1 2 TIPOS DE MODELOS. LOS MODELOS DE PROGRAMACIN

2 MATEMTICA

3 2.1 Clasificacin de modelos segn el efecto de su resolucin

4 Shapiro (2001) clasifica los modelos segn el efecto de su resultado en Normativos o Descriptivos.

5 Son normativos los modelos matemticos (a su vez estos se pueden clasificar en modelos de

6 optimizacin y modelos de resolucin mediante heursticas).

7 Los modelos descriptivos que engloban al resto (Previsin, Data Mining, Simulacin, Dinmica de

8 Sistemas,).

9 2.1.1 Modelos Normativos

10 Los modelos normativos exigen el planteamiento de un modelo matemtico (probablemente en forma

11 de funcin objetivo y restricciones). Los modelos cuya estructura se ajusta a algunos de los patrones

12 clsicos para los que es factible la optimizacin (programacin lineal por ejemplo) forman el subconjunto

13 de modelos de optimizacin.

14 En ocasiones la estructura del modelo impide el uso de algn mtodo de optimizacin conocido, es

15 por ello que se plantean los procedimientos heursticos de resolucin que, si bien no garantizan ptimos,

16 permiten encontrar soluciones en espacios cortos de tiempo.

17 Es evidente que el trabajo en el primer caso se debe centrar en el proceso de modelado, mientras

18 que en el segundo grupo el esfuerzo se hace en la definicin del mtodo heurstico de resolucin.

19 En este libro se despliega uno de los tipos de modelos normativos, la Programacin Matemtica, y

20 ms concretamente la Programacin Lineal Entera. La Programacin Matemtica no es el nico modo

21 de modelar matemticamente, ni el nico modo normativo de hacerlo. Por ello en los puntos siguientes

22 se har una presentacin de algunos de estos modos.

23 2.1.2 Modelos Descriptivos

24 Los modelos descriptivos abarcan todas aquellas tcnicas de modelado que no comportan la

25 definicin de estructuras matemticas que definen una solucin como la deseable para ser

26 implementada.

27 Entre los modelos descriptivos se pueden citar los modelos de simulacin, la teora de colas e incluso

28 las tcnicas de previsin entre otras. Algunos de los modelos descriptivos llevan aparejada una carga

29 matemtica importante, mientras que otros su estructura no es de tipo matemtico. Aunque ello no les

30 quita ni un pice de formalidad. Por poner un ejemplo los modelos IDEF-0 son altamente formales y

31 estndar. Aunque tienen aspecto de grafo, no necesariamente debieran ser incluidos entre los que se

Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones.

Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones

32 denominan Modelos Matemticos.Pgina 2121 de 181 JPGS2011

Pgina 2121 de 181

1 2.2 Modelos Matemticos

2 Los modelos matemticos son modelos formales que utilizan el lenguaje de las matemticas para

3 describir un sistema, expresando parmetros, variables, relaciones. El lenguaje matemtico no se limita

4 a la expresin de nmeros y operadores aritmticos que los relacionan. As por ejemplo la teora de

5 grafos, ampliamente utilizada en aplicaciones prcticas, es un subconjunto de la ms general teora de

6 conjuntos.

7 Los modelos matemticos se pueden clasificar de mltiples maneras. A continuacin se describen

8 algunas que se consideran relevantes.

9 Los modelos pueden ser estticos o dinmicos. Un modelo esttico no tiene en cuenta el tiempo,

10 mientras que los modelos dinmicos s. Los modelos dinmicos se suelen representar con ecuaciones

11 en diferencias o ecuaciones diferenciales.

12 Los modelos pueden ser lineales o no-lineales. Si todos los operadores de un modelo son lineales el

13 modelo es lineal, si al menos uno es no-lineal el modelo es no-lineal. Aunque hay excepciones, los

14 modelos lineales son mucho ms fciles de manejar que los modelos no-lineales. En general los

15 modelos no-lineales pueden ser linealizados, pero entonces, es posible, que se estn perdiendo

16 aspectos relevantes del problema.

17 Un modelo puede ser determinista o estocstico. Un modelo determinista es aquel en que cada

18 conjunto de variables en un estado est definido por los parmetros del modelo y por los estados

19 anteriores. Un modelo determinista se comporta siempre igual para un conjunto de parmetros de

20 entrada. En un modelo estocstico las variables de estado se representan por distribuciones de

21 probabilidad, y por tanto el modelo es capaz de recoger aleatoriedad o incertidumbre.

