Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración

GRUPO 6GRUPO 6

Berna Ramón VallsBerna Ramón VallsIván Sospedra AlacreuIván Sospedra Alacreu

Adrián Raga LechugaAdrián Raga Lechuga

ÍNDICEÍNDICE• 1 Descripción de sistemas1 Descripción de sistemas

• 1.1 Sistema decimal1.1 Sistema decimal

• 1.2 Sistema binario1.2 Sistema binario

• 1.3 Sistema hexadecimal1.3 Sistema hexadecimal

• 1.4 Sistema octal1.4 Sistema octal

• 2. Conversiones2. Conversiones

• 2.1 Conversión entre binario y decimal2.1 Conversión entre binario y decimal

• 2.2 Conversión entre octal y binario2.2 Conversión entre octal y binario

• 2.3 Conversión entre octal y decimal2.3 Conversión entre octal y decimal

• 2.4 Conversión entre binario y hexadecimal2.4 Conversión entre binario y hexadecimal

• 3. Sistema trinario3. Sistema trinario

• 3.1 Trinario a Decimal3.1 Trinario a Decimal

• 3.2 Decimal a Trinario3.2 Decimal a Trinario

• 4. Suma Resta y Multiplicación4. Suma Resta y Multiplicación

1 DESCRIPCIÓN SISTEMAS1 DESCRIPCIÓN SISTEMAS

1.1. SISTEMA DECIMAL1.1. SISTEMA DECIMAL

Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes. Su base es 10.árabes. Su base es 10.

Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada Emplea 10 caracteres o dígitos diferentes para indicar una determinada cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El valor de cada símbolo depende de su

posición dentro de la cantidad a la que pertenece. Veámoslo con un ejemplo:posición dentro de la cantidad a la que pertenece. Veámoslo con un ejemplo:

13613610 10 = 1*10^2 + 3*10^1 + 6*10^0= 1*10^2 + 3*10^1 + 6*10^0

136,42136,4210 10 = 1*10^2 + 3*10^1 + 6*10^0 + 4*10^-1 + = 1*10^2 + 3*10^1 + 6*10^0 + 4*10^-1 + 2*10^-22*10^-2

Si el número contiene decimales:

1.2. SISTEMA BINARIO1.2. SISTEMA BINARIO

Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su Es el sistema digital por excelencia, aunque no el único, debido a su sencillez. Su base es 2.base es 2.

Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos Emplea 2 caracteres: 0 y 1. Estos valores reciben el nombre de bits (dígitos binarios).binarios).

Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con Así, podemos decir que la cantidad 10011 está formada por 5 bits. Veamos con un ejemplo un ejemplo

como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la como se representa este número teniendo en cuenta que el resultado de la expresión expresión

polinómica dará su equivalente en el sistema decimal:polinómica dará su equivalente en el sistema decimal:

10011100112 2 =1*10^4 + 0*10^2 + 1*10^1 + 1*10^0 =19=1*10^4 + 0*10^2 + 1*10^1 + 1*10^0 =191010

1.3. SISTEMA HEXADECIMAL1.3. SISTEMA HEXADECIMAL

Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Está compuesto por 16 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Su base es 16. Su base es 16.

Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de Es uno de los sistemas más utilizados en electrónica, ya que además de simplificar la simplificar la

escritura de los números binarios, todos los números del sistema se escritura de los números binarios, todos los números del sistema se pueden expresar en pueden expresar en

cuatro bits binarios al ser 16 = 24. La conversión de un número cuatro bits binarios al ser 16 = 24. La conversión de un número hexadecimal a uno binario hexadecimal a uno binario

es muy sencilla al igual que en el sistema octal, profundizaremos en ello es muy sencilla al igual que en el sistema octal, profundizaremos en ello en el apartado 1.5.en el apartado 1.5.

1.4. SISTEMA OCTAL1.4. SISTEMA OCTAL

Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8.Posee ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Su base es 8.

Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la Este sistema tiene una peculiaridad que lo hace muy interesante y es que la conversión al conversión al

sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23 . Así, para convertir un sistema binario resulta muy sencilla ya que, 8 = 23 . Así, para convertir un número de base número de base

8 a binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario en el apartado 1.5. 8 a binario se sustituye cada cifra por su equivalente binario en el apartado 1.5.

2. CONVERSIONES2. CONVERSIONES

2.1. CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y 2.1. CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y DECIMALDECIMAL

Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad Si la conversión es de binario a decimal, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad

binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos binaria y se suman las potencias de 2 correspondientes a las posiciones de todos sus dígitos

cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos:cuyo valor sea 1. Veamos dos ejemplos:

1011112 = 1.25+0.24+1.23+1.22+1.21+1.20 = 4510

101012= 1.24+0.23+1.22+0.21+1.20 = 2110

Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la Si la conversión es de decimal a binario, aplicaremos la siguiente regla: se toma la cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en cada cantidad decimal dada y se divide sucesivamente entre 2. Los restos obtenidos en cada división (0, 1), forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al división (0, 1), forman la cantidad binaria pedida, leída desde el último cociente al primer resto. Se presentaran los ejemplos en forma de tabla debido a la dificultad que primer resto. Se presentaran los ejemplos en forma de tabla debido a la dificultad que supone utilizar el sistema tradicional de división con el editor:supone utilizar el sistema tradicional de división con el editor:

2.2. CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y 2.2. CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y BINARIOBINARIO

Si la conversión es de octal a binario cada cifra se sustituirá por su equivalente binario. Si la conversión es de octal a binario cada cifra se sustituirá por su equivalente binario.

Tendremos en cuenta la siguiente tabla para hacer la conversión de modo más rápido:Tendremos en cuenta la siguiente tabla para hacer la conversión de modo más rápido:

Si la conversión es de binario a octal se realiza de modo contrario a la anterior conversión, Si la conversión es de binario a octal se realiza de modo contrario a la anterior conversión,

agrupando los bits enteros y los fraccionarios en grupos de 3 a partir de la coma decimal. Si agrupando los bits enteros y los fraccionarios en grupos de 3 a partir de la coma decimal. Si

no se consiguen todos los grupos de tres se añadirán, los ceros que sean necesarios al último no se consiguen todos los grupos de tres se añadirán, los ceros que sean necesarios al último

grupo, veámoslo con un ejemplo:grupo, veámoslo con un ejemplo:

2.3. CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y 2.3. CONVERSIÓN ENTRE OCTAL Y DECIMALDECIMAL

De octal a decimal se procederá como observas en el ejemplo:De octal a decimal se procederá como observas en el ejemplo: 7408= 7.82+4.81+4.80 = 484107408= 7.82+4.81+4.80 = 48410

Si la conversión es de decimal a octal se procederá de modo similar a la Si la conversión es de decimal a octal se procederá de modo similar a la

conversión de conversión de decimal a binario, pero dividiendo entre 8. Comprueba los resultados en el decimal a binario, pero dividiendo entre 8. Comprueba los resultados en el

siguiente siguiente ejemplo:ejemplo: 42610 = 652842610 = 6528

2.4 CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y 2.4 CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y HEXADECIMALHEXADECIMAL

La conversión entre binario y hexadecimal es igual al de la conversión octal y binario, pero La conversión entre binario y hexadecimal es igual al de la conversión octal y binario, pero teniendo en cuenta los caracteres hexadecimales, ya que se tienen que agrupar de 4 en 4. La teniendo en cuenta los caracteres hexadecimales, ya que se tienen que agrupar de 4 en 4. La conversión de binario a hexadecimal se realiza según el ejemplo siguiente:conversión de binario a hexadecimal se realiza según el ejemplo siguiente:

La conversión de hexadecimal a binario simplemente sustituiremos cada carácter por su La conversión de hexadecimal a binario simplemente sustituiremos cada carácter por su equivalente en binario, por ejemplo:equivalente en binario, por ejemplo:

69DE16= 0110 1001 1101 1110269DE16= 0110 1001 1101 11102

3.SISTEMA TRINARIO3.SISTEMA TRINARIO B - I - A B - I - A

El sistema trinario es un sistema de numeración basado en 3 bits en el que los El sistema trinario es un sistema de numeración basado en 3 bits en el que los números se representan utilizando las letras B, I, A que su valor números se representan utilizando las letras B, I, A que su valor

correspondiente, son:correspondiente, son: B=0, I=1 y A=2.B=0, I=1 y A=2.

