UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

SILABO

I. IDENTIFICACION

1. Experiencia Curricular: TOPOLOGÍA GENERAL 2. Para Estudiantes de la carrera de : Matemáticas V ciclo 3. Del ciclo / año de estudios : V ciclo 4. Año / Semestre Académico : 2009-I 5. Tipo : obligatorio 6. Fecha de inicio : 11 / 05 / 09. Fecha de término : 04 / 09 / 09 7. Extensión horaria:

5.1 Total horas semanales : 08 Horas de teoría : 05 Horas de práctica : 03 5.2 Total horas por semestre : 136

8. Créditos : 05 9. Pre-requisitos : Análisis Matemático III 10. Organización del tiempo semestral

Unidades Tipo de Actividades Total horas I II III

7.1 Clases de enseñanza-aprendizaje 7.2 Sesiones de evaluación sumativa 7.3 Tiempo de holgura (imprevistos)

108 20 8

36 06 02

36 06 02

36 08 04

Total Horas 136 44 44 48

11. Departamento Académico y Facultad: Departamento de Matemáticas – Facultad de Ciencias

Físicas y Matemáticas. 12. Docente: Mg. Guillermo T. Ramírez Lara

II. FUNADAMENTACIÓN Y DESCRIPCION

El curso de TOPOLOGÍA GENERAL corresponde al V ciclo de la Escuela Académico-

Profesional de Matemáticas. Es una asignatura obligatoria de naturaleza teórico-práctica y en ella se

estudian las propiedades cualitativas de los objetos matemáticos haciendo abstracción de toda medida

y magnitud de los mismos. Se presentan y estudian de manera gradual los temas sobre espacios

métricos (completos y compactos), espacios topológicos (convergencia en espacios métricos y

topológicos y la continuidad entre espacios métricos y topológicos), base y subbase de una topología,

separabilidad, compacidad, completitud, metrizabilidad, conexidad, espacios uniformes, espacios de

funciones y el teorema de Stone-Weierstrass. El problema de decidir si dos espacios son o no

homeomorfos es sin duda el problema central de la topología.

Actualmente el lenguaje y los conceptos fundamentales de la topología general abundan en el

álgebra, el análisis y la geometría, por lo que necesariamente deben formar parte del acervo cultural de

todo futuro profesional matemático.

III. APRENDIZAJES ESPERADOS

Al finalizar el curso, los estudiantes del curso de topología general estarán en condiciones de:

3.1. Entender los conceptos fundamentales de la teoría de los espacios métricos y topológicos, así

como su importante relación con el Análisis y la Geometría.

3.2. Conocer y aplicar las propiedades topológicas fundamentales estudiadas en el curso, las cuales

hacen abstracción de toda medida y magnitud de los objetos matemáticos.

III. PROGRAMACION

UNIDAD DE APRENDIZAJE N° 1

1. Denominación: ESPACIOS MÉTRICOS Y TOPOLOGICOS

Inicio: 11 - 05- 2009 Término: 19 – 06 - 2009 N° de semanas: 06

2. Objetivos de aprendizaje: Al término de la presente unidad los alumnos serán capaces de

2.1 Entender los conceptos fundamentales de la teoría de espacios métricos y topológicos y su

importante relación con el análisis y la geometría.

2.2 Conocer y aplicar las propiedades topológicas fundamentales de los conjuntos las cuales

hacen abstracción de toda medida y magnitud y que son el fundamento de la topología.

Desarrollo de la enseñanza-aprendizaje.

Semana Contenidos Actividades de Aprendizaje M.M.E.E.

1

Introducción. Revisión de Lógica cuantificacional. El álgebra de conjuntos y el álgebra de funciones. Propiedades de los números reales: supremos e ínfimos.

Exposición del profesor propiciando la participación activa de los alumnos.

Trabajos prácticos. Lista de ejercicios. Separatas.

