Algebra Moderna (Grupos_ Anillos_ Campos & Galois) - i n Herstein (Trillas_ 1970)

11. PruCbcse quc el pentadec4gono rcgular cs constructible.

12. PruCbcsc que cs posiblc trisccar el @lo

de 72".

13. PruCbcrie quc un mdgono regular no es constructible.*14. PruCbcrie quc el poligono regular dc 17 lados es umstructiblc.

Volvcmos a la cxposici6n general. Sea F u n campo y, como usualmente, F[x]el anillo dc 10s polinomios en x sobrc F.

D~PIHICI~H. = a o P + a l P - l + ... +al?-'+ ... + a m - , x + a . c Si f(x) s un polinomio en q x ] , cntonccs la derivada dc f(x), rcpresentada por f'(x), es el polinomio f'(x) = n a o P - l + ( n - l ) a l P - l + ... +(n-i)a#-I-'+

... + o ; - ,

dc F [ x ] .

Dar e t d&ici6n o probar las propicdades b4sim formales dc la sa derivada en cuanto a polinomios sc refiere, no requicrc el concept0 dc Ilmite. Pcro, como el campo F es arbitrario, podcmos espcrar quc pasen algunas cosas cxtra2las. Por cjemplo, si F a dc caracterletica p 0 la derivada dcl polinomio x' cs pxn-' = 0. As1 pucs, el resultado com6n del d c u l o dc quc un polinomio cuya derivada cs cero dcbc ser una constante, no sigve sicndo vuido. Pcro si la caracterlstica de F c s 0 y sif'(x) = 0 para f ( x ) ~ F [ xcr cicrto que f(x) = a F ] el problcma 1). Incluso cuando la caractcrlstica dc F cs p # 0 podemos a h describir lor polinomios con derivada a r o ; si f'(x) = 0 entonas f(x) cs un polinomio en xp (vhrie el problcma 2). Probarnor ahora la8 anAlogas dc las rcglas formaks dc difmciaci6n quc tan bien conocemos.

+

case

LEMA 5.5. PWQ ~ l e s q u i e r a f ( x ) , ( x ) q x ] y ~ l q u i c ~ E F g r

1) Cf(4 +g(x))' = f'(4 + g ' ( x ) ; 2) (af(x))' = aY(x); J) Cf(x)g(x))' f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

-

Prueba. Las pruebas dc las partcs (1) y (2) son extraordiumiimcnte feciles y se dqan como cjercicio. Para probar la partc (3) n6tcsc quc, & acuerdo w n la8 part- (1) y (2), cs suficicntc probarla en el caso muy espcial A x ) = X I y g ( x ) = xJ dondc tanto i wmo j son positives. Pcro mtonccs f(x)g(x) = x"', dc dondc Cf(x)g(x))' = ( i + j ) x'+'-'; pcro f'(x)g(x) = i 2 - l x J = ~ . + J - I y f(x)g'(x) = jx'xJ-' = jx'+I-'; dc don&, en consrmcnaa, f '(x)g(x)+f(x)gl(x)= (l+j)x'+'-' = Cf(x)g(x))'.

16.

MAS ACERCA OE RAICES

116

Rccutrdcsc que en el c4lculo elemental sc mucstra la cquivalcncia cntrc la cxistencia dc una raiz multiple dc una funci6n y la anulaci6n simultanca de la funci6n y su derivada en un punto dado. lncluso dcntro dc nucstro actual rnarco, en el quc Fcsun carnpo arbitrario, existc una tal intcrrclaci6n.

LEMA 5.6. El polinomio f{x)eF[x] riene una raiz multiple si y sdlo si f(x) y f'(x) rienen un factor comun no rri13ial (es decir, de grado posiriro).Prueba. Antes dc probar el lcha, parecc adecuado quc hagamos obxrvar quc si f(x) y g(x) en fix] ticnen un factor cornin no trivial en K[x], para una K extension dc F, cntonces tienen un factor comun no trivial en F[x]. En efecto, si fucran primos relativos como clcmcntos en FIX],cntonccs podrlan mcontrarsc dos polinomios a(x) y b(x) en F[x] tales quc a(x)f(x)+ b(x)g(x) = 1. Como esta rclaci6n tambitn se vcrifica para cstos elcmmtos vistos como elernmtos dc K[x], deberlan ser tambitn primos rclativos en Kbl. Vamos ahora con el lcma. Dc la observacion quc acabamos dc haccr podcmos suponer, sin pCrdida dc generalidad, quc las ralccs dc f(x) sc cncuentran todas en F (dc otra manera extendemos F hasta K, el c a m p dc descomposici6n dc f(x)). Si f(x) ticnc urn raiz multiple a entones f(x) = (x-a)"q(x) donde m > I. Pcro, como puedc calcularx dc inmediato, ((x-a)")' = m(x-a)"- I , dc dondc, scgun el lcrna 5.5,f'(x) = (x-u)"q'(x) +m(x-a)*- ' q(x) = (x-a)r(x), ya quc rn > I . Pcro csto nos dice quc f(x) y f'(x) ticncn x-a como factor corntin, con lo quc el lcma queda probad0 en una direcci6n. Por otra partc, si f(x) no time ninguna raiz m6ltiplc, cntonccs f(x) = (x-(x-a)..(x-a), dondc las u , son todas distintas (estarnos suponiendo quc f(x) cs m6nico). Pcro cntonccs f'(x) =n

1 (x-a,)I- I

...

(x-a,) . . . (x-a,) dondc la A detcrmina el ttrmino quc se ha suprimido. Afirrnamos quc ninguna raiz dc f(x) cs una raiz dc/'(x), pucs si/'(ai) = (a,-a,) # 0, ya quc las ralccs son todas distintas. Pcro si f(x) y /'(x)

n

J*I

ticnm un factor comun no trivial, tiencn una raiz comlin, a saber, cualquicr raiz dc cste factor comhn. El resultado ncto es que f(x) y /'(x) no ticncn ningun factor comun no trivial, con lo quc el lcrna ha sido probado en la otra dirccci6n. COROLARH) S i f ( x ) ~ F [ x ] irreducible, enronces : I. es 1 ) Si la caracferlsfiea de Fes 0, f(x) no tiene ralces rntikiple~. 2) Si la caracferlsrica de F es p # 0,f(x) Iiene una ralz mrilfiple sdlo si es & la f o r m f(x) = g(xp). Pruuba. Como f(x) cs irreducible, sus unicos factores en fix] son 1 y f(x). Si f(x) ticnc una ralz multiple, cntonccsf(x) y f'(x) ticnen un factor

228

CAMPOS

- Cap. 6

comun no trivial de acuerdo con el lema, de donde f ( x ) l f ' ( x ) . Pero c o r n el grado de f ' ( x ) es menor que el de f ( x ) , la unica forma posible de que eslo suceda es que f ' ( x ) sea 0. En caracterlstica 0 esto implica que f ( x ) es una constante, que no tiene ninguna ralz: cuando la caracteristica en p # 0, eslo obliga a que f ( x ) = g ( x p ) . Volveremos dentro de un momenlo a discutir las implicaciones del corolario I mas complftamente. Pero antes, para su posterior uso en el capitulo 7 en nuestro tratamiento de campos finitos, probaremos un caso mAs bien particular COROLAR~OSi F eS Un campo de caracfer~sricap # 0, enfonees el 2. polinomio xp" - X E ~ X ]riene, para n 3 1 , raices disfinfas. ,Prueba. La derivada de x P " - x es p"xp"- ' - l = - 1, ya que F es de caracteristica p. Por tanto. x p - x y su derivada son ciertamente primos relativos, lo que, segrin el lema, implica que xp"-x no tiene raices multiples.

El corolario 1 no descarta la posibilidad de que en caracterlstica p # 0 un polinomio irreducible pueda tener raices multiples. Para &jar ideas, exhibimos un ejemplo en donde lo dicho es lo que realmente sucede. Sea F, un campo de caracteristica 2 y sea F = F,(x) el campo de las funciones rationales en x sobre F,. Afirmamos que el polinomio 1 ' - x en F[t] es irreducible sobre F y que sus raices son iguales. Para probar la irreducibilidad debemos demostrar que no hay ninguna f u n c i ~ nracional en F o ( x ) cuyo cuadrado sea x ; este es el contenido del problema 4. Para ver que r l - x tiene una raiz mliltiple, notese que su derivada (la derivada es con respecto a 1, pues x estando en F,se considera como una constante) es 21 = 0. Desde luego. el ejemplo anilogo funciona para cualquier caracteristica prima. Ahora que hemos visto que la posibilidad es una realidad, se sefiala una aguda diferencia entre 10s casos de caracteristica 0 y 10s de caracteristica p. La presencia de polinomios irreducibles con raices multiples en el ultimo caso, nos lleva hasla muchas sutilezas tan interesantes como complicadas. Su estudio requiere un tratamiento m b elaborado y sofisticado que preferimos evitar en esre nivel. Por ranto, para el resfo de esre caplfulo conrenimos en que fodos 10s campos que aparecen en el fexro propimenre dicho. son wmpos de ea?acferisrica 0.

D E F I N I C I ~ Nextensidn Kde Fesunaexlensidn simple de F si K La . para al@n a en K.

=

F(%).

En caracteristica 0 (o en extensiones propiamenle condicionadas en caracterlstica p # 0; vkase problema 14) todas las extensiones finitas son realizables como extensiones simples. Este resultado es.eI

55,

MAS ACERCA D L RAICLS

227

TEOREMA Si F es de caracreristico 0 y si o y b son olgebroicor sobre F. S.P. enronces exisre un elemento csF(a, 6 ) rolque F(a, b) = F(c).Pruebo. Sean f ( x ) y g(x), de grados m y n, 10s polinomios irreducibles sobre F satisfechos por a y b respectivamente. Sea K una extension de F e n que lanto f ( x ) como g ( x ) se descomponen completamente. Como la caracteristica de F es 0 todas las raices de f ( x ) son distintas. y lo mismo ocurre con las de g(x). Sean las rakes de f ( x ) , a = a,. a,, ..., a. y las de g ( x ) . b = b , , b2. ..., 6,. Si j # I . entonces bj # b , = b. de donde la ecuacidn a,+&, = a , + i b , = o+i.b tiene solarnente una solucion 1en K , a saber,

. 0 /. =-. 1 - 0b-b,

Como F es de caracteristica 0 tiene un numero infinito de elementos, de donde resulta que podemos encontrar un elemento y s F tal que a(+ ybj # o+gh para todo i y para toda j # I . Sea c = o+yb; nuestra tesis es que F(c) = F(o. b ) . Como csF(o, b) no hay duda de que F(c) c F(o. 6). Demostraremos que tanro o como b estan en F(c) de lo que se sigue queF(a, b) c F(cJ. Como h satisface al polinomio g ( x ) sobre F, lo satisface tambien mando lo constderamos un polinomio sobre K = F(c). Ademas, si h ( r ) = f(c- yx). entonces h ( x ) s K [ x ] y h ( h ) = f(c-;'b) = f(a) = 0, ya que o = c-76. Luego en una extension de K. h(x), y g ( x ) tienen x-h como factor comun. Aseguramos que x - b es, en realidad, su miximo comljn divisor. Pues si b, # b es otra raiz de g(.O, entonces h(bj) = f(c-yb,) = 0, ya que, por nuestra election de ;,, c - yb, para j # I esquiva todas las raices a j de f(x). Ademas, como (x-b)'.+'g(x), (x-b)' no puede dividir al maximo comun divisor de h ( x ) y g(x). Asi pues, x - b es el maximo comun divisor de h ( x ) y g ( x ) sobre alguna extension de K. Pero entonces rienen un meximo comun divisor no trivial sobre K , que debe ser un divisor de x-b. Como el grado de I - b es I, vemos que el maxim0 comun divisor de g ( x ) y h(x) en K [ x ] es exactamente x-b. Luego x - b ~ K [ x ] . de donde b e K : recordando que K F(c), obtenemos que beF(c). Como a = c-yb, y como b. CEF(C), ~ E cFF(c), tenemos que a ~ F ( c ) , donde F(a, b) c F(c). Las dos relaciones de de contention opuestas nos dicen que F(a, b) = F(c).

