Tetractis 11_20

O SÁBADO, 29 DE SETEMBRO, TIVO LUGAR NA FACULTADE DE MATEMÁTICAS DE

SANTIAGO A INAUGURACIÓN DO CURSO COA PRESENTACIÓN DOS 25 ALUMNOS SELECCIONADOS E DO EQUIPO DOCENTE. POSTERIORMENTE OS ALUMNOS ACUDIRON A UN CAM-PAMENTO EN SADA.

www.estalmatgalicia.com

Ano II. Boletín nº 11 Setembro, 2007 Depósito legal: C 2766-2006

O pasado día 18 de abril a Real Academia Española de Ciencias Exactas, Físi-

cas y Naturais aprobou o Proxecto ESTALMAT GALICIA, pilotado pola Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Com-postela, coa colaboración dun grupo entusiasta de profesores do ensino medio e das tres universidades galegas.

O proxecto ESTALMAT ten por obxectivo detectar, orientar e es-timular de maneira continuada o talento matemático de estudiantes que están en 6º curso de Educación Primaria.

ESTALMAT Galicia está presi-dido polo Decano da Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela, D. Juan Manuel Viaño Rey e a Vicepresiden-cia e Coordinadora Xeral está a cargo de Dona Mercedes Feijoo Díaz, Directora do IES Elviña da Coruña.

No proxecto Estalmat Galicia existen 3 comités (Organizador, Académico e Consultivo) e un equi-po docente formado por 25 profe-sores e profesoras do ensino se-cundario e universitario de Galicia (pódese consultar a súa composi-ción na páxina web).

Na foto, os 200 alumnos de 6º de primaria que se presentaron, o 2 de xuño, ás probas de selección na Facultade de Matemáticas.

O curso consta de 23 sesións (de 3 horas de duración)que se desenvolverán os sábados na Facul-tade de Matemáticas e cada sesión será impartida por dous profesores do equipo docente.

Setembro, 2007 tetractis 11 2

O método de Montecarlo é un método non de-terminista (aleatorio) usado para aproximar expresións matemáticas moi custosas de ava-

liar con exactitude. O nome provén do “Casino de Mon-tecarlo (Mónaco)” por ser a ruleta un bo exemplo de xerador de números aleatorios. Comezou a desenvol-verse no ano 1944 para a creación da bomba atómica durante a segunda guerra mundial.

O método consiste en realizar un experimento aleatorio un número moi grande de veces, xa que a fre-cuencia coa que ocorre un suceso ten por límite a pro-babilidade do suceso.

Para o cálculo do número π teremos en conta:

♦ A área do círculo é A = π r2, e se consideramos un círculo de raio r = 1 teriamos que a área do círculo sería A = π. Sen embargo, no desenvolvemento do método utilizaremos o cuadrante (cuarta parte) do círculo, polo que a súa área será Ac = π/ 4

Este cuadrante estará inscrito nun cadrdado de área 1, polo que a relación entre áreas será π/4

♦ O método consiste en encher o o cadrado de pun-tos (coma se lanzaramos dardo a unha diana) de maneira que se o número de puntos e moi grande, a probabilidade de caer dentro do círculo será a re-lación de áreas, é dicir, π/ 4 .

♦ O valor de π será 4 veces a relación de áreas.

SIMULACIÓN COA FOLLA DE CÁLCULO

♦ Consideramos un cadrado de raio r=1 construído

cun sistema rectangular de coordenadas (x,y) no que se vai a inscribir o cuadrante de círculo.

♦ As coordenadas (x,y) son xeradas por unha función aleatoria da folla de cálculo con valores comprendi-dos entre 0 e 1.

♦ Fórmase unha táboa onde aparece: o número de tirada, a coordenada x, a coordenada y e unha fun-ción lóxica que serve para avaliar se o punto está ou non dentro do cuadrante.

♦ Esta función asigna un valor 1 se o punto de coor-denadas (x,y) está dentro do cuadrante de círculo; é dicir, se cumpre a condición de pertenza ao inter-ior do círculo: x2 + y2≤ 1 e asigna un valor 0 senón cumpre a condición.

Por exemplo, na folla de cálculo podería ser: SI(B2^2+C2^2 <= 1;1;0)

♦ Na táboa totalizariamos o número de tiradas N e o número de ‘1’ (n).

Neste exemplo, os resultados foron: Nº de tiradas N= 20000 Nº de puntos interiores ao cuadrante n = 15744 Probabilidade de caer dentro do círculo = 15744/20000 = 0,7872 Valor de π obtidο = 4•0,7872 = 3,1488

Enrique Currás Piñeiro

1º Bach. C (2006-07)

MÉTODO DE MONTECARLO PARA O CÁLCULO DO NÚMERO Π SIMULACIÓN CUNHA FOLLA DE CÁLCULO

M ont e Car l o

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

X

Num Coord X Coord Y Dentro (S/N)

1 0,80938399 0,72527152 0 2 0,93140531 0,1391148 1 3 0,9751538 0,27703434 0 4 0,37890005 0,73828095 1 5 0,60270417 0,36923677 1 6 0,42773223 0,86546606 1 7 0,65010393 0,19017226 1 8 0,32552147 0,34031123 1 9 0,97092974 0,24161083 0 10 0,37945771 0,80374664 1

Tetractis 11 3

XEOMETRÍA DE PAPEL CAIXA

Material necesario: Dous papeis cadrados, un deles co lado un pouco maior ca o outro. Pasos:

Resolve as seguintes cuestións: 1. As dobreces do paso 1, forman un novo cadrado onde

os vértices son os puntos medios dos lados de partida. ¿Qué fracción representa a área do cadrado formado no paso 2 con respecto ao cadrado inicial?

2. Observa o rectángulo formado no paso 3, ¿que frac-ción representa a área deste rectángulo con respecto ao cadrado de partida?

3. A figura formada no paso 4 e un hexágono. ¿Canto miden os seus ángulos? ¿Cal é a fracción que repre-senta a súa área con respecto do cadrado inicial?

4. Se o cadrado orixinal ten 10 cm de lado. ¿Canto medi-rá o lado da base da caixa?, ¿e a súa altura?, ¿canto valerá a área da caixa?, ¿cal será o seu volume?

Alicia Pedreira Mengotti

1 3 2

5 4

8

6

9 10 11

CAIXÓN DOS PROBLEMAS

7

CUBO CORTADO a) Unindo os puntos medios das arestas dun cubo, como se ve na figura, obté-

ñense pirámides triangulares. Se construímos unha nova figura xeométrica sólida qui-tando estas pirámides, cantas caras, vértices e arestas ten o corpo resul-tante? Describe como chegaches ao resultado. b) Agora imos facer unha variación sobre o problema anterior. No canto de tomar os puntos medios, elixi-mos os puntos sobre as arestas e situados a un tercio de distancia dos vértices, resultando, ao unilos, un-has pirámides máis pequenas e que non se tocan en-tre elas. Se recortamos estas pirámides, cantas ca-ras, vértices e arestas ten a figura que resulta? Des-cribe como chegaches ao resultado. c) Se, en lugar dun cubo, consideramos o prisma hexagonal regular da figura (as bases son hexágonos regulares), e procedemos como no apartado a), can-tas caras, vértices e arestas ten o cor-po resultante? Describe como chega-ches ao resultado.

DADOS XIGANTES Temos 8 dados iguais coas caras nume-radas de 1 a 6. Cada un dos dados ten o desenvolvemento plano seguinte: Cos 8 dados construímos un cubo, que chamaremos “Gran Dado”. a) Se sumamos tódolos números que vemos nas 6 ca-ras do “Gran Dado”, cal é a suma máis grande que se pode obter? b) No dado pintado, a suma dos puntos de dúas caras opostas é sempre a mesma. Podemos construír un “Gran Dado” de maneira que, se miramos dúas caras opostas, a suma de tódolos puntos que hai nesas ca-ras sempre é a mesma? Describe como chegaches ao resultado. c) Podemos construír un “Gran Dado” de forma que a suma dos puntos que hai en cada unha das súas 6 ca-ras sexan os números consecutivos 19, 20, 21, 22, 23 e 24? Razoa a túa resposta. Agora temos 27 dados iguais coas caras numeradas de 1 a 6. Cos 27 dados construímos un cubo máis grande co anterior, ao que lle chamaremos “Mega Da-do”. d) Se sumamos tódolos números que vemos nas 6 ca-ras do “Mega Dado”, cal é a suma máis grande que se pode obter?

ESTALMAT, 2007

Canguromatemático

Olimpiadamatemática

Setembro, 2007

Ano II. Boletín nº 12 Outubro, 2007 Depósito legal: C 2766-2006

XEOMETRÍA DE PAPEL UN FRACTAL:

O TRIÁNGULO DE SIERPINSKI Para construír o modelo de papel do triángulo de Sierpinski, comezamos cunha folla de papel rectan-gular de dimensións 2x1 e dobrámola transversal-

mente. Dividimos o rectángulo ao longo da dobrez en dous partes iguais, temos así dous cadrados; facemos un corte de lonxitude a metade do que queda ata a outra beira.

1. Dobramos unha das metades para marcar a dobrez... 2. Unha vez marcada, metémolo cara dentro, quedándonos unha especie de esca-

leira de dous chanzos (pasos dunha escaleira). 3. En cada un dos chanzos, repetimos a operación: corte ao medio, marcar as

dobreces... 4. Metelos cara dentro. 5. E agora o mesmo con cada un dos 4 chanzos. corte ao medio,marcar as dobre-

ces... 6. Metémolos cara dentro, e temos unha escaleira de 8 chanzos. 7. Unha última vez, cada chanzo: corte ao medio. 8. Marcar cada chanzo. 9. Metelos cara dentro. 10. Tomamos outro rectángulo das mesmas dimensións noutra cor, pegamos tal

como vemos na figura as dúas caras. E xa tes o teu triángulo de Sierpinski para poñer en calquera recuncho. Un fractal é un obxecto xeométrico no que a estructura básica repítese a dife-rentes escalas. O termo foi proposto polo matemático Benoît Mandelbrot en 1975 e deriva do latín fractus, que significa quebrado ou fracturado. Os fractais po-den ser xerados por un proceso recursivo ou iterativo, capaz de producir estruc-turas auto-similares a calquera escala de observación.


1 2 3

4 5 6 7

8 9 10

ARTE CON NÚMEROS TOBIA RAVÀ (Pádua, 1959) é un artis-ta plástico que traballa en Venecia. Doutorado en Semioloxía da Arte po-la Univeridade de Boloña, utiliza o número coma base da súa pintura. Pódese ver a súa obra na páxina web:

www.tobiarava.com

Tetractis 12 6 Outubro, 2007

N ace, procedente dunha familia húngara, o 21 de Maio de 1471 e morre o 6

de Abril de 1528 na cidade libre Imperial de Nüremberg (agora en Alemaña). Foi educado na Lateins-chule en St. Lorenz e traballou no taller de seu pai aprendendo o ofi-cio de ourive e xoieiro. Á idade de 13 anos xa era un gran pintor, como se ve nun autorretrato que pintou nesa época.

No 1486 pasou a ser aprendiz de pintor e deseñador de gravados para Michael Wolgemut, o principal produtor de retablos. Tras un aprendizaxe de 4 anos xa aprendera todo o que podía de Wolgemut e alcanza-ra un nivel de calidade artística que ex-cedía ao do seu famoso mestre. Wolge-mut aconsellouno viaxar e así ampliar a súa experiencia doutros artistas.

Durero segue o seu consello e viaxa por varias cidades europeas, entre elas algunhas de Italia. Antes de partir a Italia casouse con Agnes Frey, a filla do erudito Hans Frey.

