apuntes topologia

TOPOLOGA

Curso 2011/2012

Captulo 1

Espacios mtricos

1.1. Medir la proximidad

Sea X un conjunto. Denotaremos por XX al conjunto de los paresde elementos de X.

Definicin 1.1.1. Una distancia sobre X es una aplicacin d : XX R cumpliendo:

1. d(x, x) 0, x, x X,2. d(x, x) = d(x, x), x, x X (Propiedad simtrica),3. d(x, x) = 0 si y slo si x = x, x, x X,4. d(x, x) d(x, x)+d(x, x), x, x, x X (Propiedad triangular),

Al par (X, d) se le llama espacio mtrico. Si la condicin (3) se sustituyepor

(3) d(x, x) = 0,

entonces d se llama seudodistancia y el par (X, d) espacio seudomtrico.

Ejemplo 1.1.2. (Anlisis I) Se tomaX = R y se define d(x, x) = |xx|.Ejemplo 1.1.3. (Geometra) Se tomaX = R2 y se define d((x, y), (x, y)) =||(x, y) (x, y)|| =(x x)2 + (y y)2.Definicin 1.1.4. Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma sobreV es una aplicacin || || : V R cumpliendo:

1. ||v|| 0, v V ,

2

CAPTULO 1. ESPACIOS MTRICOS 3

2. ||v|| = || ||v||, R, v V ,3. ||v|| = 0 si y slo si v = 0, v V ,4. ||v + w|| ||v||+ ||w||, v, w V .

Al par (V, || ||) se le llama espacio normado.Proposicin 1.1.5. Si (V, || ||) es un espacio normado, la aplicacind : V V R dada por d(v, w) = ||v w|| es una distancia sobre V .

A (V, d) se le llama espacio mtrico asociado al espacio normado(V, || ||).Demostracin. Veremos a continuacin que d cumple las condiciones quehacen a una aplicacin distancia:

1. d(v, w) = ||v w|| 0 por la propiedad 1 de la norma.2. d(v, w) = ||v w|| = ||(1)(w v)|| = | 1| ||w v|| = ||w v||,

donde se ha usado la propiedad 2 de la norma en la tercera igualdad.

3. Por definicin, d(v, w) = 0 si y slo si ||vw|| = 0. Por la propiedad3 de la norma, esto ocurre si y slo si v w = 0, es decir, v = w.

4. d(v, v) = ||v v|| = ||v v + v v|| ||v v||+ ||v v|| =d(v, v) + d(v, v), donde se ha usado la propiedad 4 de la normapara conseguir la desigualdad.

Veremos a continuacin algunos ejemplos de espacios normados y susdistancias asociadas.

Ejemplo 1.1.6. Si V = R y || || =valor absoluto, entonces (V, || ||) esun espacio normado con distancia asociada d(x, x) = |x x|.Ejemplo 1.1.7. Si V = R2 y || || es la habitual en Geometra, es decir,la norma eucldea ||(x, y)|| =x2 + y2, entonces (V, || ||) es un espacionormado. Su distancia asociada, que llamaremos distancia eucldea ydenotaremos de, es de((x, y), (x

, y)) =

(x x)2 + (y y)2.Ejemplo 1.1.8. Si V = R2, entonces ||(x, y)||taxi = |x| + |y| es unanorma. La cuarta propiedad de la definicin de norma se demostraraas: ||(x, y) + (x, y)||taxi = |x + x| + |y + y| |x| + |x| + |y| + |y| =||(x, y)||taxi + ||(x, y)||taxi.


A esta norma se le llama norma taxi y a su distancia asociada dis-tancia taxi : dtaxi((x, y), (x

, y)) = |x x|+ |y y|.En el plano R2, las distancias entre los puntos (0, 0) y (1, 1) son

de((0, 0), (1, 1)) =2 y dtaxi((0, 0), (1, 1)) = 2.

Figura 1.1:

Ejemplo 1.1.9. Si V = R2, ||(x, y)||max = max{|x|, |y|} es una norma.Probaremos a continuacin su cuarta propiedad:

Se cumple que |x+ x| |x|+ |x| max{|x|, |y|}+max{|x|, |y|} =||(x, y)||max + ||(x, y)||max. Podemos hacer lo mismo con |y + y|, luegotenemos que

||(x, y)+(x, y)||max = max{|x+x|, |y+y|} ||(x, y)||max+||(x, y)||max.Su distancia asociada es dmax((x, y), (x

, y)) = max{|xx|, |yy|},que llamaremos distancia del mximo.

Ejemplo 1.1.10. Si tomamos V = Rn, n 2, la norma eucldea es ahora||(x1, . . . , xn)|| =

ni=1 x

2i . Su distancia asociada, que tambin llamare-

mos distancia eucldea, es de((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =n

i=1(xi yi)2.Anlogamente, las normas taxi y mximo paraRn son ||(x1, . . . , xn)||taxi =n

i=1 |xi| y ||(x1, . . . , xn)||max = max{|xi|; 1 i n}, siendo sus distan-cias asociadas dtaxi((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) =

ni=1 |xi yi| y

dmax((x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)) = max{|xi yi|; 1 i n}, respectiva-mente.

Ejemplo 1.1.11. V = {f : R R; fes acotada} es un espacio vectorialcon:

Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x),

Producto por escalar: (f)(x) = f(x).


Se define ||f || = sup{|f(x)|; x R}, que se demuestra que es norma:1. ||f || 0 porque es un supremo de valores absolutos.2. ||f || = sup{|||f(x)|; x R} = || sup{|f(x)|; x R} = ||||f ||.3. Si ||f || = 0 = sup{ |f(x)|, x R}, entonces |f(x)| = 0, para todo

x R, luego f es la funcin nula (x) = 0, para todo x R.4. ||f + g|| = sup{|f(x)+ g(x)|; x R}. Ahora bien, |f(x)+ g(x)| |f(x)|+ |g(x)| sup{|f(x)|, x R}+sup{|g(x)|, x R} = ||f ||+||g||. Por tanto, ||f + g|| ||f || + ||g||.

La norma anterior se llama norma del supremo y su distancia asociada esd = sup{|f(x) g(x)|, x R}, que se denotar distancia del supremo.

Veremos a continuacin con un ejemplo concreto cmo funcionan estanorma y distancia.

Ejemplo 1.1.12. Si f(x) = sen(x), entonces ||f || = 1. Si tomamosg(x) = cos(x), se tiene d(f, g) = 1.

Figura 1.2:

Se define la sucesin de funciones {fn} como fn = (1/n) sen(x) yse denota por a la funcin nula. Entonces d(fn, ) = 1/n y la suce-sin {fn} se aproxima arbitrariamente a la constante cero en el espacio(V, d).

Definiremos a continuacin otra norma:

Ejemplo 1.1.13. Si V = {f : [0, 1] R; f continua}, entonces ||f ||1 = 10|f(x)|dx es una norma cuya distancia asociada es d1(f, g) =

10|f(x)

g(x)|dx.

1. ||f ||1 0 porque |f(x)| 0 para todo 0 x 1.2. ||f ||1 =

10|| |f(x)|dx = || 1

0|f(x)|dx = || ||f ||1.


Figura 1.3:

3. Si ||f ||1 = 10|f(x)|dx, entonces |f(x)| = 0 para todo x R, luego

f es la funcin nula (x) = 0 para todo x R.4. ||f+g||1 =

10|f(x)+g(x)|dx 1

0(|f(x)|+|g(x)|)dx = 1

0|f(x)|dx+ 1

0|g(x)|dx = ||f ||1 + ||g||1.

En general, podemos definir ||f ||n = n 1

0|f(x)|ndx.

Comprobaremos a continuacin que las distancias d1 y d son distin-tas.

Ejemplo 1.1.14. Para la sucesin {fn} descrita en el siguiente dibujose tiene que d1(fn, ) = 1/2

n+1, luego fn se acerca todo lo que se quiera a en (V, d1). Sin embargo, d(fn, ) = 1 para todo n, luego fn permanceseparada de en (V, d).

Figura 1.4:

Veamos ahora un ejemplo de seudodistancia.

Ejemplo 1.1.15. Dado el espacio vectorial V = {f : [0, 1] R; f continua},entonces dmeta = |f(1) g(1)| es una suedodistancia. No es distancia


porque si tomamos dos funciones f, h que sean distintas pero que coin-cidan en el punto 1, entonces dmeta(f, h) = 0. Podemos darle un senti-do a esta seudodistancia si observamos una funcin creciente en V conf(0) = 0 puede ser considerada como la expresin del tiempo que tardaun corredor en pasar por cada punto de su carrera entre la salida en x = 0y la meta en x = 1. De esta forma dmeta mide la diferencia del tiempo dellegada.

Figura 1.5:

Definiremos ahora una distancia vlida para cualquier conjunto.

Ejemplo 1.1.16. Dado un conjunto X, la aplicacin d : X X Rdefinida por d(x, x) =

{1, x 6= x0, x = x

es una distancia, que denotaremos

distancia discreta.

1. Trivial por definicin.

2. d(x, x) = d(x, x) por definicin.

3. d(x, x) = 0 si y slo si x = x.

4. La aplicacin d slo puede tomar los valores 0 y 1, luego la nicaposibilidad de que la desigualdad d(x, x) d(x, x) + d(x, x)falle sera si d(x, x) = 1 pero entonces d(x, x) = 0 = d(x, x). Sinembargo, este caso no puede ocurrir porque d(x, x) = 0 = d(x, x)implica x = x = x, luego d(x, x) = 0.

Proposicin 1.1.17. No existe ninguna norma en Rn cuya distanciaasociada sea la discreta.

Demostracin. (R.A.) Supongamos que existiese tal norma asociada || ||y tomemos x 6= 0 (donde 0 es el origen de Rn) y R, 6= 0. Entoncesx 6= 0 y 1 = d(x, 0) = ||x0|| = ||x|| = || ||x|| = ||. Luego hemosprobado que || = 1 para cualquier R, 6= 0. Contradiccin.


En el plano eucldeo (R2, deucldea)(plano), los crculos de centro unpunto x permiten medir la proximidad a ese punto.

Figura 1.6:

Esta observacin lleva a la siguiente definicin general

Definicin 1.1.18. Sea (X, d) un espacio (seudo)mtrico. Dados x Xy > 0, se llama bola abierta de centro x y radio a

Bd(x, ) = {y X; d(x, y) < }.

Una bola cerrada de centro x y radio es

Bd[x, ] = {y X; d(x, y) }.

Una esfera de centro x y radio es

Sd[x, ] = {y X; d(x, y) = }.

Ejemplo 1.1.19. En la recta eucldea (R, de), tenemos Bde(x, ) = {y R, |x y| < } = (x , x+ ).Ejemplo 1.1.20. En el plano eucldeo (R2, de), la bola Bde(0, ) ={(x1, x2) R2, de((x1, x2), 0) < } = {(x1, x2) R2,

x21 + x

22 < } =

{(x1, x2) R2, x21+x22 < 2}, sera un crculo sin circunferencia de centro(0, 0) y radio .

Ejemplo 1.1.21. En (R2, dtaxi), la bola abierta de centro 0 y radio es Bdtaxi(0, ) = {(x1, x2) R2, dtaxi((x1, x2), 0) < } = {(x1, x2) R2, |x1|+ |x2| < }.

Si x1, x2 0, entonces |x1|+ |x2| < implica x1 + x2 < .


Figura 1.7:

Si x1, x2 0, entonces |x1|+ |x2| < implica x1 x2 < .Si x1 0, x2 0, entonces |x1|+ |x2| < implica x1 x2 < .Si x1 0, x2 0, entonces |x1|+ |x2| < implica x2 x1 < .Por tanto, Bdtaxi(0, ) sera un cuadrado sin su borde de centro 0 y

con esquinas en (, 0), (0, ), (, 0) y (0,).Ejemplo 1.1.22. En (R2, dmax), la bola abierta de centro 0 y radio es Bdmax(0, ) = {(x1, x2) R2, dmax((x1, x2), 0) < } = {(x1, x2) R2,max{|x1|, |x2|} < } = {(x1, x2) R2, |x1| < y |x2| < }.

Por tanto, Bdmax(0, ) sera un cuadrado sin su borde centrado en 0,con sus lados (de longitud 2) paralelos a los ejes de coordenadas.

Figura 1.8:

Ejemplo 1.1.23. Sean X = {f : R R, f es acotada} y la distanciad = sup{|f(x)g(x)|}. Si denotamos por la funcin constate nula, en-tonces Bd(, ) = {f X, d(f, ) < } = {f X, sup{|f(x)|} < } ={f X, < |f(x)| < } = {f : R R| grfico de f est entre y = e y = }.


