TEOR˝A DE GALOIS - USCEl teorema fundamental de teoría de Galois establece un antiisomor–smo de...

CURSO DE

TEORÍA DE GALOIS

Nieves Rodríguez González Puricación López LópezEmilio Villanueva Nóvoa

Santiago de Compostela2013

Índice general

1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 51.1. GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW . . . . . . . . . . . . 141.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES . . . . . . . . . 281.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS 452.1. GENERALIDADES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2. DOMINIOS EUCLÍDEOS. DIVISIBILIDAD . . . . . . . . . . . . 512.3. ANILLOS DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.4. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS . . . . . . . . . . . . . . 612.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3. EXTENSIONES DE CUERPOS 793.1. EXTENSIONES FINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2. EXTENSIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3. APLICACIÓN A LOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS CLÁSI-

COS: CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS . . . . . . 903.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4. EXTENSIONES SEPARABLESYNORMALES. CLAUSURAALGEBRAICA. 1034.1. EXTENSIÓN DE ENCAJES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2. CUERPOS DE ESCISIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3. CLAUSURA ALGEBRAICA DE UN CUERPO . . . . . . . . . . 1164.4. SEPARABILIDAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.5. TEOREMA DEL ELEMENTO PRIMITIVO . . . . . . . . . . . 1334.6. EXTENSIONES NORMALES. CLAUSURA NORMAL . . . . . . 136

i

ii

4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5. TEORÍA DE GALOIS 1455.1. EXTENSIONES DE GALOIS. TEOREMA FUNDAMENTAL DE

LA TEORÍA DE GALOIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA . . . . . . . 1525.3. CUERPOS FINITOS. RAÍCES DE LA UNIDAD. POLINOMIOS

CICLOTÓMICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.4. RESOLUBILIDAD POR RADICALES . . . . . . . . . . . . . . 1635.5. LA ECUACIÓN GENERAL DE GRADO n. . . . . . . . . . . . 1835.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6. Complementos 1976.1. Constructibilidad de polígonos regulares. Teorema de Gauss-Wantzel.1976.2. La trascendencia de � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

INDICACIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE LOS EJERCI-CIOS 207

Bibliografía 219

PROLOGO

Salvo en lo concerniente a resolubilidad en característica positiva, el ma-terial utilizado para la elaboración de este manual está constituido esencial-mente por las notas de clase utilizadas por los autores en los últimos añospara el desarrollo de la docencia de la asignatura Álgebra de la Licenciaturaen Matemáticas de la USC. El objetivo nal es la obtención del Gran Teoremade Galois sobre resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas, y conestas notas se pretende facilitar el acceso al contenido del curso. Para seguirloes muy recomendable haber cursado previamente una materia introductoriade Álgebra en la que hayan sido tratados con el detalle necesario gran partede los tópicos fundamentales contemplados sucintamente en el Capítulo 2, ycuya presencia en este manual se justica por la intención de los autores defacilitar la lectura del mismo.La decitaria formación algebraica de los alumnos en temas de naturaleza

más elemental hace imprescindible iniciar el curso con un estudio de gruposnitos que incluya la necesaria teoría de Sylow, algunos detalles sobre losgrupos de permutaciones y la resolubibilidad. En esto consiste el capítulo1. El tratamiento de las generalidades de las teorías de grupos y anillos,que hacemos a lo largo de los dos primeros capítulos, es muy esquemáticoy reeja también la recomendable actitud de brevedad necesaria en el de-sarrollo docente de la materia para poder abarcar el contenido de la mismaen el tiempo asignado, ya que el plan de estudios conna a esta asignaturaen un cuatrimestre de docencia. Esta exigua duración del curso y el tiempoque es necesario dedicar al desarrollo de las ya mencionadas nociones bási-cas constituyen el principal motivo de que el profesor abandone pronto laidea de presentar la resolubilidad en su completa generalidad, es decir, encaracterística arbitraria.También se ha pretendido que, de algún modo, estas notas sean testimonio

de lo realizado a lo largo de los últimos años en la docencia de esta materia

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y por ello presentamos por separado la resolubilidad en característica cero,ya que en ninguna ocasión, durante el período de referencia, ha habido laopción de desarrollarla en característica positiva. No obstante alguna vez,y de modo esporádico, se ha podido esbozar un estudio de separabilidaden característica p; y el mencionado carácter testimonial nos ha llevado aincluir ese material, habida cuenta de la enorme importancia que tienen laspeculiaridades de dicha teoría para la formación de un matemático. Unavez hecho esto, la resolubilidad en característica positiva se obtiene con unpequeño esfuerzo adicional y ésta es la razón por la que, nalmente, se hadecidido incluirla con el quizá desmesurado optimismo de que alguna vezsea posible incorporarla al curso, lo que, sin duda, no sería utópico en unamateria con docencia anual.

No hemos sabido resistir la tentación de completar el manual con losmétodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, obtenidosa partir de la teoría general, y de añadir además un apéndice dedicado auna prueba relativamente sencilla de la trascendencia de � (sección 6.2),que completa el estudio del problema de la cuadratura del círculo (3.3.8) yatratado en el capítulo 2.

Quien esté interesado solamente en la versión en característica cero puedepasar directamente del corolario 4.4.7 al lema 4.5.1, y en el párrafo de re-solubilidad por radicales puede omitir todas las referencias al caso de carac-terística positiva, amén de la nota 4.6.6, nalizando la teoría con el teorema deAbel (5.4.19). Por coherencia, el estudio sobre la resolubilidad de la ecuacióngeneral de grado n se verá entonces restringido al caso de característica nula.

Cada capítulo termina con una colección de ejercicios y al nal del textohay una sección con indicaciones para resolverlos. La bibliografía contienealgunos de los libros cuyo estilo nos ha parecido más próximo al tratamientoque se hace de la materia en este manual. Los autores no son ajenos a laopinión de que una formación matemática de calidad es connatural con laconsulta y estudio de los excelentes libros existentes, tanto en ésta como enotras materias, y recomiendan el uso de los mismos al abordar los temastratados, y la resolución de los problemas allí propuestos.

Estas notas, que nacieron con vocación de ser una referencia sobre lasexigencias mínimas de contenido de un curso cuatrimestral -objetivo estric-tamente cubierto, como se ha dicho, con lo relativo a característica cero-, hansido nalmente completadas hasta lo que se puede considerar una declaraciónde principios sobre lo que los autores estiman imprescindible para un cur-

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so obligatorio de Álgebra, dedicado a Teoría de Galois, en una TitulaciónSuperior de Matemáticas.

Capítulo 1

COMPLEMENTOS DETEORÍA DE GRUPOS

El teorema fundamental de teoría de Galois establece un antiisomorsmode retículos entre el de subgrupos de un grupo de automorsmos de un cuerpoy el de subextensiones de la formada por este cuerpo y el subcuerpo jo dedicho grupo. Esta biyección es usada sistemáticamente en la obtención delgran teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de la ecuaciónalgebraica f(X) = 0, lo que constituye el objetivo central del curso. Estaresolubilidad quedará establecida en términos de las propiedades algebraicasdel grupo de automorsmos del cuerpo de escisión de f sobre su cuerpo decoecientes. El estudio de dichas propiedades algebraicas es la motivación deeste capítulo.

1.1. GENERALIDADES

Aunque los conocimientos básicos necesarios forman parte del contenidode asignaturas de Álgebra previas (Álgebra Lineal, Introducción al Álgebra),con objeto de dotar a estas notas de un cierto grado de suciencia para elseguimiento del curso y facilitar su lectura, se dedica esta primera sección ala exposición sucinta (y en gran medida informal) de las primeras cuestionesde la teoría de grupos.

Denición 1.1.1 Un grupo (G; :) es un conjunto no vacío G en el que existeuna operación

G�G :! G

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6 CAPÍTULO 1. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS

que satisface las siguientes propiedades:i) La operación es asociativa, (x:y):z = x:(y:z); cualesquiera que sean

x; y; z elementos de G. Por ello, en lo sucesivo se escribirá (x:y):z = x:(y:z) =x:y:z. También, cuando ello no suponga ambigüedad, se suprimirá el : paradesignar la operación, es decir, se pondrá xy en lugar de x:y;(en concordan-cia con ello, diremos también que G es un grupo en lugar de: (G; :) es ungrupo).ii) Existe un elemento neutro e 2 G: Es decir, 9 e 2 G j ex = xe = x;

8x 2 G (el elemento neutro es único, pues si e0 es neutro también, se tienee = ee0 = e0)iii) Para cada x 2 G existe un x�1 2 G tal que xx�1 = x�1x = e. El

elemento x�1 se denomina inverso (u opuesto) de x: (Tal inverso es únicopues si xy = e se tiene y = x�1xy = x�1e = x�1 por la propiedad asociativa).

Recuérdese que si x; y 2 G entonces (xy)�1 = y�1x�1 (ya que, por launicidad del inverso, de y�1x�1xy = y�1y = e se deduce (xy)�1 = y�1x�1).Se dirá que un grupo G es abeliano si satisface la propiedad conmutativa,

es decir, si xy = yx; 8x; y 2 G: Frecuentemente se reserva para estos gruposel símbolo + para denotar la operación, y con �x se indicará el opuesto dex.

Nota 1.1.2

Si en un conjunto G está denida una operación asociativa, se dirá queun elemento x 2 G es idempotente si x2 := x:x = x (con lo cual uno tienexn := x n veces::: x = x para todo número natural n): Pues bien, si G es ungrupo, el único elemento idempotente de G es el neutro (x = xx =) e =x�1x = x�1xx = ex = x):

Denición 1.1.3 Un subconjunto no vacío H de un grupo G se dirá que esun subgrupo de G si la operación de G induce en H una estructura de grupocon el mismo elemento neutro. Es decir,i) xy 2 H; 8x; y 2 H.ii) e 2 Hiii) x�1 2 H; 8x 2 H.

1.1. GENERALIDADES 7

Nota 1.1.4

Un subconjunto no vacío H de un grupo G es un subgrupo de G si, y sólosi, se satisface la propiedad

x; y 2 H =) x�1y 2 H:

En efecto, si H es subgrupo de G es evidente que la condición se cumple.Recíprocamente, para x 2 H 6= ; se tiene x; x 2 H y por tanto e = x�1x 2 H:Entonces para x 2 H; se tiene x; e 2 H y así x�1 = x�1e 2 H: Finalmente,para x; y 2 H se tiene x�1; y 2 H por lo ya demostrado, y entonces xy =(x�1)

�1y 2 H:

Si fHi j i 2 Ig es una familia de subgrupos del grupo G entoncesTi2IHi es

también subgrupo de G: En efecto, de x; y 2Ti2IHi se deduce inmediatamente

x�1y 2Ti2IHi ya que, para cada i 2 Hi; se tiene x�1y 2 Hi al ser cada Hi un

subgrupo de G:La noción de subgrupo está íntimamente ligada a la de relación de equiva-

lencia compatible (por un lado) con la operación del grupo.Con la determinación de la naturaleza de los subgrupos de (Z;+) se inicia

la teoría de divisibilidad en Z. Si H 6= 0 es un tal subgrupo y si s 6= 0 esel menor entero positivo perteneciente a H entonces H = sZ; es decir Hconsiste en el conjunto de los múltiplos de s (Si t 2 H; el algoritmo deEuclides proporciona enteros q; r con 0 � r < s tales que t = q:s + r; y asír = t� q:s 2 H ya que q:s 2 H; de ello se deduce que r = 0 por la selecciónde s)

Denición 1.1.5 Si G es un grupo y v es una relación binaria en G, sedirá que v es compatible por la izquierda con la operación de G si

x v y =) zx v zy;8z 2 G:

De modo análogo se dene relación binaria enG compatible por la derechacon la operación de G:

Proposición 1.1.6 Sea G un grupo.i) Si H es un subgrupo de G la relación binaria en G, H v denida por

xH v y :, x�1y 2 H


es de equivalencia y compatible por la izquierda con la operación de G: Aná-logamente, la relación

x vH y :, xy�1 2 Hes de equivalencia y compatible por la derecha con la operación del grupo. Laclase de equivalencia de cada x 2 G módulo la relación H v (respectivamente,la relación vH) es la clase [x]

Hv = xH (respect. [x]vH = Hx):ii) Si v es una relación de equivalencia en G; compatible por un lado

con la operación del grupo, entonces la clase de equivalencia Hv = [e]v delelemento neutro e es un subgrupo.

iii) HHv = H; y Hv v=v (Y también HvH = H; y vHv=v)

Demostración. i) xH v y; z 2 G =) (zx)�1zy = x�1z�1zy = x�1y 2H , zxH v zy: Además y 2 [x]

Hv () xH v y , x�1y 2 H () y 2 xH:

Para la prueba de ii) obsérvese que de x; y 2 Hv = [e]v ; es decir, de x v e;y y v e se obtiene x�1y v x�1e v x�1x = e por la compatibilidad por laizquierda de v con la operación del grupo, y por tanto Hv es un subgrupode G (1.1.4). Además x 2 H

Hv () xH v e , x 2 eH = H por lo yademostrado. También xHv v y , x�1y 2 Hv , x�1y s e , y v x , x vy; con lo que queda probado iii) también.

