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  • Departamento de Matemtica Aplicada y Mtodos Informticos ETSIM - UPM21

    Programacin y Mtodos Numricos: Integracin Numrica Procesos de

    obtencin de frmulas y anlisis del error

    Programacin y Mtodos Numricos: Integracin Numrica Procesos de

    obtencin de frmulas y anlisis del error

    Prof. Carlos Conde LProf. Carlos Conde LzarozaroProf. Arturo Hidalgo LProf. Arturo Hidalgo Lpezpez

    Prof. Alfredo LProf. Alfredo Lpezpez Marzo, 2007

  • Departamento de Matemtica Aplicada y Mtodos Informticos ETSIM - UPM22

    ProgramaPrograma

    Generalidades Frmulas de integracin numrica Frmulas de integracin de tipo interpolatorio Relacin entre el orden de exactitud y los puntos

    del soporte en las frmulas de integracin num-rica de tipo interpolatorio.

    Anlisis del error en las frmulas de tipo interpolatorio

    Obtencin de frmulas de integracin numrica Frmulas gaussianas.

  • Departamento de Matemtica Aplicada y Mtodos Informticos ETSIM - UPM23

    Primeras expresiones del errorPrimeras expresiones del error

    ( )n

    (n 1x f x i

    i 0

    1/ (x) f (x x )(n 1)!

    +

    =

    = +

    f(x) = pn(x) + f(x) = n

    i i fi

    f(x )L (x) (x)=

    + 0

    Siendo pn(x) el polinomio interpolador de Lagrange de la funcin f(x)sobre el soporte {x0, x1, , xn}, se verifica

    donde (vase el tema de interpolacin):

    o, equivalentemente:n

    f 0 1 n ii 0

    1(x) f x ,x ,...,x ,x (x x )(n 1)! =

    = +

  • Departamento de Matemtica Aplicada y Mtodos Informticos ETSIM - UPM24

    Primeras expresiones del errorPrimeras expresiones del error

    ( )b n

    (n 1f x i

    i 0a

    1R ((a,b)) f (x x )dx(n 1)!

    +

    =

    = +

    b n

    f 0 1 n ii 0a

    1R ((a,b)) f x ,x ,...,x ,x (x x )dx(n 1)! =

    = +

    Por tanto:

    Siendo:

    o, equivalentemente:

    b b b

    na a a

    f(x)dx p (x)dx (x)dx= + Frmula I.N.

    Error Rf((a,b))

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    Otras expresiones del errorOtras expresiones del errorSea:

    una frmula de integracin numrica construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, ..., xn} y con un orden deexactitud m > n,

    (, ) un intervalo de la recta real que incluya a todos los puntos del soporte as como a los extremos del intervalo de integracin(a, b),

    f(x) una funcin de clase C(, ) , h el valor dado por h = (b-a) {0, 1, , n} un conjunto de (n+1) nmeros enteros tales que

    xi = a + qih (i = 0, , n) SE VERIFICA QUE el error de integracin numrica de la frmula

    aplicada a la evaluacin de est dado por:b

    a

    f(x)dx

    =

    b n

    i iia

    f(x)dx cf(x )0

    k nk (k

    f i ik m 1 i 0

    h hR ((a,b)) c f (a)k! k 1

    = + =

    = +

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    Cotas del errorCotas del errorSea:

    una frmula de integracin numrica de tipo interpolatorio construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, ..., xn} y con un orden de exactitud m > n,

    h el valor dado por h = (b-a) pk(x) cualquier polinomio de grado k m

    SE VERIFICA QUE el error de integracin numrica de la frmula

    aplicada a la evaluacin de est acotado por:b

    a

    f(x)dx

    =

    b n

    i iia

    f(x)dx cf(x )0

    n

    f i kx (a,b)i 0

    R ((a,b)) h c Sup f(x) p (x)=

    +

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    Cotas del errorCotas del error

    k 1(k 1

    fx (a,b)

    2h hR ((a,b)) Sup f (x)(k 1)! 2

    ++

    +

    b

    a

    f ( x ) d x

    =

    b n

    i iia

    f ( x ) d x c f ( x )0

    Sea:una frmula de integracin numrica de tipo

    interpolatorio construida sobre un soporte de (n+1) puntos {x0, ..., xn} y con un orden de exactitud m > n,

    h el valor dado por h = (b-a) f(x) una funcin de clase Ck((a,b)) con k m.

    SE VERIFICA QUE el error de integracin numrica de la frmula

    aplicada a la evaluacin de est acotado por:

    =

    b n

    i iia

    f(x)dx cf(x )0

    b

    a

    f(x)dxk 1n

    (k 1f i

    x (a,b)i 0

    1 hR ((a,b)) h c Sup f (x)(k 1)! 2

    ++

    =

    + +

    Si adems no es negativo ningn peso ci una cota de error es

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    Obtencin de frmulas de integracin numrica

    Obtencin de frmulas de integracin numrica

    A) EL USO DE INTERVALOS DE REFERENCIA

    B) MEDIANTE INTEGRACIN DEL POLINOMIO INTERPOLADOR

    C) MTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

    D) COMBINANDO DESARROLLOS EN SERIE DE TAYLOR

    Mtodos equivalentes

    Permite simplificar los clculos

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    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    ( ) a b b ax F = = +

    b adx d=

    Intervalo de referencia

    a bIntervalo de integracin

    xx =F()

    n

    i ii 0

    g( )d g( )

    =

    Suponemos conocida la frmula:

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    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    ( )b

    a

    F

    d f(F( ))d

    F( ) F(b)

    xb a b af(x)dx dx

    a

    =

    =

    = =

    = =

    Llamando: g() = f(F()) = fF()

    ( ) ( )( )n

    i i i ii 0

    b n

    i 0a

    g( )d b a b a b af(x)dx g Ff

    ==

    =

    =

    ci xiPesos en el intervalo (a, b)

    Abscisas de integracin en (a, b)

  • Departamento de Matemtica Aplicada y Mtodos Informticos ETSIM - UPM31

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    ( ) a b b ax F = = +

    b adx d=

    n

    i ii 0

    g( )d g( )

    =

    Intervalo de referencia

    a bIntervalo de integracin

    xx =F()

    Suponemos conocida la frmula:

    1 i n

    x1 xi xn

    b n

    i ii 0a

    f(x)dx c g(x )=

    Obtenemos en (a, b) la frmula:

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    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    ( ) iia b b ax F

    2 2+

    = + =

    INTERVALOS DE REFERENCIA HABITUALES

    (, ) = (-1 , 1)

    iib ac

    2

    =

    ( ) iix F a (b a) = + =(, ) = (0 , 1)

    ( ) ii c b a=

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    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia

    ( )

    a n

    i ifi

    iia

    n

    i0 0

    (b a)R ((a,b)) f (F( ))d (F( ))(x)dx cf(x ) f f=

    =

    = =

    Error de integracin en (a, b) a partir de la expresindel error en (, ):

    g() g()g

    (b a)( )

    R ((0,1))

    =

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    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia - Ejemplo

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia - Ejemplo

    1

    0

    1 1( )dx (0) (1)2 2

    +

    "( )(0,1) / R12

    =

    En el intervalo [0, 1] la frmula del trapecio est dada por:

    Una cota del error que con ella se comete, si () es de claseC2((0,1)), est dada por:

    Se pide:a) Obtener la frmula y la cota del error en un intervalo (a, b)

    genricob) Aplicarla al clculo aproximado de:

    6

    4

    1dxx

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    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia - Ejemplo

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia - Ejemplo

    +

    +=

    0

    b

    a

    1

    f(a (b a) ) (b a) (b a)f(x)dx (b a) f(a) f(b)2 2

    d

    0 1

    a bx

    x = F() = a + (b-a)

    x0 = F(0) = a x1 = F(1) = b

    dx = F()d = (b-a)d

    Frmula en (a, b)Aplicando la frmula en (0,1)

    a)

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    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia - Ejemplo

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia - Ejemplo

    gf1R ((0,1))(b a) (b a)

    1 0 1 0R ((a,b)) f "

    1(a (b a) )

    ( ) ( ) 2

    + =

    =

    0 1

    a bx

    x = F() = a + (b-a)

    x0 = F(0) = a x1 = F(1) = b

    dx = F()d = (b-a)d

    f(x*)(b-a)2

    Luego:3

    f(b a)R ((a,b)) f "(x*)

    12

    =

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    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia - Ejemplo

    Obtencin de frmulas de integracin numrica: Intervalos de referencia - Ejemplo

    6

    4

    1dxx

    6

    4

    1 1 1 10dx 1 1x 4 6 24

    + =

    b) Aplicacin al clculo de

    x0 = 4 + (6-4)0 = 4 x1 = 4 + (6-4)1 = 6

    c0 = (6-4)/2 = 1 c1 = (6-4)/2 = 1

    f0 = f(4) = 1/4 f1 = f(6) = 1/6

    0.41666666

    4

    1dx ln(3) ln(2) 0.4054651...x

    = Valor exacto:

    Valor aprox.:

    Error: Rf((4,6) = (23/12)(2(x*)-3) (2/3)24-3 = 0.02083333

    |Diferencia|0.011201,,,

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