Un s~mple argument0 de inducci6n extiende el resultado de dos elemenros a cualquier numero finito, es decir, si a , . .... a, son algebraicor sobre F, entonces hay un elemento c e F ( z , , ...,., tales que F(c) = F ( z , . .... z.). z) Luego el COROLARIO. Cualquier exrenridn .finira de un compo de caracrerisrica 0 er uno exrensidn simple.

1U1

UMPOS

- Cap. 6

I. Si F es de caracterlslica 0 y f ( x ) c F [ x ] es taI quef'lx) que f ( x ) a e F.

-

= 0, pmCbese

2. Si F es de caracterlstica p # 0 y si f ( x ) e F [ x ] es tal q u e f ' ( x ) = 0, prutbest quc A x ) = g(x7 para a l g h polinomio g ( x ) ~ F [ x ] .

3. PmCbese quc W x ) + g ( x ) ) ' p r a f ( x ) . g(x)eF[xI Y R E F .

-

f ' ( x ) + g ' ( x ) y quc (af(x))' = uf'(x)

4. Prutkse quc no hay ninguna funci6n racional en F(x) tal quc su cuadrado sea x.

5. ComplCtese h inducci6n nccesaria para establecer el corolario al tcorcma 5.p. Un elcmento a en una cxtensi6n K dc F se llama scparablc sobrc F si satisface un polinomio sobrc F quc no tienc ralccs multiples. Una cxtmsi6n K dc F se llama scparablc sobre F si todos SUP elementos son separables sobrc F. Un campo F st llama perfecto ai todas las cxtensiones finitas de F 'son separables.6. Pruttme que cualquicr campo dc caractcristica 0 es perfecto.

7. a ) Si F cs dc caracterlstica p # 0 mukatrcse que para a , bcF, + b'". ( a + b)" = b ) Si F es de caracterlstica p f 0 y si K es una extension dc F, sea T = { n e K #.SF para algun n ) . PruCbese que Tes un subcampo de K.

8. Si K . 7, F son como en el problema 7(b), p d h c quc cualquier automofimo de K que dcja Ejos todos 10s clementos de F deja tambitn a o s todos 10s elementos de T.*9. Dcmutstrcsc que un carnpo F de caracterlstica p # 0 es perfecto si y 5610 ai para cualquier a e F podernos cncontrar un b e F tal que bp = a.

10. Usando el resultado del problema 9, pruCbtse que cualquicr campo h i t o es perfecto.**11. Si K es unn extensihdc F pru~btde que el conjunto de elementos en K quc son separables sobrc Fforma un subcampo de K.

12. Si F es de caractcristica p 0 y si K es una extcnsih finita de F, pmCbese que dado a c K o d " c f p a r a algun n o podcrnos mcontrnr un entero m tal que a F + F y es separable sobre F.

+

13. Si K y F son como cn el problema 12, y si n i n d n clcmento que csth en K,per0 no en F, es separable sobre F,p d b e s t que dado ~ E podemos K encontrar un entero n. depcndimte de a, tal quetF.sF.-

10. ELEMENTOS DE U TEORIA DL OALDIS

119

14. Si K es una extensi6n h i t a y separable de F, pruCbese que K es una extensi6n simple de F.

IS. Si uno de lor elementos a o b es separable sobre F, pruCbesc que F(a, b) es una extmsi6n simple de F.

6 ELEMENTOS DE LA TEORh DE CALOlS .

Dado un polinomio p(x) en FIX], anillo de polinornios en x sobre F, el asociaremos con p ( x ) un grupo al que llamaremos el grupo de Galois de p(x). Hay una relaci6n muy estrecha entrc la$ raices de un polinornio y su grupo de Galois; en realidad, el grupo de Galois resultark ser uncierto grupo de permutaciones de Ins ralocs del polinornio. Haremos un estudio de estas ideas en esta y las pr6ximas miones. lntroduciremos este grupo por medio del c a m p de descomposici6n de p(x) sobre F, quedando definido d grupo de Galois de p(x) como un cierto grupo de automorfismos de cste c a m p de descomposici6n. Es esta la raz6n de que en tantos de 10s teoremas que vamos ahora a ver nos ocupernos de 10s automor6smos de un campo. Entre 10s rubgrupos del grupo de Galois y 10s subcampos del campo dc descomposici6n, existe una hcrmosa dualidad que expresa el teorema fundamental de la teorla de Galois (tcorema 5.v). De esto derivarcmoa una condicidn para la solubilidad por medio de radicales de las ralces de un polinornio en tkrminos de la estructura algebraica de su grupo de Galois. De esta condici6n derivaremos, a su vez, el cllsico resultado de Abel sobre la no solubilidad por radicales del polinomio general de grado 5. Durante el proceso derivaremos, tambitn, como resultados colaterales, teoremas que, de por sl, son de gran interhs. Uno de ellos sera el teorema fundamental sobre funciones simhtricas. Nuestro enfoque del tema st basa en el tratamiento dado por Artin. RecuCrdese que estamos suponiendo que todos nuestros campos son de caracterlstica 0, de donde resulta que podemos haccr Cy haremos) libre uso del toorema 5.p y su corolario. Por un automorjsmo del campo K entenderemos, como es comln, una aplicaci6n a de K sobre s mismo tal que a(a+b) ; a(a)+a(b) y a(&) = f . a(a)a(b) para (I,beKcualesquiera. Dos automorfismos o y r de Ksedia que son distintos si #(a) Z r(a) para a1 menos un elemento aK. Comenzamos con el aiguiente

TEOREMA ~ .Si K es un mmpo y si a , , ..., omson disrintos ouromorfis5. mos de K, enlonces es imposible enconrrar elemenros a , , ..., am, rectos 0. no en K, ralesquea,a,(u)+a,a,(u)+ ... +ama.(u) = Opararodo UEK.Prueba. Supongamos que pudikramos encontrar un conjunto de eiemen10s a , , .... a, en K, no todos ccro, tales que a,a,(u)+ ... +4o,(u) 0

-

I30

CAMPOS

- Cmp. 6

para todo UEK. Enlonces podriamos encontrar una relacion la1 que tuviera tan pocos terminos como fuera posible; renumerando, si fuera preciso. podemos suponer que esta relacibn minima es donde a,, . ..,a son todos diferentes de 0. , Si m fuera igual a I enlonces a, ol (u) = 0 para todo UEK, lo que nos llevaria a a, = 0, en coptra de lo supuesto. Podemos, pues, suponer que 1)r > I. Como 10s automorfismos son distintos hay un elemento C E K tal que o, (c) # o.(r). Como cue K para todo ueK, la relacion ( I ) debe tambikn verificarse para cu, es decir, a,o, (cu)+a,o,(cu)+ ... +a,o.(cu) =0 para todo UEK. Usando la hipdtesis de que las o son automorfismos de K. esta relacion toma l a forma

Multiplicando la relacion ( I ) por a,(c) y restando el resultado de (2) obtenemos Si hacemos b, = a,(o,(c)-o,(c)) para i = 2, ..., m. entonces 10s b, estanenK,bm=a.(o.(c)-o,(c))#O,yaqueam#O,yom(c)-al(c)#0, aunque b,02 (u)+ ... + bo( ) , ,c = 0 para todo ucK. Esto produce una relaci611mas corta, en contra de la elcccion quc hicimos: luego el teorema esta probado.DEFINICION. C es un grupo de automorfismos de K, entonces el Si campojjo de Ges e l conjunto de todos 10s elementos aeKtales que o(a) = a para lodo aeG.

N6tese que esta definicibn time sentido, incluso s i G no es un grupo, sino simplemente un conjunto de automorfismos de K. Pero el campo fijo de un conjunto de automorfismos y el del grupo de automorfismos generado por esle conjunto (en el grupo de todos 10s automorfismos de K ) son iguales (problema I), de donde nada perdemos por definir el concept0 solo para grupos de automorfismos. Ademas. unicamente estaremos interesados en 10s campos fijos de grupos de automorfismos. 1 Habiendo llamado en la anterior definicion eampo fijo de C a conjunto que alli s define, seria agradable comprobar que la terminologia empleada e en este caso es en verdad exacta. Es lo que nos dice el

Prueba. Sean a, b elementos del campo fijo de G. Para todo ofG, tenemos, pues. o(a) = a y a(b) = b. Pero entonccs- o(af b) = o(a)f

5 6.

ELEMEHTOS DE U TEORIA DE GALOIS

231

a(b) = a k b , y dc la misma forma, a(ab) = a(a)a(b) = ab; de donde a+b y ab estiin tambien en el campo fijo de G. Si b # 0,entonces a ( b - ' ) = a(b)- ' = b- ', de donde b- ' tambien se encuentra en el campo fijo de G. Luego hernos verificado que el campo fijo de G es, ciertamente, un subcampo de K.Nos ocuparemos de 10s automorhsmos de un campo que se comportan de una forma determinada sobre un subcampo dado.

DEFINICI~N.K un campo y sea F u n subcampo de K. Entoncn, el Sea grupo de aulomorfrsmos de K relalivos a F, que representaremos por G(K, F), es el conjunto de todos 10s automorfismos de K que dejan fijos todos 10s elementos de F; es decir, el automorfisrno a dc K cstii en G(K, F ) si y 8610 si a(a) = a para todo LIEF.Noes sorprendente, y es muy fhcil de probar, el siguicnte LEMA G(K, F ) es un svbgrupo del grupo de lodos 10s oulomorfismos 5.8 de K. Dejamos la pmeba de este lema a1 lector. Una observaci6n : K contiene el campo de 10s ninneros racionales F,, ya que K es de caracteristica 0 y es facil ver que el campo fijo de cualquier grupo dc automofismos de K , siendo un campo, debe contcncr a F,. De aqui quc todo numcro racional permanece fijo en todo automorhsmo de K. Hacemos una pausa para examinar unoscuantos ejemplos de 10s conceptos que acabamos de presentar.

EJEMPLO Sea K el campo de 10s n h e r o s complejos y sea F el campo I. de 10s numeros reales. Calculamos G(K, F). Si a es un automorfismo cualquiera de K, como i' = - 1 , a(i)' = a ( i 2 ) = a ( - 1) = - I , de dondc a(i)+ k i . Si, ademh, a deja fijos a todos 10s reales, entonces para cualquier a+bi donde a y b son reales. a(a+bi) = a(a)+a(b)j = a f bi. Cada una de estas posibilidades, es decir, la aplicaci6n a , (a+ bi) = a+ bi y a , (a+ bi) = a-bi define un automofimo de K ; a , es el automorfismo identidad y a , L a conjugation compleja. Asi pues, G(K, F)es un grupo de orden 2. LCuhl es el campo fijo de G(K, F)? Debe, ciertamente, contener a F, Lpero contiene algo miis? Si a + bi estii en el campo fijo de G ( K , F) entonces a+bi = a,(a+ bi) = a - bi de donde b = 0 y a = a+ b i ~ F . este caso En vemos que el campo fijo de G(K, F)es precisamente el mismo F.E J E M P ~ Sea F, el campo de 10s numeros racionales y sea K = F o ( g ) 2. donde $2 es la ralz cubica real de 2. Todo elemento en K es de la forma a,+a, $?+a,(p)' donde a,, a, y a, son n6meros racionales. Si.0 es un

232

CAMPOS

-

Cap. 6

automorfismo dc K, cntonces a( 5. 5.w.