Durero tornou a Nuremberg en 1495 e aínda que non se encontrara cos principais matemáticos italianos nas sú-as viaxes, atopouse con Jacopo de Bar-

bari que lle falou da obra matemá-tica de Pacioli e da súa impor-tancia para a teoría da beleza e da arte. Tampouco se atopou con Leo-nardo da Vinci mentres estivo en Italia pero aprendeu a im-portancia que este artista lle daba as matemáticas. De volta a Nuremberg, Durero comezou un serio estudio das matemáticas. Desde aproximadamente o ano

1500 Durero mostrou a influencia da teoría matemáti-ca da proporción que continuou estudiando e empregan-do moito tempo.

Afírmase que no seu autorretrato con perruca fei-

to no 1500 utiliza a proporción áu-rea. Para o gravado Adán e Eva feito no 1504, Durero describe as intricadas construccións da regra e do compás que utilizou para cons-truír as figuras. Non foi só a teoría matemática da proporción a que influíu no arte da Durero neste período, senón tamén o seu dominio da perspectiva a través do estudio da xeometría . Sobre o 1508 comezou a reunir material para unha obra importan-te sobre as matemáticas e a súa

aplicación as artes. Esta obra nunca seria rematada pero Durero usou partes do material na obra publicada posteriormente.

Traballou para Maximiliano I desde aproxi-madamente 1512. Partiu para Antewerp o 15 de Xulio de 1520 coa súa muller e a súa criada a visitar o emperador Carlos V. Unha das razóns polas que quería viaxar a Holanda era que pensaba que a fillas de Maximiliano, xa falecido, tiña un libro de Jacopo de Barbari sobre a aplicación das matemáticas á arte. Tras tornar a Nuremberg, a saúde de Durero empeorou. Non diminuíu o seu traba-llo tanto nas matemáticas como na pintura, pero a maior parte do seu esforzo empre-gouna na súa obra Tratado sobre a pro-porción. Aínda que foi completada no 1523,

Durero comprendeu que requiría coñecementos mate-máticos que estaban bastante máis alá do que calquera lector podería esperar ter.

ALBERTO DURERO Alberto Durero foi o gran pintor e gravador alemán do Renacemento que no afán de superación estudiou a xeometría para apli-cala á pintura e chegoua a escribir tratados de xeometría e matemáticas, tratados sobre a proporcion humana, sendo un pre-cursor da xeometría proxectiva.

AUTORRETRATO, 1498 (DETALLE)

Tratado sobre a proporción

HOME PINTANDO LAUD


ALBERTO DURERO E AS MATEMÁTICAS

O tratado Unterweisung der Messung mit dem Zir-kel und Richtscheit foi o primeiro libro de matemáti-cas publicado en alemán, e sitúa a Durero como un dos máis importantes matemáticos do Renacemento.

O primeiro dos catro libros describe a construc-ción dun gran nú-mero de curvas: Espiral de Arquí-medes, Espiral equiangular ou Lo-garítmica, Concoi-de, Curvas de Con-cha (muschellini) de Durero, Epici-cloide, Epitrocoi-de, Hipocicloide, Hipotrocoide...

No segundo libro dou métodos exactos e aproximados para cons-truír polígonos regulares.

O terceiro libro considera as pirámides, cilindros e outros corpos sólidos. A segunda parte estudia os re-loxos de sol e outros instrumentos astronómicos. O último libro estudia os 5 sólidos platónicos e os sólidos semirregulares de Arquímedes. Tamén aparece a teoría sobre sombras e unha introducción á teoría da pers-pectiva.

A última obra mestra de Durero foi o seu Tratado sobre a proporción (Vier Bücher von menschlicher Pro-portion) que estaba na fase de probas na data da súa morte; onde comeza a estudiar a xeometría descritiva. O logro destacable de Durero estivo en que aplicando as matemáticas a arte, desenvolveu ideas fundamentais e importantes dentro das matemáticas mesmas.

Alberto Durero foi o que descubriu a espiral, ba-seada na sección áurea que, a súa vez, ten o seu princi-pio na serie de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

O famoso gravado Melancolía I do artista alemán,

representa un misterioso anxo desolado. Segundo unha das interpretacións máis famosas, é un autorretrato, que está esperando a que lle veña a inspiración. Está rodeado de obxectos matemáticos: un poliedro, unha esfera, un compás e un cadrado máxico na parede.

Neste cadrado, Durero usa, sen repeticións, tódolos números do 1 ó 16. As sumas verticais, horizontais e diagonais suman sempre ó mesmo número (34). Ade-mais hai outras combinacións de catro números que tamén suman 34; por exemplo, os catro números no centro e os catro dos vértices do cadrado. Nos dous cadros centrais da fila inferior podemos ler a data da obra: 1514. Para saber máis: http://ciencia.astroseti.org/matematicas/ articulo_4333_biografia_alberto_durero.htm

Laura Mella Balado Lucía Santos Dubra

1º Bach. C (Curso 2006-07)

ESTUDIO DA MUSCHELLINI

MELANCOLÍA I

ESPIRAL ÁUREA OU DE DURERO


CAIXÓN DOS PROBLEMAS NOVAS

Todos os números de

na páxina web do IES Monelos:

http://centros.edu.xunta.es/iesmonelos/tetractis.html

CONCURSO DE NARRACCIÓNS ESCOLARES CONCURSO DE RELATOS CURTOS

A Real Sociedade Matemática Española e ANA-YA convocan dous concursos: ♦ NARRACIÓNS ESCOLARES que consiste na pre-

sentación dun relato de ficción baseado nun resultado matemático, unha personaxe rela-cionada con esta ciencia ou unha situación onde afloran as matemáticas.

Poderán participan xoves entre 12-18 anos. ♦ RELATOS CURTOS, de tema libre, relacionado

coas matemáticas. Poderán participar persoas sen distinción de

idade. O prazo de entrega dos traballos remata o 31 de decembro de 2007.

Podes atopar máis información sobre as ca-racterísticas, formatos, extensión... na páxi-na web:

www.divulgamat.net

O XOGO DAS PEDRAS

Trátase dun xogo para dous xogadores, Ana e Pedro.Para xogar só se precisan unhas cantas pedras.

As regras son moi sinxelas: Cada xogador, na súa quen-da, pode coller 1 ou 2 pedras. Gaña o xogador que retira a última pedra que, evidentemente, pode ir acompañada. Pídese: 1. Se hai 5 pedras, encontra un modo de xogar de Ana de

maneira que, se ela é a primeira xogadora en sacar pe-dras, estea segura de gañar.

2. Se hai 20 pedras, encontra un modo de xogar de Ana de maneira que, se ela é a primeira xogadora en sacar pe-dras, estea segura de gañar.

3. Que pasa se no montón, ao comezar a xogar, hai 21 pe-dras? E se hai 22? E se, en xeral, hai un número calque-ra?

4. Que pasa se no montón hai 20 pedras pero, en vez de coller só 1 ou 2, pódense coller 1, 2 ou 3?

RECTÁNGULOS

Dispoñemos dunha cuadrícula na que temos debuxado un

cadrado de 8 x 8 (é dicir, de 8 unidades de lado). Na mes-ma cuadrícula recortamos, aparte, catro rectángulos de 3 x 5. a) Razoa debuxando como poderías cubrir parte do cadra-

do de 8 x 8 cos 4 rectángulos, sen que se superpoñan e sen necesidade de partilos.

b) Busca tódalas parellas de números naturais (a , b) que cumpran que a + b = 8 (como por exemplo (3 , 5)) e, en cada caso, explica como podes colocar os catro rectán-gulos de lados a e b sobre o cadrado de 8 x 8 sen que se superpoñan e sen necesidade de partilos.

c) Pensando na zona que queda por cubrir en cada caso, podes atopar algunha característica que cumpra a suma das áreas dos catro rectángulos respecto á área total do cadrado de 8 x 8?

d) Cres que se cumpriría a mesma propiedade no caso dun cadrado de 9 x 9 e os catro rectángulos de lados que sumen 9?

e) Sen debuxalos, explica con cantas parellas diferentes de números naturais (a , b) que sumen 99 poderías colo-car os catro rectángulos sobre un cadrado de 99 x 99, sen que se superpoñan e sen necesidade de partilos.

f) Pon un exemplo no que se vexa que non sempre é posible colocar catro rectángulos iguais sobre un cadrado (sen que se superpoñan e sen necesidade de partilos), aínda que a suma das áreas dos catro rectángulos sexa menor ca área do cadrado.

Estalmat, xuño 2007

Canguromatemático


Ano II. Boletín nº 13 Novembro, 2007 Depósito legal: C 2766-2006

CAIXA (PRISMA) HEXAGONAL

MATERIAL: 2 follas rectangulares • A folla é necesario dividila en sete partes; reco-

mendo dividila en oito partes e cortar unha. • Para a tapa seguimos os mesmos pasos pero coa

base ½ cm máis longa e con menos altura. DIAGRAMAS:

A base do prisma é un hexágono regular, que está formado por seis trián-gulos equiláteros, os ángulos do triángulo equilátero son de 60º . No trián-gulo ABC do paso 2, o ángulo B = 60º, pois o cos B = 1/2, xa que a hipote-nusa é dobre que o cateto.


Pintor canadense nacido en Toronto en 1959, e que recorda a Dalí ou M.C. Es-cher. Podes ver a súa obra en

www.sapergalleries.com/Gonsalves.html

ROB GONSALVES REALISMO MÁXICO

Tetractis 13 10 Novembro, 2007

O triángulo de Pascal, tamén coñecido como triángulo de Tartaglia, é un triángulo de núme-ros enteiros, infinito e simétrico cuxas sete

primeiras liñas están representadas na figura:

O Triángulo de Pascal debe o seu nome ao filósofo e matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) quen

estableceu as leis da teoría da probabili-dade, campo no que apareceu por primeira vez o "Triángulo de Pascal", e obtivo re-sultados moi importantes en xeometría, cálculo e álxebra. O de Tartaglia (1500-1557) ven porque este italiano foi un dos primeiros que o publicaron en Europa.

Mais, a súa orixe é moi anterior: algunhas das súas propiedades xa foron estudiadas polo matemático chi-no Yang Hui (século XIII), así como o persa Omar Khayyam (século XII).

CONSTRUCCIÓN

A súa estructura é xe-rada por dous números. O triángulo constrúese dende a cúspide cara abai-xo. O primeiro elemento é o número 1, formando a fila 0. A fila 1 está forma-do por dous elementos, ambos o número 1. A partir de aquí a construcción é: cada fila está formada por un elemento máis que a an-terior. O primeiro e o ultimo elemento de cada unha sempre será o numero 1, e cada elemento interior será o numero resultado de sumar os dous elementos que se sitúan enriba del e adxacentes na fila superior.

O triángulo ten un vínculo co álxebra elemental, as cifras 1 2 1 e 1 3 3 1 recordan as identidades:

(a + b)² = a²+ 2ab + b² (a + b)³ = a³+ 3a²b + 3ab²+ b³

Pois son os coeficientes dos seus monomios. Este pare-cido non é casual e xeneralízase a calquera potencia do binomio a + b.

TRIÁNGULO DE PASCAL E BINOMIO DE NEWTON

(a + b)n chámase binomio de Newton e garda unha rela-ción co triángulo de Pascal: “os coeficientes da fórmula

desenvolvida de (a + b)n están dados pola liña número n+1 do triángulo de Pascal (que empeza por 1 e n) ”. O único que se descoñece son os coeficientes akbn − k.

