1

Capítulo 2

Sistemas Lineales Y Funciones de Transferencia

2

Linealización

Aunque casi todo sistema real tiene características no lineales, muchos sistemas pueden describirse razonablemente por modelos lineales – al menos dentro de ciertos rangos de operación.Como normalmente un sistema de control opera en las cercanías de un equilibrio, se hace una linealización alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho más simple, pero adecuado para el diseño de control.Para un mismo sistema no lineal, la linealización alrededor de distintos puntos de equilibrio dará, en general, distintos modelos linealizados.

3

Linealización...

Dada una función f(x), podemos expandirla, alrededor de algún punto de operación x0 como en una serie de polinomios infinita usando la expansión en Series de Taylor

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )K+

−′′+−′+=!2

20

0000xxxfxxxfxfxf

4

Ejemplo: Expandir f(x) = e-x, alrededor del punto x = -2.0

Evaluando las derivadas en el punto x = -2.0 para formar la serie

MM=−=′′′

=′′

−=′

−

−

−

x

x

x

efefef

( ) ( ) ( ) ( ) K++−+++−== − 32

22

22 26

22

2 xexexeeexf x

5

Expansión cerca de cero

Del ejemplo anterior, la expansión de e-x alrededor del punto x0 = 0 es

( ) ( ) ( ) ( ) K+′′+′+=!2

0002xfxffxf

( ) K++−== − 2

211 xxexf x

6

Expansión en Series de Taylor a funciones de varias Variables.La función f(x,y) expandida alrededor de los puntos x0, y0, es

Expansión alrededor de cero (para todas las variables)

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Pasos para Linealizar un sistema dinámico

1. Resolver para el conjunto de ecuaciones en estado estable fijando todos los términos derivativos a cero, y reemplazando todas las variables restantes con sus valores nominales (e.g. xo, yo, uo). Estas ecuaciones se usarán después.

2. Rescribir las ecuaciones dinámicas originales reemplazando todas las variables con la suma de la cantidad nominal más la perturbada.(ejemplo: x = xo + Δx, y = yo + Δy , u = uo + Δu )

Observe que cualquier derivada en el tiempo de los valores nominales son cero (puesto que los valores nominales son constantes).

3. Expandir cualquier término no lineal en las variables Δ usando series de Taylor o binomiales manteniendo solo términos de primer orden.

4. Use las relaciones en el paso 1 para eliminar algunos términos.

8

Ejemplo 4: Nivel de Líquido

wPgAq orΔ

= 2

liquidoatm PPP +=

t

tliquido A

hwAPP ===Δ tanquedel árealiquido del peso

ghAq or 2=

qqq ineto −=

( )qqAA

qh itt

neto −==1&

( )ghAqA

h orit

21−=&

9

Ejemplo 5: Levitación magnética

( ) ( )

( ) ( ) ( )dt

tdiLtRite

txtiMg

dttxdM

+=

−=)(2

22

Las ecuaciones de movimiento son:

e(t) : Voltaje de entradax(t) : posición de la bolai(t) : corriente del bobinadoR : resistencia del bobinadoL : inductancia del bobinadoM : masa de la bolag : aceleración de la gravedad

Donde:

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Transformadas de Laplace y Funciones de Transferencia

Proporciona un conocimiento profundo de la dinámica del proceso y la dinámica de los sistemas realimentados.Proporciona una porción mayor de la terminología de la industria de control de procesos.NO se usa en general en forma directa en la práctica de control de procesos.

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Transformadas de Laplace

[ ] ∫∞ − ==

0)()()( sFdtetftf stL

Útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales. La técnica es aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial. Luego algebraicamente resolver para Y(s). Finalmente, aplicar la transformada inversa de Laplacepara determinar directamente y(t).Se disponen de tablas de transformadas de Laplace.

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Método para Resolver ODE’s Lineales usando Transformada de Laplace

Dominio de Laplace

Dominio del Tiempo

dy/dt = f(t,y)

sY(s) - y(0) =F(s,Y) Y(s) = H(s)

y(t) = h(t)

13

Transformada de Laplace - Idea Principal

14

Algunas Transformadas de LaplaceUsadas Comúnmente

2222

22

2

1

)()sin()sin(

)0()0()()(1

)0()()(!