22

23 2.3 Modelos de Programacin Matemtica

24 La caracterstica comn que comparten todos los modos de modelar matemticamente es que

25 representan la realidad mediante variables y parmetros (y algunos otros artificios como funciones o

26 conjuntos). De este modo la realidad queda cuantificada. Entre ellos estn la Programacin Dinmica o

27 la Teora de Grafos.

28 Los modelos de Programacin Matemtica se distinguen por que representan la realidad mediante

29 funciones. Estas son combinacin de variables y parmetros en forma de restricciones y/o funciones

30 objetivo. En general, las restricciones se deben respetar y las funciones objetivo establecen la diferencia

31 entre una solucin y otra mejor..

32 Este tipo de modelos matemticos pertenecen al grupo de los modelos normativos (qu indican el

33 camino a seguir) frente a la categora de los descriptivos (que describen la situacin actual o futura).

34

1 2.3.1 Por qu se llama Programacin Matemtica?2

2 Tres nombres de tres cientficos ilustres van asociados al origen del extrao nombre de3 Programacin Matemtica: Koopmans, Dantzig y Kantorovich3.

4 Los tres parecen haber diseado mtodos de Planificacin y Programacin de Operaciones

5 (produccin y transporte) utilizando modelos matemticos.

2 Fue el profesor Companys de la Universidad Politcnica de Catalunya quien me puso detrs de la pista de esta interesante historia. A l le debe uno de los autores de este libro muchas cosas interesantes que he aprendido, y esta es slo una de ellas.

3 Al finalizar el primer tercio del siglo XX, Kantorovich, premio Nobel de Economa en 1975, se enfrenta al problema de planificacin desde una ptica de Optimizacin Matemtica. Kantorovich, que viva en la Unin Sovitica enfoca cmo combinar la capacidad productiva de una fbrica para maximizar la produccin. Para ello utiliza un mtodo de anlisis que posteriormente se llam Programacin Lineal. Aunque entonces no tena nombre.

En el ao 1951 Koopmans (que fue premiado junto con Kantorovich con el Nobel) edita un libro de ttulo "Activity Analysis of Production and Allocation", (Wiley, New York (1951)). Dicho libro recoge trabajos que sus autores dicen que son ampliaciones o reduccin de trabajos publicados entre 1947 y 1949.

En un libro que l mismo edita, Koopmans, escribe dos captulos relevantes. El captulo III "Analysis of production as an efficient combination of activities" donde expone un "problema de produccin" de manera matemtica, y el captulo XIV de ttulo "A model of transportation" donde plante el problema de "programar el transporte de barcos" tambin desde una ptica de optimizacin matemtica. Unos aos antes haba planteado el problema pero de modo terico segn l mismo indica.

De hecho en los artculos indica que estaba influenciado por una corta entrevista que tuvo con Dantzig. El propio Dantzig escribe el captulo II del citado libro de ttulo: "The programming of interdependent activities: Mathematical Model" que indica que es una revisin de un artculo de 1949. En ese captulo se distingue la palabra programming que hace referencia a la programacin y Mathematical que hace referencia al modelo. Dantzig se concentra en los modelos donde las relaciones son lineales pues tienen unas propiedades interesantes, entre otras que no hay ptimos locales, y de repente en la pgina 30 los problemas de programacin con modelos lineales se convierten en "problemas de programacin lineal. Aparentemente el nombre de Programacin Lineal fue sugerido por Koopmans en 1948 en una reunin que tuvieron Koopmans y Dantzig en RAND Corporation.

La nota de entrada del captulo nos recuerda que est "republicando un trabajo de 1949". Porque ya en 1947 Dantzig haba diseado el algoritmo del Simplex, que es un procedimiento eficaz de resolucin del problema de programacin lineal.

Segn una historia paralela, el trmino programacin lineal habra surgido porque "programacin" era a lo que se dedicaba el departamento en la USAF para el que trabajaba Dantzig. El propio Dantzig, sugiere que inicialmente su mtodo se utiliz para calcular las dietas ptimas.

Y Kantorovich? En su autobiografa para el Premio Nobel, Kantorovich escribe: "In 1939, the Leningrad University Press printed my booklet called The Mathematical Method of Production Planning and Organization which was devoted to the formulation of the basic economic problems, their mathematical form, a sketch of the solution method, and the first discussion of its economic sense. In essence, it contained the main ideas of the theories and algorithms of linear programming. The work remained unknown for many years to Western scholars. Later, Tjalling Koopmans, George Dantzing, et al, found these results and, moreover, in their own way. But their contributions remained unknown to me until the middle of the 50s."

