01. Transf de Laplace

Transformada de Laplace

Ing. Nilo Fernández Aquino

El método de la transformada de

Laplace convierte las ecuaciones

diferenciales lineales, de “difícil”

solución, en ecuaciones

algebraicas simples.

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace es un operador lineal

perteneciente a la familia de las integrales de transformación,

es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales

lineales ordinarias. Se puede decir que es la segunda

transformación más utilizada para resolver problemas físicos,

después de la transformación de Fourier. La transformada de

Laplace unilateral se define como:

0

)()()( dtetftfsF stLdonde:

)(sF : es la transformada de Laplace de )(tf

)(tf : es una función en el tiempo

: es una variable compleja (s = x + yj) s

: es el operador lineal de Laplace L

La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial en una

ecuación algebraica, su solución se obtiene a partir de operaciones

básica de álgebra.

No todas las funciones tienen transformada de Laplace. La transformada

de Laplace de )(tf existe si:

0

)( dtetf t

donde:

: es una constante real positiva

0)( tAetf tSi la integral convergerá para . La región de

convergencia es . Y es la abscisa de convergencia. 0cteA

Todas las señales realizables físicamente tienen transformada de

Laplace.


Ejemplo 1

• Sea f(t) = c Obtenga la transformada de Laplace para dicha

función.

s

e st

cb

Limdtec

b

Limcdtec

b

b

stst

0

00

}{L

s

c

sc

b

Lim

s

ec

b

Lim sb

11

Para S>0

Ejemplo 2

• Obtenga la transformada de Laplace para la

función f(t)=eat.

b

tastasatstat dteb

Limdtedteee

000

)()(}{L

as

tas

b

Lime

as

b

10

1

0

)(

Para s>a

Ejemplo 3


función f(t) = tn.

2

00

0

0

110

1

sdte

sdte

s

st

tdtet ststst

s

te

}{L

3

00

0

0

22 220

22

sdtte

sdte

s

tst

dttet ststst

s

et

{t}L

L }{

Ejemplo 3 (cont.)

para n=1,2,3,… 1

n

n

s

nt

!}{L

4

0

2

0

2

0

0

33 330

33

sdtet

sdte

s

tst

dttet ststst

s

et !}{

}t { 2L

L

Ejemplo 4


función f(t) = Cos(bt).

0

0

0

)()(

)()}({ dtebtSens

b

s

stebtCos

dtbtCosebtCos ststL

)}({

0

0

)()(

)1

0(

btCos

stdtebtCoss

b

s

stebtSen

s

b

s

L

Ejemplo 4 (cont.)


función f(t) = Cos(bt)

22

2

2

2

2

11

1

bs

sbtCos

ss

bbtCos

btCoss

b

sbtCos

)}({

)}({

)}({)}({

L

L

LL


Transformada de Laplace de funciones comunes

1) Escalón unitario, f(t)=1, t>0.

2) Rampa, f(t)=t, t>0.

3) Función exponencial,

0,1

)}({ ss

tfL

0,1

)}({2

ss

tfL

.0,)( tetf at

asas

tfL

,1

)}({


Transformada de Laplace de funciones comunes

4) Función escalonada (función de Heaviside)

5) Función impulso unitario, f(t)=(t)

at

atatu

,1

,0)(

0,)}({

ss

eatuL

as

1)}({ tfL


Propiedades de la transformada de Laplace

1) Linealidad Si y son constantes y si y

son funciones cuyas transformadas de Laplace son,

respectivamente y entonces

1c 2c )(1 tf )(2 tf

).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL

)(1 sF )(2 sF

Debido a esta propiedad, se dice que la transformada de

Laplace es un operador lineal.



2) Transformada de Laplace de las derivadas de una función

La transformada de Laplace de la derivada de una función está

dada por

donde f(0) es el valor de f(t) en t=0.

La transformada de Laplace de la segunda derivada de una

función está dada por

)0()()}('{ fssFtfL

)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL



En forma similar

3) Transformada de Laplace de integrales

)0()0(')0()()}({ )1(21)( nnnnn ffsfssFstfL

s

sFduufL

t )()(

0


Teoremas de la transformada de Laplace

4) Teorema del valor final

Si existe, entonces

5) Teorema del valor inicial

El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de

Laplace es F(s), es

)(lim tft

)(lim)(lim 0 ssFtf st

)(lim)(lim)0(0

ssFtff st


La transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace formalmente se define por

la siguiente integral de inversión:

jc

jcstdsesF

jtf )(

2

1)(

donde

c )(sF: es una constante mayor que cualquier punto singular de

Esta integral de inversión rara vez se usa, ya que existen otros

métodos más directos y simples. Como por ejemplo tablas de

transformadas o fracciones parciales.

.

transformada inversa

0)()( '10 tfatfa n

)(tf

Ecuación diferencial Ecuación algebraica

0)()( 10 ssFasFsa n

)(sFSolución en

transformada

L

1-L


Aplicando la transformada de Laplace a una ecuación diferencial, se

tiene una ecuación algebraica cuya solución se obtiene a partir de

operaciones básicas del álgebra. Esta solución está en función de s

y para transformarla a una función en el tiempo se necesita de La

Transformada inversa de Laplace.


Tabla de transformadas de Laplace

Algunas transformadas inversas

22

1

22

1

22

1

22

11

1

11

)(.7

)(.6)(.5

)(.41

.3

!.2.1

bs

sbtCosh

bs

bbtSenh

bs

sbtCos

bs

bbtSen

ase

s

nt

s

cc

at

n

n

L

L L

L L

L L

L es un transformador lineal

• Para una combinación lineal de funciones se

puede escribir:

• Siempre que ambas integrales converjan para

s>c. Por consiguiente se deduce que:

000

dttgedttfedttgtfe ststst)()()]()([

)}({)}({)}()({ tgtftgtf LLL

Ejercicios:

• Obtenga la Transformada de Laplace para

las funciones:

1.- f(t) = 1+ 5t2

2.- f(t) = 4e-2t + 10 Cos(2t)

3.- v(t) = 5e-t/50

Más ejercicios:

• Evalúe:

))((..

..

..

426

2

1115

1

14

4

623

62

11

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

3

1

ss

s

sss

ss

s

s

s

s

L L

L L

L L

Transformada de una derivada

)()()(

)()]()([

)()(

)()()()´´(

)()(

)()(

)()()()(

00

00

0

0

0

2

00

0

00

0

fsfsFs

ffssFs

tfsf

dttfestfedxxfexf

fssF

tfsf

dttfestfedxxfexf

ststst

ststst

L

L

L

L

Transformada de una derivada…

• De igual manera se puede demostrar que:

Si f, f´, f´´,…, f(n-1) son continuas en [0,+ ) y son

de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por

partes en [0,+ ), entonces:

)()()()()( 00023 ffsfssFsxf L

).()()()()()()()( 0000 1321 nnnnnn ffsfsfssFsxf L

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