)()(/1

ωωω

ωωω

θ θ

++⇔

+⇔

′−−⇔+

⇔

−⇔⇔

⇔−⇔

−

−

+

−

aste

st

ffssFsdt

tfdas

e

fsFsdt

tfdsnt

esFtfsEscalón

at

at

nn

s

Unitario

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Teorema del Valor Final

[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st →∞→ =

Permite utilizar la transformada de Laplace de una función para determinar el valor en estado estable de la función.

16

Teorema del Valor Inicial

[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st ∞→→ =

Permite utilizar la transformada de Laplace de una función para determinar la condición inicial de la función.

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Expansión en Fracciones Parciales

32)3()2(1

++

+=

+++

sB

sA

sss Expandir en términos de cada

factor del denominador.

Recombinar RHS.

Igualar términos en s y términos constantes. Resolver.

Cada término esta en una forma tal que se puede aplicar la transformada inversa de Laplace.

( ))3()2(

2)3()3()2

1++(

+++=

+++

sssBsA

sss

32

21

)3()2(1

++

+−

=++

+ssss

s

1=+ BA 123 =+ BA

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Ejemplo de Solución de una ODE

0)0(')0(2862

2

===++ yyydtdy

dtyd ODE s/condiciones iniciales

Aplicar la Transformada de Laplace a cada término

Resolver para Y(s)

Aplicar expansión en fracciones parciales

Aplicar transformada inversa de Laplace a cada término

ssYsYssYs /2)(8)(6)(2 =++

)4()2(2)(

++=

ssssY

)4(41

)2(21

41)(

++

+−

+=sss

sY

4241)(

42 tt eety−−

+−=

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Aplicando el Teorema del Valor Inicial y Final a este Ejemplo

Transformada de Laplace de la Función.

Aplicando el teorema del valor final

Aplicando el teorema del valor inicial

)4()2(2)(

++=

ssssY

[ ]41

)40()20()0()0(2)(lim =

++=∞→ tft

[ ] 0)4()2()(

)(2)(lim 0 =+∞+∞∞

∞=→ tft

20

Función de TransferenciaEcuaciones diferenciales lineales con una función general de forzamiento (entrada)

1er Orden2do Orden

etc.

Podemos resolver la ecuación para una función de forzamiento específica, pero también podemos hacerlo en general y tomar la transformada de Laplace (con condiciones iniciales cero) para llegar a una relación general entre la salida y la entrada.

Con la función de transferencia, se puede calcular convenientemente la respuesta de la salida para cualquier entrada por multiplicación.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )tkutydt

tdyadt

tydb

tkutydt

tdya

=++

=+

2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUasbs

ksYsUas

ksY1

;1 2 ++

=+

=

( ) ( ) ( )sUsGsY =

21

Funciones de Transferencia...

Definida como G(s) = Y(s)/U(s)Representa un modelo normalizado de un proceso, i.e., se puede usar con cualquier entrada.Y(s) y U(s) se escriben ambas en la forma de desviación de variables.La forma de la función de transferencia indica el comportamiento dinámico del proceso.

22

Derivación de la Función de Transferencia

23

Ejemplo 1:

24

Ejemplo 2:

25

Diagrama de Bloques

26

Álgebra de Bloques

27

Álgebra de Bloques...

28

Ejemplo 1:

29

30

Ejemplo 2:

31

32

Función de Transferencia

Generalización

33

Forma General de la Función de Transferencia

• Raices del polinomio del denominador D(s) (las cuales sonp1,...,pn) se llaman “polos” de la función de transferencia.

• Raices del polinomio del numerador N(s) (las cuales sonz1,...,zn) se llaman “ceros” de la función de transferencia

( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )m

ms

pspspszszszse

sDsNsG

sUsY

−−−−−−

=== −

L

L

21

21γθ

( ) ( )

( )2

312

411, ;3

5

,1,3 ;34

12

212

21

1212

jppss

sG

zppss

ssG

±=

−±=

+−=

−=−=−=++

+=

Polinomios de s

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Análisis “Rápido”

Dada una función de transferencia G(s), qué puede decir “rápidamente”(sin hacer ningún cálculo) acerca de la dinámica que representa la función de transferencia?