-

Prueba. Si G = S n , segdn el lema 5.1 1, G'" contiene todos 10s ciclos de orden 3 de Sn para todo k . Por tanto, G") # ( e ) para toda k , de donde de acuerdo con el lema 5.10 G no puede ser soluble.lnterrelacionamos ahora la solubilidad por radicales de p ( x ) con la solubilidad como grupo del grupo de Galois de p(x). La misma terminologia es altamente sugestiva de que una tal relacion existe. Pero primero necesitamos un resultado acerca del grupo de Galois de un cierto tipo de polinomio.5.12. Supongamos que el campo F tenga todas las raices n-himas LEMA de la unidad (para un cierto determinado n ) y supongamos que a #O estci en F. Sea 2 - a F[x]y sea K su campo de descomposicidn sobre F. Entonces:

1) K = F(u), donde u es cualquier raiz de 2 -a. 2) El grupo de Galois de 2 - a sobre F es abeliano. Prueba. Como F contiene a todas las raices n-tsimas de la unidad, notese que tn= 1 pero tm I para 0 c m c n. # contiene t = eZni1"; Si u~ K es cualquier raiz de x"-a, entonces u, t u , t 2 ..., r"- u son u, todas las raices de 2 - a . Que son raices, es evidente; que son distintas se sigue de que si t i u = t i u con 0 < i cj< n, entonces como u # 0 y (ti-t j ) u = 0, debemos tener ti = ti,lo que es imposible ya que ti-' = 1 con 0 0 solamente si z = 0.

(A (A

;)

satisface

;)

satisface

302

TRANSFORMACIONES LINEALES

- Cap. 6

12. Encuentrense todas las formas de Jordan posibles para: a ) todas las matrices 8 x 8 que tienen x2(xcomo polinomio minimo: h ) todas las matrices IOx 10 sobre un campo de caracteristica diferente de 2, que tiene x 2 ( x - I)'(x+ I ) 3 como polinomio nlinimo.

13. Pruebese que la matriz n x n

es semejante a

si la caracteristica de F es 0 o si es p y p t n. ;CuBI es la multiplicidad de 0 como raiz caracteristica de A ? Una rnatriz A = (aij) se dice que es una matriz diagonal si a,, = 0 para i # j , es decir, si todas las entradas aparte de las de la diagonal principal son 0. Una matriz, o transformacidn lineal, se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal (tiene una base en la que su matriz es diagonal).

-

*14. Si T esta en A(V) entonces T es diagonalizable (si todas sus raices caracteristicas estan en F) si y solo si siempre que v(T-A)'" = 0, para L'E V y A E F, entonces u(T- A) = 0.

15. Usando el resultado del problema 14, prutbese que si E2 = E entonces E es diagonalizable.

16. Si E2 = E y F Z = F prutbese que son semejantes si y s61o si tienen el mismo rango.

17. Si la multiplicidad de cada una de las raices caracteristicas de T es 1, y si todas las raices caracteristicas de T esthn en F, prukbese que T es diagonalizable sobre F. *18. Si la caracteristica de F es 0 y si TEA ( V) satisface Tm = I , prukbese ; que si las raices caracteristicas de T estan en F entonces T es diagonalizable. (Sugerencia: usese la forma de Jordan de T.)

17.

FORMAS CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL

303

*19. Si A , B E F son diagonalizables y si conmutan, pruebese que hay un elemento C EF,, tal que tanto C A C - ' como C B C - ' son diagonales.

20. Pruebese que el resultado del problema 19 es falso si A y B no conmutan.

7. FORMAS CANONICAS:FORMA

CANONICARACIONAL

La forma de Jordan es la mas comunmente usada para probar teoremas acerca de las transformaciones lineales y las matrices. Desgraciadamente tiene un serio inconveniente en 10s requerimientos que impone sobre la localizacion de las raices caracteristicas. Es cierto que si T E A , ( V ) (o AE F,,) no tiene sus raices caracteristicas en F, no tenemos mas que ir a una extension finita K de F en que todas las raices caracteristicas de T se encuentran y luego llevan T a su forma de Jordan sobre K . En realidad, este es un procedimiento operativo estandar; pero prueba resultados en K,, no en F,,. Muy a menudo el resultado en F,, puede deducirse del resultado en K,,, pero hay muchas ocasiones en que despuks que un resultado se ha establecido para AEF,, considerado como un elemento en K,, , no podemos volver de K, para obtener la informaci6n deseada en F,, . Asi pues, necesitamos alguna forma canonica para elementos en A , ( V ) (o en F,,) que no presupongan nada sobre la locaiizacion de las raices caracteristicas de sus elementos, una forma canonica y un conjunto de invariantes creados en A , ( V ) mismo usando solamente sus elementos y operaciones. La forma candnica rational, que describimos a continuacion en el teorema 6.q y su corolario, es una forma canonica de tal tipo. Sea T EA F ( V ) ;por medio de,T nos proponemos hacer de V un modulo sobre F [ x ] ,el anillo de 10s polinomios en x sobre F. Hacemos esto definiendo para cualquier polinomio , f ( x ) en F [ x ] , y cualquier ~ E Vf ( x ) r = l : f ( T ) . , Dejamos la verification al lector de que, bajo esta definicion de multiplicacion de elementos de V por elementos de F [ x ] , V se hace un F[x]-modulo. Como V es de dimension finita sobre F, esta finitamente generado sobre F, luego tanto mas sobre F [ x ] que contiene a F. Ademas. F [ x ] es un anillo euclidiano; luego como un modulo finitamente generado sobre F [ x ] , por el teorema 4.j, V es la suma directa de un numero finito de submodulos ciclicos. Por la misma forma en que hemos introducido la estructura de modulo sobre V , cada uno de estos submodulos ciclicos es invariante bajo T ; ademas, hay un elemento m,, en un tal submodulo M, tal que todo elemento m en M es de la forma m = m, f ( T ) para algun f ( x ) ~ F [ x ] . Para determinar la naturaleza de T sobre V sera, por tanto, bastante para nosotros conocer como parece T sobre un subm6dulo ciclico. Es esto precisamente lo que intentamos determinar. Pero efectuemos primero una descomposicion preliminar de -Y, como

304

TRANSFORMACIONES LINEALES - C ~ D6 .

hicimos en el teorema 6.n, de acuerdo con la descomposicion del polinomio minimo de T como product0 de polinomios irreducibles. Sea el polinomio minimo p ( x ) de T sobre F , p ( x ) = q , ( x ) " ... q,(x)'* donde 10s q i ( x ) son polinomios irreducibles distintos en F [ x ] y donde cada ei > 0; entonces, como vimos en el teorema 6.n, V = V , @ V,@ ...@ V, donde cada Vi es invariante bajo T y donde el polinomio minimo de T sobre Vi es q,(x)". Para resolver la naturaleza de un subm6dulo ciclico para un Tarbitrario vemos, por esta discusion. que es suficiente establecerla para un Tcuyo polinomio minimo sea una potencia de uno irreducible. Probamos el

LEMA6.1 3. Supongamos que T , en A , V ) , tiene como polinomio minimo ( sobre F el polinomio p ( x ) = y o y x ... yr- x r - xr. Supongamos, ademas, que V como mddulo (de acuerdo con lo antes descrito). es un mddulo ciclico (es decir, es ciclico respecto a T ) . Entonces hay una base de V sobre F tat que, en esta base, la matriz de T es

+ , +

+ ,

'+

Prueba. Como V es ciclico respecto a T , existe un vector r en V tal que todo elemento w en Ves de la forma w = 13f(T) para alglin,f(x) en F [ x ] . Ahora bien, si para algun polinomio s ( x ) en F [ x ] , v s ( T ) = 0,entonces ) para cualquier w en V, w s ( T ) = ( ~ l f ' ( T ) ) s ( T= l l s ( T ) j ' ( T ) = 0;luego s ( T ) aniquila a todo V y, por tan@, s ( T ) = 0 Pero entonces p ( x ) l s ( x ) ya que . p ( x ) es el polinomio minimo de T . Esta observacion implica de inmediato que v, vT, c T * , ..., pTr- son linealmente independientes sobre F, pues si asi no fuera, entonces a, r + a , P T + . .. + a r - , v T ' - = 0 con a,, .. ., aren F. Pero entonces u(a, + a , T + . . . + a r - , T r - ') = 0,y de aqui, seglin la anterior discusion, p(x)l (*,+a, x + . .. + a r - , x r - I ) , lo que es imposible ya que p ( x ) es de grado r salvo si a, = a , = .. . = a,-, = 0. Como T' = - yo- y , T - ... I- y r - , T r - I , es inmediato que Tr+', para k >, 0,es una combinacion lineal de I, T , ..., T r - ' y, por tanto, que f ( T ) para cualquier f ( x ) F [ x ] , es una combinacion lineal de I, T , ..., T r ~ sobre F. Como cualquier w en V es de la forma w = vf(T) tenemos que w es una combinacion lineal de v, 17T, . .., v T r - I . Hemos probado, en 10s liltimos dos parrafos, que 10s elementos u, vT, ..., ' forman una base de V sobre F. En esta base, como puede verificarse de inmediato, la matriz de T es exactamente como afirmibamos.

'

,

'

z l r -

5 7.


306

D E F I N I C ISi Nf(x) = yo+ y1 X + ~ . entonces la matriz r x r

... +y,-,

xr-' +xr

esth en F[x]

se llama matriz compaiiera de f (x). La representamos por CCf(x)). N6tese que el lema 6.13 dice que si V es ciclico respecto a T y si el polinomio minimo de T en F[x] es p(x), entonces para alguna base de V la matriz de T es C(p(x)). Nbtese, ademis que la rnatriz C(f(x)), para cualquier polinomio mdnico f (x) en F[x], satisface f (x) y tiene a f (x) como su polinomio minimo. (Vbase el problema 4 a1 final de esta seccidn; vbase tarnbibn el problema 29 a1 final de la secci6n 1.) Probamos ahora un importantisimo teorema. TEOREMA Si T en A,(V) tiene un polinomio minimo p(x)= q(x)', 6.~. donde q(x) es un polinomio mdnico irreducible en F[x], entonces puede encontrarse una base de V sobre Fen que la matriz de T sea de la forma

dondee = el > e,

... > e,.

Prueba. Puesto que V como modulo sobre F[x] esta finitarnente generado, y como F[x] es euclidiano, podemos descomponer V como V = V, @ ... @ V, donde.10~Vi son m6dulos ciclicos. Los Vi son, entonces, invariantes bajo T; si Ti es la transformaci6n lineal inducida por T sobre V,, su polinomio minimo debe ser un divisor de p(x) = q(x)', luego de la forma q ( ~ ) Podemos reordenar 10s espacios de forma que el 2 e, 5 ... 2 e,. ~. Ahora bien, q(T)" aniquila a cada Vi, de donde suprime a V, de donde q(T)"= 0 Luego el > e; como el es claramente cuando mas igual a e, . tenemos que el = e. Se&n el lema 6.13, como cada Vi es ciclico respecto a T podemos encontrar una base tal que la matriz de la transformaci6n lineal de T, sobre V,

306

TRANSFORMACIONES LINEALES - Cap. 6

es C(q(x)".) Asi pues, segim el teorema 6.n, podemos encontrar una base d e V tal que la matriz de Ten esta base es

COROLARIO. en A F ( V )tiene el polinomio minimo p(x) = q , (x)" ... Si T qk(x)Iksobre F, donde q , ( x ) ,. .., q k ( x )son polinomios irreducibles distintos en F[x],entonces puede enconrrarse una base de V en la que la marriz de T sea de laforma

donde cada

Prueba. Por el teorema 6.1, V puede ser descompuesto en la suma directa V = V ,$ ... $ V,, donde cada Vi es invariante bajo T y donde el polinomio rninimo de T i , la transforrnacion lineal inducida por T sobre V i , es qi(x)". Usando el lema 6.7 y el teorema anterior, obtenemos el corolario. Si el grado de qi(x) es d,, notese que la suma de todos 10s dieij es n, la dimension de V sobre F. D E F I N I C ILaNmatriz de T en el enunciado del corolario anterior se ~ . llama forma candnica racional de T.

..., qk(x)"'"

D E F I N I C ILOS.polinomios q,(x)"', q , (e)'12,..., q, (x)'~",..,q,(x)'*', ~N . en F[x]se llaman divisores elementales de T. iUna definition mhs!

5 7.