1 Se podra decir pues que se lo que se conoce como Programacin Matemtica fue originariamente

2 un modo de resolver problemas de Programacin mediante mtodos matemticos.

3 Los modelos de programacin cuyas variables tenan relaciones lineales, tenan la interesante

4 propiedad de no tener ptimos locales por lo que la Programacin Lineal se convirti pronto en un

5 lugar comn de encuentro de modeladores y solucionadores.

6 2.3.2 Una clasificacin de Modelos de Programacin Matemtica

7 Una clasificacin de los modelos de programacin matemtica podra tener en cuenta las siguientes

8 caractersticas:

9 - Estructura, objetivos y restricciones (lineales o no-lineales)

10 - Caractersticas de las Variables (Reales, Discretas -Enteras-, Binarias)

11 - Certidumbre de los Parmetros (Ciertos e Inciertos)

12 - Nmero de Objetivos (Ninguno, Uno o ms de Uno)

13 - Nmero de Restricciones (Ninguna, Ms de Cero)

14 El objeto de esta descripcin no es establecer una perfecta clasificacin de todos los modelos de

15 programacin matemtica. En realidad se pretende fijar un marco que sirva de referencia en el contexto

16 de estos apuntes.

17 2.3.2.1 Programacin Lineal

18 Entre los tipos de modelos de uso ms generalizado en Programacin Matemtica se encuentra la

19 denominada Programacin Lineal. sta, en su forma ms bsica, consiste en un conjunto de variables

20 reales, que mediante combinacin lineal de parmetros ciertos, permite establecer un objetivo y

21 restricciones lineales.

22 Los fundamentos matemticos de los modelos lineales se encuentran en la teora de las

23 desigualdades lineales desarrollada en el siglo XIX como se puede leer en (Poler 2001). Aunque se

24 encuentran precedentes en distintos campos (teora de juegos, definicin de dietas, problemas de

25 transporte...), la formulacin y resolucin general de los problemas de Programacin Lineal fue realizada

26 en el proyecto SCOOP, lanzado en 1947 por el ejrcito del aire de los Estados Unidos de Norteamrica,

27 dando lugar al algoritmo denominado Simplex expuesto inicialmente por Dantzig en 1947. En menos de

28 10 aos la Programacin Lineal experimento un fuerte desarrollo con trabajos que abordaron, entre

29 otros temas, la degeneracin, la dualidad y las formas compactas.

30 Actualmente es posible encontrar en el mercado, incluyendo aplicaciones gratuitas en internet,

31 aplicaciones comerciales para la resolucin eficiente de problemas de Programacin Lineal (GUROBI,

32 CPLEX, XPRESS, LINDO, QSB...), siendo un avance significativo de los ltimos aos el desarrollo de

33 paquetes que facilitan la introduccin del modelo y la integracin de ste con los Sistemas de

34 Informacin de la empresa.

1 La mayor parte de estos paquetes utilizan (o han utilizado) el denominado mtodo Simplex. Dicho

2 mtodo, aunque computacionalmente ineficiente, tiene la ventaja docente de ser metdico y que permite

3 explicar, mediante el propio mtodo, algunos conceptos como precios-sombra o costes reducidos.

4 Hasta finales de la dcada de los 80 del siglo XX no surgen como alternativa vlida los denominados

5 mtodos del punto interior. El menor coste computacional de este tipo de algoritmos hace que su

6 implantacin en los paquetes comerciales sea creciente.

7 Por ltimo parece necesario destacar que aunque para el observador no experimentado la exigencia

8 de linealidad puede parecer excesivamente restrictiva, la realidad es que un gran nmero de problemas

9 reales puedan ser modelados con esa consideracin (Williams, 1999). La ventaja de los Programacin

10 Lineal frente a la Programacin No-Lineal es que para esta no se conocen modelos generales de

11 resolucin eficientes. Curiosamente el trabajo que se desarrolla en resolucin de Programacin No-

12 Lineal est colaborando en mejorar la eficiencia de la Programacin Lineal.

13 2.3.2.2 Programacin Lineal Entera

14 Si a alguna de las variables de un problema lineal se le impone la condicin de integridad el problema

15 pasa a ser de Programacin Lineal Entera Mixta. Si todas son variables enteras, el problema pasa a ser

16 de Programacin Lineal Entera.. La condicin de integridad puede venir impuesta, entre otros motivos,

17 por el imposible fraccionamiento de determinados recursos. Uno de los procedimientos ms efectivos

18 para la resolucin de este tipo de problemas se fundamenta en el concepto de ramificacin y cota.