Figura 1.9:

Ejemplo 1.1.24. Si tomamos X = R2, la distancia discreta ddiscreta y el

punto = (0, 0), entonces Bddiscreta(, ) =

{ {}, 1R2, > 1

Proposicin 1.1.25. (Propiedades de las bolas abiertas)Sea (X, d) un espacio (seudo)mtrico. Se cumplen:

1. Dados > 0 y x X, x Bd(x, ).1. Si 0 < < , entonces Bd(x,

) Bd(x, ).2. Si y Bd(x, ), donde x, son arbitrarios, entonces existe > 0

con Bd(y, ) Bd(x, ).3. Si z Bd(x, )Bd(x, ), entonces existe > 0 tal que Bd(z, )

Bd(x, ) Bd(x, ).Demostracin. 1. Como d(x, x) = 0 < , entonces x Bd(x, ).1. Si y Bd(x, ), entonces d(x, y) < < . Por tanto, d(x, y) < y

concluimos que y Bd(x, ).2. Como y Bd(x, ), entonces d(x, y) < y podemos definir :=

d(x, y) > 0. Veremos ahora que Bd(y, ) Bd(x, ). En efecto,si p Bd(y, ), entonces d(y, p) < y d(x, p) d(x, y) + d(y, p) 0 tal queBd(x, ) Bd(x, ) = .Demostracin. Como (X, d) es un espacio mtrico, entonces d(x, x) = > 0. Sea = /2. Afirmamos que Bd(x, ) Bd(x, ) = .

(R.A.) Si existiese y Bd(x, ) Bd(x, ), entonces d(x, y) < yd(x, y) < . Luego d(x, x) d(x, y) + d(y, x) < + = 2 = yconcluimos que d(x, x) < , lo cual es absurdo.

Ejemplo 1.1.27. En R2, d((x, x), (y, y)) = |x y| es seudodistan-cia pero no distancia porque d((0, 0), (0, 1)) = 0 < , luego (0, 1) Bd((0, 0), ), para todo > 0. Por tanto, Bd((0, 1), ) Bd((0, 0), ) 6= para todo > 0.

El punto (0, 1) no se puede separar nunca del (0, 0).


1.2. Conjuntos que envuelven a sus puntos

Un crculo abierto del plano contiene todos los puntos del plano querodean su centro hasta una cierta distancia (el radio del crculo), igual-mente una bola abierta de un espacio (seudo)mtrico. Ms an, de acuer-do con la propiedad 1.1.25(2), una bola abierta cualquiera contiene todoslos puntos vecinos de cada uno de sus puntos hasta una cierta distancia(que vara segn el punto elegido). Pero tambn figuras de aspecto ge-omtrico irregular pueden envolver a algunos de sus puntos (incluso atodos): bastar que contenga alguna bola abierta, por pequea que sea,centrada en cada uno de esos puntos.

Figura 1.12:

Para fijar ideas establecemos las siguientes definiciones

Definicin 1.2.1. Sea (X, d) un espacio (seudo)mtrico y A X. Dec-imos que x X es un punto interior de A si existe > 0 tal queBd(x, ) A. En tal caso se dice que A es entorno de x en (X, d).

Se llama interior de A en (X, d), denotado por intA, a:

intA = {x X, x es interior a A}.

Un conjunto A X se dice abierto en (X, d) si A = intA.Proposicin 1.2.2. 1. Se cumple que intA A en todo espacio (seu-

do)mtrico (X, d).

2. Toda bola abierta en un espacio (seudo)mtrico es un conjuntoabierto en (X, d).


Demostracin. 1. Si x intA, entonces existe > 0 conBd(x, ) A.Por el apartado 1 de la Proposicin 1.1.25, x Bd(x, ) A, luegox A. Por tanto, intA A.

2. Demostraremos que intBd(x, ) = Bd(x, ) por doble inclusin.

intBd(x, ) Bd(x, ) por (1).intBd(x, ) Bd(x, ): Sea y Bd(x, ). Por el apartado 2 de laProposicin 1.1.25, existe > 0 tal que Bd(y, ) Bd(x, ), luegoy intBd(x, ).

El siguiente resultado muestra que todo control de proximidad"tienea los abiertos y no al valor numrico de la (seudo) distancia que los generacomo elemento fundamental.

Figura 1.13:

Proposicin 1.2.3. En los espacios mtricos (R2, de(eucldea)), (R2, dtaxi)y (R2, dmax), cualquier conjunto A R2 tiene el mismo interior. Por tan-to, las familias de los conjuntos abiertos de los tres espacios coinciden.

Demostracin. Si x = (x1, x2) intA en (R2, de(eucldea)), entonces ex-iste > 0 tal que Bde(x, ) A. Ahora bien, Bde(x, ) = {y = (y1, y2) R2, de(x, y) < } = {y R2,

(x1 y1)2 + (x2 y2)2 < }, de donde se

sigue fcilmente que:

Bdmax(x,2/2) Bde(x, ) A, luego x intA en (R2, dmax).

Bdtaxi(x, ) Bde(x, ) A, luego x intA en (R2, dtaxi).


Figura 1.14:

Figura 1.15:

Sea x = (x1, x2) intA en (R2, dtaxi). Entonces existe > 0 tal queBdtaxi(x, ) A. Como Bdtaxi(x, ) = {y = (y1, y2) R2, dtaxi(x, y) 0 tal queBd(x, ) N . Como las bolas abiertas son abiertos, entonces pode-mos definir G := Bd(x, ), que es un abierto en (X, d). Como x G(por ser el centro de la bola), entonces x G N .Recprocamente, supongamos que x G N con G abierto. Porser G abierto, entonces G = intG y x intG. Por la definicin deinterior, existe > 0 tal que Bd(x, ) G N , luego x intN yobtenemos que N es entorno de x.

3. Por definicin, x intA si y slo si A es entorno de x.

Proposicin 1.2.7. (Propiedades del interior) Sea (X, d) un espacio(seudo)mtrico. Entonces:

1. intA A.2. Si A B, entonces intA intB.3. int(A1 . . . An) = intA1 . . . intAn.4. int(intA) = intA. En particular, intA siempre es abierto.

Demostracin. 1. Ya hecha en el apartado 2 de 1.2.2.


2. Si x intA, entonces existe > 0 con Bd(x, ) A B. Portanto, Bd(x, ) B y concluimos que x intB.

3. Demostraremos int(A1 . . .An) = intA1 . . . intAn por dobleinclusin.

Siempre es cierto que A1 . . . An Ai, (1 i n). Por tanto,int(A1 . . .An) intAi, para todo i, y obtenemos int(A1 . . .An) intA1 . . . intAn.Si x intA1 . . . intAn, entonces x intAi para todo 1 i n. Para cada i existe i > 0 de forma que Bd(x, i) Ai. Sitomamos 0 = mn{i}1in, Bd(x, 0) Bd(x, i) Ai, i. Portanto, Bd(x, 0) ni=1Ai y concluimos que x ni=1Ai.

4. Por el primer apartado, intA A. Por el segundo, int(intA) intA. Veamos a continuacin la otra inclusin.

Si x intA, entonces existe > 0 tal que Bd(x, ) A. Queremosprobar que x int(intA), es decir, que existe > 0 con Bd(x, ) intA.

Ahora bien, nos sirve como el propio porque Bd(x, ) intA. Enefecto, dado y Bd(x, ), por el apartado 2 de la proposicin 1.1.25,existe > 0 on Bd(y, ) Bd(x, ) A. Por tanto, y intA yhemos probado que Bd(x, ) intA.

Proposicin 1.2.8. (Propiedades bsicas de los conjuntos abiertos enun espacio (seudo)mtrico). Dado un espacio (seudo)mtrico (X, d), secumplen:

1. Los conjuntos y X son abiertos en (X, d).


2. Si A1, . . . , An son abiertos en (X, d), entonces A1. . .An tambines abierto.

3. Si {A} es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), en-tonces A tambin lo es.

Demostracin. 1. El conjunto X es abierto en (X, d) porque dadosx X y > 0 cualesquiera, Bd(x, ) X por ser X el espaciototal, luego x intX, x X.Por otra parte, est contenido en cualquier conjunto, luego int. La otra inclusin siempre es cierta, luego = int y con-cluimos que es abierto.

2. Si A1, . . . , An son abiertos en (X, d), entonces intAi = Ai paratodo 1 i n. Por la proposicin anterior, obtendramos queni=1Ai = ni=1intAi = int(ni=1Ai), luego ni=1Ai es abierto.

3. Si {A} es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), quere-mos probar que int(A) = A.La inclusin int(A) A es siempre cierta.Veremos ahora que la otra inclusin tambin se cumple. Como Aes abierto, A = intA. El conjunto A est contenidoen A, luego intA int(A), por la proposi-cin 1.2.7. Por tanto, intA int(A) y concluimos queA int(A).

Captulo 2

Espacios topolgicos

En el captulo anterior vimos que distacias distintas podan dar lugara un mismo ontrol de proximidad". Por tanto debe existir una nocinsubyacente a la de distancia que nos lleve a la fundamentacin general dela idea de proximidad. Esta estructura es la de topologa como coleccinde subconjuntos sujetos a las condiciones que se reflejan en la propiedadesbsicas de los conjuntos abiertos de los espacios (seudo)mtricos en laproposicin 1.2.8. El relevo de una (seudo)distancia por la familia deabiertos permite establecer sobre un conjunto una estructura de proxim-idad sin valores numricos.

2.1. La proximidad sin distancia

Definicin 2.1.1. Dado un conjunto X cualquiera, se llama topologasobre X a cualquier familia T de subconjuntos de X cumpliendo:

1. Los conjuntos y X estn en T .2. Si A1, . . . , An estn en T , entonces ni=1Ai tambin est en T .3. Si {A} est formada por conjuntos en T , entonces A

tambin est en T .Al par (X, T ) se le llama espacio topolgico. Los conjuntos de T se llamanabiertos del espacio topolgico (X, T ).Ejemplo 2.1.2. Si (X, d) es un espacio (seudo)mtrico, entonces la fa-milia Td = {A X;A es abierto en (X, d)} es una topologa sobre X,llamada topologa asociada a la distancia d. Esto es una consecuencia in-mediata de las propiedades bsicas de los conjuntos abiertos en espacios(seudo)mtricos.

18

CAPTULO 2. ESPACIOS TOPOLGICOS 19

Nota 2.1.3. Se cumple que Tdeucldea = Tdtaxi = Tdmax , es decir, que elespacio topolgico asociado a las tres distancias es el mismo.

Ejemplo 2.1.4. Sea X un conjunto cualquiera y T la familia formadapor y todos los A X con X A finitos (Topologa de Zariski ocofinita). Comprobaremos a continuacin que T es topologa sobre X:

1. T por definicin.X T porque X X = , que tiene 0 elementos.

2. Dados A1, . . . , An T , tenemos dos casos posibles:Si algn Ai = , entonces A1 . . . An = T .Si Ai 6= , para todo 1 i n, entonces X Ai es unconjunto finito para todo 1 i n. Como X (ni=1Ai) =ni=1(X Ai) es unin finita de conjuntos finitos, entonces esfinito y concluimos que ni=1Ai T .

3. Si {A} con A T para todo , queremos probar queA T . Distinguiremos dos casos:

Si A = para todo , entonces A = T .Si A0 6= para algn 0, entonces X A0 es finito. Ahorabien, X (A) = (X A) X A0 (que esfinito), luego X (A) es finito y A T .

Proposicin 2.1.5. Si X es infinito, no existe ninguna distancia d so-bre X cuyos abiertos sean los conjuntos que aparecen en la topologa deZariski.

Demostracin. (R.A.) Supongamos que existiese tal distancia d con Td =T . Consideremos x, x X, con x 6= x. Por la propiedad de separacinde Hausdorff, existe > 0 con Bd(x, )Bd(x, ) = . Tomando comple-mentarios, obtendramos que X = X = X (Bd(x, ) Bd(x, )) =(X Bd(x, )) (X Bd(x, )) sera un conjunto infinito (porque porhiptesis X lo es).

Ahora bien, cada bola es un abierto en Td = T y x Bd(x, ) 6=, luego X Bd(x, ) y X Bd(x, ) son conjuntos finitos. Por tanto,(XBd(x, ))(XBd(x, )) sera un conjunto finito. Contradiccin.Nota 2.1.6. Se deja como ejercicio el demostrar que tampoco existe unaseudodistancia d sobre un conjunto infinito X para la cual la topologade Zariski sea la familia de abiertos de (X, d).


2.2. El interior de un conjunto en un espacio

topolgico

Hemos basado la definicin de espacio topolgico en la nocin de con-junto abierto. Nuestra experiencia con los espacios (seudo)mtricos nosdice que debera existir una idea de interior en un espacio topolgico deforma que los abiertos de ese espacio quedasen caracterizados como aquel-los conjuntos que coinciden con su interior como as ocurre en los espacios(seudo)mtricos. La Proposicin 1.2.6(3) sugiere la siguiente definicin.

Definicin 2.2.1. Sea (X, T ) un espacio topolgico. Si A X y x X,decimos que x es interior a A en (X, T ) si existe un G en T con x G A. En particular, A.

Se llama interior del conjunto A en (X, T ) al conjunto intA = {x X; x es interior a A}.Nota 2.2.2. Obsrvese que por definicin, siempre intA A.Proposicin 2.2.3. El conjunto A est en T si y slo si A = intA.Demostracin. Si A est en T , todo a A cumple que a A A,luego a intA. Como A intA y la otra inclusin se cumple siempre,entonces A = intA.

Recprocamente, si intA = A, entonces todo a A cumple que a intA, es decir, que existe Ga en T con a Ga A. Como A = aA{a} aAGa A, luego A = aAGa, que est en T por la tercera propiedadde la definicin de topologa.