Estabilidad: La entrada retorna a su valor de equilibrio original (después de alguna excursión) → La salida regresará eventualmente a su valor original de equilibrio?Ganancia: Cambio de Salida/Cambio de EntradaSobreamortiguado o subamortiguado? Sí es subamortiguado, frecuencia de oscilación?Cualquier respuesta inversa o sobreimpulso?Velocidad de respuesta general (e.g. tiempo de establecimiento).

35

Estabilidad

Sí todos los polos tienen parte real negativa, la dinámica es estable.Sí cualquier polo tiene parte real positiva o cero, la dinámica es inestable.

Para sistemas lineales, lo mismo como “entrada acotada→salida acotada?”

36

Ejemplos

( )( )

( )

( )( )tt

t

tt

BeAess

BeAss

BeAess

52

5

5

Estable 52

1

Inestable 5

1

Inestable 51

1

−−

−

−

+++

++

++−

Función de Transferencia Estabilidad Respuesta Impulsiva

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Ganancia del Sistema

( )( )∞′∞′

==uy

Entrada laen CambioSalida laen CambioGanancia

Cambio de escalón en la entrada de tamaño M? Respuesta final en y?

( ) ( ) ( ) ( )MsGlims

MsGslimslimsYysss 0

escalón al respuesta

00 →→→=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==∞′

43421

( )( )

( )( )sGlim

M

MsGlim

uy

s

s

0

0Ganancia→

→ ==∞′∞′

=

G(0) es la ganancia! Sin embargo, esto trabaja solo cuando la dinámicaes estable. Para dinámicas inestables, la ganancia es ∞.

Teorema del valor Final

38

Ejemplos

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ∞=−=+−

=

==+++

+=

==++

=

Ganancia pero 1010

521

3520Ganancia

5277625

1010Ganancia

521

2

Gss

sG

Gsss

ssG

Gss

sG

Inestable

39

Amortiguamiento

Dinámica Subamortiguada:Entrada no oscilatoria → Respuesta oscilatoria

Sí los polos son números complejos (c/ parte imaginaria no cero), la dinámica es subamortiguada.La parte imaginaria del polo es la frecuencia de oscilación (rad/tiempo).

( )

( )

( ) estable iguado,Sobreamort 1,3 ;34

1

inestable uado,Subamortig 21, ;52

1

estable uado,Subamortig 21, ;52

1

212

212

212

−=−=++

=

±=+−

=

±−=++

=

ppss

sG

jppss

sG

jppss

sG

40

Sobreimpulso y Respuesta Inversa

La existencia de sobreimpulso y respuesta inversa se puede determinar de los ceros de la función de transferencia.

Un cero en el semiplano izquierdo (negativo) cercano al origen más que el polo dominante (el polo que esta más cercano al origen) → SobreimpulsoUn cero en el semiplano derecho (positivo) → Respuesta inversa (fase no mínima)Sí el cero en el semiplano derecho esta más cercano al origen, más pronunciada será la respuesta inversa.

41

Ejemplos

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( ) mayor inversa Respuesta cero, LHP

101z,

21,

31 ;

1213110

inversa Respuesta cero, RHP 2.51z,

21,

31 ;

121315.2

soSobreimpulSin cero, LHP 2.51-z,

21,

31 ;

121315.2

soSobreimpul cero, LHP 101-z,

21,

31 ;

1213110

121

121

121

121

=−=−=++

+−=

=−=−=++

+−=

=−=−=++

+=

=−=−=++

+=

ppss

ssG

ppss

ssG

ppss

ssG

ppss

ssG

polo dominante cercano al origen más que elpolo dominante

42

Velocidad de Respuesta

La velocidad de respuesta es determinada aproximadamente por el polo dominante (el polo que esta más cercano al origen), el cual corresponde a la constante “más lenta” de tiempo.

Tiempo de establecimiento ≈ 3-5 veces (1/polo dominante)

constante de tiempo dominante

La velocidad de todo el ensamble es gobernada por la persona más lentaen la línea

43

Resumen - Efecto de la Ubicación del Polo

44

Resumen - Efecto de la Ubicación del Cero