307

DEFINICION. Si dimF(V ) = n, entonces el polinomio caracteristico de T, pT(x),es el producto de sus divisores elementales.Podremos identificar el polinomio caracteristico que acabamos de definir con otro polinomio que construiremosexplicitamente en la secci6n 9. El polinomio caracteristicode Tes un polinomio de grado n que se encuentra en F[x]. Tiene muchas propiedades importantes, una de las cuales es la contenida en la siguiente

OBSERVAC~ON. transformacidn lineal T e A F ( V ) satisface a su Toda polinomio caracteristico. Toda raiz caracteristica de T es una raiz de pT(x).Nota 1. La primera parte de la anterior observacion es el enunciado de un teorema muy famoso, el reorema de Cayley-Hamilton. Pero llamarlo asi en la forma en que lo hemos expuesto resultaria un poco abusivo. El meollo del teorema de Cayley-Hamilton es el hecho de que T satisface pT(x) cuando a pT(x) se le da una forma concreta muy particular, fhcilmente construible partiendo de T. Pero incluso en la forma en que aparece, la observacion tiene un contenido bastante interesante, pues como el polinomio caracteristico es un polinomio de grado n, hemos probado que todo elemento de A F ( V )satisface un polinomio de grado n que se encuentra en F[x].Hasta ahora, solo habiamos probado esto (en el teorema 6. k) para transformaciones lineales que tenian todas sus raices caracteristicas en F. Nota 2. Tal como esta formulada, la segunda parte no dice nada, pues siempre que T satisface un polinomio, entonces toda raiz caracteristica de T satisface ese mismo polinomio; asi pues, p T ( x ) no seria nada especial si lo que se enuncia en el teorema fuera todo lo que es valido en 61. Pero la historia real es la siguiente: Toda raiz caracteristica de T es una raiz & pT(x), y reciprocamente, toda raiz de pT(x) es una raiz caracteristica de T ; ademas, la multiplicidad de cualquier raiz de pT(x),como una raiz del polinomio, es igual a su multiplicidad como raiz caructeristica de T. Podriamos probar lo dicho ahora, pero diferimos la prueba hasta mhs tarde, cuando seamos capaces de hacerla de una forma mas natural. Prueba de la observacrdn. Solamente tenemos que demostrar que T satisface a pT(x), pero esto es casi trivial. Como pT(x) es el producto de ql(x)CI1, 1 ( ~ ) C ...,,qk(x)ckl, y como e l l = e , , e l l = e l , ...,ekl = e,, q 12 ..., pT(x) es divisible por p(x) = q , (e)"'. . . q,(x)'*, el polinomio minimo de T. Como p ( T ) = 0 se sigue que p T ( T ) = 0. Hemos llamado a1 conjunto de 10s polinomios que aparecen en la forma racional can6nica de T 10s divisores elementales de T. Seria muy conveniente que Cstos determinasen una semejanza en A F ( V ) , pues entonces las clases de semejanza en A F ( V ) estarian en una correspondencia biyejctiva con

308


- Cap. 6

conjuntos de polinomios en F[x].Nos proponemos hacer esto, per0 primer0 establecemos un resultado que implica que dos transformaciones lineales tienen 10s mismos divisores elementales.TEOREMA Sean V y W dos espacios vectoriales sobre F y supongamos 6.R. que $ es un isomorfismo de. espacios uectoriales de V sobre W . Supongamos que S E AF( V) y T E AF ( W )son tales que para cualquier U E V ( U S $ = , ) (r$) T.) Entonces S y T tienen 10s mismos divisores elementales.

$ Prueba. Comenzamos con un simple chlculo. Si U E V, entonces (vS2) = ((cS)S ) $ = ( ( r S ) $ )T = ((c$) T )T = (u$) T 2 . ES claro que continuando anilogo proceso tendremos que (vSm)$= (v$)Tm para cualquier entero m k 0, de donde para cualquier polinomio f ( x ) ~ F [ xy]para cualquier V E V , ( ~ : f ( S ) )= (v*lf( T). Si f ( S ) = 0, entonces ( v $ ) f ( T ) = 0 para cualquier U E V y coma $ transforma V sobre W tendriamos que W f ( T ) = (0). a consecuencia de lo cual f ( T ) = 0. Reciprocamente, si g ( x )F[x]es tal que g ( T ) = 0, entonces ~ , para cualquier r e V (l.g(S)$ = 0 y como JI es un isomorfismo, esto nos dice que [g(S) ='O. Esto desde luego implica que g ( S ) = 0. Asi pues, S y T satisfacen el mismo conjunto de polinomios en F[x], donde deben tener el de mismo polinomio minimo

*

donde q , (x), ...,q k ( x ) polinomios irreducibles distintos en F[x]. son Si U es un subespacio de V invariante bajo S, entonces U$ es un subespacio de W invariante bajo T , pues (U$)T = (US)$ c U$, Como U y U$ son isomorfos, el polinomio minimo de S , , la transformation lineal inducida por S sobre U es la misma, de acuerdo con las observaciones anteriores que el polinomio minimo de T I ,la transformacidn lineal inducida spbre U$ por T. Ahora bien, como el polinomio minimo para S sobre V es p(x) = q , (x)" ... q , ( ~ ) ' ~ , como hemos visto en el teorema 6.q y su corolario, podemos tomar como el primer divisor elemental de S a1 polinomio 9 , (x)C1 y podemos encontrar un subespacio de V, de V que es invariante bajo S tal que :I ) V = V, @ M donde M es invariante bajo S ; 2) 10s unicos divisores elementales de S , , la transformaci6n lineal inducida sobre V, por S, esq, (x)C1 ; 3) 10s otros divisores elementales de S son 10s de la transformaci6n lineal S2 inducida por S sobre M.

Combinamos ahora las afirmaciones hechas anteriormente y afirmamos:1 ) W = W ,8N donde W , = V, $ y N = M$ son invariantes bajo T.

5 7.


309

2) El unico divisor elemental de T,, la transformacion lineal inducida por T sobre W, es q, (x)" (que es un dirisor elemental de T ya que el polinomio minimo de T es p(x) = q, (x)" ... q,(x)'"). 3) Los otros divisores elementales de T son 10s de la transformaci6n lineal T, inducida por T sobre N.

-

Como N = M$, M y N son espacios vectoriales isomorfos sobre F bajo el isomorfismo $, inducido por $. Ademas, si U E M entonces (US,)$, = (US)$ = (u$) T = (u$,) T,, de donde S, y T, estan en la misma relacion con respecto a $ que S y T estaban respecto a $. Por induccion sobre la , dimension (o repitiendo el argumento) S, y T, tienen 10s mismos divisores elementales. Pero como 10s divisores elementales de S son simplemente q1(x)'' y 10s de S, mientras que 10s de T son simplemente q, (x)" y 10s de T,, S y T deben tener 10s mismos divisores elementales, probando con ello el teorema. El teorema 6.q y su corolario nos dieron la forma canonica racional y 10s divisores elementales. Nos gustaria apurar un poco mas la situacion y ser capaces de afirmar alguna propiedad de unicidad. Es lo que hacemos en el TEOREMA LOSelementos S y T en A,( Y) ion semejantes (en A , V)) 6.s. ( si y sblo si tienen 10s misnlos dirisores elementales. Prueba. Probar esto es sencillo en una direccibn, pues supongamos que S y T tienen 10s mismos divisores elementales. Entonces hay dos bases de Y sobre F tales que la matriz de Sen la primera base es igual a la matriz de T en la segunda (y cada una de ellas igual a la matriz de forma racional canonica). Pero como ya hemos visto varias veces antes, esto implica que S y T son semejantes. Vamos ahora a ir en la otra direccion. Tambien aqui el argumento se asemeja estrechamente al usado en la seccion 5 en la prueba del teorema 6.m. Como alli fuimos muy cuidadosos con todos 10s detalles, creemos que aqui podemos permitirnos ser un poco mas esquemkicos. Observemos primero que en vista del teorema 6.n, podemos limitarnos al caso de la transformacion lineal cuyo polinomio minimo es una potencia de un polinomio irreducible. Asi pues, sin perdida de generalidad podemos suponer que el polinomio minimo de T es q(x)' donde q(x) es irreducible en F [ x ]y de grado d La forma canonica racional nos dice que podemos descomponer Yen la forma V = V , @ ...@ Vr donde 10s subespacios V i son invariantes bajo T y donde la transformacion lineal inducida por 7 sobre V i tiene como matriz C(q(xYi),la matriz compafiera de q(.u)". Suponemos que lo que realmente estamos intentando probar es lo siguiente: si V = U, @U,@ @Us donde 10s Uj son invariantes bajo T y donde la transformacion lined inducida

...

310


- Cap. 6

por T sobre Uj tiene como matriz C(q(x)/j), f l 2 f22 .. . 2 1;. entonces r = s y e l = f,,el = ,/;, ..,,e, = f,. (Pruebese que la demostracion de esto es equivalente a la demostracion del teorema.) Supongamos entonces que tenemos las dos descomposiciones arriba descritas, V = V, $ . .. $ V, y V = U I Q . .. @U, y que algun ei ff J;. Entonces hay un primer entero m tal que em # ,fm mientras que e, = f,, .. ., em- = f m - , . Podemos suponer que em>.fm. Ahora bien, g(T)Im suprime Urn,Urn+, . .., U ,de donde , ,

,

Pero se puede demostrar que la dimensi6n de uiq(T)/" para i , < m es d(J.- fm) (iprudbese!), de donde

~ ~ , Por otra parte, V ~ ( T3) V, q(T)lm@ . . $ . . . @ V , ~ ( T ) ~ " 'y como Viq(T)fm tiene dimension d(ei- fm) para i < m, tenemos que

Como e, = f , , ..., ern-, = f m - , y em>fm esto contradice la igualdad antes probada. Hemos, pues, probado el teorema.

COROLARIO Supongarnos que las dos matrices A y Ben Fnson semejantes 1. en Kn donde K es una extensia'n de F. Entonces A y B son ya semejantes en Fn.Prueba. Supongamos que A, BEF, son tales que B = C - 'AC con CEK,. Consideramos a Kn como si actuara sobre K'"', el espacio vectorial de n-tuples sobre K. Asi pues, F'"' esth contenido en K'"' y aunque es un espacio vectorial sobre F no es un espacio vectorial sobre K. La imagen de F'"', en K'"', bajo C no necesariamente incidira de nueclo en F'"' per0 en cualquier caso F'"'C es un subconjunto de K'"' que es un espacio cectorial sobre F (pruebese). Sea V el espacio vectorial F'"' sobre F, W el espacio V (V) vectorial F'"'C sobre F y para ~ E sea r$ = LC.Ahora bien, A E A ~ y &A,( W ) y para cualquier V, (rA)G = rAC = rCB = ( r $ ) B, de donde las condiciones del teorema 6.r se satisfacen. Asi pues, A y B tienen 10s mismos divisores elementales; de acuerdo con el teorema 6.s, A y B deben ser semejantes en F,. Una palabra de advertencia: el corolario no afirma que si A, BEF, son tales que B = C - ' AC son CEKn entonces C debe necesariamente estar en Fn;esto es falso. Lo que afirma simplemente es que si A, BEF, son tales que B = C - 'AC con CEK,, entonces existe un DEFn(posiblemente diferente a C) tal que B = D- 'AD.

5 7.

FORMAS

CANONICAS: FORMA CANONICA RACIONAL

'

311

Problemas1. Verifiquese que V se hace un F[x] modulo bajo la definition dada.

-

2. En la prueba del teorema 6.s proporcionense demostraciones completas de todos 10s puntos en que se sefiala (prukbese).

*3. a) PruCbese que toda raiz del polinomio caracteristico de T es una raiz caracteristica de T. b) PruCbese que la multiplicidad de cualquier raiz de p,(x) es igual a su multiplicidad como una raiz caracteristica de T.4. Pruebese que para f(x)F[x], C(f(x)) satisface f(x) y tiene a f(x) como su polinomio minimo. iCual es su polinomio caracteristico?

5. Si F es el campo de 10s numeros racionales, encukntrense todas las formas canonicas racionales posiblzs y todos 10s divisores elementales para: a) Las matrices 6 x 6 en F que tienen (x- 1) (x2+ 1)' como poli, nomio minimo. b) Las matrices 15 x 15 en F,, que tienen (x2+ X + 1)' (x3+ 2)' como polinomio minimo. c) Las matrices 10 x 10 en F,, 'que tienen (x2+ 1)' (x3+ 1) como polinomio minimo.6. a) Si K es una extension de F y si A esta en K,, pruCbese que A puede escribirse como A = 1 , A , + ... + I , A , , donde A , , .., A, estiin en F, y donde A,, ..., 1 , estan en K y son linealmente independientes sobre F. b) Con igual notacion que en la parte (a), pruCbese que si BEF, es tal que AB = 0 entonces A , B = A , B = ... = A,B = 0. c) Si C en F, conmuta con A pruCbese que C conmuta con cada uno de 10s A , , A , , ..., A,.

