TEOR˝A DE GALOIS - USCEl teorema fundamental de teoría de Galois establece un...

Click here to load reader

  • date post

    28-Jan-2021
  • Category

    Documents

  • view

    5
  • download

    2

Embed Size (px)

Transcript of TEOR˝A DE GALOIS - USCEl teorema fundamental de teoría de Galois establece un...

  • CURSO DE

    TEORÍA DE GALOIS

    Nieves Rodríguez González Puricación López López Emilio Villanueva Nóvoa

    Santiago de Compostela 2013

  • Índice general

    1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 5 1.1. GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW . . . . . . . . . . . . 14 1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES . . . . . . . . . 28 1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS 45 2.1. GENERALIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD . . . . . . . . . . . . 51 2.3. ANILLOS DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . 61 2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    3. EXTENSIONES DE CUERPOS 79 3.1. EXTENSIONES FINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3. APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CLÁSI-

    COS: CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS . . . . . . 90 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    4. EXTENSIONES SEPARABLESYNORMALES. CLAUSURA ALGEBRAICA. 103 4.1. EXTENSIÓN DE ENCAJES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2. CUERPOS DE ESCISIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO . . . . . . . . . . 116 4.4. SEPARABILIDAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO . . . . . . . . . . . 133 4.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL . . . . . . 136

    i

  • ii

    4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    5. TEORÍA DE GALOIS 145 5.1. EXTENSIONES DE GALOIS. TEOREMA FUNDAMENTAL DE

    LA TEORÍA DE GALOIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA . . . . . . . 152 5.3. CUERPOS FINITOS. RAÍCES DE LA UNIDAD. POLINOMIOS

    CICLOTÓMICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES . . . . . . . . . . . . . . 163 5.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO n. . . . . . . . . . . . 183 5.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    6. Complementos 197 6.1. Constructibilidad de polígonos regulares. Teorema de Gauss-Wantzel.197 6.2. La trascendencia de � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCI- CIOS 207

    Bibliografía 219

  • PROLOGO

    Salvo en lo concerniente a resolubilidad en característica positiva, el ma- terial utilizado para la elaboración de este manual está constituido esencial- mente por las notas de clase utilizadas por los autores en los últimos años para el desarrollo de la docencia de la asignatura Álgebra de la Licenciatura en Matemáticas de la USC. El objetivo nal es la obtención del Gran Teorema de Galois sobre resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas, y con estas notas se pretende facilitar el acceso al contenido del curso. Para seguirlo es muy recomendable haber cursado previamente una materia introductoria de Álgebra en la que hayan sido tratados con el detalle necesario gran parte de los tópicos fundamentales contemplados sucintamente en el Capítulo 2, y cuya presencia en este manual se justica por la intención de los autores de facilitar la lectura del mismo. La decitaria formación algebraica de los alumnos en temas de naturaleza

    más elemental hace imprescindible iniciar el curso con un estudio de grupos nitos que incluya la necesaria teoría de Sylow, algunos detalles sobre los grupos de permutaciones y la resolubibilidad. En esto consiste el capítulo 1. El tratamiento de las generalidades de las teorías de grupos y anillos, que hacemos a lo largo de los dos primeros capítulos, es muy esquemático y reeja también la recomendable actitud de brevedad necesaria en el de- sarrollo docente de la materia para poder abarcar el contenido de la misma en el tiempo asignado, ya que el plan de estudios conna a esta asignatura en un cuatrimestre de docencia. Esta exigua duración del curso y el tiempo que es necesario dedicar al desarrollo de las ya mencionadas nociones bási- cas constituyen el principal motivo de que el profesor abandone pronto la idea de presentar la resolubilidad en su completa generalidad, es decir, en característica arbitraria. También se ha pretendido que, de algún modo, estas notas sean testimonio

    de lo realizado a lo largo de los últimos años en la docencia de esta materia

    1

  • 2

    y por ello presentamos por separado la resolubilidad en característica cero, ya que en ninguna ocasión, durante el período de referencia, ha habido la opción de desarrollarla en característica positiva. No obstante alguna vez, y de modo esporádico, se ha podido esbozar un estudio de separabilidad en característica p; y el mencionado carácter testimonial nos ha llevado a incluir ese material, habida cuenta de la enorme importancia que tienen las peculiaridades de dicha teoría para la formación de un matemático. Una vez hecho esto, la resolubilidad en característica positiva se obtiene con un pequeño esfuerzo adicional y ésta es la razón por la que, nalmente, se ha decidido incluirla con el quizá desmesurado optimismo de que alguna vez sea posible incorporarla al curso, lo que, sin duda, no sería utópico en una materia con docencia anual.

