Teoria de Colas Una Ventaja Competitiva

7/22/2019 Teoria de Colas Una Ventaja Competitiva

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nota tecnica setsADMINISTRACION DE LA FILADE ESPERA

Definition de colas

Aspectos economicos del problema de la fila deesperaEquilibrio de costo-efectividadEi purtto de vista practice de las filas de espera

El sistema de colasLlegadas de los clientesDistribution de las llegadasEl sistema de colas: factoresSalida

Definition de sistema de colasDefinition de tasa de llegadas

Definition de distribution exponentialDefinition de distribution de Poisson

Definition de rapidez del servicin

Modelos de la fila de esperaTiempo de espera aproximado del clienteSimulacion por computadora de las filas de esperaConclusion

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2 7 1

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287

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2 9 1


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268 section 2 DlSENO DEL PRODUCTO Y S E L E C C I O N DEL P R O C E S O1 1 ODOS NOS HEMOS VISTO OBLIGADOS

A ESPERAR EN UNA FILA Y SABEMOSQUE, CUALQUIERA QUE SEA LA QUE ELI- ^"P^^m^ '

i * j ' - ii f. P.J A M O S , L A S O T R A S P A R E C E N A V A N Z A RCON MAS R A P I D E Z . AQUI, LAS P E R -S O N A S S E FORMAN E N L A F I L A P A R A E N -TRAR A L M U S E O D E L L O U V R E E N P A R I S ,F R A N C I A .

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Colas Comprender las filas de espera, o colas, y aprender a administrarlas es una de las areas ma s im-portantes en la a dministration de operaciones. Es esencial pa ra la creation de programas, el di-seno de puestos, para determinar los niveles del inventario, etc. En nuestra economia, hacemosfilas todos lo s dias, desde qu e conducimos para ir a trabajar, hasta qu e p a g a m o s en el supermer-cado. Tambien nos encontramos con filas de espera en las fabricas: los trabajos esperan en filapara que las diferentes maquinas lo s lleven a cabo y las maquinas mismas esperan su turno paraque las reparen. En resumen, las filas de espera se encuentran en todas partes.En esta nota tecnica anal iza mos los e lementos basico s de los p roblemas inherentes a lasfilas de espera y proporcionamos las formulas en estado estacionario para resolverlos. Estasformulas, a las que se ha l legado por medio de la teoria de las colas, permiten que los encarga-dos de la planeacion analicen los requerimientos del servicio y establezcan instalaciones deserv icio ap ropiada s para la s condiciones establecidas. La teoria de las colas es tan ampl ia qu epermite analizar demoras tan diferentes como las que encuentran los clientes en un centrecomercial o l os aviones en un pa t r o n de demora, a la espera de una p i s t a d i spo n ib l e par a a t e -rrizar. Recientemente, lo s proveedores de acceso a Internet ha n tenido problemas para propor-cionar suficientes lineas telefonicas por modem a los subscriptores qu e intentan conectarse ala red. Este problema tambien p uede anal izarse con los modelos de colas.

A S PEC T O S ECONOMICOS DEL PROBLEMADE LA FILA DE ESPERA

-\ o El problema fundamental en casi todas las f ilas de espera tiene que ver con elequilibrio. El administrador debe sopesar el costo adicional de proporcionar un servicio masrapido (mas carriles de transito, pistas de aterrizaje adicionales, mas mostradores de registrode salida s) contra el costo inherente a la espera.Con frecuencia , el costo de esta decisi on es directo. Por ejemp lo, s i encontram os que eltiempo total que pa san nuestros empleados en una fila para poder ut i lizar un a copiadora p u e -de dedicarse a actividades ma s productivas, comparariamos el costo de instalar un a maquin^adicional co ntra el valor del tiempo que se aho rran los empleados. D espu es de esto la decisiotse reduce al costo en dolares, lo cual facilita la election.


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A D M I N I S T R A C I O N D E L A F IL A D E E S P E R A nota tecnica 26 9Fo r otra parte, supongamos que nuestro problema de la fila de espera es la demanda de camasen unhospital . No podemos simplemente calcular el costo de las camas adicionales sumando loscostos de construction del edificio, del equipo adicional requerido y del incremento en elmantenimiento, ya que, de hacerlo asf, que pondrfamos del otro lado de la balanza?Aquf nosenfrentamos al problema de tratar de asignarle una cifra en dolares a la necesidad del pacien-te de una cama de hospital que no esta disponible. Aun cuando podemos estimar los ingresosperdidos para el hospital , ^q u e hay sobre el humano que surge de esta falta de atencion ade-

cuada en el hospital?

E Q U I L I B R I O D E C O S T O - E F E C T I V I D A DLa figura NT6.1 muestra la relation esencial del equilibrio en condiciones tfpicas (estadoestacionario) de transito de clientes. Al principio, con una capacidad de servicio minima, elcosto de la fila de espera esta en el ma xi mo. A medida que se incrementa la capacidad de ser-vicio hay una reduction en el numero de clientes en la fila y en sus t iempos de espera, lo quedisminuye el costo de la fila de espera. La variacion en esta funcion suele estar representadapor la curva expo nencial negativa. El costo de la cap acidad de servicio se muestra de una ma-nera sencilla como una funcion l ineal, mas que como una funcion escalonada. El costo agre-gado o total se muestra como una curva en forma de U, que es una aproximacion comiin enestos problemas de equil ibrio. El costo opt imo idealizado se encuentra en el punto donde secruzan las curvas de la cap acidad de servicio y de la fi la de espera.

E PUNTO DE VISTA PRACT1CO DE LAS FILAS DE ESPERAAntes de proceder con una presentacion tecnica de la teoria de la fi la de espera, es util consi-derar el lado intuitive del problem a p ara ver lo que significa. La figura NT6.2 muestra las lle-gadas a una instalacion de servicio (como un banco ) y los requenmientos de servicio en dichainstalacion (como son los cajeros y funcionarios de credito). Una variable importante es el nu-mero de l legadas durante las horas en que esta abierto el sistema de servicio. Desde el puntode vista de la entrega del servicio, los cl ientes piden cantida des variables del mismo que a me-nudo exceden la capac idad normal . Podemos controlar las l legadas de varias formas. A l g u n a sde estas son tener una fila corta (como en la venta nil la para a utos de un restaurante de comidarapida, que cuenta con pocos espacios), establecer horas especificas para cl ientes especificos,o bien ofrecer prom ociones especiales. En el caso del servidor, podem os afectar el t iempo delservicio ya sea util izando servidores mas rapidos o mas lentos, m a q u i n a s ma s r a p i d a s o ma slentas, o bien diferentes herramientas, materiales, distribuciones de la planta, t iempos de pre-paration mas rapidos, etcetera.

Costo

CostoagregadoCosto dela c a pa c i da dde servicio

Costo de lafila de esperaC a pa c i da d opt i ma

C a pa c i da d de la i ns ta la c i on de servicio

FIGURA NTS 1Equilibrio de la capacidaddel servicio versus lafilade espera


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270 section 2 DlSENO DE L PRO DU CT O Y S E L E CCIO N DE L PRO CE S O

SUGERENCIAS PARA ADMINISTRAR LAS COLASEstas son algunas sugerencias utiles para administrar las co-las, que van masalia de los modelos cuantitativos de las filasdeespera.1 Determine un tiempo de espera aceptable para susclientes. iCuanto tiempo creen sus clientes que debe-

ran esperar? Establezca objetivos operacionales basadosen lo que es aceptable.

2 Trate de desviar la atencion de susclientes cuandoes-peran. Si se proporciona musica, un video u otra formade entretenimiento, eso puede ayudar a distraer a losciientes del hecho de que se les hace esperar.

3 Informe a sus clientes que es lo que deben esperar.Esto esespecialmente importante cuando el tiempo deespera es mas argo de lo normal, Informeles por que eltiempo de espera seprolonga mas de lo normal y quees lo que hace usted para aligerar la espera.

4 Mantenga fuera de la vista de sus clientes a los em-pleados que no los estan atendiendo. Nada es masfrustrante para quien espera en una fila que ver a losempleados que potencialmente podrian estar aten-diendolos trabajando enotras actividades.

5 Segmente a los clientes.Si un grupo de clientes necesi-ta algo que puede hacerse con mayor rapidez, envfe aesos clientes a una fila especial, de manera que no ten-gan que esperara causa de los clientes mas lentos.

Capacite a sus servidores para que sean cordiales.Saludar al cliente por sunombre, o bien proporcionarlealguna otra atencion especial, puede hacer mucho paraveneer los sentimientos negatives de una larga espera.(Sugerencia: en vez de decirles a los servidores simple-mente que sean cordiales, los psicologos sugieren quese les diga cuando deben recurrir a acciones cordialesespecfficas, como sonrefr cuando saludan a los clientes,cuando toman pedidos y cuando dan cambio [en unatienda]. Las pruebas que se han hecho utilizando esasconductas especificas demostraron incrementos signi-ficativos en la percepcion del cliente respecto de la ac-titud amistosade los servidores.)Anime a los clientes para acudir durante periodos depoca actividad. Informe a los clientes cuales son loshorarios en los que por lo comun no tienen que esperar.Tambien digales cuales son los periodos pico; esto pue-de ayudar a mitigar la carga.Tenga la perspectiva a largo plazo de deshacerse de ascolas. Desarrolle planes para formas alternativas deatencion a sus clientes. Cuando sea apropiado, desarro-lle planes para automatizar o acelerar de alguna mane-ra el proceso. Esto no quiere decir que usted debaeliminar la atencion personal, pues para algunos clientesesta es deseable.

FUENTE; BASADO EN K. KATZ, B. M. LARSON Y R. C. LARSON, "PRESCRIPTION FOR THE WAITING-IN-LINE BLUES" SLOAN MANAGEMENT R E V I E W , INVIERNO DE 1991,P A G I N A S 51-52.

F I G U R A N T S .2 Llegadas Requerimientos de servicioPerfiles de las llegadasydel servicio

Numerode l l egadas Tiempodel servicio

C a p a c i d a dnormal

Tiempo Tiempo -

El p u n t o esencial es que las f ilas de espera no son una condicion fija dentro de un sistemaproductivo, sino qu e estan en gran medida ba j o el control de la administracion y el diseno de lsistema. El profesor Richard Larson (el famo so "observador de la espera") y sus colegas ofre-ce n sugerencias utiles para administrar las colas, basados en su investigacion de la industnabancaria . (Vease el cuadro titulado "Sugerencias para administrar las colas".)


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ADM INISTRATION DE LA FILA DE ESPERA nota tecnica 27

EL SISTEMA DE C O L A S041 El sistema de colas consiste esencialmente de tres componentes principa les : (1)la poblacion fuente y la forma como los clientes llegan al sistema, (2) el sistema de servicio y(3) la condition en que los clientes que salen del sistema (^vuelven o no a la fuente de po bl a -cion?), como se ve en la f igura NT6.3. En las sig uientes secciones se describe cada una de es-

I ta s areas.L L E G A D A S D E L O S C L I E N T E SLa s l legada s a un sistema de servicio p ueden toma rse de una poblacion^znifa o infinita. La dis-tincion es imp ortante, ya que los analis is respectivos se basa n en diferentes premisas y requie-ren diferentes ecuaciones para su solution.Poblacion f in i ta . Una poblacion finita se refiere a un conjunto reducido de clientes que uti l iza-ra n el servicio y que, en ocasio nes, deben formarse en una fila. La razo n por la que es imp or-tante clasificarla como finita es que cuando un cliente sale de su position como miembro de lap ob l a c i on (por e jemplo, una maquina se descompone y requiere serv icio) , e l tamano delgrupo de usuarios se reduce en uno, lo que a su vez reduce la proba bilidad de que se vuelva arequerir el servicio. A la inversa, cuando se le ofrece el servicio a un cliente y regresa al gru-p o de usuarios, la poblacion se incrementa al igual que la probabilidad de que un usuar io re-quiera un servicio. Esta clase de problemas finitos requiere una serie de formulas distintas delas del caso de la poblacion infinita.