Nota 1.1.7

Designaremos conG�H = fxH j x 2 Gg

y conH�G = fHx j x 2 Gg

las particiones de G correspondientes a las anteriores relaciones de equiva-lencia.Como #H = #xH, 8x 2 G (la aplicación H tx! xH denida por

tx(h) = xh es biyectiva) y como G =`

xH diferentesxH se tiene que #G =

#H:#(G�H) : De modo análogo se obtiene #G = #H:#(H�G) :

Denición 1.1.8 Pondremos

(G : H) = # (G�H)

y se denominará índice (por la izquierda) de H en G a este número, queserá divisor del orden de G si éste es nito.


Denición 1.1.9 Si (G; :) y (L; �) son grupos, una aplicación f : G! L esun homomorsmo de grupos si

f(x:y) = f(x) � f(y); 8x; y 2 G:

Un homomorsmo biyectivo se llamará isomorsmo. Así, el homomors-mo f : G! L es un isomorsmo si, y sólo si, existe una aplicación inversaf�1 : L ! G (que resulta ser también homomorsmo de grupos). Con lanotación L �= G se indicará que L y G son grupos isomorfos, es decir queexiste un isomorsmo entre ellos.

Nota 1.1.10

Si f : G! L es un homomorsmo de grupos y eG y eL son los correspon-dientes neutros entonces f(eG) = eL (f(eG) = f(eG:eG) = f(eG) � f(eG) =)f(eG) = eL por 1.1.2), y entonces, f(x�1) = [f(x)]

�1, para todo x 2 G(eL = f(eG) = f(x:x�1) = f(x) � f(x�1) y se aplica la unicidad del inverso):También, si H es un subgrupo de G, entonces f(H) es subgrupo de L (x =f(h); y = f(k) con h; k 2 H =) x�1 � y = [f(h)]�1 � f(k) = f(x�1:y) 2 H);y si K es subgrupo de L entonces f�1(K) = fx 2 G j f(x) 2 Kg es subgrupode G: (x; y 2 f�1(K) () f(x); f(y) 2 K =) [f(x)]�1 � f(y) = f(x�1:y) 2K =) x�1:y 2 f�1 (K)) (1.1.4).

Denición 1.1.11 Para el homomorsmo f : G! L se denen:i) Imagen de f , el subgrupo f(G) de L y se escribirá Im(f) = f(G):ii) Núcleo de f; denotado con ker(f); denido como ker(f) = f�1(feLg)

(obsérvese que feLg es subgrupo de L y se aplica (1.1.10))

Además ker(f) es un subgrupo de G con la siguiente propiedad adicional:si x 2 G e y 2 ker(f) entonces f(x:y:x�1) = f(x) � f(y) � f(x�1) = f(x) �eL � [f(x)]�1 = eL =) x:y:x�1 2 ker(f): La importancia de esta propiedadmerece distinguir con un nombre especial a los subgrupos de un grupo quela satisfacen.

Denición 1.1.12 Si G es un grupo y H es un subgrupo de G, se diceque H es subgrupo normal (o invariante) de G si satisface cualquiera de laspropiedades equivalentes siguientes


i) xHx�1 � H; 8x 2 Gii) xHx�1 = H; 8x 2 Giii) xH = Hx; 8x 2 Giv) H v=vHLa prueba de la equivalencia de las anteriores condiciones es fácil.i) =) ii) Si i) se satisface para todo elemento de G; se tiene también

x�1H (x�1)�1= x�1Hx � H; y por tanto x (x�1Hx)x�1 = H � x�1Hx:

ii) =) iii) En virtud de la hipótesis, dado un x 2 G, 8h 2 H 9k 2 Htal que xhx�1 = k; y por tanto xh = kx; con lo que se obtiene xH � Hx:También, usando que x�1Hx = H; se tiene que 8h 2 H 9k 2 H tal quex�1hx = k y, entonces, Hx � xH:

iii) () iv) Es evidente, pues dos relaciones son iguales si, y sólo si,determinan la misma clase de equivalencia para cada elemento, es decir, si, ysólo si, determinan la misma partición en el conjunto donde están denidas.

iii) =) i) Si x 2 G y h 2 H existe un k 2 H tal que xh = kx; y portanto tal que xhx�1 = k: Resulta así xHx�1 � H:

Denición 1.1.13 Si G es un grupo se dene el centro de G; ZG como elconjunto de elementos de G que conmutan con todos los elementos de G;

ZG := fa 2 G j ab = ba; 8b 2 Gg:

Es muy fácil comprobar que el centro de G es un grupo abeliano, y quetodo subgrupo de ZG es normal en G.Si G es un grupo abeliano todos sus subgrupos son normales. Por ejemplo

todos los subgrupos de (Z;+) son normales. Existen grupos en los que sucedeprecisamente lo contrario:

Denición 1.1.14 Se dice que un grupo G es simple si no posee otros sub-grupos normales que feg y el propio G:

Nota 1.1.15

Si H es un subgrupo de G de índice 2 entonces H es normal en G (G=H =fH; xH; con xH = yH para cualquier par x; y =2 H, x; y 2 Gg ya que(G : H) = 2; y por la misma razón HnG = fH;Hx; con Hx = Hy paracualquier par x; y =2 H; x; y 2 Gg; por lo tanto xH = Hx; 8x 2 G; puesG = H t xH = H tHx si x =2 H ).


Si H es subgrupo normal de G, el conjunto cociente

G�H := fxH j x 2 Gg

adquiere estructura de grupo con la operación (xH):(yH) := xyH; cuyo ele-mento neutro es eH = H; y que la aplicación 'H : G �! G�H denida por'H(x) = xH es homomorsmo de grupos al que llamaremos homomorsmocanónico de paso al cociente módulo H. El núcleo de 'H es el grupo H, y asíes evidente la siguiente armación: H es subgrupo normal de G si, y sólo si,existe un grupo L y un homomorsmo de grupos f : G ! L cuyo núcleo esH.Se recordará que una aplicación si f : G ! L admite siempre una de-

scomposición f = f3 � f2 � f1

Gf! L

# f1 " f3G� vf

f2! f(G);

(descomposición canónica) en donde vfes la relación de equivalencia en Gdenida por x vf y :() f(x) = f(y); y G� vf denota, como es habitual, elconjunto cociente, es decir aquél cuyos elementos son las clases de equivalen-cia de los de G para la relación vf ; la aplicación f2 es la biyección denidapor f2

�[x]vf

�= f(x); y, nalmente, f3 es la inclusión.

Supongamos ahora que f : G ! L es un homomorsmo de grupos. En-tonces, si H = ker (f) ; resulta x vf y :() f(x) = f(y)() eL = [f(x)]�1 �f(x) = [f(x)]�1 � f(y) = f(x�1y) () x�1y 2 H () xH v y; es decir,vf=Hv=vH ; ya que H es subgrupo normal de G: Por tanto G� vf= G�Hy además f1 : G ! G�H es el homomorsmo canónico de paso al cocientemódulo H, pues f1(x) = [x]vf = [x]Hv = xH = 'H(x) cualquiera que seax 2 G. La biyección f2 es ahora un isomorsmo de grupos pues es biyectivay además

f2 ((xH)(yH)) = f2(xyH) = f(xy) = f(x) � f(y) = f2(xH) � f2(yH):

La inclusión f3 es evidentemente homomorsmo. Así, los términos que in-tervienen en la factorización canónica de un homomorsmo de grupos songrupos u homomorsmos de grupos. Los teoremas de isomorfía de gruposserán consecuencia de la existencia del isomorsmo f2:


Nota 1.1.16

Si f : G! L es un homomorsmo de grupos (el símbolo de operación seráobviado en ambos grupos de acuerdo con lo anunciado en (1.1.1,apartado i))y si H es un subgrupo normal de G entonces f(H) es un subgrupo normal def(G) (f(H) es subgrupo de f(G) (1.1.10), y dado f(x) 2 f(G) y f(h) 2 f(H)se tiene f(x) f(h) [f(x)]�1 = f(xhx�1) 2 f(H))También, si K es un subgrupo normal de L entonces f�1(K) es subgrupo

normal de G (f�1(K) es subgrupo de G (1.1.10), y si x 2 G e y 2 f�1(K),entonces f(y) 2 K y f(x)f(y) [f(x)]�1 = f(xhx�1) 2 K =) xhx�1 2f�1(K)):

Teorema 1.1.17 Sea G un grupo y H;K subgrupos normales de G tales queH � K: Entonces se tiene

i) K�H es subgrupo normal de G�Hii) (G�H)� (K�H) �= G�K:

Demostración. i) K�H = 'H(K) donde 'H : G! G�H es el homo-morsmo canónico (que es sobreyectivo) y se aplica (1.1.16).

ii) Existe un homomorsmo sobreyectivo f : G�H ! G�K que estádenido mediante f(xH) = xK para cada x 2 G: Ahora

Ker(f) = fxH 2 G�H j f(xH) = Kg =

fxH 2 G�H j xK = Kg = fxH 2 G�H j x 2 Kg = K�H;

y la descomposición canónica de f proporciona el isomorsmo anunciado yaque f es sobreyectiva.

Denición 1.1.18 Si G es un grupo y H un subgrupo de G, se dene elsubgrupo normalizador de H en G como

NG(H) := fx 2 G j xH = Hxg;

que es el mayor subgrupo de G en el que H es normal.

Es fácil comprobar que NG(H) es un subgrupo de G que contiene a H(x; y 2 NG(H) =) x�1; y 2 NG(H) =) x�1yH = x�1Hy = Hx�1y; ademáshH = Hh = H para todo h 2 H):


Teorema 1.1.19 Sea G un grupo y H;K subgrupos de G tales que K �NG(H): Entonces

i) HK := fxy j x 2 H; y 2 Kg es un subgrupo de G en el que H esnormal

ii) H \K es subgrupo normal de K y existe un isomorsmo

HK�H �= K�H \K:

Demostración. i) Es evidente que H � KH: Ahora, para x1; x2 2 He y1; y2 2 K se tiene (x1y1)�1 x2y2 = y�11 x�11 x2y2 = x3y�11 y2 (para uncierto x3 2 H; pues y�11 H = Hy�11 al ser y�11 2 K � NG(H)): Por tanto(x1y1)

�1 x2y2 2 HK y así HK es subgrupo de G: Además de H;K � NG(H)resulta de modo evidente HK � NG(H):

ii) Para x 2 H \K y k 2 K se tiene kxk�1 2 H \K; pues H es normalen NG(H): Para la obtención del isomorsmo anunciado sea

f := Ki! HK 'H! HK�H;

donde i es la inclusión y 'H el homomorsmo canónico de paso al cociente.El homomorsmo f está entonces denido por f(k) = kH; y, para cualquierxyH 2 HK�H (con x 2 H e y 2 K); se tiene xyH = yH (pues de K �NG(H) resulta la existencia de un x0 2 H tal que xy = yx0; y así xyH =yx0H = yH): Por lo tanto f es sobreyectivo y además ker(f) = H \ K(f(k) = kH = H con k 2 K () k 2 H \ K) De la descomposicióncanónica de f resulta el isomorsmo buscado.Para H = rZ � Z; el grupo cociente Z�rZ es el de las clases de restos

de enteros módulo r: Es buen ejercicio comprobar que si r y s son enteros,d es su máximo común divisor y m su mínimo común múltiplo, entoncesrZ\sZ =mZ; y rZ+sZ =dZ. Por aplicación del segundo teorema de isomorfíase obtiene

dZ�sZ =(rZ+sZ)�sZ �= rZ� (rZ\sZ)=rZ�mZ:

Teorema 1.1.20 (En lo sucesivo nos referiremos a este teorema como: "Teo-rema de la correspondencia") Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G:Existe una biyección que conserva las inclusiones entre el retículo de subgru-pos (resp. subgrupos normales) de G�H y el de subgrupos (resp. subgruposnormales) de G que contienen a H.


