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IntroduccionPodemos decir actualmente que el Analisis Funcional es la tendencia abs-tracta del Analisis, la cual comenzo a ser desarrollada por algunos matemati-coseuropeosenlosa nosdelasdosprimerasdecadasdel pasadosigloXX.EntreesosmatematicosdestacanFredholm, Volterra, Hilbert, yRiesz. Ini-cialmenteestosmatematicosresolvieronproblemasdeecuacionesintegrales,autovaloresdeoperadores,ydesarrollosortogonales.Tambienunodelos principales pioneros enel desarrollodeestaramadelaMatematica, fueel polacoS. Banachel cual compaginoensulibropublicadoenel a node1932yreeditadoen1987conttuloTHEORYOFLINEAR OPERATIONS [1] mucho de los principales resultados conocidoshastaesetiempo.Nuestropropositofundamental al redactarestelibro, esdesarrollaral-gunos topicos basicos del Analisis Funcional tratandodigamos aunnivelintermediolateoradelosespaciosnormados,ladelosespaciosdeBanach,ytambienladelosoperadoreslinealesacotados.Nuestro texto se desarrolla a traves de tres Captulos. El primer CaptuloelcualllamamosEspaciosNormadossehadivididoencuatroSecciones.AnuestraprimeraSeccionselahadenominadoDefnicionesyResultadosPreliminares porque all damos algunas de las nociones de uso mas frecuenteenelAnalisisFuncional,comoeldeconjuntoabsorbente,balanceadoycon-vexo; capsulaconvexa, norma, espacionormadoyalgunas propiedades delanorma.Tambiensedanalgunosconceptostopologicos,habiendodefnidopreviamentelatopologafuertedeunespacionormado.12EnlasegundaSecci onsedainicialmenteel conceptodesucesionenunespacio normado, para despues pasar a caracterizar los elementos de la clau-suradeunsubconjuntodeunespacionormadocomolmitesdesucesionesdeelementos deeste. Tambien, introduciendopreviamenteel conceptodefuncioncontinuadeunespaciotopologico(X, 1)enotro(Y, 2)semuestra,unTeoremadeContinuidadGlobal,ydespuesunaconsecuenciadelmismocomoloeselTeoremadeConservaciondeCompacidad.LaSeccion1.3contieneunabuenalistadeEjerciciospropuestoscomoEjemplosyencadaunodeelloshemosdadolosdetallesdelasolucion.Fi-nalmente, la ultima Seccion presenta una variedad de Ejercicios que el lectordeberesolver[endondeenalgunosdeellosseintroducennuevosconceptos].En el segundo Captulo trata sobre espacios de Banach. En la Seccion 2.1sedemuestralasdesigualdadesclasicasdeHolder,ydeHolder-MinkowskyenlaSeccion2.2sedalanociondeespaciodeBanachdadaporS.BanachEntreotrasProposicionesyResultadomostramosunTeoremadeCaracte-rizacionparaespaciodeBanach.[Teorema2.2.9].EnlaSeccion2.3damosalgunosEjemplosdeespaciosdeBanach.Entreotrosmostramosconrespectoaunanormadefnidapreviamentelacomple-tituddelosespaciosdesucesioneslp(p 1); c0; y l.Tambien en nuestra Seccion 2.4 ademas de defnir espacio de Banach sepa-rable, damosunaDemostraciondel LemadeRiesz, yen(2.5)presentamosnuestralistadeEjercicios.El tercer Captulo trata sobre operadores lineales acotados en la primeraSeccion, se ha motivado el concepto de acotacion de un operador lineal, de he-cho de que toda transformacion lineal de Rnen Rmes acotada. Introduciendopues, paraunoperadorlineal TlasnocionesdeacotacionycontinuidadsemuestraenlaProposicion3.1.7que:T esacotado T escontinuo.3Ahorabien,defniendolosespaciosL(X, Y )y,B(X, Y )mostraremosenelTeorema3.1.11queB(X, Y )esunespaciodeBanachenlanorma:T = supx=0T(x)x.En la Seccion 3.2 especifcamente en el Teorema 3.2.6, se muestra que en DIMENSION FINITA TODAS LAS NORMAS SON EQUIVALENTES .Tambiendamoselimportanteconceptodeoperadorcerrado.LaSeccion3.3daunalistadeEjemplos deoperadores lineales acota-dos. Entreotros, destacanel operadordeFredholm; el operadorShift[alaizquierda y a la derecha], y la proyeccion canonica. Mostramos como un Ejem-plotambienunTeoremadeextensiondeoperadores; ydandolaDefniciondeoperadorcompactosemuestraqueeloperadordeFredholmloes.AlfnalenlaSeccion3.4presentamosnuestralistadeEjerciciosaresol-verse.Esperamos que este texto se de utilidad aquellos estudiantes que comien-zanconelestudiodeestaimportanteareadelasMatematicas.4IndicegeneralIntroduccion 11. EspaciosNormados 71.1. DefnicionesyResultadosPreliminares. . . . . . . . . . . . . . 71.2. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3. EjemplosResueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.4. ComentariofnaldelCaptulo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.5. EjerciciosPropuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632. EspaciosdeBanach 712.1. DesigualdadesclasicasenAnalisisFuncional. . . . . . . . . . . 712.2. EspaciosdeBanach.TeoraBasica.Ejemplosyejercicios. . . . 782.3. AlgunosEjemplosdeEspaciosdeBanach. . . . . . . . . . . . 982.4. Separabilidad de un espacio normado y Ejemplos. El Lema deRiesz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.5. ComentariofnaldelCaptulo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.6. EjerciciosPropuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203. OperadoresLinealesAcotados 1253.1. Nocion de acotacion de un operador lineal. El espacio de B(X, Y )1253.2. NormasEquivalentes.Nociondeoperadorcerrado . . . . . . . 1413.3. Algunosejemplosdeoperadoreslinealesacotados . . . . . . . 1533.4. ComentariofnaldelCaptulo3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653.5. EjerciciosPropuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Bibliografa 17156INDICEGENERALCaptulo1EspaciosNormados1.1. DefnicionesyResultadosPreliminares.ComenzaremosestaSeccionrecordandoelconceptodeespaciovectorial,por ser estaunade las mas importantes estructuras algebracas que sonobjetodeestudioenelAnalisisFuncionalLineal.Enloquesigue, amenosqueexplcitamenteseespecifquelocontrario,elsmbolo Fdenotaraelcuerpodelosn umerosrealesocomplejos.Defnicion1.1.1SeaXunconjuntonovaco(abstracto). Supongasequeen el conjunto XXesta defnida una operacion llamada suma y en FXotraoperaciondenominadamultiplicacionporescalar,tal quesi(x, y) X Xy (, x) F Xel resultadode cadaunadeestasoperacionessobre estoselementosesotroelementodeXdenotadoporx +yyxrespectivamente,yqueademasseverifcanlassiguientespropiedades:(P1) x +y =y +x, x, y X[PropiedadConmutativa].(P2) x + (y +z) =(x +y) + z x, y, z X[PropiedadAsociativa].(P3) Existeun unicoelementoenXdenotadopor0ytal quex + 0 =0 + x, x X.Esteelementosellamael elementoneutroparalasuma.78 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOS(P4) Paracadax X,existeun unicoelemento x Xtal que:x + (x) =(x) + x =0.El elemento xsellamael simetricoaditivodex X(P5) 1x =x, x X, 1eslaidentidadde F(P6) (x) =()x, , F, x X(P7) ( +)x =x +x, , F, x X(P8) (x +y) =x +y, F, x, y X.Entonces,Xsellamaunespaciovectorialsobreelcuerpo F.Loselemen-tosdeXsellamanvectores.Observacion1.1.1 (a) Sesuponequeel lectordeestelibroestafami-liarizadoconloshechosbasicosdelateoradeespaciosvectoriales.Detodas formas recomendamos tener a la mano un libro deAlgebra Lineal[porejemplo[7]enel momentodeleerlo.(b) Lasoperacionesdesumaymultiplicacionporescalardeunespaciovectorial Xinducenlasfunciones:1: X X Xy,2: F X Xdefnidaspor:1(x, y) =x +y2(, x) =xrespectivamente.Defnicion1.1.2SeaXunespaciovectorial. UnsubconjuntonovacoSdeXsellamaunsubespaciovectorial deXsi:x +y S x, y X, , F.As,siSesunsubespaciovectorial deX,entonces,0 S.1.1. DEFINICIONESYRESULTADOSPRELIMINARES. 9Defnicion1.1.3SeanXunespaciovectorial,x0 Xy Fentonces,siAesunsubconjuntonovacodeX,defnimos:(a) x0 +A:={x0 +a : a A}(b) x0A:={x0a : a A}(c) A:={a : a A}SiBesotrosubconjuntonovacodeXentonces:(d) A +B:={a +b : a A, b B}Defnicion1.1.4UnsubconjuntoAdeunespaciovectorial Xsedice:(a) Convexo: Si el segmentoderecta x + (1 )y quedacontenidaenA, x, y A, 0 1, estoes:x + (1 )y A, x, y A, 0 1(b) Balanceado:Si A A, cuando|| 1.(c) Absorbente:Siparacada x X, existeun > 0 tal que x A.Con el proposito de caracterizar los subconjuntos convexos de un espaciovectorialdamoslasiguienteDefnicion:Defnicion1.1.5SeaXunespaciovectorial. Unx Xsediceunacom-binacionconvexadelos elementos x1, x2, . . . , xndeXsi existenescalares1, 2, . . . , nen Rconi 0, i = 1, 2, . . . , n yn

i=1i=1 tal que:x =n

i=1ixiProposicion1.1.6Un subconjuntoKde un espacio vectorialXes convexosi ysolosi cualquiercombinaci onconvexadepuntosdeKesunpuntodeK.10 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSDemostracion.()Seanx, y K,entonces,porlahipotesisel elementoz =x + (1 )y K,para0 1. As,Kesconvexo.()SupongasequeKesconvexoyS :={x1, x2, . . . , xn} unn umerofnitocualquieradeelementosdeK.Procederemosporinduccionsobren.Sin =1,esevidente.Si n = 2, y 1 0, 2 0 talesque 1 + 2= 1, entonces, esclaroque 0 1 1 y 0 2 1 yasz =1x1 +2x2 K.Supongasequeel resultadoesciertoparanelementosx1, x2, . . . , xnenK,estoes,z =1x1 +2x2 +. . . +nxn K, i 0,n

i=0i=1Seaxn+1 K.Veamosque:r =1x1 +2x2 +. . . +nxn +n+1xn+1 K, i 0,n+1

i=1i=1Consideremosloscasossiguientes:Caso1. Cuando n+1=1, entonces, i=0 para i = 1, 2, . . . , n, yas,r K.Caso2. Cuando 0 n+1< 1. Seai=i1 n+1, i =1, 2, . . . , nEntonces,n

i=1i=n

i=1i1 n+1=n

i=1i1 n+1=11.1. DEFINICIONESYRESULTADOSPRELIMINARES. 11Luego,porlahipotesisdeinduccion:n

i=1ixi KyyaqueKesconvexo,entonces,n+1

i=1ixi=(1 n+1)n

i=1ixi + (1 (1 n+1)) xn+1 Klocual concluyelademostracion. 2A continuacion introducimos el importante concepto de capsula convexa.Defnicion1.1.7SeaA un subconjunto no vaco de un espacio vectorialX.LacapsulaconvexadeAdenotadaporco(A)es:co(A) :=_n

i=1ixi: xi X, i 0 i = 1, 2, . . . , n,n

i=1i=1_Es facil verifcar usando la caracterizacion dada en la Proposicion anteriorqueco(A)esunsubconjuntoconvexodeX, yademasesel convexomaspeque nodeXquecontieneaA,estoes,co(A) :=