.

*7,. Si A , , ..., A, esthn en F, y son tales que para ciertos I , , ..., I , en K , una extension de F, 1 , A , + ... + I k A k es invertible en K,, prutbese que si F tiene un nzimero injinito de elemenros podemos encontrar a , , ..., a, en F tales que a , A , + ... + a , A, es invertible en F,,.

*8. Si F es un campojinito, pruCbese que el resultado del problema 7 es falso.

*9: Usando 10s resultados de 10s problemas 6 (a) y 7, pruCbese que si F tiene un numero infinito de elementos entonces siempre que A, BEF, son semejantes en K,,, donde K es una extension de F, entonces son semejantes en F,,. (Esto nos da una prueba, independiente de las formas canonicas del corolario 1 a1 teorema 6.s en el caso particular en que F es un campo infinito.)

31 2


- Cap. 6

10. Usando chlculos con matrices (pero siguiendo 10s lineamientos marcados en el problema 9), pruebese que si F es el campo de 10s numeros reales y K el de 10s nGmeros complejos, entonces dos elementos en F, que son semejantes en K, son ya semejantes en F,.

8. TRAZA Y TRANSPUESTADesputs de la dificultosa marcha en las liltimas secciones, la falta de complicaciones del material sobre el que ahora vamos a tratar va a llegarnos como un agiadable respiro. Sea F un 'camp0 y A una matriz en Fn. D E F I N I C I ~ Nfraza de A es la suma de 10s elementos de la diagonal La . principal de A. Representaremos a la traza de A por tr A; si An

=

(zij), entonces

Las propiedades fundamentales de la funcion traza estan contenidas en el. LEMA 6.14. Para A, BEFnJ. ;E F.

I ) tr (;.A) = i. tr A; 2) tr (A+B) = tr A+tr B; 3) tr (AB) = tr (BA).Prrreba. Establecer ( I ) y (2) (que aseguran que la traza es una funcional lineal en Fn)es sencillo y se deja como' ejercicio para el lector. Solamente presentamos la prueba de la parte (3) del lema. Si A =(2,)

y B=

(fiij). entonces ne = (yij) dondek= 1

'iij =

k= 1

aspkj Y

B = (lrij) donde pi, = A Asi pues. (AB) = X y i i =i

xn

Bikzkj.

xi

; si intercambiamos el orden de

sumaci6n en la ultima suma, tenemos

5 8.

TRAZA Y TRANSPUESTA

313

Prueba. Sea B = CA-I; entonces tr (ACA-I) tr (CA-'A) = tr C.

=

tr (AB) = tr (BA)

=

Este corolario es importante por dos razones; primere, nos permitira definir la traza de una transformacidn lineal arbitraria; segundo, nos permitiri encontrar una expresi6n alternativa para la traza de A.

DEFINICI~N. Si TEA(V) entonces tr T, la tram de T, es la traza de m , (T) donde m, (T) es la matriz de Ten una base cualquiera de V.Afirmamos que la definici6n tiene sentido y depende solamente de T y no de cual sea la base de V que se emplee. En efecto, si m , ( T ) y m,(T) son matrices semejantes, entonces, segun el corolario al lema 6.14, ambas tienen la misma traza.

LEMA6.1 5. Si TEA ( V), er1tonce.v tr T es la slrrna de las raices caracteri ticas de T (usando-cada raiz caracteristica tantas 1-eces como su niultiplicid d ) .

d

Prueha.' Podemos suponer que T es una matriz en F, ; si K es el campo de descomposici6n para el polinomio mininio de Tsobre F. entonces en K,, por el teorema 6.p, T puede llevarse a su forma de Jordan, J. J es una matriz sobre cuya diagonal aparecen las raices caracteristicas de T, cada raiz que aparece tantas veces como unidades tiene su multiplicidad. Asi pues, tr J = suma de las raices caracteristicas de T; per0 como J es de la forma ATA-I, tr J = tr T, y esto prueba el lema.

Si T es nilpotente, entonces todas sus raices caracteristicas son 0, de donde, de acuerdo con el lema 6.15, tr T = 0 Pero si T es nilpotente, . entonces tambiCn lo son T2, T3, .. luego tr Ti = 0 para todo i 2 1. jY quC podemos decir en la otra direction, es decir, si tr Ti = 0, para i = 1, 2, ...?, jse sigue de ello que T es nilpotente? Con esta generalidad la contestaci6n es no, pues si F es un campo de caracteristica 2, entonces la matriz unidad

..

en F2tiene traza 0 (pues I I = 0)al igual que todas sus potencias. per0 es claro que la matriz unidad no es nilpotente. Pero si restringimos la caracteristica de F a 0,el resultado es verdaderamente cierto.

+

LEMA6.16. Si F es un campo de caracteristica 0 y si TcAF(V ) es fa1 que tr T'= 0 para totlo i 2 I . entonces T es nilpotente.

314


Prueba. Como TEA,(V), T satisface alglin polinomio minimo p(x) = x"'+a,xm-I+ ... + a r n ;comoTm+z,Tm-I+... +a,-, T+z, = 0, tomando trazas de ambos lados, tenemostr T m + a , tr T m - ' + ... +a,-, tr T+trz, = 0. Pero por hipotesis, tr Ti = 0 para i 2 I, luego tenemos tr a, = 0; si dim V = n, tr a, = na,, de donde na, = 0. Pero la caracteristica de F es 0; luego n # 0, de donde se sigue que a, = 0. Como el termino constante del polinomio minimo de Tes 0, por el teorema 6.b Tes singular y por tanto 0 es una raiz caracteristica de T. Podemos considerar a T como una matriz en F, y, por tanto, tambikn como una matriz en K,, donde Kes una extension de Fque, a su vez, contiene todas las raices caracceristicas de T. En K,, seglin el teorema 6.j, podemos poner T en forma triangular, y como 0 es una raiz caracteristica de T, podemos realmente llevarla a la forma

donde

es una matriz (n- I) x (n- I) (10s * indican partes en cuyas entradas no estamos interesados). Ahora

de donde 0 = tr Tk = tr TZk.Luego T , es una matriz (n - I ) x (n- I ) con la propiedad de que tr TZk= 0 para todo k 2 1. 0 bien usando induccion sobre n, o repitiendo el argument0 sobre T, que usamos para T, tenemos, como a,, . . ., a, son las raices caracteristicas de T,, que a, = .,. = an = 0. Luego cuando T se pone en forma triangular todas sus entradas en la diagonal principal son 0, lo que implica que T sea nilpotente (prukbese). Este lema, aunque pueda parecer particular, nos servirh en una gran cantidad de casos. Hacemos uso inmediato de CI para probar un resultado usualmente conocido como el lema de Jacobson.

5 8. TRAZA Y TRANSPUESTA

315

LEMA 6.17. Si F es de caracteristica 0 y si S y T, de A,(V), son tales que ST- T S conmuta con S, entonces ST- TS es nilpotente.Prueba. Para cualquier k >, I, calculamos (ST-TS)'. Ahora bien, (ST- TS)' = (ST- TS)'- (ST- T S ) = (ST- TS)k- ST-(ST- TS)'- TS. Como ST- TS conmuta con S, el termino (ST- TS)k- ST puede escribirse en la forma S((ST- TSlk- I ) T. Si hacemos B = (ST- TS)k- T vemos que (ST- TS)k = SB- BS; de donde tr ((ST- T S ) k )= tr (SB- BS) = tr (SB)tr (BS) = 0 seglin el lema 6.14. El lema anterior nos dice ahora que ST- T S

.

'

'

'

'

debe ser nilpotente. La traza nos provee de una funcional lineal sobre Fn (y, por tanto, sobre A,( V)) en F, extremadamente litil. lntroducimos ahora una importante transformaci6n de Fnen si mismo. DEFINICION.A = ( a i j ) Fn,entonces la transpuesta de A, escrita como Si A', es la matriz A' = ( y i j ) donde y i j = a j i para todas las i y j . La transpuesta de A es la matriz que se obtiene intercambiahdo 10s renglones de A con las columnas de A. Las propiedades formales basicas de la transpuesta, estan contenidas en LEMA 6.18. Para cualesquiera A, BEF, , 1 ) (A')' = A ; 2) ( A + B)' = A'+ B ' ; 3 ) (AB)' = B'A'.Prueba. Laspruebas de las partes (I) y (2) son muy sencillas y se dejan como ejercicio para el lector; nos contentamos nosotros con la prueba de la parte (3). Supongamos que A = ( a i j ) y B = ( B i j ) ; entonces AB = (Aij) donde

Por tanto, por definition, (AB)' = ( p i j ) , donde p i j = ,Iji = Por otra parte, A' = ( y i j ) donde y i j = a j i y B' = ( t i j ) donde de donde el elemento (i, j ) de B'A' es

1 ajkPki.k=l

n

t i j =p j i ,

1 t i k y k j = 1 Pkiak= 1 k= l

n

n

jk

=

1 a,ikPki=k= I

n

p i j . Es decir, (AB)' = B'A', con lo que hemos verificado la parte (3)del lema.

En la parte (3), si nos fijamos en el caso particular en que A; = B, obtenemos ( A 2 ) ' = (A')'. Continuando obtenemos (Ak)' = (A')k para todo entero positivo k. Cuando A es invertible, entonces ( A - I ) ' = (A_')- l .

316


- Cap. 6

Existe otra propiedad de la transpuesta, a sab_er, si ;.EF entonces (;.A)' = AA' para toda AEF,,. Ahora bien, si AEF, satisface un polinomio r O A m + a, A m - ' ... +rm 0, obtenemos ( r o A m +... +rm)' = 0' = 0. Calculando = explicitamente ( r oAm ... r,)' usando las propiedades de la transpuesta, obtenemos ao(A ')"+a, (A1)"-' ... +rm 0, es decir, A' satisface = cualquier polinomio sobre F al que satisfaga A. Como A = (A')', por el mismo razonamiento, A satisface cualquier polinomio sobre F a que 1 satisfaga A'. En particular, A y A' tiene el mismo polinomio minimo sobre F y, por tanto, tienen las misr?ias raices caracteristicas. Puede demostrarse que todas las raices tienen la misma multiplicidad en A que en A'. Esto es evidente una vez que se establece que A y A' son realmente semejantes (vCase el problema 14).

+

+

+

+

D E F I N I C ILaN . ~ matriz A se dice que es una matriz sir~iPtricasi A'

= A.

DEFINIC~~N. La matriz A se dice que es una matriz antisir?i&trica siA' = -A.0

Cuando la caracteristica de F es 2, como I = - I. no podemos distinguir entre matrices simetricas y antisimetricas. Para lo q~re resta de esta seccidn, conrenkios de uria rez por todas que la caracteristica de F es dijkrente de 2. Tenemos procedimientos muy sencillos para producir matrices simetricas y matrices antisimetricas. Por ejemplo, si A es una matriz arbitraria, entonces A + A' es simttrica y A - A ' es antisimetrica. Si pensamos que vemos que toda matriz resulta ser la suma de A = f(A+A')+f(A-A'), una matriz simdtrica y otra antisimetrica. Esta descomposici6n es ~inica (vtase el problema 19). Otro metodo de producir matrices simttricas es el que sigue: s i A es una matriz arbitraria, entonces tanto AA' como A'A son simttricas. (N6tese que no tienen porqut ser iguales.) Esth en la naturaleza de todo matemhtico que, una vez que s ha dado e un concepto interesante surgido de una situaci6n particular, ha de intentar despojarlo de las particularidades de su origen y emplear las propiedades claves del concepto como medio de hacerlo mhs abstracto. Procedemos a seguir tal camino con la transpuesta. Tomamos, como propiedades formales de mayor interes, aquellas que aparecen en el enunciado del lema 6.18 que afirma que sobre F, la transpuesta define un antiautomorfismo de period0 2. , Nos lleva esto a la siguiente

D E F I N ~ CUna N . ~ ~ aplicacion de F, en F se llama adjunta sobre F, si , , ,I ) (A*)* = A; 3) (A+B)* = A*+B*; 3) (AB)* = B*A*; para cualesquiera A, BEF . n

18.