, Po r ejemplo, considere un gr upo de seis maquinas a las que un encargado de reparacionesda mantenimiento. Cuando una m aquina se descompone, la p oblacion fuente se reduce a cin-co maquina s y la proba bi l idad de que una de las cinco restantes se descomponga y necesiteuna reparacion es, en efecto, menor que cuando habia seis maquinas operando. Si hay dos ma-quinas descompuestas y so lo cuatro estan op erando, la p robab i l idad de que otra se descom-ponga cambia de nuevo. A la inversa, cuando una maquina se repara y vuelve a estar enservicio, la pobla cion de maquinas se incrementa, aumentando en consecuencia la p robabi l i -da d de una descompostura. En las f iguras NT6.8 y NT6.10 se presenta un mo delo de po bla-cion finita con un solo servidor que puede util izarse en tales casos.Poblacion in f in i t a . U na poblacion infinita es basta nte grande en relation con el sistema de ser-vicio, de manera que el tama no de la pob lacion, que es consecuencia de las restas o sumas ala po blacio n (un cliente que necesita un servicio o un cliente que recibio el servicio y regresaa la poblacion), no afecta de manera significativa la s probabi l idades de l sistema. Si en la ex-plication finita anterior hubiera 100 ma quinas en vez de seis, y si una o dos ma quinas se des-

Sistema de colas

Finita [;4vSS

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f "

Sistema del servicio!

Fila de espera Servidores\ f, ii i

Llegadas1- ^ A Q A ^ ^d e clientes i & m , i" ^ : V w * * e i! % 1 %

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i Salida: i f r^AA"Si!t

J

Co nsisteComponentes de unsistema de colas


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272 section 2 DlSENO DEL PRODUCTO Y SELECCION DE L PROCESO

Tasa de l l e g a d a s

Distribucion exponencial

compusieran, la s probabilidades de la siguiente descompostura no serian m uy diferentes y p o -dria suponerse, sin un error significative, que la poblac ion (para todos los fines practices) esinfini ta. La s formulas para lo s problemas de colas "infinites" tampoco causarian un error sig-nificative si se aplican a un medico con mil pacientes o a una tienda departamental con diezmil clientes.

DISTRIBUCION DE LAS L L E G A D A SCuando describimos un sistema de espera necesitamos definir la forma en que estan distribui-dos los clientes o las unidades de espera para el servicio.

Las formulas de la fila de espera por lo general requieren una tasa de llegadas, es decir, el nu -mero de unidades p o r periodo (por ejemplo, un promedio de una llegada cada seis minutos). Unadistribucion de llegadas constante es periodica y hay exactamente el mismo tiempo entre la s lle-gadas sucesivas. En los sistemas productivos, la s unicas llegadas qu e verdaderamente se aproxi-man a un periodo con un intervalo constante son aquellas sujetas al control de una maquina. Asipues , son mucho ma s comunes la s distribuciones de llegadas variables (a l azar).

Al observar las llegadas en una instalacion de servicio, tenemos dos puntos de vista. En pri-mer lugar, podemos analizar el tiempo entre la s llegadas sucesivas para ver si este sigue algunadistribucion estadistica. Por lo comun suponemos que el tiempo entre las llegadas esta distribui-do en forma exponencial. En segundo lugar, podemos determinar a lgun lapso de tiempo (7) ytratar de determinar cuantas llegadas podrian ingresar al sistema dentro de (I). Por lo general su-ponemos que el numero de llegadas por unidad de tiempo tiene una distribucion de Poisson.D i s t r i b u c i o n e x p o n e n c i a l . En el primer caso, cuando la s llegadas a una instalacion de servicioocurren en forma exclusivamente a l azar, un a graf ica de los tiempos entre la s llegadas nos dauna distribucion exponencial como la que se muestra en la figura NT6.4. La funcion de pro-babilidad es

[NT6.1]

F I G U R A N T S .4Distribucion exponencial

donde A es el numero promedio de llegadas p o r periodo de tiempo.El area acumulada b a j o la curva de la figura NT6.4 es la suma de la ecuacion (NT6.1) so -bre su rango positive, que es e~ Kt . Esta integral no s permite calcular la probabilidad de las lle-gadas dentro de un tiempo especi f icado. Por ejemplo, para el caso de llegadas individuals aun a fila de espera (1 = 1), puede derivarse la siguiente t abla , ya sea resolviendo e~", o bienutilizando el apendice F. La columna 2 muestra la probabilidad de que pasen mas de t minu-to s hasta la siguiente llegada. La columna 3 muestra la probabilidad de la siguiente llegada enel transcurso de t minutos (calculada como 1 menos la columna 2).


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ADM INISTRACION D E L A FILA D E ESPERA nota tecnica 273

(1) (2)PROBABILIDAD DE QUE LA SIGUIENTE

LLEGADA O CURRA EN(3)

PROBABILIDAD D E QUE LA SIGUIENTEL L E G A D A OCURRA E Nf

(MlNUTOS)

00-51.01-52.0

f MlNUTOS O MAS(DELAPENDICE F O DESPEJANDO e~t]

1.000.61o.37022O.14

f MNUTOS O MENOS[1- COLUMNA (2)]

00390630780.86

Distribucion de Poisson. En el segundo caso, en el que nos interesa el numero de llegadas du-rante algun periodo de tiempo T, la distribucion aparece como en la figura NT6.5 y se obtieneal encontrar la probabilidad de exactamente n llegadas durante T. Si el proceso de llegadas esal azar, se trata de una distribucion de Poisson y la formula es Distribucion de Poisson

[NT6.2] PT(n) =

La ecuacion (NT6.2) muestra la probabilidad de exactamente n llegadas en el tiempo T. 1 Forejemplo, si la tasa promedio de llegadas a un sistema es de 3 por minuto, (A=3) y queremosencontrar la probabilidad de que lleguen exactamente cinco unidades en el transcurso de unperiodo de un minuto (n 5, T 1), tenemos.(5) = (3 x \Ye_-3xl 120 = 2.025e~3 =0.101

Es decir, hay un 10.1 p or ciento de probabil idades de que habr^ cinco llegadas en cualquier in -tervalo de un minuto.Aun cuando a menudo se muestra como un a curva suavizada, la distr ibucion de Poisson es

una distribucion discreta. (L a curva se suaviza a medida qu e n se hace ma s grande.) La distri-bucion es discreta debido a que, en nuestro ejemplo, n se refiere al numero de llegadas en unsistema y este numero debe ser un entero. (Por ejemplo, no puede haber 1.5 llegadas.)Observe tambien que las distribuciones exponencial y de Poisson pueden derivarse una dela otra. El promedio y la varianza en una distribucion de Poisson so n iguales y se denotan p or X.El promedio de la exponenciales I/A y su varianza es I/A 2 . (Recuerde que el tiempo entre la s

Probabilidad -20de n llegadasen el tiempo T

4 5 6Numero de llegadas (n)

10 12

F I G U R A NT6.5Distribucion de Poissonpara AT = 3.


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274 seccidn 2 DlSENO DE L PRO DU CT O Y S ELEC C IO N DE L PRO CE S O

RGURANT6 .6Llegadas de clientesen las colas Distribution

Patr6n

Tamano de las llegadas

Grade de paciencia

l legadas se distribuye exponencialmente y que el numero de l legadas p or unidad de tiempo sedistribuye por Poisson.)Otras caracteristicas de las l legadas incluyen los patrones de l legada, e l tam ano de unida-de s de llegada y el grado de paciencia. (V ease la f igura NT6.6.)Patrones de llegada. Las llegadas a un sistema son mucho mas controlables de lo que sereconoce en general. Los peluq ueros pueden disminuir su tasa de llegadas los sabad o s (su-poniendo que pueden cambiar las a o tros dias de la semana) cobrando 1 dolar extra po r cadacorte de cabello para adulto, o cobrando precios para adulto p o r cortes de cabello para ni -nos. La s tiendas departamentales anuncian ventas especiales fuera de temporada. o bienventas de un solo dfa, que sirven en parte para propositos de control. Las aerolfneas ofre-ce n tarifas de excursion y fuera de temporada po r razones similares. El disp ositivo de con-trol mas sencillo es el anuncio del horario de trabajo.A l g u n a s solicitudes de servicio son obviamente incontrolables, como las solicitudes deservicios medicos de urgencia en los hospitales de una ciudad. Pero incluso en esas situa-ciones es posible controlar hasta cierto punto las l legadas a las sa las de urgencia. En algu-nos hosp i tales, por e jemplo, se ma ntiene informados a los conductores de las ambulanciasde la region acerca de la s i tuac ion en que se encuentran pa ra p oder dar el servicio.Tamano de las unidades de llegada. Puede considerarse una sola llegada como si fueraun a unidad. (Una unidad es el numero ma s pequeno que se va a manejar.) En el recinto dela bolsa de valores de Nueva York (NYSE) una sola l legada consiste de 100 acciones; unasola l legada en una planta procesadora de huevo podria ser de una docena de huevos o unacaja de 2 / < docenas de huevos, un a sola l legada en un restaurante equivale a una sola per-sona.Una llegada en lotes es algi in mult iple de la unidad, como un conjunto de 1 000 accio-nes en la NYSE, una caja dehuevos en la planta procesadora o un grupo de cinco en un res-taurante.Grado de paciencia. Una \\egadapaciente consiste en alguien que espera todo el tiempo quese a necesario h asta que la instalacion de servicio lo pueda atender. (Aun si quienes llegan re-funfunan y se comportan de una manera imp aciente, el hecho de que esperen es suficiente p a-ra clasificarlos como llegadas pacientes para lo s propositos de la teoria de la fila de espera.)


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ADM INISTRACION DE LA FILA DE ESPERA nota tecnica 275

DEBEN CONSIDERARSE FACTORES TALESC O M O LA LONGITUD DE LA FILA,SU CAPACIDAD Y E L NUMERO D E FILASCUANDO SE DISENA UN SISTEMAD E COLAS. EN LA ENTRADA A Six FLAGSMOUNTAIN MAGIC, EN VALENCIA,CALIFORNIA, SE UTILIZAN L(NEASMULTIPLES CON CONTADORES DEP E R S O N A S P A R A LLEVAR UN REGISTROD E L A CAPACIDAD D E L PARQUE.

Ha y dos clases de llegadas impacientes. En el primer caso, los miembros llegan, sondeantanto la instalacion del servicio como la long itud de la f ila, y despues deciden irse. En elotro caso los miembros llegan, estudian la situation, se unen a la f ila de espera y luego, des-pues de algun periodo de tiempo, se van. La conducta del primer tipo se califica como defrustration, mientras que la del segundo tipo se calif ica como de renuncia.