Demostración. Sean S = fK 0 j K 0 es subgrupo de G�Hg y T = fK jK es subgrupo de G que contiene a Hg: Si 'H : G �! G�H designa elhomomorsmo canónico de paso al cociente la aplicación � : S! T denidapor �(K 0) = '�1H (K

0) (1.1.10) tiene por inversa a la aplicación � : T! Sdada por �(K) = 'H(K) (1.1.10): Como consecuencia de (1.1.16) se obtieneque K 0 es subgrupo normal de G�H si, y sólo si, �(K 0) es subgrupo normalde G que contiene a H:Si (Gi)i2I es una familia de grupos, es muy fácil comprobar que el produc-

to cartesianoQi2IGi es un grupo con la operación (xi)i2I : (yi)i2I := (xi:yi)i2I ;

denida componente a componente. Para cada j 2 I; la proyección �j :Qi2IGi ! Gj, �j((xi)i2I) = xj; es homomorsmo sobreyectivo de grupos. Se

satisface además la siguiente propiedad universal:

Proposición 1.1.21 Si H es otro grupo y para cada i 2 I está denido unhomomorsmo de grupos fi : H ! Gi, entonces existe un único homomor-smo de grupos f : H !

Qi2IGi tal que �j � f = fj; para cada j 2 J .

Demostración. La única aplicación f : H !Qi2IGi que satisface la

condición �j � f = fj para cada j 2 J; está denida por la fórmula f(h) =(fi (h))i2I , y es muy fácil comprobar que f es homomorsmo de grupos.

Denición 1.1.22 El grupoQi2IGi será llamado grupo producto directo de la

familia de grupos (Gi)i2I y los homomorsmos �j :Qi2IGi ! Gj recibirán el

nombre de proyecciones canónicas.

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW

El conocimiento de la estructura de un grupo pasa por el estudio delretículo de sus subgrupos, y, para un grupo nito, una cuestión fundamentalconsiste en averiguar el número de subgrupos de un cierto orden. Las técnicasnecesarias para iniciar este estudio comenzarán con el

Teorema 1.2.1 (Teorema de Lagrange). Si G es un grupo nito y H es unsubgrupo de G; entonces el orden de H divide al orden de G: Además

#G = #H:(G : H);

1.2. GRUPOS FINITOS. TEORÍA DE SYLOW 15

en donde (G : H) indica el índice de H en G; es decir el número de clasesde traslación de H en G:

Demostración. Es el contenido de la nota 1.1.7.

Corolario 1.2.2 Si K y H son subgrupos de G y además K � H, entonces

(G : K) = (G : H):(H : K):

Demostración. La expresión se obtiene fácilmente mediante la apli-cación del teorema de Lagrange a los pares K � H; H � G; y K � G:

Como caso particular, si r y s son enteros, m = m:c:m(r; s) y d =m:c:d(r; s), del isomorsmo dZ�sZ �= rZ�mZ ya mencionado antes, se ob-tiene el conocido teorema m:d = r:s: En efecto, por aplicación del anteriorcorolario a las inclusiones

sZ �dZ � Z, y mZ �rZ � Z;

resulta (Z : sZ) = (Z : dZ):(dZ : sZ) y (Z : mZ) = (Z : rZ):(rZ : mZ); yentonces

m

r= (rZ : mZ) = # (rZ�mZ) = # (dZ�sZ) = (dZ : sZ) =

s

d:

Si G es un grupo y x 2 G consideraremos frecuentemente el homomors-mo de grupos 'x : Z!G denido por 'x(n) = xn: La imagen 'x(Z)=es el subgrupo de G generado por x:

Denición 1.2.3 El grupo G es cíclico si existe algún x 2 G tal que =G:Se dirá que x genera el grupo G; y también que x es generador de G:

El núcleo de 'x es un subgrupo de Z y por lo tanto Ker ('x) = nZ paraalgún n 2 Z: Entonces

< x >= 'x(Z) �= Z�nZ

y por lo tanto todo grupo cíclico es isomorfo a algún Zn = Z�nZ (con n 6= 0en el caso nito) o a Z (que corresponde al caso n = 0).


Denición 1.2.4 El entero n = # < x > recibe los nombres de orden operíodo de x denotado aquí con n = jxj : Obsérvese que el período de x estambién el menor entero positivo n tal que xn = e; cada entero m tal quexm = e es un elemento de Ker('x); y por lo tanto es múltiplo de jxj.

Una aplicación inmediata del teorema de Lagrange proporciona:

Proposición 1.2.5 Todo grupo nito de orden primo es cíclico y cada ele-mento diferente del neutro genera el grupo.�

Proposición 1.2.6 Todo subgrupo y todo grupo cociente de un grupo cíclicoson cíclicos.

Demostración. Si S � G es un conjunto generador de G es decir, si todoelemento x de G es un producto nito de elementos del conjunto S[S�1; y sif : G! G0 es un homomorsmo de grupos, es evidente que todo elemento def(G) es un producto nito de elementos de f (S)[f (S)�1. Es decir, la imagenmediante un homomorsmo de un sistema de generadores es un sistema degeneradores de la imagen. En particular es grupo cíclico la imagen de ungrupo cíclico mediante un homomorsmo. También, si H es un subgrupode G, y si G =< x >= 'x(Z); entonces H = 'x ('�1x (H)) es un grupo cíclicoya que lo es '�1x (H) al ser subgrupo de Z:

Proposición 1.2.7 Si G =< x > es un grupo cíclico de orden n; un ele-mento y = xr 2 G (1 < r < n) genera G si, y solo si, r es primo conn:

Demostración. En efecto r y n son coprimos si, y sólo si, existen t; q 2 Ztales que 1 = tr + qn: Entonces x = xtr+qn = (xr)t = yt si r y n son primosentre sí, y en ese caso se tiene < x >�< y >�< x > : Recíprocamente, si< y >=< x > se tiene x = yt para algún entero t; y entonces x = xrt con loque resulta x1�rt = e; es decir 1 � rt 2 Ker ('x) = nZ: Por lo tanto r y nson coprimos si y = xr genera < x > :Grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos, los innitos son isomorfos

a Z, y los nitos de orden n lo son a Z=nZ. La anterior proposición estableceque si n y m son primos entre si, entonces Z=mnZ �= Z=nZ� Z=mZ. esteisomorsmo de grupos abelianos es también de anillos y, como tal, es un casoparticular del torema chino de los restos.


Nota 1.2.8

Por lo tanto, si G es cíclico de orden n; el número de generadores de Ges el entero

'(n) = # fr 2 N j 1 � r < n; y mcd(r; n) = 1g :La aplicación ' : Nn f0g �! Nn f0g es conocida con el nombre de "funciónphi de Euler".

Proposición 1.2.9 Si G y H son grupos nitos, #G = n y #H = m;entonces el producto directo G�H es cíclico si, y sólo si, G y H son cíclicosy n y m son primos entre sí.

Demostración. En efecto, si (a; b) genera el grupo G�H entonces a esgenerador deG y b lo es deH (1.2.6). Como j(a; b)j = m:c:m(jaj ; jbj) = jaj jbj ;necesariamente n = jaj y m = jbj son primos entre sí. Recíprocamente, si< a >= G y < b >= H; el orden j(a; b)j = m:c:m(jaj ; jbj) = jaj jbj al ser jajy jbj primos entre sí, y por lo tanto G�H =< (a; b) > :

Nota 1.2.10

Nótese que si G y H son cíclicos de órdenes respectivos m y n primosentre si, un par (x; y) es generador del grupo producto G �H si, y sólo si,x es generador de G e y lo es de H: Por lo tanto '(mn) = '(n)'(n):

Proposición 1.2.11 Si G =< x > es cíclico de orden n y d es divisor de nentonces existe un único subgrupo de G de orden d:

Demostración. Ciertamente, si n = d:r el elemento xr es de período dy por tanto # < xr >= d: Si H es subgrupo de G de orden d entonces H escíclico 1.2.6 generado por algún h = xt 2 H con 1 � t � n: Como jxtj = dse tiene xtd = e; y entonces td 2 nZ: Pero td = ns =) t = rs con lo queh = xt = (xr)s y así resulta H =< h >�< xr >. Por lo tanto H =< xr >;al ser ambos grupos del mismo orden d:

Teorema 1.2.12 (Teorema de Cauchy para grupos abelianos) Si G es ungrupo abeliano nito de orden n y p es un número primo divisor de n; en-tonces G contiene un elemento de orden p, o equivalentemente, G tiene algúnsubgrupo de orden p:


Demostración. La prueba será realizada por inducción en n = #G,siendo p divisor primo de n: El caso n = p es trivial, pues por el teoremade Lagrange, G es necesariamente cíclico y cualquier elemento (diferente delelemento neutro) es un generador deG: Sea n > p y supóngase que el teoremaes válido para todos los grupos abelianos de orden t < n; con p j t: Si a 2 G� feg ; entonces m = jaj > 1; y por el teorema de Lagrange m j n; es decirexiste r 2 Z tal que n = mr: Como p es divisor primo de n deberá ser p j mo p j r: Si m = kp; entonces b = ak 2 G tiene período p y el resultado estaríaprobado en ese caso. Si p j r considérese el grupo G0 = G� < a > de ordenr < n: Por inducción, existe un elemento b = b < a >2 G0 de período p: Si ses el período de b 2 G se tiene que bs = bs < a >= e < a >=< a > y porlo tanto p j s: Como s = jbj nos encontramos en el caso anterior, es decir, elelemento c = b

sp 2 G es de período p:

Corolario 1.2.13 Si p es número primo, r � 1 un entero, y pr divide alorden del grupo nito abeliano G; entonces G tiene un subgrupo de orden pr

Demostración. Por el teorema de Cauchy anterior (1.2.12), G admiteun subgrupo H de orden p y a partir de aquí se procede por inducción en r.Sea r > 1 y supóngase que los grupos nitos abelianos cuyo orden es divisiblepor pr�1 admiten un subgrupo de orden pr�1: El grupo cociente G=H tieneorden n

py por tanto admite un subgrupo K 0 de orden pr�1: Por el teorema

de la correspondencia (1.1.20) existe un subgrupo K de G que contiene a Hy tal que K=H �= K 0: El teorema de Lagrange permite armar ahora que Kes de orden pr:

Corolario 1.2.14 Si m es divisor del orden de un grupo nito abeliano Gentonces G admite un subgrupo de orden m:

Demostración. Si m = pr11 pr22 :::p

rtt es la factorización de m en potencias

de primos y si Hi es subgrupo de G de orden prii ; entonces el subgrupo H1H2

es de orden pr11 pr22 : En efecto H1H2 es subgrupo de G al ser G abeliano y

H1H2�H2 �= H1�H1 \ H2:Teniendo en cuenta que H1 \ H2 = feg al serdos subgrupos de órdenes primos entre sí, resulta H1H2�H2 �= H1, con locual se obtiene #(H1H2) = p

r11 p

r22 ; en virtud del teorema de Lagrange. Con

argumentación similar, y usando recurrencia en j; resulta #(H1H2:::Hj) =pr11 p

r22 :::p

rjj para cada j = 1; 2; :::t .