TRAZA Y TRANSPUESTA

317

Notese en que no insistimos en que ().A)* = ;.A* para I E En realidad, F. en algunas de las adjuntas mas interesantes este no es el caso. Pasamos a discutir una tal. Sea F el campo de 10s numeros complejos; para A = ( r i j ) sea A* = y i j ) donde y i j = ? i j i , el conjugado complejo de scij. En F,,, este caso * suele llanlarse adjunta liermitiana sobre F,,. Dentro de unas pocas secciones haremos u n estudio bastante extensivo de las matrices bajo la adjunta hermitiana. Todo lo que hemos dicho acerca de la transpuesta como, por ejemplo, 10s conceptos de simetria y antisimetria, puede ser aplicado a las adjuntas generales, y hablamos de elementos simetricos bajo * (es decir. de aquellos A tales que A* = A), de elementos antisimetricos bajo *, etc. En 10s ejercicios del final de esta seccion, hay muchos ejemplos y problemas que se refieren a adjuntas en general. Pero ahora, como diversion, juguemos un poco con la adjunta hermitiana. No llamamos a nada de lo que obtenemos un teorema, no porque no se. merezcan tal titulo, sino mas bien porque 10s volveremos a hacer mas tarde (y 10s designaremos entonces propiamente) partiendo de un punto de vista central. Asi pues, supongamos que F es el campo de 10s numeros complejos y que la adjunta * sobre F,, es la adjunta hermitiana. La matriz A se llama hermitiana si A" = A. Primera observacihn: si A # OEF,, entonces tr(AA*)>O. Segunda observacion : Como una consecuencia de la primera observacion, si A, , ..., A,EF,, y si A l A l * + A 2 A 2 * + ... +A,A,* = 0, entonces A, = A, = ... A, = 0. Tercera observacion: Si 1. es una matriz escalar, entonces I* = A. el conjugado complejo de 1.. Supongamos que AE F,, es hermitiana y que el numero complejo %+Pi. donde sc y p son reales e i 2 = - I , es una raiz caracteristica de A. Tenemos, pues, que A - (sc + Pi) no es invertible; pero entonces (A -(sc +Pi)) (A (%-Pi)) = (A -2)' + P 2 no es invertible. Pero si una matriz es singular debe eliminar una matriz distinta de cero (teorema 6.b, corolario 2). Debe P 0. haber, por tanto, una matriz C # 0 tal que C ( ( A - C X ) ~ + = ~ ) Multiplicamos esto a la derecha por C* y obtenemos:C(A - r)' C*

+ P2 CC* = 0.

Sea D = C(A - 9 ) y E = PC. Como A* = Ayr es real, C(A - r ) ' C * = D D * ; como es real, P2CC* = EE*. Luego la ecuacion ( I ) toma la forma D D * + EE* = 0 ; por las observaciones antes hechas esto implica D = 0 y E = 0. Solamente vamos a usar la relacion E = 0. Como 0 = E = PC y como C # 0, debemos tener P = 0. ;Qut es exactamente lo que hemos probado? En realidad, hemos probado el bello e importanre resultado de que si Lrn nlitnero cotnplqjo . es una raiz caracteristica de una matriz liermitiana. ; entonces . debe ser real. Aprovechando las propiedades del campo de 10s ;

318


- Cap. 6

n~imeros complejos se puede, realmente, reformular esto como sigue:Las raices caracteristicas de una matriz hermitiana son, todas, reales. Continuamos con esta vena un poco mAs adelante. Para A E F , , sea B = A A * ; B es una matriz hermitiana. Si el nlimero real a es una raiz caracteristica de B, ipuede a ser un numero real arbitrario o debe estar

restringido de algun modo? Afirmamos que a debe ser no negativo. Pues si a fuera negativo entonces a = - P 2 , donde P es un numero real. Pero entonces B-a = B+P' = AA*+P' no es invertible, de donde hay un C # 0 tat que C ( A A * + P 2 ) = 0. Multiplicando por C * a la derecha y razonando como anteriormente, tenemos p = 0, una contradiccion. Hemos demostrado que cualquier raiz caracteristica real de AA* debe ser no negativa. En realidad, lo de "real" en la anterior afirmacion es supeduo y podriamos decir: para cualquier A E F , todas las raices caracteristicas de AA* son no negativas.Problemas

1. PruCbese que tr ( A + B ) = tr A +tr B y que para AEF, tr (AA) = A tr A. 2. a ) Usando un argument0 basado en la traza pruebese que si la caracteristica de F es 0 entonces es imposible encontrar A, BEF, tales que AB- BA = 1. 6 ) En la parte (a), pruebese que en realidad 1 - ( A B - BA) no puede ser nilpotente.3. a ) Sea f una funcion definida sobre F,, con valores en F tales que:

1) f ( A + B ) = f ( A ) + f ( B ) , 2 ) f ( W = Af(A), 3 ) f ( A B ) = f(BA), para todo A, BEF,, y para todo AEF. Prutbese que hay un elemento a , ~ F t a lque f ( A ) = a, tr A para todo A en F,. 6 ) Si la caracteristica de F es 0 y si la f de la parte ( a ) satisface la propiedad adicional de que f ( l ) = n, pruibese que f ( A ) = tr A para todo A E F,,. Notese que el problema 3 caracteriza la funci6n "traza".*4. a ) Si el campo F tiene un numero infinito de elementos, pruebese que todo elemento en F, puede escribirse como la suma de

matrices regulares. 6 ) Si F tiene un numero infinito de elementos y sif, definido sobre F, y con sus valores en F, satisface1) f ( A + B ) = f ( A ) + f ( B ) , 2 ) f ( W = Af(A), 3) f ( B A B - = f(All

18. TRAZA Y TRANSPUESTA

31 9

para toda AEF,, I,E y todo elemento invertible Ben F,, pruebese F que f ( A ) = a, tr A para un ~ , E F determinado y toda AEF,.5. Pruebese que el lema de Jacobson para elementos A, B en F, si n es menor que la caracteristica de F. 6. a) Si CEF,, definamos la aplicacion dc sobre F, por d,(X) = XC- CX para coda XEF,. Pruebese que dc(XY) = (dc(X))Y+ X(dc(Y)). (;No le recuerda esto al lector la derivada?) 6) Usando la parte (a), pruebese que si AB- BA conmuta con A, entonces para cualquier polinomio q ( x ) ~ F [ x q(A)B- Bq(A) = ], q'(A) (AB- BA), donde q l ( x )es la derivada de q(x). *7. osese la parte (6) del problema 6 para dar una prueba del lema de Jacobson. (Sugerencia: Sea p(x) el polinomio minimo para A y co~~siderese 0 = p(A)B - Bp(A).) 8. a) Si A es una matriz triangular, pruibese que las entradas sobre la diagonal de A son exactamente todas las raices caracteristicas de A. 6) Si A es triangular y 10s elementos en su diagonal principal son 0, pruibese que A es nilpotente.

-

9. Para cualquier A, BEF, y LEF prudbese que (A')' = A, (A + B)' =A'+ B' y (IA)' = I A ' .

10. Si A es invertible, prutbese que ( A -

I)'

= (A')-

'.

11. Si A es antisimttrica, prukbese que 10s elementos en su diagonal principal son, todos, cero.

12. Si A y B son matrices simdtricas, prukbese que AB es simdtrica si y solo si AB = BA.13. Proporci6nese un ejemplo de una A tal que AA' # A'A. *14. DemuCstrese que A y A' son semejantes. 15. Los elementos simktricos en F, forman un espacio vectorial; encuentrese su dimensi6n y exhibase una de sus bases. *16. Denotemos por S el conjunto de 10s elementos simitricos de F,; pruebese que el subanillo de F, generado por S es, todo, F,. *17. Si la caracteristica de F e s 0 y AEF, tiene traza 0 (tr A = 0) pruCbese que hay una CEF, tal que CAC- tiene solamente 0 en su diagonal principal.

'

*18. Si F es de caracteristica 0 y AEF, tiene traza 0, pruCbese que existen B, CEF, tales que A = BC-CB. (Sugerencia: Primer paso, sup6ngase, por el resultado del problema 17, que todos 10s elementos diagonales de A son 0.)

320


19. a) Si * es cualquier adjunto sobre F,, sea S = {A ~ g , A* = A) y : sea K = {AEF,(A* = -A). Prutbese que S + K = F,. b) Si AEF, y A = B + C donde BES y CEK, prutbese que B y C son dnicos y determlnense. 20. a) Si A, BES prutbese que A.B+ BAES. b) Si A, BEK prutbese que AB- BAEK. ~ c) Si A E S BEK pruCbese que A B - B A E S ~que AB+BAEK. 21. Si 4 es un automorfismo del campo F definimos la aplicacion @ sobre F por: si A = (alj) entonces @(A) = (4(aij)). Prutbese que , @(A+B) = @(A)+@(B) que @(AB) = @(A)@(B)para toda A, BEF,. y 22. Si * y @ definen dos adjuntos sobre F,, prutbese que la aplicacion $ : ~ - , ( ~ * ) @ ~ a r a t o d~ ~ ~ , , s a t i s f a c e $ ( ~ +$(A)+$(B)y$(AB) = o = B) $(A) $ (B) para cualesquiera A, BEF . , 23. Si * es un adjunto cualquiera sobre F y I es una matriz escalar en , F,, prutbese que I * debe tambitn ser una matriz escalar.*24. Supongamos que conocemos el siguiente teorema: si $ es un auto, , morfismo de F (es decir, $ transforma F sobre tl mismo, de tal mod0 que $(A B) = $(A)+ $(B) y $(AB) = $(A)+ $(B)) tal que $(I) = I para toda matriz escalar I , entonces hay un elemento PEF, tal que $(A) = PA P- para todo A E F . Basindose en este teorema, prutbese que : si * es , un adjunto de F, tal que I* = I para toda matriz escalar I , entonces existe una matriz PEF, tal que A* = PA'P- para to& AEF,. Ademis, P- 'P' debe ser un escalar.

+

'

'

25. Si PEF es tal que P - P' # 0 es un escalar, prutbese que la aplicacion , definida por A* = PA'P-' es un adjunto sobre F,. *26. Basindose en el teorema acerca de automorfismo enunciado en el problema 24, prutbese lo siguiente: Si * es un adjunto sobre F hay un , automorfismo 4 de F de period0 2 y un elemento PEF, tales que A* = P(@(A))'P- para todo A EF, (para notacion, vtase el problema 21). Ademas, P, debe satisfacer P - @(P)' es un escalar.

'

'

'

, Los problemas 24 y 26 indican que una adjunta general sobre F no esti tan alejada de la transpuesta como se habria creldo a primera' vista.**27. Si $ es un automorfismo de F, tal que $(I) = I para todos 10s escalares, prutbese que hay un PEF, tal que $(A) = PAP-' para todo AEF,.

* la adjunta hermitianu sobre F, .

En el resto de 10s problemas, F serd el campo de 10s nzimeros complejos y

5 9.

DETERMINANTES

321

28. Si AEF,, pruebese que hay matrices hermitianas 6nicas B y C tales queA = B + ~ c( i 2 = -1). 29. PruCbese que tr A A* > 0 si A # 0. 30. Por calculo direct0 de las entradas de las matrices, pruCbese que si A , A , * + ... + A , A,* = 0, entonces A , = A , = = A, = 0.

...