E SISTEMA DECOLAS: FACTORESEl sistema de colas se compone principalmente de la(s) fila(s) de espera y del numero dispo-nible de servidores. Aquf exponemos los aspectos correspondientes a las caracteristicas y laadministracion de la fi la de espera, la estructura de la linea y la rapidez de l servicio. Los fac-tores qu e deben considerarse ju nto con las fi las de espera son la longitud de la fila, el numerode filas y la disciplina de la cola.

Longitud. En un sentido practice, una fila infinita significa simplemente que es muy largaen terminos de la capacidad de l sistema de servicio. Algunos ejemplos de longitudes infini-tas potentiates son una fila de vehiculos que se extiende por varies kilometres para podercruzar un puente, o bien lo s clientes qu e deben formarse en una fila alrededor de una man-zana par a comprar boletos en un teatro.

Las gasolineras, los muelles de carga y los estacionamientos tienen una capacidad limi-tada defila, c ausad a p o r restricciones legales o p o r caracteristicas ffsicas de l espacio. Estocomplica el problema de la f ila de espera, no solo en lo que se refiere a la utilization del sis-tema de servicio y a los calculos de la fila de espera, sino tambien en la forma de la distri-bution real de las l legadas. La l legada a la que se niega el acceso a la fi la debido a la faltade espacio puede unirse a la p oblacidn para intentarlo po steriormente, o bien puede buscarel servicio en otra parte. Cualquiera de estas acciones signi-ficauna diferencia obvia en el caso de la poblacion finita.Numero de filas. Una fila unica consiste, p o r supuesto , enuna sola linea o una sola fila. El termino multiples filas se re-fiere a las f ilas l inicas que se forman frente a dos o ma s ser-vidores, o a las fi las unicas que convergen en algun punto deredistribution central. La desventaja de las filas multiplesen un a instalacion muy ocupada es que las l legadas a menu-do c ambian de fila si algunos servicios previos han sido decorta duration, o bien si los clientes que se encuentran enotras filas requieren un tiempo de servicio mas breve.

Longitud potencial infinita jLongitud de la fila KT

^ Capacidad limitada\ Una sola

Numero de filas HK.j M ultiple


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276 seccidn 2 DlSENO DE L P R O D UC TO Y S ELEC C IO N DE L P R O C E S O

Disciplina de la cola. La d iscipl ina de una cola se refiere a una regla o una serie de reglasqu e so n priori tar ias para determinar el orden de la atencion a los clientes en una fila de es-pera. Las reglas seleccionadas pueden tener un considerable efecto sobre el desempefio to -tal del sistema. El numero de clientes en la f ila, el tiemp o de espera prom edio, el rang o devariabil idad en la f ila de espera y la eficiencia de la instalacion de servicio son solo algu-no s de los factores que se ven afectados por la eleccion de las reglas de prioridad.Probablemente la regla de prioridad ma s comun es a tender primero a quien llego primero(APLP). Esta regla estab lece que el cliente es atendido de acuerdo con su llega da cronolo-g ic a , sin que haya otras caracteristicas que tengan relacion con el proceso de seleccion.Esto se acepta p op ularmente como la regla mas justa, aun cuando en la pract ica discriminaa quienes lleg an y requieren un tiempo de servicio breve.

Disciplina de la cola

Atender primero al quellaga primeroEl tiempo de procesomas corto

Primero las reservacionesPrimero las ureencias

Necesidades limitadasOtras

R a p i d e z de l serv icio

Primero la s reservaciones, primero la s urgencias, primero lo s clientes de mayorrentabilidad, primero lo s pedidos grandes, primero lo s mejores clientes, el t iempo de espe-ra mas largo en la f ila y la fecha prometida ma s cercana son otros ejemplos de las reglas depr ior idad. Hay dos problemas practices importantes al util izar cualquier regla: uno es ase-gurarse de que los clientes conozca n la regla y la respeten; el otro es aseg urarse de que exis-ta un sistema para permitir a los empleados administrar la f ila (como los sistemas quereparten fichas de turno).

D i s t r i b u c i o n de l t i e m p o de l serv icio . Otra caracteristica importante de la estructura de esperaes el tiempo que el cliente o la unidad permanece con el servidor una vez que ha emp ezado elservicio. Las formula s de la fila de espera p or lo general definen la rapidez del servicio comola capa cidad del serv idor expresada en numero de unidades por per iodo de t iempo (por ejem-plo, 12 servicios terminados por hora) y no como el tiempo del servicio, que podria tener unpromedio de cinco minutos cada uno. Una regla de tiempo de servicio constante dice que ca-da servicio debe tomar exactamente el mismo dempo . Ig ual que en las l lega das constantes, estacaracteristica se l imita en general a las operaciones contro ladas p or maq uin as .

Cuando los tiempos de servicio son al azar, se puede hacer una aproximacion mediante lad istribucion exponencial . Cuando se ut i l iza la d istr ibucion exponencial p ara la ap roximacionde los t iempos de servicio, no s referimos a /K , como el numero promedio de unidades o declientes a quienes puede servirse por periodo de tiempo.Estructuras de la f ila. Como lo muestra la figura NT6.7, el flujo de sujetos que van a recibir unservicio p uede pa sar a lo la rgo de una so la f ila, de filas multiples o de mezclas de las dos . Laeleccion del formato depende del volumen de clientes que se atendera y de las restriccionesimpuestas por los requerimientos en secuencia qu e go b ie r n an el orden en el que debe desem-penarse el servicio.


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A D M E N I S T R A C IO N D E L A F I L A D E E S P E R A nota tecnica 277

Estructuras de la fila FIGURA NT6.7

Canales multiplesa un solo canal

Trayectorias alteniativastales como: T

1 Un solo canal, una sola fase. Este es el tipo de estructura de la fila de espera ma s sen-cillo. y hay formulas directas disponibles para resolver el problema de lo s patrones de distri-bution estandar de llegada y de servicio en esta estructura. Cuando las distribuciones no sonestandar, el problema se resuelve facilmente mediante una simulacion por computadora. Unejemplo tipico de una situacion de un solo canal y una sola fa se es una peluqueria atendida p oruna sola persona .2 Un solo canal, multiples fases. Un ejemplo de este caso es un lavado de automoviles,ya que ahf se desempena una serie de servicios (aspirar, mojar, lavar, enjuagar, secar, limpiarlo s cristales y estacionar) en una secuencia bastante uniforme. Un factor decisive cuando ha yun solo canal con un servicio en serie es la cantidad de sujetos acumulados que se permitefrente a cada servicio, lo que a su vez constituye filas de espera separadas.3 Multiples canales, una sola fase. La s ventanillas de los cajeros en un banco y los mos-tradores para p a g a r en las tiendas departamentales ejemplifican este tipo de estructura. La di-ficultad con este formato estriba en que el tiempo desigual del servicio que se proporciona acada cliente deriva en una velocidad o un flujo desigua les entre las filas. Esto da como resul-tado que se atienda a a lgu nos clientes antes que a otros que llega ron primero, a si como ciertogrado de cambio de filas. Para modificar esta estructura y asegurarse de que el servicio de lasHegadas se a cronologico, se requiere formar un a sola fila desde la que se asigne al siguientecliente en la cola a medida que un servidor se encuentre disponible.


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1278 section 2 DlSENO DEL PRODUCT O Y SELECCION DEL P R O C E S O

El principal problema de esta estructura es que requiere un control rigido de la fila, con el finde mantener el orden y dirigir a los clientes hacia los servidores disponibles. En algunos casos,la asignacion de numeros a los clientes p or orden de llegada ayuda a mitigar este problema.4 Multiples canales, multiples fases. Este caso es similar a l anterior, excepto qu e aquise proporcionan en secuencia dos o mas servicios. La a dmision de pacientes en un hosp ital s i-gue este patron, puesto que suele seguirse una secuencia especifica de pasos: contacto inicialen el escritorio de admision, llenar formas, hacer gafetes de identificat ion, obtener la asig nacionde un cuarto, acompanar al paciente a su habitat ion, etc. Como tambien suele haber varios ser-vidores disponibles para este procedimiento, es posible procesar a mas de un paciente a la vez.5 Mixta. En esta clasificacion general consideramos do s subcategorias: (1) estructura decanal multiple a sencillo y (2) estructuras de trayectoria alternativa. En el primer caso encon-tramos filas que se fusionan en una sola pa ra recibir un servicio de una sola fase, como al cru-zar un puente en el que dos carriles se fus ionan en u n o, o filas que se fus ionan en una p a ra unservicio de multiples fases como las filas de un subensamble que alimentan a una fila princi-pal. En el segundo caso encontramos dos estructuras que difieren en los requerimientos delflujo direccional. L a primera es simila r al caso de multip les canales y multiples fases, excep-to que (a) aqui puede cambi arse de un canal al s ig uiente despues de que se ha prestado el pri-mer servicio y (b) el numero de canales y fases puede variar, una vez mas, despues dedesempenar el primer servicio.

S A L I D AUna vez que se ha atendido a un cliente son po sibles dos destines de salida: (1) el cliente pue-de regresar a la poblacion fuente y de inmediato convertirse en un candidate que comp ile denuevo por el servicio, o (2) puede haber un bajo nivel de probabilidad de un nuevo servicio.El primer caso puede ilustrarse con una maquina que se ha reparado de una manera rutinariay que ha vuelto a funcionar, pero qu e puede volver a descomponerse. El segundo puede ilus-trarse con una maqui na que se ha so metido a una repara tion general, o bien se ha modificado,y qu e tiene poca probabil idad de necesitar un nuevo servicio en un future cercano. De una ma-nera un poco menos seria, podriamos referirnos a l primero como "e l caso de l resfrio comunrecurrente " y a l segundo como "e l caso de la apendicectomia de una sola vez".

Baja probabilidad " de unnuevo serviceSaiida |-=dl~ ~ ~ ~ Regresar a lapoblacion faente

Debe ser claro que cuando la poblacion fuente es finita, cualquier cambio en el servicioproporcionado a clientes que regresan a la poblacion modifica la t asa de l legadas a la instala-cion de servicio. Esto, por supuesto, altera las caracterist icas de la fila de espera que estudia-mos y requiere de un nuevo analisis del problema .