AAconvexoA ASi A es un subconjunto no vaco de un espacio vectorial Xes facil verifcarqueelconjunto:sp(A) :=_n

i=1ixi: i F, xi A, i = 1, 2, . . . , n_esunsubespaciovectorial deA, ysellamael subespaciovectorial real ge-neradoporA.Notequeco(A) sp(A).Acontinuacionseintroduceel importanteconceptodenormasobreunespaciovectorial.12 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSDefnicion1.1.8SeaXunespaciovectorial.Unafuncion,|| || : X Rx|xqueverifquelassiguientespropiedades:(A1) ||x|| 0 y||x|| =0 x =0.(A2) ||x|| = || ||x||, F, x X(A3) ||x +y|| ||x|| +||y||, x, y X,sellamaunanormasobreX.Al par(X, || ||)selellamaunespacionormado.Lapropiedad(A3)sellamaladesigualdadtriangular.Todanormaverifcalaimportantedesigualdaddadaenlasiguienteproposicion.Proposicion1.1.9Sea (X, || ||) unespacionormado.Entonces,||x|| ||y|| ||x y||, x, y X (1,1,11)Demostracion.Recordemosquesia > 0,entonces:|x| a a x a.As,||x|| ||y|| ||x y|| ||x y|| ||x|| ||y|| ||x y||.Expresando:x =(x y) + y, entonces ||x|| = ||(x y) + y|| ||x y|| +||y||Luego, ||x|| ||y|| ||x y||.1.1. DEFINICIONESYRESULTADOSPRELIMINARES. 13Expresando:y =(y x) + x, entonces ||y|| ||y x|| +||x||,luego||y|| ||x|| ||y x|| = ||x y||, esto es, ||x y|| ||x|| ||y||, loqueconcluyelademostracion. 2Con la fnalidad de defnir una topologa en el espacio vectorial (X, || ||),recordaremosladefnicionsiguiente:Defnicion1.1.10SeaXunconjuntonovaco.Unafuncion,d : X X R(x, y) |d(x, y)sellamaunametricasobreXsiverifcalassiguientespropiedades:(A1) d(x, y) 0 y d(x, y) = 0 x =y(A2) d(x, y) =d(y, x), x, y X(A3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X. (Desigualdadtriangular)Al par(X, d)selellamaunespaciometrico.Proposicion1.1.11Sea(X, || ||)unespacionormado.Lafuncion.d : X X Rdefnidapord(x, y) =||x y||, x, y XesunametricasobreX.Demostracion.Esfacil verifcar(A1)y(A2).Porotrapartecomo,d(x, y) =||x y|| = ||x z +z y|| ||x z|| +||z y|| =d(x, z) + d(z, y) x, y, z X,obtenemostambienque(A3)escierta.14 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSAs,todoespacionormadoesunespaciometrico,conlametricad(x, y) =||x y||, x, y X.2Defnicion1.1.12SeaXunconjuntonovaco. Unacoleccion desub-conjuntosdeXsellamaunatopologaparaXsisesatisfacenlassiguientespropiedades:(A1) , X .(A2) Si {A}I , dondeI esunconjuntode ndicesdecardinalidadarbitraria,_IA .(A3) Si {A}I , entoncesn

i=1Ai .Al par (X, ) selellamaunespaciotopologico. Los elementos delacoleccion sellamanconjuntosabiertos.Si (X, ) es unespaciotopologico, unsubconjuntoBdeXsellamacerradosisucomplementoBc= X\BesabiertoenX,estoesBc .Defnicion1.1.13Sea(X, )unespaciotopologico.(a) Unavecindaddeunx XesunsubconjuntoGdeX, quecontienealg unabiertoAquecontienea {x},estoes,x A G(b) Latopologa sediceHausdorf(oT2) si dados x, y X, existenvecindadesVxdexyVydeytal queVx Vy=.Defnicion1.1.14Sean(X, || ||)unespacionormado,ydlametricain-ducidaporlanorma || ||. Sea x0 X, y r> 0 entonces,1.1. DEFINICIONESYRESULTADOSPRELIMINARES. 15(a) Labolaabiertadecentrox0yradiores:B(x0, r) :=_x X: d(x, x0) =||x x0|| < r_(b) Labolacerradadecentrox0yradiores:B(x0, r) :=_x X: d(x, x0) =||x x0|| r_Defnicion1.1.15Sea(X, || ||)unespacionormado.UnsubconjuntonovacoAdeXsediceabiertosiparacadax Aexisteunrx> 0tal que:B(x, rx) A.El conjuntovacoloconsideramoscomounabiertoenXyaqueini-cialmentenoexistening unelementoenel quenieguenuestradefnicion.Proposicion1.1.16Sea(X, || ||)unespacionormado.Entonces,(a) Xesunconjuntoabierto.(b) Six0 X, y r> 0, entonces B(x0, r) esunconjuntoabierto.(c) B(x0, r) esunconjuntocerradoenX.Demostracion.(a) Evidente.(b) Seax1 B(x0, r).Tomemosr1=r d(x0, x1),entoncesr1> 0ysiz B(x1, r1)vamosatenerque:d(z, x0) =||z x0|| = ||z x1 +x1x0|| ||z x1|| +||x1x0||< r1 +||x1x0||= r d(x0, x1) +||x1x0|| =r16 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSPortanto,B(x1, r1) B(x0, r)yasB(x0, r)esabiertoenX.(c) ParaverifcarqueB(x0, r)esunconjuntocerrado, mostraremosen-toncesque:Bc(x0, r) :=_z X: d(z, x0) =||z x0|| > r_esunconjuntoabierto.Enefecto,seaz0 Bc(x0, r) ytomemosr1= d(x0, z0) r >0. Afrmamos que B(z0, r1) Bc(x0, r). Enefecto,seaz B(z0, r1).Entonces,||z0x0|| = ||z0z +z x0|| ||z0z|| +||z x0||,como ||z0x0|| =r1 +r,obtenemos:r1 +r ||z0z|| +||z x0|| < r1 +||z x0||estoes, ||z x0|| > r,loqueconcluyelademostracion. 2Proposicion1.1.17Sean(X, || ||)unespacionormadoy lasiguientecolecciondesubconjuntosdeX:=_E X: Eesabiertoenel sentidodelaDefnicion1.1.6_Entonces esunatopologaparaXysellamalatopologafuertedeX.Demostracion.Debemos verifcar los axiomas (A1), (A2) y (A3) de la Defnicion 1.1.12.Lapropiedad(A1)esevidente.Verifcaremos(A2).Sea {A} .Veamosque_kIAk .Enefecto,six _kIAk, entoncesx Ak0paraalg un ndice0.ComoAk0esabierto,existeunrk0> 0talqueB(x, rk0) Ak0, yportantoB(x, rk0) _IA. Verifcaremosahora(A3).Sea {Ai}ni=1 ,yx n

i=1Ai;entoncesx Ai,parai = 1, 2, 3, . . . , n,1.1. DEFINICIONESYRESULTADOSPRELIMINARES. 17y por tanto existe i> 0, i = 1, 2, . . . , n tal que B(x, i) Ai, i = 1, 2, . . . , n.Sea =mn{1, 2, . . . , n},entoncesB(x, ) Ai,parai = 1, 2, . . . , nyportantoB(x, ) n

i=1Ai. 2Proposicion1.1.18Latopologa dadalaProposicion1.1.18es Haus-dorf(oT2).Demostracion.Seanx, y X, x = y,entoncesd(x, y) =||x y|| > 0.Tomese =||x y||4.AfrmamosqueB(x, )

B(y, ) = . Enefecto, si encasocontrarioB(x, )

B(y, ) = ,existeunz B(x, )

B(y, ),luego||x y|| = ||x z +z y|| ||x z|| +||z y|| < ||x y||4+ ||x y||4locual esunacontradiccion. 2Daremosahoralassiguientesdefniciones:Defnicion1.1.19Sean (X, || ||) un espacio normado yA X, entonces,(a) El interiordeAdenotadoporint(A)es:int(A) :=_x A: existeun> 0tal queB(x, ) A_(b) LafronteradeA,denotadaporAes:A :=_x X: paracadar> 0, B(x, r)A = , B(x, r)Ac= _(c) El exteriordeAdenotadoporext(A)es:ext(A) :=int(Ac)18 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSDefnicion1.1.20Sean (X, || ||) unespacionormadoyA X. Unx0 Xse llamaunpuntode acumulacionde Asi cadavecindadde x0contieneunpuntodeAdiferentedex0Nota1.1.21LaDefnicion1.1.20expresaquesiVx0escualquiervecindaddex0en(X, || ||),entonces:Vx0 A = dondeVx0:=Vx0\{x0}. YaqueB(x0, r)esunavecindaddex0, paracadar> 0,entoncesx0esunpuntodeacumulaciondeAsiysolosB(x0, r) A =dondetambienB(x0, r) :=B(x0, r)\{x0}Denotamospor:A

:=_x X: xesunpuntodeacumulaciondeA_Defnicion1.1.22UnsubconjuntoAdeunespacionormado(X, || ||)sediceacotadosiexisteunM> 0tal que:x M, x A.Esclaroque B(x0, r) y B(x0, r) sonsubconjuntosacotados.LasiguienteProposicionnospermitecaracterizarlossubconjuntoscerra-dosenunespacionormado.Proposicion1.1.23Sean(X, || ||)unespacionormadoyA X.Enton-ces,AescerradoA

A.1.1. DEFINICIONESYRESULTADOSPRELIMINARES. 19Demostracion.() SupongasequeAescerradoen(X, || ||) peroA

A. Entonces,existealg unx A

tal quex A.Luegox AcycomoAescerrado,Acesabierto,portantoexisteunr> 0tal que:B(x, r) Ac.Peroporotraparte,comox A

,B(x, r) A = sesigueentonces,queAAc= locualesunacontradiccion.As,A

A.() Recprocamente, seaA

A y x Ac. Entoncesx A y as tambienporlahipotesisx A

,luegoexisteunr> 0tal queB(x, r) A=En consecuencia,B(x, r) Ac, con lo cual concluimos queAces abierto,yas(Ac)c=A escerrado. 2SeguidamentedamoslaimportanteDefniciondeclausuradeunsubcon-juntodeunespacionormado.Defnicion1.1.24Sean(X, || ||)unespacionormadoyA X.LaclausuradeAdenotadaporAesel conjuntocerradomaspeque nodeXquecontieneaA,estoes,si:Fesotrocerradoen(X, || ||)tal que F A, entonces F A.Es claroque A =