Por exemplo: Para (a+b) 4

Como o mostra a figura, o desenvolvemento de (a + b)4 consiste en facer o producto de (a+b) e (a + b)³. Como se pode comprobar na fórmula as potencias de a decrecen e as de b crecen. Se consideramos só os coeficientes, inscritos en sen-das caixas, obteremos a suma:

A suma consiste en engadir ao coeficiente o coeficien-te inmediatamente á súa dereita (ó 1 co 3, ó 3 co se-gundo 3, etc.). Isto é o que pasa no triángulo de Pascal: a simulación da multiplicación de (a+b)n, dunha liña á seguinte.

ALGUNHAS PROPIEDADES

A. Números poligonais

Mirando as diagonais observamos: ♦ As primeiras pola dereita e pola esquerda están

formadas por 1. ♦ As segundas son sucesións de números enteiros

naturais. ♦ As terceiras diagonais están formadas polos nú-

meros triangulares. ♦ Os números cadrados obtémolos tamén na terceira

diagonal, sumando dous números triangulares con-secutivos.

Polo método de recorrencia podemos construír todos os números poligonais.

TRIÁNGULO DE PASCAL OU TARTAGLIA

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

BLAISE PASCAL

TARTAGLIA

- a b

a a+b b

a 2a+b 2b+a b

a 3a+b 3a+3b 3b+a b

a 4a+b 6a+4b 4a+6b a+4b b

NÚMEROS CADRADOS NÚMEROS TRIANGULARES

Novembro, 2007 Tetractis 13 11

Os Pitagóricos descubriron os números poligonais, que son números enteiros cos que se poden formar fi-guras xeométricas.

Así construíron: • Os números triangulares (1, 3, 6, 10, 15, ...) son en-

teiros do tipo N = 1 + 2 + 3 + ... + n • Os números cadrados (1, 4, 9, 16, 25, ...) son entei-

ros do tipo N = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) • Os números pentagonais (1, 5, 12, 22, ...) son entei-

ros do tipo N = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2) • Os números hexagonais (1, 6, 15, 28, ...) son enteiros

do tipo N = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3) E así sucesivamente. En xeral, os números poligonais son enteiros do tipo

Para b=1 teremos números triangulares, para b=2 cadrados, para b=3 pentagonais...

B. Números primos

Se o primeiro elemento dunha fila é un número pri-mo (menos o 1), todos os números desa fila serán divi-sibles por el. Así, na fila do 7 os números: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 son múltiplos de 7. C. Suma de elementos dunha fila

A suma dos elementos de calquera fila é o resultado de elevar 2 ó número que define a esa fila:

2n

20 = 1 21 = 1+1 = 2 22 = 1+2+1 = 4 23 = 1+3+3+1 = 8 24 = 1+4+6+4+1 = 16

D. Potencias de 11

Se interpretamos cada fila como un único número, se a fila está formada por números dun so díxito, bas-taría con unilos).

No caso da fila 2 teremos: 1-2-1 ............................ 121 = 112 Cando os números da fila constan de más dun díxi-

to, repartense para formar o número final como se ob-serva no exemplo seguinte para a fila 5:

1-5-10-10-5-1 ........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1= = 1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 115

E. O pao de “hóckey”

Calquera diagonal que comece nun extremo do triángulo, da igual a lonxi-tude, cumpre que a suma dos número que a forman se atopen xusto debaixo do último deles:

F. Sucesión de Fibonacci

A serie de Fibonacci pode ser atopada tamén no triángulo de Pascal. Dividindo o mesmo segundo as liñas que mostramos no diagrama, os números atopados en-tre elas suman cada uno dos elementos desta sucesión:

G. Números combinatorios

Como última propiedade mencionar que os números do Triángulo de Pascal coinciden cos números combina-torios, que veremos, máis adiante, noutro número de TETRACTIS.

BIBLIOGRAFÍA http://www.estadisticaparatodos.es/taller/triangulo_pascal/triangulo.html http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal http://www.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/trianguloPascal/triangulo.htm http://gaussianos.com/el-triangulo-de-pascal-y-la-sucesion-de-fibonacci

Sabela Rodríguez Castaño, 1º Bach. B

Laura Seoane Santiso, 1º Bach. B

23 o número de Beckham

O número 23 é un núme-ro que, ultimamente, está a aparecer a

miúdo e que o xogador David Beckham puxo de moda ao elixilo coma dorsal da súa cami-seta nos equipos: Real Madrid e Los Angeles Galaxy; pero este número xa fora o da camiseta de Michael Jordan.

Agora aparece na película, estreada este ano, “El número 23”, que lle dou fama de número enig-mático; sobre todo, cando tamén aparece nas se-

guintes situacións: o ADN do ser humano ten 23 pares de cromosomas, a sangue tarda 23 segundo en circular polo corpo, o cromosoma 23 é o que deter-mina o xénero, o biorritmo do home ten 23 días... e así unha morea de situacións nas que aparece o número 23.

Sen embargo, fora destas casualidades, para nos vai a ser o primeiro número primo de dúas cifras que está formado por ci-fras consecutivas.

Pero, serás capaz de res-

ponder a estas cuestións:

a. Cantos números primos de dúas cifras con-secutivas hai?

b. E se consideramos as cifras en orde des-cendente, cantos haberá agora?

c. Poderán existir números primos de tres cifras consecutivas? (Unha pista: canto suman tres números consecutivos?)

d. Cantos números primos de catro cifras consecutivas hai? (¡É fácil de atopar!)

e. Investiga para un número de cifras igual a cinco, seis...

Gonzalo Temperán

Tetractis 13 12 Novembro, 2007

CAIXÓN DOS PROBLEMAS Canguro

matemático


C o gallo da celebración do 50 aniversario da creación da Licenciatura de Matemáticas na Universidade de Santiago de Compostela, durante o curso académico

2007/08, estase a elaborar un programa de actos para destacar e difundir a impor-tancia da matemática nos ámbitos social, científico e tecnolóxico, familiarizando a un público amplo con ferra-mentas e métodos matemáti-cos propios de diferentes áreas de coñecemento, necesarios para entender o mundo no que vivimos, dunha forma orixinal e pouco habitual, e esperamos que amena e interesante.

Como parte deste programa a actividade Matetodo Todoma-te consistirá nun conxunto de obradoiros, conferencias, proxección de películas e representacións teatrais. En resu-mo, actividades educativas, lúdicas, didácticas e de forma-ción dirixidas a un amplo abano de público.

Podes ver e baixar o programa de actividades deMatetodo Todomate na páxina web da Facultade de Matemáticas:

www.usc.es/mate/

ACTIVIDADES DO 50 ANIVERSARIO DA FACULTADE DE MATEMÁTICAS DE SANTIAGO

Ano II. Boletín nº 14 Decembro, 2007 Depósito legal: C 2766-2006

O Departamento de Matemáticas do IES Monelos e o boletín de divulgación matemática TETRACTIS convocan o I Certame de Mat-monólogos no que poderán participar todas aquelas persoas

que o desexen , sen límite de idade. Os participantes presentarán un guión

cunha extensión máxima de mil palabras en lingua galega ou castelá. O tema deberá estar relacionado coas matemáticas. Deberán pre-sentarse en formato DINA4, por unha cara, a dobre espazo, con corpo de letra de 12 puntos e encabezados polo título.

Estabelécense tres categorías nas que o xurado designará un/unha gañador/a por categoría:

♦ Alumnado de primaria o primeiro ciclo de secundaria. ♦ Alumnado de segundo ciclo de secundaria e bacharelato. ♦ Persoas que non pertenzan ao sistema educativo de secundaria

ou bacharelato. Haberá unha mención especial para o alumnado do IES Monelos.

O prazo de entrega dos relatos comeza o 14 de decembro e remata o 28 de marzo de 2008, ambos inclusive.

A temática pode versar sobre un matemático histórico, sobre o pro-fesor que che inspirou ou non, cando oíches a palabra logaritmo, sobre a regra de Ruffini, cando saen decimais nunha división ou calquera outra experiencia que tiveras relacionada coas matemáticas.

I CERTAME DE MAT-MONÓLOGOS

MAT-MONÓLOGO: Dise do xénero dramáti-co no que unha persoa reflexiona en voz alta facendo ver os seus pensamentos e emo-cións ao público, pero cunha temática rela-cionada coas matemáticas.

D entro do programa “Matemáticas e narrativa “, que o departamento de Matemáticas tenta desenvolver este

curso, vamos a ofrecer aos nosos alumnos un espectáculo de “MATEMAXIA” que presentan dous alumnos do centro, Karla e Luciano. Es-te espectáculo, que fixo o seu debut na pasa-da Feira Matemática ofrece actividades nas que as matemáticas son a base principal e serven para estimular a lectura do libro “Ernesto, el aprendiz de mago”.

O espectáculo ofrece actividades onde a álxebra, a construcción de dados, as propie-dades dos calendarios, propiedades de núme-ros, as potencias de 2... xogan un papel im-portante.

Ernesto, el aprendiz de mago

Autor: José Muñoz Santonja

Editorial: Nivola

Tetractis 14 14 Decembro, 2007

U n dos sistemas electorais máis utilizados en Europa e parte de América é o Método D’Hondt. Entre os seus inconvenientes está que

beneficia aos grandes partidos e adoita rematar coa instauración dun sistema bipartidista, que prexudica os partidos minorita-rios. Este é o sistema utilizado no no-so país, así é que os grandes partidos son dous, primeiro o PSOE e segundo o PP, seguidos doutros partidos con moitos menos escanos no Congreso dos Deputados, na Xunta, etc. Pero aínda que esto pareza unha desvanta-xe, tamén é unha vantaxe, xa que fo-menta a creación de gobernos esta-bles.

Outros sistemas electorais moi utilizados son o método Sainte-Laguë, ou método de Hamilton, dos que tamén falarei a continuación.

MÉTODO DE HAMILTON Creado por Alexander Hamilton, axudante de Geor-

ge Washington. Este método intenta repartir o número de representantes o máis axustado posible, para isto, asígnaselle a cada Estado a parte enteira da súa cota de votos (de 34,57 asígnaselle 34 representantes) seguin-do unha formula que divide os habitantes dun estado ou rexión entre o número total de habitantes do país e o resultado multiplícase polo número de representantes da cámara.

Ao calcular a cota de todas as rexións e facer as reparticións quedarán algúns escanos libres, que co-rresponden cos decimais ata agora excluídos, estes es-canos repartiranse en orde de maior a menor aos que teñen a parte decimal máis grande.

Este non é un sistema de reparto de votos, senón de reparto de escanos na cámara de representación territorial, no que os votos son os habitantes da rexión en cuestión.

MÉTODO D’HONDT Creouno o matemático belga Victor D’Hondt, para repartir os escanos dun par-lamento, aínda que tamén pode ser utiliza-do para facer reparticións proporcionais. Este é un método bastante imperfecto aínda que é o mais utilizado, por exemplo, no noso país, en Portugal, en Finlandia ou no Parlamento Europeo. Neste método as candidaturas que non acadaran un 3% dos votos emitidos non entran no reparto de escanos. Vémolo nas últimas eleccións municipais ao Concello da

Coruña, e polo cal daranos os resultados que xa sabe-mos, 11 edís do PSOE, 10 do PP e 6 do BNG.

O número de votantes nestas eleccións foi de 118647, pero non representarei a totalidade, xa que outros par-tidos votados coma o PG ou Esquerda Unida non obtive-ron ningún edil.