Ahora veremos que las propiedades del interior en un espacio (seu-do)mtrico se mantienen en los espacios topolgicos.

Proposicin 2.2.4. Sea (X; T ) un espacio topolgico. Entonces se cumplen:1. intA A.2. Si A B, entonces intA intB.3. int(A1 . . . An) = intA1 . . . intAn.4. int(intA) = intA. En particular, intA siempre es abierto.


Demostracin. (1) es la Nota 2.2.2. Para demostrar (2), si x intAexiste un abierto G con x G A B; luego x intB. As pues,intA intB.

De acuerdo con (2), y como A1 . . . An Ai para cada 1 i n,tenemos int(A1 . . . An) intAi, y por tanto int(A1 . . . An) intA1intA2 intAn. Para la otra inclusin, sea x intA1intA2 intAn.Por definicin, para cada i n existe un abierto Gi con x Gi Ai.Por tanto, G = G1 Gn es un abierto y x G A1 An. Estoprueba que x int(A1 An). Esto concluye la demostracin de (3).

Finalmente, tenemos int(intA) intA por (1). Adems, si x intAexiste un abierto G con x G A. Aplicando la Proposicin 2.2.3 yla propiedad (2), tenemos x G = intG intA. Consecuentemente, ladefinicin de interior nos da x int(intA).Definicin 2.2.5. Dado N X, decimos que N es entorno de x Xen el espacio topolgico (X, T ) si x intN .Proposicin 2.2.6. A est en T si y slo si es entorno de todos suspuntos.

Demostracin. Se deja como ejercicio.

Definicin 2.2.7. Dado (X, T ) un espacio topolgico, se dice que x Aes un punto aislado en A X si existe G en T con x G tal queG A = {x}.

En particular, x se dice aislado en X si existe G en T con G = {x}.

2.3. La clausura de un conjunto. Conjuntos

cerrados

Si un punto x A no es aislado en A, entonces para todos G en T yx G se cumple que G A 6= {x}, es decir, que (G {x}) A 6= .

Un punto no aislado se dice punto de acumulacin; esto es

Definicin 2.3.1. Dado un espacio topolgico (X, T ) y A X, decimosque x X es punto de acumulacin de A si para todo abierto G en (X, T )con x G, se cumple que (G {x}) A 6= .Proposicin 2.3.2. (Caracterizacin de puntos de acumulacin en es-pacios mtricos) Dados (X, d) un espacio mtrico y A X, el puntox X es de acumulacin de A si y slo si todo abierto G en (X, d)contiene infinitos puntos de A.


Demostracin. Si todo G contiene infinitos puntos de A, entonces el con-junto (G {x}) A contiene tambin infinitos puntos. En particular,(G {x}) A 6= , luego x es de acumulacin de A.

Recprocamente, sea G un abierto en (X, d) con x G. Como Ges entorno de todos sus puntos, existe > 0 tal que Bd(x, ) G.Por hiptesis, (Bd(x, ) {x}) A 6= , luego existe x1 A con x1 Bd(x, ) {x}. Como x 6= x1 y d es distancia, > d(x, x1) = > 0.

Figura 2.1:

Sea 1 = /2. Por hiptesis, (Bd(x, 1) {x}) A 6= , luego existex2 A con x2 6= x. Adems, d(x, x2) < 1 = /2 < d(x, x1), luegox2 6= x1. Como x 6= x2, 0 < d(x, x2) = 1 < 1.

Sea 2 = 1/2 = /4. Por hiptesis, (Bd(x, 2) {x}) A 6= , luegoexiste x3 A con x3 6= x. Adems, d(x, x3) < 2 < 1/2 < d(x, x2) 0, siempre hay algnpunto a A con x0 a x0 + . Por otro lado, si G es un abiertoeucldeo con x0 G existe 0 > 0 con (x0 0, x0 + 0) G, y por tantoa/2 (x0 0, x0 + 0) A G A. Tenemos as que x0 A.

Si ahora x1 es el supremo, tenemos un elemento a A con x1

a x1 y se razona igual que en caso anterior para llegar a que todoabierto eucldeo que contega a x1 corta a A; es decir, x1 A.Proposicin 2.3.8. Sea (X, T ) un espacio topolgico. Entonces, paratodo A X, se tiene:

A = (AA) Adonde A = {x X, x es punto de acumulacin}. Obsrvese que A Aes exactamente el conjunto de puntos asilados de A.

Demostracin. Veamos la contencin hacia la derecha. Si x A, distin-guimos:

-x A, luego hemos terminado.-x 6 A, luego existe G abierto, con x G y (G {x}) A = .

Entonces, x es el nico punto en G A. Luego, x A A. Por tanto,x (A A) A.

Para la otra contencin, si x (AA) A, distinguimos:-x A A, luego x A A, quedando demostrado.-x A. Entonces, para todo G abierto, con x G, se verifica que

(G {x}) A = , por lo que G A 6= . Por tanto, x A.

2.4. Dualidad interior/clausura y abierto/cerrado

En esta seccin veremos que en cualquier espacio topolgico el inte-rior y la clausura se determinan recprocamente; es decir, basta conocerlos interiores de los subconjuntos de un espacio topolgico para cono-cer sus clausuras y recprocamente. Exactamente se tiene la siguienteproposicin:


Proposicin 2.4.1. (Dualidad interior/clausura)Sea (X, T ) un espacio topolgico. Dado A X se tiene:1. A = X int(X A).2. int(A) = X (X A).

Demostracin. 1. x A para todo G abierto de (X, T ), con x G,G A 6= para todo G abierto de (X, T ), con x G,G *X A x 6 int(X A) x X int(X A).

2. A partir del apartado anterior, cambiando A por X A.Como consecuencia inmediata se tiene.

Proposicin 2.4.2. (Dualidad abierto-cerrado) En cualquier espaciotopolgico (X, T ) un conjunto A es abierto si y slo si su complemen-tario X A es cerradoDemostracin. Tenemos, A abierto A = int(A) (2) A = X (X A) X A = (X A) X A es cerrado.

A partir de las propiedades del interior y la dualidad en la Proposi-cin 2.4.1 podemos demostrar las siguientes propiedades generales de laclausura. Aqu las demostraremos directamente, dejando como ejercicioel hacerlo como se ha indicado anteriormente.

Proposicin 2.4.3. (Propiedades de la clausura)Sea (X, T ) un espacio topolgico. Se cumple:1. Si A X entonces A A.2. Si A B entonces A B.3. A1 ... An = A1 ... An.4. A = A. En particular, A siempre es cerrado.

Demostracin. 1. Ya lo hemos observado antes.2. Sea x A, entonces, para todo abierto G de (X, T ) con x G se

tiene que G A 6= . Como A B, entonces G A G B. Por lotanto, G B 6= , y de ah deducimos que x B. Luego A B.

3. Por el apartado anterior, sabemos que si Ai A1 ...An, i, en-tonces, Ai A1 ... An, para todo i. Por tanto,

ni=1Ai A1 ... An.

Para la otra contencin, sea x A1 ... An, por definicin se tieneque si G es cualquier abierto de (X, T ) con x G, se tiene que G (A1... An) 6= . Ahora, por reduccin al absurdo:

Si x 6 A1 ... An, entonces x 6 Ai, i. De este modo, existir Giabierto, con x Gi y Gi Ai = , i. Ahora, sea Go =

ni=1Gi, ste


es un abierto con x Go. Llegamos as a contradiccin con G0 Ai GiAi = , i, implicando G0 (A1 ...An) = , que no se puede dar.

4. Aplicando el primer apartado, se tendr que A A. Para la otracontencin, tomamos x A. Entonces, para todo G abierto de (X, T ),con x G, G A 6= . De este modo, existir y A, con y G. As,por la definicin de la clausura, G A 6= . Luego, x A, y, por tanto,A A.

Figura 2.2:

La definicin de cerrado como conjunto que coincide con su clausuray las propiedades de la clausura en la Proposicin 2.4.3 implican las sigu-ientes propiedades de los conjunto cerrados de cualquier espacio topolgi-co. Dejamos como ejercicio el escribir una demostracin siguiendo estaindicacin. Aqu lo haremos usando la dualidad abierto/cerrado.

Proposicin 2.4.4. (Propiedades de los cerrados)1. y X son cerrados.2. Si A1...An son cerrados, entonces

ni=1Ai es cerrado.

3. Si {A} es una familia de cerrados, entonces

A es cer-rado.

Demostracin. 1. es abierto, luego X = X es cerrado.X es abierto,luego X X = es cerrado.2. Si Ai es cerrado, entonces X Ai es abierto. Por tanto,

ni=1(X

Ai) = X n

i=1Ai es abierto, luegon

i=1Ai es cerrado.3. Si A es cerrado, entonces XA es abierto. Luego, por propiedad

de los abiertos,

(X A) = X

A es abierto. Por tanto,A es cerrado.


2.5. Convergencia de sucesiones en un es-

pacio topolgico. Caracterizacin de la

clausura en los espacios (seudo)mtricos

Como los abiertos que continen a un punto x de un espacio topolgicoactuan como filtros de la proximidad a x, la siguiente definicin precisala idea de acercarse a x mediante sucesiones.

Definicin 2.5.1. Sea (X, d) un espacio topolgico. Una sucesin {xn}n1de X se dice que converge a x0 X (o equivalentemente, que x0 es unpunto lmite de {xn}n1) en (X, T ) si para todo abierto G de (X, T ) conx0 G existe n0 tal que si n n0, entonces xn G.

Figura 2.3:

Proposicin 2.5.2. Sea (X, d) un espacio mtrico. Toda sucesin con-vergente en (X, d) tiene un nico punto lmite.

Demostracin. (R.A.) Supongamos que {xn}n1 X converge en (X, d)a x0 y a x1, con x0 6= x1. Aplicando la propiedad de separacin de Haus-dorff de los espacios mtricos, existe > 0 con Bd(x0, ) Bd(x1, ) = .Como {xn}n1 converge a x0, entonces existe n0 tal que xn Bd(x0, )si n n0.

Por otro lado, como {xn}n1 converge a x1, existe n1 tal que xn Bd(x1, ) para todo n n1.

Si n > max{n0, n1}, entonces xn Bd(x0, ) Bd(x1, ) = . Con-tradiccin.


Figura 2.4: Los puntos de la sucesin deben separarse para alcanzar losdos puntos lmite

Definicin 2.5.3. Un espacio topolgico (X, T ) se dice que tiene lapropiedad de separacin de Hausdorff (o que es un espacio de Hausdorff )si dados x, x X con x 6= x, existen abiertos G,G en (X, T ) tales quex G, x G y G G = .Nota 2.5.4. Si (X, T ) es un espacio topolgico de Hausdorff, entoncestoda sucesin convergente tiene un nico punto lmite.

Ejemplo 2.5.5. Sea (R2, d) con d((x, y), (x, y)) = |x x|.La sucesin (xn, yn) = (1/n, 0) converge a todo punto de la forma

(0, y). En efecto, sea G un abierto de (X, d) con (0, y) G(= intG).Entonces existe > 0 tal que Bd((0, y), ) G.

Figura 2.5:

Si escogemos n0 tal que 1/n0 < , entonces para todo n n0 secumple que d((0, y), (1/n, 0)) = 1/n 1/n0 < , luego (xn, yn) =(1/n, 0) Bd((0, y), ) G, n n0.

Podemos concluir que el espacio no es de Hausdorff.


Proposicin 2.5.6. (Caracterizacin de la clausura en espacios (seu-do)mtricos). Sea (X, d) un espacio (seudo)mtrico. Son equivalentes:

1. x A con x X y A X.2. Dado > 0, existe a A con d(x, a) < .3. Existe {an}n1 A con {an}n1 convergiendo a x.

Demostracin. 1) 2): Para cada > 0, Bd(x, ) es abierto en (X, d)y x Bd(x, ), luego Bd(x, ) A 6= porque x A. Existe por tantoa A tal que a Bd(x, ), es decir, d(x, a) < .

2) 3) : Dado = 1, existe a1 A tal que a1 Bd(x, 1). Dado = 1/2, existe a2 A tal que a2 Bd(x, 1/2).

Figura 2.6:

Reiterando el proceso obtenemos una sucesin a1, . . . , an en A conan B(x, 1/n), es decir, d(x, an) < 1/n. Afirmamos que {an}n1 con-verge a x. En efecto, si G es abierto de (X, d) con x G, entonces existe > 0 con Bd(x, ) G.

Si n0 con 1/n0 < , se cumple que d(an, x) < 1/n < 1/n0 < para todo n n0. Luego an Bd(x, ) G y concluimos que {an}n1converge a x.

3) 1) (Vlido para todo espacio topolgico):Sea G un abierto de (X, d) con x G. Como {an}n1 converge a x por

hiptesis, existe n0 con an G si n n0 (por definicin de convergencia).Como an A, entonces an A G 6= y concluimos que x A por ladefinicin de clausura.

Corolario 2.5.7. En un espacio (seudo)mtrico, A es cerrado si y slosi para todo x X para el cual exista {an}n1 A convergiendo a x setiene que x A.