F;FcerradoF AyqueAes cerradosi ysolos A = A. Queremos ahora mostrar que A=AA

. Para esto mostraremosinicialmentelosiguiente:Proposicion1.1.25Sean (X, ||||) un espacio normado y A X. EntoncesA A

esunconjuntocerrado.20 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSDemostracion.Veamosque(A A

)cesunconjuntoabierto.Seaentoncesx (A A

)c=Ac (A

)c, luegox Acyx (A

)c, yas x Ayx A

. DelaDefnicionde A

existeun >0tal que B(x, ) A=yas, B(x, ) Ac. AfrmamosahoraqueB(x, ) (A

)c. Enefecto, seay B(x, ). ComoB(x, )esunconjuntoabierto, existeunr>0tal queB(y, r) B(x, ).Ahorabien,comoB(x, ) A=,tambienB(y, r) A = , y por tantoy A

, luegoy (A

)c. Comoyes arbitrarioenB(x, )seconcluyequeB(x, ) (A

)c,locual fnalizalademostracion.2Proposicion1.1.26Sean (X, ||||) un espacio normado y A X. EntoncesA=A A

Demostracion.Tenemosque:A=A A

A A A

AComo AA

es cerrado por la proposicion anterior yAA

A, se siguequeA A

A. Porotraparte,six A A

, entoncesx Aox A

. Six A,tambienx A,ysix A

setienequeB(x, ) A = paracada> 0yasB(x, ) A = paracada> 0Estoes,x (A)

.ComoAesunconjuntocerradosesiguedelaProposicion1.1.23quex A. 2Hastaaqulaprimerasecciondel Captulo1.1.2. CONTINUIDAD 211.2. ContinuidadEstaseccioncontienealgunascaracterizacionesdefuncioncontinuadef-nidasobreunsubconjuntodeunespacionormadoenotro.Tambienmostra-remosunimportanteTeoremasobrecontinuidadglobal.[Teorema1.2.16]InicialmentecomenzamosdandolasiguienteDefnicion:Defnicion1.2.1Sea(X, || ||)unespacionormado. UnasucesionenXesel rangodeunafuncion:f: N Xn |f(n) =xnxnsellamael terminon-esimodelasucesion. El rangolodenotamospor_xn_n=1ylollamamos unasucesionenX. Si_nk: k N_esunsubconjuntode Ntal quen1 0existeunn0 Ntal que:||xnx|| 0tal que ||xn|| Mparan = 1, 2, . . . .Sea,lmnxn=x.Entonces,dado =1,existeunn0 Ntal que:||xnx|| < 1 si n n0,peroporlaProposicion1.1.10,||xn|| ||x|| ||xnx|| < 1, si n n0Luego,1 < ||xn|| ||x|| < 1 si n n0estoes,||xn|| < 1 +||x|| si n n0.SeaM= max_||x1||, ||x2||, . . . , ||xn01||, 1 +||x||_,entonces,esevidenteque||xn|| M para n = 1, 2, 3, . . .yas,_xn_n=1esacotada. 2La siguiente Proposicion nos muestra una propiedad muy importante de laclausura de un conjunto: sus elementos son lmites de sucesiones de elementosdel conjunto,masespecifcamente:Proposicion1.2.4(UnaCaracterizaciondeA) Sean(X, || ||) unespacionormadoyA X.Entonces,1.2. CONTINUIDAD 23x A existeunasucesion_xn_n=1 Atal que lmnxn=x.Demostracion.()Seax A=A A

entonces, x Aox A

. Si x Abastatomarxn= xparan = 1, 2, 3 . . . ,yas lmnxn=x.Porotraparte, si x A

entonces Adebedeserunconjuntoinfnito.Entonces,dado = 1existeunx1 Atal que:0 < ||x x1|| < 1SeaA1=A\{x1}. EsclaroqueA1 AyA1esinfnito. Comox A

,tambienx A

1[Porque?].As,dado =12existeunx2 A1 A(x2 = x1)tal que:0 < ||x x2|| 0tal que||f(x) f(x0)|| 0y,V:=B(f(x0), ) :=_y Y :||y f(x0)|| < _Entonces V es una vecindad de f(x0) enY, luego por (1) existe unavecindadUdex0enXtal quesix U D =f(x) VAhorabien,comoUesunavecindaddex0,existeun> 0tal queB(x0, ) U,luego,B(x0, ) D U DPortanto,six B(x0, ) D,entoncesx U Dyas,f(x) V,estoes,||f(x) f(x0)|| 0B(f(x0), ) VPor(2)existeun> 0tal quesi||x x0|| < , entonces ||f(x) f(x0)|| < .TomandoU:= B(x0, )sesigueporloanteriorquesix U D,entoncesf(x) V.(2) (3) Seanyel parden umerospositivosdadosporlahipotesis(2), yx0 D. Sea_xn_n=1Dtal quexn x0si n entonces,paranuestro> 0existeunn0 Ntal que26 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOS||xnx0|| < si n n0,yenconsecuenciapor(1):||f(xn) f(x0)|| 0existeun> 0tal que:||1(x, y) 1(0, y0)|| 0tal que:|f(x)| M x D.1.3. EJEMPLOSRESUELTOS 371.3. EjemplosResueltosEstaseccioncontieneunaimportantelistadeejemplosresueltosqueser-viran de complemento para un mejor entendimiento de la teora desarrolladaenlasSecciones1.1y1.2.Enalgunosdeestosejemplos,cuandoseanecesa-rio,seintroduceelconceptoquenosayudaraademostrarloqueseexigeenel mismo.Ejemplo1.3.1SeaRn:=_x = (x1, x2, . . . , xn) : xi R, i = 1, 2, . . . , n_.En Rndefnimoslassiguentesoperaciones:(O1) Suma: Si x=(x1, x2, . . . , xn) Rny, y=(y1, y2, . . . , yn) Rn, lasumadexyydenotadaporx +ysedefnecomo:x +y = (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn)= (x1 +y1, x2 +y2, . . . , xn +yn)(O2) Multiplicacionporescalar: Si Fyx=(x1, x2, . . . , xn) Rn,defnimos:x = (x1, x2, . . . , xn)= (x1, x2, . . . , xn).Esclaroque(O1)y(O2)estanbiendefnidasyel lectorpuedemos-trar queseverifcantodas las propiedades (A1), (A2), . . . , (A8) delaDefnicion1.1.1.As, Rnesunespaciovectorial sobre F.Ejemplo1.3.2Sealafuncion: : Rn[0, +)defnidapor:x =_n

i=1|xi|2_1/2x = (x1, x2, . . . , xn) Rn.38 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSEntonces, esunanormasobre Rn.Enefecto,verifcaremoslosaxiomas(A1), (A2)y(A3)delaDefnicion1.1.9.(A1)Esclaroque x 0, x Rn.Porotrapartesi:x =_n

i=1|xi|2_1/2=0 =|xi| =0 i = 1, 2, . . . , n= xi=0 i = 1, 2, . . . , n= x =0,yrecprocamente.(A2)Si F,entonces:x =_n

i=1|xi|2_1/2=_n

i=1||2|xi|2_1/2= ||_n

i=1|xi|2_1/2= ||x (x = x1, x2, . . . , xn Rn)(A3)Paraverifcarladesigualdadtriangularinicialmenteverifcaremoslasiguientedesigualdad:Six = (x1, x2, . . . , xn) Rny,y= (y1, y2, . . . , yn) Rnentonces:n

i=1xiyi xy.Enefectosix = 0oy= 0ladesigualdadesevidente.Supongaseentoncesquex = 0y,y = 0.Defnamoslafuncion: : R Rpor,(t) =n

i=1(xit +yi)2(1.3.3).1.3. EJEMPLOSRESUELTOS 39Desarrollandoel miembroaladerechade(1.3.3)vamosaobtenerque:(t) =n

i=1(xit +yi)2=n

i=1(xi2t2+ 2xiyit +yi2)=_n

i=1xi2_t2+ 2_n

i=1xiyi_t +n

i=1yi2= x2t2+ 2_n

i=1xiyi_t +y2As,0 (t) =n

i=1(xit +yi)2= x2t2+ 2_n

i=1xiyi_t +y2,entonces,larepresentaciongrafcade(t)esunaparabolaqueestasituadaporarribadel ejedeabcisasointersectaesteejeenunsolopunto.Portanto:=_2n

i=1xiyi_24x2y2 0estoes,_2n

i=1xiyi_2 4x2y2yas,n

i=1xiyi x2y2enconsecuencia:40 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSx +y2=n

i=1(xiyi)2=n

i=1(xi2+ 2xiyi +yi2)=n

i=1xi2+ 2n

i=1xiyi +n

i=1yi2= x2+ 2n

i=1xiyi +y2 x2+ 2n

i=1xiyi+y2 x2+ 2xy +y2=(x +y)2extrayendoraicescuadradasenambosmiembrosobtenemosque:x +y x +y ( x, y Rn)Rnconlanormaeuclidiana 2quetambienesdenotadapor 2esdenotadoporl2n.As,l2n:= (Rn, ).Ejemplo1.3.3Sealafuncion: 1: Rn[0, +)defnidapor:x1=n

i=1|xi| (x = (x1, x2, . . . , xn) Rn)entonces, 1 defne una norma sobre Rnverifcaremos los Axiomas (A1), (A2)y(A3)delaDefnicion1.1.9.(A1) x1=n

i=1|xi| 0 yaque |xi| 0parai = 1, 2, . . . , n.Ademas,si,1.3. EJEMPLOSRESUELTOS 41x1=n

i=1|xi| =0 =|xi| =0 para i = 1, 2, . . . , n= xi=0 para i = 1, 2, . . . , n= x =0yrecprocamente(A2)Si F,vamosatenerque:x1=n

i=1|xi| =n

i=1|||xi|= ||n

i=1|xi|= ||x1(x = (x1, x2, . . . , xn) Rn)(A3) [Desigualdadtriangular]x +y =n

i=1|xi +yi| n

i=1(|xi| +|yi|) =n

i=1|xi| +n

i=1|yi|= x1 +y1para x = (x1, x2, . . . , xn) Rn; y= (y1, y2, . . . , yn) Rn.As, Rnconlanorma 1esdenotadoporl1n.Portanto,l1n:= (Rn, 1).Ejemplo1.3.4Sea : Rn[0, +)defnidacomo:x= sup1in|xi| (x = (x1, x2, . . . , xn) Rn).42 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSVerifcaremosque defneunanormasobre Rn.Enefecto:(A1)Esclaroquesi:x= sup1in|xi| =0 =|xi| =0= xi=0 para i = 1, 2, . . . , n= x =0yrecprocamente(A2)Para F,x= sup1in|xi| = sup1in(|||xi|)= || sup1in|xi|= ||x(x = (x1, x2, . . . , xn) Rn)(A3) [Desigualdadtriangular]x +y= sup1in|xi +yi| sup1in(|xi| +|yi|)= sup1in|xi| +sup1in|yi|= x +ypara x = (x1, x2, . . . , xn) Rn; y= (y1, y2, . . . , yn) Rn.As, Rndotadodelanorma sedenotaporln,estoes,ln:= (Rn, ).1.3. EJEMPLOSRESUELTOS 43Ejemplo1.3.5SeanXunespaciovectorial, y | |dosnormassobreX. Decimosque y | |sonequivalentessiexistenconstantesa>0yb > 0,talesque:ax |x| bx ( x X).Seael conjunto:N:=_ : esunanormasobreX_.Mostraremos que esta Defnicion de normas equivalentes induce una relacionde equivalencia sobre Ny que es denotada por