Contados xa todos os votos a cada partido, divíde-se cada un dos resultados entre o número de fila, por exemplo, na liña 2 o resultado total do PSOE dividirase entre 2, e na liña 3, resultado total entre 3, e así tan-tas veces coma se precise:

MATEMÁTICAS ELECTORALES A democracia é un sistema de organización estatal polo cal a soberanía da nación entrégaselle ó pobo, que elixe ós seus

representantes por sufraxio universal cada certo tempo. O que elixen os cidadáns é o número de representantes de cada par-tido participan na toma de decisións polas cales o país vaise dirixir dende ese momento. Pois ben, para repartir os escanos dun parlamento segundo o número de votos dun partido determinado, creáronse diversos métodos ou regras matemáticas, todas elas imperfectas e con unha serie de vantaxes e inconvenientes.

41285 37085 24355 20642 18542 12177

13761 12361 8118

10321 9271 6088

8257 7417 4871

6880 6180 4059

5897 5297 3479

5160 4635 3044

4587 4120 2706

4128 3708 2435

3753 3371 2214 3440 2852 2029

Decembro, 2007 Tetractis 14 15

Nas eleccións municipais deste ano o PSOE obtivo 41285 votos, o PP 37085 e o BNG 24355; foron os tres únicos partidos que conseguiron edís no Concello.

Ao ter feita a táboa asígnaselle un edil a cantidade de votos mais grande en cada recadro, facendo unha lec-tura de esquerda a dereita, e rematando cando a canti-dade de recadros contados chegue ó número de repre-sentantes da cámara.

O número total de edís no Concello de A Coruña é 27, Polo cal teríamos que contar ata 27 recadros na tá-boa anterior, así o PSdeG, conseguiu unha representa-ción no Concello de 11 edís, o Partido Popular de Galicia, 10 edís e o Bloque Nacionalista Galego, 6 edís (os que aparecen subliñados).

MÉTODO SAINTE-LAGUË O método Sainte-Laguë, tamén chamado, método da

media máis alta, ou método de Webster. Leva o nome do matemático francés André Sainte-Lagüe, e, ao igual co Método D’Hondt, forma parte dos métodos chamados “Métodos do Divisor”.

Imos a aplicar o Método Sainte-Lagüe a un exemplo irreal dunha votación. Habendo tres partidos: A, B e C, cada un deles obtiveron 30.000, 25.000 e 15.000 res-pectivamente, e temos que repartir os escanos dun par-lamento con 5 deputados. Pois, igual que no método D’Hondt facemos unha táboa, coa diferenza de que ago-ra os divisores son números impares, e se ten en conta o número de escano seguindo á formula seguinte a esta táboa.

Segundo este resultados, habería un empate entre os partidos A e B, os cales recibirían 2 escanos cada un, e 1 escano o partido C. Para saber máis:

• Matemáticas y sistemas electorales, Eugenio Hernández, UAM. www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ehernan/05UCM/Sistemas%

20electorales.doc

• “Matemáticas de la vida misma” de Fernando Corbalán

• http://es.wikipedia.org/

Zayen Fernández Vázquez 1º Bach. B

Nº DE ESCANO PARTIDO A PARTIDO B PARTIDO C

Nº DE VOTOS 30000 25000 15000

Escano 1 30000 25000 15000

Escano 2 10000 8333 5000

Escano 3 6000 5000 3000

Escano 4 4285 3571 2142

Escano 5 3333 2777 1666

XEOMETRÍA DE PAPEL

UNHA ESTRELA PARA O NADAL ESTRELA MODULAR DE 16 PUNTAS

Material: 16 cadrados. Diagramas:

Instruccións: 1. Dobrar á metade e abrir. 2. Levar os catro vértices ao longo da liña do cen-

tro, temos así un cadrado de área a metade do primitivo.

3. Levar dous lados contiguos sobre a diagonal co-mún (bisectrices).

4. Dobrar cara atrás a diagonal menor do cuadrilá-tero.

5. Dobrar o triángulo isósceles pola altura sinalada. 6. O módulo está rematado. Facer 15 módulos máis. 7. Montar introducindo as puntas nos petos late-

rais do módulo veciño. Repetir para os módulos restantes. 8. A estrela de 16 puntas xa está rematada.


Tetractis 14 16 Decembro, 2007


Anatoly Fomenko é profesor de topoloxía da Uni-versidade de Moscova e autor de debuxos con certo contido matemático. A súa obra pódese ver na páxina web: www.anatoly-fomenko.com.

A topoloxía é unha especialidade matemática que se interesa por conceptos coma proximidade, número de buratos, textura que presenta un obxecto, compara e clasifica obxectos e outros atributos.

ARTE MATEMÁTICO: ANATOLY FOMENKO

No cadro central aparece un prisma onde nas súas caras están representados dos nú-meros moi importantes na matemática.

Escrebe eses dous números. De que números se trata?

CANGURO M ATEMÁTICO

O debuxo mostra un cubo con arestas de lonxitude 12 cm. Unha formiga vai reco-rrendo a superficie do cubo desde A ata B

seguindo o camiño que se indica coa liña grosa. Cantos centímetros recorre a formiga? A) 40 cm B) 48 cm C) 50 cm D) 60 cm E) É imposible calculalo

Canguromatemático


O diagrama mostra o plano dunha habitación. As paredes adxacentes son perpendiculares entre

si. As letras a e b representan as di-mensións, en lonxitude, da habitación. Cal é a área da habitación? A ) B) C) D ) E)

)(2 abaab −+2)(3 abaa −+

ba23 2)(3 aaba +− ab3

Considera unha diana de dardos como se mostra na figura. A puntuación é inversamente proporcional á area de cada rexión. Se un impacto na rexión B supón obter 10 puntos, entón un impac-to na rexión C supón obter...

A) 5 puntos B) 8 puntos C) 16 puntos D) 20 puntos E) 24 puntos

No gráfico, as cinco circunferencias teñen o mesmo radio e tócanse como se ve nel. O cadrado ten os seus vér-tices nos centros das catro circunfe-rencias exteriores. A razón entre a

parte sombreada e a parte non sombreada das cinco circunferencias é...

A) 1:3 B) 1:4 C) 2:5 D) 2:3 E) 5:4

INSTRUMENTO ANTIGO DE CÁLCULO O MONO CALCULADOR

Esta monada (que resulta ser a tapadeira

dunha caixa metálica) calcula no rectángulo que ten nas mans o produto de dous números indicados cos pés.

Ademais, calcula o cadrado dun número que marca co pé dereito.

Ano II. Boletín nº 15 Xaneiro, 2008 Depósito legal: C 2766-2006

XEOMETRÍA DE PAPEL

ESTRELA MODULAR DE 5 PUNTAS Material: 5 cadrados de diferentes cores. Diagramas e montaxe:

1. Marcamos a diagonal, e as bisectrices de dous lados paralelos ca diagonal. Temos así un paralelogramo (pasos 1,2).

2. Marcamos a diagonal menor do paralelogramo cara atrás (pasos 3 e 4), seguimos os pasos 5,6.

3. Démoslle a volta (paso7) 4. Facemos cinco módulos iguais. 5. Para a montaxe introducimos a punta lisa no peto (paso 7), e logo

pechámola. Xa está rematada. A estrela de cinco puntas corresponde ao Pentagrama místico

pitagórico, Pentalfa, obtida ao trazar as diagonais dun pentágono regular ou prolongando os seus lados, é emblema da saúde e símbolo de identificación dos pitagóricos como membros dunha comunidade. O Pentagrama místico foi un dos tópicos xeométricos máis importantes da Escola Pitagórica polas súas fermosas propiedades xeométricas das que nace o seu simbolismo místico. Esta figura xeométrica puido estar na base do máis importante achado científico dos pitagóricos o descubrimento das magnitudes inconmensurables, unha das causas da profunda crise que arruinou á confraría pitagórica.

Alicia Pedreira Mengoti

1

2 3

4 5 6

7 8 9

COMEZA O OPEN MATEMÁTICO

L ogo dos fantásticos resultados acada-dos polos nosos alumnos na pasada

edición, o luns, día 14 de xaneiro come-zaba a XX edición do Concurso aberto de resolutores de problemas (Open Mate-mático) que está organizado polo Colec-tivo Fronteira con sede en Requena (Valencia) e que se prolongará ata o día 6 de marzo cunha concentración que ser-virá para celebrar a 7ª xornada. O calen-

Problemas da 1ª XORNADA na páxina 4

X. Datas Nº pr.

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª

14-28 xaneiro 28 xan—1 feb 1-11 febreiro

11-18 febreiro 18-25 febreiro 25 feb—3 mar

6 marzo (concentración)

4 2 3 2 3 2 4

O gráfico adxunto apareceu en La Voz de Gali-cia o pasado 12 de xaneiro de 2008 para ilus-trar o incremento do número de casos aten-

didos nos hospitais galegos debido á gripe. A verdade é que o é moi desafortunado xa que a pri-meira vista o gráfico da unha idea de que hai un au-mento moi grande; pero se nos fixamos nel observa-mos que o gráfico está mal construído pois non se po-

den unir, mediante liñas, modalidades que en principio non teñen ningunha relación.

Nun carácter estatístico cualitativo (atributo) como é este, no que as modalidades son as cidades onde se mide a frecuencia con que se acode aos seus hospitais, o gráfico máis axeitado sería un diagrama de barras ou un diagrama de sectores.

Ademais, que orde se elixe nas cidades?. Os gráfi-cos que aparecen á marxe representan a mesma distribu-ción estatística pero cunha ordenación das cidades dife-rente. Se así fora poderíase, segundo o interese, cambiar a idea que poden dar os datos de asistencia aos hospitais.

As persoas que teñen unha formación básica en esta-tística saben que un grande número de gráficos ou noticias sobre estatísticas que se dan na prensa son incomple-tos,erróneos e/ou malintencionados (ver o traballo sobre “Noticias de prensa e accidentes de de tráfico”, publicado no boletín Hipatia nº 6 do IES Fernando Wirtz).

Penso que un gráfico axeitado para ilustrar a noticia de La Voz de Galicia sería o seguinte, onde aparece un certo crecemento do número de casos atendidos no 2008, pero máis próximo ao 11% que da o titular do artigo.

Tetractis 15 18 Xaneiro, 2008

0

10 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

Vigo A Coruña Sant iago Ourense Pontevedra Lugo Ferrol

2007

2008

0

10 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

2 0 0 7

2 0 0 8

0

100

200

300

400

500

600

700

A Coruña Santiago Ferrol Lugo Ourense Pontevedra Vigo

UN GRÁFICO DESAFORTUNADO

0

100

200

300

400

500

600

700

2007

2008 gtb

Matemáticos Galegos

JOSÉ RODRÍGUEZ GONZÁLEZ

Matemático de Bermés

DOMINGO FONTÁN RODRÍGUEZ

SATURNINO MONTOJO DÍAZ

VICENTE VÁZQUEZ QUEIPO

TEODORO VARELA DE LA IGLESIA

MODESTO DOMÍNGUEZ HERVELLA

JUAN JACOBO DURÁN LORIGA

DAVID FDEZ. DIÉGUEZ

RAMÓN Mª ALLER ULLOA

ENRIQUE VIDAL ABASCAL

MANUEL DE LEÓN

MARÍA WONENBURG EDUARDO

GARCÍA-RODEJA FERNÁNDEZ

Científico e enciclopedista que se dedicou a Matemáti-cas, Astronomía, Física, Mineraloxía, Botánica e Teoloxía. Na súa obra Observations on the meas-urement of the degree of the Meridian fala das medidas do arco do merid-iano que pasa por París.

MANUEL ULLA IBARZÁBAL

GERMÁN ANCOE-CHEA QUEVEDO

Foto de Quique Pujales

Estudiou Matemáticas en Ma-drid. En 1953 foi a primeira bolseira Fulbright española en Matemáticas, e en 1957 douto-rouse en Yale. Traballou con Germán Ancochea ata 1960. Foi profesora na Universidade de Toronto e logo en Indiana (USA) ata 1983. Actualmente reside na Coruña. É considerada coma a nai da teoría das álxe-bras de Kac-Moody.

I Premio “Mulleres Ciencia-Arte” da Univer-sidade da Coruña (Marzo-

Matemático galego que se formou na Universidade de Santiago. Investigador no Instituto de Matemáticas e Física Fundamental e membro do CSIF (Consello Superior de Investigacións Científicas). Presidente do Congreso Internacional de Matemáticas (ICM 2006) e primeiro vocal español da Unión Mat. Internacional.

Lalín 1770 - Compostela 1824 Portas 1788 - Cuntis 1866 1796, Ferrol – 1856

Ilustrado galego, autor do primeiro mapa topográfico e científico de Galicia. Na Universidade de Santiago estudou Filosofía, Leis e Cánones, Ciencias Exactas e Teoloxía. Realizou traba-llos de medición para reali-zar a Carta Xeométrica de Galicia.

Catedrático de física e alférez de fragata. Foi destinado polo goberno na comisión central da Carta Xeográfica de España, e director do Observatorio Astronómico de Cádiz. Rectificou as posicións de moitas estrelas, e publicou un artigo sobre coordena-das xeográficas.

Samos, 1804 - Madrid, 1893

Estudou Dereito, Matemá-ticas e Ciencias experi-mentais. Descubríu a iden-tidade entre as medidas cúbicas gregas e hebreas. Publicou as Tablas de loga-ritmos de los números enteros dispuestas a doble entrada por un nuevo mé-todo.

Coruña, 1818 – ?

Académico da Real Acade-mia de Ciencias de Madrid e catedrático matemático do Instituto de Santiago. Demostrou o teorema de composición de forzas da mesma orixe. Fixo tamén unha demos-tración e unha corrección do teorema de Herón.

1844, Logroño - ?

Claustro de Profesores do Instituto de Santiago

Foi catedrático de Instituto en Pontevedra e Santiago, onde tivo como compañeiro a Ulla Irbazábal. A súa aportación matemática consis-tiu en tres demostracións distintas do teorema de Herón, as cales apareceron nunha edición do libro Elementos de Matemáticas de Lasala.

Verín, 1827- †...

Estudou na Escola Naval, ingresou no Corpo de Enxe-ñeiros da armada. Socio fundador da Sociedade Xeográfica de Madrid. Coa publicación de Elementos de Geometría Analítica converteuse en académico da Real Academia de Cien-cias. Autor dun tratado de álxebra.

Publicou numerosos traba-llos: Notas sobre Xeometría do triángulo, Tablas balísti-cas para o tiro directo, So-bre a potencia do triángulo, Sobre un problema de Físi-ca, Sobre unha curva tras-cendente...Presentou traba-llos en conferencias e con-gresos. Estivo no exército. Membro da Real Academia das Ciencias. A Coruña, 1854 - 1911 Coruña, 1875- † 1936

Estudou arquitectura e Ciencias exactas. Profesor e catedrático da escola de Artes e Oficios artísticos da Coruña. Publicou varios traballos en revistas espa-ñolas como un estudo sobre a trisección do ángulo e outro sobre a construcción da media proporcional de dous segmentos. Ingresou na Real Academia Galega en

Lalín 1876 - 1966

Sacerdote, matemático e astrónomo. Estudou Teolo-xía e Ciencias exactas. Catedrático da Universida-de de Santiago de Compos-tela. Realizou varios estu-dos e observacións astro-nómicas. Escribiu Algorit-mia. Explicou xeometría analítica e análise matemá-tico. Tiña un observatorio en Lalín que trasladou a

Arxentina, 1908- 1981

Fillo de inmigrantes, naceu en Córdoba (Arxentina) e retornou a Galicia. Estudou Ciencias exactas e gañou a cátedra de Xeometría analí-tica. Foi membro da acade-mia de Ciencias. Publicou Curvas algébricas sobre cuerpos cerrados de carac-terística cualquiera. Fixo dúas demostracións do Teo-rema dos ceros de Hilbert. Oviedo, 1908 - Santiago, 1994

Matemático e pintor, pro-motor da Real Academia das Ciencias de Galicia e director do Seminario de Estudos Matemáticos de Santiago. Contribuíu en di-ferentes campos da mate-mática que se centran prin-cipalmente en: Astronomía (órbitas de estrelas do-bres), Xeometría Diferen-cial e Integral ...

Oviedo, 1922- Santiago, 2005

Estudou Ciencias exactas na Complutense de Madrid. Fixo unha tese de doutora-mento sobre resolución algébrica de ecuacións numéricas. Catedrático de instituto en Lugo e da Universidade de Santiago. O seu principal labor esta no campo da álxebra e xeometría clásica. R. de Sanabria, 1953

A Coruña, 1927

Ana Romero Ferreiro e Ariana Varela Cancelo, 1º Para saber máis: 13 matemáticos galegos. Ricardo Moreno Castillo. Agapema. Anaya

Tetractis 15 20 Xaneiro, 2008

CUESTIÓN DE TOLOS Tendo en conta que esta non é unha cuestión matemática, cales son as tres palabras que faltan na lista seguinte e por que? DIFÍCIL DIVISIÓN DE CINCO CÍRCULOS Dados cinco círculos de igual radio e tanxen-tes tal e como mostra o gráfico, indica como trazar unha liña recta, con total precisión, que divida pola metade a superficie dos de-vanditos círculos.

ENCRUCILLADO DE NÚMEROS ROMANOS

Horizontais I IX • V • XIII V MMVIII – CDXCIII VI CDX – XXXII • XII VII Os dous quintos de CLV Verticais I XX • XLVII II CCCXLII + XLIII + XXXV III DXXVIII / VIII IV Un terzo do número que excede nunha unidade a

L

DESCONCERTANTE DISCO XIRATORIO Seis xogadores, Ana, Carlos, David, Elia e Félix, toman asento arredor dunha mesa circular dividida en seis sectores iguais. No centro da mesa hai un disco montado sobre un alfinete, arredor do cal pode xirar libremente. O disco está rotulado con frechas e cifras.

Faise xirar o disco cinco veces. E, cada vez, os xogadores anotan o resultado da frecha que apunta ao seu sector (Se ao deterse o disco, as frechas apuntan á liña divisoria dos xogadores adxacentes, anúlase a xogada e faise xirar o disco de novo) Os xogadores levan a conta actualizada das súas puntuacións; o que totalice o maior número de puntos tras o quinto ensaio é o gañador. Se hai empate de máximas puntuacións, ninguén gaña a partida e empézase outra vez o xogo. Na figura vemos o resultado do primeiro lanza-mento: Carlos toma a dianteira, con cinco puntos. Tras o segundo ensaio, David sitúase á cabeza. Efectuado o quinto lanzamento, Ana é a vencedora. Cal foi a puntuación final de cada xogador?

CAIXÓN DOS PROBLEMAS Canguro

matemático


XX OPEN MATÉMÁTICO. 1ª XORNADA

Ano II. Boletín nº 16 Febreiro, 2008 Depósito legal: C 2766-2006

SANGAKU, TABOÍÑAS MATEMÁTICAS

D urante un período no que Xapón atopouse illado do resto do mundo, unha modalidade de matemáticas floreceu nos templos e santuarios do país. Matemáticos afeccionados construíron teoremas xeométricos sobre elegantes táboas de madeira chamadas Sangaku (literalmente,算額 táboas matemáticas), que ofrecían como ofrenda aos deuses.

Todas as sangaku recuperadas pertencen ao período Edo (que abarca desde principios do século XVII a mediados do XIX). É des-tacable que fosen elaboradas por mercadores e granxeiros que es-tudaron matemáticas por pura diversión. Son táboas fermosamente ilustradas que conteñen a solución a un problema de xeometría; cu-riosamente, non inclúen a demostración da solución. Segundo o pro-fesor Hidetoshi Fukagawa, aparentemente as táboas deixábanse como un agasallo aos deuses, pero en realidade ensinábanse e colgá-banse como un reto para que outros tentasen dar coa demostración. Unha vez rematado o illamento do país a mediados do século XIX, o Goberno estimulou o estudo da tradición matemática europea para alcanzar o nivel de desenvolvemento tecnolóxico e económico de Occidente. A tradición das sangaku desapareceu. O seu redescu-brimento débese a Fukagawa, que, buscando material para avivar as súas clases, atopouse coas sangaku e decidiu estudalas en profundi-dade. O primeiro paso foi aprender a descifrar os carácteres de “Kanbun”, unha forma arcaica de xaponés que se empregaba nas ta-boíñas. Cantas máis sangaku descifraba, máis lle impresionaba. En 1989 publicou con Daniel Pedoe a monografía máis completa sobre as sangaku: Japanese Temple Geometry Problems. Este libro describe un bo número de teoremas xeométricos occidentais que foron resoltos independentemente en Xapón. Un exemplo destacable é o teorema de Descartes que estuda o caso de tres circunferencias tanxentes exteriores entre si dous a dous, e unha cuarta circunferencia, tanxente exterior ás tres primeiras. Este resultado, que se perdeu, foi redescuberto en 1937 polo pre-mio Nobel de Química Sir Frederic Soddy, quen o estendeu ao caso

Feira Matemática

Sábado, 24 de maio de 2008 PAZO DA ÓPERA

A Coruña De 11 h a 20 h

A comisión encargada pola Delegación

de AGAPEMA da Coruña xa está a progra-mar as actividades da II Feira Matemática que, este ano, ademais doutras actividades, coma o II concurso de Fotografía Matemá-tica, contará cun concurso de actividades sobre a Torre de Hércules, para celebrar a Candidatura da Torre de Hércules a Patri-monio da Humanidade e os 800 anos da fun-dación da cidade da Coruña.

A Feira Matemática celebra o Día Esco-lar das Matemáticas (12 de maio) pero que este ano trasladamos ao sábado, 24 de maio, debido a problemas de calendario.

O tema á que se vai a dedicar este día é:

MATEMÁTICAS E MÚSICA E tendo en conta que Pitá-

goras foi un precursor da mú-sica; nos queremos enlazar esta cuestión e poñer o noso gran de area no Aniversario da Fundación da Cidade


Tetractis 16 22

alusivo, titulado “O bico preciso”. Fukagawa e Pedoe atoparon que unha solución idéntica foi inscrita nunha sangaku colocada nun san-tuario da Prefectura de Kanagawa en 1822. O signifi-cado matemático da tradición sangaku segue sendo unha cuestión aberta. O seu contido non é moi profun-do, dado que outros matemáticos xaponeses producían teoremas moito máis significativos naqueles tempos. Con todo, ensínannos que os cidadáns correntes xapo-neses posuían coñecementos bastante elevados de ma-temáticas no período Edo, e abren cuestións acerca de como foron capaces de desenvolver estas habilidades en ausencia de academias tal e como as entendemos hoxe.

O BICO PRECISO Poden bicarse os beizos, dous a dous, sen moito calcular, sen trigonometría; mais ¡ai! non sucede igual na Xeometría, pois se catro círculos tanxentes queren ser e bicar cada un aos outros tres, para logralo haberán de estar os catro ou tres dentro dun, ou algún polos tres a un tempo rodeado. De estar un entre tres, o caso é evidente pois tres veces son todos bicados desde fóra. E o caso tres nun non é quimera ao ser este un por tres veces bicado internamente. Catro círculos chegaron a bicarse, canto menores tanto máis curvados, e é a súa curvatura tan só a inversa da distancia desde o centro. Aínda que este enigma a Euclides asombrase, ningunha regra empírica é necesaria: ao ser as rectas de nula curvatura e ser as curvas cóncavas tomadas negativas, A SUMA DOS CADRADOS DAS CATRO CURVATURAS É IGUALA UN MEDIO DO CADRADO DA SÚA SUMA Espiar das esferas os enredos amorosos puidéralle ao inquisidor requirir cálculos tediosos, pois sendo as esferas máis "corridas" a máis dun par de pares unha quinta entra na movida. Emporiso, sendo signos e ceros coma antes para bicar cada unha ás outras catro O CADRADO DA SUMA DAS CINCO CURVATURAS HA DE SER O TRIPLO DAS SUMA DOS SEUS CADRADOS.

Frederick Soddy

TEOREMA DE DESCARTES Dados catro círculos de curvaturas Ra, Rb, Rc, y Rd, ca-da un tanxente a os outros tres, entón cúmprese que:

onde por definición de curvatura sendo ra, rb, rc, y rd, os radios dos círculos tanxentes.

PROBLEMA DE SANGAKU Coñecido problema que sobre-viviu desde 1824 nunha táboa da prefectura de Gumma.

Os círculos alaranxado e azul tó-canse nun só punto e son tanxentes a unha mesma recta. O pequeno círculo vermello toca a ambolos-dous círculos e é tamén tanxente á mesma recta. Como son os radios dos círculos relacionados?

Tendo en conta que a liña tanxente ten curvatura cero entón teremos:

onde R1, R2, y R3, son las curvaturas de los tres círculos tanxentes y por definición de curvatura: Solución:

EXEMPLOS DE SANGAKUS.

Tetractis 16 23 Febreiro, 2008

MATERIAL: 6 cadrados, dous de cada cor.

DIAGRAMAS:

MONTAXE: 1. O lado curto de cada peza é un peto. O lado longo é

unha solapa. Inserir a solapa dunha peza no peto da outra, gardando a aleta adicional da segunda peza no interior, segundo o demostrado.

2. Meter a terceira peza sobre as dúas primeiras pondo as lingüetas restantes nos petos restantes. Introduce as dúas aletas adicionais baixo as lenguetas apropiadas para rematar a caixa triangular.

Usa a túa caixa triangular para responder ás seguintes preguntas: 1. De que forma son os lados da caixa? 2. Qué forma ten a base da caixa?. Por que?. 3. Como é o ángulo da esquina da caixa? Por que o sabes? 4. ¿Cales consideras que son as características da

caixa triangular? 5. Se o cadrado inicial ten 10 cm de lado, cal é a altura

da caixa?. Canto mide o lado do triángulo equilátero da base? Cos outros tres cadrados fai unha segunda caixa

triangular un pouco mais pequena ou un pouco máis grande. Esta pode facer de tapa da caixa orixinal. Así a caixa é un sólido xeométrico, ¿que nome recibe? conta caras, arestas e vértices e comproba a fórmula de Euler.

Determina a área superficial e o volume da caixa usando a medida actual ou outra arbitraria.

ANATOMÍA DA CAIXA: Usa este debuxo para responder ás preguntas: 1. Estas son as marcas da unidade desdobrada. Cantos triángulos ves?, enumera cada un. 2. Qué clase de triángulos son? 3. Cantos rectángulos hai? Numéraos. 4. Qué outras formas ves?. Descríbeas e enumera algunha.

XEOMETRÍA DE PAPEL: CAIXA TRIANGULAR Alicia Pedreira Mengotti

2ª XORNADA: BALANZAS ALXÉBRICAS

PROBLEMA 5 En ambolosdous casos, cantos triángulos serán necesa-rios para equilibrar a balanza? A. B.

PROBLEMA 6 En ambolosdous casos, indica como quedará a últi-ma balanza tras colocar cada obxecto sobre o platiño que ten enriba. Xustifica se de inclinará á esquerda, a dereita ou se equilibrará.

Cuestión C Cuestión D

3ª XORNADA

PROBLEMA 7: NÚMERO DE PÁXINAS DUNHA REVISTA Nunha revista, ao arrincar a folla que comprende as pá-xinas 21 e 22, sóltanse tamén a 83 e 84. Cantas páxinas ten a revista?

Tetractis 16 24 Febreiro, 2008

CAIXÓN DOS PROBLEMAS XX OPEN MATÉMÁTICO: 2ª-3ª XORNADAS Canguro

matemático


PROBLEMA 8: TIRAS DE CARTÓN

Colocamos sobre unha mesa catro tiras de cartón de 10 cm de longo por 2 cm de ancho de maneira que se solapan perpendicularmente tal e coma indica a figura. Cal é en centímetros cadrados a superficie exacta do anaco de mesa cuberto polas tiras?

PROBLEMA 9: MAL USO DA CALCULADORA

Unha alumna quere verificar coa súa calculadora o resultado da operación:

Sabe que é 15. Pero, esquécese de teclear os pa-rénteses e obtén 21 na pan-talla. Vendo que se equivo-cou, decide inverter a e b e calcula: Pero, de novo, esquece os ditos parénteses e obtén 24. Cales eran os números a, b e c?

Colectivo Frontera

Ano II. Boletín nº 17 Depósito legal: C 2766-2006 Extra Febreiro, 2008

C o gallo do ano da Ciencia (2007) desde a Comisión Mulleres e Matemáticas da RSME (Real Sociedade de Matemáticas Es-pañola) púxose en marcha, coa axuda da FE-CYT (Fundación Española para a Ciencia e a Tecnoloxía) a exposición “ A Muller, innova-dora na Ciencia”. Na mesma preséntanse a vida e obra de 20 científicas de todos os tempos próximas ás matemáticas. Cada un dos 20 paneis incorpora unha actividade docente relacionada dalgunha maneira coa investigación realizada por estas mulleres. Este material vai acompañado de 20 marca-dores de libro que recollen unha pequena reseña de cada unha delas e un problema matemático.

Para máis información pódese visitar a páxina web da comisión Mulleres e Mate-máticas:

www.rsme.es/comis/mujmat

IES Monelos (A Coruña)

25 de febreiro-7 de marzo Visitas en horario escolar

EXPOSICIÓN: A MULLER, INNOVADORA NA CIENCIA

As Matemáticas son unha fabulosa creación do espírito humano e ao mesmo tempo unha parte imprescindible do patrimonio cultural da humanidade.

Os matemáticos e as matemáticas forman parte da nosa historia, da nosa cultura e da nosa sociedade.

Nesta exposición móstrase unha parte importante das personaxes que xogaron un papel destacado na Historia das Matemáticas. A devandita historia non se pode sepa-rar da Historia da Humanidade, xa que logo, os protagonis-tas son matemáticos e matemáticas, que á vez eran mem-bros da súa comunidade e que formaron parte dela como persoas, no privado e no público. Porlles cara e coñecelos un pouco máis é o noso principal obxectivo. En definitiva, mostrar o rostro humano das Matemáticas.

O ROSTRO HUMANO DAS MATEMÁTICAS POSTER NA PÁXINA 4

Unha exposición da Real Socie-dade Matemática Española no Ano da Ciencia 2007, financia-da pola FECYT

EXPOSICIÓN O Rostro Humano das

Matemáticas nos

Museos Científicos Coruñeses A exposición estará na

Casa das Ciencias da Coru-ña, os meses de febreiro e marzo de 2008

A versión en galego póde-se ver en:

www.divulgamat.net

Extra Febreiro, 2008 Tetractis 17 26

ARTE E MATEMÁTICAS: ISTVÁN OROSZ

Artista húngaro nacido en 1951, Istvan Orosz estu-diou Deseño Gráfico en Budapest e durante moitos anos traballou no mundo do teatro como deseñador de escenarios e actor ocasional. Posteriormente dedico-use ao deseño de carteis, onde utiliza entre outros elementos ilusións ópticas e anamorfose. Actualmente é profesor invitado da Universidade de Artes e Dese-ño de Budapest e membro da Academia de Arte de

Hungría. Ten un estilo que recorda a Escher e que utiliza os trucos das perspectivas e figuras imposibles. Na anamorfose, certas sorpresas escondidas nos seus debuxos só pó-dense ver ao seren reflectidos noutros obxectos. Máis da súa obra en

www.gallery-diabolus.com

Tetractis 17 27 Extra Febreiro, 2008

4ª XORNADA PROBLEMA - 10

Cuestión A. Busca un número de 10 cifras todas distintas

de cero que teña a propiedade de ser divisible pola suma das súas cifras. Cuestión B.

E agora, busca un número de 100 cifras, todas distintas de cero, que sexa divisible polo produto das súas cifras.

PROBLEMA - 11 Cuestión C.

Busca un número de 10 cifras, todas distintas de cero, coa seguinte propiedade: é posible agru-par as súas cifras, dalgunha forma, en 5 parellas de tal maneira que se multiplicamos as dúas cifras de cada parella e sumamos os 5 produtos, obtemos coma resultado un divisor do número. Cuestión D.

E agora, busca un número de 100 cifras, todas distintas de cero, coa análoga propiedade: pódense agrupar as súas cifras en 50 parellas de tal manei-ra que se multiplicamos as dúas cifras de cada pa-rella e sumamos os 50 produtos, obtemos coma re-sultado un divisor do número.

O blog “El Ojo matemático de 1º ESO” que podedes atopar no enderezo blogs.lavozdelaescuela.es/blog/aula0195 que dinamiza a profesora Susana Vázquez Martínez (Colexio Santa Mª do Mar) é un interesante, divertido e dinámico blog que permite ver e ter acceso a páxinas de xogos, martemáticas, chistes matemáti-cos, fotografía matemática, fractais, ver vídeos,

baixar libros, practicar números enteiros, uso de pa-rénteses, decimais ... ou mesmo ver as bases do I Cer-tame de Mat-monólogos que convoca o boletín TE-TRACTIS (ver 7 de xaneiro).

¡Fai unha visita! ¡Non che defraudará! O blog está organizado por datas e por categorías.

UN BLOG CORUÑÉS: EL OJO MATEMÁTICO DE 1º ESO

Canguromatemático


5ª XORNADA

12. O PROBLEMA DO ANO Observa ben a seguinte táboa: Cal é o primeiro número da Fila 1 que supera a 2008?

13. UNHA SANDÍA DESCOMUNAL Unha enorme e xugosa sandía pesou 10 kg, dos cales o 99% é auga. Ao poñela certo tempo ao sol, evaporouse algo de auga e, agora, a súa porcentaxe só supón un 98%. Canto pe-sa agora a sandía? 14. CHAPUZAS A DOMICILIO Vemos a Bieito de Mans á Obra S.L. en plena faena, ultimando unha cheminea. Na imaxe pódese ver nitidamente a cara que aínda falta por recebar. Cantos ladrillos fixeron falta para construíla? (Os ladrillos son enteiro, iguais e non se poden cor-tar pola metade)


PITÁGORAS (ca. 585—500 a.C.)

EUCLIDES (ca. 325—265 a.C.)

ARQUÍMEDES (ca. 287—212 a.C.)

APOLONIO (ca. 262—190 a.C.)

HIPATIA (¿?—415)

AL-JWARIZMI (século IX)

FIBONACCI (ca. 1175—1250)

CARDANO (1501-1576)

TARTAGLIA (1499-1557)

DESCARTES (1596-1650)

FERMAT (1601-1665)

LEIBNIZ (1646-1716)

MAD.DE CHÀTELET (1706-1749)

NEWTON (1642-1727)

EULER (1707-1783)

LAGRANGE (1736-1813)

SOPHIE GERMAIN (1776-1831)

GAUSS (1777-1855)

CAUCHY (1789-1857)

ABEL (1802-1829)

GALOIS (1811-1832)

RIEMANN (1826-1866)

SONIA KOVALESKAIA (1850-1891)

POINCARÉ (1854-1912)

HILBERT (1862-1943)

EMMY NOETHER (1882-1935)

REY PASTOR (1888-1962)

PUIG ADAM (1900-1960)

LUÍS SANTALÓ (1911-2001)

MIGUEL DE GUZMÁN (1936-2004)

O ROSTRO HUMANO DAS MATEMÁTICAS

Ano II. Boletín nº 18 Depósito legal: C 2766-2006 Marzo, 2008

DÍA ESCOLAR DAS MATEMÁTICAS MÚSICA E MATEMÁTICAS,

A HARMONÍA DOS NÚMEROS

PAZO DA ÓPERA (A CORUÑA) Sábado, 24 de maio de 2008

De 11:00 a 19:00 horas

Poderás participar nos concursos: • ACTIVIDADES MATEMÁTICAS SOBRE A TORRE DE

HÉRCULES E 800 ANIVERSARIO DA FUNDACIÓN DA CIDADE.

• II CONCURSO DE FOTOGRAFÍA MATEMÁTICA. Consulta as bases dos concursos na páxina web da Feira Matemática 2008:

www.udc.es/dep/pdce/feiramatematica.html

PARTICIPANTES NA FEIRA MATEMÁTICA 2007

Participa co teu centro

¡ Inscríbete xa !

I CERTAME DE MAT-MONÓLOGOS O prazo para a presentación de guións remata o:

Venres, 28 de marzo

¡PARTICIPA!

Por que non nos con-tas as túas sensacións arredor das matemá-ticas?

¡Xa queda pouco!

Marzo, 2008 Tetractis 18 30

POUSAVASOS PENTAGONAL: Material: 1 folla DIN A4

Instruccións: 1. Metades. 2,3,4,5. Catro vértices ao centro. 5. Desdobrar os dous superiores. 6. Pregar pola liña media. 7, 8, 9. Pregar de tal forma que a

liña marcada no trapecio saia paralela ao lado da base do pentágono.

10,11. Meter cara dentro. 12,13. Marcar os dous lados do pentágono na cara de

atrás. 15,16,17,18. Desdobrar, meter cara dentro e cerrar

a figura. (Se na metade superior da folla se imprime unha foto pode quedar mais bonito).

XEOMETRÍA DE PAPEL PRESENTACIÓN DA EXPOSICIÓN A MULLER, INNOVADORA NA CIENCIA

NO IES MONELOS

Alicia Pedreira

6ª XORNADA

ENIGMÁTICAS SUMAS DE ÁNGULOS

Tetractis 18 31 Marzo, 2008

Canguromatemático


CAIXÓN DOS PROBLEMAS XX OPEN MATEMÁTICO

Problema 15. Cuestión A: Nun rectángulo de dimen-sións 2 x 1

Cuestión B: Nunha estrela de 5 pun-tas deformada

Problema 16. Cuestión C: Dez ángulos aspados

Cuestión D: E agora, doce ángulos

7ª XORNADA: FINAL

PROBLEMA 17: OUTRA CUESTIÓN DE TOLOS

Estimado participante do Open Matemático, debido a un problema co ordenador e a certa ndecisión de última hora, tardei un pouco en preparar esta páxina. Pero, co-mo di o refrán, non hai mal que por ben non veña, e o in-cidente doume a idea para o último problema. Se foses capax de descifrar o último parágrafo, levarí-aste unha sorpress: saberás que problema tiven co orde-nador e quen son. Como axuda teño que dicirche que a frase anterior contén dúas pistas.

Rmjptsnirms `pt jsnrtñp trdirñyp- Dsñifpd- Fpto-

PROBLEMA 18: DOBRANDO ESQUINAS

Ao dobrar as esquinas dunha folla rectangular, tal e como mostra a figura, obtense un rectángulo de 9 cm x 12 cm. Que dimensións tiña a folla antes de dobrarse?

PROBLEMA 19: DIFICULTADES NO AVE

As primeiras probas co noso tren de Alta Veloci-dade non resultan satisfactorias. Onte, unha hora des-pois da saída, o convoi detívose por un pequeno dano mecánico que os técnicos resolveron en media hora, aínda que o tren continuou a súa viaxe á metade da velocidade normal e chegou ao seu destino con dúas horas de atraso. Expertos consultados aseguran que se a avaría houbese ocorrido 100 km. máis adiante, a de-mora sería de só unha hora. Que distancia percorreu o noso tren AVE na proba de onte?

PROBLEMA 20: A FESTA DO VINTE V, E, I, N, T, E, O, P, E, N, M, A, T, E, M, A, T, I, C e O, son as iniciais das vinte persoas que acudiron ao cóctel conmemorativo dos vinte anos do Open Matemá-tico. Alí púidose observar que: a primeira, Víctor, saudou a unha soa persoa; a segunda, Elena, saudou a dúas persoas; a terceira, Inés, saudou a tres persoas; a cuarta, Noemí, saudou a catro persoas; …… …… … … …… …… …… …… … … …… …… …… …… … … …… …… a décimo sétima, Teresa, saudou a dezasete persoas; a décimo oitava, Ignacio, saudou a dezaoito persoas e a décimo novena, Carlos, saudou a dezanove persoas. A cantas persoas saudou Oscar, a vixésima persoa que acudiu á festa?

COLECTIVO FRONTERA

R ematou a competición do XX Open Matemático 2008, despois de 6 xornadas e unha concentración que se celebrou no IES Monelos e na que participa-ron os centros IES Monelos e IES Mugardos. Á fi-nal non se presentaron moitos alumnos e alumnas, xa que coincidía co final da 2ª avaliación e ao día se-guinte había moitos exames e outros alumnos esta-ban noutras actividades coma a neve ou unha viaxe a París.

No noso centro foron 41 alumnas e alumnos os que participaron, non dunha maneira constante, e a clasificación final (sobre un total de 40 puntos) foi a seguinte:

Desde logo que hai que dar un montón de felici-tacións: • A todos os alumnos e alumnas participantes que

estiveron desde xaneiro resolvendo problemas todas as semanas.

• As primeiras clasificadas polo seu esforzo e constancia.

• Á alumna de 2º ESO, Marina Combarro Eirís, que acadou un punto na clasificación de beleza na resolución de problemas nunha das xornadas.

• Aos 28 alumnos e alumnas de 2º ESO que parti-ciparon no XX Open.

• E desde logo á súa profesora, Dna. Mª Teresa Fraga García que conseguiu esta participación tan alta entre o seu alumnado.

Parabéns a todos e todas e grazas pola vosa

participación.

Tetractis 18 32

FERNÁNDEZ ROZADILLA, Atenea 2º Bach 33 RODRIGUEZ PENA, Elba 1º Bach 32

RODRIGUEZ PENA, Lara 4º ESO 32

LÓPEZ RODRIGUEZ, Daniel 2º Bach 32

CASTRO QUINTÁNS, Águeda 1º ESO 25

XX OPEN MATEMÁTICO

Concentración na biblioteca do IES Monelos

José María de Labra (A Coruña, 1927 – Palma de Maior-ca, 1944 ) estudia arquitectura e mercantil aínda que moi pronto xorden as primeiras tentativas artísticas cuns co-mezos figurativos que moi pronto trocan cara a abstracción xeométrica.

José María de Labra formou parte de diversas exposi-cións colectivas, tanto nacionais coma internacionais, e re-cibiu numerosos premios coma o Premio Uruguai na III Bie-nal Hispanoamericana ou o Gran Premio no III Festival In-ternacional de Cagnes-Sur-Mer.

ARTE E XEOMETRÍA: JOSÉ MARÍA DE LABRA

Ano II. Boletín nº 19 Depósito legal: C 2766-2006 Extra Marzo, 2008

P iero Della Francesca foi un dos gran-des pintores do Renacemento, naceu entre 1410 e 1420 en Borgo San Se-polcro. Trasladouse a Florencia, onde

traballou co artista Doménico Veneziano. Con Piero apareceu un novo arte das figuras, rela-cionado coa perspectiva e a iluminación.

Á súa vez, Piero escribiu numerosos tratados matemáticos, escritos a maioría cando o pintor, debido a súa idade tan avan-zada, non podía dedicarse á pintura.

As súas obras matemáticas máis importantes son: Sobre a perspectiva na pintura, Libro curto sobre os cinco sólidos re-gulares e Tratado sobre o ábaco.

O seu libro Sobre a perspectiva contén moitas alusións aos Elementos e a Óptica de Euclides, xa que intentaba demostrar que a perspectiva da pintura dependía du-nha base científica.

Segundo Piero, a pintura era a demos-tración nun plano de corpos de tamaños crecentes ou decre-centes. Certos estu-dos sobre súa obra a Flaxelación, deron conta dun “punto de fuga”, no cal converxen todas as figuras, o que lle daba maior profundidade.

Gran parte da obra alxébrica realizada por Piero aparece nun libro publicado por Luca Pacioli e titulado Summa de arith-metica, geometria, proportioni et proporcionalita (recompilación do coñecemento sobre aritmética, xeometría, proporción e proporcionalidade). Outra parte do traballo de Piero, sobre os sólidos regulares, tamén foi a base doutro libro de Luca Pacioli que trata da proporción áurea: Divina propor-tione (a proporción divina).

Existen dúbidas acerca da veracidade da autoría de Pacioli deste libro, fálase incluso de plaxio.

Luca Pacioli naceu en 1445 e morreu en 1517 en San Sepol-cro, Italia. Alí estudou e recibiu as súas primeiras ensinanzas de Matemáticas.

PIERO DELLA FRANCESCA E LUCA PACIOLI

O director español Alejan-dro Amenábar iniciará en Mal-ta a rodaxe da súa nova película "Agora", protagonizada pola actriz británica, Rachel Weisz.

A trama sitúase no século IV. Exipto está baixo o Imperio Romano. As violentas revoltas relixiosas nas rúas de Alexandría alcanzan á súa lendaria Biblioteca. Atrapada tras os seus mu-ros, a brillante astrónoma Hypatia (Rachel Weisz) loita por salvar a sabedoría do mundo antigo, sen percibir que o seu mozo escravo, Davo (Minghella), debátese entre o amor que lle profe-sa en secreto e a liberdade que podería alcanzar uníndose ao imparable ascenso dos cristiáns.

Filla do matemático, Teón de Alexandría, foi Directora da Biblioteca de Alexandría. Ensinou Matemáticas, Astronomía e Filosofía, escribiu O Canón Astronómico, comentou as grandes obras da matemática grega coma a “Aritmética” de Diofanto, “As Cónicas” de Apolonio, ou o libro III do “Almaxesto” de Tolomeo. Construíu ins-trumentos científicos coma o astrolabio e o hi-droscopio. Morreu de maneira tráxica a mans de fanáticos relixiosos.

AMENÁBAR PONLLE CARA A HYPATIA DE ALEXANDRÍA NA SÚA PELÍCULA: AGORA

Piero della Francesca foi un pintor italiano que escribiu varios trata-dos sobre perspectiva e xeometría; moitos dos seus traballos foron recollidos, nas súas obras, por Luca Pacioli sen mencionar a súa orixe; polo que moitos autores falan de plaxio.

