Distribucin t-Student

I. INTRODUCCIONLa distribucin t de Student se utiliza cuando nos encontramos con Ia dificultad de no conocer Ia desviacin tpica poblacional y nuestra muestra es menor de 30. Es similar a Ia curva normal, pero Ia distribucin t tiene mayor rea a los extremos y menos en el centro. Esta distribucin es recomendada cuando se requiere estimar la media poblacional y no se conoce la desviacin estndar.Esta fue descubierta por un especialista en estadstica de una empresa irlandesa, este seor cuyo nombre era William S. Gosset hizo inferencias acerca de Ia media cuando Ia desviacin poblacional fuese desconocida: y ya que a los empleados de dicha entidad no les era permitido publicar el trabajo de investigacin bajo sus propios nombres, Gosset adopt el seudnimo de Student.Sus funciones se basan en establecer un intervalo de confianza, utilizando un nivel de confianza y los grados de libertad, obteniendo valores de una tabla dada con respecto a estas variables y aplicarla en Ia formula.

II. OBJETIVOS:

La distribucin t de Student es necesaria para el clculo de intervalos de confianza que involucran a medias. En esta presentacin se discute brevemente cmo utilizar las tablas de la t de Student para obtener los valores requeridos en el clculo de los correspondientes intervalos. Se debe recordar que la t de Student es una distribucin con un parmetro que se denomina grados de libertad. En funcin de este parmetro (que se calcula de distinta manera en cada una de las posibles aplicaciones), debemos buscar en la tabla el valor del cuantil necesario para el clculo del IC.

III. FUNDAMENTO TERICO:

Es una variable aleatoria continua se aplica cuando la varianza es no conocida En probabilidad y estadstica, Ia distribucin-t o distribucin t de Student es una distribucin de probabilidad que surge del problema de estimar Ia media de una poblacin normalmente distribuida cuando el tamao de Ia muestra es pequeo. La t de estudent se utiliza Para probar hiptesis cuando una investigacin se basa en muestreo pequeo. Se utiliza Para probar si dos muestras provienen de una misma poblacin. La desviacin estndar depende de un parmetro denominado grados de libertad. Tiene una media de cero, es simtrica respecto de la media y se extiende de - a + , sus colas se aproximan asintticamente al eje X.

3.1. Condiciones: Se utiliza en muestras pequeas de 30 o menos elementos. La desviacin estndar de la poblacin no se conoce.

3.2. Formula a utilizar Formalmente una variable T con distribucin t de Student o simplemente distribucin t se define de la forma siguiente:Siendo: G.l. = n-1n: tamao de la muestraX: Media muestral: Media poblacionalS: Desviacin estndar

Significancia estadstica: Prueba de hiptesis obtenido = Clculo a partir de los datos de la muestra. crtico = Valor de tabla con n-1 grados de libertadRelacin mejorada:

Si |obtenido | |crtico|, entonces se rechaza la hiptesis nula (Ho); y por lo tanto, se acepta la hiptesis alterna H1.

3.3. Calculo de la distribucin t Student

Prueba de hiptesis para medias t-Student (muestras menores a 30)La prueba de hiptesis para medias usando distribucin t de Student se usa cuando se cumplen las siguientes condiciones: Es posible calcular las media y la desviacin estndar a partir de la muestra. El tamao de la muestra es menor a 30.

El procedimiento obedece a 5 pasos esenciales:PASO 1:Plantear Hiptesis Nula (Ho) e Hiptesis Alternativa (Hi).

Hiptesis Nula ( H0 ): Ho : 1 = 2 Hiptesis Alterna ( H1 ): H1: 1 2

PASO 2:Determinar Nivel de Significancia. (Rango de aceptacin de hiptesis alternativa).

Se considera: 0.05 para proyectos de investigacin. para aseguramiento de calidad. 0.10 para encuestas de mercadotecnia y polticas.

PASO 3:Evidencia Muestral. Se calcula la media y la desviacin estndar a partir de la muestra.