Demostracin. Sabemos que A es cerrado si y slo si A = A. La condicinpara todo x X para el cual exista {an}n1 A convergiendo a x setiene que x A significa, gracias a la proposicin anterior, que si x A,entonces x A. Por tanto A A y, como la otra inclusin siempre escierta, A = A.

2.6. Otros puntos notables. Anlisis de la posi-

cin en un espacio topolgico

Definicin 2.6.1. Sea (X, T ) un espacio topolgico. Dado A X, deci-mos que x X es un punto frontera de A si para todo conjunto G abiertode (X, T ) con x G, se verifica que G A 6= y (X A) G 6= .

Se llama conjunto frontera de A aFrA = {x X, x punto frontera de A}

Proposicin 2.6.2. FrA = A X AProposicin 2.6.3. Sea (X, T ) un espacio topolgico. Entonces, paratodo A X, se cumple:

A = int(A) FrAAdems, int(A) FrA = .

Demostracin. Para la contencin hacia la derecha, sea x A, distin-guimos:

-x int(A), luego x int(A) FrA, y hemos terminado.-x 6 int(A), entonces, para todo G abierto, con x G, se tiene que

G * A. De este modo, para todo G abierto con x G, se verifica queG (XA) 6= . Entonces, x FrA, y de este modo, x int(A)FrA.

Para la contencin hacia la izquierda, sea x int(A) FrA. Distin-guimos:

-x int(A) A A, luego x A.-x FrA = A X A, luego x A.Finalmente, veamos que int(A) y FrA son disjuntos. Por reduccin al

absurdo, supongamos que x int(A) FrA. En particular, x int(A),luego, existe un abierto G, con x G A. Entonces, G (X A) = ,por lo que x 6 FrA, que contradice la hiptesis.

Definicin 2.6.4. Sea (X, T ) un espacio topolgico, y A X. Un ele-mento x X se dice exterior a A si x int(X A). Se define el exteriorde A como:

ext(A) = int(X A)


Proposicin 2.6.5. Sea (X, T ) un espacio topolgico, entonces:1. FrA = Fr(X A)2. X = int(A) FrA ext(A)3. Los anteriores conjuntos son disjuntos entre s.

Demostracin. 1. FrA = A X A = Fr(X A).2. Tenemos que X = A (X A). Como A = X int(X A), se

tendr que X = int(A) FrA int(X A) = int(A) FrA ext(A).3. Sabemos que FrA int(A) = . Por otro lado, FrA ext(A) =

Fr(X A) int(X A) = . Y por ltimo, int(A) ext(A) = int(A)int(X A) A (X A) = . Luego los conjuntos son disjuntos.

Ejemplo 2.6.6. (a) Si Z R es el conjunto de los nmeros enteros, setiene que int(Z) = y Z = Z en (R, eucldea), en particular FrZ = Z.Tenemos as que Z es cerrado (pero no abierto) en la recta eucldea.

(b) Si a < b, entonces los intervalos A = [a, b], B = (a, b), C = [a, b)y D = (a, b] como conjuntos de la recta eucldea cumplen:

1. int(A) = int(B) = int(C) = int(D) = (a, b)2. A = B = C = D = [a, b]3. FrA = FrB = FrC = FrD = {a, b}As pues, A es un conjunto cerrado pero no abierto, B es un conjunto

abierto no cerrado y C y D no son ni abiertos ni cerrados.

(c) El Conjunto de Cantor es el conjunto cerrado de la recta eucldeaC = n=1An obtenido como la interseccin de los conjuntos cerrados(y esto prueba que C es un conjunto cerrado) definidos inductivamenteal tomar An+1 como el resultado de eliminar los intervalos abiertos queconstituyen los tercios centrales de los intervalos que componen An. Secomienza con A1 = [0, 1].


Figura 2.7:

(d) Sea X = {f : [1, 1] R continua}, definimos el conjuntoA X como A = {f X : f derivable}. Nos preguntamos si el conjuntoA es cerrado para la distancia del supremo d. Esta pregunta, pura-mente topolgica, equivale a probar que el lmite respecto a d de fun-ciones derivables es derivable lo dara un importante resultado de Anli-sis. Desafortunadamente la respuesta es negativa. En efecto, si tomamosf(x) = |x|, funcin no derivable, podemos encontrar una sucesin defunciones derivables que tienden a f .

Figura 2.8:

Esto implica que A 6= A, por lo que A no es cerrado. De hecho sepuede demostrar que A = X, por lo que toda funcin continua es lmitede funciones derivables respecto a la distancia del supremo d.

Definicin 2.6.7. Sea (X, T ) un espacio topolgico, A X se dicedenso en (X, T ) si A = X.

2.7. Subespacio topolgico

Proposicin 2.7.1. Sea (X, T ) un espacio topolgico, y A X. Sea lafamilia de subconjuntos de A,

TA = {A G,G T }.


Entonces, la familia TA es una topologa sobre A, llamada topologa rel-ativa a A (o restriccin). A (A, TA) se le llama subespacio topolgicode (X, T ), y se tiene que C A es un cerrado de (A, TA) si y slo siC = {F A,F cerrado de (X, T )}Demostracin. Dejamos como ejercicio comprobar que TA es una topologasobre A. Para la segunda parte, tenemos que C A es un conjunto cerra-do de (A, TA) si y slo si C = AH , con H abierto en (A, TA) si y slo siC = AH yH = GA conG T . Luego C = A(XH) = A(XG),siendo X G cerrado de (X, T ).

Teniendo en cuenta que la interseccin finita de conjuntos abiertos(de cerrados, respectivamente) es un conjunto abierto (cerrado, resp.),se sigue inmediatamente la siguiente proposicin. Dejamos los detallescomo ejercicio.

Proposicin 2.7.2. si A abierto de (X, T ), entonces todos los abiertosde (A, TA) son abiertos de (X, T ). Del mismo modo se tendr para loscerrados.

Ejemplo 2.7.3. En general, los abiertos de (A, TA) no son abiertos de(X, T ). Por ejemplo: sea (R2, eucldea), y A = R2+ = {(x, y) : y 0} elsemiplano superior.

Figura 2.9:

Entonces, A no es un abierto en (R2, eucldea). Ahora, tomando G =Bd(0, ), que es abierto de (R2, eucldea), ocurre que GA no es abiertode (R2, eucldea), pero s lo es de (A, eucldea|A)Nota 2.7.4. Si B A X y (X, T ) espacio topolgico, denotamos porB

Xa la clausura de B en (X, T ), y BA, a la clausura de B en (A, TA).

Probar que BA= B

X A.Nota 2.7.5. Sea (X, d) un espacio (seudo)mtrico, y sea Td la topologade los abiertos de (X, d). Dado A X, denotamos por d|A a la distan-cia restriccin cuyos abiertos forman la topologa Td|A, entonces se tiene


Td|A = (Td)A. Se deja como ejercicio comprobar la igualdad (Ayuda: setiene que para todo a A, Bd|A(a, ) = Bd(a, ) A).

Para terminar, una observacin sobre aquellos conjuntos que son si-multneamente abiertos y cerrados en un espacio topolgico. Hemos vistoque al menos X y son conjuntos simultneamente abiertos y cerradosen cualquier espacio topolgico (X, T ). Los espacios donde nicamenteel espacio total y el conjunto vaco son a la vez abiertos y cerrados son degran importancia en matemticas y son llamados espacios conexos. Volv-erenos sobre ellos en la Seccin 4.4. A continuacin demostraremos quetodos los intervalos de la recta con la restriccin de la topologa eucldeacumplen esta propiedad.

Proposicin 2.7.6. Sea J un intervalo de cualquier tipo de la rectaincluyendo la propia recta. Entonces, los nicos abiertos de (J ,eucldea)que son a la vez cerrados son J y .Demostracin. R.A. Supongamos por el contrario que existe A J abier-to y cerrado de (J ,eucldea) con A 6= y A 6= J . Escogemos un t0 JA.Entonces si

Figura 2.10:

A0 = A (, t0) = A (, t0]A1 = A (t0,) = A [t0,)

necesariamente A0 6= A1 6= .Supongamos A0 6= . Como A es abierto en (J, eucldea), tambin lo esA0 = A(J(, t0)) por ser interseccin de dos abiertos en (J, eucldea).Del mismo modo, A0 es cerrado en (J, eucldea).El conjunto A0 est acotado por t0 superiormente y A0 6= , entoncesexiste a = supA0. Como J es in intervalo, para todo t A0, tenemosa [t, t0] J . Sabemos por el Ejemplo 2.3.7 que a es un punto adherentede A0 en (R, eucldea). Por la Nota 2.7.4, tenemos que a A0J = A0J .Ahora bien, como A0 es cerrado en (J, eucldea), entonces, a A0.En particular, a < t0. Por otro lado, de ser A0 abierto se sigue queexiste > 0 con {t J ; |t t0| < } A0, entonces si 0 < < cona + [a, t0] J tenemos a + A0 y a + > a, por lo que a no essupremo de A0 llegando as a una contradiccin.


2.8. Continuidad

Desde el punto de vista del anlisis de la posicin, una aplicacincontinua debe preservar la estructura de proximidad; es decir, si un puntoest adherido a un conjunto, entonces la imagen de aquel debe seguirpegado a la imagen del conjunto.

Figura 2.11:

Definicin 2.8.1. Sean (X, T ) e (Y, T ) espacios topolgicos. Una apli-cacin f : (X, T ) (Y, T ) se dice continua si para todo A X, se verifi-ca que f(A) f(A). Es decir, si para todo a A, entonces, f(a) f(A).Proposicin 2.8.2. (Caracterizacin de la continuidad por abiertos ycerrados)

Sean (X, T ) e (Y, T ) espacios topolgicos, y sea una aplicacin f :(X, T ) (Y, T ). Son equivalentes:

(1) f es continua.(2) Si F es un cerrado en (Y, T ), entonces f1(F ) es cerrado en

(X, T ).(3) Si G es un abierto en (Y, T ), entonces f1(G) es abierto en

(X, T ).Demostracin. (1) (2) Sea F un cerrado en (Y, T ), veamos quef1(F ) es cerrado en (X, T ). Esto ser cierto si f1(F ) = f1(F ), demodo que la contencin hacia la izquierda se tiene siempre.

Para la otra contencin, tomamos A = f1(F ) X. Entonces, por lacontinuidad de f , se tiene que f(f1(F )) f(f1(F )). Ahora, tenemosque f(f1(F )) F , y por la monotona de la clausura, f(f1(F )) F = F . Aplicando lo anterior, se tiene que f(f1(F )) F . Luego, paratodo z f1(F ), se verifica que f(z) F , luego z f1(F ). Por tanto,se tiene la otra inclusin.

(2) (3) Sea G abierto, entonces Y G es cerrado. Como estamossuponiendo (2), f1(Y G) = Xf1(G) es cerrado. Por tanto, f1(G)es abierto.


(3) (1) Sea y f(A), veamos que y f(A). Es decir, debemosprobar que para todo G abierto de (Y, T ) con y G, se tiene queGf(A) 6= . En efecto, si G abierto, entonces, por (3), f1(G) es abiertode (X, T ). Como y f(A), existir algn x A con f(x) = y. De modoque, como y G, x f1(G). Ahora, como x A, cualquier abiertoque contenga a x corta a A. As, por la definicin de punto adherente,se tiene que f1(G) A 6= . Luego, existe a A con a f1(G).Entonces, f(a) Gf(A), es decir, Gf(A) 6= , que es lo que queramosprobar.

La caracterizacin de la continuidad por abiertos y cerrados nos llevaa la siguiente versin general de conocido Teorema del Valor Intermediode Bolzano.

Proposicin 2.8.3. Sea (X, T ) un espacio topolgico. Son equivalentesa) Los nicos conjuntos abiertos que son tambin cerrados en (X, T ) sonX y .b) Si f : (X, T ) (R, eucldea) es continua y a, b f(X) con a bentonces [a, b] f(X)c)(Teorema de Bolzano) Si f : (X, T ) (R, eucldea) es continua yx1, x2 X con f(x1) < 0 y f(x2) > 0, entonces x0 X con f(x0) = 0.Demostracin. a) b)Si a = b no hay nada que probar. Supongamos entonces que a < b. Sialgn t con a < t < b cumpliese que t / f(X), entonces el conjuntoA = f1((t,)) coincide con f1([t,)). Luego la continuidad de f im-plica que el A es un conjunto a la vez abierto y cerrado. Adems, comoa f(X), si a = f(x0), x0 / A pues a = f(x0) < t, mientras que sif(x1) = b entonces x1 A pues b > t. Esto nos dice que A 6= , X, loque contardice a).

b) c)Si f(x1) = a < 0 y f(x2) = b > 0. Tenemos a b, entonces [a, b] f(X).Por b) sabemos que 0 [a, b] f(X). Luego, x0 X con f(x0) = 0

c) a)Si no no se cumpliese a) entonces existe A 6= , X abierto y cerrado a lavez. Sea f : (X, T ) (R, eucldea) definida como

f(x) =

{+1 si x A1 si x 6 A


Afirmamos que f es continua y claramente no cumple la condicin c),llegando a una contradiccin. Veamos la continuidad. Sea G abierto de(R,eucldea)

Supongamos 1,1 G f1(G) = A (X A) = XSupongamos 1,1 6 G f1(G) = Supongamos 1 G y 1 6 G f1(G) = ASupongamos 1 G y 1 6 G f1(G) = X A

En cualquier caso f1(G) es un conjunto abierto y por tanto f es con-tinua.

