn

Obtenga las siguientestransformadas:

1 L{t cos at}2 L{t2 cos at}

3 L{t(3 sin 2t − 2 cos 2t)}4 L{t2 sin t}5 L{t cosh 3t}6 L{t sinh 2t}7 L{t2 cos t}8 L{(t2 − 3t + 2) sin 3t}9 L{t3 cos t}


Transformada de funciones divididas por tDefinicion

Se una funcion f (t) dividida por t,entonces:

L{f (t)

t

}=

∫ ∞s

F (u)du

Obtenga las siguientestransformadas:

1

L

{e−at−e

−bt

t

}2

L{

cos at − cos bt

t

}3

L{

sinh t

t

}


Transformada de la derivadaDefinicion

La transformada de la derivada esta definida por:

L{f ′(t)} = sF (s)− f (0)

L{f ′′(t)} = s2F (s)− sf (0)− f ′(0)

L{f n(t)} = snF (s)− sn−1f (0)− sn−2f ′(0)− · · · f n−1(0)

ejemplo: calcular la transformada de: y ′ − y = 2 cos 5t con f (0) = 0y y(0) = 0

L{dy

dt− y

}= L{2 cos 5t}

sY (s)− y(0)− Y (s) = 2s

s2 + 25

sY (s)− 0− Y (s) = 2s

s2 + 25

Y (s)(s − 1) =2s

s2 + 25

Y (s) =2s

(s2 + 25)(s − 1)


Transformada de la derivadaEjercicios

1 y ′ + 4y = e−4t , y(0) = 0

2 y ′ − y = 1 + tet , y(0) = 0

3 y ′′ + 2y ′ + y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 1

4 y ′′ − 4y + 4y = t3e2t , y(0) = 0, y ′(0) = 0

5 y ′′ − 6′ + 9y = t, y(0) = 0, y ′(0) = 1

6 y ′′ − 4y ′ + 4y = t3, y(0) = 1, y ′(0) = 0

7 y ′′ − 6y ′ + 13y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = −3

8 2y ′′ + 20y ′ + 51y = 0, y(0) = 2, y ′(0) = 0

9 y ′′ − y ′ = et cos t, y(0) = 0, y ′(0) = 0


Transformada de una funcion periodicaDefinicion

Si una funcion periodica tiene periodo T > 0,es decir, f (t + T ) = f (t) y, ademases contınua por partes de [0,∞) y de orden exponencial, entonces:

Lf (t) =1

1− e−sT

∫ T

0

−st f (t)dt

Considere la siguiente funcion

E (t) =

{1 si 0 ≤ t < 10 si 1 ≤ t < 2

entonces su solucion sera:

L{E(t)} =

1

1− e−2s

∫ 2

0e−stE(t)

=1

1− e−2s

∫ 1

0(1)e−stdt +

∫ 2

1(0)e−stdt

E(s) =2

s(1 + e−s )




Lf (t) =1

1− e−sT

∫ T

0

−st f (t)dt


E (t) =

{1 si 0 ≤ t < 10 si 1 ≤ t < 2


L{E(t)} =1

1− e−2s

∫ 2

0e−stE(t)

=

1

1− e−2s

∫ 1

0(1)e−stdt +

∫ 2

1(0)e−stdt

E(s) =2

s(1 + e−s )




Lf (t) =1

1− e−sT

∫ T

0

−st f (t)dt


E (t) =

{1 si 0 ≤ t < 10 si 1 ≤ t < 2


L{E(t)} =1

1− e−2s

∫ 2

0e−stE(t)

=1

1− e−2s

∫ 1

0(1)e−stdt +

∫ 2

1(0)e−stdt

E(s) =

2

s(1 + e−s )




Lf (t) =1

1− e−sT

∫ T

0

−st f (t)dt


E (t) =

{1 si 0 ≤ t < 10 si 1 ≤ t < 2


L{E(t)} =1

1− e−2s

∫ 2

0e−stE(t)

=1

1− e−2s

∫ 1

0(1)e−stdt +

∫ 2

1(0)e−stdt

E(s) =2

s(1 + e−s )


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