Tetractis 41_50

Ano IV. Boletín nº 41 Depósito legal: C 2766-2006 Marzo, 2010

www.tetractismonelos.blogspot.com

7ª xornada do XXII Open Matemático

CAIXÓN DOS PROBLEMAS Canguromatemático

Olimpiadamatemática

PROBLEMA 17: TÁBOA DE DISTANCIAS

As cidades A, B, C, D, E, F, G e H están aliñadas ao lon-go dunha carreteira recta. A seguinte táboa mostra a distancia entre algúns pares de cidades (por exemplo, D está 19 km de G). Complétaa.

PROBLEMA 18: CADRADOS PERFECTOS

Na progresión aritmética: 3 5 7 9 11 13 … o primei-ro termo que é cadrado perfecto está no cuarto lugar: é 9. E nesta progresión: 3 7 11 15 19 23 …, en que lugar está o primeiro termo que é cadrado perfecto?

PROBLEMA 19: O LADO OCULTO DUN HEXÁGONO

A figura mostra as lonxitudes en centímetros de cinco lados dun hexágono que circunscribe a unha circunfe-rencia. Canto mide o lado que falta?

Problema 20: Derradeiro problema do Open 22

Pegamos cada un destes díxitos nunha bola distinta que vamos metendo nunha furna. Se, agora, sacamos dunha furna dúas bolas ao chou, que probabilidade hai de que con elas poidamos formar o número 22?

KEN KEN Máis alá do Sugoku

SUDOKU

O obxectivo do Sudoku é en-cher unha cuadrícula de 9x9 celas, dividida en subcuadrícu-las (caixas ou rexións) de 3x3 das cifras do 1 ao 9 partindo dalgúns números xa dispostos nalgunhas das celas. Non se debe repetir ningunha cifran nunha mesma fila, columna ou rexión.

KAKURO

En cada fila e en cada columna hai que encher as celas con nú-meros do 1 ao 9, sen que estas se repitan. Ademais, as sumas destes números (por fila ou por columna) ten que ser igual ao número clave dado. O número clave superior indica a suma da fila e o número clave

inferior a suma da columna.

KEN KEN

Agora chega o xogo Ken Ken para complicar máis a cousa; as regras son coma as do Sudoku (non repetir ningún número en fila ou columnas) e as rexións marca-das de formas diversas deben estar ocupadas por números que forme na cifra exacta mediante as operación sindicadas: suma, resta, multiplicación ou división.

Os Ken Ken fáciles utiliza nos núme-ros do 1 ao 4, os de adultos, do 1 ao 6. Hai algúns de moita dificultade nos que elimina nos signos das operacións, que hai que adiviña rde forma lóxica, por-que a solución sempre é única.

Tetractis 41 2 Marzo, 2010

BIOGRAFÍA

Eratóstenes (Cirene, c.284 a.C. – Alexandría, c.192 a.C.) foi astrónomo, xeógrafo, matemático e filósofo grego, foi unha das figuras máis eminentes do gran século da ciencia grega: o de Euclides, Arquímedes e Apolonio. Once anos menor que Arquímedes, mantivo con este relacións de amizade e correspondencia científica. Cul-tivou non só as ciencias, senón tamén a poesía, a filolo-xía e a filosofía, polo que foi chamado polos seus coetá-neos “pentatleta”, ou sexa campión de moitas especiali-dades.

Viviu en Atenas ata que foi chamado a Alexandría para educar aos fillos de Tolomeo III e para dirixir a biblioteca da cidade. Foi célebre en matemáticas pola criba que leva o seu nome, empregada para achar os números primos, e polo seu mesolabio, instrumento de cálculo usado para resolver a media proporcional. Consi-derou tan importante a invención do mesolabio que re-galou un exemplar del a un templo como ofrenda votiva cun texto en verso que explicaba a súa utilidade.

Pero Eratóstenes é particularmente recordado por haber establecido por primeira vez a lonxitude da cir-cunferencia da Terra cun erro de tan só 90 quilómetros respecto ás estimacións actuais. Sabía que cando na cidade exipcia de Siena, o Sol chegaba ó seu punto máis alto, atopábase na vertical do observador.

MERIDIANO TERRESTRE

Os meridianos son os círculos máximos da esfera terrestre que pasan polos Polos (os meridianos son liñas imaxinarias para determinar a hora, o ano e demais). Por extensión, son tamén os círculos máximos que pasan polos Polos de calquera esfera ou esferoide de refe-

rencia. Todos os observadores situados sobre o mesmo meridiano ven ao mesmo tempo, na metade iluminada da terra, ao Sol no máis alto do seu curso : o momento no que o Sol está no máis alto do seu curso indícanos o me-diodía, é dicir, a metade do día. En astronomía o meri-diano de referencia para as coordenadas ecuatoriais é o que pasa polo punto de Aries, mentres que o de refe-rencia para as coordenadas horarias é o que pasa polo cénit e o nadir do lugar.

CÓMO MEDIU ERATÓSTENES O MERIDIANO TERRESTRE?

Eratóstenes mediu a circunferencia terrestre por primeira vez cunha gran exactitude, e nunha época na que moi pouca xente pensaba que o mundo non era plano como unha mesa.

Pero, ¿cómo o fixo?. ¿En que se baseou para facer a medida do raio da esfera terrestre?

Pois, pensou, sinxelamente, que dúas estacas crava-das verticalmente no chan, a una distancia de varios quilómetros, sobre un mesmo meridiano, darían sombras distintas a unha mesma hora en virtude da curvatura da superficie do planeta.

Os ángulos que forman os raios do Sol coa dirección da estaca son:

ERATÓSTENES E A MEDIDA DO MERIDIANO TERRESTRE


Sendo s y s’ a sombra de cada estaca sobre a liña meridiana en cada lugar. A lonxitude da estaca é “d” en ámbolos dous casos.

Se observamos agora a figura e se nos fixamos no triángulo que se forma, con ángulos a, a1 y 180-a2, onde “a” é o ángulo do arco de meridiano comprendido entre as posicións que ocupan ambas estacas, e a1 e a2 son os

ángulos que forman os raios solares coa dirección das estacas, vemos que, ao sumar 180º os tres ángulos do triángulo é:

a1 + 180 - a2 + a = 180, é dicir: a1 – a2 + a = 0, o sexa: a = a2 – a1

Coñecido o ángulo “a”, e a lonxitude “L” do arco de meridiano entre ambos puntos de colocación das esta-cas, será posible, mediante una sinxela regra de tres, atopar a lonxitude total, “X”, da circunferencia do pla-neta: e, de aquí, o radio medio da Terra:

Se unha das dúas estacas, nun determinado momen-to dera sobre a liña meridiana sombra nula, é dicir, se nunha das estacas fora cero o ángulo que forma a di-rección dos raios solares coa estaca, ou, dito de outra maneira, se nun dos dous lugares os raios solares inci-den perpendicularmente, entón, se tería que:

a1 = 0, polo cal a = a2 – 0 = a2,

é dicir, o ángulo, “a”, que corresponde ao arco de meri-diano terrestre comprendido entre ambas posicións das estacas, é, precisamente o ángulo, a2, que formarían os raios solares coa segunda estaca sobre a liña meridiana. Este último feito foi o que utilizou Eratóstenes para facer a súa medición.

Eratóstenes, que estaba en Alexandría, recordou que nun certo día de ano, no que o solsticio de verán, os raios solares caían verticalmente na cidade de Siena, situada no mesmo meridiano que Alexandría, pois recor-daba que o Sol se reflectía no máis profundo dos pozos, á hora do mediodía. Entón, pensou que se media ese día na cidade de Alexandría, á mesma hora, o ángulo, a2, que os raios solares formaban coa vertical, medindo a sombra que sobre a liña meridiana formaba a estaca, coñecería o ángulo do arco de meridiano entre Alexan-dría e Siena.

Mediu a sombra sobre a liña meridiana producida por unha estaca vertical en Alexandría, e coñecendo a lon-xitude da estaca achou ese ángulo á hora antedita: re-sultou que o ángulo era de 7 graos (a2 = 7º). Xa coñecía o ángulo do arco do meridiano entre Alexandría e Siena.

Agora faltaba coñecer a distancia, ao longo do meri-diano, entre ambas cidades, é dicir, a lonxitude do arco “L”. Para iso Eratóstenes pagou a un home que fixo, a pé, tal medición. Eran, usando a medida usual na época e na zona, uns 4900 estadios, que equivalería hoxe ( a uns 6,125 estadios por quilómetro) a uns 800 km.

Con estes datos xa é inmediato o cálculo:

Lonxitude da circunferencia terrestre:

Raio medio do planeta:

Rebeca Mengual Mancelle 1º Bach. A


O calendario, como ben sabemos, é unha conta sistematizada do tempo para a organización das actividades humanas e recordar o paso do tempo. Antigamente estaba baseado nos ciclos lunares. Na actualidade, os diversos calendarios teñen base no ciclo que describe a Terra arredor do Sol e se denominan calendarios solares.

Segundo o noso calendario un ano divídese en 365 días, e cada día, á súa vez, se descom-pón en 24 horas. Pero a duración real dos anos é 365 días e 6 horas aproximadamente (365,24219 días) . Desta diferenza xorden os anos bisestos para corrixilo cada catro anos, xa que:

4 x 6 = 24 horas = 1 día

Desta maneira súmase un día máis ao ano, que se lle suma ao mes con menos días: febreiro. Así o ano pasa a ter 366 días.

Os anos que sexan divisibles por 4 serán bisestos; aínda que non serán bisestos se son divisibles entre 100 (como os años 1700, 1800, 1900 , 2100…) a non ser que sexan divisibles por 400 (como os anos 1600, 2000 ó 2400). En 400 anos debe haber 97 anos bisestos, de esa maneira o ano do calendario gregoriano (o emprega-do actualmente) terá por termo medio 365,2425 días.

O ano trópico (tempo medio transcorrido entre dous pasos consecutivos do Sol por un punto determinado) ten unha duración de 365,24219 días.

Así que hai un erro de 0,0003 días por ano, e pode-ría parecer que ao cabo de tres mil anos (3226 anos, para ser máis exactos) haberase acumulado un día de erro, que se vai a corrixir facendo: 4000, 8000, 12000... anos comúns. Pero non se sabe exactamente cando chegará o erro a un día, xa que tanto a duración do ano trópico (ou ano solar), como a velocidade de ro-tación da Terra, van cambiando co tempo, dunha manei-ra que non é completamente predicible.

ANO SANTO COMPOSTELÁ

Ademais dos anos bisestos existe unha clase de ano chamado Ano Santo Xacobeo, nos cales o 25 de xullo (festividade do Apóstolo Santiago) cae en domingo. Is-to ocorre cunha cadencia regular de 6-5-6-11 anos, de xeito que en cada século celébranse catorce anos san-tos.

A cadencia 6-5-6-11 dos anos san-tos ten explicación na cadencia dos anos bisestos e no feito de que a semana ten 7 días. Se non houbese anos bisestos teríamos año xacobeo cada 7 anos. Convén advertir que se existe al-gunha alteración na secuencia de bisestos automaticamente se alte-rará a cadencia dos anos xacobeos. Isto sucedeu coa Reforma Grego-riana do ano 1582 e ocorre, en con-

secuencia, tamén nos anos centenarios que non sexan múltiplos de 400. Segundo as regras dos anos bisestos e a cadencia dos anos santos (6-5-6-11) podemos predicir cando se pro-ducirán:

Anos bisestos Anos santos

Pero esta cadencia vaise alterar, xa que o ano 2100 non vai a ser bisesto.

Obsérvese que o 2032 será o primeiro ano bisesto e Santo á vez, cantos haberá neste século?

Normalmente, en moitos problemas de Física, Mate-máticas, Astronomía…, é preciso calcular un determina-do espazo de tempo en anos. Na maioría de ocasións engádese unha anotación no enunciado que indica que se teña 1 ano por 365 días. Isto é debido a que os anos bisestos podan alterar o resultado, e é difícil operar téndoos en conta. Un caso no que se aprecia claramente isto é que, aínda que pareza que entre o ano 549 d.C. e o ano 2009 d.C. pasaran 1460 anos, realmente pasaron 1461, xa que, como cada 4 anos hai un día de máis, cada 1460 hai 365, o que incrementa o intervalo de tempo nun ano. Xeralmente, se os anos non bisestos son 1460, a medida tendo en conta os anos bisestos sería a ante-rior, +1; se fose o dobre de 1460 (2920), +2, e así en todos os múltiplos de 1460 (agás 0).

Antía García Mallo

1º bach. A

CALENDARIO: ANOS BISESTOS E ANOS SANTOS

Laura, Carmen Méndez, Águeda, Carmen Picado, Paula e Xacobe son alumnos de 3º ESO, que baixo a coordinación do seu profe-sor de Matemáticas, Gonzalo Temperán, participan no Premio Luís Freire, cun proxecto de investigación estatística que trata de responder á pregunta: PODEMOS PREDECIR A ESTATURA Á QUE VAI CHEGAR UNHA PERSOA? Poderás ver a memoria e as conclusións no blogue TETRACTIS.

Ano IV. Boletín nº 42 Depósito legal: C 2766-2006 Abril, 2010

UN CURSO OLÍMPICO


Dous grupos de alumnos, coordinados polo profesor de matemáticas, Gonzalo Temperán, participaron no Pro-grama “O País dos estudantes” e editaron dous periódi-cos: The Truth e α-D-MONELOSa, que aínda que teñen carácter xeneralista, neles aparecen artigos sobre ma-temáticos, coma: Alicia no pais das matemáticas (entrevista realizada á profesora de Matemáticas, Alicia Pedreira, por dúas das súas alumnas); Olímpicos en Monelos, As anamorfo-ses, Alumnos de 3º ESO participan no Premio Luís Frei-re para investigadores escolares, Ano xacobeo… Poderás ver os periódicos en

http://estudiantes.elpais.com/ e tamén no blogue: www.tetractismonelos.blogspot.com

DOUS PERIÓDICOS PARA “O PAÍS DOS ESTUDANTES”

CITAS PARA MAIO

DOS ALUMNOS DE 2ºESO COPAN OS PRIMEIROS LUGARES DA FASE LOCAL DA OLIMPÍADA MATEMÁTICA

Este curso podemos declaralo “O curso olímpico en Monelos”, xa que foron moitos os alumnos e alumnas que obtiveron o diploma olímpico en distintos ámbitos: • Diego Abalde, alumno de 2º Bach. clasificouse para a Fase Nacional da Olimpíada de Matemáticas que se cele-brou en Valladolid, do 25 ao 28 de Marzo. • Tres alumnos do IES Monelos demostraron estar entre os que máis saben de xeoloxía de Galicia. Son Alba Ares González, de 1.º de bacharelato; Irene Varela Mar-tínez, de 2.º, e Pablo Orosa Iglesias, tamén de segundo. Os tres conseguiron as tres prazas para participar na I Olimpíada Nacional de Xeoloxía que se celebrou a finais de marzo en Madrid. • Irene Vázquez Garnazo e Pablo Cortón Debén acada-ron os primeiros postos na Fase de zona da Olimpíada Matemática de 2º ESO e representarán (xunto con ou-tros cinco alumnos) á zona da Coruña na Final Galega que se celebrará en Vigo, o vindeiro 14 de maio.

Parabéns a todos e todas.

ALUMNOS DE 3º ESO PARTICIPAN NO PREMIO LUÍS FREIRE PARA INVESTIGADORES ESCOLARES

Tetractis 42 6

No século V a. C. as matemáticas aínda non se sistematizaran. Non obstante, a labor dos pitagóricos deixara dúas herdanzas importan-tes, unha de carácter xeral: a esixencia da demostración, e outra de carácter circunstancial: a consagración case exclusiva dos matemáti-cos ás investigacións xeométricas. De aí que os matemáticos do século V dedicáranse á busca de novas propiedades das figuras. Como as primeiras figuras das que partiron os gregos foron a recta e a circunferencia, todas as proposicións

xeométricas, foran teoremas ou construcións, debían basearse sobre esas dúas figuras e as súas relacións. Pola súa parte, moitas desas novas propiedades foron logradas me-diante a busca e a persecución dalgúns problemas particulares que atraeron a atención dos matemáticos. Eses problemas, son os chamados “problemas clásicos da xeome-tría”, foron tres: a trisección do ángulo, a duplicación do cubo e a cuadratura do círculo.

OS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS GREGOS

Abril, 2010

DUPLICACIÓN DO CUBO

Duplicación do cubo é achar, mediante o uso de regra e compás, o lado dun cubo de xeito que o seu volume sexa o dobre do volume doutro cubo de lado dado. Actual-mente os instrumentos de álxebra son capaces de re-solver este problema de forma trivial, pero a única uti-lización da regra e o compás non permitía facelo. No ano 429 a. C., Pericles, gobernador de Atenas nesa época, morreu vítima da peste que atacaba moi severa-mente á cidade. Como consecuencia disto algúns habi-tantes decidiron ir á cidade de Delfos para facerlle consultas ao Oráculo de Apolo e saber como poder de-ter a epidemia. A resposta foi elaborar un novo altar en forma de cubo cuxo volume duplicase ao do altar que xa existía. A pandemia disipouse co tempo, pero o proble-ma matemático planteado permaneceu. O primeiro en abordar a cuestión foi Hipócrates de Quíos, quen redu-ciu o problema ao de intercalar dúas medias xeométri-cas ou proporcionais entre a magnitude que representa a aresta do cubo primitivo a correspondente ó dobre da mesma. Baseándose neste planteamento, Arquitas de Tarento, Menecmo y Eratóstenes de Cirene, entre ou-tros, presentaron solucións, ningunha das cales puido resolverse co uso exclusivo da regra e o compás. Non foi ata o ano 1837 que quedou comprobado, que o pro-blema non tiña solución, polo francés Pierre Wantzel.

A CUADRATURA DO CÍRCULO

Cadrar o círculo é achar, mediante o uso de regra e compás, un cadrado que posúa un área que sexa igual á dun círculo dado. A resolución deste problema tratou de abordarse repetidas veces, sen éxito, dende a anti-güidade clásica ata o século XIX. Falando en sentido figurado, significa que algo é moi difícil ou imposible de resolver.

Unha superficie é cadrable cando, a partir dela, é posible obter xeometricamente un cadrado que teña a mesma área que aquela, e facelo permitía simplificar o cálculo das súas áreas xa que doutro xeito sería dema-siado complexo. Foi así como xordeu nos matemáticos da Grecia clásica o desexo de buscar procedementos puramente xeométricos para achar a cadratura de cal-quera superficie (entre elas a circunferencia) utilizan-do unicamente regra e compás. Cadrar superficies de polígonos resultou fácil utilizando certos métodos como descomposición en formas poligonais, pero a cuadratura de superficies limitadas por curvas, e en especial a cir-cunferencia, non resultaría plausible para os gregos, de no ser polo feito de que Hipócrates de Quíos demos-trou que certas figuras curvilíneas (lúnulas), construí-das a propósito por el, resultaban cadrables.

Este feito creou unha falsa expectativa entre os matemáticos antigos levándoos a pensar que o círculo podería cadrarse, pero no século XX Chebotariov y Do-rodnov probaron que normalmente as lúnulas non se po-den cadrar, que só pode facerse nos casos expostos por Hipócrates e en dous casos máis aportados por Leonhard Euler no s.XVIII. Deste xeito quedou de ma-nifesto que as lúnulas non son máis que a excepción dun pro-blema irresoluble que confundiu aos mate-máticos durante anos. En 1882 Ferdinand Lindemann probou que π é un número transcendente polo que se entende que é impo-sible cadrar o círculo usando so regra e compás, pero si que se pode con operacións alxébricas, sabendo que o radio do círculo e o lado do cadrado son proporcionais, sendo √π o factor de proporción.

FALANDO EN SENTIDO FIGURADO, CADRAR O CÍRCULO SIGNI-FICA QUE ALGO É MOI DIFÍCIL OU IMPOSIBLE DE RESOLVER.

Tetractis 42 7 Abril, 2010

TRISECCIÓN DUN ÁNGULO

O problema de trisectar un ángulo arbitrario é o proble-ma clásico para o que máis probas falsas se aportaron. Unha delas era construír con re-gra e compás esa trisección, pero iso é imposible a excep-ción dalgúns ángulos como o recto: a recta AD que forma un ángulo de 60 graos con AE, por formar parte do triángulo equilátero AED, o que provoca que o ángulo CAD sexa de 30, o ángulo está tri-sectado.

Outra maneira bastante directa de trisectar cal-quera ángulo, coñecida por Hipócrates era, dado un ángulo CAB, trazar CD perpendicular a AB cor-tándose en D e completar

o rectángulo CDAF. Ampliar FC a E e deixar AE ser trazado para cortar a CD en H. Obter o punto E elixido de modo que HE =2AC. Agora o ángulo EAB é 1/3 do ángulo CAB.

Unha das razóns polas que o problema de trisectar un ángulo pareceu menos atractiva para os matemáticos gregos á hora de publicar as súas solucións é que a pesar de que a construción anterior vista non era posible cun obxecto recto sen marcar e un compás, é fácil de realizar na práctica, e como os gregos non estaban, en xeral, satisfeitos coas solu-cións prácticas debido a un punto de vista puramente mate-mático, no foron capaces de encontralas. Como dixo Platón:

“Ao proceder dun modo [mecánico], non perde un, irremediablemente, o mellor da xeometría?...”

Outra solución de tipo mecánico facilitada por Ar-químedes: Pappo escribiu sobre como o problema de trisectar un án-gulo foi resolto por Apolonio usando as cónicas.

Estas construcións descritas por Pappo mostran como os gregos "melloraron" as súas solucións ao problema de trisec-tar un ángulo. Partindo dunha solución mecánica progresaron cara unha solución relacionada coas secciones cónicas. Nunca

progresaron cara as solucións planas por-que sabemos que son imposibles.

Claudia Vilar

Sánchez 1ºBach. A

A característica máis salientable do elevador do

monte de San Pedro é a súa cabina panorámica traspa-rente, de forma esférica.

Todos podemos imaxinar facilmente como é unha esfera. Construír unha na realidade a partires de perfís metálicos e superficies planas non é nada doado. Dificul-tades semellantes atopan os mariños e pilotos aeronáuti-cos cando queren definir un rumbo para as súas naves, pola necesidade de traballar sobre superficies curvas.

Ambos problemas pódense resolver facendo uso da trigonometría esférica, que manexa conceptos como o círculo máximo, triángulo esférico, etc.

XEOMETRÍA NO ASCENSOR DE SAN PEDRO

A ESFERA COMO CORPO XEOMÉTRICO

Unha esfera é un corpo sólido limitado por unha superficie curva cuxos puntos equidistan doutro interior chamado centro da esfera. Tamén se pode definir como a superficie conformada polos puntos do espazo tales que a distancia a un punto denomi-nado centro (chamada raio) é sempre a mesma. Como sólido de revolución, xérase facendo xirar unha superficie semicircular ao redor do seu diá-metro.

A superficie (A) e o volume (V) dunha esfera calcúlanse con estas fórmulas:

onde r é o raio da esfera.

Tomando o dato do volume da esfera do ascen-sor (86 m3), podemos calcular o seu radio:

Con este dato, calculamos a súa superficie ex-

terna (da cal, practicamente toda é de policarbo-nato transparente, agás os perfís de aceiro inoxi-dable da estrutura):

Pero describir as formas das seccións da su-

perficie non é tan doado. Para iso, temos que facer uso de conceptos da trigonometría esférica.

24 rA ⋅⋅= π3

34 rV ⋅⋅= π

mVr 74,24

86343

33 =⋅⋅

=⋅⋅

=ππ

222 34,9474,244 mrA =⋅⋅=⋅⋅= ππ

Tetractis 42 8 Abril, 2010

CONCEPTOS DE TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

A diferenza da trigonometría plana, que estuda triángulos trazados sobre un plano, a trigonometría es-férica estuda os que se trazan sobre a superficie dunha esfera. Esta trigonometría emprega os concep-tos seguintes:

CÍRCULO MÁXIMO é a intersección dunha esfera cun plano que pasa polo seu centro. Xa que logo, unha cir-cunferencia máxima é o perímetro dun círculo máximo. Un círculo máximo divide á esfera en dous hemisferios iguais. CÍRCULO MENOR é a intersección da esfera cun plano que non pasa polo seu centro. POLOS son os puntos de intersección da superficie es-férica cun diámetro perpendicular ao plano trazado po-lo seu centro. DOMINIO SOBRE A SUPERFICIE ESFÉRICA é calquera área da superficie da esfera limitada por curvas contidas en dita superficie. Un caso particular son os triángulos esféricos. ÁNGULO ESFÉRICO é o formado na superficie da esfera

por dous arcos de circunferencia máxi-ma. Exemplo: os ángulos

TRIÁNGULO ESFÉRICO é a superficie esféri-ca limitada por tres circunferencias máxi-mas. Exemplo: o triángulo ABC.

DISTANCIA ORTODRÓMICA é a distancia entre dous pun-tos unidos por un arco de circunferencia máxima. Exemplo: as distancias AB, BC, etc.

Os lados dun triángulo esférico non son liñas rectas, senón arcos, sempre menores de 180º. É dicir, un lado dun triángulo esférico non se define pola súa lonxitude, senón polo ángulo do arco cuxo vértice é o centro da esfera.

Algunhas fórmulas características dos triángulos esféricos son as seguintes:

Fórmula do coseno:

Fórmula do seno:

Fórmula da cotanxente:

DESCRICIÓN TRIGONOMÉTRICA DA ESFERA DO ELEVADOR

A esfera está construída sobre unha estrutura

maestra vertical de aceiro, formada por perfís triangu-lados. Os extremos do eixo horizontal desta estrutura forman os que chamaremos “polos horizontais”. Ade-mais, existen dous “polos verticais” situados a 90º dos anteriores.

Atravesando os polos horizontais, hai 5 circunfe-rencias máximas (que forman ángulos de 180º/5 =36º), tamén construídas con perfís de aceiro. Outras cinco atravesan os polos verticais. As interseccións das 10 circunferencias forman un total de 50 dominios de for-mas variadas, algúns dos cales son triángulos esféricos e outros son dominios de 4 lados.

O sector central horizontal bascula apoiándose nos polos horizontais, levantándose para permitir o acceso dos visitantes ao interior. Éstes permanecen sobre unha plataforma que está nun plano inferior ao plano polar horizontal. Xa que logo, dita plataforma é un cír-culo menor.

A esfera ten uns so-portes nos polos horizon-tais cos que se apoia nun carro que se desplaza so-bre uns carrís inclinados 42º, salvando un desnivel de 62 m.

Guillermo Ledo López 1º Bach. A

γβα ,,

αcoscoscoscos ⋅⋅+⋅= senABsenACABACCB

γβα sensenAB

sensenAC

sensenCB

==

CBsenABsenAB cotcotcoscos ⋅−⋅=⋅ αββ

Ano IV. Boletín nº 43 Depósito legal: C 2766-2006 Maio, 2010

MatCampus 2010 está dirixido a estudantes de 1º de Bacharelato e 11º ano (entre 16 e 17 anos) de tódolos centros de ensino medio de Galicia e Portugal. Entre os obxectivos e compe-tencias a acadar/potenciar no Mat-Campus 2010 contémplanse obxectivos xenéricos relacionados directamente coas Matemáticas, xunto con outros obxectivos transversais de carácter socio-cultural.

O período de inscrición remata o 25 de maio.

MatCampus 2010 desenvolverase en Galicia e Portugal durante a segunda quincena do mes de xullo. A duración do campamento será de dú-as semanas, a primeira en Braga (Portugal) e a segunda en Santiago de Compostela (España).

www.matcampus2010.org

MATCAMPUS 2010

FEIRA MATEMÁTICA 2010

Celebrouse, o pasado sábado 15 de maio, no Pazo da Ópera da Coruña. As actividades que realizamos foron: * Boletín Tetractis * Matemaxia * Polígonos nazarís * Xogos lóxicos * Pentaminós * Figuras de dobre visión

Ademais fixemos: A Feira on-line, con entrevistas no blogue Tetractis aos persoeiros que visitaron o noso stand e ofrece-mos un espectáculo de Matemáxia.

Co Director do IES Monelos O alumnado do IES Monelos

Decana de Matemáticas, Victoria Otero Co Reitor da UDC, José María Barja

O Alcalde da Coruña O espectáculo de Matemaxia

Álbum fotográfico en: www.tetractismonelos.blogspot.com

Tetractis 43 10 Maio, 2010

Dende hai 2500 anos os nú-meros primos atraen a aten-ción de matemáticos e afec-cionados de todo o mundo, por varias razóns. Unha de-las é a fascinación que pro-duce a súa irregular distri-bución ao longo da recta nu-mérica. Os números primos aparecen esparexidos aquí e alá, atopándose sectores onde abundan e outros onde escasean. Se lles califica de misteriosos e indomables pois non parece existir nin-

gunha regra que determine a súa ubicación entre os de-mais números naturais. Os números primos son impor-tantes porque permiten construír novos números a partir deles. Teñen conexión con moitas facetas da vida: a música, por exemplo. Pero tamén a criptografía: todos os códigos de Internet están baseados en números primos. Así mantés a salvo a túa tar-xeta de crédito, por exem-plo.

Á CAZA DOS NÚMEROS PRIMOS

O s números primos son aqueles que soamente son divisibles entre eles mesmos e a unidade.

Todos os números primos, agás 2, son impares. Os únicos dous números primos consecutivos son o 2 e o 3. Os primeiro números primos son:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

TIPOS DE NÚMEROS PRIMOS:

- Números primos xemelgos: son dous números primos que están separados por unha distancia de 2. Parellas de números primos xemelgos: (3, 5) (5, 7) (11, 13) (17, 19) (29, 31) (41, 43) (59, 61) (71, 73) (101, 103) (107, 109). Os primos xemelgos poden formar 3 tipos de pa-rellas cuxas terminacións son: (7,9); (9,1) e (1,3). - Os primos casi-xemelgos: son os primos que están nas columnas de primos xemelgos pero lles falta o com-pañeiro. A serie de primos casi-xemelgos comeza con: 47, 79, 89, 131, 163...

- Os primos solitarios: atópanse nas columnas 7 e N da táboa e clasifícanse en 2 tipos cuxas terminacións son 3 e 7. A serie de primos solitarios comeza con: 23, 37, 53, 67, 83, 97, 113... - Números primos de Mersenne: é un número primo que ó sumarlle 1 o resultado é unha potencia de 2. Por exemplo, 7 é un número primo de Mersenne ao cumprir-se (7 + 1 = 8 = 2³). Denomínanse así en memoria do fi-lósofo do século XVII Marin Mersenne que realizou unha serie de postulados sobre números primos.

Os oito primeiros números primos de Mersenne son: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287.

Na actualidade só se coñecen 44 números primos de Mersenne, o último foi descuberto o 4 de setembro 2006. Estanse dando premios de 1 millón de euros ó que atope outro nº primo. - Número primo de Sophie Germain: é un número pri-mo que ó multiplicalo por 2 e sumarlle 1 o resultado é tamén un número primo. Por exemplo: o 2 porque cúm-prese 2x2+1=5, sendo 5 tamén número primo. Algúns dos números primos de Sophie Germain son:

2 3 5 11 23 29 41 53 83 89 113 131 173

A CRIBA DE ERATÓSTENES É un antigo e efectivo método para achar números

primos. Consiste nunha táboa de números naturais dis-postos en columnas. Primeiro táchanse todos os múlti-

plos de 2. Logo, todos os múltiplos do seguinte núme-ro non tachado anteriormente e así sucesivamen-te. Os números que quedan sen tachar son os nú-meros primos.

Numerosas obras da narrativa actual utili-zan unha temática relacionada cos números primos: En primer curso de la universidad había estudiado ciertos números primos más es-peciales que el resto, y a los que los atemá-ticos llaman primos gemelos: son parejas de primos sucesivos, o mejor, casi sucesivos, ya que entre ellos siempre hay un número par que les impide ir realmente unidos, co-mo el 11 y el 13, el 17 y el 19, el 41 y el 43. Si se tiene paciencia y se sigue contando, se descubre que dichas parejas aparecen cada vez con menos frecuencia. (La soledad de los números primos).


Para saber se un número é primo abonda con dividilo polos números impares maiores que 1 e menores ou iguais á raíz cadrada do número. Se non se atopa ningún divisor o número é primo.

ALGÚNS PROBLEMAS NON RESOLTOS

• Se p é primo, 2p - 1 é sempre libre de cadrados? É dicir, non divisible polo cadrado dun primo.

• Contén a secuencia de Fibonacci un nú-mero infinito de primos?

• A conxetura de Goldbach foi proposta por Christian Goldbach a través dunha carta enviada a Euler en 1742. Di que: todo número par maior que 2 pode es-cribirse como suma de dous números primos. Euler non conseguiu demostrar nin refutar o resultado.

Estes son algúns dos últimos récords

de números primos que coñecemos: • O número primo máis grande coñecido

(atopado por GIMPS [Gran Buscador de Internet de Primos Mersenne] en febreiro de 2005) é o 42º pri-mo de Mersenne: M25964951 que ten 7816230 díxi-tos decimais.

• Os primos xemelgos máis grandes coñecidos son 242206083 × 238880 ± 1. Teñen 11713 díxitos e fo-ron anunciados por Indlekofer y Ja'rai en novembro de 1995.

TEOREMA DE FERMAT

Leonhard Euler intentou demostrar unha das máis elegantes observacións de Fermat, un teorema referido aos números primos. Todos os números primos poden ser repartidos en dous grupos, o que forman os que son iguais a 4n+1 e os que son iguais a 4n-1, onde n é algún número natural. Polo tanto, o 13 é do primeiro grupo (4x3+1), mentres que o 19 é do segundo grupo (4x5-1). O teorema de Fermat dos números primos dicía que o primeiro tipo de números primos equivalería sempre á suma de dous cadrados (13=2²+3²) mentres que o se-gundo tipo non podería escribirse nunca desta maneira (19=?²+?²). Finalmente, no ano 1749, Euler conseguiu demostrar este teorema dos números primos.

Hai unha serie de números primos que son máis atractivos que o resto de primos, por exemplo: • O número 1234567891 que percorre todos os díxi-

tos, é un número primo. • Un nº primo, que ten 6.400 díxitos, está composto

de 6.399 noves e soamente un oito. • O primo 713º pode escribirse como (10^1951) x

(10^1975) + 1991991991991991991991991) + 1, e foi descuberto en 1991.

• Coa excepción do número 3, cada número Fibonacci que é primo, tamén ten un primo subscrito. Por exemplo o número Fibonacci 233, que é primo, ocupa

a posición 13, número primo tamén.

APLICACIÓNS DOS NÚMEROS PRIMOS

Unha das aplicacións prácticas dos números primos máis estendida hoxe en día está nos algoritmos criptográficos, entre eles o popu-lar RSA é a xeración de códigos mediante distribución aleatoria de primos para realizar certas transaccións por internet, operacións con tarxetas de crédito, etc. A criptografía asimétrica é o método cripto-gráfico que usa un par de claves para o envío de mensaxes. As dúas claves pertencen á mesma persoa á que se lle enviou a mensaxe. Unha clave é pública e pódese entregar a cal-quera persoa, a outra clave é privada e o pro-pietario debe gardala de modo que ninguén

teña acceso a ela. Os métodos criptográficos garantían que esa parella de claves só se pode xerar unha vez. Dado un cifrado de clave pública baseado na factoriza-ción de números primos, a clave pública contén un nú-mero composto de dous factores primos grandes, e o algoritmo de cifrado usa ese composto para cifrar a mensaxe. O algoritmo para descifrar a mensaxe require o coñecemento dos factores primos. A seguridade deste algoritmo radica no problema da factorización de números enteiros. As mensaxes envia-das represéntanse mediante números, e o funcionamen-to baséase no produto de dous números primos grandes elixidos ó azar e mantidos en segredo. Actualmente estes primos son da orden de 10200 cifras, e prevese que o seu tamaño aumente co aumento da capacidade de cálculo dos ordenadores.

A CHICHARRA E OS NÚMEROS PRIMOS

As chicharras periódicas teñen o ciclo vital máis longo de todos os insectos. A cuestión que inquietaba ós zoólogos era: Por que o ciclo vital da cigarra é tan longo? Qué quere dicir que o ciclo vital sexa un número primo de anos? A Magicicada trede-cim, aparece cada 13 años, o que in-dica que os ciclos vitais que son un número primo de anos dan algún tipo de vantaxe para a conservación da

vida. Se o parasito ten un ciclo vital de dous os, Continúa na seguinte páxina

A trama da película “A habi-tación de Fermat” basease na demostración da Conxetu-ra de Goldbach

Máis en:


entón a chicharra quere evitar un ciclo vital que sexa divisible por 2, senón o parasito e a chicharra coincidi-rán regularmente. Ao fin, se quere evitar de atoparse co seu parasito, a mellor estratexia da chicharra é dar-se un ciclo de vida longo, que dure un número primo de anos. Como nada dividirá o 17, a Magicicada Septende-cim raramente se atopará cun parasito. Se o parasito tén un ciclo de 2 anos, só se atoparán cada 34 anos. Na súa quenda, o parasito, se quere loitar, só ten dous ci-clos vitais que incrementan a frecuencia das coinciden-

cias: o do ciclo anual e o mesmo ciclo de 17 anos que a chicharra. O longo ciclo vital das chicharras, e o núme-ro primo de anos, protéxeas.Na loita por coincidir coa chicharra, o parasito probablemente continuou alargan-do o seu ciclo vital, ata conseguir traspasar a barreira dos 16 anos. Entón deixará de coincidir durante 272 anos; a súa falta de coincidencia coas chicharras leva-rao á extinción.

Iria González Díaz 1º Bach. A

III CERTAME DE MAT-MONÓLOGOS

Categoría: Primaria e 1º ciclo ESO Flores, plantas y moscardas

Santiago Valencia Bahamonde, 1º ESO IES San Mamede (Maceda-Ourense)

Categoría: 2º ciclo ESO e Bacharelato

La solución del problema Álvaro Souto Janeiro, 3º ESO

IES San Mamede (Maceda-Ourense)

Categoría: Persoas, en xeral, mayores de 18 anos.

Cinco números José Manuel Ramos González

IES A Xunqueira I (Pontevedra)

Alumnado do IES Monelos

¿Las preguntas nos las vamos a preguntar? Miren Josune Melero Vilela, 3º ESO

IES Monelos.

Os gañadores do III Certame de Mat-monólogos, que se celebrou o pasado martes 11 de maio, na Sala Xurxo Loba-to do IES Monelos son:

Ano IV. Boletín nº 44 Depósito legal: C 2766-2006 Xuño, 2010


A proba de selección celebrouse o pasado sábado 5 de xuño na Facultade de Matemáticas de Santiago de Compostela e a ela presentaronse 330 alumnos dos 381 que estaban inscritos.

Os alumnos presentados tiveron que resolver 6 problemas e serán seleccionados 25 alumnos e alumnas que acudirán os sábados dos cursos: 2010-11 e 2011-12 a sesións impartidas na Facultade de Matemáticas.

PROBAS DE SELECCIÓN DE ESTALMAT Este ano houbo record de presentados

Oito supervivintes do bombardeo de Hiros-hima, chegados a bordo do cruceiro 'Peace Boat', explican na Coruña a súa experiencia e piden a erradicación das bombas nucleares.

A noticia trouxo á memoria a I Feira Matemática na que Tetractis (nº 9) publicou a Lenda dos mil grous, para celebrar o Día Escolar das Matematicas de 2007, baixo o lema " Matemáticas e Paz": Os mil grous de origami (papiroflexia) son un conxunto de mil grous de papel unidos por cordas. Unha antiga lenda xaponesa promete que calquera que faga mil grous de papel recibirá un desexo por parte dun grou, tal como unha longa vida ou a recuperación dunha enfermidade. Os mil grous de origami converteuse nun símbolo de paz, debido á historia de Sadako Sasaki, unha pequena japonesa que desexou curar da súa enfermidade (leucemia) producida pola la radiación dunha bomba atómica.

A LENDA DOS MIL GROUS

V CONGRESO DE AGAPEMA O pasado 1 de xuño a Casa das Ciencias celebrou o seu 25º cumpleaños e con tal motivo Museos Científicos organiza du-rante todo o ano unha variedade de actividades. O venres, 4 de xuño, programouse un Encontro coa Comunidade Educativa (Profesorado, asociacións de pais e sindicais) cun encontro no Planetario, un espectáculo de maxia e para rema-tar a tradicional foto de familia.

¡Feliz cumpreanos!

C hega o V Congreso de AGAPEMA (Asociación Gale-ga de Profesores de Ensi-nanza Matemática) que se celebrará os días 25 e 26 de xuño no IES Sofia Casonova de Ferrol. Podes atopar máis informa-ción sobre a programación do congreso en:

www.agapema.com ou no blogue:

TETRACTIS

25º ANIVERSARIO DA CASA DAS CIENCIAS A casa de todos

Tetractis 44 14 Xuño, 2010

E n moitas ocasións cando estamos a facer cálculos matemáticos, por exemplo nas operacións aritméticas, utilizamos signos que non sabemos de onde proveñen. Esta é a orixe dalgúns destes signos:

SIGNOS DA SUMA E RESTA: Hai aproximadamente seis séculos os signos da suma e da resta eran “p” e “m”, respectivamente. Isto era debido ás palabras en latín plus e minus. Máis tarde, empezáronse a utilizar os signos “ +” e “-“ (os que usamos aínda hoxe en día), que segundo Rey Pastor (1888-1962) foron utilizados por primeira vez polo científico alemán Widmann, no seu libro de aritmética comercial. DIVISIÓN E MULTIPLICACIÓN: Estes dous signos crese que foron introducidos ao uso común polo matemático William Oughtred (1574-1660). É probable que o signo da multiplicación como dúas raias cruzadas (x) proveña das matemáticas antigas nas que se usaba a cruz de San Andrés para indicar a reprodución das cousas. Aín-da que como Leibnitz consideraba que unha cruz podía-se confundir coa variable x, no 1684 utilizou o punto “·”.

O símbolo da división (:) indica que con dúas cantida-des ou dous díxitos realizarase unha operación na que un encontrase arriba e o outro abaixo. Para represen-tar as fraccións, a división entre eses dous díxitos, uti-lizase a barra “/”. SÍMBOLO DA IGUALDADE: No 1557 xur-de o símbolo do igual como dúas raias paralelas (=), a proposta do matemático e médico inglés Robert Recode. As dúas raias paralelas son unha maneira de manifestar a igual-dade das devanditas liñas. SÍMBOLO DO CERO: Arredor do ano 650 comézase a usar na India o símbolo para representar a posición va-leira nun número de maneira definitiva e como coñece-mos actualmente. A palabra cero provén do sánscrito “shunya” que se traduxo ao árabe como “sifr” e que nos chegou a través do italiano.

Os maias xa utilizaban un signo que semellaba un ollo semipechado. COCIENTE ENTRE A CIRCUNFERENCIA E O DIÁMETRO: William Oughtred utilizou π/δ (en 1652) para referirse ao cociente entre a circunferencia e o diámetro dunha circunferencia, usando a letra π (perifería) para indicar a circunferencia e a letra δ para indicar o diámetro.

Non obstante, o primeiro que usou a letra π en soli-tario para simbolizar 3,14159 ..., para referirse ao co-ciente entre a circunferencia e o diámetro, foi William Jones, que a introduciu nun texto de 1706. Aínda así, π non se impoñería nos círculos matemáticos ata que Eu-

ler comezase a usalo 30 anos despois. UNIDADE IMAXINARIA: As expresións nas que aparecían raíces cadradas de números negativos foron denomina-das por Descartes en 1637 imaxinarias.

Pero ata 1777 o símbolo “i” nunca fora utilizado para a unidade imaxina-ria, ata que o fixo Euler, aínda que foi Gauss quen empezou a usalo a miúdo uns anos máis tarde. BASE DOS LOGARITMOS NATURAIS: O símbolo é a letra ‘e’. Non está moi clara a súa orixe, quizais débese a que provén de exponencial ou tamén cabe a posibilidade de que fora a primeira letra que Euler (a quen lle debemos o seu uso) utilizou naquel momento. DERIVADA PARCIAL: Foi introducida por Legendre no 1786 para distinguir as derivadas parciais das deriva-das totais. Algúns confundena coa delta grega (δ) debido a que Ha-milton usou unha notación semellante á de Legendre pero utilizando a δ en vez da ∂ redondeada para refe-rirse á derivada parcial. CONXUNCIÓN COPULATIVA, 7: É o símbolo utilizado na lóxica para indicar a conxunción copulativa ”e”. Desco-ñécese a súa orixe, aínda que se supón que se orixinou por inversión do signo ‘<’ utilizado para a disxunción. CONXUNCIÓN DISXUNTIVA, <: É o símbolo usado na ló-xica para indicar a conxunción disxuntiva “ou”. Úsase por ser “<” a inicial da conxunción disxuntiva latina vel.

O seu primeiro uso atópase nos Principia mathema-tica (1910) de Whitehead y Russell. CONXUNTO BALEIRO Ø: Non ten nada que ver coa letra grega phi. É a combinación dun cero cunha barra “/” (Ø). Úsase para representar conxuntos que non conteñen elementos. CONXUNTO DE NÚMEROS ENTEIROS: É simplemente a inicial de Zahlen (Z), que en alemán significa “números”. O seu uso ven da época na que o concepto de conxunto expandiuse por terras centroeuropeas. EXPOÑENTE DUNHA POTENCIA: Chuquet, no século XV foi o primeiro que colocou o expoñente nunha posición elevada con respecto á liña base. Aínda que se colocaba directamente no coeficiente, 5x2 o escribía como 52. James Hume publicou no 1636 unha edición da álxebra de Viéte na que utilizou unha notación practicamente igual á actual, salvo que él utilizou números romanos.

Foi Descartes quen substituíu os números romanos polos indoarábigos. FUNCIÓN DE X: Johann Bernoulli, a finais do século XVII empezou a utilizar símbolos especiais para as fun-cións.

ORIXE DOS SIGNOS MATEMÁTICOS


En 1718, simplificou as cousas utilizando a letra grega φ(lese fi), que é a precursora da actual “f”. Unha vez máis, Euler, nos seus Commentari de San Pe-tersburgo (no 1734) deixaría as cousas tal e como es-tán hoxendía: f(x).

NABLA: William Rowan Hamilton foi quen introduciu este símbolo no 1853 no seu libro Lectures on Quaternions. Nun principio utilizouse como un sím-bolo de propósito xeneral para cal-

quera operador que se utilizase nun momento determi-nado; pero acabou fixándoo para o operador gradente.

Non se sabe con seguridade quen lle puxo o nome. Ademais de Hamilton, outros candidatos son: James Clerk Maxwell, Tulio Levi-Civita e Heaviside.

O termo nabla fai referencia a un antigo instrumen-to semellante á lira pero de forma triangular. INCLUSIÓN: É unha variante do signo < (menor que) in-troducida por Ernst Schröder en 1890 para ser usada unicamente entre conxuntos e non entre números. O conxunto que se pon á esquerda é o que está incluído no conxunto da dereita. INCÓGNITA: Os árabes para representar a incógnita usaban o termo shay, que que-re dicir cousa. Nos textos españois escri-biuse xay que co tempo quedou nunha sim-ple x.

Os exipcios a chamaban aha, literalmente “montón”. Durante os séculos XV e XVI se lle chamou res en latín, chose en francés, cosa en italiano e coss en alemán. INFINITO MATEMÁTICO, ∞: O inventou o matemático inglés John Wallis arredor do 1655. Non se sabe certa-mente de onde procede. Uns din que é unha variante dun dos símbolos romanos para mil; outros aseguran que é unha variación sobre a omega minúscula e outros que é a curva lemniscata de Bernouilli. INTEGRAL, ∫: É a inicial da palabra latina summa, tráta-

se dunha “s” alongada, e fai referencia a que integral é a suma das áreas dun conxunto de rectángulos cuxas alturas veñen dadas polos valores dunha función e cuxas bases teñen lonxitudes infinitesimais. Este símbolo (∫)

débese a Leibtniz, coinventor do cálculo. PERTENZA: Foi utilizada por primeira vez por Peano no 1895. É unha letra grega épsilon estilizada. O elemento que se escrebe á súa esquerda é o que pertence ao con-xunto da dereita. Ten un gran parecido co símbolo do euro, e isto débese a que este último tamén provén da épsilon grega. PRODUTO CONTINUO: A letra pi minúscula foi utilizada por Ruffini para indicar factoriais. Co tempo este uso pasou á pi maiúscula (Π).

En 1812, Gauss iniciou o uso da maiúscu-la, Π, para indicar produtos continuos. SECCIÓN ÁUREA: O uso desta letra propúxose a finais do século XX. E a letra phi (φ) inicial do nome do escultor Fidias, quen utilizou con frecuencia a

sección áurea nas súas obras. RAÍZ: Christoph Rudolff foi quen intro-duxo este signo matemático no 1525 (√).

Euler conxeturou no 1775 que se tra-taba dunha forma estilizada da letra r, inicial do termo latino radix, “radical”. Aínda que tamén existe outra teoría, que di que o signo actual evolucionou a partir dun punto ao que posterior-mente se lle engadiu un trazo oblicuo na dirección do radicando. SUMATORIO, ∑: O uso da sigma grega maiúscula débe-se a Euler, quen empezou a usala no 1755 coas seguin-tes palabras: “ summan incabimus signo ∑”. Está claro que ao ser sigma a letra grega equivalente a “s” de suma está na orixe da súa elección.

Marta Sobrino Gosenje, 1º Bach. A

ORTOGRAFÍA MATEMÁTICA

• Os símbolos das unidades son entidades matemáticas e non abreviaturas. Polo tanto, non van seguidos dun punto, agás ao final dunha frase, nin se usa o plural, pois os nomes non son entidade matemáticas.

• Non se permite empregar abreviaturas para os sím-bolos e nomes das unidades, coma seg (por s ou se-gundo), mm cadr. (por mm2 ou milímetro cadrado), cc

(por cm3 ou centímetro cúbico)… • O valor numérico precede sempre á unidade e

sempre deixa un espazo entre o número e a uni-dade. As únicas excepcións a esta regra son os sím-bolos de unidade de grao, minuto e o segundo de án-gulo plano: °, ′ e ″.

• O símbolo utilizado para separar a parte enteira da

A ortografía é o conxunto de normas que regulan a escritura. É a parte da gramática normativa encargada de establecer as

regras que regulan o correcto uso das palabras e dos signos de puntuación.

Existen certos usos non lingüísticos dos signos de puntuación, referidos a notacións ou expresións maiormente científicas e téc-

nicas, como podemos atopar nas matemáticas. O Real Decreto 2032/2009, de 30 de decembro, polo que se

establecen as unidades legais de medida veu a dar un pouco de claridade, sobre todo no capítulo III: Regras de escritura dos símbolos e nomes das unidades.

Vexamos algunhas destas regras:


súa parte decimal denomínase “separador decimal”. O símbolo do separador decimal é a coma, na propia liña de escritura. Se o número está comprendido en-tre -1 e +1, o separador decimal vai sempre precedido dun cero.

• Os números con moitas cifras pódense repartir en grupos de tres cifras separadas por un espazo, a fin de facilitar a lectura. Estes grupos non se separan nunca por puntos nin comas. Nos números dunha tá-boa, o formato non debe variar na mesma columna.

• A multiplicación débese indicar mediante un espazo ou punto centrado a media altura (·). A división indi-case mediante unha liña horizontal, unha barra obli-cua (/), ou mediante expoñentes negativos. Cando se combinan varios símbolos de unidades, hai que ter coidado para evitar toda ambigüidade, por exemplo utilizando corchetes ou parénteses, ou ex-poñentes negativos. Nunha expresión dada sen parén-teses, non se debe utilizar máis dunha barra oblicua, para evitar ambigüidades.

NORMAS TIPOGRÁFICAS MÁIS USUAIS

• Os signos de por cen (%) e de por mil (‰) non deben levar espazo respecto ó número que os antecede:

30%, 30‰ • O signo de graos (º), ao falar de temperatura, coloca-

rase xunto á C de centígrados e separado da cifra: 21 ºC, 30 ºC

• Non se deben colocar nunca dous signos xuntos, te-ñen que estar separados por un paréntese:

2 ·(-3) • Se ó finalizar unha liña deixamos unha expresión sen

rematar, debemos colocar un signo ao final da devan-dito liña. Ese mesmo signo será o pri-meiro que colocaremos na seguinte liña para continuar a operación:

• Na expresión numérica do tempo, o punto separa as horas dos minutos: 21.25 h, 13.30 h. Tamén poden empregarse os dous puntos: 21:25 h, 13:30 h.

• Cando indica a multiplicación de dúas cantidades ou expresións, ten que colocarse sempre a media altura:

6 . 7 = 42; 2 . (x + y) = 2x + 2y • Este uso alterna co símbolo tradicional en forma de

aspa. Tamén pode prescindirse deste signo para indi-car o produto de dúas expresións: x = 2 . y = 2y.

• Nos números negativos non debe de haber separación entre o signo menos e o número: -3,65, -8,12, etc.

• O numerador e o denominador deben atoparse á mes-ma distancia da liña de fracción e centrados estar centrados respecto á liña de fracción:

• A liña de fracción ten que ter máis lonxitude, tanto á esquerda como á dereita, do espazo que ocupa o nú-mero.

• Se a fracción é negativa, o signo negativo pode ir tan-to diante da liña de fracción como do numerador. As fracciones poden escribirse tanto en horizontal como en vertical.

• Se a fracción vai entre un texto e é vertical, a liña de

fracción ten que atoparse á metade da liña do texto:

NAS POTENCIAS

• O expoñente é sempre de menor tamaño que a base: 4,17 3 8,98 . 10 4

• O expoñente non pode ir pegado á base: 2 3, 5 4 • A parte máis alta do expoñente sobrepasa á base:

O expoñente pode ser unha operación: 2 (5/4) · (2/3) Se o expoñente é unha fracción, a liña da fracción debe aliñarse co extremo superior da base:

NAS RAÍCES • O símbolo da raíz debe ser sobrepasar ao último nú-

mero que vai dentro da raíz: • O índice da raíz debe ir na abertura do símbolo da

raíz:

Se o radicando é unha fracción, o símbolo de raíz de-be chegar hasta o final do denominador:

NAS OPERACIÓNS

• Ten que haber un espazo entre o número e o signo: x2 – 4x + 2

• Se hai un paréntese, non hai espazo entre este signo e o número ou outro signo, e este debe abrirse e pe-charse: (-5,32 . 7x2 . 3x)

• Nas ecuacións, se existe un produto, nunca se pon o signo de multiplicación entre o número e a variable:

0,5x 48(y - 2) Tampouco se existen varias variables: 4xyz

Adriana Vega Álvarez, 1º Bach. A

1235

1224

1220

129

235

43

=+−=

=+−

937 −x

45

43− 43

−43−

24 yx +

( )219−y

2 3x

x+4

5 43 +x

325

+−

xx

Ano V. Boletín nº 45 Depósito legal: C 2766-2006 Setembro, 2010


A Universidade da Coruña investiu doutora honoris causa á matemática coruñesa María Wonenburger no acto de inau-guración do curso 2010-11, que abriu a tamén matemática, Ana Tarrío Tobar.

A Universidade premia a gran aportación ao mundo da álxebra a esta matemática que xa recibira o Premio "Muller C ienc ia-Arte" da Un ivers idade da Coruña .

O Premio María Wonenburger, creado pola Xunta de Galicia, premia ás mulleres galegas que destacan na Ciencia e na Tecnoloxía.

MARÍA WONENBURGER: DOUTORA HONORIS CAUSA POLA UNIVERSIDADE DA CORUÑA

Foto

da

Voz

de G

alic

ia

O pasado sábado, 18 de setembro, inaugurouse un novo curso ESTALMAT e foi presentada a nova promoción que permanecerá dous cursos académicos. A mesa presidencial estivo formada, entre outros, por:

D. Juan J. Casares Long, Reitor da USC D. Amable Liñán Martínez, Director de ESTALMAT Dna. Victoria Otero Espinar, Decana de Mat. (USC) D. Juan M. Viaño Rey, Presidente Estalmat-Galicia

INAUGURACIÓN DO CURSO EN ESTALAMAT Presentada unha nova promoción

O IES DE MUGARDOS ESTREA RELOXO DE SOL

O IES de Mugardos inaugurará proximamente un reloxo de sol, deseñado polo profesor italiano de Cien-cias e Matemáticas, Alberto Cintio, grande estudioso da Astronomía. Será o terceiro reloxo desta zona, xa que, reloxos similares pódense observar no IES Elviña (A Coruña) e na igrexa de Ares (na foto). Este reloxo presenta dúas hipérboles (unha para o verán e outra para inverno) que corresponden ás trayec-torias das sombras proxectas por un gnomon durante estas estacións. A liña recta do reloxo corresponde á traxectoria nos equinoccios (21 de marzo e 21 de se-tembro, xeneralmente). Alberto Cintio é un profesor e sacerdote italiano que mantivo intercambios escolares (Proxecto Comenius) con IES Elviña.

Tetractis 45 18 Setembro, 2010

CARDIOIDE Recibe o seu nome debido á súa peculiar forma que recorda á dun cora-zón. A súa definición matemática di: é aquela curva descrita por un punto P dunha circunferencia de raio a que roda por fóra dunha circunferencia do mesmo radio . A súa ecuación xenérica ven dada pola expresión :

(x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)

CATENARIA Esta curva é a que describe un cable col-gante suxeito polos extremos, coma os empregados polas compañías eléctricas para levar a corrente de alta tensión entre as centrais eléctricas e os centros de con-sumo. É unha curva moi importante tanto na física como nas matemáticas. Outro dos seus usos vese reflectido na arte, como por exemplo, na utilización de arcos cate-

narios invertidos que gardan un sorprendente equilibrio, Na Sagrada Familia de Antonio Gaudí. A súa ecuación ven definida por:

CICLOIDE Curva que describe a posición dun punto nunha circunferencia can-do esta se fai rodar ó longo dunha liña recta. Cando este punto coincide de novo con eixe de coordenadas, a curva repítese de xeito cíclico, de aí o seu nome. As súas ecuacións paramétricas son :

ELIPSE É unha das chamadas curvas cónicas, xa que procede da intersección dun plano cunha superficie cónica, de xeito oblicuo, cortando todas as rectas xeneratrices e sen pasar polo vértice do cono. Esta curva pechada posúe dous focos no seu interior, de xeito que se cumpre

que a suma dos raiovectores (distancia dun punto ó foco) é cons-tante e igual á lonxitude do eixo ma-ior da elipse. Consiste na traxectoria que describen os planetas no seu desprazamento, e empré-gase tamén nunha serie de elementos máis ou menos cotiáns: corda do xardiñeiro...

Iván García Vázquez


PARÁBOLA É outra das curvas cónicas. Defínese como o lugar xeométrico dos puntos do plano que

equidistan dun punto fixo chamado foco e dunha recta fixa chamada directriz. No punto medio de este punto e esta recta fixos, atópase o seu vértice, punto de inter-sección da curva co seu eixo. A súa ecuación ven dada pola expresión : y = ax²+bx+c É unha curva moi útil empregada tanto na astronomía con algunhas traxectorias dos corpos celestes como nas ante-nas receptoras de sinais débiles (debido a que ten a capa-cidade de concentrar o sinal nun punto, o foco, e facela así máis perceptible). Doutra banda, é interesante saber que todo corpo describe unha traxectoria parabólica ó ser lanzado ó aire (a auga dunha fonte...).

HIPÉRBOLE A última das curvas cónicas. Aparece en moitas das situa-cións reais como o rexistro acústico que deixa un avión supersónico que voa paralelamente coa superficie terres-tre, ou a intersección da parede co cono de luz que emana dunha lámpada de mesa. Defínese como o lugar xeométrico dos puntos para os cales a diferenza dos raiovectores é constante e igual ó seu eixo real. As asíntotas, son as rec-tas tanxentes a esta curva no infinito.

ESPIRAIS

Unha espiral é unha liña curva xerada por un punto que se vai alonxando progresivamente do centro á vez que xira arredor del.

Espiral de Cornu o Clotoide Curva utilizada para o trazado

de vías de comunicación

Espiral de Arquímedes

Espiral logarítmica

Espiral áurea o de Durero


XEOMETRÍA DE PAPEL: A ESPIRAL DE PAXARIÑAS Alicia Pedreira Mengotti

Formatos DIN (A3, A4, A5, A6,…)

Cada un é a metade do anterior 2Area(AUTV) = Área (ABCD)

MATERIAL

8 cadrados cos lados en progresión xeométrica de razón

1, , 2, 2 , 4, 4 , 8, 8

Para lograr estas proporcións, partimos de folios de diferentes cores, 1 con formato DIN A3, co que facemos o cadrado maior, e 7 DIN A4, que imos cortando sucesivamente á metade e formamos os cadradiños desas propor-cións. As áreas dos cadrados tamen formarán progresión xeométrica de razón r=2, e dicir a progresión das áreas será:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.

DIAGRAMA DA PAXARIÑA

A Estatística é unha ferramenta básica que forma parte indiscutible da cultura media do cidadán, xa que non se pode comprender axeitadamente o mundo ac-tual sen habilidades mínimas de razoamen-to en condicións de incerteza. É tamén un instrumento imprescindible na investiga-ción científica, na que o método estatísti-co forma parte esencial da contrastación e validación do avance do coñecemento. www.sgapeio.es/dia_mundial.html

Nacións Unidas declarou o 20 de outubro de 2010 (20-10-2010) o día Mundial da Estatística que SGAPEIO (Sociedade ga-lega para a promoción da estatística e da investigación de operacións) celebra cunha programación de actividades que podes consultar na súa páxina web

Ano V. Boletín nº 46 Depósito legal: C 2766-2006 Outubro, 2010


DÍA MUNDIAL DA ESTATÍSTICA

AGAPEMA, ENCIGA, APTEGA, IGA-CIENCIA, A Coordinadora Galega de Equipos de Normalización e Dinamiza-ción Lingüística (ENDL) súmanse á pro-posta de celebrar o 4 de novembro de 2010 como o Día da Ciencia en Galego, que vai estar dedicado a Ramón María Aller, Afonso X e James Clerk Maxwell.

www.cienciaengalego.org

DÍA DA CIENCIA EN GALEGO: 4 DE NOVEMBRO

UNHA ACTIVIDADE A REALIZAR TODOS OS CENTROS GALEGOS: Construír e elevar un papaventos, estudar o seu funcionamento e a súa historia.

PARÁMETROS ESTATÍSTICOS COS CATRO MODELOS DE CALCULADORA QUE UTILIZAN OS NOSOS ALUMNOS.

En páxinas centrais...

OBXECTOS MATEMÁTICOS COTIÁS Nova sección en Tetractis

Abrimos unha nova sección en Te-tractis co obxectivo de estimular a observación das propiedades mate-máticas dos obxectos que podemos atopar no noso contorno: no fogar, no deseño urbano e industrial, na arquitectura, na arte, na nature-za...Comezamos con estes seis obxectos que podes observar no car-tel que anuncia a actividade.

Que propiedades matemáticas podes observar neles?

Participa e deixa a túa proposta en: www.tetractismonelos.blogspot.com/2010/10/

obxectos-matematicas-cotias.html Tamén podes propoñer outros obxectos.

Un obxecto do noso contorno: A PONTE DO PEDRIDO

Consta de 13 arcos (10+3) que teñen por curva directriz a cuártica que se pode observar á marxe e un arco central atiranta-do coa curva directriz parabólica. Consulta este artigo no blogue Tetractis.

Tetractis 46 22 Outubro, 2010

Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetros estadísti-cos son: • MODE SD: MODE · • Borrar datos anteriores: SAC (SHIFT AC) • Introducir datos:

b) DATOS TABULADOS: Introducir os datos, na seguinte

orde:

1x3 [DATA], 2x4 [DATA], …, 5x2 [DATA]

xi 1 2 3 4 5

fi 3 4 5 1 2

• EXTRAER DATOS: Nº de datos (n): SHIFT 6 Media aritmética: SHIFT 7 Desviación típica: SHIFT 8 Σxi SHIFT 5 Σxi 2 SHIFT 4

Se te equivocas ao introducir datos deberás pulsar DEL: SHIFT M+

PARÁMETROS ESTATÍSTICOS EN CATRO

a) DATOS SEN TABULAR:

9 3 7 8 3 6

9 [DATA], 3 [DATA], …, 6 [DATA]


9 3 7 8 3 6

9 [DT], 3 [DT], …, 6 [DT]

b) DATOS TABULADOS: Introducir os datos, na seguinte

orde:

1 SHIFT ; 3 [DT], …, 5 SIFTH ; 2 [DT]

Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetros estadísti-cos son: • MODE SD: MODE MODE 1 (noutros modelos similares:MODE 2) • Borrar datos anteriores: SHIFT [Scl] = • Introducir datos:

xi 1 2 3 4 5

fi 3 4 5 1 2

• EXTRAER DATOS:

x : SHIFT 1 Σxi: RCL B Fx: SHIFT 2 Σxi 2 : RCL A n: RCL C

Se te equivocas ao introducir datos deberás pulsar: SHIFT CL

X

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

FREQ

3

4

5

1

2


MODELOS DE CALCULADORAS CASIO


9 3 7 8 3 6

9 [DT], aparece na pantalla n=1 3 [DT], “ “ n=2 …, … 6 [DT] “ “ n=5

b) DATOS TABULADOS:

1 [DT] ⇓ x1 = 1 ⇓ Freq1 = 1 3 = 2 [DT] ⇓ x2 = 2 ⇓ Freq2 = 1 4 = …, … 5 [DT] ⇓ x5= 5 ⇓ Freq5 = 1 2 =

Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetros estadísti-cos son: • MODE SD: MODE MODE 1 (noutros modelos similares:MODE 2) • Borrar datos anteriores: SHIFT CLR 1(Scl) = AC • Introducir datos:

xi 1 2 3 4 5

fi 3 4 5 1 2

• EXTRAER DATOS:

SHIFTH 1 (S-SUM) SHIFT 2 (S-VAR)

1 : Σxi 2 1 : x 2 : Σxi 2 : Fx 3 : n 3 : desviación típica mostral

a) DATOS SEN TABULAR: AC SHIFT SETUP ⇓ 3

Frecuency? 2:OFF 9 3 7 8 3

Para acceder á táboa: SHIFT 1 2 (Data)

b) DATOS TABULADOS: AC SHIFT SETUP ⇓ 3

Frecuency? 1:ON Para acceder á táboa:

SHIFT 1 2 (Data)

Os pasos necesarios que temos que dar para calcular parámetros estadísti-cos son: • MODE STAT: MODE 2 1 (1-VAR)

• EXTRAER DATOS: SHIFT 1

4 : Sum 5: Var 1: Σxi 2 2: Σxi 1: n 2: x 3: Fx

X

1 9

2 3

3 7

4 8

5 3

xi 1 2 3 4 5

fi 3 4 5 1 2


INSTITUTO GALEGO DE ESTATÍSTICA (IGE) www.ige.eu

A proveitando o Día Mundial da Estatística, declarado pola Organización de Nacións Unidas para o 20 de outubro de 2010, podemos visitar á páxina web do Instituto Galego de Estatística (IGE) onde poderemos consultar ou baixar anua-rios coma: Datos estatísticos básicos de Galicia 2010, Galicia en cifras 2008 e outros; tamén po-deremos consultar información estatística da so-ciedade galega en varios campos coma: vivenda, educa-ción, sanidade, ocio…

Un apartado importante da páxina web é o Portal Educativo onde poderemos consultar unidades didácti-cas coma: Porcentaxes e taxas, Probabilidade, Estatísti-

ca descritiva, Series de tempo ou Regresión; ver o tipo de Representacións gráficas, ou visitar ao apartado de Estatística recreativa con curiosidades, chistes, verda-des ou mentiras da estatística e medir o grao de coñe-cemento respondendo a test de varios niveis.

Aquí podemos observar algúns ejemplos realizados na clase de Métodos Estatísticos, onde os alumnos realizan gráficos estatísticos a partires de datos recollidos na páxina web do IGE:

DATOS METEOROLÓGICOS EN SANTIAGO DE COMPOSTELA (Por Sabela Fernández)

EVOLUCIÓN DOS INMIGRANTES EXTRANXEIROS EN GALICIA (Mercedes Fdez. Marta)

IDADE MEDIA NO PRIMEIRO MATRIMONIO DE HOMES E MULLERES (Beatriz Fdez. Marta)

NACEMENTOS NA PROVINCIA DA CORUÑA, SEGUNDO SEXO (Cristian Ramos Lorenzo)

Ano V. Boletín nº 47 Depósito legal: C 2766-2006 Novembro, 2010


N unha partitura referida a unha obra musical podemos atopar máis matemáticas das que nos imaxinamos. Observemos estes penta‐gramas pertencentes a unha partitura para piano:

A simple vista, vemos que un pentagrama está formado por cinco seg‐mentos paralelos e dividido en compases por segmentos perpendicu‐lares a eles. Os compases son, por así dicilo, fraccións dun pentagrama. En música, a palabra compás ten dous significados. Un deles, é do que acabamos de falar, fraccións dun pentagrama. O outro, refírese a dous números enteiros que atopamos ao comezo dunha obra. O superior indica o numero de figuras que haberá en cada compás, e o inferior a que tipo de figuras nos referimos, xa que cada figura ten asignado un número. Nesta partitura que ten un compás que se le dous por catro, ten que haber dúas negras en cada compás (referíndonos a fracción

dun pentagrama). Todas as figuras teñen unha relación de equi‐valencia, como vemos na táboa da esquerda. Ao principio do penta‐grama, vemos o símbolo ♯, chamado sostido, que aumenta o 50% do ton das notas ás que afecte. Neste caso, afecta á nota fa, xa que está co‐

locado na liña onde se escribe esa nota. Pola contra, se houbera estou‐tro símbolo ♭, chamado bemol, reduciría o ton da nota nun 50%. Ta‐mén podemos colocar estes dous símbolos ao lado de calquera das notas que queiramos alterar.

No terceiro compás, usando a palabra compás como fracción do pentagrama, vemos unha negra que ten un puntiño. Este símbolo au‐menta a duración da figura nun 50%. Se tomamos n como valor da nota, poderiamos expresar matematicamente o seu valor final da se‐guinte maneira:

Valor da nota con puntiño=

Finalmente, nunha partitura para piano como esta, podemos ver

uns pequenos números encima de cada nota chamados dixitacións (algo terá que ver coa palabra díxito, que usamos para os número 0,1,2,3…), que indican o dedo con que se ten que executar a nota. Para as dúas mans, o polgar é o 1, o índice o 2, o corazón o 3, o anular o 4 e o mainiño o 5.

Elena López Serrapio, 3º ESO B

MATEMÁTICAS NOS OBXECTOS COTIÁS Matemáticas básicas no pentagrama.

Tetractis xa forma parte do Mapa MatemáTICo en Google Maps, unha rede de Blogues Educativos, Sitios Web, Páxinas de Departamentos Didácticos de Mate-máticas e Wikis dedicados á ÁREA DE MATEMÁTI-CAS.

1º ANIVERSARIO DO BLOGUE O vindeiro, 30 de novembro, o blogue cumplirá un ani-ño, e para celebralo planteámonos o obxectivo de pu-blicar unha entrada cada día deste mes.

¡Non perdas nin un só día! Tamén iniciamos novas seccións coma: • Calculadora. • Matemáticas nos obxectos cotiás. • Que curioso! • Recopilatorio de Tetractis en volumes. que poderás ver neste número de Tetractis. Aquí tes algunhas das entradas do mes:

TETRACTIS NA WIKIPEDIA GALEGA Tetractis xa ten unha entrada na wiki-pedia galega (Galipedia) que podes ver no enderezo:

http://gl.wikipedia.org/wiki/Tetractis

MAPA MATEMÁTICO

A SAGRADA FAMILIA: MARABILLOSA XEOMETRÍA

Antonio Gaudí proxectou a Sagrada Familia combi-nando formas xeométricas, elixidas polas súas cuali-dades estruturais, lumínicas, acústicas...: para iso uti-lizou cuádricas (hiperboloides, paraboloides e elipsoi-des), helicodes e conoides.

O feito de deseñalas co-ma superficies regradas faci-lita a súa cons-trucción.

^

^

^ ^

Tetractis 47 26 Novembro, 2010

VARIABLES ESTATÍSTICAS BIDIMENSIONAIS: REGRESIÓN LINEAR

Este modelo de calculadora só traballa con variables estatísticas

unidimensionais e non permite calcular o coeficiente de correlación

ou o de regresión.

Tratamos de calcular o coefi-ciente de correlación, o coefi-ciente de regresión, a recta de regresión e estimar valores na distribución bidimensional que aparece á marxe.

xi yi

1 20

2 22

3 21

4 24

5 26

• MODE MODE 2 1 (Regresión Linear) • SHIFT SCL = (Borrado de memoria) • Intoducir datos: 1 , 20 DT 2 , 22 DT 3 , 21 DT 4 , 24 DT 5 , 26 DT Os elementos necesarios son: (coeficiente de correlación) r: SHIFT r A: SHIFT A (coeficente de regresión) B: SHIFT B

A recta de regresión de y sobre x será: y = A + Bx

A calculadora permite facer estimacións, tanto de valores de x, coma de valores de y:

Ŷ (3,5), 3.5 SHIFT Ŷ

x (25), 25 SHIFT x E calcular outros parámetros: • x, σx, y, σy (con SHIFT e 1, 2, 4 e 5) • Σx2 (RCL A), Σx (RCL B), • Σy2 (RCL D), Σy (RCL E), • Σxy (RCL F)

• MODE MODE 2 1 (Regresión Linear) • SHIFT CLR 1(Scl) = (Borrado de memoria) • Intoducir datos: 1 , 20 DT aparece n = 1 2 , 22 DT “ n = 2 3 , 21 DT “ n = 3 4 , 24 DT “ n = 4 5 , 26 DT “ n = 5 Os elementos necesarios son: A: SHIFT S-VAR ⇒ ⇒ 1 B: SHIFT S-VAR ⇒ ⇒ 2 r: SHIFT S-VAR ⇒ ⇒ 3


A calculadora permite facer estimacións, tanto de valores de x, coma de valores de y: Ŷ(3,5), 3.5 SHIFT S-VAR ⇒ ⇒ ⇒ 2

x (25), 25 SHIFT S-VAR ⇒ ⇒ ⇒ 1 E calcular outros parámetros: • x, σx, y, σy (con SHIFT e S-VAR) • Σx2 , Σx , n SHIFT S-SUM 1, 2 ou 3 • Σy2 , Σy, Σxy SHIFT S-SUM ⇒ 1, 2 ou 3

• STAT: MODE 2 2 (Regresión Linear) • Introducir datos: SHIFT 1 2(Data) • Acceso a parámetros: SHIFT 1 7(REG) A: 1. Ordenda na orixe da recta de regresión B: 2. Coeficiente de regresión de y sobre x r: 3. Coeficiente de correlación


A calculadora permite facer estimacións, tanto de valores de x, coma de valores de y: Ŷ(3,5), 3.5 SHIFT 1 7(REG) 5

x (25), 25 SHIFT 1 7(REG) 4 E calcular outros parámetros: • n, x, σx, y, σy SHIFT 1 5(VAR) • Σx2 , Σx , Σy2 , Σy, Σxy SHIFT 1 4(SUM)

x y

1 20

2 22

3 21

4 24

5 26

RELOXOS MATEMÁTICOS PARA TODOS

...para os calculadores ...para os radiáns ...para os trigonométricos ...para a cuadratura do triángulo

...para os dixitais ...para os múltiplos de 7 ...para os funcionais ...para os nove-adictos

...para os primos ...para os cartesianos ...para os enrolados con Arquímedes ...para os sesaxesimais

...para os binarios ...para os matediversos ...para outros matediversos ...para os que abandoan o xiz

...para os complexos ...para os euleriáns ...para os radicais ...para os fotógrafos

A taracea ou marquetería é una técnica artesanal empregada no re-vestimento de pavimentos, paredes, mobles, esculturas e obxectos ar-tísticos. Para elaboralas utilízanse pezas de distintos materiais (madeiras, metais...). Elabóranse incrustando pequenas pezas destes materiais nomeados nun fondo maci-zo co fin de crear un deseño deco-rativo. Pódense facer en pedra du-ra, en madeira, en xeso, en metais...

A taracea mais utilizada consiste en incrustar na madeira ou no metal materiais como o marfil, Carei, co-bre ou a propia madeira. O efecto de contraste depende da cor e da textura dos materiais utilizados. Por exemplo, as madeiras exóticas (a caoba e o ébano), ou as combina-cións de marfil e madeiras colorea-das, permiten deseños de gran bele-za e finura.

Polo xeral a taracea utilizouse para decorar mobles, instrumentos musicais e pequenos obxectos de madeira. Encontramos un exemplo de taracea no mobiliario chino da dinastía Ming (1368-1644). En Euro-pa a taracea empregouse sobre to-do nos séculos XVI e XVII.

FRA GIOVANNI GIOCONDO Giovanni Giocondo naceu en Verona (norte de Italia) en 1433 e faleceu en 1515. Foi arquitecto, arqueólogo e estudoso da idade antiga clásica. Ingresou na Orden Dominicana a idade de dezaoito anos, e conver-teuse nun máis dos moitos membros desta orde que foron pioneiros do Renacemento. Sen embargo, poste-

riormente fíxose franciscano. Co-mezou a súa carreira como profesor de latín e grego en Verona onde tivo como alumno Xulio César Escalígero.

Frade, arqueólogo e moi bo no debuxo, visitou Roma onde debuxou os edificios da antigüidade, escribiu a historia dos seus grandes monu-mentos e completou moitas inscri-cións deterioradas. Estimulou o estudio clásico a través de colec-cións de antigos manuscritos, un dos cales, terminado en 1492, regaloullo a Lorenzo de Medicís. Pronto volveu a súa cidade natal, onde construíu pontes e proxectou fortificacións para Treviso, facendo de arquitecto

e de inxenieiro e incluso de director a pé de obra de seus proxectos.

AS SÚAS TARACEAS Son mosaicos feitos de anacos

de madeira con incrustacións. Trá-tase dun arte que alcanzou o seu esplendor no norte de Italia no sé-culo XV e principios do XVI.

Abaixo preséntanse cinco taraceas de Fra Giovanni, elaboradas arredor de 1520. Unhas atópanse no mosteiro de Monte Olivetto Maggiore e outras na igrexa de Santa María,

Verona Hai que ter en conta que as tara-

ceas son paneis planos. A aparición das portas do armario abertas son un tipo de efecto da súa perspecti-va maxistral.

Para a construción da taracea, empregáronse debuxos como mode-los para cortar moitas pezas de ma-deira (tal vez un millar). A madeira das pezas cortadas pégase a outra madeira e vernízase.

As diferentes cores proporcio-nan matices diferentes. As veces aplícase calor para que a madeira ofreza unha gama mais ampla de tonalidades.

Conteñen debuxos feitos por Leonardo da Vinci para a obra ’A divina proporción’ de Luca Paccioli e aparecen: aproximacións poliédri-cas á esfera, icosaedro, icosaedro truncado, mazzochio, cuboctaedro, poliedros estrelados...

TARACEAS DE FRA GIOVANNI Taracea na Alhambra

Mazzochio é un poliedro que se pode inscribir nun toro; é similar a un sombreiro florentino do renacemento.

Javier Goyanes Souto. 1º Bach. B

Ano V. Boletín nº 48 Depósito legal: C 2766-2006 Decembro, 2010


CONCURSOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Xa están convocados algúns dos concur-sos de resolución de problemas nos que participan os nosos alumnos:

OLIMPÍADA MATEMÁTICA PARA ALUMNOS DE BACHARELATO

21 de xaneiro de 2011

CANGURO MATEMÁTICO 17 de marzo de 2011

OPEN MATEMÁTICO Comezará o 17 de xaneiro e desenvolve-rase durante 7 xornadas (a 1ª durará dúas semanas, as cinco seguintes, unha semana e a 7ª será unha concentración nun centro sen determinar). O tema deste será:

Poesía Visual e Matemáticas.

X ANIVERSARIO DE AGAPEMA

O pasado xoves, 16 de decembro, celebrouse o X Aniversario da funda-ción de AGAPEMA, e a súa delegación coruñesa celebrouno cunha charla do profesor e cofundador, Manuel Pazos Crespo (Coque), baixo o título:

Aprender e ensinar: dúas caras dun mesmo oficio Ao finalizar o acto, a se-cretaria da Delegación de zona de Agapema e profe-sora de matemáticas do IES Monelos, Carmen Peña-maría Ramón (Miti) , entre-gou a Coque un agasallo, o cono de Apolonio, similar ao que aparece na película Agora.

O Instituto GeoGebra de Galicia forma parte da Aso-ciación Galega de Profesorado de Educación Matemáti-ca (AGAPEMA).

O Presidente proposto para o Instituto GeoGebra de Galicia é o profe-sor Enrique de la Torre Fernández, Profesor Titular de Educación Ma-temática na Universidade da Coruña e Delegado de AGAPEMA-Coruña. Algúns obxectivos do Instituto GeoGebra de Galicia son: • A difusión do GeoGebra. • A organización de cursos para ensinar o uso

do GeoGebra na clase e adestrar novos usua-rios e futuros formadores.

• A organización de encontros e seminarios para presentar, compartir e discutir o uso do GeoGebra.

INSTITUTO GEOGEBRA DE GALICIA (IGG) O documento de constitución foi aprobado o 23 de novembro

Publicados no blogue dous novos carteis de:

OBXECTOS MATEMÁTICOS COTIÁS

Non te perdas a nova sección:

MENTIRAS E MATEMÁTICAS

Tetractis 48 30 Decembro, 2010

ABELLAS E MATEMÁTICAS

AS ABELLAS E O PROBLEMA ISOPERIMÉTRICO

A s abellas, cando gardan o mel, teñen que resolver varios problemas; precisan gardar o mel en celas indivi-duais, de tal maneira que formen un mosaico sen ocos nin saíntes entre as celas, xa que hai que aproveitar o espazo ao máximo. So poderían facelo con triángulos, cadrados e hexágonos. ¿Por que elixiron entón os hexá-gonos, se son máis difíciles de construír?

A resposta é un problema isoperimétrico. Pappus de Alexandría demostrou que, entre todos os polígonos regulares co mesmo perímetro, collen máis área aqueles que teñan maior número de lados. Por iso, a figura que colle maior área para un perímetro determinado é o círculo, que posúe un número infinito de lados, pero non poden usar os círculos porque lles quedarían moitos ocos por cubrir, e terían que usar círculos de diferen-tes tamaños. Por iso as abellas constrúen as súas celas en forma hexagonal, xa que, gastando a mesma cantida-de de cera nas celas, conseguen maior superficie para gardar o seu mel.

Xa no libro “A orixe das especies”, escrito por Charles Darwin e publicado en 1859, facíase mención ao fenómeno coñecido como “problema isoperimétrico” aplicado ás abellas.

A resposta a que as abellas constrúan as celas en hexágonos ten que ver coa selección natural e co pro-blema isoperimétrico. Este problema di que de todos os polígonos de igual perímetro, o que ocupa máis superfi-cie é o círculo. Pero con círculos non podemos recubrir o plano, quedarían moitos ocos sen cubrir, e terían que

usarse diferentes tamaños de círculos para aproximar-nos a un plano case cuberto. Se quixéramos unha solu-ción efectiva e o máis sinxela posible, deberíamos utili-zar todas as figuras iguais e regulares como son os triángulos, cadrados, rectángulos o hexágono. Pero de estas figuras, a igualdade de perímetro, a que ocupa maior área é o hexágono, que é precisamente a figura que usan as abellas.

Usando o hexágono, as abellas conseguen, cun míni-mo gasto de cera, un máximo almacenamento do mel.

Os enxames que construían os seus paneis con celas

hexagonais tiñan vantaxe fronte aos que non os cons-truían así, pois cunha mínima produción de cera podían almacenar unha gran cantidade de mel para alimentarse no inverno. De este modo, aqueles enxames que desen-volveron a variación que consiste en construír as celas hexagonais poderían sobrevivir en maior medida fronte aos que non a desenvolveron e terminaron por impoñer-se aos outros. Isto foise amplificando ao longo dos sé-culos e quedou gravado no código xenético das abellas.

“Se a abella desaparecera da superficie da terra, ao ser humano so lle quedarían catro anos de vida: sen abellas non hai polinización, nin herba, nin animais, nin homes...”

Albert Einstein

Triángulo Cadrado Hexágono

Lado 4 u. 3 u. 2 u.

Perímetro 12 u. 12 u. 12 u.

Área 6,93 u2 9 u2 10,392 u2


A SÚA COMUNICACIÓN MEDIANTE A DANZA

As abellas poden avisar ao resto do enxame acerca da presenza de alimento e da súa dirección. O sistema que utilizan é a danza: una serie de movementos do cor-po da abella emisora que son captados polas antenas das outras. A danza adquire dúas formas: unha circular (se a fonte de alimento se atopa a menos de 50 m) e outra, en forma de oito, que tamén indica a dirección, se o alimento se acha máis lonxe.

A SUCESIÓN DE FIBONACCI NAS ABELLAS

As abellas tamén teñen relación coas series de Fi-bonacci: se observamos as celas hexagonais dunha cor-tiza e se coloca a unha abella nunha calquera delas, e se lle permite alimentar á larva, supoñendo que continuará sempre pola cela contigua da dereita, veremos que hai so unha ruta posible para a seguinte cela; dous cara a segunda, tres cara a terceira, cinco cara a cuarta, oito rutas posibles cara a quinta, etcétera.

Na sucesión de Fibonacci cada termo obtense su-mando os dous termos anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ... o termo xeral, FN, da serie de Fibonacci ven dada pola expresión: e é sorprendente na medida en que nela figura o ter-mo: que é, nin máis nin menos, que Φ = 1, 61803..., o chamado número áureo, o número máxico por excelencia, medida da beleza e patrón do crecemento en moitas das es-tructuras dos seres vivos.

O código da ascendencia da abella tamén ten rela-ción con esta sucesión, aparece na descrición da repro-ducción dunha poboación de abellas idealizadas, segun-do as regras seguintes:

• Se unha larva non é fecundada por un macho, tra-ma un varón.

• Se, sen embargo, un ovo foi fertilizado por un ma-cho, trama una femia.

Así, unha abella macho terá sempre unha nai, pero non pai, e unha abella femia terá pai e nai.

Se un remonta a ascendencia de calquera abella ma-cho (1 abella), terá unha nai (1 abella); á súa vez, esta femia tiña pai e nai (2 abellas); a femia tiña, de novo, dous pais, un macho e unha femia, e o macho tiña unha nai (3 abellas). E así sucesivamente, tal e como descre-be o seguinte gráfico:

O número de ancestros será: 1, 2, 3, 5, 8 ...

Esta é, desde logo, unha idealización que non descrebe realmente os ancestros da abella.

O PROBLEMA DO VIAXANTE RESOLTO POLAS ABELLAS

Científicos británicos descubriron que as abellas son capaces de realizar a ruta máis curta posible entre as flores incluso se, nun experimento, se cambian de orde. Ao elixir a ruta máis curta e eficaz, son capaces de resolver un complexo e famoso problema matemáti-co coñecido como o problema do viaxante de comer-cio, que un ordenador pode tardar varios días en resol-ver.

Sampedro Herranz Javier 1º Bach. B

DANZA CIRCULAR DAS OBREIRAS DANZA, EN OITO, DAS OBREIRAS

5

3

2

1

1


XEOMETRÍA DE PAPEL: CALENDARIO 2011-DODECAEDRO RÓMBICO Alicia Pedreira Mengotti

PASOS:

1. Dobrar cada folla ó longo da mediana, e cortar. Temos 12 rectángulos DIN A5, en cada un deles hai un rombo no centro cun mes impresora.

2. Marcar o punto medio dos dous lados maiores e pregar os dous lados menores sobre a mediana, e abrir.

3. Levar cada vértice do rectángu-lo sobre o pé da mediana situa-da sobre o lado oposto ó mesmo vértice, pregar e abrir.

4. Cambiar de val a monte a meta-de superior dereita e a metade inferior esquerda das pregadu-ras paralelas á mediana (fig. 7).

5. Pechamos o módulo colléndoo polos vértices superior dereito e inferior esquerdo e aplastan-do un contra outro para pechar a peza sobre si mesma.

6. Encaixamos os tres primeiros módulos insertando unha aleta de cada peza no bolsillo das ou-tras, continuando dese modo ata encaixalas todas.

MATERIAL

6 follas tamaño DIN A4 de dife-rentes cores, en cada unha hai im-presos dous meses do ano 2010.

Imprímeas no blogue:


DESELVOLVEMENTO

12 veces, despois...

Se queres facelo en galego, podes acudir á seguinte páxina web para descargar as follas:

http://www.ii.uib.no/~arntzen/kalender/

Terás que ter en conta que saen catro follas por A4, e sairá máis pequeno.

Ano V. Boletín nº 49 Depósito legal: C 2766-2006 Xaneiro, 2011


INTYPEDIA ENCICLOPEDIA DA SEGURIDADE DA INFORMACIÓN

Intypedia é un proxecto da rede CRIPTORED, un espazo virtual sobre o mundo da seguridade.

Consiste nunha colección de vídeos presentados por dous avatares: Alicia e Bernardo. Están publicados: 1. Historia da criptografía e o seu desenvolvemento en Europa. 2. Sistemas de cifra con clave secreta. 3. Sistemas de cifra con cla´ve pública. Pódelos ver nos enderezos

http://www.intypedia.com/

http://tetractismonelos.blogspot.com/search/label/Intypedia

Juan Jacobo Durán Loriga, matemático coru-ñés, naceu na Coruña o 17 de xuño de 1854 e finou tamén nesta cidade o 3 de decembro de 1911.

Este ano celebrarase o seu centenario, e por tal motivo, recuperamos a exposición realizada, no ano 2000, por Santiago López Arca e Gonzalo Temperán Becerra, coordinadores, no seu momen-to, do Club Matemático Durán Loriga con sede no IES Ramón Otero Pedrayo.

Ademais, TETRACTIS tapou un oco que había na Galipedia e publicou a entrada dedicada a este matemático: Juan Jacobo Durán Loriga.

CENTENARIO DA MORTE DE JUAN JACOBO DURÁN LORIGA

http://tetractismonelos.blogspot.com/2011/01/juan-jacobo-duran-loriga.html

DATAS DAS ACTIVIDADES DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

OLIMPÍADA MATEMÁTICA PARA ALUMNOS DE BACHARELATO

Venres, 21 de xaneiro de 2011

1ª xornada: 31 de xaneiro 2ª xornada: 7 de febreiro 3ª xornada: 14 de febreiro 4ª xornada: 21 de febreiro 5ª xornada: 28 de febreiro 6ª xornada: 7 de marzo 7ª xornada: 10/11 marzo

Xoves, 17 de marzo

XIX Rallye Matemático

Luns, 28 de marzo

OLIMPÍADA GALEGA DE 2º ESO

Fase de zona: 8 de abril Fase galega: 20 de maio (Vigo)

Fase nacional: 21-30 de xuño (Vigo)

Tetractis 49 34 Xaneiro, 2011

U n mineral que ten os átomos ou os ións, polos que está composto, ordenados no espazo mediante redes tridimensionais que se repiten denominase material cristalino. A estrutura que se repite é a cela unidade. Un mineral formase na natureza por procesos inorgáni-cos que determinan as súas propiedades. Para que un mineral poida adquirir a estrutura cristalina debe ter tempo, espazo e repouso.

Tempo: se a solidificación do mineral se produce rapi-damente os átomos ou os ións non se poderán dispoñer de maneira organizada. Espazo: se hai limitacións espaciais produciranse inter-ferencias pola formación simultánea de cristais próxi-mos e ningún deles adquirira forma xeométrica. Repouso: un ambiente axitado dificulta a formación das estruturas cristalinas.

XEOMETRÍA MINERAL Un mineral é unha substancia natural e inorgánica que posúe unha composición química definida, unha estrutura determi-nada (que pode ser cristalina ou amorfa), unha natureza sóli-da (na maior parte dos casos, excepto o mercurio e a auga) e unhas propiedades físicas características.

Estrutura cristalina (Aragonita)

Mineral con estrutura amorfa (Ópalo)

SISTEMAS CRISTALINOS

SISTEMA CÚBICO

SISTEMA TETRAGONAL

Os sistemas cristalinos son os diferentes grupos nos que se poden clasificar os minerais segundo a relación que man-teñen entre si os eixos e os ángulos da súa célula cristalina.

