Teste5 Asa

8/17/2019 Teste5 Asa

1/8

n .?

5

atemática A

uração do teste: 90 minutos

Ano de Escolar idade

GRUPO I

s cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das q

ma está correta.

screva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente

à

opção que

ar para responder a esse item.

e apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontec

e a letra transcrita for ilegível.

ão apresente cálculos, nem justificações.

Num determinado dia, de uma turma com 28 alunos só

±

fez o trabalho de casa da disciplina de M

tica. A professora vai ver ao acaso o caderno de seis destes alunos.

Qual é a probabilidade de apenas um deles ter feito o trabalho de casa?

21 21 1

A) ~ B) 7x C

s

C) _

~~ ~~

O)_7_

28

C6

De duas funçõesje g sabe-se que j(x xy)

=

j( x)+ j(y ) e g(x+ y)

=

g(x)xg (y ), para quaisque

números reais positivos x e

y.

Quais das seguintes expressões podem representar as expressões analíticas de je g?

A) j(x)= e

x

e g(x)=lnx

(B)

j(x)= lnx

e

g (x)= e

x

O

j(x)= .Jx

e

g(x)= x2

C)

j(x)= x2

e

g(x)= .Jx


2/8

Na figura está parte da representação gráfica de uma função

fde

domínio

1R \{ 0 }.

y

As retas de equação x = O,x = 1 e

y

= x são assíntotas do gráfico de

Seja a . = l n [ 1 + ~ r ] .

o

valor de

Ilmf a.)

é

A O 8 -00

(C) 1 (O) +00

Sejafuma

função de domínio

1R+ .

Sabe-se que a reta de equação

y

=

-2

é uma assíntota do grá

l n ~ )

de Então, pode concluir-se que lim _ x é igual a:

x-++oo

x

(A) +00

8) -00

C ) O

O) -3

Na figura está representada a função

e a reta

r

tangente ao seu gráfico y

no ponto de abcissa 1.

Sabendo que g(x )=-(2-x)2 , qual é o valor de (~ )'(1)?

A) 2

8) -2

C)~

4

(O)~

4

RUPO

Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos

tiver de efetuar e todas as justificações necessárias .

tenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

Na inauguração de uma perfumaria ofereciam-se amostras de um determinado perfume. Preten

saber se este facto teria influência na sua compra. Fez-se uma sondagem e concluiu-se que:

• 40% das pessoas não sabiam desta iniciativa;

• 55% das pessoas compraram o perfume;

• duas pessoas em cada três das que sabiam da iniciativa compraram o perfume.

Qual

é

a probabilidade de uma pessoa, que não saiba desta iniciativa, comprar o perfume?

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Numa prateleira dessa mesma perfumaria encontravam-se 2 frascos de perfume da marca A,

cos da marca 8 e 4 frascos da marca C, todos distintos entre si.


3/8

Considere a funçãoj, de domínio ]-oo,e[\{O}, definida por:

x ) = l

e

- ~ + x

1-lnx

se

x


4/8

Sem recorrer à calculadora, estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, tal co

figura sugere, é num ponto equidistante das duas colunas que a altura da rampa é mínima. .-

Mostre, analiticamente, que

h - X ) = = h + X ) .

Interprete esta igualdade no contexto da sit

descrita.

Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função g.

x

Sabe-se que:

• g

é

uma função contínua em ]R;

• g não tem zeros;

• a primeira derivada,j', de uma certa função

jtem

domínio ]R e

é

definida por:

j x ) g x ) x _ x 2 + S x - 4 )

• j 1 ) x j 4 ) < O .

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função

(I)

1 1

y

y

x

x

1 1 I (IV) y

x

y

Elabore uma composição na qual:

• indique a opção que pode representar j,

• apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções.

Apresente três razões, uma por cada gráfico rejeitado.


5/8

roposta de resolução

GRUPO I

o

número de casos possíveis

é

28 C

6

.

O número de casos favoráveis

é

7 x

21C5 ,

pois 7

é

o número de maneiras diferentes de

escolher um de entre os sete alunos que fez

o trabalho de casa; e por cada uma dessas

maneiras existem

21

C

5

maneiras distintas de

escolher 5 alunos de entre os 21 que não fez

os trabalhos de casa.

21

Assim, a probabilidade pedida é

7 ; 8

C

5.

C

Resposta B

Sejaj(x) = lnx. Então:

j x x y ) = l n x x y )

= l n x + l n y

= j x ) + j y ) , v x , y E jR+

Seja g

(x ) = e

X

• Então:

g x + y ) = e

X

+

Y

=

g x )

x

g y ) , v x , y E jR+

Resposta B

1 + ~ r ~e-

l n 1 + ~ r ~ 1 -

A sucessão de termo geral 1 + ~

r

tende para 1 ,

por valores inferiores a 1, pelo que

4. Dado que a reta de equação y = -2

é

as

do gráfico deje Df jR+, conclui-se que

l i m j x )

=

-2.

x

Assim:

l n l ) l i m l n l ) l n _ 1 ) l n

1

. x _ x -- ++ oo

X _ 00_

1m --- - ---

x -- ++oo

j x )

l i m

j x )

-2

x

-00

= - = + 0 0

Resposta A

5 . K ) 1 ) = g 1 ) x j 1 ) - g 1 ) x j 1 )

j [ j 1 ) t

_ 2x2- -1 x -1 4-1_~

4 4 4

Cálculo auxiliar:

g x )

= -2 2-

x ) - 1 )

= 2 2 - x )

= 4 - 2 x

g 1 ) = 4 - 2 = 2

g 1 ) = - 2 - 1 ) 2 = - 1

j 1 ) = m t = 0 - 2 = _ 1

3-1

Resposta O

GRUPO 11

1.1. Considere os acontecimentos:

S: saber da iniciativa

c:

comprar o perfume


6/8

• p

c) = 0,55,

logo p C

= 0,45.