Consecuencia: Como todo intervalo de la recta (incluyendo la recta)cumple el apartado a) (Proposicin 2.7.6), obtenemos como caso partic-ular de la Proposicin 2.8.3 la versin clsica del teorema de Bolzano.

Proposicin 2.8.4. (Caracterizacin de la continuidad para espacios(seudo)mtricos)

Sea f : (X, d) (Y, d) una aplicacin entre espacios (seudo)mtricos.Son equivalentes:

(1) f es continua (con la caracterizacin por abiertos).(2) Para todo x X y para todo > 0, existe > 0 tal que si

d(x, x) < , entonces, d(f(x), f(x)) < . O equivalentemente, f(Bd(x, )) Bd(f(x), ).

Demostracin. (1) (2) Como Bd(f(x), ) es abierto de (Y, T ), por (1)sabemos que f1(Bd(f(x), )) es abierto con de (X, T ). De este modo,si f(x) Bd(f(x), ), entonces x f1(Bd(f(x), )). As, por definicinde abierto, f1(Bd(f(x), )) es entorno de x, luego existir > 0 tal queBd(x, ) f1(Bd(f(x), )). Y por tanto, f(Bd(x, )) Bd(f(x), ).

(2) (1) Si G es abierto de (Y, d), debemos probar que f1(G) esabierto de (X, d). Es decir, hay que probar que f1(G) es entorno de todossus puntos. En efecto, sea x f1(G), entonces, como G abierto, existe > 0 con Bd(f(x), ) G. Por (2), existir > 0 tal que f(Bd(x, )) Bd(f(x), ) G. Luego, Bd(x, ) f1(G), es decir, f1(G) es entornode todos sus puntos.

Proposicin 2.8.5. (Caracterizacin por convergencia)Sea f : (X, d) (Y, d) una aplicacin entre espacios (seudo)mtricos.

Son equivalentes:(1) f es continua.(2) Si {xn}n1 X y {xn}n1 converge a x0 en (X, d), entonces

{f(xn)}n1 converge a f(x0) en (Y, d).


Demostracin. (1) (2) Debemos probar que para cualquier G abiertode (Y, d) con f(x0) G, existe un n0 tal que f(xn) G n n0.En efecto, por (1) sabemos que f1(G) es abierto de (X, d). Adems, sif(x0) G, entonces x0 f1(G). Por hiptesis, si {xn}n1 converge ax0, entonces existe n0 con xn f1(G); es decir, f(xn) G para todon n0.

(2) (1) Para ver que f es continua, debemos probar que f(A) f(A), para todo A X. En efecto, sea y f(A), entonces existe x A tal que y = f(x). Por la caracterizacin de la clausura en espacios(seudo)mtricos, va a existir {an}n1 A convergiendo a x. Entonces,por (2), {f(an)}n1 f(A) converge a f(x). Luego, por propiedad de laclausura, y = f(x) f(A). Por lo que hemos probado lo que queramos.

Proposicin 2.8.6. (Propiedades generales de las aplicaciones contin-uas)

a) Cualquier aplicacin constante es continua.b) La identidad id : (X, T ) (X, T ) es continua.c) La composicin de aplicaciones continuas es continua.d) La restriccin de una aplicacin continua es continua respecto de

la topologa restriccin (o relativa).Notar que b) + d) implica que toda inclusin i : (A, TA) (X, T ) :

i(a) = a a A, con A X, es continua.Demostracin. Usaremos la caracterizacin por abiertos.

a) Sea f : (X, T ) (Y, T ) constante. Es decir, f(x) = y0 Y x X. Entonces, sea U Y abierto en (Y, T ), tendremos que f1(U) = si y0 6 U , que es un abierto; y f1(U) = X si y0 U , que tambin esabierto. Luego f es continua.

b) Sea U abierto de (X, T ), entonces id1(U) = U . Luego la identidades continua.

c) Sean f : (X, T ) (Y, T ) y g : (Y, T ) (Z, T ) aplicacionescontinuas, y sea U abierto de (Z, T ). Entonces, x (g f)1(U) g(f(x)) = g f(x) U f(x) g1(U) x f1(g1(U)) Es decir,(g f)1(U) = f1(g1(U)), que es abierto por ser f continua, y serg1(U) abierto por la continuidad de g. Por tanto, la composicin deaplicaciones continuas es continua.

d) Sea f : (X, T ) (Y, T ) continua, y A X. Entonces, sea f |A :(A, TA) (Y, T ) la restriccin dada por f |A(a) = f(a) a A. Ahora,sea U Y abierto de (Y, T ), sabemos que f1(U) es abierto, y, por


tanto, (f |A)1(U) = A f1(U), abierto para la topologa restriccin.Luego, la restriccin es continua.

Proposicin 2.8.7. Sea f : (X, T ) (Y, T ) continua, y f : (X, T ) (f(X), T |f(X)) la restriccin sobre la imagen, dada por f(x) = f(x)x X. Entonces f es continua.Demostracin. Sea U abierto de (f(X), T |f(X)). Por definicin se tieneque U = W f(X), con W un abierto de (Y, T ). De este modo, setiene que f1(U) = f1(W ) es abierto de (X, T ), pues f es continua yf1(f(X)) = X.

Ejemplo 2.8.8. 1. Sea id : (X, T ) (X, T ). No siempre la aplicacinidentidad id : (X, T ) (X, T ) va a ser continua si T 6= T . Por ejemplo,vamos a tomar las topologas T asociada a la distancia eucldea, T a ladistancia discreta, y tomamos X = R. Entonces, sabemos que la sucesin{xn}n1 = { 1n}n1 converge a 0 en la topologa eucldea. Sin embargo, setiene que id(xn) = xn no converge a id(0) = 0, pues Bdiscreta(0, ) = {0}para 1, y xn 6 {0} n 1

2. Ahora, sea id : (R2, eucldea) (R2, taxi). En este caso, id va a sercontinua, a pesar de tener distintas distancias definiendo las topologas delos espacios de salida y llegada. Anlogo se tendr que id : (R2, taxi) (R2, eucldea) es continua.

Definicin 2.8.9. Una aplicacin f : (X, T ) (Y, T ) se dice equivalen-cia topolgica (homeomorfismo) si f es biyectiva, y f y f1 son continuas.

Ejemplo 2.8.10. Se tiene que id : (R, discreta) (R, eucldea) escontinua (se prueba que las nicas sucesiones convergentes son las con-stantes), pero vimos que id1 : (R, eucldea) (R, discreta) no lo es. Portanto, en este caso, la identidad no es una equivalencia topolgica.

Proposicin 2.8.11. Las proyecciones pi : (Rn, eucldea) (R, eucldea),definidas como pi(x1, ..., xn) = xi, para 1 i n son siempre continuas.Demostracin. Aplicaremos el criterio . Dado (x1, ..., xn) Rn y >0, debemos probar que si de((x1, ..., xn), (x

1, ..., x

n)) =

ni=1(xi xi) 0 talque Bd(y, ) G. De este modo, pi(Bd(y, )) = (x , x+ ) pi(G), esdecir, pi(G) es entorno de x.

Sin embargo no es cerrada. Basta ver un contraejemplo: sea F ={(x, y) : y = 1

x, x > 0} cerrado de (R2,eucldea) (ya que R2 F es abier-

to). Sin embargo, p1(F ) = (0,), que no es cerrado.

Figura 2.13:

2. Veamos un ejemplo de aplicacin biyectiva y continua que no eshomeomorfismo. Sea f : ([0, 2), eucldea) (R2, eucldea), definida co-mo f(t) = (cos t, sin t). Entonces, f es continua pues p1 f y p2 f


son las aplicaciones cos t y sin t, respectivamente, que son continuas.As que, como f([0, 2)) es la circunferencia unidad S1, vamos a definir

f : ([0, 2), eucldea) (S1, eucldea) la restriccin de f .Entonces, f es continua pues f lo es. Adems, f es biyectiva. Sin

embargo, f1 no es continua, ya que tomando la sucesin (xn, yn) =

(cos(2 1n), sin(2 1

n)), sta va a converger a (1, 0) S1, pero f1(xn, yn) =

2 1nno converge en [0, 2) por hacerlo a 2 6 [0, 2).

3. Sean (a, b) y (a, b) intervalos de R. Definimos la aplicacin f :((a, b), eucldea) ((a, b), eucldea) como f(x) = y = ba

ba(x a) + a.

Figura 2.14:

Entonces, esta aplicacin es continua, biyectiva y su inversa, f1(y) =baba

(y a) + a, tambin es continua. Luego, f es un homeomorfismo.Por tanto, todos los intervalos acotados de (R,eucldea) son homeomor-fos. De modo anlogo, los intervalos de la forma (a,) y (a,) van aser homeomorfos. As como los de la forma [a, b] y [a, b], y (, b) y(, b). Igualmente lo son (a,) y (, b).

5. Se tiene que ((2, 2),eucldea) y (R,eucldea) son homeomorfos.

Basta tomar f(x) = tan x, por tratarse de una aplicacin continua ybiyectiva, y ser f1(y) = arctan y continua.

Figura 2.15:

6. Tambin se tiene que ((0,),eucldea) y (R,eucldea) son homeo-morfos. En este caso, basta tomar f : (R, eucldea) ((0,), eucldea) :


f(x) = ex que es continua y biyectiva, y cuya inversa f1(y) = log y escontinua.

Figura 2.16:

Como consecuencia, se tiene el siguiente resultado:

Proposicin 2.8.17. Todos los intervalos abiertos de R son homeomor-fos entre s (incluyendo R).

Definicin 2.8.18. Dada f : (R, eucldea) (R, eucldea), se llamagrfica de f a f = {(x, y) : y = f(x)} R2

Ahora, consideramos f : (R, eucldea) (R2, eucldea) definida co-mo f(x) = (x, f(x)). Entonces, f es inyectiva, pues f (x) = f(x

)implica que x = x. As, la restriccin f : (R, eucldea) (f , eucldea)va a ser una aplicacin biyectiva. Y f

1((x, y)) = x, es decir, f1 es la

restriccin de la proyeccin pi a f . Luego, f1 es continua.

De este modo, f es continua, si y slo si p1 f = idR y p2 f = fson continuas, si y slo sif es continua. Por tanto, f es continua, si y slosi f es homeomorfismo entre (R,eucldea) y (f ,eucldea).

Definicin 2.8.19. Una inmersin es una aplicacin continua e inyec-tiva f : (X, T ) (Y, T ), cuya restriccin a la imagen f : (X, T ) (f(X), Tf(X)) es homeomorfismo.Proposicin 2.8.20. Si f es continua, f es una inmersin de (R,eucldea)en (R2,eucldea).

Demostracin. Si f = {(x, y) R R2 : y = f(x)} R3, se pruebaigual que antes que f es continua, si y slo si f es una inmersin (esdecir, f es homeomorfismo).

Ejemplo 2.8.21. Dada la funcin f(x) = (cos x, sin x) R2, entoncesf = {(x, cosx, sin y) : x R} R3 se trata de una hlice en R3. Portanto, toda hlice es una inmersin de la recta R en R3.


Figura 2.17:

Captulo 3

Compacidad

3.1. Definicin y primeros ejemplos

Definicin 3.1.1. Dado un conjunto X y A X, un recubrimiento de Aen X es una familia {C} de subconjuntos de X tal que A

C.

Nota 3.1.2. Si A = X la inclusin es una igualdad: X =

C.

Definicin 3.1.3. Un subrecubrimiento de {C} es una subfamilia{C} con y an A

C

Definicin 3.1.4. Sea (X, T ) un espacio topolgico. Un subconjuntoA X se dice compacto en (X, T ) si de todo recubrimiento de A porabiertos en (X, T ) se puede extraer un subrecubrimiento finito.Nota 3.1.5. Si A = X decimos que (X, T ) es un espacio compacto.Lema 3.1.6. A es compacto en (X, T ) si y solo si el subespacio (A, TA)es compacto.

44

CAPTULO 3. COMPACIDAD 45

Demostracin. [] Supongamos A compacto en (X, T ).Sea {G} un recubrimiento de A por abiertos de la topologa restric-cin TA, entonces A =

G y para cada se tiene G = HA

con H abierto ed (X, T ).Ahora, A =

G

H. Por tanto, {H} es recubrimiento

de A por abiertos de (X, T ). Luego, utilizando la hiptesis, 1, . . . , n con A H1 Hn , lo que implica queA = (H1 Hn)A = (H1A) (HnA) = G1 Gn ,por lo tanto tenemos que (A, TA) es compacto.[] Recproco: (A, TA) es compacto. A es compacto de (X, T )?Sea {U} recubrimiento de A por abiertos de T , A

U.