; esto es,

es refexiva,simetricaytranstiva.(a)

esrefexiva,locual esevidentetomamosa =b =1(b)

es simetrica. Enefecto, si Ny | | N, tales que | |,entoncesexistena > 0yb > 0talesque:ax |x| bx x X.Deaqu,vamosaobtenerque:b1|x| x x Xytambienque:x a1|x| x X,portantob1|x| x a1|x| x X,yas | | .(c) Sean 1, 2y 3elementosde Ntalesque 1 2y 2 3.Veamosque 1 3.Enefecto,yaque 1 2=existen a1> 0yb1> 0 talesque :a1x1 x2 b1x1 x Xy 2 3=existen a2> 0yb2> 0 talesque :44 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSa2x2 x3b2x2 x X,as,vamosaobtenerque:x3b2x2b1b2x1 x X,yque:a1a2x1 x2 x3 x X.Enconsecuencia:a1a2x1 x3b1b2x2 x X,estoes, 1 3yconcluyenuestrademostracion.Ejemplo1.3.6Las normas de los espaciosl1n, l2nylnson equivalentes,dondedelosEjemplos1.3.2,1.3.3y1.3.4sabemosque:l1n:= (Rn, 1), l2n:= (Rn, 2), ln:= (Rn, )donde:x1=n

i=1|xi|, x2=_n

i=1|xi|2_1/2y x= sup1in|xi|.Mostraremosque 1 2ytambienque 2 luegoporelEjemplo1.3.5tendremosque 1 .(1,3,7) 1 2.Enefecto,como:|xi|2 |xi|2+|x2|2+. . . +|xn|2para i = 1, 2, . . . , nentonces,n

i=1|xi| nx, x Rn,luego1.3. EJEMPLOSRESUELTOS 451nx1 x, x Rn.Porotrapartecomo:|x1|2+|x2|2+. . . +|xn|2 (|x1| +|x2| +. . . +|xn|)2vamosatenerque:x x1, x Rnas,1nx1 x x1, x Rn.(1,3,8) 2 .Efectivamente,x2= |x1|2+|x2|2+. . . +|xn|2 n x2estoes,1n x x, ( x Rn).Tambien,x2=_sup1in|xi|_2= |xio|2 |x1|2+|x2|2+. . . +|xn|2= x2luego,x x, x Rnenconsecuencia,1n x x x, x Rn.Ejemplo1.3.7Sea(X, ) unespacionormado. DeacuerdoanuestraDefnicion1.1.5(a),labolaabiertadecentrox0yradior> 0es:B(x0, r) :=_x X:x x0 < r_46 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSB(x0, r)esunconjuntoconvexo.Enefecto,seanx, y B(x0, r)y0 1.Entonces,yaque:x + (1 )y x0=(x x0) + (1 )(y x0)vamosatenerquex + (1 )y x0 = (x x0) + (1 )(y x0) ||x x0 +|1 |y x0

< r + (1 )r =restoes,elsegmentoderectax + (1 )y x0 B(x0, r).Portanto,B(x0, )esconvexo.Ejemplo1.3.8Sea(X, )unespacionormadoyA Xconvexo. En-tonces,AestambienunsubconjuntoconvexodeX.Enefecto,seanx, y Ay0 1. Mostraremosquex + (1 )y A. Efectivamente, yaquex, y A por la Proposicion 1.2.3 dado > 0 existen sucesiones_xn_n=1 Ay_yn_n=1 Atalesque:xnx 0existeunx0 [a, b]tal que:f+gu< |f(x0) + g(x0)| + |f(x0)| +|g(x0)| +< fu +gu +comoesarbitrario,obtenemosque:f+gu fu +gu1.3. EJEMPLOSRESUELTOS 51Ejemplo1.3.11Consideremoslafuncion: 1: C([a, b]) Rdefnidaporf1:=b_a|f(x)|dx.Entonces,yaquef C([a, b])tambien |f| C([a, b])donde:|f|(x) = |f(x)|, x [a, b].Las propiedades que mencionaremos a continuacion de la integral de Rie-mann permiten demostrar que 1defne tambien una norma sobre C([a, b]).(a) Si f C([a, b]) y f 0, entoncesb_af(x)dx 0(b) Si f C([a, b]) yesnonegativasobre[a, b]ysiademasb_af(x)dx =0,entonces f(x) =0, x [a, b].(c) Si R, entoncesb_af(x)dx =b_af(x)dx(d) Si f, g C([a, b]) yf(x) g(x) x [a, b], entoncesb_af(x)dx b_ag(x)dx52 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOS(e) Si f, g C([a, b]) entoncesb_a(f(x) + g(x))dx =b_af(x)dx +b_ag(x)dx.Ejemplo1.3.12Enel espacioC([0, 1])lasnormas:fu:= supx[a,b]|f(x)|yf1:=1_0|f(x)|dxno son equivalentes. Efectivamente, si u y 1 fueran equivalentes deberianexistirconstantesa1> 0ya2> 0talesque:a1fu f1 f C([a, b]) (B)yf1 a2fu f C([a, b]) (A)Ladesigualdad(A)siempreesciertayaque |f(x)| fu x [a, b],f C([a, b])yentoncesf1=1_0|f(x)|dx 1_0fudx = fu f C([a, b]).Ahorabien(B)nosiempreescierta.Enefecto,sean:fn(x) =___n n2x si x _0,1n0 si x _1n, 1entoncesfn C([a, b])paran = 1, 2, 3, . . . ,yporotraparte:fn

u:= supx[0,1]|fn(x)| := supx[0,1]|n n2x| =n1.3. EJEMPLOSRESUELTOS 53yfn

u=1_0|fn(x)|dx =1n_0(n n2x)dx +1n_10dx=1n_0ndx 1n_0n2xdx= 1 n2_12n2_=1 12=12paran = 1, 2, . . .Portanto,noexisteningunaconstantea2> 0tal quea2n 12para n = 1, 2, . . .Ejemplo1.3.13Consideremos el espaciovectorial C([0, 1]) dotadodelanorma u.Sea,M:=_f C([0, 1]) :12_0f(t)dt 1_12f(t)dt_.Entonces,MesunsubconjuntoconvexoycerradodeC([0, 1]).Enefecto:(a) Mesconvexo. Sean f, g M y 0 1. Veamosqueelsegmentoderectaf+ (1 )g M.Efectivamente:54 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOS12_0(f(t) + (1 )g(t))dt 1_12(f(t) + (1 )g(t))dt=12_0f(t)dt +12_0(1 )g(t)dt 1_12f(t)dt 1_12(1 )g(t)dt= ___12_0f(t)dt 1_12f(t)dt___+ (1 )___12_0g(t)dt 1_12g(t)dt___= (1) + (1 )(1) =1As,Mesconvexo.(b) Mescerrado.Seaentonces,_fn_n=1 M tal quefn f C([0, 1]) si n en u.Veamosquef M.Enefecto,comolaconvergenciaesuniformesobre[0, 1]vamosatenerque:12_0fn(t)dt 12_0f(t)dt si n y1_12fn(t)dt 1_12f(t)dt si n luego12_0fn(t)dt 1_12fn(t)dt 12_0f(t)dt 1_12f(t)dt si n 1.3. EJEMPLOSRESUELTOS 55estoes,12_0f(t)dt 1_12f(t)dt = lmn___12_0fn(t)dt 1_12fn(t)dt___= lmn1 =1Portanto,f MyasMescerrado.Ejemplo1.3.14SeaXunespaciovectorial. UnsubconjuntonovacoKdeXsellamaunconosi: x Ky 0 entonces x K.Noteque0 Kyesteelementosellamael verticedel cono.Mostraremos que un cono Kde Xes convexo x+y K, x, y K.Enefecto:(a) (=) SupongasequeKesunconoqueesademasunsubconjuntoconvexode X.Entonces,porlaconvexidaddeK:12x +12y K x, y K,luegoporserKunconoobtenemosque:x +y =2_12x +12y_ K.(b) (=) SeaKun cono deXtal quex+y K, x, y K. Entonces,para0 1 : x K x Ky(1 )y K y K.Luegopornuestrahipotesis:x + (1 )y K.56 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSEjemplo1.3.15Sean(X, )unespacionormado,A Xyf: A Runafuncionacotada[estoes,existeunaconstanteM> 0tal que|f(x)| M, x A].Seana Ay> 0.Defnamos:(a, f, ) = sup_|f(x) f(x

)| : x, x

B(a, ) A_.Comof es unafuncionacotadase sigue que (a, f, ) es unn umerofnito,yesclaroquesi0 < 1< 2entonces,0 (a, f, 1) (a, f, 2)as,manteniendoafjoyhaciendoque 0+vaaexistirlm0+(a, f, ).Elvalordeestelmitelollamaremoslaoscilaciondefenaylodenotamospor0(f, a).As,0(f, a) = lm0+(a, f, )Demostrar quesi f : A Res unafuncionacotada, entonces f escontinuaenuna A 0(f, a) = 0.Enefecto:(a) (=) Seafcontinuaena Aentonces,porlaProposicion1.2.5.Dado > 0existeun0> 0tal que:|f(x) f(a)| 0existeun0> 0tal que:(a, f, 0) =sup_|f(x) f(x

)| : x, x

B(a, 0) A_< si0 < < 0,yenconsecuencia:|f(x) f(a)| < si x a < 0yasfescontinuaenx = a.Ejemplo1.3.16SeanI = [a, b] yJ = [c, d] intervaloscerradosde R.DemostraremosqueIyJsonhomeomorfos,estoes,existeunafuncionf: I Jqueesbicontinuaybiyectiva[EnesteejemploconsideramosaRdotadodelametricausual d(x, y) =|x y| x, y R]. Enefecto, consideremoselsiguientegrafco:58 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSP(a, c)Q(b, d) dcb a 0YXFig 1,3,16 (a)Observequelapendientedelarectaquepasaporlos puntos P(a, c) yQ(b, d)es:m =d cb a.Defnamosahoralafuncion:f: [a, b] [c, d]por:f(x) = c +m(x a)= c +d cb a(x a)Es claroque fC([a, b]) yes ademas inyectivapor ser unafuncionlineal.Mostraremosahoraquef([a, b]) :=[c, d].Enefecto,seay [c, d]enton-ces:c y dluego,0 y c d c,1.3. EJEMPLOSRESUELTOS 59yyaque1m=b ad c> 0,entonces0 b ad c(y c) b ad c(d c) =b a,as,tambiena a +b ad c(y c) bportanto, x =a +b ad c(y c) [a, b]yademas:f_a +b ad c(y c)_= c +d cb a_a +b ad c(y c) a_= c +d cb a_b ad c_(y c)= c +y c= y.As,festambiensobreyectivayportantoexistesuinversaf1: [c, d] [a, b]quees tambienunafuncionlineal yportantocontinua. Enconsecuencia,[a, b]y[c, d]sonhomeomorfos.Noteque:f =Tc Mdcba TadondeTc, Mdcba, Tasonlosoperadoresdetranslacionymultiplicaciondef-nidosenlaProposicion1.2.10.Ejemplo1.3.17Sean(X, )unespacionormado, x0, y0 Xyr>0.Entonces, B(x0, )yB(y0, )sonconjuntohomeomorfos. Enefecto, consi-deremoslafuncion:f: B(x0, ) B(y0, )defnidapor:60 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSf(x) = (Ty0 Mr Tx0)(x)= y0 +r(x x0).Esclaroquefesunafuncioncontinuaporsercomposiciondefuncionescontinuasyevidentementees 1 1. Mostraremosacontinuacionquef essobreyectiva,estoes,f(B(x0, )) :=B(y0, r)oequivalentemente:f(B(x0, )) B(y0, r) (A)yB(y0, r) f(B(x0, )) (B)Efectivamente:(A) Seaz f(B(x0, )),entonces,existeunx B(x0, )tal quez =f(x)Comof(x) =y0 +r(x x0),entoncesf(x) y0 =___r(x x0)___=r x x0