MODELOS DE LA FILA DE ESPERAeV. Qc/. En esta section se muestran cuatro problemas relatives alafilade espera, segudos de sus respectivas so luciones. Cada p roblem a cuenta con una estructura un po co diferen-te (vease la figura NT6.8) y una ecuacio n que lo so lucio na (vease la figura NT6.10). Hay o trostipos de modelos, a demas de estos cuatro, pero las formulas y las so luciones se vuelven bas-tante complicadas , por lo que esos p roblemas suelen resolverse ut i l izando la s imulat ion porcomputadora (vease la nota tecnica 15). Adema s, a l utilizar estas formulas , tenga en mente qu ese refieren a un estado estacionario y que son derivadas conforme a la suposicion de que el


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A D M I N I S T R A C I O N D E L A F I J L A D E E S P E R A nota tecnica 279

Propiedades de algunos modelos especfficos de filas deesperaMO DELO DISPOSICION

FASE DE L POBLAC1ON PATRON DE DlSCIPLINA PATRON DE L LONGITUD PERM ISIBLESERVICIO FUENTE LLEGADAS DE LA COLA SERVICIO DE LA COLA &EMPLO TPICO

Un solo canal Un a sola Infinite Poisson APLP Exponencial Ilimitada

Un solo canal Unasola Infinita Poisson APLP Constante Ilimitada

Multiples canales Un a sola Infinita Poisson APLP Exponencial Ilimitada

Cajero de banco, servicio enautomovil, un puente decuota de un solo carril

_J:io en el

Recorrido en la montana rusaen un parque de diversiones

Mostrador de partes en unaagencia automotriz

Un solo canal Unasola Infinita Poisson APLP Exponencial Ilimitada Descompostura y reparationde una maquina en una fabrica

Notaciones para las ecuaciones (figura NT6.10)NOTACION DECOLAS INFINITAS: MODELOS 1~3

F I G U R A NT6.9NOTACION DE C O L A S F I N I T A S : MODELO 4

: Tasa de llegadas= Rapidez del servicio

= Tiempo promedio del servicio= Tiempo promedio entre las llegadas= Razon de la tasa total de llegadas con la rapidez de servicio de/ X \ *un solo servidor (j- Numero promedio esperando en la fila= Numero promedio en el sistema (incluyendo a quien este siendo

atendido)= Tiempo promedio de espera en la fila= Tiempo promedio total en el sistema (incluyendo el tiempo en que se

recibe el servicio)= Numero de unidades en el sistema= Numero de canales de servicio identicos= Probabilidadde que haya exactamente n unidades en el sistema= Probabilidad de esperar en la fila

D = Probabilidad de que una legada deba esperar en la filaF = Factor de eficiencia, unamedida del efecto causado por tener que

esperar en la filaH = Numero promedio de unidades a las que se esta dando servicioj = Poblacion fuente menos quienes estan en el sistema decolas (N n)L = Numero promedio de unidades en la fila5=Numero decanales deservicion = Numero promedio de unidades en el sistema de colas (incluyendo a !a

que le estan dando servicio)N = Numero de unidades en la poblacion fuenteP n = Probabilidad de que haya exactamente n unidades en el sistema de colasT = Tiempo promedio para desempenar ei servicioU = Tiempo promedio entre los requerimientos de servicio al clienteW = Tiempo promedio deespera en a filaX = Factor del servicio o proporcion de tiempo de servicio requerido

* Para lascolas de unsolo servidor, esto esequivalents al uso.

proceso que se estudia es continuo. Po r consiguiente, es posible qu e proporcionen resultadosinexactos cuando se aplican a procesos en donde la s tasas de llegada y/o la rapidez de l servi-cio cambian con el paso del tiempo. Para resolver estos problemas puede utilizarse la hoja decalculo Queue.xls de Excel, desarro l lada p or John M c Cl a in de la Cornell University e inclui-da en el CD-ROM.Lo que sigue es una presentacion previa de nuestros cuatro problemas. En las figurasNT6.8 y NT6.10 se ilustra cada uno de los cuatro modelos de fila de espera. La figura NT6.9define la s notaciones utilizadas en la figura NT6.10.

Problema 1: Clientes en la fila. Un banco necesita saber cuantos clientes esperan por elservicio de cajero al que puedan acceder sin bajarse de su automovil. cuanto tiempo deben


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280 section 2 D l S ENO DE L PRODUCTO Y SELECCION DE L PRO CE S O

Ecuaciones para resolver cuatro modelos de problemas

Modeloj 1

Modelo2

A ) (NT6.3)

L S - AP =

2 / j , ( f j , - A ), A

- A) A1 L ,

(NT6.4)

(La figura NT611 proporciona el valor de L q dado que p = A . / J U y el numero de servidores 5.)Modelo

3(NT6.5)

El modelo 4es un a situacion de cola finita que se resuelve ma s facilmente utilizando las tablas finitas. Estas tablas, a s u vez, requieren la manipulation determinos especificos.

Modelo4

T+UN !

(N - n)\ '

H = FN X L =N(1 - F)

T+U

n = L + H(NT6.6)

T+U+W

esperar, la utilizacion del cajero y cual deberia ser la rapidez del servicio, de ta l manera quedurante el 95 por ciento del t iempo y en cualqui er momento no haya m as de tres automo-viles dentro del sistema.Problema 2: Seleccionar el equipo. Un a franquicia de Robot Ca r Wash necesita decidirque equipo debe comprar de lo s tres que ha seleccionado como posib les. Las unidades masgrandes tambien cuestan mas, pero lavan lo s automoviles co n mayor rapidez. Para tom arladecision, tenga en cuenta que los costos estan relacionados con los ingresos.Problema 3 : Determinar el numero de servidores. El departamento de partes de unaagencia automo triz t iene que decidir cu^ntos empleados debe contratar para el mostrador.M as empleados cuestan mas dinero, pero a cambio hay un ahorro gracias a que los meca-nicos esperan menos tiempo.Problema 4: Fuente finita de poblacion. M ientras que los modelos a nteriores suponenun a poblacion grande, la cola finita emplea un a serie separada de ecuaciones para aquelloscasos en que la p oblacio n posible de clientes visitantes es pequena. En este ult imo proble-ma, varios tecnicos deben da r servicio a cuatro maquinas tejedoras para mantenerlas enoperacion. Con base en los costos aso ciados con las ma quinas que se mantienen inactivas,asi como el costo de los tecnicos que van a darles servicio, el problema es decidir cuantostecnicos deben util izarse.

EJEMPLO NT6.1: Clientes en la filaW estern N at io na l B a n k considera si debe abrir una ventanil la para el servicio a clientes. La adm inis t ra -cion estima que los clientes llegaran con una tasa de 15 por hora. El cajero que atendera la ventanillapuede atender a los clientes con una rapidez de uno cada tres m inuto s .


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ADM INISTRACIO-N DE LA FILA DE E S P E R A nota tecnica 2

Parte 1 Suponiendo l legadas Poisson y un servicio exponencial, encuentre:1 La utilization de l cajero.2 El numero promedio en la fila de espera.3 El numero promedio en el sistema.4 El tiempo prom edio de espera en la fila.5 El t iempo promedio de espera en el sistema, incluyendo el servicio.

S O L U C IO N Parte 11 La utilizatio n promedio del cajero es (util izando el modelo 1)

A . 1 5p = = = 7 5 por cientoti 202 El numero promedio en la f i la de espera es

L, =3 El numero promedio en el sistema es

X

(15)220(20 -15) = 2.25 clientes

15 = 3 clientesH - X 20-154 El tiempo prom edio de espera en la fila es

W 9 = = = 0.15 de hora , o 9minutosA I D5 El t iempo promedio de espera en el sistema, incluyendo el servicio, es

W s = = = 0.2 de hora , o 12 minutosA 13Parte 2 Debido a la limitada disponibilidad de espacio y al deseo de proporcionar un nivel aceptable deservicio, a l administrador de l banco le gustaria estar seguro, con una confianza del 95 por ciento, de queno ha y a mas de tres automoviles en el sistema en cualquier momento. ^ C u a l es el nivel de servicio a ctualpara el limite de tres a utomoviles? ^ Q ue nivel de utilization de l cajero debe alcanzarse y cual debe ser larapidez de l servicio qu e ofrece el cajero para asegurar el nivel de servicio del 95 por ciento?

SO LUCI O N Parte 2El nivel de servicio actual para tres automoviles o menos es la prob abil idad de que haya 0, 1, 2 o 3 au-tomoviles en el sistema. Del modelo 1, figura NT6.10,

= (l - 15/20)

e n n = 2, P2e n n = 3,P3 = (1/4)

(15/20) = 0.250(15/20)' = 0.188(15/20)2 = 0.141(15/20)3 = 0.106

0.685 3. 5 p o r cientoLa p robabil idad de tener mas de tres a utomoviles en el sistema es de 1.0 menos la p robab il idad detres o menos automoviles (1.0 0.685 = 31.5 por ciento).


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282 section 2 DlSENO DE L PRO DU CT O Y S ELEC C IO N DE L PRO C E S O

Para un nivel de servicio del 95 por ciento co n tres automoviles o menos, esto establece que P 0 + P \ +P 2 + Pj = 95 por ciento.

0.95 =1- - A vV - j

Podemos resolver por ensayo y error para valores de A / / U , . Si X / / J , = 0.50,0.95 10.5(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125)0.95 ^ 0.9375

Co n A / A I = 0.45,0.95i(1- 0.45)(1 +0.45 +0.203 +0.091)0.95 ^0.96

Co n A / / U = 0.47,0.95i(1 - 0.47)(1 +0.47 +0.221 +0.104) =0.95120.95^0.95135

Por consiguiente, con el uso de p = A / A I del 47 por ciento, la probabilidad de tres automoviles o menosen el sistema es del 95 por ciento.Para encontrar el fndice de servicio requerido para log rar este nivel de servicio del 95 po r ciento, sim-plemente despejamos la ecuacion A//z = 0.47, en donde A = niimero de l legadas p or hora. Esto no s da/x =32 por hora. Es decir, el cajero debe servir aproximadamente a 3 2 personas p or hora (un incremen-to del 60 por ciento sobre la capacidad original de 20 por hora) para una confianza del 95 por ciento deque no habra mas de tres automoviles en el sistema. Tal vez el servicio podria apresurarse modificandoel metodo de servicio, afiadiendo otro cajero o limitando las operaciones disponibles en la ventanilla. Ob-servese que con la condition del 95 por ciento de confianza de que habra tres autom oviles o menos en elsistema, el cajero estara inact ive el 53 porciento del t iempo.

EJEMPLO NT6.2: Seleccionar el equipoThe Robot Com pa ny t iene franquicias de una combination de gasolinera y lavado de automoviles en to-do Estados Unidos. Robot ofrece un lavado g ratuito por cada tanque de gaso l ina lleno, o bien cobra 50centavos de dolar solo por el lavado. La experiencia del pasado m uestra que el numero de clientes quepiden el lavado despues de llenar el tanque de gasolina de su automovil es casi el mismo de los que so-lo quieren el lavado. La utilidad promedio por llenar un tanque de gasolina es de alrededor de 70 centa-vo s de dolar y el costo para Robot del lavado de automovil es de 10 centavos de dolar. Robot permaneceabierto 14 horas a l dfa.R o b o t tiene tres unidades de potencia y linea de lavado disponibles para que el duefio de una franqui-cia elija la unidad queprefiera. La unidad I puede lavar automoviles con una rapidez de uno cada cincominutos y se renta a un costo de 12 dolares p o r dfa. La unidad II, mas grande, puede lavar un automovi lcada cuatro minutos, pero su costo es de 16 dolares por dfa. La unidad III, la mas grande, tiene un costode 22 dolares por dfa y puede lavar un automovil en tres minutos.El dueno de la franquicia estima que los clientes no esperaran en la fila mas de cinco minutos para la-va r su automovi l . Un t iempo mas pro l onga do harfa que Robot perdiera la venta de gasol ina, asf comola venta del lavado de automoviles.Si el estimado de llegadas de clientes que derivan en lavados es de 10 por hora, ^qu e unidad de lava-do debe elegir?