2

Espacio métrico, definición y ejemplos. Subespacio. Distancia de un punto a un conjunto. Distancia entre conjuntos. Diámetro de un conjunto. Isometrías. Bolas abiertas y cerradas. Esferas. Métricas equivalentes. Espacios isométricos.

id

id

3

Interior de un conjunto. Conjunto abierto y cerrado. Topología métrica Clausura, frontera y derivado de un conjunto en un espacio métrico. Conjunto denso. Propiedades y ejemplos. Funciones continuas entre espacios métricos. Propiedades. Aplicaciones abiertas y cerradas.

id

id

4

Convergencia en espacios métricos. Definición de topología. Espacio topológico, subespacio topológico. Conjuntos abiertos y cerrados. Comparación de topologías.

id

id

5 6

Vecindades y sistemas de vecindades. Interior, clausura, frontera, exterior y conjunto derivado de un subconjunto de un espacio topológico. Propiedades y ejemplos. Conjunto denso. Espacios separables. Base y subbase de una topología. Funciones continuas entre espacios topológicos. Homeomorfismos. Ejemplos.

id Evaluación i/o sustentación del cuaderno de trabajos prácticos. PRIMER EXAMEN PARCIAL

id

UNIDAD DE APRENDIZAJE N° 2

1. Denominación : SEPARACIÓN, COMPLETITUD Y COMPACIDAD

Inicio: 22 - 06 - 09 Término: 24 - 07 - 09 N° de semanas: 05

2. Objetivos: Al término de la presente unidad los alumnos serán capaces de

2.1 Conocer y aplicar las propiedades topológicas: separabilidad, completitud y compacidad.

2.2 Conocer las caracterizaciones de la compacidad de un espacio.

2.3 Conocer las propiedades de la convergencia en espacios topológicos.

3. Desarrollo de la enseñanza aprendizaje

Semana Contenidos Actividades de Aprendizaje M.M.E.E.

7 Axiomas de separación: Espacios T1 y espacios de Hausdorff. Propiedades. Espacios regulares y normales. Propiedades.

Exposición del profesor propiciando la participación de los alumnos

Trabajo práctico. Separatas.

8

Sucesiones de Cauchy. Sucesiones convergentes. Espacios métricos completos. Teorema de punto fijo para espacios métricos completos

id

id

9 Convergencia en espacios topológicos. Nociones de redes y filtros.

id

id

10 Cubrimiento de un conjunto. conjuntos compactos. Propiedad de la intersección finita. Compacidad y espacios de Hausdorff.

id

id

11

Compacidad en espacios métricos. Compacidad y continuidad.

Evaluación i/o sustentación del cuaderno de trabajos prácticos. SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

id

UNIDAD DE APRENDIZAJE N°3

1. Denominación : CONEXIDAD Y METRIZABILIDAD

Inicio: 27 - 07 - 09 Término: 04 - 09 - 09 N° de semanas: 06

2. Objetivos de aprendizaje: Al término de la presente unidad los alumnos serán capaces de:

2.1 Entender la definición de conexidad, sus propiedades y su relación con la continuidad.

2.2 Entender la metrizabilidad de un espacio topológico.

3. Desarrollo de la enseñanza aprendizaje

Semana Contenidos Actividades de Aprendizaje M.M.E.E.

12

Espacios conexos. Propiedades. Conexidad en � . Espacios localmente conexos y Componentes conexas.

Exposición del profesor propiciando la participación activa de los alumnos.

Trabajo práctico. Lista de ejercicios. Separatas.

13 Espacios conexos por caminos. Conexidad y continuidad.

id

id

14 El teorema de Metrización de Urysohn. Espacios de funciones. EXAMEN DE REZAGADOS

id

id

15

Convergencia puntual y convergencia uniforme. Ejemplos.

id

16

17

Espacios uniformes. El Teorema de Stone-Weierstrass.