PASO 4:

Siendo: G.l. = n-1

n: tamao de la muestraX: Media muestral: Media poblacionalS: Desviacin estndar

PASO 5:

En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hiptesis alternativa. Si la probabilidad de error (P) es mayor que el nivel de significancia:Se rechaza hiptesis alternativa Si la probabilidad de error (P) es menor que el nivel de significancia:Se acepta hiptesis alternativa

3.4. Propiedades:1. La media es 0 y su varianza , n>2.2. La grfica de la funcin de densidad es en forma de campana.3. Los datos estn ms disperso que la curva normal estndar.4. A medida que n aumenta, la grfica se aproxima a la normal N(0,1).5. La grfica es muy parecida a la de la normal estndar diferencindose en que las colas de t estn por encima de la normal, y el centro se encuentra por debajo del de la normal.6. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con los de la normal.3.5. Caractersticas:

La distribucin t-Student es menor en la media y ms alta en los extremos que una distribucin normal. Tiene mayor parte de su rea en los extremos que la distribucin normal.

3.6. Grados de Libertad:

Existe una distribucin t para cada tamao de la muestra, por lo que Existe una distribucin para cada uno de los grados de libertad. Los grados de libertad son el nmero de valores elegidos libremente. Para un conjunto de datos de una muestra, con distribucin t-Student los grados de libertad se calculan de la siguiente manera: G.L. = n 1Ejemplo:

Se tiene una muestra de 7 elementos con una media de 16.Media= a+b+c+d+e+f+g =16 7G.L.= n 1 =7-1= 6Y= x1 x2 x3 x4 , para satisfacer la ecuacin, tres variables se pueden cambiar a libertad, pero uno de ellos no, por eso, cuando se tiene una sola muestra, se hable de n-1 g.l. A medida que se aumenten los g.l. la distribucin t, se aproxima a la distribucin Z de la normal. Otra lectura que se puede dar es que los g.l es una medida del nmero de observaciones independientes en la muestra, que se usan para estimar la desviacin estndar.

En general, cuando el tamao de muestra no sea muy pequeo y la simetra no sea alta, se puede usar para estimar la media poblacional cuando no se conoce la desviacin.t de Student

Comparacin entre Normal y t Student

Nivel de Significacin = (A+B)

TABLA DE LA DISTRIBUCION tStudentLa tabla da reas 1 y valores, donde, , y donde T tiene distribucin t-Student con r grados de libertad.

TABLA DE t Student

r0.750.800.850.900.950.9750.990.995

11.0001.3761.9633.0786.31412.70631.82163.657

20.8161.0611.3861.8862.9204.3036.9659.925

30.7650.9781.2501.6382.3533.1824.5415.841

40.7410.9411.1901.5332.1322.7763.7474.604

50.7270.9201.1561.4762.0152.5713.3654.032

60.7180.9061.1341.4401.9432.4473.1433.707

70.7110.8961.1191.4151.8952.3652.9983.499

80.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.355

90.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.250

100.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.169

110.6970.8761.0881.3631.7962.2012.7183.106

120.6950.8731.0831.3561.7822.1792.6813.055

130.6940.8701.0791.3501.7712.1602.6503.012

140.6920.8681.0761.3451.7612.1452.6242.977

150.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.947

160.6900.8651.0711.3371.7462.1202.5832.921

170.6890.8631.0691.3331.7402.1102.5672.898

180.6880.8621.0671.3301.7342.1012.5522.878

190.6880.8611.0661.3281.7292.0932.5392.861

200.6870.8601.0641.3251.7252.0862.5282.845

210.6860.8591.0631.3231.7212.0802.5182.831

220.6860.8581.0611.3211.7172.0742.5082.819

230.6850.8581.0601.3191.7142.0692.5002.807

240.6850.8571.0591.3181.7112.0642.4922.797

250.6840.8561.0581.3161.7082.0602.4852.787

260.6840.8561.0581.3151.7062.0562.4792.779

270.6840.8551.0571.3141.7032.0522.4732.771

280.6830.8551.0561.3131.7012.0482.4672.763

290.6830.8541.0551.3111.6992.0452.4622.756

300.6830.8541.0551.3101.6972.0422.4572.750

400.6810.8511.0501.3031.6842.0212.4232.704

600.6790.8481.0461.2961.6712.0002.3902.660

1200.6770.8451.0411.2891.6581.9802.3582.617

0.6740.8421.0361.2821.6451.9602.3262.576

Ejemplos: