TIRO PARABÓLICO

El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabólico son: proyectiles lanzados desde la superficie de la Tierra o desde un avión, el de una pelota de fútbol al ser despejada por el portero, el de una pelota de golf al ser lanzada con cierto ángulo respecto al eje horizontal.

El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial del movimiento horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente variado. El tiro o movimiento parabólico es de dos clases:

4.2 TIRO PARABÓLICO

OBJETIVO:

Diferenciar el movimiento en dos dimensiones en el lanzamiento horizontal y en el tiro con ángulo.

 

Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo desalida.

 

LANZAMIENTO CON ÁNGULO

La velocidad inicial del proyectil(Vo) tiene dos componentes (Vx y Voy) que se calculan con Vx = VoCosq y Voy = VoSenq.

Para cualquier instante del movimiento, la velocidad del proyectil tiene dos componentes (Vx y Vy). La posición también tiene las dos

coordenadas (X, Y)

 

COMPONENTE VERTICAL

Verticalmente el movimiento es uniformemente acelerado. La única fuerza que actúa sobre el proyectil es la gravedad, por lo que la

aceleración es g.

Para cualquier instante del movimiento la velocidad vertical (Vy) debe calcularse como si fuera lanzamiento vertical

 

COMPONENTE HORIZONTAL

Horizontalmente la velocidad es constante Vx = VoCosq y debe calcularse como si fuera movimiento rectilíneo uniforme.

 

 

Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por

el ángulo de salida.

 

 

Al aumentar el ángulo, el alcance horizontal “X”, la altura máxima y el tiempo aumentan.

El alcance máximo se logra con el ángulo de 45°, Con el incremento del ángulo, aumenta la altura máxima y el tiempo.

Con ángulos mayores que 45° el alcance disminuye, pero la altura máxima y el tiempo siguen aumentando.

Incrementado mas el ángulo, el alcance sigue disminuyendo y la altura máxima y el tiempo continúan incrementándose.

En este tipo de movimiento siempre el primer paso es obtener la velocidad inicial en “x” y en “y .

 

EJEMPLO

Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37° con una velocidad de 20 m/s. Calcule:

 

a) La altura máxima.

b) El tiempo que permanece en el aire.

c) La distancia a la que llega al suelo.

d) La velocidad en X y Y del proyectil después de 1 seg de haber sido disparado

 

Datos

Ángulo = 37°a) Ymax = ?

d) Vx =?

Vo = 20m/sb) t total = ?

Vy = ?

g= -9.8 m/s^2

c) X = ?

 

Paso 1 

 

Vox = Vo Cos a = 20 m/s Cos 37° = 15.97 m/s

Voy = Vo Se n a = 20 m/s Sen 37° = 12.03 m/s

Paso 2

Calcular el tiempo de altura máxima , donde Voy = 0

Por lo tanto : t = (Vfy - Voy) / g = (0 - 12.03 m/s) / 9.8 = 1.22.seg.

 

Paso 3

Calcular a) la altura máxima:

Ymax = Voy t + gt^2 / 2= 12.03 m/s ( 1.22s) + (( -9.8m/s^2 )(1.22s)^2) / 2 = 7.38m

 

Paso 4

Calcular b) el tiempo total . En este caso solo se multiplica el tiempo de altura máxima por 2, porque sabemos que la trayectoria en este caso es simétrica y tarda el doble de tiempo en caer el proyectil de lo que tarda

en alcanzar la altura máxima.

T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.

 

Paso 5

Calcular el alcance máximo, para lo cual usaremos esta formula:

X = Vx t total = 15.97 m/s ( 2.44s) = 38.96 m.

Paso 6

Vfy = gt + Voy = (- 9.8) ( 1seg.) + 12.03 m/s = 2.23 m/s

Vfx = 15.97 m/s ,ya que esta es constante durante todo el movimiento.

ACTIVIDAD No. 7

INSTRUCCIONES:

Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos a su maestro en hojas blancas en la fecha indicada por él.