Evaluación i/o sustentación del cuaderno de trabajos prácticos. TERCER EXAMEN PARCIAL

EXAMEN DE APLAZADOS

IV. NORMAS DE EVALUACION

1. Base legal: Reglamento de Normas Generales de Evaluación del Aprendizaje de los Estudiantes

de Pregrado de la Universidad Nacional de Trujillo. 2. Normas Específicas: las de la experiencia Curricular

a) Al término de cada unidad de aprendizaje se tomará un examen parcial. b) La evaluación continua del CUADERNO DE TRABAJOS PRÁCTICOS, se considerará como un criterio de evaluación de la práctica del curso. c) El 30% o más de inasistencias inhabilita al estudiante en el curso. d) La nota de la i-esima unidad, NUi, i = 1, 2, 3 se obtiene por la fórmula

2

3i i

i

NE NTNU

+=

donde NTi = Nota del cuaderno de Trabajos prácticos de la i-esima unidad, NEi = Nota del Examen Parcial de la i-ésima unidad. La Nota Promocional (NP) en el curso se obtiene mediante la fórmula:

1 2 3

3

NU NU NUNP

+ +=

La nota promocional aprobatoria mínima es de 10.5. d) Los alumnos cuya nota promocional sea menor que 10.5, podrán rendir el examen de

aplazados previa presentación del correspondiente recibo de aplazados. El examen de aplazados versará sobre todo el curso.

e) Los alumnos que injustificadamente no rindieran algún examen, recibirán la nota cero (00). f) Al examen de rezagados sólo podrán acceder los alumnos que hayan presentado dentro de las

48 horas de administrado el examen, una solicitud para rendir examen de rezagados adjuntando los recibos de derecho de trámite y de rezagados, a la Dirección de Escuela correspondiente indicando la fecha en que se administró dicho examen y el nombre del profesor del curso.

g) El examen de rezagados se tomará en la semana Nº 14.

V. CONSEJERIA

1. Propósito: Absolver consultas y apoyar al estudiante para que logre optimizar su aprendizaje 2. Horario: Día ..…………Hora …………., oficina Nº 28, 2º piso pabellón de Matemáticas.

VI. BIBLIOGRAFIA BASICA

[ 1.] AYALA–DOMÍNGUEZ–QUINTERO, “ Elementos de Topología General”, Addison –

Wesley Iberoamericana S.A.

[ 2.] DUJUNDJI, J., “Topology”, Allyn and Bacon, Boston, 1966.

[ 3.] SIMONS, M., “Introduction to topology”, McGraw – Hill, New York, 1963.

[ 4.] WILLARD, S., “General topology”, Addison Wesley, New York, 1970.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

[ 5.] GEMIGNANI, MICHAEL, “Elementary topology”, Addison Wesley, New York, 1970.

[ 6.] HENRICHSEND, FERNÁNDEZ J. L., “ Topología General”, Ediciones la Habana, 1 977.

[ 7.] HOCKING, JOHN G., “Topología”, Editorial Reverte S.A., 1 966.

[ 8.] IBARREN T. IGNACIO L., “Topología de Espacios Métricos”, Editorial Limusa – Wiley

S.A., México, 1 973.

[ 9.] JANICH, KLAUSS, “Topología”, Springer Verlag, 1 984.

[10.] KELLY, JOHN L., “Topología General”, Editorial Universitaria de Buenos Aires, 1 962.

[11.] LIMA, ELON L., “Elementos de Topologia Geral”, IMPA, 1970.

[12.] LIPSCHUTZ, SEYMOUR, “ Topología General”, Libros Mc – Hill de México S.A., 1 970.

[13.] MANSFIELD, M. J., “Introducción a la Topología”, Editorial Alhambra, Madrid, 1 974.

[14.] MUNKRES, JAMES, “Topology, a first course”, Prentice – Hall, 1 974.

Trujillo, Mayo del 2 009

ADDENDA

PRESENTACIÓN RECEPCIÓN 1. Docente: Guillermo T. Ramírez Lara 1. Nombres y Apellidos:

2. Fecha: 3. Firma: 2. Cargo: 3. Fecha:

4. Firma:

SUPERVISIÓN POR JEFATURA DE DEPARTAMENTO ACADÉMICO

LOGROS SUGERENCIAS PARA LA MEJORA ........................................................................................................................................................................................................................

Jefe: Dr. Amado Méndez Cruz Fecha: Firma: