Tiro parabólico Arturo Emmanuel Cruz Alvarez Facultad de Ciencias, UNAM

Laboratorio de Mecánica Vectorial. Grupo 8732 arturo_cdrv@ciencias.unam.mx

26 de febrero, 2015

Resumen El tiro parabólico fue estudiado por medio de un experimento realizado dejando caer, desde una altura arbitraria, una pelota sobre una tabla con una inclinación de 23.8° .41 ± .01 rad. Por medio del software de análisis de movimiento Tracker fue determinada la componente vertical de aceleración afectando la trayectoria de la pelota, siendo ésta la gravedad, resultando 𝑔 = 10.58 !

!!  ± 1.27 !

!!  . Igualmente se

buscó obtener el ángulo con respecto a la horizontal con el que comenzó la trayectoria. Fueron tres métodos para encontrar el ángulo, dos a partir del análisis de datos de movimiento y uno mediante geometría respecto a la inclinación de la tabla.

1. Introducción El tiro parabólico es un movimiento en dos dimensiones que, además, supone la superposición de dos movimientos en general más básicos: el movimiento rectilíneo uniforme (MRUA) y el tiro vertical (MRUA con aceleración g), ambos tomados en una sola dimensión cada uno, con direcciones perpendiculares entre ellas. La ecuación que describe este movimiento:

1  𝑟 𝑡 = 𝑟! + 𝑣!𝑡 +12𝑎𝑡

! de donde 𝑟(𝑡) es la posición respecto al tiempo, 𝑟! es la posición inicial, 𝑣! es la velocidad inicial, 𝑡 es el tiempo y 𝑎 es la aceleración del objeto. En la componente horizontal del movimiento, la velocidad es constante, ya que no hay fuerza que afecte el movimiento (idealmente) del cuerpo en esa dirección (o con componente en ella), y en la componente vertical, la única fuerza que tomamos en cuenta es la de atracción gravitatoria, que hace que el objeto se mueva con aceleración constante g (idealmente) aplicando el desarrollo en cada componente (vertical y horizontal), se obtienen las ecuaciones:

2  𝑥 𝑡 = 𝑥! + 𝑣!! donde 𝑥(𝑡) es la componente horizontal de la posición, 𝑥! es la posición inicial y 𝑣!! es la velocidad inicial, como la velocidad 𝑣! es un vector que está a un ángulo con respecto de la horizontal, 𝑣!! es una componente de ésta, dado por:

2.1  𝑣!! = 𝑣!𝑐𝑜𝑠𝜃

donde 𝜃 es ese ángulo. El análisis nos brinda, para (2) que el tercer término de la ecuación es 0 pues no hay aceleración horizontal, así la velocidad inicial (horizontal) se conserva durante todo el trayecto.

3 𝑦 𝑡 = 𝑦! + 𝑣!!𝑡 −12𝑔𝑡

! donde 𝑦! es la posición inicial en la componente vertical, 𝑣!! es la velocidad inicial, dada por:

3.1  𝑣!! = 𝑣!𝑠𝑒𝑛𝜃 y la 𝑎 de (1) es sustituida por –𝑔, determinando nuestro sistema de referencia con los positivos de la horizontal hacia arriba.

4   𝑣 = 𝑣!! + 𝑣!!

donde 𝑣 es la magnitud de la velocidad en cualquier momento, además, por un análisis trigonométrico, tenemos que:

5 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑣!𝑣!

Por tanto, para encontrar el ángulo inicial:

6  𝜃 = arctan  (𝑣!!𝑣!!

)

Y como ecuación de movimiento acoplada con desplazamiento vertical en función del desplazamiento horizontal, utilizando (2), (2.1), (3) y (3.1) y que v=x-𝑥! /t obtenemos (asumiendo la posición inicial horizontal en el origen):

7 𝑦 𝑥 = 𝑦! + 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜃 −12𝑔(

𝑥𝑣!𝑐𝑜𝑠𝜃

)!

Tenemos, para la ecuación de movimiento, la descripción de una parábola

∗  𝑓 𝑥 = 𝐴𝑥! + 𝐵𝑥 + 𝐶 De donde obtenemos que 𝐴 = !

!𝑎, en este caso a=-g, por tanto 𝑔 = −2𝐴

La ecuación de propagación de error del ángulo es:

8  𝑆𝜃 = (1

1+ (𝑡𝑎𝑛𝜃)! 𝑆𝑣!!)! + (

𝑡𝑎𝑛!𝜃1+ 𝑡𝑎𝑛𝜃 ! 𝑆𝑣!!)!

9 𝑆𝑔 = (𝑔𝑡 𝑆𝑡)

! + (𝑔𝑡 𝑆𝑣)

!