 

1.- Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 75.2 mIs, a un ángulo de 34.5° por encima de la horizontal a lo largo de un campo de tiro plano. Calcule

a) La máxima altura alcanzada por el proyectil.

b) El tiempo que total que el proyectil permanece en el aire

c) La distancia horizontal total

d) La velocidad de X y Y del proyectil después de 1.5 s de haber sido disparado

 

2.- Una flecha se dispara con un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y con una velocidad de 35 m/s.

a) ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 4 segundos?

b) Determine las componentes de su velocidad después de 4 segundos.

c) ¿Cuál es la velocidad en X y Y después de 4 segundos?

Tiro Parabólico

Cuando lanzamos un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo con la horizontal, éste describe una trayectoria parabólica. En su obra Dialogo sobre los Sistemas del Mundo (1633), Galileo Galilei expone que el movimiento de un proyectil puede considerarse el resultado de componer dos movimientos simultáneos e independientes entre sí: uno, horizontal y uniforme; otro, vertical y uniformemente acelerado.

En nuestra simulación hemos seleccionado el punto de salida como origen de coordenadas. Si la velocidad de salida es v0 y el ángulo es α, tendremos que las componentes de la velocidad inicial son:

v0x = v0· cos αv0y = v0· sen α

Y las propiedades cinemáticas del cuerpo en cualquier instante (t) de su movimiento son:

Magnitud Componente x Componente yaceleración ax = 0 ay = -gvelocidad vx = v0x vy = v0y - gtposición x = v0xt y = v0yt-(1/2)gt2

Observa que la aceleración no depende del tiempo (es constante), pero la velocidad y la posición del móvil sí que dependen del tiempo. En el tiro parabólico son de interés la altura máxima y el alcance (o desplazamiento horizontal) conseguido.

La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical vy de la velocidad se hace cero. Como vy = v0y - gt, se alcanzará la altura máxima cuando t = v0y/g. Utilizando estos datos llegarás fácilmente a la conclusión de que el valor de la altura máxima es:

ymax= v0y2/2g = (v0

2/2g) sen2α

El móvil estará avanzando horizontalmente a la velocidad constante v0x durante el tiempo de vuelo, que será 2t(siendo t el tiempo en alcanzar la altura máxima) ya que el móvil tarda lo mismo en subir que en bajar, por lo tanto el alcance es:

xmax = v0x2t

es decir

alcance = xmax = (v02/g) sen 2α

Movimiento Parabólico

 

La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.

Un MRU horizontal de velocidad vx constante.

Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba.

Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil.

Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad.

1. Disparo de proyectiles.

Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º  con la horizontal.

Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son

x=v0·cosθ·ty=v0·senθ·t-gt2/2

Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola)

 Propuesta de trabajo.

 

Un cañón dispara obuses con una velocidad  inicial de 15 m/s. Calcula el alcance y el tiempo que el obús permanece en el aire para ángulos de 30º, 45º y 60º.

Observa las leyendas en verde de la pizarra y detén el botón del tiempo cuándo la altura sea cero o muy próxima a cero. En este momento la velocidad de llegada y salida coinciden.

Repite la experiencia para una velocidad inicial de 30 m/s.

¿qué conclusiones sacas?

 

1.1. Alcance.

El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y=0.

Su valor máximo se obtiene para un ángulo θ =45º, teniendo el mismo valor para  θ =45+a , que para θ =45-a. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 30º y 60º, ya que sen(2·30)=sen(2·60).

 

1.2. Altura máxima.

La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con vy=0.

Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º.

 

1.3.Resumen.Tiempo de vuelo Alcance máximo Altura máxima

Alcance de un proyectil para una velocidad inicial de 60 m/s y diversos ángulos de tiro.

 Propuesta de trabajo.

 

1.-Se lanza un cuerpo desde el origen con velocidad horizontal de 40 m/s, y con un ángulo  de 60º. Calcular la máxima altura y el alcance horizontal.