2

• p c l S =-

3

( )

_ 2 p C

n

S) _ ~

P

Cls 3Ç=} p s -

3

2 6

Ç=}p cns =-x-

3 10

2

Ç=}p Cn s) = 5

Ç=}p cn s) =0,4

Organizando os dados numa tabela, obtém-se:

C

C Total

S

0,4

0,6

S -Q ,1 5\

0,4

-


7/8

b= x~Jt(x)-x]= X ~ ., [e- ;+x-x

1

=lime

x

=1

x~-oo

A reta da equação

y

=

x

+ 1 é uma assíntota

oblíqua do gráfico

dej

quando

x --

-00 .

é contínua em

]-00

O [ por, neste intervalo,

se tratar da soma de duas funções contínuas,

uma que é a composta de uma função expo-

nencial com uma função racional e a outra

que é uma função polinomial.

Em particular,f é contínua em [-2, -1].

1 1

f( -2 )= e -

2

+ (-2 )= e

2

-2= ); -20

f( -2 )x f ( -1)

00

X x->

00 g

X )

X

X x->

00 g

=

lim

_1_=_1_=2

x->+oo g (x )

O,S

x

b

=

lim [ h ( x ) - 2 x ]

=

lim [ x (2 ) - 2 X ]

x->

00

x->

00 g X

=

lim x

2

-2 xg (x )

= _

lim 2 x (g (x )-~ x

x->+oo g

x

x-> 00 g

x

=-2

lim ~ x lim [ g ( x )-O ,Sx ]

x->

00 g

X x-> +00

=-2

lim _ 1 x lim

[ g ( x )-O ,Sx]

x-> 00 g

X

x-> +00

x

1

=-2x-xO=0

O,S

y = 2 x

é uma assíntota não vertical do

de h.

4.

h(x )= 6-2 ln ( -x

2

+ Sx+ 6)

Dh

=[O

-2 ( -x 2 + 5x+ 6) -2 ( -2 x+ 5)

h ( x ) =

2

=

-----,2~-...

-x + 5x+ 6 -x + 5x+

4x -10

=

_x

2

+ 5x+ 6

4.1.

h (x )= O

4x -10 =O /\ _x

2

+Sx+ 6 ;t: O

10

Ç= }X = - /\ (x ; t :- 1 /\ x ; t :6)

4

S

Ç= }X = -

2

Cálculo auxiliar:

_x

2

+ Sx+ 6

= O

Ç=}

x

= -S ± ~r-2S---4-x- ( ---6--:-)


8/8

5

O

2

5

4x-10

-

-

O

+

+

-x+ 5x+ 6

+ +

+ +

+

Sinal de h

-

-

O

+

+

Sentido de

- ,

M

m

M

variação de

h

A função atinge o mínimo em

x

=

.

Confirma-se assim que é num ponto equidis-

tante das duas colunas que a altura da rampa

é mínima.

h

é estritamente decrescente em [O, ] .

h é estritamente crescente em [%,5}

Para qualquer

x

E

[O, ] , tem-se que:

h - X ) = h + X )

~

- 2 m [ - - x r + 5 - + +

=

- 2 m [ - + x r

+ 5 + X

H

Ç::> _ 2ln[ _(2:

-5x+x

2

)+

2;

-5x+

6 ]

=

= -21n[ -( 2:

+5x+x

2

)+

22

5

+

5x+

6 ]

Ç::> ln (- ~5 + ~ -

x2

+ 22

5

- ~ + 6) =

= ln (- 24

5

- ~ -

x

2

+ 22

5

+ ~ + 6)

Ç::> ln -x2 +

24

5

+

6)

=

ln(

_x

2

+

2:

+

6)

49

49

Esta igualdade é sempre verdadeira, ta

se queria mostrar.

A igualdade h - X ) = h + X ) traduz

seguinte facto:

Pontos equidistantes (para a esquerda

a direita) do meio da rampa estão à

altura.

Aopção que pode representar a funçãojé

Pode-se excluir a opção (A), pois, pelo f

f estar definida em R em particular,j é

vel, logo contínua.

A opção (C) também

é

excluída porq

respeita o sentido de variação da funç

sentido de variação da função

é obtid

estudo do sinal da primeira derivada

Pelo facto da parte do gráfico de g visu

estar acima do eixo das abcissas, tem-

g x > O \fx E I R .

Assim, o sinal de

j

é dado pelo sinal

_x2 + 5x -

4 )

obtido no seguinte esboço

Assim, rejeita-se a opção (C), pois, po

plo, no intervalo

[1,4],

e função é estrita

decrescente e o esboço apresentado

que deveria ser estritamente crescente.

Exclui-se a opção (D), visto que, por

zação gráfica, as imagens de 1 e 4 têm

iguais, logo j 1)xj 4»0, o que con

condição dada, j 1)xj 4)

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