Entonces:A = (

U)A =

(UA) donde las intersecciones son abiertos

de (A, TA). Aplicando la hiptesis, 1 . . . n con A = (U1 A) (Un A) U1 Un .Por lo tanto, A es compacto en (X, T ).Ejemplo 3.1.7. (Rn, eucldea) no es compacto.Tenemos: Rn =

n1Bd(, n), con d= distancia eucldea y = origen.

Pero, no existe n1, . . . nk con Rn =k

j=1Bd(, nj), pues en tal caso,Rn =

Bd(, n0), con n0 = max{n1, . . . nk}Ejemplo 3.1.8. (X, discreta) es compacto X es finito.Ejemplo 3.1.9. En cualquier espacio topolgico (X, T ) todo conjun-to finito es siempre compacto. En efecto, sea el conjunto finito A ={a1, . . . , as} y A

G, con G abierto de (X, T ). Para cada

ai encontramos un Gi con a1 Gi (1 i s). Entonces, A G1 Gs; por tanto, A es compacto.Ejemplo 3.1.10. (R, cofinita) es compacto. Recordemos que la topologacofinita es la familia {, A R tal que R A sea finito }. Sea R =G con G abierto de la topologa cofinita. Dado x R, 0 conx G0 , lo que implica que G0 6= . Luego, R G0 = {x1, . . . xn} esfinito. Ahora, como en el Ejemplo 3.1.9, dado xi, sea Gi con xi Gi .Entonces tenemos que:

R = (RG0) G0 = {x1, . . . , xn} G0 G1 Gn G0 .

Hemos probado que (R, cofinita) es compacto.

Ejemplo 3.1.11. Toda unin finita de compactos es compacto.


Ejemplo 3.1.12. En (R, eucldea) todo intervalo cerrado y acotado [a, b]es compacto.En efecto, sea {G} recubrimiento de [a, b] por abiertos de (R, eu-cldea).Sea A = {x [a, b]; el intervalo [a, x] est recubierto por una cantidad finita de G}.Tenemos que A 6= pues si tomamos x = a, tenemos que [a, a] = {a} ya est en algn G0 pues [a, b] G.Sea x0 = supA. Afirmamos:

1. x0 A2. x0 = b, y con esto se habra demostrado el ejemplo.

Veamos (1):x0 [a, b] G, luego con x0 G , y como G es abierto,existe > 0 con (x0 , x0 + ) G . Como x0 es supremo, x1 Acon x1 (x0 , x0]. Como x1 A, entonces 1, . . . , n con [a, x1] G1 Gn. Lo que implica que

[a, x0] [a, x1] (x0 , x0] G1 Gn G.

Por tanto, aplicando la definicin de A, tenemos que x0 A.Veamos (2):R.A.: Supongamos que x0 < b, entonces > 0 tal que [x0, x0+) [a, b].Sea 0 = min{, }, donde est dado ms arriba. Entonces, [x0, x0 +0) G , luego,[

a, x0 +02

] [a, x0] [x0, x0 + 0) G G1 Gn ,

y por definicin de A, tenemos que x0 +02 A. Contradiccin, porque

x0 +02> x0.

Luego, x0 = b. Por tanto, [a, b] es compacto.

Proposicin 3.1.13. Sea (X, d) espacio (seudo)mtrico. Entonces, todoC X compacto est acotado.Demostracin. Sea x0 C cualquiera. Tenemos queX =

n=1Bd(x0, n),

luego C n=1Bd(x0, n). Como C es compacto, n1, . . . , nk con C Bd(x0, n1) Bd(x0, nk) Bd(x0, n0) con n0 = max{n1, . . . , nk}. Portanto, x, x C, tenemos que d(x, x) d(x, x0) + d(x, x0) < 2n0; estoes, C est acotado.


3.2. La compacidad y los conjuntos cerrados

Definicin 3.2.1. Una familia de conjuntos {A} se dice que tienela Propiedad de Interseccin Finita (PIF) si toda subfamilia finitaA1 , . . . , An tiene interseccin A1 An 6= no vaca.Proposicin 3.2.2. Sea (X, T ) un espacio topolgico. Son equivalentes:

1. (X, T ) es compacto.2. Tada familia de cerrados con la PIF tiene interseccin distinta de

vaco.

Demostracin. Veamos 1) 2).R.A.: Sea {F} una familia de cerrados con la PIF y tal que F = .EntoncesX = (X F), es un recubrimiento abierto de X y aplicando 1),1, . . . , n conX = (X F1) (X Fn). Tomando complementarios, = F1 Fn , que es una contradiccin con la PIF.Veamos 2) 1).Sea {G} un recubrimiento por abiertos de X. Es decir, X = Gy cada G es abierto. Tomando complementarios, = (X G).Aplicando 2), la familia {X G} no puede tener la PIF, y pordefinicin: 1, . . . , n con (X G1) (X G1) = . Luego,X = G1 G2 Gn . Lo que prueba que (X, T ) es compacto.Proposicin 3.2.3. (Los cerrados heredan la compacidad).Sea (X, T ) un espacio topolgico compacto y F X cerrado en l. En-tonces F es compacto en (X, T ).Demostracin. Sea {G} recubrimiento de F con abiertos de (X, T ).Entonces X = (X F ) F (X F ) (G), y por tanto, X =(X F ) (G). As, {(X F ), G} es un recubrimiento porabiertos de X. Aplicando la hiptesis, 1, . . . , n conX = (XF ) (G1 Gn). Como F (XF ) = , necesariamenteF G1 Gn . Lo que demuestra F es compacto.

Puesto que todo conjunto acotado est contenido en un intervalo cer-rado, se sigue de 3.2.3 y 3.1.12.

Corolario 3.2.4. En (R, eucldea), si A es cerrado y acotado entonceses compacto.


3.3. Compacidad y propiedad de Haussdorff

Proposicin 3.3.1. (Separacin de punto y compacto)Sea (X, T ) un espacio topolgico con la propiedad de Haussdorff. SeaF X compacto y x 6 F. Entonces existen abiertos U y V de (X, T )con x U, F V y U V = .Nota 3.3.2. La proposicin anterior vale para cualquier espacio mtrico.

Demostracin. Dado y F, como x 6 F entonces x 6= y, y por lapropiedad de Hausdorff existen abiertos Vy y Uy con x Uy, y Vy y VyUy = .Ahora, F =

yF{y}

yF Vy y como F es compacto y1 . . . yn con

F Vy1 Vyn . Sea V =n

i=1 Vyi y U =n

i=1Uyi . Obsrvese que Ves abierto y U tambin (por ser interseccin finita de abiertos).Adems, F V y x U.Por ltimo, U V = U (Vy1 Vyn) = (U Vy1) (U Vyn) (Uy1 Vy1) (Uy2 Vy2) (Uyn Vyn), como cada una de estasltimas intersecciones es vaca, se tiene que U V = .Corolario 3.3.3. Todo compacto en un espacio con la propiedad de sep-aracin de Hausdorff (en particular en un espacio mtrico) es siemprecerrado.

Demostracin. El conjunto compacto F ser cerrado si y solo si X Fes abierto. Sea x X F veamos si x int(X F ) :Como x 6 F por la proposicin anterior U, V abiertos con x U, F Vy U V = .En particular, F U V U = entonces U F = , y por tantox U X F, que, al ser U abierto, implica que x int(X F ): Aspues, X F es abierto y F es cerrado.Proposicin 3.3.4. (Separacin de compactos)Sea (X, T ) un espacio topolgico con la propiedad de separacin de Haus-dorff. Sean F1, F2 X compactos disjuntos. Entonces existen abiertos Uy V de (X, T ) con F1 U, F2 V y U V = .Demostracin. Si x F1, entonces, como F1F2 = , x 6 F2. Aplicandola proposicin anterior: abiertos Ux y Vx con Ux Vx = tales quex Ux y F2 Vx.Tenemos F1 =

xF1

{x} xF1 Ux y por ser F1 compacto, x1, . . . , xncon F1 Ux1 Uxn .Sean U = ni=1Uxi y V = ni=1Vxi. Ntese que U y V son abiertos (este


ltimo por ser interseccin finita de abiertos). Claramente F1 U yF2 V .Por ltimo, U V = (Ux1 Uxn) V = (Ux1 V ) (Ux2 V ) (Uxn V ) (Ux1 Vx1) (Ux2 Vx2) (Uxn Vxn) = .As U V = .Nota 3.3.5. La proposicin anterior vale para todos los espacios mtri-cos.

Proposicin 3.3.6. (Teorema de Heine-Borel para la recta eucldea) En(R, eucldea), un conjunto A R es compacto si y slo si es cerrado yacotado.

Demostracin. Por el Corolario 3.2.4, si A es cerrado y acotado entonceses compacto. Recprocamente, si es compacto entonce A es acotado ycerrado por las proposiciones 3.1.13 y 3.3.3, respectivamente.

3.4. Compacidad y continuidad

Proposicin 3.4.1. (La continuidad preserva la compacidad)Sea f : (X, T ) (Y, T ) una aplicacin continua entre espacios topolgi-cos. Si A X es compacto en (X, T ) entonces f(A) lo es en (Y, T ).Demostracin. Sea f(A) =

G con G abierto de (Y, T ), entonces

A f1 (G) = f1(G) donde f1(G) es abierto por serf continua. Como A es compacto 1 . . . n con A f1(G1) f1(Gn) f1(G1 Gn), luego f(A) G1 Gn y portanto f(A) es compacto.

Proposicin 3.4.2. (Teorema de Weierstrass) Sea f : (X, T ) (R, eucldea)una aplicacin continua, entonces la imagen de cualquier subconjuntocompacto A X alcanza su mximo y su mnimo.Demostracin. Por la Proposicin 3.4.1, f(A) es un compacto de la rectaeucldea y por la Proposicin 3.3.6 es cerrado y acotado. Por ser acotadof(A) tiene nfimo y supremo. Pero por ser cerrado estos punto que sonpuntos adherentes por el Ejemplo 2.3.7, estn en f(A) = f(A).

Proposicin 3.4.3. Sean (X, T ) e (Y, T ) espacios topolgicos com-pactos con la propiedad de Hausdorff. Toda f : (X, T ) (Y, T ) continuaes tambin cerrada.


Demostracin. Sea F cerrado en (X, T ), por ser (X, T ) compacto, F escompacto y usando que f es continua, se tiene que f(F ) es compacto en(Y, T ), que es un espacio de Hausdorff y tanto f(F ) es cerrado. As f escerrada.

Nota 3.4.4. En la demostracin slo se ha usado la compacidad de(X, T ) y la propiedad de Hausdorff de (Y, T ).Corolario 3.4.5. (Homeomorfismos entre espacios de Hausdorff com-pactos) Toda aplicacin biyectiva y continua, f : (X, T ) (Y, T ) entreespacios compactos y de Hausdorff es un homeomorfismo.

Demostracin. Por la proposicin anterior, f es cerrada, y por hiptesis,es continua y biyectiva, por tanto, f es un homeomorfismo.

Ejemplo 3.4.6. La circunferencia unidad, S1 R2, es un compacto de(R2, euclidea)Sea f : ([0, 2], eucldea) (R2, eucldea) dada por f(t) = (cos t, sen t).

Figura 3.1: Figure

f es continua pues p1 f(t) = cos t; p2 f(t) = sen t y [0, 2] escompacto. Entonces la circunferencia unidad f([0, 2]) = S1 es compacto.

Ejemplo 3.4.7. En un espacio mtrico la interseccin arbitraria de com-pactos es siempre un conjunto compacto. En efecto, sean {A} com-pactos. Por estar en un espacio mtrico, los A son cerrados (3.3.3), luegoA A es cerrado y por herencia de compacidad ya que A quees compacto, tenemos que A es compacto.Ejemplo 3.4.8. Sea la sucesin F1 F2 . . . de cerrados encaja-dos, distintos del vaco, en un espacio topolgico con la propiedad deHausdorff, (X, T ). Si F1 es compacto, entonces, i=1Fi 6= (Teorema deCantor).


En efecto, {Fn} tiene la PIF pues dado n1, . . . , nk, Fn1 Fnk =Fn0 6= , con n0 = max{n1, . . . nk}. Todos estn contenidos en F1 quees compacto. Luego, por la caractrizacin de compacidad por cerrados,i=1Fi 6= . Exactamente esto es lo que ocurre en la construccin delConjunto de Cantor en el Ejemplo 2.6.6(c).

Figura 3.2:

3.5. Compacidad en espacios productos. Ca-

racterizacin de la compacidad en los es-

pacios eucldeos

Sean (X1, d1) . . . (Xn, dn) espacios (seudo)mtricos. Sobre el produc-to cartesiano X1 X2 Xn podemos considerar las siguientesseudo(distancias) taxin =

taxin (d1, . . . , dn),

maxn =

maxn (d1, . . . , dn) y

euclidean = euclidean (d1, . . . , dn), dadas por

taxin ((x1, . . . , xn), (x1, . . . , x

n)) =

ni=1 di(xi, x

i),

maxn ((x1, . . . , xn), (x1, . . . , x

n)) = max{d1(x1, x1), . . . , d(xn, xn)}, y

euclidean ((x1, . . . , xn), (x1, . . . , x

n)) =

ni=1 di(xi, x

i)2, respectivamente.