2.Un cañón dispara una bala con una velocidad de 46 m/s haciendo un

ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala. Hallar también la altura máxima.

      

 

1.4.Tiro parabólico con altura inicial.      Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθvy=v0·senθ-g·t

La posición del proyectil en función del tiempo es

x= v0·cosθ·ty= h+v0·senθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se

obtiene la posición x e y del proyectil.

 

 

Procediendo de igual manera podemos deducir las ecuaciones del alcance máximo, altura máxima y tiempo de vuelo.

                                                                                                                     

3.Un cañón dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 m/s haciendo un ángulo de 30º por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar también la altura máxima. (Hallar primero, las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial

¿QUÉ DIFERENCIAS OBSERVAS?

  

 

Ejemplo de Tiro Parabólico

Es un movimiento que está compuesto por los movimientos rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado y forma un ángulo con uno de los ejes horizontal (X) o vertical (Y). Sus fórmulas principales son:

d=mh=mt= sa= x0

vi=m/sg=9.8 m/s2

d= v2i sen a2/g

h= v2isen2a/2g

t= visen a/g

EJEMPLO PROBLEMA TIRO PARABÓLICO:

Calcular la distancia, la altura y el tiempo de caída de un tiro parabólico que lleva una velocidad de 30m/s y forma una ángulo de 60° con la horizontal.

Primero calculamos la distancia recorrida.

d= v12sen2a / g = (30m/s)2 sen 2(60°) / 9.8 m/s2 = 158.99 m

Ahora la altura alcanzada.

h= v21sen2a / 2g= (30 m/s)2 sen2 (60°) / 2(9.8 m/s2) = 36.29 m

Por último el tiempo realizado.

t= v1 sen a / g= 30 m/s (sen 60°) / 9.8 m/s2 = 2.85 s

TIRO PARABÓLICO:

Se denomina tiro parabólico, en general, a aquellos movimientos que suceden de forma bidimensional sobre la superficie de la tierra.

Para este tipo de móviles el movimiento se descompone en sus componentes x y y. El movimiento en x no sufre aceleración, y por tanto sus ecuaciones serán:

Pero en cambio en el eje y se deja sentir la fuerza de la gravedad, supuesta constante y por tanto sus ecuaciones serán:

Algunas preguntas típicas del tiro parabólico son calcular el alcance y altura máxima. Estas preguntas se pueden contestar sabiendo que la altura máxima se alcanzará cuando vy= 0. De esta condición se extrae el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima y sustituyendo en la ecuación de las y se obtiene la altura máxima. El alcance máximo se puede calcular razonando que, para cuando esto suceda, el móvil volverá estar al nivel del suelo y por tanto y = 0, sustituyendo se obtiene t y, sustituyendo éste en las x el resultado. Otras cantidades se pueden conseguir de manera similar.

xo y yo serán las coordenadas donde el móvil se encuentra en el instante t = 0, inicio del movimiento, y vxo yvyo la velocidad con la que se mueve en ese instante. Si nos han indicado que el móvil se movía con una velocidad v formando un ángulo  con la horizontal se puede ver muy fácilmente que, entonces, vxo=vcos yvyo = vsen.

A su vez el significado de las variables x y y es el siguiente: éstas nos indican a que distancia horizontal (x) y altura (y) se encuentra el móvil en cada instante de tiempo t, considerando que estamos tomando como origen para medir estas distancias horizontales y alturas desde el sistema de coordenadas respecto al cual estemos tomando todos los demás datos.

Se podría hacer un estudio más complejo incluyendo el rozamiento del aire. Para esto habrá que modificar las ecuaciones x y y.

OBJETIVOS:

1.-Verificar experimentalmente algunos aspectos relacionados con un tiro parabólico.

EQUIPO A UTILIZAR:

Equipo de tiro parabólico con accesorios.

Flexómetro.

Computadora.

Interfase “Science Workshop”.

Sensor óptico.