3.1TRINARIO A DECIMAL3.1TRINARIO A DECIMAL

Para realizar la operación de pasar de trinario a decimal, deberemos elevar Para realizar la operación de pasar de trinario a decimal, deberemos elevar al cubo y multiplicar por el numero.al cubo y multiplicar por el numero.

Ejemplo:Ejemplo:Decimal= 1671Decimal= 1671ABAIAAB = 1671ABAIAAB = 1671

ABAIAAB = 0*3^0 + 2*3^1 + 2* 3^2 + 1*3^3 + 2*3^ 4 + 0*3^5 + 2*3^6ABAIAAB = 0*3^0 + 2*3^1 + 2* 3^2 + 1*3^3 + 2*3^ 4 + 0*3^5 + 2*3^6 = 0+6+ 18+27+162+0+1458=1671= 0+6+ 18+27+162+0+1458=1671

3.2 DECIMAL A TRINARIO3.2 DECIMAL A TRINARIOPara pasar de decimal a trinario, se divide el número decimal entre 3 y se vuelve a Para pasar de decimal a trinario, se divide el número decimal entre 3 y se vuelve a dividir entre 3 hasta que el numero no se pueda dividir mas. El resultado del resto dividir entre 3 hasta que el numero no se pueda dividir mas. El resultado del resto será el resultado en trinario, por ultimo tendremos que sustituir los ceros por será el resultado en trinario, por ultimo tendremos que sustituir los ceros por BB, los , los unos por unos por II y los dos por y los dos por AA..

Ejemplo:Ejemplo:

112 = I I B112 = I I B

112 / 3 = 37112 / 3 = 37

RestoResto1 1

37 / 3 = 1237 / 3 = 12

RestoResto11

12 / 3 = 412 / 3 = 4

RestoResto00

4.SUMA RESTA Y 4.SUMA RESTA Y MULTIPLICACIÓNMULTIPLICACIÓN

1100111010 + 1000110001 = 818 + 561 = 21971100111010 + 1000110001 = 818 + 561 = 2197

Siempre que sea 1 + 1 nos llevaremos un 1 a la siguiente operación.Siempre que sea 1 + 1 nos llevaremos un 1 a la siguiente operación.

1100111010 1100111010 + 1000110001+ 1000110001 ---------------------- ---------------------- 10101101011 10101101011

11 00 11 00

11 11 00 00

00 11 11 00

4. SUMA RESTA Y 4. SUMA RESTA Y MULTIPLICACIÓNMULTIPLICACIÓN

*Siempre que sea 0 – 1 nos llevaremos un 1 a la siguiente operación.*Siempre que sea 0 – 1 nos llevaremos un 1 a la siguiente operación.

1100111010 -1000110001 = 826 + 281 = 11071100111010 -1000110001 = 826 + 281 = 1107

1100111010 1100111010

- 1000110001- 1000110001

--------------------------------------------

01000010010100001001

11 00 11 00

11 11 00 00

00 11 11 00

4.SUMA RESTA Y 4.SUMA RESTA Y MULTIPLICACIÓNMULTIPLICACIÓN

1100111010 * 111 = 826 * 7 = 57821100111010 * 111 = 826 * 7 = 5782 1100111010 1100111010 * 111* 111 ------------------------------------------ 11001110101100111010 11001110101100111010 11001110101100111010---------------------------------------------- 1001101011010011010110

00 00 11 11

00 11 00 11

00 00 00 11