Obsrvese que si X1 = X2 = = Xn = R y d1 = d2 = = dn =eucldea sobre R entonces taxin = dtaxi,

maxn = dmax y

euclidean = deuclidea

sobre Rn. Adems, extendiendo la Nota 1.2.5, se puede comprobar (ejer-cicio) que las tres generan los mismos conjuntos abiertos. Por tanto, susespacios topolgicos subyacentes son el mismo y, como consecuencia, lacompacidad se puede estudiar con cualquiera de estas (seudo)distancias.

Proposicin 3.5.1. Sean (X1, d1) . . . (Xn, dn) espacios (seudo)mtricos,y sea cualquiera de las (seudo)distancias taxin ,

maxn o

euclidean .


Si Ai Xi, 1 i n compacto en (Xi, di), entonces A1 An escompacto en (X1 Xn, ).Demostracin. Haremos la demostracin para = maxn . Es inmediatocomprobar:

maxn = max2 (

maxn1 , dn),

por lo que por induccin basta hacer el caso n=2.Sea ahora {G} un recubrimiento por abiertos de A1 A2 en (X1 X2,

max2 ). Es decir, A1 A2

G y cada G es abierto en (X1

X2, max2 ).

Para todo (x, y) A1 A2, existe un ndice (x, y) con (x, y) G(x,y). Como G(x,y) es abierto, tenemos que (x, y) > 0 tal queBmax

2((x, y), (x, y)) G(x, y).

Es fcil verificar la siguiente igualdad para todo > 0

Bmax2

((x, y), ) = Bd1(x, ) Bd2(y, ).

Fijado y, A1 =

xA1{x} xA1 Bd1(x, (x, y)). Entonces, por ser

A1 compacto, un conjunto finito Jy = {x1, . . . , xn} tales que A1 Bd1(x1, (x1, y))Bd1(x2, (x2, y)) Bd1(xn, (xn, y)). Tomamos y =min{(x1, y), . . . , (xn, y)} y consideremos las bolasBd2(y, y) con y A2.Tenemos A2 =

yA2

{y} yA2 Bd2(y, y). Entonces, por ser A2 com-pacto, y1, . . . , yk con A2 Bd2(y1, y1) Bdk(yk, yk).Afirmamos que A1 A2

1ik, xJy1Jyk

G(x,y), que es una unin

finita de los abiertos G originales. En efecto sea (x0, y0) A1 A2cualquiera. Entonces existe k0 con 1 k0 k con y0 Bd2(yk0, yk0 ).Ahora, x0 A1

xJyk0

Bd1(x, (x, yk0)) y existe x Jyk0 con x0

Bd1(x, (x, yk0)).

Por definicin, yk0 (x, yk0).Tenemos (x0, y0) Bd1(x, (x, yk0))Bd2(yk0, yk0 ) Bd1(x, (x, yk0)Bd2(yk0, (x

, yk0)) = Bmax2 ((x, yk0), (x

, yk0)) G(x, yk0) con x Jyk0y1 k0 k.Corolario 3.5.2. El paralelogramo (producto de intervalos) [a1, b1] [an, bn] es compacto en (Rn, dmax) (o equivalentemente (Rn, dtaxi) o(Rn, deuclidea))

Proposicin 3.5.3. (Teorema de Heine-Borel).A R es compacto en (Rn, eucldea) si y slo si A es cerrado y acotado.


Demostracin. ) Tenemos que (Rn,eucldea) es Haussdorff y por tantoA es cerrado (3.3.3) y acotado lo es por 3.1.13.) Como A es acotado, A est contenido en un paralelogramo J , que escompacto por 3.5.2. Entonces A es cerrado en un compacto y por tantoA es compacto por 3.2.3.

Nota 3.5.4. ) Es vlida para todo espacio mtrico.Nota 3.5.5. Generalizacin a espacios topolgicos: Si (X1, T1) y (X2, T2)espacio topolgico. Se define sobreX1X2 la topologa producto, T1T2 ={ y G X1X2, tales que para todo (x, y) G existen U y V abiertosde T1 y T2 con (x, y) U V G}. Se puede demostrar, con unademostracin similar a la de 3.5.1 que si A1 y A2 son compactos de(X1, T1) y (X2, T2), respectivamente, entonces A1 A2 es un compactode (X1 X2, T1 T2).

3.6. Compacidad en espacios mtricos

Proposicin 3.6.1. Sea (X, d) espacio mtrico y {xn}n1 X unasucesin sin subsucesiones convergentes. Entonces:

1. El conjunto A = {x1, x2, x3, . . . , xn, . . . } es infinito.2. El conjunto de puntos de acumulacin de A, A = , es vaco.

Demostracin.

1. R.A.: Supongamos que A es finito, entonces cierto elemento xn0aparece infinitas veces en la sucesin. Por tanto, xn0 = xn1 = xn2 = = xnk = . . . con n0 < n1 < n2 . . . < nk < . . . . Luego existe unasubsucesin constante, y por tanto convergente. Contradiccin!

2. R.A.: Si x0 A, entonces por estar en un espacio mtrico, tenemosque cualquier bola abierta de centro x0 contiene inifinitos puntosde A: As:xn1 Bd(x0, 1)xn2 Bd

(x0,

12

)con n2 > n1

xn3 Bd(x0,

13

)con n3 > n2 > n1

. . .xnk Bd

(x0,

1k

)con nk > nk1 > . . . > n1

. . .


Es decir, existe una subsucesin {xk}k1 de {xn}n1 convergiendo ax0. En efecto, dado > 0, sea k0 con

1

k 0< , entonces d(xnk , x0) =

1

k 0, X se puede cubrir con unacantidad finita de bolas de radio .

Demostracin. R.A.: Supongamos que 0 tal que X no se cubre conuna cantidad finita de bolas de radio 0. Entonces tomamos x1 Xcualquiera:X 6= Bd(x1, 0) (en caso contrario, X quedara cubierto con una slo unabola de radio 0), entonces x2 X tal que x2 6 Bd(x, 0) (si no, dos


bolas de radio 0 bastaran para cubrir X), luego d(x1, x2) 0.De nuevo:X 6= Bd(x1, 0) Bd(x2, 0), entonces, x3 X tal que x3 6 Bd(x1, 0) Bd(x2, 0), luego d(x1, x3) 0 y d(x2, x3) 0.Reiterando el proceso, construimos una sucesin {xn}n1 X tal qued(xn, xm) 0 si m n Por la propiedad de Bolzano-Weierstrass,{xnk}k1 subsucesin convergiendo a algn x0 X. Entonces si tomamosla bola Bd

(x0,

02

), debe existir k0 con xnk Bd

(x0,

02

)si k k0. En-

tonces, si k, s k0,d(xnk , xns) d(xnk , x0) + d(xns, x0) 0 (llamado nmero deLebesgue de U) tal que para cada bola abierta de radio , Bd(x, ) existe0 con Bd(x, ) U0Demostracin. R.A.: Supongamos que para > 0, x X conBd(x, ) *G, , tenemos quedado 1 = 1, x1 con Bd(x1, 1) * U, dado 2 =

1

2, x2 con Bd(x2, 2) * U,

. . .

dado n =1

n, xn con Bd(xn, n) * U, .

. . .Es decir, hemos construido una sucesin {xn}n1 X que, por la propiedadde Bolzano-Weierstrass, debe contener una subsucesin {xnk}k1 que con-verge a algn x0 X =

U. Entonces 0 con x0 U0 . Sea

> 0 tal que Bd(x0, ) U0 .Por convergencia, dado

2, k0 tal que d(x0, xnk) k0 con

1

nk1 0. Para cada y Y consideramos la bolaabierta Bd

(y,

2

). Tenemos Y =

yY Bd

(y,

2

)y por continuidad,


f1(Bd(y,

2

))es abierto de (X, d) y X =

yY f

1(Bd(y,

2

)).

Por tanto, U ={f1

(Bd(y,

2

))}yY

es un recubrimiento por abiertos

de X.Aplicando el lema de Lebesgue, > 0 tal que si (A) < entonces,A est contenido en algn abierto de U . Si x, x X con d(x, x) < ,entonces({x, x}) < , luego y0 Y con {x, x} f1

(Bd

(y0,

2

)).

As que f(x), f(x) Bd(y0,

2

). Por tanto,

d(f(x), f(x)) < d(f(x), y0) + d(y0, f(x

)) 0, k0 cond(fnk , f0) < , k k0. Es decir, |fn(x) f0(x)| < , x [0, 1].Si x 6= 0, sea k con 1

nk< x y k k0. Lo que implica que fn(x) = 0 y

|f0(x)| < , > 0. Por tanto, f0(x) = 0, y por ser f0 continua tene-mos que f0(0) = 0, luego f0 = . Pero d(fnk , f0) = d(fnk, ) = (fijo).Contradiccin.

Figura 3.4:


3.7. Compacidad y completitud

Definicin 3.7.1. Sea (X, d) un espacio (seudo)mtrico. Una sucesin{xn}n1 X se dice de Cauchy si dado > 0, n0 con d(xn, xn) < para todo n, n n0.Proposicin 3.7.2. Toda sucesin de Cauchy est acotada.

Demostracin. Sea (X, d) un espacio (seudo)mtrico y {xn}n1 X unasucesin de Cauchy. Entonces, existe n0 tal que para todo n,m n0d(xn, xm) < 1. Si r > mx {1, d(xn0, xi); 1 i n0 1}, tenemos qued(xn0 , xn) < r para todo n 1 y la sucesin est acotada.Proposicin 3.7.3. Toda sucesin convergente es de Cauchy.

Demostracin. Si {xn}n1 converge a x0 en (X, d) entonces dado 2existe

n0 tal que d(xn, x0) 0 :Por Cauchy, n0 con d(xn, xn) 0 con Bd(x, ) N . Sea < min{, }, entoncesN = Bd[x, ] Bd(x, ) M es un entorno de x y como Bd[x, ) N ,por tanto, N es entorno de x. Por ltimo, como N B(x, ) N es uncerrado contenido en el conjunto compacto N , N es compacto.

Ejemplo 3.8.3. Los espacios eucldeos (Rn, eucldea) son localmentecompactos (es ms, en ellos toda bola cerrada es compacta).

Ejemplo 3.8.4. ((0, 1), eucldea) es localmente compacto ya que cumplela segunda condicin del teorema anterior. Sin embargo no todas lasbolas cerradas son compactas ya que por ejemplo Bd[

12, 1] = (0, 1) no es

compacto.

Ejemplo 3.8.5. El espacio de funciones continuas (X, d) de 3.6.9 no eslocalmente compacto en = constante 0.

Ejemplo 3.8.6. (Q, d = eucldea) no es localmente compacto. Si lofuese, dado x Q, > 0 tal que Bd[x, ] = [x , x + ] Q debe sercompacto. Pero se serlo, lo sera tambin en (R, eucldea) y all no escerrado. Por tanto, Bd[x, ] no es compacto.


Proposicin 3.8.7. Sea (X, d) un espacio (seudo)mtrico localmentecompacto.

1. Si A X es cerrado, (A, d|A) es localmente compacto.2. Si B X es cerrado, (B, d|B) es localmente compacto.

Demostracin.

1. Sea a A. Como A es abierto, A es entorno de a. Como (X, d)es localmente compacto, N A,N entorno compacto de x en(X, d).Por ser N entorno de x, > 0 tal que Bd[a, ] N A. Portanto, Bd|A[a, ] = Bd[a, ] es compacto. As obtenemos que (A, d|A)es localmente compacto.

2. Sea b B. Como (X, d) es localmente compacto, > 0 con Bd[b, ]es compacto. Adems Bd|B[b, ] = B Bd[b, ] es cerrado de latopologa relativa de Bd[b, ] que es compacto. Luego Bd|B[b, ] escompacto. Por tanto, (B, d|B) es localmente compacto.

Captulo 4

Conexin

4.1. Conexin por caminos

Definicin 4.1.1. Dado (X, T ) un espacio topolgico, un camino entredos elementos x, y X es una aplicacin continua : ([0, 1], eucldea)(X, T ) tal que (0) = x y (1) = y.Definicin 4.1.2. Un espacio topolgico (X, T ) se dice conexo por caminossi x, y X existe un camino entre x e y. Ms generalmente, A X sedice conexo por caminos si lo es (A, T /A).

Veamos los primeros ejemplos.

Ejemplo 4.1.3. 1. Sea A es un intervalo de cualquier tipo en (R,eucldea),entonces A es conexo por caminos. En efecto, dados x, y A conx y, entonces, [x, y] A. Sea : ([0, 1], eucldea) (A, eucldea)definida por (t) = (1 t)x + ty [x, y] A, es continua,(0) = x y (1) = y.

2. Si (V, . ) es un espacio vectorial normado, tal que d.(x, y) =x y . Entonces (V, d.) es conexo por caminos.En efecto, dados x, y V , sea : ([0, 1], eucldea) (V, d.) con(t) = (1 t)x + ty V , (0) = x y (1) = y. Veamos si escontinua:Dado > 0 bastar tomar un

x+ypara satisfacer el criterio

de continuidad. En efecto,

(t)(t) = (1t)x+ty(1t)xty = (tt)x+(tt)y |t t| x +|t t| y = |t t|( x + y ).