    No hemos sabido resistir la tentación de completar el manual con los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, obtenidos a partir de la teoría general, y de añadir además un apéndice dedicado a una prueba relativamente sencilla de la trascendencia de � (sección 6.2), que completa el estudio del problema de la cuadratura del círculo (3.3.8) ya tratado en el capítulo 2.

    Quien esté interesado solamente en la versión en característica cero puede pasar directamente del corolario 4.4.7 al lema 4.5.1, y en el párrafo de re- solubilidad por radicales puede omitir todas las referencias al caso de carac- terística positiva, amén de la nota 4.6.6, nalizando la teoría con el teorema de Abel (5.4.19). Por coherencia, el estudio sobre la resolubilidad de la ecuación general de grado n se verá entonces restringido al caso de característica nula.

    Cada capítulo termina con una colección de ejercicios y al nal del texto hay una sección con indicaciones para resolverlos. La bibliografía contiene algunos de los libros cuyo estilo nos ha parecido más próximo al tratamiento que se hace de la materia en este manual. Los autores no son ajenos a la opinión de que una formación matemática de calidad es connatural con la consulta y estudio de los excelentes libros existentes, tanto en ésta como en otras materias, y recomiendan el uso de los mismos al abordar los temas tratados, y la resolución de los problemas allí propuestos.

    Estas notas, que nacieron con vocación de ser una referencia sobre las exigencias mínimas de contenido de un curso cuatrimestral -objetivo estric- tamente cubierto, como se ha dicho, con lo relativo a característica cero-, han sido nalmente completadas hasta lo que se puede considerar una declaración de principios sobre lo que los autores estiman imprescindible para un cur-

  • 3

    so obligatorio de Álgebra, dedicado a Teoría de Galois, en una Titulación Superior de Matemáticas.

  • 4

  • Capítulo 1

    COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

    El teorema fundamental de teoría de Galois establece un antiisomorsmo de retículos entre el de subgrupos de un grupo de automorsmos de un cuerpo y el de subextensiones de la formada por este cuerpo y el subcuerpo jo de dicho grupo. Esta biyección es usada sistemáticamente en la obtención del gran teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de la ecuación algebraica f(X) = 0, lo que constituye el objetivo central del curso. Esta resolubilidad quedará establecida en términos de las propiedades algebraicas del grupo de automorsmos del cuerpo de escisión de f sobre su cuerpo de coecientes. El estudio de dichas propiedades algebraicas es la motivación de este capítulo.

    1.1. GENERALIDADES

    Aunque los conocimientos básicos necesarios forman parte del contenido de asignaturas de Álgebra previas (Álgebra Lineal, Introducción al Álgebra), con objeto de dotar a estas notas de un cierto grado de suciencia para el seguimiento del curso y facilitar su lectura, se dedica esta primera sección a la exposición sucinta (y en gran medida informal) de las primeras cuestiones de la teoría de grupos.

    Denición 1.1.1 Un grupo (G; :) es un conjunto no vacío G en el que existe una operación

    G�G :! G

    5

  • 6 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

    que satisface las siguientes propiedades: i) La operación es asociativa, (x:y):z = x:(y:z); cualesquiera que sean

    x; y; z elementos de G. Por ello, en lo sucesivo se escribirá (x:y):z = x:(y:z) = x:y:z. También, cuando ello no suponga ambigüedad, se suprimirá el : para designar la operación, es decir, se pondrá xy en lugar de x:y;(en concordan- cia con ello, diremos también que G es un grupo en lugar de: (G; :) es un grupo). ii) Existe un elemento neutro e 2 G: Es decir, 9 e 2 G j ex = xe = x;

    8x 2 G (el elemento neutro es único, pues si e0 es neutro también, se tiene e = ee0 = e0) iii) Para cada x 2 G existe un x�1 2 G tal que xx�1 = x�1x = e. El

    elemento x�1 se denomina inverso (u opuesto