31. Si A estl en F, y s BAA* = 0, pruebese que BA = 0. i 32. Si AEF, es hermitiana y BA' = 0, pruCbese que BA = 0. *33. Si A E F , es hermitiana y si 1, p son dos raices caracteristicas reales distintas de A y si C ( A - 1 ) = 0 y D ( A -p) = 0, pruebese que C D = D C = 0. (Sugerencia: Considtrese primer0 el caso en que C y D son hermitianos y luego apliquese el resultado del problema 31).*34. a ) Suponiendo que todas las raices caracteristicas de la matriz hermitiana A estan en el campo de 10s nirmeros complejos, combinando 10s resultados de 10s problemas 32 y 33, y el hecho

de que las raices deben, por tanto, ser todas reales, y el resultado del corolario del teorema 6.n, pruebese que A puede ser puesta en forma diagonal; es decir, que hay una matriz P tal que PAP-' es diagonal. b) En la parte ( a ) prutbese que P puede escogerse de forma que PP* = 1.35. Sea V, = { A E F , AA* = 1). Prutbese que V, es un grupo bajo la multiplicaci6n de matrices. 36. Si A conmuta con AA* - A*A, pruCbese que AA* = A*A. 9 . DETERMINANTES

I

La traza define una funci6n importante y irtil del anillo de las matrices F, (y de A , ( V ) ) en F; sus propiedades se relacionan en su mayor parte con las propiedades aditivas de las matrices. lntroduciremos ahora la funcibn, airn mas importante, conocida como el determinante, que transforma F, en F. Sus propiedades eSan estrechamente ligadas con las propiedades multiplicativas de las matrices. Aparte de su efectividad como argument0 para probar teoremas, el determinante es valioso para usos "practicos". Dada una matriz T, podemos construir en ttrminos de determinantes explicitos un polinomio concreto cuyas raices son las raices caracteristicas de T; a~in mas, la multiplicidad de una raiz de este polinomio es igual a su multiplicidad com'o raiz caracteristica de T. En realidad, el polinomio caracteristico de T, definido anteriormente, puede exhibirse como este polinomio determinante explicitamentel

322


- Cap. 6

Los determinantes juegan tambitn un papel fundamental en la solucion de sistemas de ecuaciones lineales. Por esta direction es por la que motivaremos su &finici6n. Hay muchas formas de desarrollar la teoria de determinantes, algunas muy elegantes y otras muy aburridas. Nosotros hemos escogido un camino distinto del de cualquiera de estos extremos, pero que para nosotros tiene la ventaja de que podemos alcanzar 10s resultados necesarios para nuestra discusi6n & las transformaciones lineales con la mayor rapidez posible. En lo que sigue, F sera un campo arbitrario, F, el anillo de las matrices n x n sobre F, y F'")el espacio vectorial & n-adas sobre F Por una matriz . entenderemos dcitamente un elemento en F,,.Como es usual, las letras griegas indicarhn elementos de F (salvo advertencia en contra). Consideremos el sistema de ecuaciones

Nos preguntamos: ibajo quC condiciones sobre las a i j podemos resolver para x , y x2 con 8, y 8, dadas cualesquiera? 0, lo que es equivalente, dada la matriz

jcuindo esta matriz transforma F") sobre si mismo? Procediendo como en secundaria, eliminamos x , entre las dos ecuaciones; el criterio de solubilidad resulta, entonces, ser que a , a,, - a 1 2 a 2 , # 0. Pasamos ahora a1 sistema de tres ecuaciones lineales

,

y de nuevo nos preguntamos sobre las condiciones de solubilidad para @, ,P2 y P3 arbitrarias. Eliminando x , entre estas dos a la vez, y luego x2 de las restantes dos ecuaciones, obtenemos como criterio de solubilidad

Usando estos dos como modelo (y con el presentimiento de que psto va a funcionar) daremos el gran salto hasta el caso general y definiremos el determinante de una matriz arbitraria n x n sobre F. Pero fijCmonos antes un poco en la notacion.

19.

DETERMINANTES

323

Sea Snel grupo simktrico de grado n ; considerarnos que 10s elernentos de Sn estan actuando sobre el conjunto {I, 2, ..., n ) . Para aeS,,, a(i) denotara la imagen de i bajo a. (Carnbiarnos la notacion escribiendo la perrnutacion corno si actuara a la izquierda en lugar de. corno previarnente, a la derecha. Lo hacernos para facilitar la escritura de 10s subindices.) El sirnbolo ( - I)" para oeSn indica + I si o es una perrnutacion par, y - 1 . si es una perrnutacion impar. D E F I N I C I ~ N A = (oij), entonces el determinante de A, lo que se Si . escribe: det A, es el elernento de F ( - I )Qz,,(l,a2,(,, .. a,,,,,rcS,

.

Usarernos a veces la notacion a,, zn1 para el deterrninante de la rnatriz

..-

@ ~ n

...

ann

a,, Notese que el deterrninante de una rnatriz A es la surna (si prescindimos, por el mornento, de 10s signos) de todos 10s productos posibles de entradas de A en 10s que aparezcan uno y solo uno de cada rengl6n y colurnna. En general es una labor pesada desarrollar el deterrninante de una matrizfijtrnonos que hay nada menos que n! tkrrnino;; en la expansi6n-mas para al rnenos un tipo de matriz podernos hacer este desarrollo visualmente, a saberLEMA 6.19. El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas en la diagonal principal.Prueba. Ser triangular irnplica dos posibilidades, a saber, o todos 10s elernentos por encima de la diagonal principal son 0, o todos 10s elementos por debajo de la diagonal principal son 0. Probarernos aqui el resultado para A de la forrna

324


- Cap. 6

e indicaremos el pequefio cambio en el argument0 a emplear para la otra clase de matrices triangulares. Como a,, = 0 salvo si i = 1, en la expansion de det A j la unica contribuci6n no nula viene de aquellos tkrminos donde a(]) = 1. Asi pues, como a es una permutacion, a(2) # 1 ; pero si a(2) > 2, a,, = 0; luego, ,(, para obtener una contribucion no nula a det A, a(2) = 2. Continuando de esta forma, debemos tener a(i) = i para todo i, lo que es lo mismo que decir que en la expansion de det A el unico termino distinto de cero se presenta cuando a es el elemento identidad de S,. De aqui que la suma , , de 10s ri! tdrminos se reduce a exactamente uno solo, a,, a,, ...a , que es lo que el teorema afirma. Si A es una triangular inferior comenzamos con el extremo opuesto probando que para una contribuci6n distinta de cero a(n) = n, luego que a(n-1) = n-1,etc. Algunos casos especiales son de interks: 1) Si

es diagonal, det A = All2

... A,.

2) Si

la matriz identidad, entonces det A = 13) Si

la matriz escalar, entonces det A = An.

Obskrvese tambiin que si un rengldn o columna de una marriz esrli compuesta solo de ceros, entonces el determinante es 0, pues cada ttrmino del desarrollo del determinante serh un product0 en el que a1 menos uno de 10s factores es 0, de donde cada ttrmino es 0. Dada la matriz A = (a,,) en F podemos considerar su primera fila , L', = (z, l , a,,, .. ., al,) como un vector en F'"), y antilogamente para su segunda fila, u,, y las restantes. Podemos considerar entonces det A como una funcion de 10s n vectores o,, ..., u,. Muchos resultados se pueden enunciar mhs sucintamente en estos ttrmjnos, por lo que a menudo consideraremos det A = d(ul, ..., 0,); en este caso la notacibn siempre se entiende que implica que u1 es el primer rengldn, u, el segundo, y asl sucesivamente, de A. Una observaci6n miis: aunque estamos trabajando sobre un c a m p , podriamos sin la menor dificultad suponer que esthbamos trabajando sobre un anillo conmutativo, except0 en las obvias ocasiones en que dividimos por elementos. Esta observaci6n solamente vendrl a cuento cuando discutamos determinantes de matrices que tengan entradas polinomiales, lo que haremos dentro de poco en esta misma secci6n.

LEMA 6.20. S i AEF y y E F, entonces d(ul , ..., ui- l , yo,, v,+ ... 0,) = , yd(u1, ., ui- 1 , ui, U I + 1, .., 0,). N6tese que el lema dice que si todos 10s elementos de un rengl6n de A son multiplicados por un elemento fijo y de F, entonces el determinante de A queda tambitn multiplicado por y.Prueba. Como solamente las entradas de la i-tsima fila han cambiado, el desarrollo de d(u, , ..., v,- , yo,, ui+ , ..., u,) es

,

,

como esto es igrral a y igual a yd(ul, ..., v,).

oes,

1 (-1)"

a,,(,,

...

... a,.(.),

es claro que es

Antes de probar el resultado, veamos quC es lo que dice y lo que no dice. No dice que det A+det B = det(A + B); esto es falso como puede verse en el ejemplo

donde det A = det B = 0 mientras que det (A+ B) = 1. Dice que si A y B son matrices iguales en 'todas partes salvo en el i-ksimo renglbn-entonces

326


la nueva matriz obtenida de A y B usando todos 10s renglones de A except0 el i-esima. y usando como i-esimo renglon la sumz de 10s i-esimos renglones de A y B, tiene un determinante igual a det A +det B. Si

entonces

si

illi

Prltrba. Si c., = ( z , , ,...,z,,) ..... r i = (pi,. ..., pi,,).entonces

=

(ziI,....!xi,,) I; .....

=

(z,, ,...,z,,) y

Las propiedades que aparecen en 10s lemas 6.19. 6.20 y 6.2 1. junto con las que aparecen en el pr6ximo lema, puede demostrarse que caracterizan a la funcion determinante (vkase el problema 13 al final de esta seccibn). Asi pues, la propiedad formal exhibida en el siguiente lema es basica en la teorla de determinantes.

LEMA6.22. Si dos renglones de A son igrrales (es decir. si or =us para r # s), entonces det A = 0.Prueba. Sea A = (aij) y supongamos que para ciertos r, s con r # s zrj = aSj para todo j Consideremos el desarrollo . det A =

1 (ncS.

I)"z~,,( l)

Zra(r1

zm(r)... zna(n).

En el desarrollo, apareamos 10s tkrminos como sigue: Para aeS, apareamos ... a,,,,, con el termino ( - 1): al,o,l,... a,,,,, el tkrmino ( - l)"z

,,,,,

,,

donde r es la transposicion (u(r), u(s)). Como r es una transposicion y r Z = 1, esto nos &, ciertamente, un aparejamiento. Pero como a,(,, = as,(,,, por hipotesis, y as,(,, = a,,,(,,, tenemos que a,,(,, = a,(,,. Anllogamente, as,(,, = a,,,(,, . Por otra parte, para i # r y i # s, como ru(i) = u(i), ,c ( x = air,(i,. Luego 10s tCrminos a,,(,, ...a,,(,, y a,,,(,, ... a,,(,, son iguales. El primer0 aparece con el signo (- 1)" y el segundo con el signo (- 1)'" en la expansion de det A. Como r es una transposici6n y por tanto una permutation impar, ( - I)'" = -(- 1)". Por tanto, en el aparejamiento, 10s tCrminos apareados se cancelan mutuamente en la suma, de donde det A = 0. (La prueba no depende de la caracterlstica de F y es igualmente vhli& incluso en el caso de caracteristica 2.) De acuerdo con 10s resultados hasta ahora obtenidos, podemos determinar el efecto sobre un determinante de una matriz && de una permutacion de sus renglones. LEMA 6.23. El intercambio de dos renglones de A cambia el signo de su determinante. Prueba. Como hay dos renglones iguales, s e g h el lema 6.22, d(u, , ..., 01-1, Ui+uj, UI+I,..., uj-1, 17j+1,..., 0,) = 0. Usando el lema 6.21 varias veces po&mos desarrollar esto para obtener d(v,, ..., v,-, , v,, ..., ~ j - ~ , u..., 0,) j, d(u1, ..., ~ ~ - uj, , ..., ~ j - l , u i , ..-, + d(ul,...,v1-l, 1 0,) u,, ..., uj01, ..., on) d(u1, ..., 0,- uj, ..., ujuj, ..., 0,) = 0. Pero ca& uno de 10s 6ltimos dos ttrminos tiene en tl dos renglones iguales. de donde, seglin el lema 6.22, cada uno es 0. La anterior relacion se reduce entonces a d(v,, ..., v,-, , u,, ..., vj-, , vj, ..., v,) d(vl, ..., vluj, ..., vj- vi, ..., 0,) = 0, que es precisamente lo que el lema afirma.u ~ + u j 9