XV CANGURO MATEMÁTICO

2008

Mércores, 9 de abril de 2008 Ás 16:30 h no IES Monelos 91 alumnos e alumnas inscritos

Extra Marzo, 2008 Tetractis 19 34

Pacioli tiña un gran coñecemento do traballo de Della Francesca, o cal influíu nos seus escritos. Ao rematar os seus estudos, trasladouse a Venecia, onde traballou de titor dos fillos dunha fami-lia rica. Foi en Venecia onde, axudado por Domenico Bragadino, escribiu o seu primeiro libro sobre aritmética.

Máis tarde, trasladouse a Roma, onde cursou os seus estudos de teoloxía, converténdose en frade franciscano. En 1477, viaxou moito por Europa, ensinan-do Matemáticas nas universidades.

En 1489 regresou a San Sepolcro, onde escribiu Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalí-ta, que dedicou a Guidobatdo, duque de Urbino, de quen Pa-

cioli fora o seu titor. Esta obra enci-clopédica recolle o coñecemento ma-temático da época en aritmética, ál-xebra, xeometría e trigonometría. No libro inclúe problemas sobre o icosae-dro (como o da figura) e o dodecae-dro do tratado de Piero.

Tamén aparecen problemas de Fibo-nacci, ao que considera a súa principal fonte para realizar a obra. Unha parte da súa obra trata sobre temas de contabili-dade, ideando un método para levar as contas, indicando de onde ven o diñeiro e a onde vai. Por esa razón, ás veces fálase de Pacioli como “pai da contabilidade”.

Cando Ludovico Sforza se converteu en duque de Milán, invitou a Pacioli a ensinar Matemáticas na súa corte, como suxerencia de Leonardo da Vinci, que xa traballaba para el. Leonardo e Luca fixéronse moi amigos, e este último comezou a traballar no seu segundo libro coñecido, Divina proportione. Os debuxos deste libro foron realizados por Leo-nardo.

Este libro trata sobre a razón áurea ou número de ouro (o nome de número de ouro débese a Leo-nardo da Vinci), aquel para o que se cumple: a/b=(a+b)/a, e resolvendo esta ecuación, obtense que a/b = 1.61803...., que se designa coa letra grega N.

É un libro de especial interese para os artistas, pois considera a división dunha liña media e extre-ma razón (razón áurea) que el chama divina propor-ción, por semellanza, a Deus mesmo. Entra nos fac-tores para a construción do pentágono e de corpos regulares, proporción das superficies e da súa in-clusión dos cinco corpos noutros, trata de corpos dependentes dos regulares, esféricos e oblongos (cilindros, prismas, conos e pirámides).

Algunhas das ocasións nas que aparece a razón áurea:

a) Nun pentágono regular se d é a medi-da dunha diagonal e a medida dun lado se cumpre a seguinte relación: d/l= N

b) Unha relación fundamental: Da proporción anterior pó-dese deducir que a razón áurea F cumpre a relación: N2 = N

+1.

c) O rectángulo áureo é aquel no cal a altura e o ancho están na proporción 1 a N. Cúmprese que: b/a = N = 1,618034... Un rectángulo de ouro ten unha carac-terística moi intere-sante: se se recorta nel un cadrado, o rectángulo que que-da segue sendo un rectángulo de ouro.

Se ó r e c -tángulo de ouro grande lle quitamos o cadrado A, o rectángulo B segue sendo de ouro. Podemos realizar este proceso tantas veces como queiramos. Cos sucesivos rectángulos de ouro que imos obtendo, pódese trazar unha espi-ral áurea, apoiándonos nos sucesivos cadrados que se van formando. Numerosas cunchas de moluscos e crustáceos desenvólvense seguindo este modelo de crecemento.

d) Tamén os corpos humanos presentan pro-porciones semellantes á razón áurea, como pode verse comprobando a altura total dunha persona (b) coa que hai ata o seu embigo (a). Ademais, se se divide a distan-cia do embigo aos pes entre a do embigo á cabeza, tamén se obtén N. Existen proporcións áureas en pés, brazos, e mesmo nos dedos. O home ideal ó que se refire Leonardo é o que cumpre esta relación.

A terceira e última parte do libro da Divina Proporción é basicamente, unha tradución italiana dos Cinco sólidos regulares, escrito por Piero Della Francesca en latín. O feito de que Pacioli non recoñecera, en ningunha parte do texto, que o verdadeiro autor era Della Francesca, provocou certos descrédi-tos, e críticas de plaxio. Aínda que non se poida afirmar a autoría das achegas mate-máticas, pódese afirmar que o traballo de Pacioli supuxo unha gran influenza nas mate-máticas en xeral, e sobre todo no estudo da Proporción Áurea.

Ariana Varela Cancelo 1º Bach. B BIBLIOGRAFÍA

“La proporción áurea”, Mario Livio www.wikipedia.org www.portalplanetasedna.com.ar/pacioli.htm divulgamat.es

Tetractis 19 35 Extra Marzo, 2008

As estruturas son construccións que son xeradas pola repetición de formas iguais ou semellantes. Canto máis sinxe-la sexa unha estrutura mais resistente será.

TRIÁNGULOS

O triángulo é o único polígono que non se deforma, tanto coma se os seus lados son iguais coma se non, cando actúa sobre el unha forza. Ao aplicar unha forza sobre calquera dos vértices dun triángulo for-mado por tres vigas, automaticamente as dúas vigas que parten dese vértice quedan so-metidas á forza de com-

presión, mentres que a terceira quedará sometida a un esforzo de tracción. Calquera outra forma xeométrica que adopten os elementos dunha estructura non será ríxida ou estable ata que non se triangule (unindo os seus vértices por barras e transformán-

doos en redes de triángulos). Por iso na construcción de estructu-ras ríxidas utilízanse os tetrae-dros, corpos no espacio formados por triángulos, porque son ríxidos.

Fuller foi famoso polas súas cú-pulas xeodésicas. A súa construc-ción basease nos principios que

permiten montar estructuras simples (tetraedros, octaedros e conxuntos pechados de esferas). Ao estar feitas desta maneira son extremadamente lixeiras e estables. Ademais destes principios a súa construcción basease nos principios

básicos das estruturas de tensegridade, e combinando ambos principios dará como resultado as súas cúpulas xeodésicas.

MECANISMO DE CATRO BARRAS

En enxeñería mecánica un mecanismo de catro barras ou cuadrilátero articulado é un mecanismo formado por tres barras móbiles e unha cuarta barra fixada (por exemplo, ao chan), unidas mediante nós articulados. As barras móbiles están unidas á fixada

mediante pivotes. Usualmente, as barras numéranse da se-guinte maneira:

Barra s: barra imaxinaria que vincula a unión de rótula da barra 2 coa unión de rótula da barra 4 co chan.

Barra l: barra que proporciona movemento ó mecanismo. Barra p: barra superior. Barra q: barra que recibe o movemento.

LEI DE GRASHOF

A Lei de Grashof é unha fórmula utilizada para analizar o tipo de movemento que fará o mecanismo de catro barras: para que exista un movemento continuo entre as barras, a suma da barra máis corta e a barra más longa non pode ser maior que a suma das barras restantes.

SUMIDOIROS

Se te fixas nos sumidoiros dos sistemas de desaugue, das conducións eléctricas ou telefónicas verás que case todas son circulares. Isto débese a un sistema de seguridade: a circunferencia é a única figura xeométrica que posta de cal-quera maneira, non pasa polo buraco que deixou no chan. Así, canto alguén teña que baixa por un sumidoiro, se a deixou mal colocada, é imposible que a tapa caia provocándolle algún da-no.

PARALELOGRAMOS ARTICULADOS

O paralelogramo é o cuadrilátero que ten as variñas opos-tas da mesma lonxitude. Utilizámolo cando queremos que se manteña o paralelismo en diversas partes do sistema. Temos un exemplo na balanza, na que é preciso que os pratiños sem-pre se manteñan horizontais, para que non caian os obxectos que depositamos neles.

ESTRUTURAS XEOMÉTRICAS

ESTRUCTURA DE TENSEGRIDADE CÚPULA XEODÉSICA

Segue na páx. 4

Tetractis 19 36 Extra Marzo, 2008

MATEMÁTICAS E NARRATIVA

PLANILANDIA UNHA NOVELA DE MOITAS DIMENSIÓNS

Edwin A. Abbott ARGUMENTO:

Na novela de ciencia ficción Planilandia, o autor utiliza un estilo académico co cal nos pretende introducir no mundo das figuras xeo-métricas. A obra divídese en dúas partes: Na primeira parte o narrador e protagonis-ta da historia, Cadrado, un cidadán de clase media-alta introdúcenos no seu mundo, Plani-landia, un lugar que se limita ás figuras planas,

no que a terceira dimensión non existe. Descríbenos tódolos habitantes, que aumentan en clase segundo aumenta

o seu número de lados, sendo os círculos, os sacerdotes, os de máis alto ran-go; tamén nos conta a forma que teñen de recoñecerse entre eles e o duro sistema ó que están sometidos e a necesidade que teñen de mantelo, impe-dindo a mestura de clases para non ter irregularidades na súa “perfecta”

sociedade. Na segunda parte, Cadrado relátanos uns soños nos que visita Linealandia e Punto-landia, dous mundos nos que existen unha e ningunha dimensión. Pero a parte máis im-portante é a visita que lle fai un personaxe chamado Esfera, que pertence a un mundo no que existen tres dimensións, chamado

Espaciolandia, alí leva a Cadrado, que non pode crer a existencia da altura, unha vez alí, queda fasci-nado ante a visión dun mundo que vai máis alá do del. Cando volve a Planilandia intenta explicar o que lle aconteceu, pero é detido e encarcerado con-siderado coma un tolo.

Ademais da historia que se conta no libro, o autor establece un símbolo da sociedade de Planilandia coa nosa; da necesidade de manter a harmonía da socieda-de, da crenza dos habitantes de ser os únicos habitantes do universo e o rexeitamento ás novidades, á modificación dos sistemas vixentes. ASPECTOS OU REFERENCIAS MATEMÁTICAS ATOPADAS:

As referencias matemáticas na novela son constantes xa que o libro fala do complexo mundo da xeometría.

Descríbenos como todas as realidades de Planilandia son figuras xeomé-tricas, dende as casas, as institucións ata os habitantes, que deben utilizar uns complicados métodos de cálculo, visual ou táctil, para recoñecer a clase estamental á que pertence cada individuo.

As figuras irregulares son asasinadas por alterar o sistema, que é exce-sivamente rigoroso e exquisito coa regularidade (considerada coma a per-fección) por temor a destruír a harmonía da sociedade. Podes atopalo en: www.mad-actions.com/puntoyraya/docs/Planilandia.pdf

Outro exemplo témolo na caixa de fe-rramentas. Utiliza a combinación de paralelogramos articulados para xuntar e separar os distintos departamentos da caixa.

Tamén nas rodas do tren, as bielas que interconectan as rodas da locomotora forman un paralelogramo articulado, co fin de que todas leven o mesmo move-mento.

Esta estructura utiliza un rombo móbil.

Referencias:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0053-02/contenido/8_triangulacion.htm

ht tp : //es .w i k i ped i a . o rg/w ik i /Buckmins -ter_Fuller#Desarrollos

h t t p : / / e s . w i k i p e d i a . o r g / w i k i / M e c a n i s -mo_de_cuatro_barras

Sabela Rodríguez Castaño,

1ºBach. B

UN MÉDICO

UN COMERCIANTE

UNHA CASA EN PLANILANDIA

Tetractis 11_20

Documents

Transcript of Tetractis 11_20