Nota 1.2.15


Obsérvese que tomando m = n = #G en la prueba del corolario ante-rior resulta el teorema de estructura de los grupos abelianos nitos que, enesencia, arma que G = H1H2:::Ht: El grupo G = H1H2:::Ht es isomorfo alproducto directo H1�H2�:::�Ht, pues la aplicación f : H1�H2�:::�Ht !H1H2:::Ht denida por f(x1; x2; :::; xt) = x1:x2:::xt es un homomorsmo (Ges abeliano) sobreyectivo y por tanto isomorsmo al ser ambos grupos ni-tos del mismo orden. La unicidad de los subgrupos H1; H2; :::; Ht puede serobtenida como consecuencia de consideraciones posteriores (1.2.32).

Nota 1.2.16

Si el grupo nito G es cíclico de orden n = pr11 :::prtt entonces '(n) =

tY1

'(prii ) (1.2.10).

Si G es un grupo no abeliano, la condición d j #G no es suciente, engeneral, para que exista un subgrupo de G de orden d: Por ejemplo el grupoalternado A5 tiene orden 60 pero no tiene ningún subgrupo de orden 30 puescualquier tal subgrupo debería ser normal en A5 pues tendría índice 2 en di-cho grupo (1.1.15), lo cual es imposible ya que el grupo A5 es simple (véase elejercicio 28 de este capítulo). Para grupos nitos no necesariamente conmu-tativos será probado un resultado análogo al teorema de Cauchy utilizandola teoría de G-conjuntos, :

Denición 1.2.17 Una acción u operación (por la izquierda) de un grupoG sobre un conjunto A es cualquier aplicación

G� A �! A

(g; a) g � aque satisfaga las condiciones:1) (gg0) � a = g � (g0 � a); 8g; g0 2 G y 8a 2 A2) e � a = a; 8a 2 A:También se dirá que A es un G�conjunto por la izquierda.

De modo análogo se dene acción por la derecha : A��

G! A; (a; g) a � g; con las obvias propiedades análogas a las 1) y 2) anteriores. En losucesivo, salvo mención expresa de otra cosa, G-conjunto será sinónimo deG-conjunto por la izquierda.


Nota 1.2.18

A es un G-conjunto si, y sólo si, existe un homomorsmo de gruposG! SA; en donde SA denota el grupo de permutaciones deA (i.e. biyeccionesA ! A): En efecto, para la acción � de G sobre A se dene la aplicaciónT� : G! SA mediante T�(g)(a) := g � a, pues para cada g 2 G; la aplicaciónT�(g) : A ! A es biyectiva con inversa T�(g�1); y se comprueba fácilmenteque T� es homomorsmo de grupos como consecuencia de las propiedades1) y 2) de la anterior denición. Recíprocamente, es fácil comprobar que siT : G ! SA es un homomorsmo de grupos, la aplicación *T : G � A ! Adenida por *T (g; a) := T (g)(a) dota a A de estructura de G-conjunto. Esfácil también obtener que *T� = �, y que T�T = T: Cada homomorsmoT : G! SA se denomina también una representación de G por un grupo deautomorsmos de A; y por tanto, para cada conjunto A; existen tantas detales representaciones como acciones diferentes de G sobre A:

Ejemplos1.- Sea G un grupo y A un conjunto cualquiera. La aplicación � : G�A!

A denida por g � a = a; 8a 2 A y 8g 2 G es una acción de G sobre A quese denomina acción trivial.2.- La acción de un grupo G sobre sí mismo � : G�G! G denida por

g � g0 := gg0 se denomina traslación por la izquierda y se dice entonces queG actúa por la izquierda sobre sí mismo por traslación.3.- Otra acción � : G � G ! G de cualquier grupo G sobre sí mismo, y

que tendrá especial importancia en lo que sigue, es la conjugación, denidamediante g � a := gag�1:4.- Si G es un grupo y H un subgrupo de G entonces G actúa por la

izquierda (resp. derecha) sobre el conjunto de las clasesG=H := fgH=g 2 Gg;(resp. HnG := fHg=g 2 Gg) mediante g � (g0H) := gg0H (resp.(Hg0) � g :=Hg0g): Esta acción recibe también el nombre de traslación por la izquierda(resp. derecha).5.- Si G es un grupo y designamos con SG el conjunto de subgrupos de G;

entonces la aplicación � : G�SG ! SG dada por g �H := gHg�1 está biendenida y constituye una acción (por la izquierda) de G sobre SG: En efectosi H es subgrupo de G también lo es el subconjunto gHg�1; pues para x =ghg�1, e y = gkg�1 con h; k 2 H y g 2 G; resulta xy�1 = ghg�1 (gkg�1)�1 =ghg�1gk�1g�1 = ghk�1g�1 2 gHg�1 pues hk�1 2 H ya queH es subgrupo deG: Además las condiciones 1) y 2) de la denición anterior se satisfacen como


consecuencia de las igualdades gg0 � H = (gg0)H (gg0)�1 = gg0Hg0�1g�1 =g (g0Hg0�1) g�1 = g � (g0 �H); y de e �H = eHe�1 = H:Usaremos el ejemplo 2 anterior para la prueba del

Teorema 1.2.19 (Teorema de Cayley) Todo grupo G es isomorfo a un sub-grupo del grupo SG de sus permutaciones.

Demostración. La representación T : G ! SG denida por T (a)(g) =ag; correspondiente (1.2.18) a la acción de traslación por la izquierda de Gsobre sí mismo es homomorsmo inyectivo. En efecto

a 2 KerT () T (a) = idG : G! G() T (a)(g) = ag = g;8g 2 G;()a = e: Por lo tanto T� establece así un isomorsmo de G con T (G):

Según este resultado, para conocer la estructura de todos los grupos ni-tos sería suciente con estudiar el retículo de subgrupos de los grupos depermutaciones. Sin embargo ello no constituye ninguna ventaja en la prác-tica pues el orden del grupo de permutaciones es el factorial del orden delgrupo objeto de estudio y ello supone, en general, una mayor dicultad ala hora de establecer la naturaleza del retículo de sus subgrupos. Por ello esnecesario desarrollar técnicas y herramientas algo más sosticadas.

Proposición 1.2.20 Sea G un grupo nito y H un subgrupo cuyo índice enG es el menor número primo p que divide al orden de G. Entonces H esnormal en G:

Demostración. Como el conjunto de las clases por la izquierda G=Htiene p = (G : H) elementos su grupo de permutaciones es Sp cuyo orden es p!:La acción de traslación de G por la izquierda sobre G=H (ejemplo 4 anterior)determina un homomorsmo de grupos T : G ! Sp (1.2.18) cuyo núcleodeberá tener a un divisor de p! como índice en G; ya que G=KerT ' ImTque es subgrupo de Sp: Además KerT � H � G; puesto que

x 2 KerT () xgH = gH; 8g 2 G;

y por tanto, xH = H (es decir x 2 H) si x es un elemento deKerT: Entonces

(G : H) : (H : KerT ) = (G : KerT ) ;

y así p.(H : KerT ) es divisor de p!; lo cual signica que (H : KerT ) es divisorde (p� 1)!: Por lo tanto, o bien (H : KerT ) = 1, en cuyo caso H = KerT


ya sería subgrupo normal de G, o bien cada divisor primo q de (H : KerT )será también divisor de (p� 1)! y por lo tanto q < p: Estos divisores primosde (H : KerT ) lo son también del orden de G y ello contradice la hipótesis deminimalidad de p entre tales divisores. Por lo tanto necesariamente se tiene(H : KerT ) = 1; es decir H = KerT:El concepto de órbita será muy utilizado en lo que sigue.

Denición 1.2.21 Sea � : G � A ! A una acción del grupo G sobre elconjunto A; y sea a 2 A: Se denominará G-�orbita de a (o simplemente�orbita de a si la referencia a G es innecesaria) al conjunto

OG(a) := fx � a 2 Ajx 2 Gg:

También se dene el subgrupo de isotropía (o estabilizador) de a 2 A me-diante

Ga := fx 2 Gjx � a = agque es efectivamente un subgrupo de G (comprobación elemental).

Usaremos frecuentemente la siguiente proposición.

Proposición 1.2.22 Si A es un G� conjunto y a 2 A entonces

#OG(a) = (G : Ga) :

Además la relación binaria en A denida por

a s b :() 9x 2 G tal que b = x � a

es de equivalencia y por lo tanto establece una partición de A en clases deequivalencia que son precisamente las diferentes G�órbitas de elementos deA por la acción de G.

Demostración. Si x; y 2 G se tiene:

x � a = y � a() y�1x � a = a() y�1x 2 Ga () xGa = yGa

Por lo tanto se puede armar que hay tantos elementos diferentes y � a comoclases distintas yGa; lo que justica la primera armación de la proposición.Para probar la segunda bastará con demostrar que las órbitas constituyen unapartición de A: Es evidente que cada elemento a = e � a pertenece a alguna


órbita (la suya), y por lo tanto A = [a2AOG(a): Además OG(a)\OG(b) 6= ;si, y solamente si, existen x; y 2 G tales x � a = y � b; lo cual equivale, a suvez, a que exista un z 2 G tal que a = z � b; y por lo tanto a que a 2 OG(b)(y también un z0 2 G tal que b = z0 � a; o sea b 2 OG(a)): Ahora bien

a 2 OG(b)() OG(a) � OG(b);

ya que x � a = x � (z � b) = xz � b 2 OG(b); si a = z � b 2 OG(b): Entonces setiene

OG(a) \OG(b) 6= ; () OG(a) = OG(b):Así

A =G

OG(a) diferentes

OG(a)

es decir, A es la unión disjunta de las diferentes órbitas de sus elementos.

En el ejemplo 5 anterior, si H es un subgrupo de G, el grupo de isotropíade H es GH = fa 2 G j aHa�1 = Hg que se conoce ya como subgruponormalizador de H, es decir, el mayor subgrupo de G en el que H es normal(1.1.18). Por lo tanto, a la vista de la proposición 1.2.22, se tiene #OG(H) =(G : GH) = 1 si, y solamente si, H es normal en G:La acción de G sobre sí mismo por conjugación (ejemplo 3 anterior) pro-

porcionará una fórmula muy útil en relación con el orden de un grupo nitoG: Para la acción

G�G �! G(x; a) x � a := xax�1;

el grupo de isotropía de un elemento a 2 G es

Ga = fx 2 Gjxax�1 = ag = fx 2 Gjxa = axg

que se denomina también el normalizador de fag en G: Nótese que las órbitasno son vacías (a 2 OG(a), 8a 2 G): Nótese también que una órbita OG(a)contiene solamente un elemento precisamente si OG(a) = fag; es decir, si, ysólo si, x � a = xax�1 = a; 8x 2 G; es decir,

OG(a) = fag () a 2 ZG:

Cada órbita OG(a) se denominará clase de conjugación del elemento a; ycualquier elemento de OG(a) será un representante de la clase de conjugaciónde a:


Se ha probado así la siguiente proposición que establece la que conoce-remos desde ahora como fórmula de las clases para el orden de un gruponito.

Proposición 1.2.23 Si G es un grupo nito entonces

#G = #ZG +

rXi=1

(G : Gai) ;

donde fa1; a2; :::; arg es un conjunto de representantes de las diferentes clasesde conjugación que tienen más de un elemento y solamente de ellas.�

Corolario 1.2.24 Si p es un número primo y G es un grupo de orden pn

para algún n � 1; entonces p j #ZG 6= pn�1.

Demostración. En la fórmula de las clases, los sumandos correspon-dientes a representantes de clases de conjugación que tienen más de un ele-mento son todos divisores de pn y por tanto múltiplos de p: Como #G = pn

resulta p j #ZG; que constituye la primera armación del corolario. Paraobtener la segunda, si #ZG = pn�1 sea a 2 GrZG. Entonces ZG & Ga & G;ya que, por la selección que se ha hecho de a; existe un g 2 G tal que ag 6= galo que proporciona g 2 GrGa, y a 2 GarZG: Ello es imposible pues, por elteorema de Lagrange, el orden de Ga, que ahora es estrictamente mayor quepn�1 = #ZG; deberá ser una potencia de p (al ser divisor de pn) estrictamentemenor que pn:

Corolario 1.2.25 Si p es número primo todo grupo de orden p2 es abeliano.�

Se puede proceder ahora a la prueba de la anunciada generalización, paragrupos no abelianos, del teorema de Cauchy.