DESARROLLLO:

PARTE I:

1.-Verifique, que todo el equipo esté conectado adecuadamente. El sensor óptico debe estar conectado al canal 1 y el receptor al canal 2. Mida aproximadamente el diámetro del balín.

balín = 1.0 [cm]

NOTA: Es importante que se utilicen los anteojos de seguridad para evitar accidentes.

2.-Encienda la computadora ( CPU y monitor ) espere a que cargue totalmente el sistema y active el software “Precision Timer”.

3.-Mediante la opción (S) del menú inicial, verifique que el sensor óptico se encuentre activado y en caso de no detectarlo, revise las conexiones correspondientes y regrese al menú inicial.

4.-Para medir el tiempo de vuelo del tiro parabólico, del menú inicial seleccione la opción (P) y posteriormente la opción (A).

5.-Con base en las ecuaciones para un tiro parabólico, construya los arreglos y realice las mediciones correspondientes para:

5.1.-Determinar la rapidez inicial del proyectil para un ángulo de disparo fijo. Para esto, haga una serie de 10 disparos y registre la posición horizontal “x” de cada disparo en la tabla 1, así como el tiempo de vuelo “t”, el ángulo de disparo “” y la posición vertical “y”.

Xmáx. = Vo²Sen2 / g

Vo = " Xmáx.g / Sen2

Vo = " [(1.0188 m )9.78 m/s²] / Sen2(45º)

Vo = 3.157 m/s

5.2.-Obtener teórica y experimentalmente, para esos mismos valores, el valor del alcance máximo sobre el mismo nivel horizontal desde donde fue lanzado el proyectil.

= 45º y = 0.25 m

x [m] t [s]

d-1 0.4363 1.01 

d-2 0.4452  1.013

d-3 0.4450  1.015

d-4 0.4448  1.022

d-5 0.4452  1.007

d-6 0.4444  1.026

d-7 0.4479  1.018

d-8 0.4447  1.021

d-9 0.4440  1.025

d-10 0.4466  1.031

Prom. 0.44441  1.0188

Tabla 1

CUESTIONARIO:

NOTA: Cada disparo corresponde a un tiro parabólico diferente, sin embargo, el rango de precisión (según el fabricante), está dentro de un círculo de 3.5 [cm] de diámetro para un disparo de 2 [m] de alcance horizontal.

1.-En el papel donde se marcaron los disparos, estime el rango de precisión del disparador, considerando el diámetro del balín.

El rango de precisión del disparador es de un círculo de 2.7 cm de diámetro.

2.-Obtenga teóricamente, cuál es el otro ángulo de disparo en que se debería colocar el disparador para llegar a la misma posición dada por “x”.

Xmáx. = Vo²Sen2 / g

= {Sen [(Xmáx.g) / Vo²]} / 2

 = {Sen [(1.0188 m x 9.78 m/s²) / (3.157 m/s) ²]} / 2

= 45º y 225º

3.-Determine la expresión teórica que determina la altura máxima alcanzada por el balín y con base en los datos obtenidos calcule dicho valor.

Ymáx. = Vo²Sen² / 2g

Ymáx. = (1.0188 m/s)²Sen²(45º) / 2(9.78 m/s²)

Ymáx. = 0.037 m

4.-Con el promedio obtenido de la posición horizontal “x”, la posición en “y” y el ángulo “” de disparo considerado, obtenga la función y = f(x) y construya la gráfica de la misma.

f(t) = (VotCos)i + (VotSen - 1/2gt²)j

f(t) = 3.157tCosi + (3.157tSen - 4.89t²)j

f(t) = (2.232t)i + (2.232t - 4.89t²)j

5.-Elabore sus conclusiones considerando los siguientes puntos:

a) La confiabilidad del disparador con base en la precisión obtenida, considerando los valores de “x” y de “t”.

b) La diferencia obtenida para el alcance horizontal teórico y experimental del punto 5.2.

c) Si el experimento aclaró conceptos teóricos vistos en la clase de teoría, y si obtuvo algún conocimiento adicional.

d) Algún otro aspecto que consideré conveniente mencionar.