2. Desarrollo Una pelota fue soltada, desde una altura arbitraria, sobre una tabla con una inclinación de .41 ± .01 rad. El primer método para calcular el ángulo consistió en un análisis geométrico, como la pelota cae de manera vertical, forma un ángulo de 90°(π/2 rad) con respecto a la horizontal y sabemos que si trazamos una recta perpendicular a la tabla, el ángulo que describa la pelota al rebotar será de la misma magnitud con respecto a esta recta que el ángulo con el que cayó (respecto a esa misma recta). Así, tenemos que el ángulo se obtiene restándole a 90° dos veces el ángulo de inclinación de la tabla, por tanto, el ángulo, mediante este método es de 42.4° ±.34° El segundo método fue mediante el análisis del desplazamiento de la pelota, utilizando las ecuaciones (7) y (*) tenemos que el ángulo es arctan(B), este término lo extraemos de la ecuación de la aproximación cuadrática del Gráfico 1, donde B=1.163, por lo que el ángulo resulta de 49.24° ±.005° Por el tercer método simplemente se analiza la ecuación (3) con respecto al Gráfico 2, donde resulta que 𝑣!! = 48.2 !

!!± .05   !

!! y por (6) y (8) 𝜃 =87.85°

±1.1*10^-5 Finalmente, de la ecuación (3) y (*) encontramos que la aceleración de la gravedad es de 𝑔 = 10.58 !

!!  ± 1.27 !

!!

3. Análisis y resultados

y  =  -­‐1.6037x2  +  1.163x  -­‐  0.0238  R²  =  0.99845  

-­‐0.05  

0  

0.05  

0.1  

0.15  

0.2  

0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8  

Desplazam

iento  vertical  (m

)  

Desplazamiento  horizontal  (m)  

Grá6ico  1  

Este primer gráfico nos muestra puntos en la trayectoria de la pelota junto con una aproximación cuadrática, lo que nos permite visualizar que el movimiento sigue un movimiento descrito por una parábola, podemos también notar que analizando la trayectoria vertical, los puntos se acumulan cuando el objeto alcanza mayor altura.

Este segundo gráfico describe el desplazamiento vertical a través del tiempo, es descrita una parábola, además podemos ver que esta parte del movimiento puede ser completamente analizada mediante el método de movimiento vertical pues, como ya es antes mencionado, el tiro parabólico es una superposición bidimensional de dos movimientos unidimiensionales, siendo el lanzamiento vertical uno de ellos.

y  =  -­‐5.2992x2  +  48.202x  -­‐  109.43  R²  =  0.99873  

0  

0.02  

0.04  

0.06  

0.08  

0.1  

0.12  

0.14  

0.16  

0.18  

0.2  

4.3   4.35   4.4   4.45   4.5   4.55   4.6   4.65   4.7   4.75   4.8  

Desplazam

iento  vertical  (m

)  

Tiempo  (s)  

Grá6ico  2  

Este tercer gráfico muestra el desplazamiento en la dirección horizontal junto con su ajuste lineal, se puede ver que este desplazamiento se describe como un movimiento uniforme, con velocidad constante.

4. Discusión Los primeros dos métodos fueron bastante similares con errores menores a una unidad, la aceleración vertical obtenida estuvo cercana a la aceleración de la gravedad medida, sin embargo con el tercer método el ángulo resultó de alrededor del doble de los otros métodos, esto se puede deber a el error de alguno de los ajustes polinomiales a las trayectorias o las entradas de las medidas en el software utilizado. Sin embargo, en general las trayectorias parecen bien representadas y se acercan mucho a las trayectorias tanto parabólicas como lineales que fueron ajustadas. Finalmente, la cercanía mostrada por el cálculo de la aceleración de la gravedad nos muestra que, por un lado, hay una cercanía a la realidad en las medidas analizadas, pero el error en el cálculo del ángulo por medio del tercer método muestra errores desconcertantes, pues todo (exceptuando el primer método) fue extraído del mismo análisis de datos.

5. Conclusiones Este experimento resultó desconcertante, sin embargo la mayoría de los resultados fueron consistentes y coherentes, el error del tercer método pudo ser

y  =  1.8169x  -­‐  7.8987  R²  =  0.99969  

0  

0.1  

0.2  

0.3  

0.4  

0.5  

0.6  

0.7  

0.8  

4.3   4.35   4.4   4.45   4.5   4.55   4.6   4.65   4.7   4.75   4.8  

Desplazam

iento  horizontal  (m

)  

Tiempo  (s)  

Grá6ico  3  

consecuencia del ajuste cuadrático del segundo gráfico y la repartición de puntos, pues la que pudiera ser más fiel sería una gráfica trasladada a otro punto. Finalmente podemos concluir que (sin perder generalidad) los resultados pueden ser mejorados, los métodos pueden ser refinados. La manera de mejorar la precisión de los análisis y de los resultados sería volver a observar los parámetros y los datos que se dan, tal vez una repetición mayor del fenómeno bajo las mismas condiciones. Referencias: 1. D.C Baird, EXPERIMENTACIÓN: UNA INTRODUCCIÓN A LA TEORIA DE MEDICIONES Y AL DISEÑO DE EXPERIMENTOS, Prentice-Hall Hispanoamérica 2. Paul E. Tippens, Física. Conceptos y Aplicaciones, McGraw Hill 3. Resnick, R., Halliday, D. y Krane, K. Física. Compañía Editorial Continental.