Teorema 1.2.26 Sea G un grupo nito y p un número primo. Si pm divideal orden de G entonces existe un subgrupo de G de orden pm:

Demostración. Sea n = #G que es divisible por pm; y procedamosinductivamente en n: Para n = 1 el resultado es trivial. Sea n > 1 y supóngaseválido el resultado para todos los grupos de orden menor que n. Distingamoslas dos posibilidades: p j #ZG y p - #ZG: En el primer caso el teorema deCauchy para grupos abelianos proporciona la existencia de un subgrupo H


de ZG que es de orden p (y normal en G al ser subgrupo de ZG): El grupocociente G=H es de orden n

p< n y, por inducción, admitirá un subgrupo

K 0 de orden pm�1: El teorema de la correspondencia proporciona ahora unsubgrupoK deG que contiene aH tal queK=H �= K 0: Por lo tanto#K = pmy el resultado estaría probado en este caso. Si p - #ZG; por la fórmula delas clases existe un elemento a 2 G con (G : Ga) no divisible por p. Paraeste elemento a se tiene Ga $ G (inclusión estricta ya que (G : Ga) > 1) ypor el teorema de Lagrange #G = #Ga: (G : Ga) ; lo que signica que pm esdivisor del orden de Ga que, a su vez, es estrictamente menor que el de G:La hipótesis de inducción proporciona ya un subgrupo de Ga de orden pm:

Denición 1.2.27 Sea G un grupo nito y p un número primo.1) Se dirá que G es un p-grupo si el orden de G es una potencia de p:2) Si H es un subgrupo de G de orden una potencia de p se dirá que H

es un p-subgrupo de G: Si pm es la mayor potencia de p que divide al ordende G y si H es un subgrupo de G que tiene orden pm se dirá que H es unp-subgrupo de Sylow de G: Es decir los p-subgrupos de Sylow de G son losp-subgrupos de G de orden mayor posible.

Nota 1.2.28

Si H es p � subgrupo de Sylow de G entonces lo son también todos susconjugados xHx�1 (x 2 G); y por lo tanto G actúa por conjugación en elconjunto de sus p-subgrupos de Sylow, para cada primo p que divide al ordendeG: Por lo tanto siG tiene un único p-subgrupo de SylowH; necesariamenteH es normal en G:

Proposición 1.2.29 Si p es un número primo y G es un p-grupo de ordenpr existe entonces una cadena de subgrupos

G0 = feg � G1 � G2 � ::: � Gr = G;

de tal modo que cada Gies subgrupo normal de Gi+1; y Gi+1�Gi es cíclicode orden p; para todo i = 0; 1; 2; :::; r � 1:

Demostración. Es consecuencia del teorema anterior ya que basta tomarGr�1 subgrupo de G de orden pr�1 y, recurrentemente, Gi subgrupo de Gi+1de orden pi para i = 0; 1; 2; :::; r � 1: Por el teorema de Lagrange el índice(Gi+1 : Gi) = p; que es el menor número primo que divide al orden de Gi+1


y, por lo tanto Gi es normal en Gi+1(1.2.20): Todos los cocientes Gi+1=Gi songrupos de orden primo y por lo tanto cíclicos.La proposición anterior establece que todo p-grupo es resoluble, concepto

que será denido en la próxima sección.

Teorema 1.2.30 (Teorema de Sylow) Sea p un número primo y G un gruponito de orden n = pmr; con r no divisible por p: Entoncesa) Existen p-subgrupos de Sylow de G:b) Todo p-subgrupo de G está contenido en un p-subgrupo de Sylow de G:c) Todos los p-subgrupos de Sylow de G son conjugados.d) El número sp de p-subgrupos de Sylow de G es divisor de r; y, por

tanto, del orden de G: Además sp es congruente con 1 módulo p (sp � 1(m�odp)); es decir sp = 1 + kp para algún entero k:

Demostración. Del teorema anterior se sigue a) si allí se toma pm comola mayor potencia de p que divide al orden de G: Para la demostración delas restantes armaciones sea P := fP j P es p�subgrupo de Sylow de Gg:Por la nota 1.2.28 se puede considerar a G actuando por conjugación en P:Sea P 2 P jado arbitrariamente y GP = fx 2 G j xPx�1 = Pg su grupo deisotropía, que resulta ser el normalizador de P en G. El orden de la G�órbitade P es el índice de GP en G; es decir#OG(P ) = (G : GP ) (1.2.22): Se tienenlas inclusiones de grupos

feg � P � GP � G

y, por aplicación reiterada del teorema de Lagrange, las igualdades

pmr = #G = #GP : (G : GP ) = #P: (GP : P ) : (G : GP ) =

= pm: (GP : P ) : (G : GP ) ;

es decir(GP : P ) : (G : GP ) = (GP : P ) :#OG(P ) = r;

de lo que se deduce que p no es divisor de #OG(P ) (en otro caso p dividiríaa r); y además que #OG(P ) es divisor de r y también de #G:Para la prueba de b), sea H un p-subgrupo de G y sea p� = #H (obvia-

mente � � m): El subgrupo H actúa también por conjugación en la G-órbitade P

H �OG(P )! OG(P )


(h;Q) hQh�1;ya que si Q = xPx�1 entonces hQh�1 = h (xPx�1)h�1 = (hx)P (hx)�1 2OG(P ): Se tiene ahora que

OG(P ) = OH(P1) tOH(P2) t ::: tOH(Pt);

en donde fP1; P2; :::; Ptg � OG(P ) es un conjunto de representantes de lasdiferentes H-órbitas OH(Pi) de elementos de OG(P ); y por lo tanto

#OG(P ) =tXi=1

#OH(Pi) =tXi=1

(H : HPi) ; (�)

donde HPi denota el grupo de isotropía de Pi para la acción de H (HPi =fh 2 H=hPih�1 = Pig). Por el teorema de Lagrange #H = #HPi : (H : HPi)y por tanto (H : HPi) j p� = #H; es decir

(H : HPi) = p�i ; (��)

con �i � � para cada i = 1; 2; :::; t: Puesto que p - #OG(P ); de (�) y(��) se deduce que existe algún sumando en la (�) no divisible por p; o sea,9i 2 f1; 2; :::; tg tal que �i = 0; o, lo que es lo mismo, tal que H = HPi :Obviamente HPi es un subgrupo de GPi (GPi es el normalizador en G delgrupo Pi); y por lo tanto HPi es subgrupo de G y existe un isomorsmo degrupos (1.1.19)

HPi�Pi �= H�H \ Pi:

De esto se obtiene que

#(HPi) =#H:#Pi#(H \ Pi)

;

en virtud del teorema de Lagrange, de lo que resulta queHPi es un p�subgrupode G al ser potencias de p todos los términos del segundo miembro de laigualdad anterior. Como Pi � HPi, de la maximalidad del orden dePi resultaPi = HPi que admite a H como subgrupo y la armación b) queda probada.La prueba de c) se puede obtener de lo ya demostrado. En efecto, si P

y Q son dos p�subgrupos de Sylow de G hágase jugar a Q el papel que hajugado H en la prueba de b); se encontrará un Pi 2 OG(P ) tal que Q � Pi;y por lo tanto Q = Pi por ser ambos grupos nitos del mismo orden.


La demostración de d) es también consecuencia de lo ya dicho. Ahorasabemos que OG(P ) = P para cualquier P (por el apartado b)). También seha visto que sp = #P es divisor de r. Haciendo H = P en la prueba de b) setiene

sp =

tXi=1

(P : PPi) ;

en donde fP1; P2; :::; Ptg es un conjunto de representantes de las P -órbitasOP (Pi) diferentes de elementos deP; y además existe algún sumando (P : PPi)= p�i de valor 1; lo cual sucede solamente si P = Pi (que corresponde al caso,H = P � Pi de la prueba de b)). Por lo tanto en la suma anterior solamentehay un sumando que vale 1 y los restantes son potencias de p; con lo que laarmación d) queda demostrada.

Nota 1.2.31

Ahora se puede armar:

sp = 1() P = fPg () P es subgrupo normal de G:

Corolario 1.2.32 (Teorema de estructura de grupos abelianos nitos) Si Ges un grupo abeliano de orden n = pr11 p

r22 :::p

rtt con p1; p2; ::; pt primos dife-

rentes, entonces G = H1H2:::Ht �= H1 �H2 � ::: �Ht en donde cada Hi esel único pi-subgrupo de Sylow de G, para cada i = 1; 2; :::; t.

Demostración. La existencia de los grupos Hi (para cada i = 1; 2; :::; t)puede obtenerse como consecuencia inmediata del teorema de Sylow ante-rior (aunque en el caso abeliano no es necesario recurrir a herramientas tansosticadas (véase (1.2.15)), y su unicidad de la conmutatividad de G y dela nota 1.2.31. El resto de la prueba es el contenido de la nota 1.2.15.

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES

Uno de los resultados nales de estas notas - y su principal objetivo - loconstituye el teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de ecua-ciones algebraicas. Este teorema establece que dicha resolubilidad es posiblepara una tal ecuación si, y sólo si, un cierto grupo asociado a la misma es ungrupo resoluble. Por ello es importante dedicar nuestra atención al examen

1.3. GRUPO SIMÉTRICO. GRUPOS RESOLUBLES 29

de algunos resultados básicos de la teoría de grupos resolubles. La no resol-ubilidad de los grupos de permutaciones Sn; si n � 5; será denitiva parala prueba del teorema de Abel sobre la no resolubilidad por radicales de laecuación general de grado n � 5.Dedicaremos unas líneas a recordar las principales cuestiones y notaciones

de la teoría de grupos de permutaciones. Recuérdese que si X es un conjunto,el grupo SX de las permutaciones de X es el conjunto de las biyeccionesX ! X: La operación de SX es la composición de aplicaciones.

Denición 1.3.1 Si X = f1; 2; :::; ng es el conjunto de n elementos se de-signará con Sn el grupo de sus permutaciones, que recibe el nombre de gruposimétrico de n elementos.

Sn es un grupo de orden n!; y no es abeliano si n � 3 (comprobación muysencilla). Si � 2 Sn se escribirá

� =

�1 2 ::: n

� (1) � (2) ::: � (n)

�:

Si un elemento j 2 f1; 2; :::; ng es jo para �; es decir tal que � (j) = j; elsímbolo j será suprimido en la expresión anterior. Por ejemplo para n = 5 lapermutación � (1) = 3; � (2) = 1; � (3) = 5; � (4) = 4; � (5) = 2 se escribirá

� =

�1 2 3 53 1 5 2

�:

Con esta notación es fácil obtener que si m � n entonces Sm se identica conel subgrupo de aquellos � 2 Sn que dejan jos n�m elementos determinados.

Denición 1.3.2 Si � 2 Sn es tal que existen a1; a2; :::; ar 2 f1; 2; :::; ngde forma que � (ai) = ai+1 para i = 1; 2; :::; r � 1 y � (ar) = a1; y además� (j) = j; 8j 2 f1; 2; :::; ng� fa1; a2; :::; arg ; se dirá que � es un r-ciclo y seescribirá

� = (a1 a2 :::ar) :

Los 2-ciclos se denominan trasposiciones

Obsérvese que si � es un r-ciclo su período es r:


Denición 1.3.3 Dos permutaciones �; � 2 Sn se dice que son disjuntas si,para cada j 2 f1; 2; :::; ng; � (j) 6= j =) � (j) = j (o, lo que es equivalente,� (j) 6= j =) � (j) = j). Es muy fácil comprobar que permutaciones disjuntasconmutan.

Proposición 1.3.4 Toda permutación � 2 Sn es producto de ciclos disjun-tos.

Demostración. Tómese k 2 f1; 2; :::; ng y fórmese el conjunto f�i (k) ji � 0g. Se observará que, como nuestro conjunto f1; 2; :::; ng es nito y � esbiyectiva, existe un entero m � 0 tal que �m(k) = �i (k) ; para algún 0 � i <m: Si r es el menor de tales enteros, necesariamente se tiene �r(k) = k; puesde la igualdad �r(k) = �j (k) ; para algún 0 � j < r; resultaría �r�j(k) = k,contradiciendo la minimalidad de r si 0 < j: A continuación, para obtener ladescomposición anunciada, comenzamos escribiendo

�1 =

�a � (a) ::: �r1�1 (a)

� (a) �2 (a) ::: �r1 (a) = a

�=�a � (a) ::: �r1�1 (a)

�;

que es un r1-ciclo, donde a es el primer elemento, según el orden natural enf1; 2; :::; ng; que no es jo para �. Se procede a construir

�2 =

�b � (b) ::: �r2�1 (b)

� (b) �2 (b) ::: �r2 (b) = b

�=�b � (b) ::: �r2�1 (b)

�;

tomando b el primer elemento, según el orden mencionado; que no pertenezcaal conjunto de elementos fa; � (a) ; �2 (a) ; :::; �r1�1 (a)g y que no es jo para�. Recursivamente se construyen sucesivas �3; :::; �t�1; �t; ::: donde

�t =

�k � (k) ::: �rt�1 (k)

� (k) �2 (k) ::: �rt (k) = k

�=�k � (k) ::: �rt�1 (k)

�;

siendo k el primer elemento de f1; 2; :::; ng; según el consabido orden natural,que no ha sido movido por ninguno de los ciclos ya construidos �3; :::; �t�1;y que no es jo para �: Los sucesivos conjuntos�a; � (a) ; :::; �r1�1 (a)

;�b; � (b) ; :::; �r2�1 (b)

; :::;

�k; � (k) ; :::; �rt�1 (k)

; :::

son disjuntos. El proceso se detendrá cuando se hayan agotado los elementosde f1; 2; :::; ng que no son jos para �. Es obvio que � = �l:::�2�1 donde �l esel último ciclo que es posible construir con el proceso anteriormente descrito.


Nota 1.3.5

Cada ciclo es un producto de trasposiciones aunque no de modo único:

� = (a1 a2 :::ar) = (a1 ar) (a1 ar�1) ::: (a1 a3) (a1 a2) =

= (a1 a2) (a2 a3) ::: (ar�2 ar�1) (ar�1 ar) :

Por lo tanto, cada permutación 2 Sn admite al menos una factorizaciónen trasposiciones. El número de tales trasposiciones no está determinado demodo único pero sí lo está su paridad, tal y como se establece en la siguiente

Proposición 1.3.6 Si Id es el elemento neutro de Sn y si Id = � 1� 2:::� res una descomposición de Id como producto de trasposiciones entonces r espar. Como consecuencia, la paridad del número de trasposiciones en que sepuede descomponer una permutación � 2 Sn está determinada por � y sedenominará paridad de �.

Demostración. Para cada entero B de la forma B =Q

(i;j)2�(j� i) y cada

permutación � 2 Sn se dene B� :=Q

(i;j)2�(� (j)� � (i)); en donde � designa

un subconjunto arbitrario de f1; 2; :::; ng � f1; 2; :::; ng ; y es fácil comprobarque B�� = (B� )� : También (�B)� = �B�, cualquiera que sea � 2 Sn; puesla expresión�B (respect. �B�) se puede obtener a partir de la de B (respect.B�) modicando sólo el signo de uno de sus factores, p.ej. el k � r (respect.� (k)� � (r)):La mayor dicultad de la prueba consiste en demostrar que si� es una trasposición y A =

Q1�i


�(k) � �(i) = h � i; resultando así que se produce solamente un cambio deorden y la modicación del signo de dos factores. Estos cambios no afectanal valor del producto.d) Finalmente, i = h < j = k; y entonces el factor j�i de A se transforma

en � (j)� � (i) = i� j:Esto agota todas las posibilidades y signica que A� = �A:Por lo tanto, si Id = � 1� 2:::� r; se tiene que A = AId = A�1�2:::�r =

(�A)�1�2:::�r�1 = [(�1)A]�1�2:::�r�1 = ::: = (�1)rA; de lo que resulta que r esnecesariamente par.Ahora, si � = � 1� 2:::� t = "1"2:::"s son dos factorizaciones de � 2 Sn

en trasposiciones, resulta que Id = � 1� 2:::� t"s"s�1:::"1 con lo cual t y s sonambos pares o ambos impares ya que su suma ha de ser par.

Denición 1.3.7 Se denomina signatura de la permutación � al valor " (�) =(�1)k ; siendo k el número de trasposiciones de una descomposición de �(como consecuencia de la anterior proposición la signatura está denida sinambigüedad) Se designa con An el conjunto de permutaciones que se des-componen en un número par de trasposiciones (permutaciones pares). An esun subgrupo de índice 2 de Sn y recibe el nombre de grupo alternado de nelementos (� 2 An () " (�) = 1): Las � 2 Sn�An son las permutacionesimpares.

An es el núcleo del homomorsmo " : Sn ! f�1; 1g que asocia a cadapermutación su signatura (f�1; 1g es subgrupo del grupo multiplicativo R�de números reales no nulos)

Lema 1.3.8 Sea p un número primo y � 2 Sp. Entonces j�j = p si, y sólosi, � es un p-ciclo.

Demostración. Es evidente que si � es un p-ciclo entonces j�j = p:Recíprocamente, sea � 2 Sp de período p y sea � = �1�2 una factorizaciónen permutaciones disjuntas (1.3.4), con �1 = (a1a2:::ar) un r-ciclo y �2 2Sp�r; con 1 < r � p. Necesariamente se tiene r = p; ya que, en otro caso(es decir, si 1 < r < p), se tendría �r = �r1�

r2 = �

r2 2 Sp�r al ser �1 y �2

disjuntas. Ello no es posible pues de �r 2 Sp�r se obtiene, por el teorema deLagrange, que j�rj = p (�r tiene el mismo período p que � por (1.2.7)) es undivisor primo de (p� r)! = #Sp�r; lo que es falso si r > 0: Por lo tanto r = py la permutación �2 es la identidad con lo que � = �1 que es un p�ciclo.


Nótese que la condición de que p es número primo es crucial en la ar-mación anterior. En efecto, si n = 12; y � = �1�2 con �1 = (1 2 3) y �2 = (45 6 7) resulta j�j = 3;4 = 12 y no obstante � no es un 12�ciclo. Más ge-neralmente, si n = pq con p y q primos diferentes, y si � = �1�2 2 Sn con �1un p�ciclo y �2 un q�ciclo, �1 y �2 disjuntos, resulta que j�j = n y � no esun n-ciclo (solamente actúa sobre p+ q elementos y p+ q < n = pq):Nótese también que le restricción impuesta � 2 Sp es hipótesis esencial,

pues si �; � 2 Sn (con n � 2p) son p-ciclos disjuntos, entonces �� 2 Sn es deperíodo p y no es un p-ciclo.

Proposición 1.3.9 Si p es un número primo y H es un subgrupo de Sp quecontiene un p-ciclo y una trasposición, entonces H = Sp.

Demostración. Si el p-ciclo es � = (a1a2 :::ap) 2 H y la trasposición es� = (aiaj); poniendo

� =

�1 2 ::: pa1 a2 ::: ap

�resulta �0 = ��1�� = (12:::p) 2 H 0 := ��1H�; y también � 0 = ��1�� = (ij) 2 H 0. Ahora H 0 = Sp si, y sólo si, H = Sp pues los grupos H y H 0 tienenel mismo orden.Como p es primo y r = j � i < p; entonces = (�0)r es también un

p�ciclo (el lema anterior permite armar que �0 es p�ciclo al tener períodop) y 2 H 0: Además (i) = i + r = � 0 (i) = j; y así se tiene = (i (i)

2 (i) 3 (i) :::p�1 (i)), y � 0 = (i (i)). De una nueva renumeración

& =

�1 2 ::: pi (i) ::: p�1 (i)

�resulta que �00 = &�1& = (1 2:::p) y � 00 = &�1� 0& = (1 2) son elementos delsubgrupo H 00 = &�1H 0&: También H 0 = Sp () H 00 = Sp; y todo lo dichohasta aquí nos permite suponer que � = (12:::p) y que � = (12) :Ahora ��1 = (2 3), �(2 3)��1 = (3 4),...,�(p � 2 p � 1)��1 = (p � 1

p) son elementos de H, y por lo tanto (i i + 1) 2 H, 8i 2 f1; 2; :::; p� 1g :Como (i i+ 2) = (i i+ 1)(i+ 1 i+ 2)(i i+ 1) para cada i = 1; 2; :::; p� 2;resulta, por recurrencia, que cada trasposición

(i i+ s) = (i i+ s� 1) (i+ s� 1 i+ s) (i i+ s� 1)

es un elemento de H: Como Sp está generado por las trasposiciones se tieneH = S:


Una segunda lectura de la proposición anterior es muy simple, el grupoSp está generado por el par formado por un p-ciclo y una trasposición, ambascualesquiera.El concepto de grupo resoluble será esencial en la teoría de Galois de

ecuaciones algebraicas.

Denición 1.3.10 Una cadena de subgrupos del grupo G

Gr � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G0 = G

se dirá que es una cadena (o torre) normalde G si cada Gi+1 es normal enGi: Si además cada grupo cociente Gi�Gi+1 es abeliano (resp. cíclico) se diraque la torre es abeliana (resp. cíclica). El grupo G se dice que es resoluble siexiste una torre abeliana de G como la anterior en la que, además, Gr = feg( o, equivalentemente, el grupo Gr�1 es abeliano). Si existe, diremos que dichatorre es una torre de de resolubilidad para G:

Ejemplos1.-Si G es abeliano G es resoluble; la consideración de la cadena feg � G

es suciente argumento.2.-Todo p�grupo es un grupo resoluble (1.2.29).3.-El grupo de las permutaciones de tres elementos S3 es resoluble. La

cadenafeg � A3 =< (123) >� S3

proporciona la resolubilidad.Como ya queda dicho, todo grupo abeliano es resoluble, pero como con-

secuencia de (1.2.29) y de (1.2.32) obtendremos un resultado para gruposnitos resolubles que será crucial en la prueba del gran teorema de Galois yserá corolario de la siguiente

Proposición 1.3.11 Si G es un grupo abeliano nito existe una torre

Gr = 0 � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G0 = G

tal que cada cociente Gi�1�Gi es cíclico de orden primo.

Demostración. Por el teorema de estructura de grupos abelianos nitosse tiene que G = H1H2:::Ht (1.2.32) donde cada Hi es el único pi-subgrupo


de Sylow de G: Poniendo Gi�1 := HiHi+1:::Ht, para cada i = 1; 2; :::; t, elpi-grupo

Gi�1�Gi = (Hi:::Ht)� (Hi+1:::Ht) �= Hitiene una torre de subgrupos

0 = G0i;ri � G0i;ri�1 � ::: � G

0i;0 = Hi

tal que cada cociente G0i;s�1�G0i;s es cíclico de orden pi para todo s = 1; :::; ri(1.2.29). Por aplicación del teorema de la correspondencia al homomorsmode paso al cociente 'i : (H1:::Hi) ! (H1:::Hi)� (H1:::Hi�1) se obtiene unatorre

Gi = Hi+1::::Ht = Gi;ri � Gi;ri�1 � ::: � Gi;0 = Hi:::Ht = Gi�1de las mismas características que la anterior ya que, en virtud del primerteorema de isomorfía (1.1.17), se tiene Gi;s�1�Gi;s � G0i;s�1�G0i;s; para todos = 1; :::; ri: Se consigue una torre para G por concatenación de las sucesivastorres obtenidas para cada i = 1; 2; :::; t; en la que los cocientes de cada dostérminos consecutivos son grupos cíclicos de orden primo.

Corolario 1.3.12 Un grupo nito G es resoluble si, y sólo si, existe unatorre normal

Gr = feg � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G0 = Gen la que cada cociente Gi�1�Gi es cíclico de orden primo.

Demostración. Si G es resoluble existe una torre normal Ht = feg �Ht�1 � Ht�2 � ::: � H0 = G con cada Hi�1�Hi grupo nito abeliano.Usando la proposición 1.3.11 y el teorema de la correspondencia es posibleintercalar grupos entre cada dos consecutivos de la torre original obteniendo

Hi+1 = Hi;ni � Hi;ni�1 � Hi;ni�2 � :::Hi;0 = Hide modo que los cocientes de grupos sucesivos sean grupos de orden primo. Laconcatenación de las torres parciales así obtenidas proporciona lo anunciado.El recíproco es evidente.

Proposición 1.3.13 Sea H un subgrupo del grupo G:a) Si G es resoluble entonces H es resoluble.b) Si H es normal en G son equivalentes las armacionesi) G es resolubleii) H y G�H son resolubles.


Demostración. a) La cadena de subgrupos de G

Gr = feg � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G0 = G; (�)

que establece la resolubilidad de G; proporciona otra de subgrupos de H

Gr \H = feg � Gr�1 \H � Gr�2 \H � ::: � G0 \H = H;

en la que cada grupo es normal en el siguiente, y cada cociente

Gi�1 \H�Gi \H

es abeliano al ser subgrupo de Gi�1�Gi.b) \i) =) ii)" Como consecuencia del apartado a) sólo es necesario probar

que G�H es resoluble. Ahora, si ' : G! G=H es el homomorsmo canónicode paso al cociente, a partir de la cadena (�) de resolubilidad para G seobtiene la torre

' (feg) = fHg � ' (Gr�1) � ::: � ' (G1) � ' (G) = G=H

que establece la resolubilidad de G�H; pues cada grupo es normal en elsiguiente por el teorema de la correspondencia, y además

' (Gi�1)�' (Gi)

es abeliano al ser un grupo cociente de Gi�1�Gi que lo es por hipótesis.\ii) =) i)" Sean

Hs = feg � Hs�1 � ::: � H0 = H (+)

yG00t = fHg � G00t�1 � G00t�2 � ::: � G000 = G�H

las cadenas que establecen las resolubilidades respectivas de H y de G�H:Por el teorema de la correspondencia existe una cadena

H = Gt � Gt�1 � Gt�2 � ::: � G0 = G ; (++)

denida mediante Gi := '�1(G00i ); que satisface as condiciones de normalidadrequeridas y además Gi�Gi�1 �= G00i�G00i�1; lo que proporciona la conmuta-tividad de cada grupo cociente. La concatenación de las cadenas (+) y (++)proporciona la cadena

feg = Hs � Hs�1 � ::: � H0 = H = Gt � Gt�1 � Gt�2 � ::: � Go = G

que establece la resolubilidad de G:


Denición 1.3.14 Si G es un grupo y x; y elementos de G se dene el con-mutador del par (x; y) como

[x; y] = xyx�1y�1;

y se denotará con G(1); o con [G : G] ; el subgrupo de G generado por todoslos conmutadores de pares de elementos de G;

G(1) :=< f[x; y] j (x; y) 2 G�Gg > :

El subgrupo G(1) recibe el nombre de subgrupo conmutador o subgrupo deriva-do de G; y también abelianizador de G: Recursivamente se dene la seriederivada de un grupo G que está formada por la cadena de subgrupos

:::: � G(i+1) :=�G(i) : G(i)

�� ::: � G(2) :=

�G(1) : G(1)

�� G(1) � G =: G(0)

Nótese que en la anterior denición todo se trivializa si el grupo G esconmutativo pues en ese caso [x; y] = e;8x; y 2 G:

Lema 1.3.15 Sea G un grupo. Entoncesa) G(1) es subgrupo normal de G y el cociente G�G(1) es abeliano.b) Si H es un subgrupo normal de G son equivalentesi) El cociente G�H es abeliano.ii) G(1) � H:

Demostración. a) G(1) :=< f[x; y] =x; y 2 Gg > : Nótese que [x; y]�1 =[y; x] y que, por lo tanto, cada elemento de G(1) se expresa como un pro-ducto nito de conmutadores. Un pequeño truco de cálculo proporciona lanormalidad de G(1) :

g [a1; b1] ::: [an; bn] g�1 =

�ga1g

�1; gb1g�1� ::: �gang�1; gbng�1� :

La conmutatividad de G�G(1) resulta de que ba 2 abG(1) pues ab (ba)�1 =aba�1b�1 2 G(1); y por lo tanto

aG(1):bG(1) = abG(1) = baG(1) = bG(1):aG(1):

b) Para a; b 2 G se tiene

aH:bH = abH = baH = bH:aH () ab(ba)�1 = [a; b] 2 H;


y por lo tanto G�H es abeliano si, y sólo si, H contiene a todos los conmu-tadores.

Como consecuencia del lema anterior, en la serie derivada de un grupo Gcada subgrupo es normal en el siguiente y el cociente de ambos es abeliano.Por consiguiente, si existe un n tal que G(n) es conmutativo (o, equivalente-mente, tal que G(n+1) = feg), la serie derivada termina en el grupo trivialdespués de un número nito de pasos, y por tanto dicha serie es una cadenaque establece la resolubilidad de G: El recíproco también es cierto ya que siG es un grupo resoluble y

Gr = feg � Gr�1 � Gr�2 � ::: � G1 � G0 = G

es una torre abeliana, en virtud del apartado b) del lema 1.3.15 se tiene queG(1) � G1 y entonces G(2) � G(1)1 (pues es evidente que si H es subgrupode L entonces H(1) es subgrupo de L(1)). Como G1�G2 es abeliano, el lema1.3.15 nos permite armar que G(1)1 � G2; con lo que resulta G(2) � G2:De forma recurrente se obtiene que G(i) � Gi para todo i; y por tanto,necesariamente, G(r) = feg. Así hemos demostrado la

Proposición 1.3.16 Un grupo G es resoluble si, y solamente si, su seriederivada alcanza el grupo trivial después de un número nito de pasos, esdecir, existe un número natural r tal que G(r) = feg :�

Obsérvese que para un grupo nito G su serie derivada es necesariamenteestacionaria, es decir existe un k 2 N tal que G(k) = G(k+1) (y por tantoG(i) = G(j) para todos i; j � k). La no resolubilidad del grupo nito Gsignica, por lo tanto, que su serie derivada estaciona en un grupoG(k) 6= feg.Si G es innito no resoluble su serie derivada puede no ser estacionaria.Los últimos resultados de esta sección se dedican al estudio de la resolu-

bilidad de los grupos de permutaciones.

Proposición 1.3.17 S4 y A4 son grupos resolubles.

Demostración.Ya que (S4 : A4) = 2 la resolubilidad de S4 es equivalentea la de A4 en virtud de la proposición 1.3.13, así que probaremos solamenteque el grupo alternado A4 es resoluble: Sea V un 2-subgrupo de Sylow deA4, es decir de orden 4 y (A4 : V ) = 3. Las trasposiciones y los 4-ciclos sonpermutaciones impares y por tanto no son elementos de V . Tampoco son


elementos de V los 3-ciclos ya que son de período 3 que no divide a #V = 4.Por tanto, como la descomposición de cada � 2 V (� 6= id) en producto deciclos disjuntos es � = � 1� 2 con � 1 y � 2 trasposiciones (n = 4), solamentehay tres de tales elementos, a saber

(12) (34) ; (13) (24) ; (14) (23) :

Por lo tanto V = fid; (12) (34) ; (13) (24) ; (14) (23)g es el único 2-subgrupode Sylow de A4, que, entonces, es normal en A4 (1.2.31). Como A4�V esde orden 3 y V de orden 4 ambos son grupos abelianos. Por tanto A4 es ungrupo resoluble.

Este resultado, junto con la resolubilidad de S2 y S3, nos permitirá ar-mar que existe una fórmula, que contiene solamente expresiones radicales yalgebraicas de los datos, para resolver la ecuación algebraica general de gradon � 4, sin necesidad de obtener dicha fórmula de modo explícito.

Proposición 1.3.18 Si n � 5 el grupo Sn no es resoluble.

Demostración. La prueba se realizará por reducción al absurdo. Se pro-bará, de modo recurrente, que si n � 5 y

fidg = Hm � ::: � Hi+1 � Hi � ::: � H1 � H0 = Sn

es una torre abeliana de Sn, cada subgrupo Hi contiene a todos los 3-ciclos.Esto es imposible pues fidg = Hm. Sea (abc) un 3-ciclo y elíjanse d; e 2f1; 2; :::; ng� fa; b; cg ; lo cual es posible al ser n � 5. Sean � = (cdb) y � =(bae) : Como H0�H1 es abeliano, el conmutador [�; �] = ��1��1 = (abc)es un elemento de H1 (1.3.15). Sea ahora i > 1 y supóngase que todos los3-ciclos son elementos de Hi. Procediendo de forma idéntica al caso i = 1teniendo en cuenta que �; � 2 Hi por ser 3-ciclos, resulta (abc) = [�; �] 2Hi+1 por ser Hi�Hi+1 abeliano.

La no resolubilidad de los grupos de permutaciones Sn para n � 5 serácrucial a la hora de probar la no resolubilidad por radicales de la ecuacióngeneral de grado n � 5.


1.4. Ejercicios

1.- Sea G un grupo, n un entero y a 2 G: Denimos las potencias de acomo sigue:A) a0 := e , el elemento neutro de G;B) an =

n vecesa::::::a si n > 0;

C) an =�n veces

a�1:::::::a�1 si n < 0.Dados m;n 2 Z demuéstrese quea) (an)�1 = (a�1)n = a�n

b) am � an = am+nc)(am)n = amn.

2.- Realícense todos los detalles de las demostraciones de los resultadosque han sido incluidos sin prueba en este primer capítulo.

3.- Sea H un subgrupo del grupo G. Demuéstrese que para cada a 2 G elconjunto aHa�1 := faha�1jh 2 Hg es un subgrupo de G del mismo cardinalque H:

4.- Demuéstrese que si G es un grupo en el que para cada a 2 G se tienea2 = e (elemento neutro de G) entonces G es abeliano.

5.- Dados H;K subgrupos de un grupo G se dene el conjunto HK :=fhkjh 2 H; k 2 Kg : Demuéstrese que HK es subgrupo de G si, y sólo si,HK = KH:

6.- Sea V = fid; (12)(34); (13)(24); (14)(23)g :a) Pruébese que V es subgrupo de A4 (V es el grupo de Klein Z2 � Z2).b) V es subgrupo normal de A4:c) Demuéstrese que W :=< (12)(34) > es subgrupo normal de V y que

no es normal en A4:

7.- Sean H subgrupo de G y K subgrupo de L.a) Demuéstrese que H �K es subgrupo de G� Lb) Demuéstrese que H �K es normal en G� L si y sólo si H es normal

en G y K es normal en L:

8.- Sean G y H grupos, a 2 G y b 2 H elementos de orden nito. De-muéstrese que (a; b) 2 G�H es un elemento de orden m:c:m(jaj ; jbj):9.- Sea G un grupo y a; b 2 G tales que (jaj ; jbj) = 1: Demuéstrese que si

ab = ba; entonces jabj = jaj jbj :

1.4. EJERCICIOS 41

10.- Sean A =�0 �11 0

�y B =

�0 �11 �1

�elementos de GL2(R):

Demuéstrese que A tiene orden 4, que B es de orden 3 y que AB es de orden0:

11.- Sea G un grupo y a; b 2 G: Demuéstrense las siguientes identidadesa) jaj = ja�1j = jbab�1jb) jabj = jbaj :12.- Sea G =< a > un grupo cíclico de orden n: Demuéstrense los dos

resultados siguientesa) jajj = n

(n;j)

b) Si r es un entero positivo que divide a n entonces G contiene exacta-mente un subgrupo de orden r:

13.-Sea G =< a > un grupo cíclico de orden 154. SeaH un subgrupo de Ggenerado por fa28; a88g : Pruébese que existe un entero k tal queH =< ak > :14.- Sean G y H grupos cíclicos de órdenes m y n; respectivamente. De-

muéstrese que el grupo G�H es cíclico si, y sólo si (m;n) = 1:15.- Sea G un grupo, G 6= feg. Pruébese que G no tiene otros subgrupos

que G y feg si, y sólo si, G es cíclico de orden primo.16.- Sea G un grupo abeliano nito de orden n = pr:q con p primo no

divisor de q y r � 1: Demuéstrese que si H es el subgrupo de G de orden prque existe, según lo establecido en (1.2.13), se tiene

H = fx 2 G j jxj es una potencia de pg :

17.- Sea f : G ! H un homomorsmo de grupos y a 2 G un elementode orden nito. Demuéstrese que jf(a)j divide jaj ; y que si, además, f esinyectivo entonces jf(a)j = jaj :18.- Sea G un grupo nito. Demuéstrese :a) Si G es de orden 4 entonces G es isomorfo a Z4 o al grupo de Klein.b) Si #G � 5 entonces G es abeliano.19.- Se consideran los subgrupos 5Z y 35Z de Z. Demuéstrese que 5Z=35Z �=

Z7:20.- Si G es un grupo nito abeliano de orden n y m un entero positivo

coprimo con n, entonces la aplicación f : G ! G denida por f(a) = am esun automorsmo de G:


21.- Demuéstrese que (Q;+) no es isomorfo a (Z;+).¿Es (Q�; :) isomorfoa (Z;+)?

