Diapositiva 1

UNIVERSIDAD CAECE REA DE EDUCACIN A DISTANCIAESTRUCTURAS TOPOLGICAS y GEOMTRICASLICENCIATURA EN ENSEANZA DE LA MATEMTICALic. Augusto SpelaCLASE 11Desarrollo del cursoUnidad de repaso

Unidad 1

Unidades 2, 3, 4

Unidad 52Introduccin a la topologa generalJuan Horvat

3Modalidad de trabajoLectura del libro

Lectura de las unidades

Actividades

Participacin en foros 4Sobre las actividadesActividades con verificacin en la unidad de repaso

Actividades para enviar (Obligatorio)Unidad 2 2 de MayoUnidad 4 16 de mayoUnidad 5 20 de junio

5Evaluacin Parcial 30 05 15 Comprende hasta la unidad 4 inclusive

Recuperatorio 27 06 15 Los mismos temas

FinalComprende todas las unidadesPara la aprobar toda evaluacin, la misma debe estar correcta en ms de un 50% y esto equivale a una nota de 4 puntos.6Un poco de lgicaPQP QVVVVFFFVVFFV7Mtodos de demostracinDirecto

Indirecto

Por el absurdo8DirectoPartir de la verdad de p y establecer la verdad de qp qEj:Sean a, b y c en el conjunto de nmeros enterosSi a b y a c entonces a b.c

9Partir de la falsedad de q y establecer la falsedad de p

Ej:a , si a2 es impar entonces a es impar

Pero demostraremos

a , si a no es impar entonces a 2 no es impar

Indirecto10IndirectoSe basa en la equivalencia de las proposiciones ( p q ) y (q p )

pqp qqpq pVVVFFVVFFVFFFVVFVVFFVVVV11 Por el absurdo

A partir de considerar p y q verdaderas se llega a una contradiccin

Ej:n se define an = n/n+1 entonces la sucesin es estrictamente creciente

12 Por el absurdoSe basa en la equivalencia de las proposiciones ( p q ) y (q p )

pqp qqpq p VVVVFVVFFFFFFVVVVVFFVFVV(q p ) ( p q )

13Sean a, b y c en el conjunto de nmeros enterosSi a b y a c entonces a b.ca , si a2 es par entonces a es parn se define an = n/n+1 entonces la sucesin es estrictamente creciente1415

TopologaSea T una coleccin de subconjuntos de X, T es una topologa sobre X si:1.- T, X T

2.- A1 T, A2 T A1 A2 T

3.- Ai T, i L T 16

La topologa usual en T = U / ( x U, > 0: ( - x, x + ) U) ( U = )

Veamos que T es una topologa en .

17 T por la definicin de T

T pues para cada elemento de se cumple que existe un intervalo abierto incluido en

18Sean U T, V T y sea W = U V Si W = , ya est

Si W . Sea x W, luego por pertenecer a U, 1 >0 tal que (x - 1, x + 1 ) U y por pertenecer a V, 2 > 0 tal que (x - 2, x + 2 ) V.Entonces consideremos = min 1, 2 Sea y (x - , x + ), es decir x - < y < x + , Pero 1 y 2 se tiene que :x - 1 < x - < y < x + < x + 1 y B(x, 1 ) Ux - 2 < x - < y < x + < x + 2 y B(x, 2 ) VLuego y W = U VCon lo que hemos demostrado que existe > 0 tal que (x - , x + ) W y por lo tanto W T.

19 Sean Ai T, i L una coleccin cualquiera de abiertos de , y W = Si W = , ya est Si W , tomemos x W, luego existe al menos un Ai tal x Ai y por lo tanto > 0 tal que (x - , x + ) Ai W , por lo que W T.

20

Un ejemplo sencillo:X = a, b, c

T = b; a, b; b, c, a, b, c;

a b c

21T es una topologa?X y estn en T

Veamos que todas las intersecciones posibles estn en Tb a, b = ba, b b, c = bb b, c = ba, b a, b, c = a, bb a, b, c = b a, b = b = b, c a, b, c = b, ca, b, c =Veamos que todas uniones posibles estn en Tb a, b = a, ba, b b, c = a, b, cb b, c = b, ca, b a, b, c = a, b, cb a, b, c = a, b, ca, b = a, bb = b b, c a, b, c = a, b, ca, b, c =Luego T es una topologa en X.

22Veamos otros ejemplosE = a, b, cT = a, b; b, c, a, b, c; Es una topologa?

E = a, b, cT = a; a, c, a, b, c; Es una topologa?

23