19 Desgraciadamente aunque la lgica de este procedimiento es eficaz, conduciendo necesariamente al

20 ptimo, el coste computacional en algunos problemas es, an hoy en da, excesivo. Otro procedimiento

21 para la resolucin de estos problemas se basa en los mtodos de planos cortantes, aunque este mtodo

22 levant grandes expectativas por ahora no han fructificado de modo eficiente.

23 Una variante especial de los problemas de Programacin Lineal Entera lo constituyen aquellos donde

24 algunas variables son bivalentes. El uso de este tipo de variables tiene su origen en la representacin de

25 aquellas decisiones que slo admiten dos valores, pero tambin aquellos problemas que exigen

26 restricciones de tipo lgico. La pretensin de resolver estos problemas de modo eficiente ha dado lugar

27 a mtodos como el de enumeracin implcita o tcnicas ms generales de enumeracin como las

28 descritas en (Kauffmann y Henry-Labordere, 1976).

29 Hay que destacar la existencia de algunos tipos especiales de problemas con variables bivalentes,

30 que se abordan mediante mtodos especficos de resolucin, ptimos en algunos casos y ms eficientes

31 por haber sido desarrollados ex profeso. Algunos de estos problemas son los de cubrimiento,

32 asignacin, particin, mochila y rutas (Williams, 1999).

33 2.3.2.3 Programacin Estocstica

34 Si a los problemas de Programacin Matemtica (en general) se les incorpora la incertidumbre en los

35 parmetros, esta incertidumbre se puede abordar mediante la denominada Programacin Estocstica.

1 Una variante de la misma especialmente interesante es la Programacin Lineal Estocstica, que puede

2 ser resuelta de modo ptimo, aunque con un coste computacional elevado.

3 Uno de los mecanismos para abordar la incertidumbre en los datos es el uso de los denominados

4 escenarios. Estos constituyen un posible conjunto de valores para los parmetros. Cada uno de estos

5 escenarios pueden tener una probabilidad asociada aunque no necesariamente (Dembo, 1991).

6 Existen diferentes modos de formular mediante un problema de Programacin Lineal un Problema

7 Estocstico aunque bsicamente consiste en obtener una decisin para el instante actual teniendo en

8 cuenta los escenarios futuros. De este modo la decisin a tomar no ser ptima, en general, para

9 ninguno de los escenarios aunque s para el conjunto de ellos. Este modo de plantear y resolver el

10 problema tiene un elevado coste computacional pero se puede abordado mediante descomposiciones y

11 computacin en paralelo con ndice de paralelizacin elevado.

12 Otro modo de abordar la estocasticidad en los parmetros es obtener el ptimo para cada escenario

13 y comparar el valor que esta decisin tendra para el resto de escenarios, eligiendo como decisin

14 definitiva la ms buena, o la menos mala o cualquier otro mecanismo que se considere oportuno.

15 2.3.2.4 Programacin No-Lineal

16 Si a los modelos de Programacin Lineal se les elimina el requerimiento de que la funcin objetivo o

17 las restricciones sean lineales, se obtienen modelos de Programacin No-Lineal. La eliminacin del

18 requerimiento de linealidad se suele fundamentar en la estructura no-lineal del objeto, o parte de l, a

19 modelar. En realidad debiera ser planteado al revs, la realidad es generalmente no lineal y al linealizar

20 estamos constriendo el modelo.

21 Sin embargo muchas de las circunstancias aparentemente no-lineales pueden ser linealizadas sin

22 prdida de su significado. El motivo de la aparente obsesin por la linealidad se basa,

23 fundamentalmente, en la falta de eficacia en la obtencin de ptimos mediante el uso de los

24 procedimientos actualmente existentes para la resolucin de problemas no-lineales en general.

25 De hecho la no linealidad impide garantizar siempre la deteccin de un ptimo an tras haberlo26 encontrado. El teorema de optimalidad de Karush Kuhn y Tucker4 (ms conocidas por condiciones

27 KKT) que establecen las condiciones necesarias de optimalidad en problemas no lineales. Es de

28 destacar que dichas condiciones no son suficientes sino necesarias.