22.- Sea G = S3 � Z5: ¿Es G un grupo cíclico?¿Cuántos 5-subgruposde Sylow tiene G?¿Es cíclico todo 5-subgrupo de Sylow de G?¿Cuántos 3-subgrupos de Sylow tiene G?

23.- Sea G un grupo. Dados A y B subgrupos de G se considera la apli-cación � : A � B ! G denida por � (a; b) = ab: Demuéstrese que sonequivalentes las armaciones:a) � es isomorsmo.b) A y B son subgrupos normales de G y cada elemento x 2 G se expresa

de forma única como x = ab con a 2 A y b 2 B:c) A y B son subgrupos normales de G; A \B = feg y AB = G:24.- Sea G un grupo de orden 65. Demuéstrese que existen subgrupos

normales H y K de G tales que G = HK: Como consecuencia demuéstreseque G es cíclico.

25.- Demuéstrese que todo grupo de orden 35 es cíclico.

26.- Pruébese que un grupo de orden 56 o 132 no es simple.

27.- Sean H y K grupos y G = H �K: Demuéstrese que G es resolublesi, y sólo si, son resolubles H y K:

28.- Demuéstrese que un grupo G de orden 30 no es simple. ¿Es resoluble?Como consecuencia demuéstrese que si un grupo de orden 60 no es simpleentonces es resoluble. Como aplicación obténgase que A5 es grupo simple.

29.- Sea G un grupo simple de orden 168.a) Calcúlense el número de 7-subgrupos de Sylow de G:b) Si P es un 7-subgrupo de Sylow de G; determínese el orden de NG(P ):c) Utilizando lo anterior, demuéstrese que G no tiene subgrupos de orden

14:

30.- Sean, p un número primo, G un grupo nito, H un subgrupo normalde G y P un p�subgrupo de Sylow de G. Demuéstrese quea) H \ P es p-subgrupo de Sylow de H:b) HP�H es p-subgrupo de Sylow de G=H:

31.- a) Sean p; q enteros positivos, p primo y q < p: Demuéstrese que si Ges un grupo de orden pq existe un único subgrupo H de G tal que #H = py que H es subgrupo normal de G:

1.4. EJERCICIOS 43

b) Demuéstrese que si G es un grupo de orden 42, entonces G tiene unsubgrupo normal de orden 21.

32.- Demuéstrese que si p 6= 2 es un número primo todo grupo de orden2p es cíclico o bien isomorfo al grupo diedral D2p: Si p = 3 demostrar queD2p �= S3:33.- Demuéstrese que todo grupo G de orden 12 es resoluble.

34.- Sean p; q números primos.a) Demuéstrese que todo grupo G de orden pq es resoluble.b) Demuéstrese que todo grupo de orden p2q es resoluble.

35.- Se consideran los grupos Z2 � Z2 � Z2; D2;4; y Z4 � Z2:a) Justifíquese que cada dos de ellos no son isomorfos.b) Razónese cuáles son cíclicos y cuáles son resolubles.c)¿Alguno de estos grupos tiene subgrupos de orden 4?

36.- Sea G un grupo nito y p un número primo.a) Demuéstrese que G es un p-grupo si, y sólo si, todo elemento de G

tiene de período una potencia de p:b) Demuéstrese que existen, al menos, dos grupos no isomorfos de orden

p2.

37.- Sea G un grupo de orden 10a) Demuéstrese que G tiene un subgrupo normal H de orden 5 y al menos

un subgrupo K de orden 2.b) Demuéstrese también que si G es abeliano entonces G es isomorfo a

G=H �G=K y que, como consecuencia, G es cíclico.38.-a) Sean p; q números primos. Pruébese que un grupo G de orden pq

es resoluble. ¿Es abeliano?b) Sea G un grupo tal que para cada par de subgrupos H;K de G se tiene

H � K o K � H: Demuéstrese que G es un p-grupo para algún primo p:c) Si n es un entero positivo descríbase el grupo Aut(Zn):39.- a) Sea p un número primo. Demuéstrese

i) Si G es un p-grupo entonces p divide al orden de ZG:ii) Como consecuencia de i) todo p-grupo tiene un subgrupo normal

de orden p.b) Sea G = S3 � Z4. Justicar razonadamente las armaciones

i) G es un grupo resoluble.ii) Existe un único 3-subgrupo de Sylow de G:


iii) G tiene exactamente tres subgrupos de orden 8.

40.- Sea G un grupo de orden 440. Demuéstrese quea) G no es simple.b) G tiene un subgrupo normal de orden 55.

41.- Demuéstrese que si n � 3 el grupo alternado An está generado porlos 3-ciclos.

42.- Usando el ejercicio anterior demuéstrese que An es el subgrupo deriva-do de Sn; si n � 3.

Capítulo 2

COMPLEMENTOS DETEORÍA DE ANILLOS

Se desarrollan aquí de forma muy esquemática los aspectos de la teoríade anillos que van a ser utilizados en lo que sigue. Una parte importante delcontenido del capítulo debe ser conocido para quien haya estudiado un cursoelemental de Álgebra.

2.1. GENERALIDADES.

Se dedica esta primera sección a las nociones de anillo, módulo e ideal,los teoremas de isomorsmo para anillos y el teorema de la correspondenciaen el contexto de anillos, módulos e ideales.

Denición 2.1.1 Un anillo A es un grupo abeliano (A;+) en el que haydenida una segunda operación : : A�A! A (multiplicación) de modo quese satisfacen las siguientes condicionesi)La multiplicación es asociativa (a:b):c = a:(b:c); 8a; b; c 2 A (a partir de

ahora se pondrá abc = (a:b):c = a:(b:c); eliminando el : allí donde no existaambigüedad)ii)Existe un elemento neutro 1 para la multiplicación (el üno"): 1a =

a1 = a;8a 2 Aiii)La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a(b+c) = ab+ac;

(a + b)c = ac + bc; 8a; b; c 2 A (de donde se obtiene a0 = 0;8a 2 A; ya quea0 = a(o+o) = a0+a0 =) a0 = 0 al ser a0 idempotente en el grupo (A;+);de forma análoga se obtiene 0a = 0;8a 2 A):

45

46 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

Se dirá que el anillo A es conmutativo si la operación de multiplicar esconmutativa: ab = ba; 8a; b 2 A.

Denición 2.1.2 Un elemento u 2 A se dirá que es una unidad si tieneinverso para la multiplicación. El conjunto de unidades de A se denotará conA� o con U(A):Se dirá que el anillo A 6= 0 es un anillo de división si cadaelemento no nulo tiene inverso para la multiplicación. Un cuerpo es un anillode división conmutativo.

A� es un grupo respecto de la multiplicación deA:El anilloA es de divisiónprecisamente si A� = A n f0g:

Denición 2.1.3 Si A es un anillo, un subanillo B de A es un subgrupo delgrupo aditivo (A;+) tal que 1 2 B y tal que ab 2 B; 8a; b 2 B: En otraspalabras B es anillo con las mismas operaciones de A y con el mismo neutropara la multiplicación.

Denición 2.1.4 Si A y B son anillos, una aplicación f : A ! B es unhomomorsmo de anillos si lo es de los grupos abelianos (A;+) y (B;+) yademási)f(aa0) = f(a)f(a0);8a; a0 2 A; yii)f(1A) = 1B:Un isomorsmo es un homomorsmo biyectivo.

Son armaciones de comprobación inmediata:Si f : A ! B es un homomorsmo de anillos y A0 es subanillo de A;

entonces f(A0) es subanillo de B..Si f : A ! B es un homomorsmo de anillos y B0 es subanillo de B;

entonces f�1(B0) es subanillo de A:

Denición 2.1.5 Sea A un anillo conmutativo.i)Un elemento no nulo a 2 A se dice que es un "divisor de cero"si existe

un b 2 A, b 6= 0; tal que ab = ba = 0:ii)El anillo A se dirá que es un dominio de integridad (o simplemente un

dominio) si no posee divisores de cero.

Un cuerpo A es un dominio de integridad, pues si a; b 2 A son tales queab = 0; y a 6= 0; entonces b = a�1ab = a�10 = 0:

2.1. GENERALIDADES. 47

Denición 2.1.6 Si A es un anillo, un grupo abeliano M se dirá que es unA-módulo por la izquierda si existe una operación

: : A�M !M

(a;m) amque satisface las siguientes condicionesi)1m = m; 8m 2Mii)(ab)m = a(bm);8a; b 2 A;8m 2M:iii)a(m+ n) = am+ an;8a 2 A y 8m;n 2M(a+ b)m = am+ bm; 8a; b 2 A y 8m 2M:

Como consecuencia, se tiene de modo inmediato que 0Am = 0M y a0M =0M ; 8a 2 A y 8m 2 M; en donde se ha escrito 0A (resp. 0M) para indicar elelemento neutro de la suma en A (resp. en M).

Denición 2.1.7 N es un A�submódulo del A�módulo por la izquierda Msi N es un subgrupo de (M;+) y tal que an 2 N; 8a 2 A y 8n 2 N: Es decirN es también un A�módulo por la izquierda.

Es muy fácil demostrar que N es un submódulo del A-módulo M si, ysólo si, ax+ by 2 N , 8a; b 2 A y 8x; y 2 N:Si N es un A-submódulo del A�módulo por la izquierda M el grupo

abeliano M�N adquiera estructura de A-módulo por la izquierda con laoperación a(m+N) := am+N (que está bien denida, pues para m+N =m0 + N se tiene m �m0 2 N; y por tanto a(m �m0) = am � am0 2 N; esdecir am+N = am0 +N;8a 2 A)Análogas consideraciones para estructuras por la derecha. El propio anillo

A es un ejemplo de A�módulo por la derecha y por la izquierda.

Denición 2.1.8 Si A es un anillo, los A-submódulos del A-módulo por laizquierda (resp. derecha) de A serán denominados ideales por la izquierda(resp. derecha) de A: Los ideales biláteros (que llamaremos ideales) de A sonlos ideales por ambos lados

Si f : A ! B es un homomorsmo de anillos el núcleo de f consideradocomo homomorsmo de grupos abelianos es ahora un ideal bilátero.Si I es un ideal bilátero de A la operación (a + I)(b + I) := ab + I

está bien denida y dota al grupo abeliano cociente A�I de estructura de

48 CAPÍTULO 2. COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE ANILLOS

anillo, y el homomorsmo canónico de paso al cociente 'I : A ! A�I eshomomorsmo de anillos (comprobación elemental): Si f : A ! B es unhomomorsmo de anillos el núcleo de f considerado como homomorsmo degrupos abelianos es ahora un ideal bilátero. De hecho un subconjunto I delanillo A es ideal bilátero de A si , y sólo si, I es núcle

TEOR˝A DE GALOIS - USCEl teorema fundamental de teoría de Galois establece un antiisomor–smo de...

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