=rx x0

0existe un >0tal que x, yXcon x = y =1yx y ,entonces:____12(x +y)____ 1 .Demostrar que un espacio normado(X, ) es uniformemente convexo paracadapardesucesiones_xn_n=1 Xy_yn_n=1 Xconxn = yn = 1paran = 1, 2, 3, . . .yque:lmn____12(xn +yn)____=1entonces,lmnxnyn =0Ejercicios1.5.11 Demostrarquetodoespacionormadouniformementeconvexoesestrictamementeconvexo.Ejercicios1.5.12 Sean 1y 2dosnormasdefnidassobreelmismoespaciovectorial X.Demostrarque:66 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOS(a) Laexpresion:x = x1 +x2esunanormasobreX.(b) Es x = x1x2unanormasobreX?Ejercicios1.5.13 (a) SeaC

([a, b]) :=_f: [a, b] R: f

(x) existeyescontinuasobre[a, b]_.En C

([a, b])defnimoslassiguentesoperaciones:(O1) Suma:(f+g)(x) =f(x) + g(x) (x [a, b])(O2) Multiplicacionporescalar:(f)(x) =f(x) ( K, x [a, b]).Sepuedeverifcarquerespectode(O1)y(O2) C

([a, b])esunespaciovectorial sobreK.Demuestrequelaexpresion:f = |f(a)| +f

udondef

u= supx[a,b]|f

(x)|[verEjemplo1.3.10],esunanormasobreC

([a, b])(b) Demostrarque:fu [1 + (b a)]f (f C

([a, b])).Sugerencia:_f(x) =f(a) +x_af

(t)dt_1.5. EJERCICIOSPROPUESTOS. 67Ejercicios1.5.14 SeaX0:=_f C

([a, b]) :b_af(x)dx =0_(a) Demostrarquelaexpresion:f = supx[a,b]|f

(x)|esunanormasobreel subespacioX0.(b) Estambien unanormasobreC

([a, b])?Ejercicios1.5.15 Sean X=C([0, 1]) y fn(x) =_x2_npara n = 1, 2, . . .Sepide:(a) Demostrarquefn 0si n en 1deX. [VerEjemplo1.3.11](b) Demostrartambienquefn 0sin en udeX.Ejercicios1.5.16 SeaX=C([0, 1])yfn(x) =xnparan = 1, 2, . . .Sepide:(a) Demostrarquefn 0sin en 1.(b) Demostrartambienquefn 0sin en udeX.Ejercicios1.5.17 SeaI = [a, b]. UnaparticiondeI esunsubconjuntofnitodepuntos P =_t0, t1, . . . , ti1, ti, . . . , tn_de[a, b]tal que:a =t0< t1< . . . < ti1< ti< . . . < tn=byn_i=1[ti1, ti] =I.Sea68 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOS:=_P : P esunaparticionde [a, b]_.Unafuncion:f: [a, b] Rse dice que es de variacion acotada sobre [a, b]_enel sentidodeJordan[11]_si:V (f) :=supk

i=1|f(ti) f(ti1)| < .Denotemospor:BV [a, b] :=_f: [a, b] R, fesdevariacionacotadasobre[a, b]_.Entonces, respectodelasoperacionesusualesdesumaymultiplicacionporescalar BV [a, b] tiene estructura de espacio vectorial sobreK[K=Ro C].Defnamos: BV [a,b]: BV [a, b] Rpor:fBV [a,b]= |f(a)| +V (f).Demostrarque BV [a,b]esunanormasobreBV [a, b]Ejercicios1.5.18 Unafuncion:f: [a, b] Rsediceabsolutamentecontinuasidado > 0existeun> 0tal que:n

i=1|f(ci) f(di)| < donde_[ci, di]_ni=1escualquiersucesiondeinter-valosnosolapadosen[a, b]tal quen

i=1|cidi| < _solapadossignifcaquecualesquieradeestosdosintervalostienena1.5. EJERCICIOSPROPUESTOS. 69losumounelementoencom un_.Sepide:(a) Demostrarquetodafuncionabsolutamentecontinuaescontinua.(b) SeaAC([a, b]) :=_f : [a, b] R, fesabsolutamentecontinuasobre[a, b]_DemostrarqueAC([a, b])esunespaciovectorial sobreKrespectodelasoperacionesusualesdesumaymultiplicacionporescalar.(c) DemostrarqueAC([a, b]) BV [a, b].(d) Darunejemplodeunafuncionf BV [a, b]tal quef AC([a, b]).Ejercicios1.5.19 Sean (X, ) un espacio normado y x0 X. DemostrarqueXyB(x0, )sonconjuntoshomeomorfos.Ejercicios1.5.20 Es posible establecer un homeomorfsmo entre el crculo:A:=_(x, y) R2: x2+y2=1_ylaelipse:B:=_(u, v) R2: 4u2+ 9v2=1_.70 CAPITULO1. ESPACIOSNORMADOSCaptulo2EspaciosdeBanachIntroduccion2.1. Desigualdades clasicas enAnalisis Fun-cional.Enestaseccionmostraremos las desigualdades de Holder-Minkowski yMinkowski.Paraprepararlademostraciondeesasdesigualdadespreviamenteintro-ducimos el concepto de conjugados armonicos y mostraremos un Lema previoDefnicion2.1.1Dosn umerosrealespyqsedicenconjugadosarmonicossi:p > 1, q> 1 y1p+1q=1.Observeque:1p+1q=1 (p 1)(q 1) =1 (p 1)q =p (q 1)p =q.Los conjugados armonicos, tambien se llaman exponentes conjugados [o ndi-cesconjugados]Lema2.1.2Sean p y q conjugados armonicos; a 0 y b 0.Entonces,ab app+bqq7172 CAPITULO2. ESPACIOSDEBANACHDemostracion.Caso1.-Sia = 0ob = 0,lademostracionesevidente.Caso2.-Cuandoa>0yb>0. Entonces, debedecumplirsealgunadelassiguientesafrmaciones:a > b o a < b o a = b.Consideremoslafuncionpotencial f(x) = xp1. Larepresentaciongrafcadeestafuncionparaf[0,a]yparaa > beslaquemuestralafgurasiguiente:Yy= f(x) = xp1XabR20Fig2.1.3R1ObservedelaFigura2.1.3que:ab A(R1) + A(R2).Tenemosque:A(R1) =a_0xp1dx =xppa0=app.Porotraparte,haciendoxp1=y,obtenemosque:x =y1p1=yq12.1. DESIGUALDADESCLASICASENANALISISFUNCIONAL. 73portanto,A(R2) =a_0yq1dy =yqqb0=bqq .Enconsecuencia,ab app+bqq .Lasdemostracionesparaloscasosa 1,x = (x1, x2, . . . , xn) Fn, y= (y1, y2, . . . , yn) Fn.Entonces_n

j=1|xj +yj|p_1/p_n

j=1|xj|p_1/p+_n

j=1|yj|p_.1/p2.1. DESIGUALDADESCLASICASENANALISISFUNCIONAL. 75Demostracion.Seaq> 1tal que1p+1q=1.Entonces,|xj +yj|p= |xj +yj|p1|xj +yj| |xj +yj|p1|xj| +|xj +yj|p1|yj|yahoraaplicandoladesigualdaddeHolder-Minkowskipara:___a = |xj|b = |xj +yj|p1y___a = |yj|b = |xj +yj|p1Vamosaobtenerque:n

j=1|xj +yj|pn

j=1|xj||xj +yj|p1+n

j=1|yj||xj +yj|p1_n

j=1|xj|p_1/p_n

j=1|xj +yj|q(p1)_1/q++_n

j=1|yj|p_1/p_n

j=1|xj +yj|q(p1)_1/qdedondeseobtieneque:_n

j=1|xj +yj|p__n

j=1|xj +yj|q(p1)_1/q_n

j=1|xj|p_1/p+_n

j=1|yj|p_1/pestoes,_n

j=1|xj +yj|p_1/p_n

j=1|xj|p_1/p+_n

j=1|yj|p_1/p.76 CAPITULO2. ESPACIOSDEBANACHProposicion2.1.5Seap > 1.Lafuncion p: FnRdefnidapor:xp=_n

i=1|xi|p_1/p(x = (x1, x2, . . . , xn) Fn)esunanormasobre Fn,ademas:lmpxp= xDemostracion.Esfacil verifcarlosAxiomas(A1)y(A2)delaDefnicion1.1.9. Ladesi-gualdadtriangularesladesigualdaddeMinkowski mostradaanteriormenteenel Corolario2.1.4.Mostraremosahoraque:lmpxp= x.Paraestorecordaremosinicialmenteque:si |x| < 1, lmnxn=0y,si x > 0, lmnx1n=1yconsideremoslossiguientescasos:Caso1.-Cuando x = (x1, x2, . . . , xm, xm+1, . . . , xn)dondex1= x2= . . . = xm= 1y|xj| < 1, j= m + 1, . . . , n.Entonces, x=1y2.1. DESIGUALDADESCLASICASENANALISISFUNCIONAL. 77xpp=n

i=1|xi|p= |x1|p+. . . +|xm|p+|xm+1|p+. . . +|xn|p=mveces .. 1 + . . . + 1 +|xm+1|p+. . . +|xn|p= m +n

j=m+1|xj|pluego,xp=_m +n

j=m+1|xj|p_1/pyas,lmpxp= lmp_m +n

j=m+1|xj|p_1/p= lmpm1p=1estoes, lmpxp=1 =x.Caso2.-Cuando x=1.Defnimos:y =xxentonces y=1,yasporel Caso1:lmpyp=1,estoes,lmp____xx____p=1 =lmpxp= x.78 CAPITULO2. ESPACIOSDEBANACH2.2. Espacios de Banach. Teora Basica. Ejem-plosyejercicios.Enlateoradeespaciosmetricosunespaciometrico(X, d)sedicecom-pletosicadasucesion_xn_1 Xtal quelmn,md(xn, xm) =0es convergente a un x X. Ahora bien, sabemos que si (X, ) es un espacionormado, entoncesXesunespaciometricoconlametricainducidaporlanorma deX,estoes,d(x, y) =x y (x, y X).EnestaseccionintroducimoslanociondeespaciodeBanach. PreviamentedamoslasiguienteDefnicionymostramosunaProposicionbasica.Defnicion2.2.1Sean(X, ) unespacionormadoy_xn_1unasu-cesionenX.Decimosque_xn_1esdeCauchysi:lmn,md(xn, xm) = lmn,mxnxm =0estoes,esdado > 0existeunn0=n0() Ntal que:d(xn, xm) =xnxm < si m, n n0.Proposicion2.2.2Sean(X, )unespacionormadoy_xn_1unasu-cesionenX.Entonces,(a) Si_xn_1esdeCauchy,entonces_xn_1esacotada.(b) Si_xn_1esdeCauchyyestasucesioncontienealgunasubsucesionconvergente,entonces_xn_1estambienconvergente.2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEORIABASICA. EJEMPLOS YEJERCICIOS.79Demostracion.(a) Como_xn_1esdeCauchy, dado = 1existeunn1=n1(1) Ntal que:xn xm

xnxm < 1 si m, n n0,luego1 < xn xm < 1 si m, n n0,entonces,tomandom = n0, n > n0yM=max_1 +xn0, x1, x2, . . . , xm

_seobtieneque:xn M para n = 1, 2, 3, . . .(b) Sea_xnk_1unasubsucesiondelasucesiondeCauchy_xn_1talquelmnkxnk=x enlanormade X.Entonces,dado > 0existeunk1 Ntal que:____xnk x____ 0 existe unn1 Ntal quexnxm n0ynk> n0entonces80 CAPITULO2. ESPACIOSDEBANACHxnx = xnxnk+xnk x xnxnk +xnk x 1), l1nyln.(b) LosespaciosdefuncionesC([a, b]), BV ([a, b])yC

([a, b]).(c) Losespaciosdesucesioneslp(p 1), lyc0.Antesdeestudiarlacompletituddelosmencionadosespacios,mostrare-moslassiguientesProposiciones:Proposicion2.2.4Sean (X, ) un espacio de Banach yYun subespaciodeX.Entonces,(a) SiY escerradoenX,entoncesY estambienunespaciodeBanach.(b) SiY esunespaciodeBanach,entoncesY escerrado[ensimismo.]Demostracion.(a) Sea_xn_1unasucesiondeCauchyenY. Entonces,_xn_1estambiendeCauchyenX.Como(X, )esdeBanach,existeunx Xtalquexn xsi n ycomoY escerradoconcluimosquex Y. As,(Y, )esunespaciodeBanach.(b) Evidente.2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEORIABASICA. EJEMPLOS YEJERCICIOS.81Proposicion2.2.5Sean (X, ) un espacio de Banach y 1otra normasobreXtalque 1 .[VerelEjemplo1.3.5].Entonces,(X, 1)estambienunespaciodeBanach.Demostracion.Sea_xn_1unasucesiondeCauchyenXrespectodelanorma 1. En-tonces,como 1 existenconstantesa > 0yb > 0talesque:ax1 x bx1( x X)enparticularvamosatenerque:axnxm

1 xnxm (B)xnxm bxnxm

1(A)Sesiguedeladesigualdad(A)que_xn_1esdeCauchyrespectodelanorma ,yyaque(X, )escompletoexisteunx Xtalquexn xsin .De(B)seobtienetambienquexn xsin en 1.Portanto,(X, 1)esunespaciodeBanach.Proposicion2.2.6Sean(X, 1)y(Y, 2)espaciosdeBanach. En-tonces, el espacionormadoX Y es tambienunespaciodeBanach[verProposicion1.2.7].Demostracion.DeacuerdoalaProposicion1.2.7lanormaenX Y es:(x, y) = x1 +y2((x, y) X Y ).Seaentonces,_xn, yn_1unasucesiondeCauchyenX Y.Entonces,dado > 0existeunn0 Ntal que:(xn, ym) (xm, ym) = (xnxm, ynym)= xnxm

1 +ynym

2< 82 CAPITULO2. ESPACIOSDEBANACHsin, m n0.Deaqui,esclaroque:xnxm

1< y ynym

2< si n, m n0. Sesigueentonces que_xn_1y_yn_1sonsucesiones deCauchy en (X, 1) y (Y, 2) respectivamente. Como (X, 1) y (Y, 2)soncompletos,existeunx Xy,y Y tal que:xn x si n y,yn y si n As,(x, y) X Y yesfacil verifcarque:(xn, yn) (x, y) si n en(X Y, ).As,(X Y, )esunespaciodeBanach.Conel propositodeestablecerunacaracterizacionparalosespaciosdeBanach,introducimoslassiguientesdefniciones:Defnicion2.2.7Sea(X, ) unespacionormado. Unaexpresiondeltipo:

n=1xnsellamaunaserieformal enX.Tambiendiremosquelaserie

n=1xnesconvergenteen(X, )silasucesiondesumasparcialessn=n

k=1xkesconvergenteenX.Defnicion2.2.8Sea(X, )unespacionormadoy

n=1xnunaserieenX.Decimosque

n=1xnesabsolutamenteconvergentesi:2.2. ESPACIOS DE BANACH. TEORIABASICA. EJEMPLOS YEJERCICIOS.83

n=1xn < .TenemosentonceslasiguientecaracterizacionparalosespaciosdeBa-nach.Teorema2.2.9Sea (X, ) un espacio normado. Entonces, (X, ) es unespacio de Banach cada serie absolutamente convergente es convergente.Demostracion.=) Sea

n=1xnunaseriedeXabsolutamenteconvergente.Entonces,dado > 0existeunk0 Ntal que:m

n=k+1xn < si m > k k0.As,param > k k0vamosatenerque:sksm =____k

n=1xnm

k=1xk____=____m

n=k+1xn____m

n=k+1xn < .Luego, lasucesiondesumas parciales delaserieformal

n=1xnes deCauchyen(X, )queescompleto,portantoestaesconvergente.=) Supongasequecadaserieformal deXqueesabsolutamentecon-vergenteesconvergente. SeaS :=_xn_1unasucesiondeCauchyenX.Sesigueentoncesque:Dado =12,existeunxn1 Stal que:84 CAPITULO2. ESPACIOSDEBANACH____xn1xl____ n1tal que:____xn2xl____ 0existenm1, m2 Mtalesque:x +m1 0tal que:T(x) Mx, x XAs,six = 0,T(x)x Mportanto,supx=0T(x)x M< yestesupremolodenotamospor Tu.El lectorpuedeverifcarlosAxiomas(A1)y(A2)delanorma.Verifca-remosladesigualdadtriangular.Paraesto,bastaverifcarque:3.1. NOCIONDE ACOTACIONDE UNOPERADORLINEAL. EL ESPACIODE B(X, Y )137T+Su< Tu +Su +, > 0Enefecto,como:T+Su=supx=0T(x) + S(x)xentonces,dado > 0existeunx0 X, x0 = 0tal que:T+Su< T(x0) + S(x0)x0

+,luego,T+Su< T(x0) + S(x0)x0

+ T(x0)x0

+ S(x0)x0

+< Tu +Su +enconsecuencia:T+Su Tu +Su, S, T L(X, Y )Teorema3.1.11 SeanXun espacio normado yYun espacio de Banach.Entonces,(B(X, Y ), u)esunespaciodeBanach.Demostracion.Sea_Tn_n=1unasucesiondeCauchyen(B(X, Y ), u). Entonces, dado > 0existeunn0=n0() Ntal que:TnTm

u=supx=0Tn(x) Tm(x)x< si m, n n0Luego,Tn(x) Tm(x) x si m, n n0 x X.138 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSSe sigue de esta ultima desigualdad que_Tn(x)_n=1es una sucesion de Cau-chyenY paracadax Xquees completoy, portantoestasucesionesconvergente.SeaT: X Ydefnidapor:T(x) = lmnTn(x) (x X).Esfacil verifcarqueT esunatransformacionlineal. AfrmamosqueT esacotada. Enefecto, como_Tn_n=1es de Cauchy en(B(X, Y ), u) esacotada,estoes,existeunM> 0tal que:Tn

u M para n =1, 2, 3, . . .enconsecuencia,T(x) = lmnTn(x) = lmnTn(x) lmnTn

ux Mx x XAs,T B(X, Y ).Porotraparte,haciendoquem ytomandon n0vamosatenerque:Tn(x) T(x) x, x X,luego,six = 0 :Tn(x) T(x)x yportanto:TnTu=supx=0Tn(x) T(x)x si n n0.3.1. NOCIONDE ACOTACIONDE UNOPERADORLINEAL. EL ESPACIODE B(X, Y )139CulminaremosestaSecciondandounaDefnicionydespuesestableceremosunaObservacionDefnicion3.1.12 SeaT L(X, Y ).Entonces,(a) El n ucleodeTdenotadoporN(T)es:N(T) :=_x X: T(x) =0_.Observesequesi ademasT esacotado, entoncesN(T)escerradoenX_inicialmentelalinealidaddeT, garantizaqueN(T)esunsubespaciovectorial deX_.[VertambienCorolario1.2.15(b)ylaPro-posicion3.1.7](b) El RangoolaimagendenotadoporR(T)es:R(T) :=_y Y : y =T(x), x X_estoes, R(T) =T(x)Observacion3.1.1(a) SeanX, Y, Zespaciosnormados.Undiagramadel tiposiguiente:X YZATdondeT yAsonoperadores lineales acotados, sondeutilidadenlaTeoradeoptimizacionypermitenresolverciertosproblemasdemini-mizacion.El lectorinteresadoenestopuedeconsultarel trabajo[9]140 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOS(b) El lectorpuedeverifcarcomounEjercicioque:supx=0T(x)x= supx1T(x) = supx = 1T(x)y este valor com un es el que hemos denotado por Tu. En lo que siguelanorma udeunoperadorlineal Tseradenotadapor T.(c) Si Y =F[F=RoC],entoncesel operadorlineal acotado:T: X Fsellamaunfuncional lineal acotadoyesdesignadogeneralmenteconlaletraf(d) El espaciodeBanachB(X, F)esdenotadoporX

ysellamael dualtopologicodeX.As,X

:=_f: X F, fesunfuncional lineal acotado_.UnodelosTeoremasmasimportantesdel AnalisisFuncional el Teo-remadeHanh-Banach[ademostrarsemasadelante]afrmaquesiXesunespacionormadoX = {0}yx0 X, x0 = 0,entoncesexisteunf X

tal que:f =1 y f(x0) =x0.Como una consecuencia del Teorema de Hanh - Banach obtenemos que:si X = 0 X

= {0}.3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCIONDE OPERADORCERRADO1413.2. Normas Equivalentes. Nocion de operadorcerradoEn esta Seccion se mostrara un resultado bastante importante en AnalisisFuncional: el que expresa que en un espacio normado de dimension fnita dosnormascualesquieradefnidasobreel sonequivalentes.Tambienseintroduciralanociondeoperadorcerrado, el cual esesen-cialparalaDemostraciondeunTeoremaquemostraremosmasadelante:ElTeoremadel Grafocerrado.ComenzaremosnuestraSecci onrecordandolasiguienteDefnicion:Defnicion3.2.1 Sean(X, ) un espacio normado. Un subconjunto novacoAdeXsellamasecuencialmentecompactositodasucesiondepuntosdeAcontieneunasubsucesionconvergenteaunelementodeA.laDemostraciondelossiguientesTeoremaspuedenconsultarseen[ ]Teorema3.2.2 Sea(X, )unespacionormado.Entonces,unsubcon-juntoAdeXescompacto essecuencialmentecompactoTeorema3.2.3 Sean (X, ) y (Y, ) espacios normados. Sean D Xcompactoy:f: D Yunafuncioncontinua.Entonces,existenpuntosx1, x2 Dtalesque:f(x1) =supxDf(x)yf(x2) =nfxDf(x).TenemosahoralasiguienteProposicion:Proposicion3.2.4 Sea(X, )unespacionormadocondimX< .Entonces,existenunanorma: 1: X [0, )142 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSyunaconstanteM> 0tal que:x y Mx y1 x, y X (3.2.5)Demostracion.SeanB:=_e1, e2, . . . , en_unabase(algebraica)deXyx X.Entonces,existenescalaresi F i =1, 2, . . . , ntalquex =n

i=1iei. Defnamos: 1: X [0, )porx1=n

i=1|i|.Esclaroque 1estabiendefnidaysatisfacelosAxiomas(A1)y(A2)delaDefniciondenorma.Porotraparte,siyesotroelementodeX,entoncesy =n

i=1ieiluego,x+y1=n

i=1|i+i| n

i=1|i| +n

i=1|i| = x1+y1 x, y XTambien:x y =____n

i=1(ii)ei____n

i=1|ii|ei

n

i=1x y1ei

=_n

i=1ei

_x y1 x, y XTomando,M=n

i=1ei > 0obtenemosnuestradesigualdad(3.2.6)3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCIONDE OPERADORCERRADO143Proposicion3.2.5 Sean(X, )unespacionormadoy, 1lanormadadaporlaProposicionanterior.El conjunto,S1:=_x X:x1=1_essecuencialmentecompactoDemostracion.Sea_xk_k=1unasucesiondepuntosdeS1. Mostraremosqueestacontieneuna subsucesion_xkj_j=1que es convergente en 1a un x S1. En efecto,comoxk S1,entoncesxk=n

i=1k(i)eidonden

i=1|k(i)| =1 k =1, 2, 3, . . .Ahorabien,consideremosel siguienteesquema: 1(1)1(2). . . . . . 1(n)2(1)2(2). . . . . . 2(n). . . . . . . . . . . . . . . (3.2.6). . . . . . . . . . . . . . .k(1)k(2). . . . . . k(n). . . . . . . . . . . . . . .Entonces,como |k(i)| < 1 i =1, 2, . . . , n, k =1, 2, 3, . . .se sigue entonces que cada sucesion columna_lasindicamosennuestroesquema(3.2.6)conuna_144 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOS_k(1)_k=1,_k(2)_k=1, . . . . . . ,_k(n)_k=1esacotada,luegoporel TeoremadeBolzano-Weirstrasscadaunadeestascontieneunasubsucesion:_kj(i)_j=1, i =1, 2, . . . , nque se convergente auniF i = 1, 2, . . . , n. Seax =n

i=1iei.Entonces,x Xyademasxkj x1=n

i=1|kj(i)i| 0 si j as,xkj x si j en 1.Porotraparte:n

i=1|i| =n

i=1lmjkj(i)= lmjn

i=1kj(i)= lmj1 =1locual muestraquex S1yculminalaDemostracion.Teorema3.2.6 Enunespaciovectorial XcondimX< todas lasnormassonequivalentes.Demostracion.Sean unanormadefnidasobre Xy, 1lanormasobre Xdadapor laProposicion3.2.4. Consideremos S1. Yaquelanorma es 1continua_verlaProposicion3.2.4_yS1escompacto, entoncesporel Teorema3.2.3existenx1, x2 S1talesque:3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCIONDE OPERADORCERRADO145x1 =supxS1x > 0 y x2 = nfxS2x > 0yenconsecuenciax1 x x2, x S1.Ahorabien,six X, x = 0entoncesxx1 S1,portanto:x1 ____xx1____ x2,luegox2x1 x x2x1 x Xtomando a = x2 > 0 y b = x2 > 0 obtenemos que 1. Por otrapartesi | |esotranormadefnidasobreX,entoncesporelprocedimientoanterior | | 1y,asporel Ejercicio1.3.5. | |yculminalaDemostracion.Proposicion3.2.7 SeanXy Y espacios normados condimX< .Entonces,L(X, Y ) :=B(X, Y )Demostracion.SeaB:=_e1, e2, . . . , en_unabasedeXyx X.Entonces,x =n

i=1iei, i F, i = 1, 2, . . . , n.SeaT L(X, Y ).PorlalinealidaddeTvamosatenerque:146 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOST(x) = T_n

i=1iei_=n

i=1T(iei)=n

i=1iT(ei).LuegoT(x) =____n

i=1iT(ei)____n

i=1iT(ei)=n

i=1|i|T(ei).SeaM= maxi=1,2,...,nT(ei).Esclaroque:T(x) Mn

i=1|i| =Mx1 x Xyas,envirtuddel TeoremaanteriorT(x) Mx x X,yportantoT B(X, Y ).SeanXyY espaciosvectorialesy, T: X Y unoperadorlineal. ElinversodeT_supuestasuexistencia_esel operadorlinealT1: Y Xdefnidoporx =T1(y) y =T(x).La siguiente Proposicion establece una caracterizacion para la continuidad deT1Proposicion3.2.8 SeanXyY espaciosnormadosy, T B(X, Y )talque T es inyectivo_estoes,T(x1) =T(x2) x1=x2_. Entonces, eloperadorlineal3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCIONDE OPERADORCERRADO147T1: T(X) Y esacotado existeunk> 0tal queT(x) kx, x XDemostracion.ObservemosinicialmentequelainyectividaddeTgarantizalaexistenciadelinversoT1: T(X) Xyestambienunoperadorlineal.) SupongasequeT1esunoperadorlineal acotado. Entonces, existeunk1

> 0tal que:T1(y) k1

y, y T(X).Luego,existeunx Xtal quey =T(x).Portanto,T1T(x) k1

T(x)estoes,x k1

T(x)yastambien,T(x) 1k1

xtomandok =1k1

obtenemosque:T(x) k1x, x X) Reciprocamente, si T(x) kxparaalg unk>0y x X,entonces,llamandoy =T(x)vamosatenerquex =T1(y)yportantoy kT1(y)estoes,T1(y) 1ky, y T(X)yenconsecuenciaT1 B(Y, X).Introduciremosahoralanociondeoperadorcerrado.148 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSDefnicion3.2.9 SeanXyY espacios normados y, Dunsubespaciovectorial deX.UnoperadorlinealT: D Ysellamacerradosi_xn_n=1 Dtal quexn x X si n y,T(xn) y si n entoncesx Dy,y =T(x).Unoperadorlineal quees cerradosellamaunoperadorcerrado. Es obvioque si D:=Xy, T : XY es unoperador lineal acotadoentoncesT es cerrado. El recproconosiempre es cierto. Enefecto, paramostrarunEjemplo_quelodaremoscomounaProposicionque ilustra esta Afr-macion, mencionaremosunTeoremaqueesdemostradousualmenteenloscursosdeAnalisisReal.El Teoremadicelosiguiente:Teorema3.2.10 SeanI = [a, b], fn: I Runa sucesiondefuncionesy,f: I Runafuncion.Supongaseque:fn f si n puntualmentesobreI.SupongasetambienquefnesderivablesobreI n Nyqueademasfn

g si n uniformementesobreIdonde g: I R es una funcion. Entonces, fes derivable sobre Iy ademas:f

=g.Notequeel Teorema(3.2.10)fueusadoenlasoluciondenuestroEjemplo(2.3.9).Recordemos tambienque C([a, b]) es unespaciode Banachconlanormauniforme:3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCIONDE OPERADORCERRADO149fu= supx[a,b]|f(x)|yqueC

([a, b]) :=_f: [a, b] R tal quef

existeyescontinuasobre[a, b]_esunespaciovectorial.Tomando uC

([a,b]), esteseconvierteenunespacionormado. El lectorpuedeverifcarque(C

([a, b]), u) noes ne-cesariamentecerradoenC([a, b]).TenemosahoranuestraProposicion:Proposicion3.2.11 El operadorlineal:T: C

([0, 1]) C([0, 1])defnidoporT(f) =f

escerrado,peronoesacotado[f

representalafuncionderivadadef].Demostracion.VerifcaremosinicialmentequeTescerrado.Enefecto,sea_fn_n=1 C

([0, 1])tal que:fn f C([0, 1]) si n en uyT(fn) = fn

g C([0, 1]) si n en uDebemosverquef

C

([0, 1])yqueT(f) = g.Enefecto,deacuerdoalTeorema(3.2.10)fesderivablesobre[0, 1]yademas:f

=g.150 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSPorotraparte, comolaconvergenciaesuniformey, lasfn

soncontinuas,sesiguequef

escontinuayasf C

([0, 1]).As,hemosdemostradof C

([0, 1])yT(f) =g.Locual muestraqueTescerrado.VeamosahoraqueT noesacotado. Paraverifcaresto, consideraremoslasucesion_fn_n=1 C