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A D M I N IS T R A C I O N D E L A F I LA D E E S P E R A nota tecnica

SOLUCiONUtilizando la unidad 1, calcule el tiempo de espera promedio de los clientes en la fila del lavado (// p a -ra la unidad I = 12 por ho ra). De las ecuacio nes del modelo 2 (figura NT6.10),

=* 2M(M - X)JWq =-3- =A

102 = 2.08333

1U

2(12)(12-10)= 0.208 dehoras, o 12-pr minutos

Para la unidad II a 15 por hora102

Lq 2(15)(15- 10)= 0.667

W q = = 0.0667 de hora , o 4 minutosSi el tiempo de espera es el unico criterio, debe comprarse la unidad II. Pero antes de tomar la deci-sion final, es necesario estudiar el diferencial de la utilidad entre las dos unidades.Co n la unidad I, algunos clientes se desesperaran y retiraran por la espera de 12 ~- minutos. Y aun

cuando esto complica mucho el analisis matematico, podemos obtener alguna estimacion de las ventasperdidas con la unidad I incrementando W q = 5minutos o -~- de hora (el lapso de tiempo promedio queesperaran los clientes) y resolviendo para A . Esta seria la tasa efectiva de llegadas de clientes:

2/i(/i - A .)

1+2( (12) = 8 por hora

Po r consiguiente, dado que la estimacion original de A . fue de 10 por hora , se perdera una estimacion de 2clientes por hora. La utilidad perdida de 2 clientes p or hora x 14 horas x (70 centavos de dolar de uti-lidad por llenar el tanque + 40 centavos de dolar de utilidad del lavado) = 15.40 dolares por dia.Ya que el costo adicional de la unidad II sobre la unidad I es de solo 4 dolares por dia, la perdida dela utilidad de 15.40 dolares garantiza, de manera obvia, la instalacion de la unidad n.La restriction de la espera maxima original de cinco minutos queda satisfecha con la unidad II. Porconsiguiente, no se considera la unida d III, a menos que se espere qu e h a y a un incremento en la tasa dellegadas.

EJEMPLO NT6.3: Determinar el numero de servidoresEn el departamento deservicio de Glenn-M ark Auto Agency, los mecanicos que requieren partes para re-parat ion o servicio de automoviles presentan susformas de solicitud en el mostrador del departamento departes. El empleado de este departamento llena solicitudes mientras el mecanico espera. Lo s mecanicosllegan al azar (Poisson), con una tasa de 40 por hora, y el empleado p uede llenar solicitudes con una rap i -dez de 20 por hora (exponencial). Si el costo por un empleado del departamento de partes es de 6 dolaresp or hora y el costo de un meccinico es de 12 dolares p or hora, determine el numero op t imo de empleadospara el mostrador. (Debido a la elevada tas a de l legadas, puede suponerse un a fuente infmita.)SOLUCIONEn primer luga r, asuma que se necesitaran tres empleados, ya que si solo hay uno o dos se crearian filasinfinitamente largas (puesto que A . = 40 y ^= 20). Aqui seutilizaran las ecuaciones para el modelo 3 dela figura NT6.10, pero antes necesitamos obtener el numero p romedio en la fila Utilizando la tabla de lafigura NT6.11. Al emplear la tabla y los valores A . / / U , = 2 y S = 3, obtenemos L q = 0.8888 mecanicos.


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284 section 2 Dl S E fJO D EL P R O D U C T O Y SELECCION DEL PROCESO

En este punto , veremos que hay un promedio de 0.8888 mecanicos esperando todo el dfa. Para un dfade 8 horas a 12 dolares por hora, hay una perdida de tiempo de los mecanicos equivalente a 0.8888 me-canicos x 12dolares por hora x 8 horas = 85.32 dolares.

Nuestro siguiente paso consiste envolver a obtener el tiempo de espera al anadir otro empleado alde-partamento de partes. Despues comp aramos el costo a dicional de dicho empleado con el t iempo ahorra-do por los mecanicos. Esto se hara ut i l izando una vez mas la tabla de la figura NT6.11, pero con 5 = 4.As f obtenemos:Lq = 0.1730 mecanicos en la fila0.1730 x $12 x 8 horas = $16.61 costo de los mecanicos esperando en la filaEl valor del t iempo ahorrado de los mecanicos es $85.32 $16.61 = $68.71El costo de un empleado a dicional de l departamento de partes es 8 horas x $6/hora = 48.00Costo de la reduction anadiendo un cuarto empleado = $20.71

Este problema podria a mpliarse para considerar la adicion de mensajeros que entreguen las partes alos m ecanicos. En este caso el problema serfa determinar el numero o pt imo de mensajeros. Sin emba r-go, esto deberfa incluir el costo agregado del t iempo p erdido causado por los errores en los recibos departes. Por ejemplo, un mecanico reconoceria una parte equivocada en el mostrador y obtendria una co-rrection inmediata, mientras que el mensajero que lleva las partes podrfa nohacerlo. *

EJEMPLO NT6.4: Fuente finita de poblacionLos estudios hechos sobre un grupo de cuatro maquinas tejedoras en la fabrica texti l Loose K nit hanmostrado que, en promedio, cada m aquina necesi ta un ajuste cada hora y que el t iempo p romedio actualdel encargado de este servicio es de 7 1/2 mi nut o s p o r ajuste. Suponiendo llegadas Poisson, un servicioexponencial y un costo por t iempo inactive de cada m aquina de 40 dolares por ho ra, determine si debecontratarse a un segundo encargado de l servicio (que tambien tiene un promedio de 7 1/2 mi nut o s p orajuste), a un costo de 7 dolares por ho ra.SOLUC1ONEste es un problema de colas finitas que puede resolverse ut i l izando tablas de colas finitas. (Vease la fi-gura NT6.12.) El metodo para solucionar este problema consiste en comparar los costos del t iempomuerto de la ma quina (ya sea a l esperar en la f i la o mientras le dan servicio) y un reparador con los cos-tos del t iempo muerto de la m aquina y dos reparadores. Hacemos esto encontrando el numero promediode maquinas que estan en el sistema de servicio y multiplicando este numero por el costo de t iempomuerto por hora. A esto sumamos el costo de los reparadores.Antes de proceder, debemos definir algunos terminos:

N = Numero de m a q u i n a s en la p o blac i o n5 =Numero de reparadoresT = Tiempo requerido para darle servicio a una maqumaU = Tiempo promedio durante el que funciona una maquina antes de que requiera el servicioX = Factor del servicio o proporcidn del tiempo de servicio requerido para cada maquina (X =T/[T+ U ] )L Numero p romedio de maquinas qu e esperan en la fila para recibir servicioH = Numero promedio de maq ui nas qu e estan recibiendo servicio.

Los valores que van a determinarse a partir de las tablas finitas son:D = Probabi l idad de que una ma quina que necesi ta servicio tenga que esperar.F = Factor de eficiencia, quemide el efecto de tener queesperar en la fila para el servicio.

Las tab las se ordenan conforme a t res va riables: A', tamano de la poblacion; X, factor del servicio, yS, numero de canales de servicio (los repa radores en este prob lema ). Para bus car un valor, encuentre pri-mero la tabla para el t amano correcto N, despues busque la primera columna para el X apropiado y porult imo encuentre el renglon pa ra S. Despues lea D y F . (Ademas de estos valores, es posible encontrarotras caracteristicas de un sistema de colas finitas uti l izando la s formulas finitas.)


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A D M I N I S T R A C I O N D E L A FILA D E ESPERA nota tecnica 2:=m* " " "l^yrnero e s t i m a d o de p e r s o n a s que/ M.0100 .150.2002R.AJ0.300.350.400450.500.550.600 . 6 50 . 7 00.750 . 8 00.850 . 9 00 , 9 51.01.21.41.61.82.02.22 .42.62.83-03.2343. 63.84 .04-24. 44.64 .85 -05-2545.65 .86.06.26 .46 .66 .87 -07 .2747 .67.88 .08.2848.68.89 .09.2949 .69 .810

10.0111

0.02640.05000.08330 . 1 2 8 50.18840.26660 . 3 6 8 10.50000 . 6 7 2 20.90901 . 2 0 7 11.63332.25003.20004 . 81658 . 1 0 0 01 8 . 0 5 0 0

2

O.O0060.00200.00390.00690.01100.01660.02390.03330.01490.05930.07670.09760.12270.15230.18730.22850.27670.33330.6748134492.84417.6731

3

0.00190.00300.00430.00610.00840.01120.01470.01890.02390.03000.03710.0454O.O9400.17780.31280.53200.88881.49072.126149322

12.2724

4

0.00310.00410.00530.00670.01580.03240.06040.10510.1730O.277O0.42050.65811.00001.52822 . 3 8 5 53.90607 . 0 8 9 316.9366

s s p e r a n

5

0.00590.01210.02270.03900.00590.10470.1609O.24110.35410.51280.73651.05501.51812.21643.32695.26759.288521.6384

L FlGURA NTS.1 1en la f i l a (Lq) p a r a var ies valores de S y A / / U -N U M E R O D E C A N A L E S D E S E R V I C I O , S

6

0.0047o.oogo0.01580.02660.04250.06590.09910.14520.20850.29470.41140.56940.78371.07771.48572.07082.93754.30046.660911.517826.3726

1

0.0065O.01100.01800.02820.04270.06310.09120.12920.18010.24750 . 3 3 6 40 . 4 5 3 20.60710.81021.08041.44411-94362.64813 . 6 8 7 85 . 2 9 7 98.07681 3 . 7 9 9 231.1270

8

0.0077O.0122O.OlSg0.02830.04120.05900.08270.11420.15550.2O920.27850.36800.58710.63130.8225107071.39671.80402.41983.2441444716.31339.510216.0379358956

9

0.00840.01270.01890.02730.03890.05410.07420.10O60.13450.17790.23300.30320.39180.50370.64540.82471.05331.34711.72882.23242.91133.85585.22647.344110.9592

18.322340.6824

10

0.00870.01280.01840.02600.03610.04920.06630.06830.11640.15180.19640.25240.32220.40900.51720.65210.82021.03101.29721.63642.07362.64703.4160448056.01838.3869

12.418320.6160454769

11

0.01250.01750.02430.03300.04430.05900.07750.10080.13020.16660.21190.26770.33640.42110.52500.65300.81091.00601.24841.55241.93662.42933.07323.93185.11566.8210

12

0.00850.01190.01640.02240.03000.03980.05230.06790.08760.11190.14200.17890.22430.27960.34690.42880.52360.65010.79800.97881.201O147521.81652.2465

B

0.01130.01530.02050.02710.03570.04630.05950.07610.09660.12140.15200.18910.23410.28850.35430.43330.52670.54370.78270.9506

14

~ 0.01050.01410.0187O.O2450.03180.04100.05220.06630.08340.10430.12080.16030.19740.24190.29520.36990.4352

15

0.00970.01290.01680.022O0.02830.03610.04590.05770.07230.08990.11110.1367O.167310.2O4O


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286 section 2 DlSENO DE L P R O D U C T O Y SELECCION DE L P R O C E S O- --

FlGURA NT6.12 Tablas de colas finitasP O B L A C I O N 4

X.015.022.030

: - 0 3 4.038.042.046. 0 4 8.052.054.058.060.062.064.066.070.075.080.085.090

.095.100

.105.110

.115.120.125.130-135.140.145.150155.160.165.170

S11111111111111121212121212121212t21212121212121212121212

D.045.066.090.102.114.126137.143.155.161.173.179.184.190.196.014.208.016.222.018.237.021.251.023.265.026.280.028.294.031.308.034.321.037 335.041349.044.362.047.376.051.389.055.402.058415.062.428.066.441.071454075466079