29 Una variante de la programacin No-Lineal la constituyen aquellos problemas sin restricciones, para

30 los que el clculo del ptimo tiene su origen en el desarrollo del clculo matemtico del siglo XVIII.

4 Para los que tenemos una cierta edad, las condiciones son de Kuhn y Tucker. Kuhn y Tucker pretendan extender las bondades de la Programacin Lineal a principios de los 50. Y publicaron sus condiciones. Segn el propio Kuhn explica, cuando las probaron no saban que Karush las haba desarrollado como tesina fin de master en 1939 pero que nunca las haba publicado, y que se dieron cuenta de ello 25 aos despus.

1 En general se puede admitir que la resolucin de grandes problemas de optimizacin en

2 programacin No-Lineal an hoy no es eficiente. Sin embargo el esfuerzo realizado no es infructuoso,

3 por poner un ejemplo algunos de los algoritmos que actualmente permiten que la programacin Lineal

4 sea hoy en da tan rpida en su resolucin fueron desarrollados para buscar soluciones en entornos No-

5 Lineales. Posteriormente se han revelado eficientes en los problemas de Programacin Lineal.

6 2.3.3 Los Componentes de un Modelo Matemtico

7 Los modelos matemticos tienen dos componentes bsicos:

8 Datos: Valores conocidos y constantes.

9 Variables: Valores que se calculan.

10 Mediante la combinacin lineal de los mismos se generan:

11 Funcin Objetivo que debe minimizarse o maximizarse.

12 Restricciones que establece lmites al espacio de soluciones.

13 Tanto la funcin objetivo como las restricciones se expresan matemticamente mediante el uso de

14 variables o incgnitas. Se pretende definir unos valores a dichas variables de tal modo que se obtiene la

15 mejor valoracin de la funcin objetivo mientras se cumplen todas las restricciones.

16

17 En su formulacin bsica los modelos matemticos tienen una funcin objetivo y una o ms

18 restricciones. Sin embargo existen excepciones como:

19 Mltiples Objetivos

20 Objetivos No existentes

21 No existencia de restricciones

22 2.3.3.1 Mltiples objetivos

23 Un modelo de Programacin Matemtica exige una nica funcin objetivo que tiene que ser

24 maximizada o minimizada. Esto sin embargo no implica que no se puedan abordar los problemas con

25 mltiples funciones objetivo. De hecho, como se ha comentado, existen diferentes mtodos de

26 modelado y posterior resolucin que se pueden aplicar en estos tipos de problemas.

27 Numerosos autores relacionan la Programacin Multi-Objetivo con la Teora de la Decisin que se

28 aborda ms adelante.

29 2.3.3.2 Objetivos no existentes

30 En ocasiones al plantear el problema es difcil establecer un objetivo para el problema, ms all de

31 encontrar una solucin que satisfaga las restricciones. En ese caso es conveniente fijar un objetivo

32 sencillo ligado a una nica variable. Aunque la experiencia muestra una y otra vez, que una vez se

1 obtiene una solucin factible el usuario acaba encontrando un modo de distinguir una solucin de otra

2 peor.

3 2.3.3.3 Optimizacin sin restricciones

4 Los problemas de optimizacin sin restricciones pretenden minimizar (o maximizar) una funcin real5 f(x) donde x es un vector de n variables reales. Es decir se buscan un x* tal que f(x*) f(x) para todos los6 x cercanos a x*.

7 En el caso de un problema de optimizacin global, el x* buscado es el que minimiza f para todo el8 espacio xRn.

9 2.4 Modelos de Optimizacin Combinatoria

10 La Optimizacin Combinatoria es una rama de la Investigacin Operativa que consiste en encontrar la

11 solucin ptima a un problema en que cada solucin est asociada a un determinado valor (el valor de la

12 solucin).

13 El trmino Combinatoria hace a la rama de la matemtica que estudia colecciones finitas de objetos que

14 satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas

15 colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "ptimo" existe

16 (combinatoria extremal).

17 El trmino Optimizacin hace referencia a este segundo aspecto de la bsqueda del mejor valor. En

18 muchos de esos problemas la bsqueda exhaustiva no es factible y por la estructura de los problemas

19 tanto no es posible.

20 La optimizacin combinatoria acta en el campo de los problemas de optimizacin en los que el conjunto

21 de soluciones factibles es discreto (o reducible a discreto). En algunos casos se tiende la tendencia a

22 asumir que la OC es la programacin lineal entera con variables binarias.