Hai sete sistemas cristalinos que son:

SISTEMA CRISTALINO EIXOS ÁNGULOS ENTRE EIXOS

Cúbico a=b=c α=β=γ=90º

Tetragonal a=b≠c α=β=γ=90º

Hexagonal a=b≠c α=β=90º; γ=120º

Romboédrico (ou trigonal) a=b=c α=β=γ≠90º

Rómbico (ou ortorrómbico) a≠b≠c α=β=γ=90º

Monoclínico a≠b≠c α=γ=90º; β>90º

Triclínico a≠b≠c α≠β≠γ≠90º

Os átomos forman un cubo polo que os eixos teñen to-dos a mesma lonxitude, e os ángulos que forman entre eles son todos de 90 graos.

Pirita Galena Sal xema

Os átomos forman un prisma rectan-gular regular polo que os eixos que forman as bases da figura son iguais entre eles, pero diferentes dos ei-xos que forman as caras laterais. Os ángulos que se forman son iguais entre si, e son de 90 graos. Circón Casiterita


SISTEMA HEXAGONAL

SISTEMA TRIGONAL

SISTEMA ORTORRÓMBICO

SISTEMA MONOCLÍNICO

SISTEMA TRICLÍNICO

Iria Martínez Amado, 1º Bach. B

Os átomos forman un prisma hexa-gonal regular polo que os eixos que forman as bases son iguais entre eles, pero diferentes dos eixos que forman as caras laterais. Os ángu-los formados entre os eixos con de 90 e de 120 graos. Berilo Turmalina

Os átomos estrutúranse for-mando figuras coas caras en forma de romboides, trape-cios ou triángulos escalenos. Os ángulos que se forman son de 90 graos.

Cuarzo Siderita

Os átomos for-man un prisma no que as caras son rombos.

Os ángulos for-mados son todos de 90 graos.

Xofre Olivino BaritinaCuarzo

Neste sistema os eixos son iguais dous a dous e os ángulos que for-man son de 90 graos.

Neste sistema os ei-xos son desiguais e os ángulos resultantes non son de 90 graos.

Ortoclasa Biotita

Cianita Calcantita


A SIMETRÍA DAS LETRAS E DAS PALABRAS

P alíndromo é unha palabra ou conxunto de palabras que poden lerse tanto o dereito como ao revés.

Hai nomes propios palindrómicos como Ana. Tamén se lles chama palabras ou frases simétricas,

aínda que se trata dun tipo de simetría un tanto espe-cial. Algo moi diferente ao que sucede cos ambigramas, nos que si se dan auténticas simetrías.

Ambigrama é a castelanización que se fixo da pala-bra anglosaxona ambigram, que foi introducida por pri-meira vez por Douglas Hofstadter, profesor de Cien-cias do Coñecemento e Ciencias Computacionais da Uni-versidade de Indiana. A palabra AMA, por exemplo, considérase ambigramática porque presenta simetría axial respecto a un eixe vertical que divide a letra M en dúas partes iguais, o que permite lela se se sitúa an-te un espello.

A palabra OSO, en

cambio ten simetría cen-tral pode lerse si se xira 180 º.

A palabra COCO é ou-tro tipo diferente de am-bigrama; presenta sime-tría axial respecto a un eixe horizontal e pode lerse igualmente si se xira e ademais se coloca ante un espello.

Nos antigos paquetes de cigarrillos Camel podíase

ler no lateral da caixa a seguinte inscrición: CHOICE QUALITY. Resultaba sorprendente que cando o paque-te se deixaba sobre unha superficie reflíctante, un es-pello ou unha superficie pulida, a palabra CHOICE podía lerse perfectamente, mentres ca outra era ilexible. E é ca primeira era un ambigrama, mentres ca segunda non.

Baseándose nas propiedades ambigramáticas dalgunhas letras pódese construír un curioso xoguete visual de efecto máxico.

DINOSAUROS E MATEMÁTICAS

O s dinosauros tiñan o lombo che-pudo e isto era porque soportaban o seu enorme peso cunha espiña dor-sal que seguía a mesma curva, a única capaz de aguantar tales corpos, grazas a un principio arquitectó-nico.

Os primeiros matemáticos que abordaron o tema dos

dinosauros supuxeron que a curva era unha parábola. Huygens, aos 17 anos, demostrou que non o era, pero non encontrou a ecuación da catenaria.

A ecuación foi obtida por Gottfried Leibniz, Christia-an Huygens e Johann Bernoulli en 1691, en resposta ao desafío planeado por Jakob Bernoulli.

Huygens foi o primeiro en utilizar o termo catenaria nunha carta dirixida a Leibniz en 1690, e David Gregory

escribiu, ese mesmo ano, un tratado sobre a curva. Denomínase catenaria á curva que describe unha cadea suspendida entre dous puntos si-tuados á mesma altura.

DIFERENZAS ENTRE ESPIRAL E HÉLICE

I maxe dunha es-piral arquimediana (negra), xunto cunha h é l i c e c ó n i c a (vermella) e unha hélice cilíndrica (verde). No caso da hélice cónica, pode entenderse como unha espiral tridimensional.

Espiral e hélice son dous termos que se confunden facilmente. Unha espiral soe ser plana (como o surco dun disco de vinilo). Unha hélice sempre é tridimensional: é unha liña curva continua, con pendente finita e non nula, que xira ao redor dun cilindro, un cono ou unha esfera,

MATEMÁTICAS NA VIDA COTIÁ José Manuel González Díaz , 3ºESO A

chega ao número 50

¿Podes identificar os sistemas de numeración seguintes, nos que está representado

o número 50?

Ano V. Boletín nº 50 Depósito legal: C 2766-2006 Febreiro, 2011


∩∩∩∩∩ 110010 <

32 50 L

10 五十 H

Ano 2011 • 2011 é un número primo. • Neste século haberá 14

anos primos. • 2011, xa é o segundo

primo do século, cal foi o primeiro?, cal será o último? • Haberá 3 pares de pri-

mos xemelgos, cales? • 2011 é un ano de moitos

uns, xa que ten as se-guintes datas:

1/1/11 11/1/11 1/11/11 11/1/11

• Xaneiro foi un mes moi especial, xa que tivo:

5 sábados, 5 domingos,5 luns E esto só ocorre cada 823 anos.

• 2011 é a suma de once primos consecutivos: 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211

CONSULTA NO BLOGUE...

Celebrarase o sábado, 21 de maio de 2011, no Pazo de Congresos e Exposicións da Coru-ña (PALEXCO).

A Feira Matemática está organizada por AGAPEMA Coruña e celébrase para conme-morar o Día Escolar das Matemáticas, que este ano leva o lema:

AS MATEMÁTICAS DA QUÍMICA Máis información na páxina web:

www.agapemacoruna.com

¡ Participa !

V FEIRA MATEMÁTICA

Tetractis 50 38 Febreiro, 2011

NÚMEROS METÁLICOS

c onxunto de números que teñen a propiedade, entre outra serie de características comúns, de que todos le-van nomes de metais. O máis famoso de estes números é o Número de ouro, utilizado como base de proporcións para compoñer música, esculturas, pinturas e edificios. Outros números metálicos son: o número de prata, o de cobre, o de bronce, o de platino, o número de níquel, ...

As aplicacións destes parentes do número de ouro, usa-dos por diversos físicos nas súas investigacións punta, ao tratar de sistematizar o comportamento de sistemas dinámicos non lineares, analizando a transición da perio-dicidade á cuasi-periodicidade. Pero tamén Jay Kap-praff recorre, en particular, o número de prata para describir e explicar o sistema romano de proporcións, facendo uso da propiedade matemática que é común a todos os membros desta notable familia.

A familia dos números metálicos é un conxunto infinito de números irracionais cua-dráticos positivos, descuberta pola matemá-tica arxentina Vera W. de Spinadel (1929 –) en 1994. Teñen varias características comúns:

A) Son as solucións positivas das ecuacións cuadráticas do tipo, onde tanto p como q son números naturais. As súas solucións positivas: se lles coñece por números metálicos denotados por

B) Estas ecuacións van asociadas as sucesións de Fibonacci xeneralizadas, que satisfacen rela-cións do tipo: C) Os números metálicos son límite de suce-sións de Fibonacci xeneralizadas secundarias.

D) Todos os números metálicos pódesen representar en forma de fracción continua.

02 =−− qpxx

242 qpp ++

qpσ

02 =−− qpxx

nnn qGpGG += ++ 12

p = 1 p = 2 p = 3

q = 1

Número de ouro N = F1

1 =

Número de prata 2 = F1

2 = Número de bronce F1

3 = FBr =

q = 2

Número de cobre F2

1 = Fcu = 2

Número de pratino F2

2 = FPt = 1 + √3

q = 3 Número de niquel F3

1 = FNi =

NÚMEROS METÁLICOS

251+

2131+

2133 +21+

RECTÁNGULO DIN A RECTÁNGULO ÁUREO RECTÁNGULO DE PRATA

Estefanía Campos Fernández, 1º Bach. B


NÚMERO DE OURO O Partenón: As dimensións e proporcións utilizadas na fachada non foron resultado da casualidade, senón que os gregos pensaban que eran moito máis belas e armoniosas se quedaban axustadas a un número coñecido na actuali-dade como Razón Áurea ou Número de Ouro. O Número de Ouro está presente en multitude de obras de arte e ele-mentos arquitectónicos, nos que produce unha sensación de armonía linear, de equilibrio na desigualdade, máis satisfactorio que o de calquera outra combinación (Leonardo da Vinci).

NÚMERO DE PRATA

A proporción baseada no número de prata (1 + √2) estivo presente na Proporción romana de arquitectura: no deseño a todas as escalas, desde as dimensións glo-bais dos patios ata os edificios romanos, nas habitacións dentro de cada edificio e nos tapices colgados nas paredes. Tamén se atopou nas proporcións musicais. Un exemplo é a cidade-porto romana de Ostia e resultados similares atopáronse no lousado do baptistrio de San Giovanni (Florencia) e na capela dos Medici.

Por outra banda, algúns números metálicos aparecen relacionados con proporcións en polígonos estrelados, o que lles da unha relación intensa coa arte e a arquitectura:

CUASI-CRISTAIS: SIMETRÍAS PROHIBIDAS

Entre os numerosos problemas físicos, químicos, biolóxicos e ecolóxicos nos que aparecen os integrantes da familia de números metálicos, un dos máis notables é o da estrutura dun cuasi-cristal. En 1984, Schechtman rexistrando esquemas de difracción de electróns nunha aleaxe de Aluminio e Manganeso rapidamente arre-friada, encontraron ao cortar con planos en determinados ángulos, simetrías pen-tagonais de orde 5, totalmente imposibles nun cristal xa que non é posible teselar o plano con pentágonos regulares. A estas configuracións, que posúen una estrutu-ra espacial cuasi-periódica, se lles chamou "cuasi-cristais". Un cuasi-cristal ten a estrutura dunha teselación de Penrose (á marxe).

APLICACIÓNS DOS NÚMEROS METÁLICOS

NÚMERO ÁUREO—PENTÁGONO NÚMERO DE PRATA—OCTÓGONO NÚMERO DE PRATINO—HEXÁGONO

NÚMERO PLÁSTICO O número plástico é un termo acuñado polo ar-

quitecto e monxe beneditino Hans Dom van de Laan e refírese a un sistema de proporcións que xeneran unha orde de tipos de magnitudes, que fan relacións de ex-tensión plástica entre si, na consecución entre elemen-tos dun espazo arquitectónico.

O número plástico é a única solución real da ecuación:

O seu valor é

= 1,324718...


CAIXÓN DOS PROBLEMAS XXIII OPEN MATEMÁTICO 2011

Canguromatemático

Olimpiadamatemática

A 23ª edición do Open Matemático comezou o 10 de xaneiro de 2011 e xa vamos pola 4ª xornada; aquí podes ver unha selección dos problemas resoltos ata agora. Recorda que podes ver todos os problemas no blogue:


PROBLEMA 1 (XORNADA 1): OLLO AVIZOR

Observa con sumo detenimento: que letra falta no círculo valeiro para completar debidamente a serie?

PROBLEMA 9 (XORNADA 3): ESTRELATO

Que superficie cubre esta estrela tomando coma unidade de área o pequeno triángulo equilátero que queda como oco entre as tiras feitas coas etiquetas de Coca-Cola?

PROBLEMA 5-6 (XORNADA 2): UNS E MÁIS UNS

Recorda que nun cripotograma cada letra representa unha cifra e que dúas letras distintas non represen-tan á mesma cifra. Os seguintes criptogramas teñen varias solucións, pero so queremos que aches, en ca-da caso, dúas, aquelas que fan que o resultado da suma planteada sexa o menor e o maior posible.

PROBLEMA 2 (XORNADA 1): CAIXAS DE REGALOS

Téñense trinta e unha caixas, cada unha con un ou máis regalos. Entre elas hai vintecinco que teñen dous ou máis regalos, dezasete que teñen tres ou máis regalos, quince que teñen catro ou máis regalos, nove que teñen cinco ou máis regalos e seis que teñen seis regalos. Sábese que ningunha caixa ten máis de seis regalos. Cantos regalos hai en total?

PROBLEMA 4 (XORNADA 1): RODA CADRADA

Canto miden os ángulos do triángulo coloreado que forman dous raios e o borde da roda cadrada do gran poeta catalán? Aquí podes ver un bosquexo da roda cadrada inscrita nunha circunferencia, cos raios prolongados e o triángulo coloreado para axudarte na resposta.

PROBLEMA 8 (XORNADA 3): CÁLCULO TEDIOSO

A ver se eres quen de atopar elegantemente o resul-tado desta inmensa operación:

Colectivo Frontera

Tetractis 41_50

Documents

Transcript of Tetractis 41_50