61

CAPTULO 4. CONEXIN 62

La siguiente proposicin muestra que todos los espacios conexos porcaminos tienen slo al espacio total y el vaco como conjuntos simultnea-menta abiertos y cerrados.

Proposicin 4.1.4. Si (X, T ) es conexo por caminos, entonces los ni-cos conjuntos abiertos y cerrados de (X, T ) son X y .Demostracin. Razonamos por R.A. y suponemos que A X es unconjunto abierto y cerrado con A 6= X, . Sea x0 A (aqu usamos queA 6= ) y x1 / A (aqu aplicamos que A 6= X). Por hiptesis existeun camino : ([0, 1], eucldea) (X, T ) con (0) = x1 y (1) = x2.Como es continua el conjunto 1(A) es tanto abierto como cerrado de([0, 1], eucldea). Ahora bien, A no es el conjunto vaco pues 0 1(A)y tampoco es todo [0, 1] pues 1 / 1(A). Esto contradice la Proposicin2.7.6.

Para los intervalos de R el recproco de la proposicin anterior tambines cierto y ello nos permite determinar todos los conjuntos conexos porcaminos de la recta eucldea. Explcitamente,

Proposicin 4.1.5. (Caracterizacin de los conjuntos conexos por caminosde la recta eucldea)En (R,eucldea), las siguientes propiedades son equivalentes para cualquierA R.

1. A es conexo por caminos.

2. Los nicos conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados en (A,eucldea)son A y .

3. Si a b con a, b A, entonces [a, b] A.4. A es un intervalo.

Demostracin. (1) (2) es un caso particular de la Proposicin 4.1.4.Para probar la implicacin (2) (3) se razona por R.A. Si existe a < t < bcon t / A. Entonces A (, t) = A (, t] sera un conjunto abiertoy cerrado en (A; eucldea), lo que contradice (2).

Para demostrar (3) (4)veremos las distintas posibilidades que tieneel conjunto A respecto a su supremo e nfimo.


1. Supongamos que A no tiene ni supremo ni nfimo. En este casodado n N existen an, bn A tales que an < n y bn > n.Entonces [n, n] [an, bn]. Por (3), [an, bn] A, para todo n.Ahora R =

n=1

[n, n] n=1

[an, bn] A R entonces A = R.

2. Supongamos que A tiene supremo pero no nfimo. Probaremos sloel caso en el que A tiene mximo. El caso en el que el supremo nosea mximo es anlogo al caso 3 que sigue (se deja como ejercicio).Sea b = maxA. Como nf A n 1 an A con an n.Por (3) se tiene que [an, b] A. Entonces

(, b] =n=1

[n, b] n=1

[an, b] A (, b] A = (, b]

3. Supongamos que A tiene nfimo pero no supremo. Probaremos sloel caso en el que A no tiene mnimo.Sea a = nf A, con a 6 A . Entonces se tiene n 1 bn A conbn n y an A con an a + 1n . Por (3) se sigue [an, n] A n=1

[an, n] A. Tambin [a+ 1n , n] [an, n]n=1

[a+1

n, n] A.

Ahora

n=1

[a +1

n, n] = (a,+) A. Adems A (a,) por

a = nf A y a 6 A. As A = (a,).Si el nfimo es mnimo se deja como ejercicio. La demostracin esanloga al caso 2.

4. Supongamos que A tiene supremo e nfimo. Probaremos primero elcaso en el que existe mximo pero no mnimo. Sean b = maxA ya = nf A con a 6 A. Igual que en el caso anterior, n 1, an Acon an a+ 1n .Entonces de (3) concluimos [an, b] A. Luego

(a, b] =n=1

[a+1

n, b]

n=1

[an, b] A (a, b]

De esta forma A = (a, b].

Veamos ahora el caso en el que A tiene mnimo y mximo.


Sea a = mnA y b = maxB. Entonces A [a, b] A. Luego,[a, b] = A

Por ltimo veamos si A no tiene mximo ni mnimo.Sea a = nf A y b = supA ninguno de ellos perteneciente a A. En-tonces n 1, an A y bn A con an a+ 1n y bn b 1n .Por (3) se tiene [an, bn] AFinalmente,

[a+ 1n, b 1

n] [an, bn]

(a, b) =

n=1[a+1n, b 1

n] n=1[an, bn] A (a, b)

Por tanto, A = (a, b).

No probaremos el caso en el que A no tiene mximo pero s mnimoque dejaremos como ejercicio.

Finalmente (4) (1) es inmediata pues ya sabemos que todo intervaloes conexo por caminos.

Proposicin 4.1.6. Sea f : (X, T ) (Y, T ) continua. Si A X esconexo por caminos f(A) tambin.

Consecuencia: Si f es homeomorfismo y (X, T ) es conexo por caminos,entonces (Y, T ) tambin lo es.Demostracin. Sea f : (A, T /A) (f(A), T /f(A)) la restriccin sobre laimagen. Como f es continua, f tambin lo es.

Dados p, q f(A) entonces existe x, y A con f(x) = p y f(y) = q.Como (A, T /A) es conexo por caminos : ([0, 1], eucldea) (A, T /A)continua con (0) = x y (1) = y. Sea : ([0, 1], eucldea) (f(A), T /f(A)),la composicin = f para la cual

(0) = f (0) = f(x) = p(1) = f (1) = f(y) = q

}

lo que demuestra que f(A) es conexo por caminos.

Proposicin 4.1.7. Sean (X1, d1) y (X2, d2) e. (seudo)mtricos conexospor caminos. Entonces (X1 X2, max2 ) es conexo por caminos, donde


Figura 4.1:

max2 (d1, d2)((x1, x2), (x1, x

2)) = max{d1(x1, x1), d2(x2, x2)}

Demostracin. Sean 1 : ([0, 1], eucldea) (X1, d1) un camino de x1 ax1 y 2 : ([0, 1], eucldea) (X2, d2) un camino de x2 a x2. Definimos : ([0, 1], eucldea) (X1X2, max2 ), por (t) = (1(t), 2(t)). Es claroque (0) = (1(0), 2(0) = (x1, x2) y (1) = (1(1), 2(1) = (x

1, x

2).

Probemos la continuidad de . Para ello sea t y > 0, veamos si existe tal que si | t t |< entonces

max2 ((t), (t)) = max{d1(1(t), 1(t)), d2(2(t), 2(t))} < .

Se tiene:

(1) continua 1 con d1(1(t), 1(t)) < si | t t |< 1(2) continua 2 con d2(2(t), 2(t)) < si | t t |< 2

Sea = mn{1, 2}, entonces max2 ((t), (t)) < .Nota 4.1.8. La proposicin anterior es vlida tambin para las (seu-do)distancias taxi2 y

euclidea2 ; ver Seccin 3.5. Ms generalmente, la proposi-

cin es vlida para (X1X2, T1T2) donde T1T2 es la topologa productoen 3.5.5. Igualmente se puede generalizar a un nmero cualquiera de fac-tores (X1, d1), ..., (Xn, dn) con n 2.Proposicin 4.1.9. La relacin estar conectados por un camino en(X, T ).es de equivalencia. La denotaremos por .Demostracin. Veamos las condiciones de relacin de equivalencia:

1. Reflexiva: x x por : ([0, 1], eucldea) (X, T ) dada por (t) =x t.


2. Simtrica: x y camino con (0) = x y (1) = y.Sea : ([0, 1], eucldea) ([0, 1], eucldea) la aplicacin contin-ua (t) = 1 t. Tambin ser continua, por tanto, = :([0, 1], eucldea) (X, T ) con (0) = (0) = (1) = y y(1) = (1) = (0) = x.Luego y x.

3. Transitiva: x y con (0) = x y (1) = y. Por otro lado,y z con (0) = y y (1) = z.

Figura 4.2:

Sea : [0, 12] [0, 1] tal que (t) = 2(t). De igual forma, sea

: [12, 1] [0, 1] tal que (t) = 2t 1. Ambas aplicaciones son

obviamente continuas.Sean = : [0, 1

2] X con (t) = (t) = (2t) y =

: [12] X con (t) = (t) = (2t 1).

Entonces se define : [0, 1] X por

(t) =

{(t) = (2t) si t 1

2

(t) = (2t 1) si t 12

est bien definida por (12) = (1) = (0) = y. Comprobemos

que es continua.Sea F cerrado de (X, T ) se tiene 1(F ) = 1(F )1(F ), donde,por continuidad, 1(F ) = H [0, 1

2], con H cerrado de [0, 1]. Y

por tanto 1(F ) es cerrado de [0,1]. Anlogamente 1(F ) es cer-rado de [0, 1]. Por tanto, se deduce que 1(F ) es cerrado de [0, 1].Finalmente,

(0) = (0) = (0) = x

(1) = (1) = (1) = z

}lo que demuestra que x z.


Proposicin 4.1.10. Sea {C} familia de conexos por caminos en(X, T ). Supongamos que 0 tal que CC0 6= . EntoncesC0 =

C es conexo por caminos.

Demostracin. Sean x, x C0, entonces x C para algn yx C para algn .Como C C0 6= entonces x0 C C0 . Luego x se conecta con x0por un camino en C C0.Igual existe x0 C C0 , luego x0 y x se conectan por un camino enC C0.

Figura 4.3:

Adems, C0 conexo por caminos implica que x0 y x0 se conectan por

un camino en C0 C0Aplicamos la propiedad transitiva de 4.1.9 y obtenemos que x y x seconectan por un camino en C0; es decir, C0 es conexo por caminos.

Proposicin 4.1.11. (Variante 1) Supongamos que la familia en 4.1.10

cumple ahora que C C 6= , ; en particular si

C 6= .Entonces C sigue siendo conexo por caminos.

Demostracin. La demostracin es anloga a la anterior, tomando como0 cualquier .

Proposicin 4.1.12. (Variante 2) Sean C1, C2, ..., Cn una sucesin desubconjuntos conexos por caminos de algn espacio topolgico (X, T ) talque Ci Ci+1 6= i 1. Entonces C =

n=1

Cn es conexo por caminos.


Figura 4.4:

Demostracin. SeaD1 = C1 es conexo por caminos.D2 = C1 C2 es conexo por caminos por 4.1.11.D3 = C1C2C3 = D2C3 es conexo por caminos ya que D2 es conexopor caminos y D2 C3 6=

...

Dn =ni=1

Ci = Dn1 Cn es conexo por caminos pues Dn1 es conexopor caminos y Dn1 Cn 6= .Tenemos que C =

n=1

Dn. Ahora bien, los Di son conexos por caminos y

n=1Dn = D1, y de 4.1.11 se sigue que C es conexo por caminos.Terminamos esta seccin con algunos ejemplos de espacios bien cono-

cidos que son conexos por caminos.

Ejemplo 4.1.13. 1. Cualquier paralelogramo P = J1J2...Jn en(Rn,eucldea) con Ji un intervalo (en particular Rncon Ji = R i n) es conexo por caminos. En efecto, por 4.1.3(1) P es conexo enel espacio mtrico (Rn, max) que tiene el mismo espacio topolgicosubyacente que la distancia eucldea sobre Rn.

2. El crculo unidad C = {(x, y) R; x2 + y2 1} es conexo porcaminos ya todo punto se puede unir al origen (de hecho C es unconjunto convexo).

3. La circunferencia unidad S1 en (R2,eucldea) es conexa or caminos.Basta tomar f : ([0, 2], eucldea) (R2, eucldea) dada por f(t) =(cos t, sen t). f es continua y [0, 2] conexo por caminos, por tantotambin lo es f([0, 2]) = S1.

4. La esfera unidad S2 R3 es conexa por caminos en (R3,eucldea).Para ello consideramos los hemisferios E2+ = {(x, y, z) S2; z 0}


Figura 4.5:

y E2 = {(x, y, z) S2; z 0} y si B2 es el disco unidad de R2definimos p : S2 B2 por p(x, y, z) = (x, y, 0). Obsrvese que larestriccin de p a E2+ es un homeomorfismo p+. Anlogamente loses la restriccin a E2. Sabemos que el disco unidad es conexo porcaminos. Se tiene que E2+ y E

2 son conexos por caminos y por tanto

lo son E2+ y E2. Adems los hemisferios se cortan en el ecuador.

Por tanto, la esfera unidad es conexa por caminos.

Figura 4.6:

5. El cilindro C en (R3,eucldea) es conexo por caminos. Ntese queC = S1 R que es conexo por caminos por serlo S1 y R.


Figura 4.7:

4.2. Componentes conexas por caminos. Conex-

in local por caminos

Definicin 4.2.1. Sea (X, T ) un espacio topolgico. Se llama compo-nente conexa por caminos de x X al mayor conexo por caminos Cx Xcon x Cx.Lema 4.2.2. Cx existe.

Demostracin. Sea C = {C X; x Cy es conexo por caminos}. Lafamilia C 6= no es vaca pues {x} C.Ahora, por la variante anterior, como x

C C

C 6= , entonces x C C

C = D es conexo por caminos. Adems, si C es conexo por caminos

y x C, por definicin se tiene que C C, luego C D y, por tanto,D esel mayor entre todos los conjuntos que contienen a x; es decir Cx = D.

Proposicin 4.2.3. Cx coinc

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