TEORIA DE COLAS

Investigación de Operaciones

Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.

Introducción

· Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el costo total.

· Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el costo total del mismo.

· Establecer un balance equilibrado entre las consideraciones cuantitativas de costos y las cualitativas de servicio.  

Objetivos del modelo

Ejemplos de colas

Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar“ demandando un servicio a un "servidor" el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la línea de espera.

Definición

Estructura del Modelo

COSTOS ASOCIADOS AL MODELO DE COLAS

El modelo busca reducir los costos totales utilizando herramientas para optimizar el sistema.

Los costos pueden ser:a) Los costos asociados a la espera de los

clientes.b) Los costos asociados a la expansión de

la capacidad de servicio.c) Los costos totales del sistema de

servicio.

Costos asociados

Son los costos por la espera de los clientes cuando están en el sistema.

Por ejemplo, el valor del tiempo perdido o la gasolina malgastada en los atascos o los semáforos.

Lo normal es pensar que estos costes de espera decrecen conforme aumenta la capacidad de servicio del sistema.

costos por espera

Es el costo por incrementar la capacidad de servicio del sistema.

Contra la reducción anterior de costes de espera, es también normal que el coste asociado a incrementar la capacidad de servicio crezca con alguna proporcionalidad en relación a esta capacidad.

costos por expansión

La suma de los dos costes anteriores da una función de costes totales del sistema en función de la capacidad, que tendrá una forma similar a la siguiente:

Costo total

Características de un sistema de colas.

Un sistema de colas tiene tres secciones1. Características de llegada2. Característica de las líneas de espera3. Característica de las instalaciones de servicio.

Característica de un sistema de colas

La fuente de entrada que genera las llegadas de los clientes tiene 3 características:1. Tamaño de la fuente de la población2. El patrón de llegadas al sistema de colas3. El comportamiento de las llegadas.

Llegada

1. Pueden ser infinitos o finitos. 2. Se considera infinitos cuando el numero de clientes en

cualquier momento es dado únicamente una pequeña porción de las llegadas potenciales.

3. Ejemplos de infinitos pueden ser automóviles que llegan al pagar el peaje, compradores que llegan a los supermercados o personas que llegan a atención al cliente.

4. Ejemplo de población finita es un taller con solo ocho maquinas que podrían descomponerse y requerir servicio.

Llegada Tamaño de la población fuente

Los clientes pueden llegar con un programa definido o en forma aleatoria.

Aleatoria se refiere que las llegadas son independientes y su ocurrencia no se puede predecir.

Es común que para calcular el numero de llegadas por unidad de tiempo se utiliza la distribución de probabilidad Poisson.

Llegada Patrón de llegadas al sistema

Distribución de PoissonFormula para llegadas

P(X) = probabilidad de llegadasX = numero de llegadas por unidad de tiempo 0, 1, 2, 3, …λ = tasa de llegas promedio ℮ = 2.7183

Llegada

En la mayoría de modelos de colas suponen que el cliente es paciente y espera a ser atendido.

En realidad no todos los clientes son pacientes y eluden las colas.

Eludir significa que los clientes se rehúsan a incorporarse a la cola de espera porque es demasiado para adaptarse a sus necesidades o intereses.

Llegada Comportamiento de llegadas

En estas colas los clientes impacientes puede irse. Esta situación nos acentúa que debemos aplicar la teoría de colas y el análisis de líneas de espera.

Llegada Comportamiento de llegadas

La longitud de la fila - Puede ser limitada o infinita. - La cola limitada tiene tope que le impide ser infinita.

Líneas de EsperaCaracterísticas

Esta es la regla en la forma que los clientes van a recibir el servicio. Entre las reglas están UEPS (ultimo en entrar, primero en salir) , y la que se utiliza casi siempre es el PEPS (primero en entrar, primero en salir).Pueden existir circunstancias especiales que se modifiquen un PEPS. (emergencias)

Líneas de EsperaLa disciplina en la cola

Las instalaciones de servicio tienen las siguientes propiedades básicas:

1. La configuración del sistema de servicio

2. El patrón de los horarios de servicio.

Instalaciones de servicio

Los sistemas de servicio se clasifican en términos del numero de servidores y del numero de fases o de paradas de servicio que deben realizarse.

Puede existir combinaciones de un solo canal , varios canales, un fase o varias fases.

Instalaciones de servicioLa configuración del sistema de servicio

Sistema de un canal, una sola fase

cola

Llegadas Instalación Salida

de servicio

Instalaciones de servicio

Sistema de un canal, una multifase

cola

Llegadas Instalación Instalación Salida

de servicio de servicio tipo 1 tipo 2

Instalaciones de servicio

Sistema de un multicanal, una sola fase

Instalaciones de servicio

I

I

I

Sistema de un multicanal, multifase

Instalaciones de servicio

Los patrones de servicio pueden ser constantes o aleatorios. En muchos casos se puede suponer que los tiempos de servicios aleatorios se describen mediante la distribución de probabilidad exponencial negativa, si las tasas de llegadas siguen una distribución de Poisson.

Instalaciones de servicio Distribución de tiempos de servicio

Kendall desarrollo una notación para especificar el patrón de llegadas, la distribución del tiempo de servicio y el numero de canales en un modelos de colas.

( llegadas/ tiempo de servicio / #canales)

Notación Kendall

Letras con notación en kendall M : distribución de poisson o tiempos

exponenciales. D : tasa constante G : distribución general con varianza y medias

conocidas.

Notación Kendall

Ejemplo (M/M/1) significa: - llegadas según distribución Poisson.

- tiempo de servicio exponencial - 1 servidor. (M/M/2) ?? (M/G/3) ??

Notación Kendall