([0, 1])donde:fn(t) =tn.Entonces,delaDefniciondeTvamosatenerque,T(fn)(t) =fn

(t) =ntn1(n N, t [0, 1]).Luego,T =supf=0T(fn)ufn

u supnNn = locual muestraqueTnoesacotado.DeloscursosbasicosdeCalculosabemosquesiD Ryf: D Resunafuncion[y =f(x)]el grafodefdenotadoporG(f)esel conjunto:G(f) :=_(x, y) R2: x D, y =f(x)_el cual puededibujarseusandotecnicasdel CalculoDiferencial.EstehechonosmotivalasiguienteDefnicion:Defnicion3.2.12 SeanXyY espaciosnormadosyDunsubespaciovectorial deX.SeaT: X Yunoperadorlineal.El grafodeTdenotadoporG(T)es:G(T) :=_(x, y) X Y : x D, y =T(x)_.EsclaroporlalinealidaddeT,queelelemento(0, 0) G(T).RestringiendolasoperacionesdeespaciovectorialdeX Y sobreG(T), estetomaestruc-turadeespaciovectorial.As,al restringirlanormadeX Y sobreG(T),3.2. NORMAS EQUIVALENTES. NOCIONDE OPERADORCERRADO151tambiensetransformaenunespacionormado[Lanormaqueestamoscon-siderandoenX Y es:(x, y) = x +y, (x, y) X Y ].SabemosporlaProposicion(2.2.6)quesi XyY sonespaciosdeBanach,entoncesX Y estambienunespaciodeBanachconlanorma(x, y) = x +y.Por tanto, siG(T) es cerrado enXY, el es tambien un espacio de Banach.Teorema3.2.13 SeanXy Y espacios normados y, Dunsubespaciovectorial deX.SeaT: D Yunoperadorlineal.EntoncesG(T) escerradoTesunoperadorcerradoDemostracion.) Sea_xn_n=1 Dtal que:xn x X y T(xn) y si n .Mostraremosquex Dy,y= T(x).Enefecto,denuestrahipotesis:(xn, T(xn)) (x, y) = (xnx, T(xn) y)= xnx +T(xn) y2+2= si n n0as,(xn, T(xn)) (x, y) si n .152 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSComo(xn, T(xn)) G(T)yG(T)escerrado, entonces(x, y) G(T). Portanto,x Dy,y= T(x).) Sea_(xn, yn)_n=1 G(T)tal que:(xn, yn) (x, y) si n .Entonces,porlanormaconsideradaenX Y vamosatenerque:xn x X si n y,yn=T(xn) y si n ComoTesunoperadorcerrado,vamosatenerquex Dyademasy= T(x).Portanto,(x, y) G(T)yasG(T)escerradoenX Y.3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS1533.3. AlgunosejemplosdeoperadoreslinealesacotadosEstaSeccioncontienealgunosEjemplosdeoperadoreslinealesacotados.Entre otros, mencionaremos el operador de Fredholm, la proyeccion canonicayel operadorShift.Tambiense dalanocionde operador compactoy, unTeoremade ex-tensiondeoperadores.ParatratarnuestroprimerEjemploqueserael operadordeFredholm,damosinicialmentelasiguienteDefnicion:Defnicion3.3.1 Unafuncioncontinua:k : [a, b] [a, b] Rtal queM(b a) < 1dondeM= sup(x,y)[a,b][a,b]k(x, y)sellamaunafuncionconunn ucleoaceptabledeFredholm.Ejemplo3.3.2 SeaK: [a, b] [a, b] Runafuncionconunn ucleoaceptabledeFredholm.SeaK: C([a, b]) C([a, b]),el operadorlineal,defnidocomo:K(x)(s) =b_ak(s, t)x(t)dt (x C[a, b]).EsteKsellamael operadordeFredholm.ObservemosinicialmentequeK(x)defneunafuncioncontinuadefnidasobre[a, b][Ellectorpuedeverifcarfacilmentelalinealidadyhomogeneidad154 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSde K]. En efecto, seans [a, b] y_sn_n=1 [a, b] tal quesn s si n .Entonces, yaquef esunafuncioncontinuasobre[a, b] [a, b], dado>0existeun> 0tal que:|k(x, y) k(x

, y

)| < si (x, y) (x

, y

) < .Ahorabien,comosn ssin paranuestro> 0existeunn0 Ntalque:|sns| < si n n0.Porotrapartecomo:(sn, t) (s, t) = (sns, 0) = |sns| < si n n0entonces,|k(sn, t) k(s, t)| 1estambienunoperadordeFredholm.Bastademostrarloparak =2yluegousarinduccionsobren.[sin = 1,convenimos que K0= I, donde Idenota la identidad de C([a, b]) en C([a, b])].Enefecto,156 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSK2(x +y) = K(K(x +y)) = K(K(x) + K(y))= K(K(x)) + K(K(y))= K2(x) + K2(y)y,K2(x) = K(K(x)) = K(K(x))= K(K(x))= K2(x), x, y C([a, b]), F.PorotraparteK2(x)(s) = K(K(x))(s) =b_ak(s, t) K(x)(t)dt=b_ak(s, t) x1(t)dtdonde x1(t) =K(x)(t).As,K2esunoperadordeFredholm.Ejemplo3.3.4 SeaK: C([a, b]) C([a, b]),el operadordeFredholm.Entonces,I KdondeIdenotael operadoriden-tidaddeC([a, b])enC([a, b])esunoperadorlinealacotado.Ahorabien,nosplanteamoslasiguientepregunta:Dadaunafunciony C([a, b]),Existealgunafuncionx C([a, b])talque:(I K)(x) =y?.Observeque3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS157(I K)(x) = y x(s) _bak(s, t)x(t)dt = y(s).Laecuacion(I K)(x) = ysellamalaecuacionintegral deFredholm. Existeuna unicasolucionparadichaecuacionyeslafuncionx =_

n=0Kn_(y) [k0=I]donde la serie

n=0Kndefne unoperador lineal acotado de C([a, b]) enC([a, b]).Ejemplo3.3.5 Sean(X, )unespaciodeBanachy,MunsubespaciocerradodeX.Sabemosporel Teorema(1.2.13)queel espaciococienteX=X/MesunespaciodeBanachconlanorma:[x] = nfmMx +m (x X, [x] :=x +M).Sealatransformacion : X X/Mdefnidapor:(x) =[x].Sepuedeverifcarfacilmentequeesunoperadorlineal.Ademas,(x) = [x] = nfmMx +m x x X,locual muestraqueesacotado.Aloperadorlinealacotadotambienselellamalaproyeccioncanonica.158 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSEjemplo3.3.6 Seap 1. De acuerdo a nuestro Ejemplo (2.3.3) sabemosquelpesunespaciodeBanachconlanorma(xn)n=1

p=_

n=1|xn|p_1/p.Seap =2,yconsideremosel diagramasiguiente:l2l2l2SdSidonde Sdy Sisontransformaciones defnidas de lamanerasiguiente: Si(x1, x2, . . . , ) l2entonces,Sd((x1, x2, x3, . . .)) =(0, x1, x2, x3, . . .)y,Si((x1, x2, x3, . . .)) =(x2, x3, x4, . . .).Esfacil verifcarqueSdySisonoperadoreslineales.AdemasSd((x1, x2, x3, . . .))22=

n=1|xn|2=_____xn_n=1____22estoes,Sd(x)2= x2, x =_xn_n=1 l2.As,Sdesunoperadorlineal acotadoy Sd =1Tambien:3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS159Si((x1, x2, x3, . . .))22=

n=2|xn|2

n=1|xn|2luego,Si(x)2 x2, x =_xn_n=1 l2.Sepuedeverifcartambienque:Si =1.Estos operadores SdySisonllamados el operador Shift aladerechayeloperadorShiftalaizquierdarespectivamenteEjemplo3.3.7 SeanXyY espaciosdeBanach.SabemosporlaPropo-sicion(2.2.6)queX Y estambienunespaciodeBanachconlanorma:(x, y) = x +y,_(x, y) X Y_.Ahorabien,consideremosel diagrama:X X YYPxPydondePxyPysontransformacionesdefnidascomo:Px((x, y)) =xyPy((x, y)) =y160 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSEsfacil verifcarquePxyPysonoperadoreslineales.Ademas,Px((x, y)) = x x +y = (x, y)Py((x, y)) = y y +x = (x, y)Portanto,PxyPysonoperadoreslinealesacotadosy:Px 1Py 1Noteque:Px((x, y)) + Py((x, y)) =x +yEjemplo3.3.8 Seaa =t1< t2< . . . < tn1< tn= bunaparticiondelintervaloI =[a, b].SeaTlatransformacionsiguiente:T: C([a, b]) RnT(f) =(f(t1), f(t2), . . . , f(tn)).EsclaroqueTesunoperadorlineal y:T(f)2=n

i=1|f(ti)|2.Porotraparte,como |f(ti)| fu, i = 1, 2, . . . , n,entoncesT(f)2 nfu2n N, n fjo f C([a, b]).As,Tesunoperadorlineal acotadoy:T nEjemplo3.3.9 [unTeoremadeextensionparaoperadoreslinealesacota-dos]Sean Vun espacio normado, Wun espacio de Banach y, V0un subespaciovectorial deV.Sea3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS161T0: V0 Wun operador lineal acotado. Entonces, existe un unico operador lineal acotadoT: V0 Wtal que:T|V0=T0yasTesunaextensiondeT0aV0.AdemasTV0= T0

V0donde TV0y T0

Vsonlasnormasdelosoperadores T yT0calculadasrespectodelas bolas unitaras deV0yV0respectivamente. Enloquesigueestasnormaslasdenotaremospor Ty T0

Demostracion.(a) Existencia Sea x V0. Entonces, existe una sucesion_xn_n=1 V0tal que xn x 0si n . Ahorabien, yaqueT0esacotadovamosatenerque:T0(xn) T0(xm) = T0(xnxm) T0xnxm 0si n, m _xnxm 0 si n, m yaque (xn)n=1esconvergente_as,lasucesion_T0(xn)_n=1esdeCauchyenWqueporhipotesisesunespaciodeBanachyportanto,esconvergenteaun unicoelementodeW.DefnamosunatransformacionT: V0 Wpor162 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOST(x) = lmnT0(xn)NotemosqueT(x) esindependientedelasucesionelegidaenV0queconverjaax.Enefecto,sea_yn_n=1otrasucesionenV0tal queyn x si n . Entonces xnyn 0 si n y en consecuenciaporlacontinuidaddeT0:lmnT0(xn) = lmnT(yn).Esfacil verifcarlalinealidaddeTyqueT|V0=T0[Porque?]b) Unicidad SeaS: V0 Wotrooperadorlineal acotadotal que:S|V0=T0AfrmamosqueS =T.Enefecto,seax V0y_xn_n=1 V0talquexn x si n . Entonces, por la continuidad de Sy de la DefniciondeTobtenemosque:S(x) = lmnS(xn) = lmnT0(xn) =T(x)portantoS =T.Mostraremosahoraque:T = T0

Enefecto,recordemosinicialmenteque:3.3. ALGUNOS EJEMPLOS DE OPERADORES LINEALES ACOTADOS163T0 = supx V0x = 0T0(x)xyT = supx V0x = 0T(x)xAhorabien, es claroque T0 T. Por otraparte, si x V0y_xn_n=1 V0tal quexn xsin ,entoncesT(x) = lmnT0(xn)Luego,T(x) = lmnT0(xn) = lmnT0(xn) lmnT0xn

yenconsecuencia,como lmnxn = xobtenemosque:T(x) T0xestoes,T = supx V0x = 0T(x)x T0

Ejemplo3.3.10 [Nociondeoperadorcompacto]SeanXyY espaciosnormados.UnoperadorlinealT: X Y164 CAPITULO3. OPERADORESLINEALESACOTADOSsedicecompacto, si paracadasucesionacotada_xn_n=1Xlasucesionde imagenes_T(xn)_n=1contiene una subsucesion convergente. Un operadorlineal queescompactosellamaunoperadorcompacto.Acontinuacionmostraremosqueel operadordeFredholm:K: C([a, b]) C([a, b])dondeK(x)(s) =b_ak(s, t)x(t)dtesunoperadorcompacto.[Verel Ejemplo3.3.10].Enefecto,sea_xn_n=1 C([a, b])tal que:xn

u M para n = 1, 2, 3, . . .Mostraremosquelasucesiondeimagenes_K(xn)_n=1tienelassiguientespropiedades:(P1) Esuniformementeacotada,estoes,existeunaconstanteC> 0talque:K(xn)u C para n = 1, 2, 3, . . .(P2) Esequicontinua,estoes,dado > 0existeun> 0tal que:|K(xn)(s) K(xn)(s

)| < si |s s

| < para n = 1, 2, 3, . . .yasenconsecuenciaporelTeoremadeAscoli-Arzelaquedarademostradoque_K(xn)_n=1contieneunasubsucesionconvergente.Verifcaremosentonces(P1)y(P2)(P1)ComoKesacotado,3.4. COMENTARIOFINALDELCAPITULO3 165K(xn) Kxn

u KM< para n = 1, 2, 3, . . .(P2) Comok(s, t)esunafuncionuniformementecontinua,dado> 0existeun> 0tal que:|k(s, t) k(s

, t)|