F999.998997.996995994993992991990989.988.987.986.985999.984999.981999.978999-975999972999.969999.965.998.962998958998954997950997945997941.996936.996931995.926995.921994.916994.910993.904993

X

.180

.190

.200

.200

.210

.220

.230-

.240

.250

.260

.270

.280

.290

300

310

.320

330

340

.360

.380

S12121321321321321321321321321321321321321321321321321321

D479.088.503.098.526.008.108 5 4 9.009.118.572.011.129593.012.140.614.014 1 5 1.634.016.163. 6 54.018.175.673.020.187.691.022.2OO.708.024.213.725.027.226741.030.240.756.033.254771.036.268.785.039.282.798.047.312.823.055 3 42.846

F.899991.887990.874999.988.862999.986.849999.984.835999.982.822999.980.808999977794.998975.780998972.766.99s8.968752.998.965.738997.962.724997.958.710997954.696.996950.683.996945.670994936.644993.926.619

X400

.420

440

.460

.480

480500

.520

5 40

.560

.580

.600

. 6 5 0

.700

. 750

.800

.850

.900

. 9 5 0

S3213213213213213213213213213213213213213213213213232

D.064372.866074403.884.085435.900.097466.914.111498.926.125.529937.141.561947157592.956.176.623.963195.653.969.216.682975275752985-343.816991.422.871996512917998.614954999729979857995

F992915595990903572986891551985.878530983.864.511.980.850492.976.835475972.820459.968.805443964789429959774415-944-734.384.926.695357.905.657333.880.621.312.852.587.294.821-555.786.526


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A D M I N I S T R A C I O . N D E L A F I L A D E E S P E K A

Para resolver el problema, considere el caso I, con un reparador, y el caso II, con dos reparadores.Caso 1: un reparador. De los valores de este problema:

nota tecmca 287

Una comparacion de los costos del tiempo muerto para el serv ic io y reparacionde cuatro maquinas

F I G U R A NT6.13

N U M E R O D ER E P A R A D O R E S

12

N U MERO DEMAQUINAS PARADAS

(H + L )0-5970.451

C OSTO PO R HO RA DE LASMA Q U I NA S PARADAS

[(H+ L) X S40/HORA]$ 2 3 . 8 8

18.04

C OSTO DE LOSREPARADORES

($7/HORA CADA UNO)

$7.0014.00

TOTAL C O S T OPO R H O R A

$ 3 0 . 8 83 2 . 0 4

5= 1T =1 minutosU = 60 minutos

X = - 7.5 - =0.111T+U 7.5 + 60De la figura NT6.12, que muestra la tabla pa ra A' = 4, F se interpolo como un aproximado de 0.957

e n X = 0 . 1 1 1 y S = 1.El numero de maquinas esperando en la f i la p ara recibir servicio es L , dondeL =N(l - F)=4(1 - 0.957) =0.172maquinas

El numero de maquinas en servicio es H , dondeH = FN X = 0.957(4)(0.111) = 0.425 ma quinas

La figura NT6.13 muestra e l costo resul tante del t iempo improductivo de la maquina, asi como elcosto del reparador.Caso II : dos reparadores. De la figura NT6.12, con X = 0.111y 5 = 2, F = 0.998.El numero de maquina s esperando en la f ila, L , es

L =N(1-F) =4(1 - 0.998) = 0.008 m a q u i n a sEl numero de maquinas que estan en servicio, H , es

H = FN X = 0.998(4X0.111) = 0.443 maquinasLo s costos de las ma quinas inact ivas y de los reparadores se muestra n en la f igura NT6.13. La co lum-na final de esa figura muestra que la me jor election es conservar a un solo reparador.

DE ESPERA APROXIMADODE L C L I E N T E9 y B u e n a s noticias para los administradores. jTodo lo que uste de s ne c e s i t an es lamedia y la desviacion estandar para calcular el tiempo de espera promedio ! Algunas investi-gaciones bien hechas han conducido a una aproximacion matematica "rapida" a los modelosde colas ilustrados antes en la nota tecnica. Lo atractivo de dicha aproximacion es que no su-pone un indice de llegadas o una distribucion del servicio especiales. Todo lo que se necesitaes la media y la desviacion estandar del tiempo entre las llegadas y el tiempo de servicio. No


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288 section 2 DlSENO DE L P R O D U C T O Y S ELEC C IO N D EL P R O C ES O

lo abrumaremos con todos los detalles de como se derivaron las aproximaciones, solo le indi-caremos como util izar la s f o r mul as .En primer lugar, necesita recopilar algunos datos sobre su tiempo de servicio. El t iempode servicio es la cantidad de t iempo que se necesi ta para servir a cada cliente. Tenga en men-

te que lo mas adecuado es recopilar estos datos durante un periodo que represente de mane-ra objet iva lo que usted espera qu e suceda durante el per iodo que le interesa. Fo r ejemplo, s iquiere saber cuantos cajeros debe tener un banco para atender a los clientes el viernes alre-dedor de la hora de la comida, recopile sus datos durante ese periodo en particular. Esto leasegurara que las operaciones que se real izan en esos momentos sean s imilares a l as que us-te d espera en el future. Puede util izar un cronometro par a to mar el t iempo que lleva atendera cada cl iente. Empleando esos da tos, calcule la media y la desviacion estandar de l t iempo deservic io.Recuerde de sus estadisticas que la media es:

[NT6.7] = 7 X. N

donde x / valor observado y N = numero to tal de valores observados.La desviaci


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A D M I N I S T R A C I O N D E L A F I L A D E E S P E R A nota tecnica 289

Ahora podemos calcular algunas estadi 'sticas p ara nuestro sistema. Primero, defina S como elnumero de servicios que pretendemos util izar. Despues vera que

p = Utilizacion de los servidores =L a Longitud estimada de la f ila de espera = c

2*-\~P

ls =Numero estimado de personas en el sistema = Lq + SpW Tiempo estimado de espera en la fila = ~-" A L sW s Tiempo estimado de permanencia en el sistema = A

La utilizacion (p) es el porcentaje de tiempo en que los servidores estaran ocupa dos. A menudola s companias que proporcionan una cantidad elevada de servicio tienen como objetivo situareste numero entre el 70 y 80 por ciento, dep endiendo de la cantidad de varianza que ha ya enlas tasas de llega das y del servicio. Lq es la longitud estimada de la cola y W q es el tiempo es-timado que el cliente debe esperar en la cola. L s y W s son, respectivamente, el numero estima-do de clientes en el sistema y el tiempo estimado que un cliente esta en el sistema. Estasestadfsticas consideran que el numero total de clientes y el tiempo total de espera deben incluira los clientes que estan siendo atendidos en el momento.

EJEMPLO NT6.5: Aproximacion de la fila deesperaVamos a considerar el ejemplo de un centro de l lamada s que toma pedidos pa ra un negocio de ventas porcorreo. Durante el periodo p ico, el t iempo promedio entre la s l lamadas (Xa) es de 0.5 minutos, con unadesviacion es t andar (o-a) de 0.203 minutos. El t iempo promedio para atender una l lamada (Xs) es de 4minutos y la desviacion estandar del t iempo de servicio (oi) es de 2.5 minutos. Si el centro de l l amadasesta ut i l izando a 9 operadores para atender las l lamadas, ^cuanto t iempo est ima u sted que esperaran losclientes antes de que los a t i endan? ^Cu a l seria el impacto de anadir un operador adicional?SOLUCIONWq es el tiempo que estimamos que un cliente debe esperar antes de que lo atiendan. La mejor manerade hacer estos calculos es mediante una hoja de calculo. La ho ja de calculo "Wait ing Line Approxima -tion.xls" incluida en el CD -ROM p uede utilizarse facilmente. Los siguientes p aso s son necesarios parael calculo del tiempo de espera del cliente.

Paso 1. Calcule la tasa promedio de llegadas de clientes (X), la rapidez del servicio por servidor (//,),el coeficiente de variacion para el t iempo entre l legada s (C a) y el tiempo de servicio (C s).

K = =- = = 2 clientes porminutoY 5A0 - >I J i = = - = .25clientes porminuto

Xa

X s 4Paso 2. Calcule la ut i l izacion est imada de l servidor (a).

A .x .25 = .888889 (Se estima que los operadores esten ocupados el 89 por ciento del. ^t iempo)


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2Q O section 2 DlSENO D E L P R O D U C T O Y S E L E C C IO N D E L P R O C E S O

Paso 3. Calcule el numero estimado de personas que esperan (L q) y la longitud de la espera (W )

1 - p C2 a + C2 1-. .406

2 + .6252x = 1.476064 clientes

(Este es el niimero de clientes que estimamos que esten esperando.)

L, L476064

En promedio, est imamos que lo s clientes esperaran 44 segundos (.738032 x 60) antes de hablar con unoperador.

Para 10 operadores, los calculos son como sigue:

p = A . iU X , = .8 (Se est ima que los operadores esten ocupados el 80 por ciento de l tiempo)

-PLq 0.487579= = = 0.24379 minutoA 2

.4062 + .6252x -- - -- = .487579 clientes

Con 10 operadores, la fila de espera se reduce una tercera parte, a 14.6 segundos. Si usted anade do soperadores (llevando el total a 11), el tiempo de espera en la cola es de 6.4 segundos. Cuando se in-corpora el pr imer operador adicional hay un impacto s ig ni f ica t ive sobre el t iemp o de esp era delcliente. *Esta aproximacion es litil para muchas situaciones tfpicas de colas. Es facil de realizar uti-l izando una hoja de calculo como la de "Wait ing Line App roximation.xls" incluida en el CD-

ROM que viene con el libro. Tenga en mente que la aproximacion supone que la poblacion ala que va a darse servicio es grande y que los clientes l legan uno a l a vez. La aproximacionpuede ser util para un analisis rapido de una situacion de colas.

SIMULACION POR COMPUTADORADE LAS FILAS DE ESPERA

0 Algunos problemas de las filas de espera queparecen sencillos a primera vista re-sultan ser en extremo diffciles de resolver. A lo largo de este suplemento hemos tratado situa-ciones de filas de espera independientes; es decir, todo el sistema consiste en una sola fase, obien, cada serv icio desempenado en una serie es independiente. (Esto podria suceder si se per-mite que la salida de una ubicacion del servicio se acumule frente a la siguiente de maneraque, en esencia, se convierta en una poblacion qu e requiere el sig uiente servicio.) Cuando un aserie de servicios se desempena en secuencia y la tasa de salida de uno se convierte en la tasa deentrada de l siguiente, ya no podemos utilizer las formulas sencillas. Esto tambien ocurre encualquier problema cuyas condiciones no cumplan con los requerimientos de las ecuaciones.ta l como se especifica en la figura NT6.9. La tecnica ma s adecuada para resolver este tipo deproblemas es la simulacion por computadora. En la nota tecnica 15tratamos los temas de laconstruccion de modelos y simulacion.