23 La bsqueda (o la definicin de la existencia) de un ptimo para tipos especficos de problemas ha dado

24 lugar a una cantidad considerable de algoritmos que son capaces de resolver casos especficos en

25 tiempo polinomial.

26 Los problemas de optimizacin combinatoria tratan de encontrar la mejor solucin de entre un conjunto

27 de tems discreto y por tanto finito. En principio cualquier algoritmo constructivo o de bsqueda podra

28 encontrar la solucin ptima, pero no necesariamente tiene porqu garantizarla.

29 En aquellos casos en que el problema parece resistirse a ser resuelto se suele abordar el problema de

30 diferentes maneras:

31 Algoritmos que funcionan bien generalmente para tamaos pequeos de problemas.

32 En ocasiones hay problemas que su versin aplicada no presenta las caractersticas

33 del worst-case.

1 Algoritmos de aproximacin que son capaces de dar soluciones muy cerca del ptimo.

2 2.5 Otros Modos de Modelar. Otros Modos de Pensar

3 En el punto anterior se ha planteado una visin general de la Programacin Matemtica entendida en

4 un sentido restrictivo. A continuacin se revisan algunas tcnicas diferentes en el fondo o en la forma. La

5 lista, que no es exhaustiva ni las agrupaciones consideradas son necesariamente disjuntas, incluye las

6 Teoras de Redes, de Colas y de Juegos, la Simulacin, la Programacin Dinmica. No se consideran,

7 aunque son tambin importantes, modos de modelar como la Previsin (Companys, 1990), la Teora de

8 Decisin (White, 1972; Raiffa, 1970) o Teora de Juegos (Binmore, 1994), o aplicaciones concretas

9 como modelos de Inventario (Axster, 2000) o de Reemplazo (Figuera y Figuera, 1979).

10 2.5.1 Teora de Grafos

11 Segn Kauffman (Kauffman, 1972), la Teora de Redes es una rama de la teora de conjuntos basada

12 en los trabajos de Kning. En aquel momento, era para el autor, la rama de la teora de conjuntos con

13 ms futuro. De hecho aporta una ayuda eficaz para modelar y resolver determinados problemas de

14 carcter combinatorio que aparecen en los ms diversos dominios(Companys, 2003).

15 La teora de redes, o de grafos, incluye un modo de representar y un soporte matemtico para

16 resolver. El modo de representar es intuitivo en su forma ms simple, por su relacin con la realidad

17 fsica, de determinados tipos de problemas. El soporte matemtico es especial para cada tipo de

18 problema, que suelen ser complejos problemas de combinatoria, permite resolverlo de modo ms simple

19 que al utilizar la Programacin Matemtica convencional. Es relativamente sencillo traducir un modelo

20 de red a un modelo de Programacin Matemtica, es un poco ms complicado hacer la traduccin a la

21 inversa. La decisin sobre qu modo de modelar se debe utilizar, debe tomarla el modelador teniendo

22 en cuenta la necesidad de transmitir el modelo (donde la teora de grafos es claramente superior), la

23 disponibilidad de herramientas y la realidad concreta a modelar.

24 En lneas generales se puede decir que los componentes bsicos de la denominada Teora de

25 Grafos son los vrtices (o nodos o puntos) y los arcos que los unen. A un conjunto determinado de

26 vrtices y arcos se le denomina red. A partir de estos conceptos se desarrollan otros como camino,

27 corte, rbol, etc.

28 Algunos de los principales modelos que de este modo se plantean son: los problemas de rbol

29 mnimo, de camino mnimo, de flujo mximo o de permutacin ptima. El poder reducir un problema real

30 a un problema clsico de grafos implica la posibilidad de conocer mtodos eficaces de resolucin, para

31 muchos de ellos (siempre dependiendo del tamao y la complejidad). Algunos de los problemas de

32 Gestin Industrial que se pueden abordar con estos mtodos son la programacin de Proyectos, la

33 Gestin de Inventarios, Diseo de Rutas, Secuenciacin y Temporizacin, etc.

1 2.5.2 Programacin Dinmica

2 Si antes se destacaba que el nombre de Programacin Matemtica no era muy representativo de la

3 propia tcnica, el de Programacin Dinmica no lo mejora.

4 Cuando el nombre Programacin Matemtica haba adquirido cierto auge, Bellman plante en la

5 dcada de los 50 (del siglo XX) la herramienta denominada Programacin Dinmica, a travs de su libro

6 del mismo ttulo para la resolucin de problemas de carcter secuencial (inicialmente econmicos pero

7 tambin fsicos y matemticos).

