Métodos Numéricos para laMétodos Numéricos para la Resolución de las Ecuaciones

Diferenciales de Adsorción en un Tanque Agitado ContinuoTanque Agitado Continuo

Operaciones y Procesos Biotecnológicos II Licenciatura en BiotecnologíaLicenciatura en Biotecnología

Facultad de Bioquímica y Ciencias Biológicas U i id d N i l d l Lit lUniversidad Nacional del Litoral

Adsorción en un Tanque Agitado q gContinuo

Balance de materia del soluto en la fase líquidad d( ) ( )Fdy dqV H y y Vdt dt

ε = − − − ε1

Balance de materia del soluto en el sólido adsorbenteadsorbente

( ) dqV V r− ε =1

Condiciones iniciales

( )V V rdt

ε =1

H y H y(t)Condiciones iniciales H, yF H, y(t)y(t )= =0 0

q(t)q(t )= =0 0

Adsorción en un Tanque Agitado q gContinuo

Cuando la adsorción es controlada por la difusión externa a la partícula:difusión externa a la partícula:

( )r ka y y*= −

k: coeficiente de transferencia de materia

( )r ka y y=

a: superficie del adsorbente por unidad de volumen del tanquey*: concentración de soluto en equilibrio con el adsorbente

Isoterma de adsorción de FreundlichIsoterma de adsorción de Freundlich

( )nq K y*=nqy* ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

1q

*y( )q K y= y

K= ⎜ ⎟⎝ ⎠

y*

Adsorción en un Tanque Agitado q gContinuo

( ) ( )Fdy dqV H y y Vd d

ε = − − − ε1 ( ) dqV Vrd

− ε =1( ) ( )Fy ydt dt

( )dt

dy ( )FdyV H y y Vrdt

ε = − − ( )r ka y y*= −

( ) ( )FdyV H y y Vka y y*ε = − − −

nqy* ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1

( ) ( )FV H y y Vka y ydt

ε yK⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )n

Fdy qV H y y Vka y

⎡ ⎤⎛ ⎞ε = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟

1

( )FV H y y Vka ydt K

ε ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Adsorción en un Tanque Agitado q gContinuo

( ) dqV Vr− ε =1 ( )r ka y y*= −( )V Vrdt

ε1 ( )r ka y y

dq nq⎛ ⎞1

( ) ( )dqV Vka y y*dt

− ε = −1 qy*K

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤1

( )ndq qV Vka y

dt K

⎡ ⎤⎛ ⎞− ε = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

1

1dt K⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

E ió S i d T lExpansión en Series de Taylor

dy dy y y−i i

i

dyy y t ...dt+ = + Δ +1

i i

i

dy y ydt t

+=Δ1

dqΔ i idq q q+ −1

i ii

qq q t ...dt+ = + Δ +1

i i

i

q q qdt t

+=Δ1

i ...I= 0 i it t t+ − = Δ1 Ft ...t ... t I= = Δ0 0tΔ

tt0 t1 t2 it it +1 Itit −1 It −1... ...

Di ti ió Mét d d E lDiscretización. Método de Euler

⎡ ⎤⎛ ⎞1

( )n

i i iF i i

i

dy y y qV V H y y Vka ydt t K

+⎡ ⎤− ⎛ ⎞ε = ε = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

1

1

idt t KΔ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

n⎡ ⎤⎛ ⎞1

( )n

iF i i

qH y y Vka yK

⎡ ⎤⎛ ⎞− − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

i iy y tV+

⎢ ⎥⎣ ⎦= + Δε1

Di ti ió Mét d d E lDiscretización. Método de Euler

⎡ ⎤1

( ) ( )n

i i ii

dq q q qV V Vka ydt t K

+⎡ ⎤− ⎛ ⎞− ε = − ε = −⎢ ⎥⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

1

11 1idt t KΔ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

n⎡ ⎤⎛ ⎞1

ni

iqVka yK

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

( )i iq q tV+

⎢ ⎥⎣ ⎦= + Δ− ε1 1

Ejemplo - Isoterma de Adsorción j pde Freundlich

V V VV L= 0 5L sV V V .

V V−

ε = = = 0 75SV . L= 0 15

V . L= 0 5

L−10 64H L h −11

SV . L0 15

Fy . g L= 10 64H L hr= 11

a . dm−= 11 3 k dm hr−= 125

K = 30 n .= 0 65

Ejemplo - Isoterma de Adsorción j pde Freundlich

( )n

iqy y y y y⎡ ⎤⎛ ⎞= + α − −α −⎢ ⎥⎜ ⎟

1

( )i i F i iy y y y yK+ = + α − −α −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦1 1 2

niqq q y

⎡ ⎤⎛ ⎞= + α −⎢ ⎥⎜ ⎟

1

i i iq q yK+ = + α ⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦1 3

Vka tα = Δ2H tα = Δ1

Vka tα = Δ3tV

α Δε2t

Vα Δ

ε1 ( )t

Vα = Δ

− ε3 1

Ad ió Li lAdsorción Lineal

q Ky*=

( )Fdy qV H y y Vka y⎡ ⎤ε = − − −⎢ ⎥( )FV H y y Vka ydt K

ε ⎢ ⎥⎣ ⎦

d ⎡ ⎤( ) dq qV Vka ydt K

⎡ ⎤− ε = −⎢ ⎥⎣ ⎦1

Condiciones iniciales

y(t )= =0 0q(t )= =0 0

Ad ió Li lAdsorción Lineal

( ) ( )1 2t t2 1F H V H Vy y e e−σ −σε − σ σ − ε−

= +F 1 2 1 2

e ey σ −σ σ −σ

1 2t tF 2 1

1 2 1 2

y q K e ey

−σ −σ− −σ σ= +σ −σ σ −σF 1 2 1 2y σ σ σ σ

21 H H 4 k a H⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ε ε⎢ ⎥

( ) ( ) ( )11 H H 4 k a Hk a 1 k a 12 V 1 K V 1 K 1 K V

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ε ε⎢ ⎥σ = + + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ε − ε ε − ε − ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

21 H H 4 k a Hk 1 k 1⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ε ε⎢ ⎥+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ( ) ( ) ( )2 k a 1 k a 1

2 V 1 K V 1 K 1 K V⎢ ⎥σ = + + − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ε − ε ε − ε − ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Ejemplo - Isoterma de Adsorción j pde Langmuir

* K0q y*qK y*

=+ 0

qKy*q q

=−

L/g1.0K = L/g25q0=g L/g25q0

Ejemplo - Isoterma de Adsorción j pde Langmuir

( ) iq Ky y y y y⎡ ⎤

= + α − −α −⎢ ⎥( )i i F i ii

y y y y yq q+ = + α − −α −⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 1 20

iq Kq q y⎡ ⎤

= + α −⎢ ⎥i i ii

q q yq q+ = + α ⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 30

Vka tα = Δ2H tα = Δ1

Vka tα = Δ3tV

α Δε2t

Vα Δ

ε1 ( )t

Vα = Δ

− ε3 1

A áli i P ét iAnálisis ParamétricoVolumen del tanque: VFracción vacía: εFracción vacía: εCoeficiente de transferencia de materia: kÁrea interfacial por unidad de volumen total: aÁrea interfacial por unidad de volumen total: aCaudal de alimentación: HConcentración del soluto de alimentación: yConcentración del soluto de alimentación: yf

Concentración inicial del soluto en la fase sólida: q(t=0)P á t d l i t d F dli h KParámetros de la isoterma de Freundlich: n y KParámetros de la isoterma de Langmuir: q0 y KParámetros del método numérico: Δt