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CONCLUSION06 Los problemas de la fila de espera plantean un reto y a la vez frustran a quienestratan de resolverlos. El objetivo basico es equilibrar el costo de la espera con el costo de ana-dir mas recursos. Para un sistema de servicio, esto significa que la ut i l izacion de un servidorpuede ser demasiado baja como para proporcionar al cliente un tiempo de espera breve. Unapreocupacion importante al abordar los problemas de la fila de espera es decidir que procedi-miento o reg la de prioridad debe utilizarse al seleccionar el siguiente producto o cliente aquien se va a servir.M u ch o s problemas de colas parecen sencillos hasta que se hace el intento de resolverlos. Es-ta nota tecnica ha abordado los problemas mas sencillos. La situacion puede volverse complejacuando ha y multiples fases o cuando el servicio se desempena s61o en una secuencia particular.En estos casos la simulacion por computadoraes necesaria para obtener la solution optima.TERMINOS C L A V ECola. Una fila de espera compuesta por personas, trabajos, cosas,etcetera.Sistema de colas. Consta de tres componentes principales: (1) lapoblacion fuente y la forma en que llegan lo s clientes al sistema,(2) lo s sistemas de servicio y (3) la forma en que los clientes salendel sistema.T a s a de l legadas. El numero estimado de clientes qu e llegaran encada periodo.

Distr ibucion exponencial . Un a distribution de probabilidades qu esuele asociarse con los tiemp os entre llegadas.Dist r ibuc io n de Poisson. Un a distribution de probabilidades qu esuele utilizarse para describir el numero de llegadas durante unperiodo determinado.Rapidez del servicio . La cap acidad de un servidor medida deacuerdo con el numero de unidades que puede procesar duranteunperiodo determinado.

DE LA S F O RM U L A SDistribucion exponencial

[NT6.1]

Distribucion de Poisson/(O =

[NT6.2] PT(n) =Modelo 1 (vease la figura NT6.7)

q[NT6.3]

Modelo 2

Pn=1-

[NT6.4]

Modelo 3[NT6.5]

Lq

W , =


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2Q2 section 2 DlSENO DEL PRODUCTO Y SELECCION DEL PROCESO

Modelo 4

[NT6.6] X- T + U H = FNX = N(l- F) n = L + Hy v 1P= ,., ' .,*"-Po J = NF(l-X)

=(N-n)\L(T + U) LTN-L H

T + UT + U +W

Aproximacion del tiempo de espera

N- 1

[NT6.7]C - Ss C-Sa A - ~- s r~ L- o : ~ A Y Y yA j Aft A-a

A

C2a+C?l-pt+Sp

W --iW~ A

P R O B L E M A S R E S U E L T O SP R OB L E M A RESUELTO 1Quick Lube Inc. opera un taller de cambio rapido de aceite y lubricante. En un dfa tipico, lo s clientes lle-gan con una tasa de tres p or hora, y los trabajos de lubricacion se desempenan con una rapidez promediode uno cada 15 minutos. Los mecanicos operan en equipo y trabajan en un solo automovil a la vez.

Suponiendo llegadas Poisson y un servicio exponencial, encuentre:a) La utilization de l equipo de lubricacion.b) El niimero promedio de automoviles en la fila.c) El t iempo p romedio qu e espera un automovil antes de la lubricacion.d ) El tiempo total que se requiere para pas ar p or todo el sistema (es decir, fila de espera mas tiem-po de lubricacion).

SolucionA = 3, p. = 4a) Utilization p = = - = 75%.At 4

A 2 3 2 9b) La = = = - = 2.25 automoviles en la fila.A t ( M - A ) 4(4 - 3) 4L 2 25c) W q = = -^ = .75 de hora, o 45minutos.A j

d) W s = = /A = /3= 1hora (espera + lubricacion).A LL A / 4 j I


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P R O B L EM A R E S UE L TO 2American V ending Inc. (AVI) proporciona maquinas expendedoras de al imentos a l as grandes uni-versidades. A ca usa de que los estudiantes pa tean a menudo las m a quina s p o r colera y frustrat ion,las reparaciones continuas son un problema para la administration de American Vending. Las ma-quinas se descomponen a un promedio de tres p or hora y las descomposturas se distribuyen en for-ma de Poisson. El tiempo muerto de las maquinas cuesta a la companfa 25 dolares/hora p or m a quinay cada t rabajador de mantenimiento ga na 4 dolares/hora. Un trabajado r puede da r servicio a l as ma-quinas con una velocidad promedio de cinco po r hora, distribuidas exponencialmente; dos trabajado -res qu e laboran juntos p ueden da r servicio a siete p o r hora, distribuidas exponencialmente, y un equipode tres trabajadores puede da r servicio a ocho p or hora, distribuidas exponencialmente.

l es el tamano optimo del equipo de mantenimiento para dar servicio a las ma quinas?SolucionCaso I Un trabajador:K = 3/hora Poisson, /j , = 5/hora exponential,En el sistema hay un numero promedio de maquinas de

El costo del tiempo muerto es $25 x 1.5 = $37.50 por h or a , el costo de la reparation es de $4.00 porhora, y el costo total por hora por un t r a ba ja dor es de $37.50 + $4.00 = $41.50.Tiempo muerto (1.5 x $25) = $37.50

Mano de obra (1 trabajador x $4) = 4.00$41.50

Caso II Dos trabajadores:A . = 3, /x = 7

L, = - -A . 7-3= .75maquinaTiempo m uerto (.75 x $25) = $18.75M a n o de obra (2 trabajadores x $4.00) = 8.00

$26.75Caso III Tres trabajadores:

A = 3, ^=8X 3 3 ,_ , .= = = .60 m a quina- X 8-3 5

Tiempo muerto (.60 x $25) = $15.75M a n o de obra (3 trabajadores x $4) = 12.00S27.00

Si comparamos los costos con uno, dos o tres trabajadores, vemos que el caso II con dos trabajado-res es la decision optima.PROBLEMARESUELTO 3American Bank tiene un solo cajero automatico (ATM ) ubicado en un centra comercial. Se recopila-ro n datos so bre este cajero durante un periodo pico de util ization un sabado por la tarde y se en-contro que el tiempo prom edio entre las llegada s de los clientes es de 2.1 minutos, con una desviacionestandar de .8 minutos. Tambien se encontro que se requiere un promedio de 1.9 minutos para que uncliente termine un a operation, con una desviacion estandar de 2 minutos. ^Aproximadamente cuan-to tiempo necesitan esperar los clientes en la fila durante el periodo pi co?


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section 2 DlSENO D E L P R O D U C T O Y S E L E C C IO N D E L P R O C E S O

SolucionPaso 1. Calcule la tasa est imada de llegadas de los clientes ( A . ) , la rapidez de l servicio por servidor( I J L ) , el coef iciente de variacion pa ra la dist r ibucion de l legada s (C a) y la distribucion del servicio (C,).

A . = = = .47619 clientes porminutoXa 2.1u, =7- = = .526316 clientes por minutoX 1.9

CS = = =,052632

Paso 2. Calcule la utilization estimada del servidor ( c r ) .A . .47619

1 x .526316 = .904762 (Se estima que los operadores esten ocupados el90.5 por ciento del t iempo)Paso 3. Calcule el numero est imado de personas qu e esperan (L9) y la durat ion de la espera (W q).

_L ~ C .904762V2(1+1) .3809522 + 1.0526322

\-p 2=5.385596 clientes

1 - .904762

(Este es el numero de clientes que se est ima qu e esten esperando.)5.385596

.47619=

En promedio, est imam os que los clientes esperen 11 min utos y 19 segundo s (.30975 x 60) antes detener acceso al cajero aut o mat ico (AT M ).

P R E G U N T A S D E R E P A S O Y D I S C U S I O N1 Los factores culturales afectan a las filas de espera. Por ejemplo, las filas rapidas para pagar enuna tienda (es decir, de 10 articulos o menos) no son comunes en J apon. ^Por que cree usted quesucede esto?2 Si usted hizo recientemente un viaje en avion, ^c u a n ta s filas de espera encontro durante el servi-cio de la aerolfnea?3. Dist inga entre un canal y unafase.4. ^ Cua l es la principal compensat ion de l costo qu e debe hacerse a l administrar si tuaciones de filasde espera?5. iQue' suposiciones so n necesarias p ara emplear las f o rmulas que se dan p ara el modelo I?6. ^En que situatio n seria injusta la regla de atender pr imero al pr imero que llega suponiendo uncliente qu e espera por un servicio en un banco o en un h o sp i t a l?7. Defina, en un sentido pract ice, que quiere decirse cuando se ha bla de un tiempo de servicio expo-

nencial.8. Considere si la dist r ibucion exponencial es una buena aproximac ion de los tiempos de servicio enlos siguientes casos:a) comprar un boleto de avi o n en el aeropuerto?b) subir al carrusel en una feriac) pag ar la cuenta a l sal i r de un hoteld) terminar un examen parcial en su clase de administrat ion de operaciones


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ADM OTSTRACION D E L A FILA D E ESPERA nota recnica 295

a Considere si la distribution de Poisson es una buena aproximacion de :a) los corredores que cruzan la meta en el maraton de Bostonb) lo s tiempos de llegada de los estudiantes a su clase de administration de operacionesc) lo s tiempos de llegada de l autobus a l a p a rada frente a su escuela

P R O B L E M A S1 Los estudiantes llegan a la oficina de servicios administrativos de su escuela en un promedio deuno cada 15 minutos, mientras que el procesamiento de sus solicitudes lleva 10 minutos en pro-medio. El mostrador de servicio solo tiene una empleada, Judy Gumshoes, qu e trabaja ocho ho -

ras al dia. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales para contestar lassiguientes preguntas:a) ^Que porcentaje del tiempo esta inactiva Judy?b) ^Cu a l es el promedio de l tiempo qu e espera un estudiante en la fila?c) i,Cual es el promedio de la longitud de la fila de espera?d ) iCual es la probabilidad de que un estudiante qu e llega a la oficina de servicios administrati-vo s (justo antes de entrar) encuentre p o r lo menos a un estudiante esperando en la fila?2 Los administradores de la oficina de servicios administrativos estiman que el tiempo qu e pasa unestudiante esperando en la fila les cuesta (debido a la perdida de buena voluntad u otras razonessemejantes) 10 dolares por hora. Para reducir el tiempo que pasa un estudiante esperando, sabenque necesitan mejorar el t iempo de procesamiento de Judy (vease el problema 1) . Para lograr di -cha mejora estan considerando las dos opciones siguientes:a ) Instalar un sistema p o r computadora, con el cual Judy podria terminar la solicitud de un estu-diante 40 por ciento ma s r a p id o (de 2 minutos p o r solicitud a 1 minuto y 12 segundos).b) Contratar a otro empleado temporal, qu e trabajar ia con la misma velocidad qu e Judy.Si la operation de la computadora cuesta 99.50 dolares por dia, mientras que al empleado se lepagan 75 dolares por dfa, (.Judy tiene razon al preferir la contratacion de un ayudante? Supongal legadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales.