8 El fundamento de este procedimiento se encuentra en el principio de optimalidad que Bellman

9 enunci del siguiente modo:

10 Una poltica es ptima si en un periodo dado, cualesquiera que sean las decisiones

11 precedentes, las decisiones que queden por tomar constituyen una poltica ptima teniendo

12 en cuenta los resultados precedentes

13 La Programacin Dinmica es un mtodo de optimizacin de los sistemas o de su representacin

14 matemtica, sobre la que se opera por fases o secuencias (Kauffman, 1972).

15 El mtodo de resolucin denominado Programacin Dinmica consiste en buscar las subpolticas

16 ptimas que comprendan cada vez ms fases unitivas (Denardo, 1982), hasta encontrar la, o las,

17 polticas ptimas. En ciertos problemas los clculos se vuelven mucho ms simples cuando se hace la

18 optimizacin en un cierto sentido privilegiado o a partir de cierta fase (Companys, 2002).

19 Las variables utilizadas pueden ser discretas o continuas. Adems los parmetros pueden ser

20 deterministas o estocsticos. Cuando el futuro es aleatorio (parmetros estocsticos), la optimizacin de

21 la esperanza matemtica del valor total slo puede llevarse a cabo en un sentido, remontndose desde

22 el futuro hacia el pasado(Kauffman, 1972).

23 Si al concepto de Programacin Dinmica se le une la consideracin de los mtodos de Ramificacin

24 y Corte, aparece el concepto de Programacin Dinmica Acotada, por el cual se utilizan cotas en un

25 esquema de Programacin Dinmica, limitando el nmero de vrtices que se pueden almacenar

26 (Bautista, Companys, and Corominas, 1992)

27 Por las propias caractersticas de la aproximacin a la resolucin de problemas de Programacin

28 Dinmica (analizar el problema desde el final y retroceder por el camino hacia el principio) se puede

29 compartir la afirmacin de que la Programacin Matemtica, adems de un modo de modelar es un

30 modo de vida.

31 2.5.3 Teora de Colas

32 Se admite como inevitable la existencia de colas en los sistemas en que las entradas y/o el servicio

33 se producen a intervalos irregulares. La teora de colas es un mtodo de modelado que describe el

34 comportamiento de las mismas. La primera aplicacin prctica de la que se tiene constancia, y con la

35 que se inicia la investigacin en este campo es el trabajo de Erlang a principios del siglo XX.Pgina 3232 de 181

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1 Uno de los resultados ms conocidos de la teora de colas es la denominada frmula de Little que

2 relaciona la longitud de la cola con el tiempo de espera y el ritmo de entrada al sistema.

3 Los resultados ms habituales de la teora de colas se refieren a sistemas de una etapa con entradas

4 y salidas siguiendo distribuciones exponenciales. Sin embargo ms tiles en mltiples ocasiones son las

5 redes de colas con tiempos de los procesos no necesariamente exponenciales. Un excelente resumen

6 de la situacin actual de la teora de colas se puede encontrar en (Gross, Shortle, Thomson, and Harris,

7 2008).

8 Los desarrollos en teora de colas han ido extendiendo sus soluciones tanto para diferentes tipos de

9 entradas como para redes de colas.

10 Es de destacar el especial inters que la teora de colas tiene en el diseo de elementos

11 estructurales de la denominada Nueva Economa (servidores web, procesadores compartidos...).

12 2.5.4 Dinmica de Sistemas

13 Se atribuye a Forrester el inicio del desarrollo de la denominada Dinmica de Sistemas. Esta tiene su

14 relacin directa con el Enfoque de Sistemas visto en el apartado dedicado a los Fundamentos

15 Organizativos de la Organizacin de Empresas.

16 Forrester desarroll un conjunto de herramientas y una aproximacin a la simulacin que se ha

17 llegado a conocer como dinmica de sistemas, mediante la cual se puede llegar a comprender como la

18 estructura de un sistema humano y sus polticas de control operan. Mostr tambin el valor que tienen

19 los modelos explcitos que combinan procesos de negocio y estructura organizacional.

20 En (Pidd, 1996) se sugiere que el precursor de esta idea es Tustin que en 1953 public un trabajo

21 titulado El mecanismo de los sistemas econmicos.