3 Sharp Discounts Wholesale Club tiene dos escritorios de servicio, uno en cada entrada de su es-tablecimiento. Los clientes llegan a cada escritorio de servicio en un promedio de uno cada seisminutos. La rapidez del servicio en cada escritorio es de cuatro minutos por cliente.a) ^Con que frecuencia (que porcentaje de l tiempo) esta inactive cada escritorio de servicio?b) ^Cu a l es la probabilidad de que los dos empleados de servicio esten ocupados?c)


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2Q6 section 2 DlSENO D EL P R O D U C T O Y S ELEC C IO N D EL P R O C ES O

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a) ^Cual es el tiempo de espera promedio del cliente en el sistema?b) ^ Cua l seria el efecto, sobre la fila de espera, de tener a un segundo empleado que no h a g a na -da mas que sellar lo s boletos de estacionamiento de los clientes y perforar las taijetas, redu-ciendo asi el tiempo p romedio del servicio a 20 segu ndos?c) ^ El tiempo de espera en el sistema seria menor al que usted encontro en b si se abriera una se-gunda ventanilla y cada servidor desempenara la s tres tareas?Para apoyar la realizacion de la Semana Na cional del Corazon, la Asociacion de Cardiologfa pla-nea instalar en El Con M a l l una caseta en la que tomen la presion sangufnea en forma gratuita du-rante es a semana. Diez personas por hora solicitan el examen. Supong a que las l legadas son dePoisson, de una poblacion infinita. La s mediciones de presion sangufnea pueden hacerse en untiempo constante de cinco minutos cada una. Suponga que la longitud de la cola puede ser infini-ta con una disciplina de atender primero al que llega p rimero (APLP).a) iQue numero promedio de personas p uede estimarse que haya en la fila?b) ^Que numero promedio de persona s puede estimarse qu e haya en el sistema?c) ^ Cua l es la cantidad estimada de tiempo promedio que una persona permanece en la fila?d) En promedio, ^cuanto tiempo llevara tomar la presion sangufnea a una persona, incluyendo eltiempo de espera?e) Puede preverse qu e durante los fines de semana la tasa de llegadas aumente a mas de 12 porhora. iQue efecto tendra esto sob re el numero de personas que espera en la fila?La fila de servicio de una cafeteria tiene un a cafetera de la que se sirven lo s clientes. La s llegadasa la cafetera siguen una distribution de Poisson a una tasa de tres p or minuto. Lo s clientes tardanen servirse el cafe alrededor de 15 segundos, distribuidos exponencialmente.d ) ^Cuantos clientes estima u sted qu e vera, en promedio, frente a la cafetera?b) ^Cuanto tiempo cree usted que se necesite pa ra obtener un a taza de cafe?c) iQue porcentaje del tiempo es usada la cafetera?d) iCual es la probabilidad de que haya tres o mas personas en la cafeteria?Si la cafeteria instala una maquina automatica qu e sirva una taza de cafe en un tiempo cons-tante de 15 segundos, ^ en qu e forma cambia esto su respuesta en a y b!Un a empresa de ingenieria contrata a un especialista tecnico para qu e ayude a cuatro ingenierosde disefio qu e trabajan en un proyecto. Para proporcionar esta ayuda el especialista necesita tiern-pos distintos, algunas respuestas la s tiene en la memo ria, otras requieren un calculo y otras masrequieren un tiempo de investigacion considerable. En promedio, cada solicitud de a yuda le lle-va una hora a l especialista.Lo s ingenieros requieren la ayuda del especialista en un promedio de una vez al dfa, y ya queesto toma alrededor de una hora, cada ingeniero puede t rabajar un promedio de siete horas si nayuda. Lo s ingenieros qu e necesitan ayuda no interrumpen a l especialista si ya esta involucradoen otro problema.Trate esto como un problema de colas finitas y conteste la s siguientes preguntas:

a) ^Cuantos ingenieros, en promedio, estan esperando la ayuda del especialista tecnico?b) ^ Cua l es el t iempo p romedio que un ingeniero debe esperar a l especialista?c) iCual es la probabilidad de que un ingeniero tenga qu e esperar en fila al especialista?L. Winston M a r tin (un alergologo de Tucson) tiene un sistema excelente p ara manejar a sus pa-cientes regulares qu e llegan solo p or inyecciones para la s alergias. Lo s pacientes llenan una ho-ja con su nombre, qu e despues es introducida en una ranura qu e pasa hasta otra habitation endonde hay una o dos enfermeras. Se preparan la s inyecciones especfficas para cada p aciente ydespues son l lamados por turnos a traves de un sistema de altavoces para qu e entren a la habita-cion y los inyecten. En ciertos mo mentos del dfa baja la carga de pacientes y solo se necesita unaenfermera.

Enfoquemonos en el caso ma s sencillo, es decir, cuando solo hay una enfermera. Ademas, su-ponga que los pacientes llegan en una forma de Poisson y que la rapidez del servicio de la en-fermera esta distribuida exponencialmente. Durante este periodo mas lento, los pacientesacuden con un tiempo entre llegadas de aproximadamente tres minutos. La enfermera necesitaun promedio de dos minutos para preparar el suero de los pacientes y administrar la inyeccion.a) ^Cual es el numero promedio de pacientes que usted esperarfa ver en las instalaciones deldoctor M artin?b) ^Cuanto tiempo le tomarfa a un pa ciente llegar, recibir la inyeccion y salir?c) iCual es la probabilidad de que haya tres o mas pacientes en las insta laciones?d ) ^ Cua l es la utilization de la enfermera?


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ADM INISTRACION DE LA FILA DE ESPERA nota tecnica 297

e) Suponga que hay tres enfermeras disponibles. A cada una le toma un promedio de dos minu-tes preparar el suero de los pacientes y poner la inyeccion. ^Cu a l es el tiempo promedio totalde un paciente en el sistema?11 Judy Gray Income Tax Service debe analizar sus operaciones de servicio al cliente durante el

mes anterior a la fecha limite el mes de abril para la presentation de las declaraciones deimpuestos. Co n base en datos pasados, se ha estimado que los clientes llegan conforme a un pro-ceso de Poisson, con un tiempo promedio de 12 minutos entre llegadas. El tiempo para que uncliente termine una declaration de impuestos esta distribuido exponencialmente, con una me-dida de 10 minutos. Use esta information y conteste las siguientes preguntas:a ) (,Si usted acudiera a Judy, ^cuanto tiempo destinaria para que le hagan su devolution?b) En promedio, ^ cuanto espacio debera haber en el area de espera?c) Si Judy estuviera en la oficina 12horas al dia, ^cuantas horas al dia, en promedio, estaria ocu-

pada?d) ^ C ual es la probabilidad de que el sistema este vacio?e) Si la tasa de llegadas no cambiara, pero el tiempo promedio en el sistema fuera de 45 minu-

tos o menos, ique seria necesario cambiar?12 Un a empresa de reproduction de graficos tiene cuatro unidades automat icas de equipo, pero enocasiones son inoperantes debido a la necesidad de suministros, mantenimiento o reparaciones.Cada unidad requiere servicio aproximadamente do s veces p o r hora o, con mayor precision, ca -da maquina trabaja un promedio de 30 minutos antes de que necesite servicio. Los tiempos delservicio varian considerablemente, pues va n desde un servicio sencillo (como oprimir un inte-rrupter de reinicio o ajustar el papel) hasta un desensamble complicado del equipo. No obstan-te, el tiempo promedio del servicio es de cinco minutos.

El tiempo muerto del equipo resulta en una perdida de 20 dolares por hora. Al unico asistentedel equipo le pagan 6 dolares por hora.

Utilice el analisis de colas finitas y conteste la s siguientes preguntas:a) iCual es el numero promedio de unidades en la fila?b) i,Cual es el niimero promedio de unidades que se mantiene en operation?c ~ ) (,Cual es el numero promedio de unidades a las que estan dando servicio?d) La empresa considera la conveniencia de anadir otro asistente, con el mismo salario de 6 do-

lares. ^Debe hacerlo?13 El peluquero Benny es propietario de una peluqueria con una sola silla. En la escuela de pelu-queros le dijeron que sus clientes llegarian conforme a una distribution de Poisson y que el pro-porcionaria un servicio de distribution exponential. Los datos de su encuesta de mercado muestranque los clientes llegan a una tasa de dos por hora y Benny necesita un promedio de 20 minutospara hacer un corte de cabello. Co n base en estas cifras, encuentre lo siguiente:a) El numero promedio de clientes qu e esperan.b) El tiempo promedio que espera un cliente.c) El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluqueria.d) La utilization promedio de l tiempo de Benny.

14 El peluquero Benny (vease el problema 13 ) considera la adicion de un segundo sillon. El selec-cionaria a los clientes para realizarles el corte de cabello con la regla de atender primero al quellega primero (APLP). Benny ha supuestoque los dos peluqueros de ahora necesitaran tambien20 minutos para hacer un corte de cabello y no modificara su negocio si los clientes siguen lle-gando a una tasa de dos por hora. Encuentre la siguiente information para ayudar a Benny a de-cidir si debe anadir un segundo sillon.a) El numero promedio de clientes que esperan.b) El tiempo promedio qu e espera un cliente.c) El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluqueria.

15 Los clientes entran al departamento de fotografia de una tienda en un promedio de seis por ho-ra. El personal de l departamento consta de un solo empleado, a quien le toma un promedio deseis minutos atender cada llegada. Suponga que hay una situation de llegadas Poison simple ytiempos de servicio distribuidos exponencialmente.a) Como un observador casual, ^.cuantas personas esperaria usted ver en el departamento de fo-tografia (excluyendo a l empleado)? ^Cu a n to tiempo permaneceria un cliente en el departa-mento de fotograf ia (tiempo total)?b) ^Cual es la utilization del empleado?c) ^Cual es la probabilidad de que haya mas de dos personas en el departamento de fotografia(excluyendo al em pleado)?


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section 2 DlSENO D EL P R O D UC TO Y SELECCION DEL P R O C E S O

d) H an contratado a otro empleado pa ra e l departamento de fotografi'a y tambien le toma un pro-medio de seis minuto s atender cada l legada. ^Cu a n to t iempo permaneceria ahora el cliente enel departamento de fotografi'a?16 Cathy Livingston, que trabaja como cantinera en el Tucson Raq uet Club, puede servir bebidas

con una rapidez de una cada 50 segundos. Hace poco tiempo, en una noche calurosa, el bar es-t aba atestado como nunca y cada 55 segundos alguien se acercaba al bar a pedii una bebida.a) Suponiendo qu e todos en el bar beben con la misma rapidez y que C athy les sirvio a todos co n

la regla de atender primero al que llega primero, ^c u a n to t iempo calcula usted que tendra queesperar por una bebida?b) ^Cu a n ta s personas est ima usted qu e estaran esperando por sus bebidas?c) ^ Cua l es la probabilidad de que haya tres personas o mas esperando por sus bebidas?d) ^ Cua l es la uti l izacion de la cantinera (que ta n oc upada esta)?e) Si remplazaran a la cantinera por una maquina automatica para servir bebidas, ^corno cam-

biaria esto su respuesta a la parte al17 Una oficina cuenta co n varies empleados qu e redactan documentos y un operador que los cap-tura en un procesador de pal abras . El grupo redacta documentos con una rapidez de 25 por ho-ra , mientras que el operador puede capturarlos con un t iempo promedio de dos minutosdistribuidos exponencialmente. Suponga que la poblacion es inf inita, que las l legadas son dePoisson y que la longitud de la cola es infinita, con una forma de servicio APLP.a) Calcule el porcentaje

Teoria de Colas Una Ventaja Competitiva

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