22 Las herramientas de la Dinmica de Sistemas pueden utilizarse de diferentes maneras. La

23 aproximacin bsica suministra una manera de observar sistemas humanos, haciendo especial hincapi

24 en la importancia de algunos aspectos estructurales como el control por retroalimentacin. La

25 consideracin de esta circunstancia aporta interesantes resultados incluso sin el uso de herramientas

26 informticas. Otro modo de utilizar la dinmica de sistemas es realizando simulaciones mediante

27 ordenador, que permitan entender mejor el funcionamiento de otro sistema. Por ltimo, la Dinmica de

28 Sistemas se puede utilizar para mejorar el diseo de un sistema, evaluando mediante simulacin su

29 comportamiento.

30 2.5.5 Simulacin

31 Asociada en ocasiones a la teora de colas y heredera de la dinmica de sistemas se encuentra otra

32 herramienta de los mtodos cuantitativos como es la simulacin. El incremento de la capacidad de

33 clculo de los ordenadores, as como sus crecientes capacidades grficas hace que esta ltima est

34 experimentando una aplicacin creciente en el modelado de flujos de materiales, e incluso de

35 informacin.

1 Esta aplicacin creciente ha supuesto, en algunos casos, el abandono de las herramientas analticas,

2 que requiere un esfuerzo conceptual que aparentemente la simulacin no requiere. Hay que destacar,

3 en contra de esta opinin que la simulacin bien aplicada exige un importante esfuerzo para garantizar

4 la validez de resultados. De hecho, dado que la simulacin es comparable al anlisis por experimentos,

5 al hacer una simulacin hay que hacer frente a los mismos problemas que hay que afrontar cuando se

6 hace experimentacin convencional (incluyendo diseo experimental y anlisis estadstico). De este

7 modo el uso de la simulacin no reduce el esfuerzo a realizar, sino que resuelve problemas que la teora

8 de colas analtica no es actualmente capaz de abordar(Gross and Harris, 1998).

9 Pero no slo la simulacin de eventos discretos est disponible (aunque es con mucho la ms

10 utilizada en el terreno prctico) sino que la simulacin basada en agentes y/o la simulacin mediante

11 Dinmica de Sistemas tiene su importante utilidad al modelar otros conceptos.

12 2.5.6 Teora de Juegos

13 Algunos problemas de toma de decisin se plantean bajo la forma de un juego, donde se trata de

14 tomar una o varias decisiones, frente a uno o varios decisores cuyas reacciones a las decisiones

15 tomadas se conocen poco o nada. La teora de juegos trata de establecer como debiera comportarse

16 racionalmente un individuo ante la ignorancia del comportamiento del adversario cuando se conocen las

17 reglas de la competencia aceptadas por los participantes (Kauffmann, 1972).

18 Para Kauffman (Kauffman, 1972), la teora de juegos se desarrolla a partir de los trabajos de Borel

19 (1921) aunque el crdito se suele asociar a Von Neumann (1924). Desde luego el concepto ya haba

20 preocupado en diferentes formas a Kepler, Huyghens, Pascal, Fermat y Bernouilli entre otros.

21 Von Neumann y Morguestern en su primera obra sobre Teora de Juegos, investigaron dos

22 planteamientos distintos: el estratgico o no-cooperativo y el cooperativo. La complejidad del primer

23 problema planteado hizo que se limitaran a los juegos estrictamente competitivos o de suma nula, donde

24 los dos jugadores (slo dos) tienen intereses diametralmente opuestos. La segunda parte (el juego

25 cooperativo) an fue ms complejo y por tanto se limitaron a clasificar los modelos de formacin de

26 coaliciones (Binmore, 1994).

27 Nash (ao) afront dos de las barreras que Von Neumann y Morgenstern se haban autoimpuesto.

28 Sobre los juegos no-cooperativos estableci la idea del equilibrio que aparece cuando la eleccin

29 estratgica de cada jugador es la respuesta ptima a las elecciones estratgicas de los otros jugadores,

30 con lo que no es necesario restringirse a los juegos de suma cero. Respecto a los problemas

31 cooperativos, Nash rompi con la idea de que los problemas de negociacin son indeterminados y

32 ofreci argumentos para determinarlos (Binmore, 1994).

33 Actualmente la teora de juegos, lleva aparejado un aparato matemtico cada vez ms complicado.

34 En cualquier caso su modo de trabajo puede ser, y es, de gran utilidad en el anlisis la toma de

35 decisiones con la presencia de otros decisores.