+

+

,,

,,

,,

+

,,

COROLARIO. la matriz B se obtiene de la A mediante una permutacidn Si de 10s renglones de A, entonces det A = f det B, siendo el signo + 1 si la permutacidn es par, y - 1 si la permutacidn es impar. , Estamos ahora !en position de unir piezas para probar la propiedad algebraica bhsica & la funci6n determinante, a saber, que preserva 10s productos. Como un homomorfismo de la estructura multiplicativa de F en , F el determinante adquirirh ciertas caractedsticas importantes. TEOREMA Pura A, BEF , det (AB) = (det A) (det B). 6.f. , Prueba. Sea A = (a,,) y B = (&); Sean las filas & B 10s vectores u, , u,, ..., u,. Introducimos 10s n vectores w, , ...,w como sigue: ,

328


Consideremos d(w,, ..., w,); desarrollando este determinante y haciendo un uso mliltiple de 10s lemas 6.20 y 6.21, obtenemos

En esta suma mliltiple i, , ..., in van tomando independientemente todos 10s valores desde I hasta n. Pero, si cualesquiera dos i, = is entonces u,, = ui, de donde d(ui,, ..., uic, ..., ui,, ..., urn)= 0 por el lema 6.22. En otras palabras, 10s unicos ttrminos en la suma que pueden dar una contribuci6n distinta de cero son aquellos para 10s que todo 10s i,, i,, ..., in son distintos, es decir, aquellos para 10s que la aplicacionu =

1(i,

2 i,

n

-

i,,)

es una permutacion de 1, 2, ..., n. Ademls, cualquier permutacion tal es posible. Observernos finalmente que seglin el corolario del lema 6.23, cuando

es una permutacion, entonces d(uil, u,,, (det B. Tenemos asi

..., u,.)

= (- l ) a d ( ~ I , u,) =

...,

d(wl , --., ) = 4

aeS.

1

a,,(,)(-

1)' det B

= (det B) (det A).

Deseamos ahora identificar ahora -d(w, , ..., w,) como det (AB). Pero cornow, = a , , u , + ... +a,,u,, tenernos que d(w, , ..., w,) es det C, donde el primer rengl6n de C es w, , la segunda es w, , etc. Pero si desarrollamos w, en tCrminos de coordenadas obtenemos

que es el primer renglon de AB. Analogamente uj, es el segundo renglon de AB, y asi sucesivamente, para el resto de 10s renglones. Luego C = AB. Como det (AB) = det C = d(u7,. .... u.,) = (det A) (det B), hemos probado el teorema. COROLARIO Si A es inrerrible entonces det A # 0 y det (A - ) = I. (det A)-

-

'

Prueba. Como A A - I = I, d e t ( A A - I ) = det I = I. Luego segun el teorema. I = det (AA - I ) = (det A) (det A - I ) . Esta relacion afirma enI tonces que det A # 0 y det A - = det A

'

COROLARIO Si A es invertible, entonces para toda B, det (ABA2. det B.

I)

=

Prueba. Usando el teorema en la forma en que s aplico a (AB)Ae tenemos det ((AB) A - I ) = det (AB) det ( A - I ) = det A det B det ( A - I ) . Aplicando el corolario I esto s reduce a det B. Luego det ( A B A - I ) = e det B.

El corolario 2 nos permite definir el determinante de una transformacion lineal. Pues si TEA( V) y m, ( T ) es la matriz de Ten alguna base de V, para otra base, si m,(T) es la matriz en esta segunda base. entonces. segdn el teorema 6.h, m,(T) = Cm, ( T ) C - I , de donde det (m,(T)) = det (m, ( T ) ) segdn el anterior corolario 2. Es decir. la matriz de Ten cualquier base tiene e l misma determinante. Luego la definicibn: det T = det m, ( T ) es en realidad iridependiente de la base y provee a A ( V ) de una funcion determinante. En uno de 10s primeros problemas, la finalidad del problema era la de probar que A', la matriz transpuesta de la A, es semejante a A. Si esto fuera cierto (y lo es), entonces A' y A de acuerdo con el corolario 2 anterior tendrian el mismo determinante. No es, pues, motivo de asombro que podamos dar una prueba directa de este hecho. LEMA6.24. det A = det A'.Prueba. Sea A = (aij) y A ' = (bij): desde luego,

pij

= zji. Ahora bien

mientras que

330


- Cap. 6

Per0 el tkrrnino ( - I )"z,,,,, . . . a,,,,, es igual a ( - I)'a,,.. . a,,(pruebese). Pero a y a - ' son de la rnisrna paridad, es decir, si a es irnpar, entonces tarnbien lo es a - I , rnientras que si a es par entonces a - es par. Luego

,,,,

,,,,.

Finalrnente, corno a recorre S,, a det A' =n'

'

recorre tarnbien por ello S,,. Luego

' E S,,

(-

l)n~'zln-~ll,~~~~nn-l,n~

= det A.

A la luz del lema 6.24, el intercambio de 10s renglones y las colurnnas de una matriz no cambia su determinante. Pero entonces 10s lemas 6.20, 6.2 1, 6.22 y 6.23 que son rdlidos para operaciones con renglones de la mafriz,se ~Serifican igualmenfe para las columnas de la mafriz.

Hacernos un uso inrnediato de la observacion para derivar la regla deCramer para la resoluci6n de un sistema de ecuaciones lineales.

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

llamarnos a A = (a,,) la rnatriz del sistema y a A = det A el deferminanfedel sisfema.

Supongamos que A # 0 ; es decir, que

De acuerdo con el lema 6.20 (en su forma modificada para columnas en lugar de para renglones),a,,

zIIxi

a - V

RIB

xiA =

anl

.-. a,, xi

- - a

an,

Pero corno una consecuencia de 10s lernas 6.21 y 6.22, podemos aiiadir

5 9.

DETERMINANTES

331

cualquier multiplo de una columna a otra sin cambiar el determinante (vtase el problema 5). Anadase a la i-tsima de x i A , x, veces la primera colurnna, x , veces la segunda. .. .. xi veces 1a.j-esima (para todo j # i ) . Asi pues

y usando a,, x ,

+... +a,,xn

=

2,.

vemos finalmente que

De donde. .rj = -. Esto esA TEOREMA (REGLA CRAMER). es delemiinante A del sistema de 6.u. DE Si ecrracione.~ lineales

Ai

us dijkrente de cero, entonces la solucidn del sistema ~'iene dada por x i =

Ai -' A

rlonde A , es el determinante obtenido de A a1 reemplazar en la i-hima columna par P I , Dz. fin.

....

Ejeniplo. El sistema x,+2xz+3x, = - 5 Ix,+x,+x, x,+x,+x,

= -7= 0

tiene determinante

332


- Cap. 6

de donde

Podemos relacionar la invertibilidad de una matriz (o transformacion lineal) con el valor de su determinante. El determinante nos provee, por tanto, de u n criterio de invertibilidad.

TEOREMA A es inrerrible si +v sblo si det A # 0. 6.v.Prueba. Si A es invertible. hemos visto en el corolario I del teorema 6.t. que det A # 0. Supongamos ahora que el det A # 0 donde A = (zij). Segun la regla de Cramer, podemos resolver el sistema

para x , .... x, dando /3,, ..., 3 arbitrarios. Como una transformacion /, lineal sobre F'"'. A ' es pues*suprayectiva, en realidad el vector ( P I , . ., 8,)

.

.

es la imagen bajo A' de -1,., - . Por ser suprayectiva, seglin el teo.. rema 6.d, A' es invertible, de donde A es invertible (pru~bese). Podemos ver el teorema 6.v desde un punto de vista alternarivo y probablemente mas interesante. Dada A E F , podemos sumergirla en K, donde K es una extension de F escogida de mod0 tal que en K,, A pueda ser puesta en forma triangular. Hay, por tanto, un BE K, tal que

: (

2)

aqui A , , . . ., A, son todas las raices caracteristicas de A , cada una apareciendo tantas veces como unidades tiene su multiplicidad como raices caracteristicas de A. Asi pues, det A = det ( B A B - I ) = A, A, ... segun el lema 6.19. Pero A es invertible si y solo si ninguna de sus raices caracteristicas es cero;

5 9.

DETERMINANTES

333

pero det A # 0 si y solo si i., i 2 i., # 0, es decir, si ninguna de las ... raices caracteristicas de A es 0.Luego A es invertible si y solo si det A # 0. Este argument0 alternativo tiene algunas ventajas, pues al efectuarlo probamos realmente un subresultado interesante por si mismo, a saber,

-

LEMA 6.25. det A es el producto, contando /as niultiplicidades, de las raices caracteristicas de A.

DEFINICION. Dada AEF,,, la ecuacidn secular de A es el polinomio det ( x - A ) en F [ x ] . Generalmente lo que hemos llamado la ecuacion secular de A se suele llamar polinomio caracteristico de A. Pero hemos definido ya el polinomio caracteristico de A como el producto de sus divisores elementales. Es unhecho (rkase el problenia 8 ) yue el polinomio caracteristico de A es igual a su ecuacidn secular, pero corno nosotros no necesitarnos desarrollar esto

explicitamente en el texto. introducirnos el tCrmino de ecuacion secular. Calculemos un ejemplo. Si

en tonces

de donde d e t ( x - A ) = ( x - 1 ) x - ( - 2 ) ( - 3 ) ecuacion secular de

= x2-x-6.

Asi pues, la

es x 2 - X - 6 . Unas cuantas observaciones acerca de la ecuacibn secular: Si i. es una raiz de det ( x - A), entonces det (I.- A ) = 0;de donde, segun el teorerna 6.v, 1.- A no es invertible. Asi pues, I. es una raiz caracteristica de A. Reciprocamente. si i. es una raiz caracteristica de A, i.- A no es invertible, de donde det (i.- A ) = 0 y. por tanto, i. es una raiz de det ( x - A). Asi pues, el polinomio explicit0 y computable "ecuacion secular de A", nos proporcionaun polinonlio cuyas raices son exactamente las raices caracteristicas de A.

Necesitamos subir un escalon mis y probar que una raiz dada entra como una raiz de la ecuacion secular precisamente tantas veces como sa multiplici-

334


- Cap. 6

dad como raiz caracteristica de A. En efecto, si Ai es la raiz caracteristica cte A con multiplicidad m i , podemos poner A en forma triangular de mod0 que

donde cada Ai aparece en la diagonal mi veces. Pero B(x-A)B-'= x-BAB-' =

de modo que det ( x - A ) = det ( B ( x - A ) B - I ) = ( x - i . , ) m l ( x - j . l ) m l. . . ( x - l , ) " * , y, por tanto, cada i.,, cuya multiplicidad como raizcaracteristica de A es m i , es una raiz del polinomio det(x- A ) de multiplicidad exactamente igual a m i . Y hemos probado elTEOREMA Las raices caracteristicas de A son las raices, con la 6.w. multiplicidad correcta, de la ecuacion secular, det ( x - A ) , de A.

Damos termino a esta seccion con el significativo e historic0 teorema deCayley- Hamilton.

TEOREMA Toda A E Fn satis/ace su ecuacion secular. 6.x.Prueba. Dada cualquier matriz invertible B E K , , donde K es una extension cualquiera de F, A E F y BAB- ' satisfacen 10s mismos polinomios. Ademas, como det ( x - BAB- ' ) = det ( B ( x - A ) B - I ) = det ( x - A ) , BAB- ' y A tienen la misma ecuacion secular. Si podemos demostrar que algun B A B - ' satisface su ecuacion secular, se seguira de ello entonces que A tambien la satisface. Pero podemos escoger K 2 F y B E K , de mod0 que BAB- sea triangular; en tal caso ya vimos bastante antes (teorema 6 . k ) que una matriz triangular satisface su ecuaci6n secular. Luego el teorema queda probado.

1. Si F es el campo de 10s numeros complejos. evaluense 10s siguientes determinantes :

2.

para que caracteristicas de Fson 0 10s siguientes determinantes?

3. Si A es una matriz con entradas enteras tales que A - es tambitn una matriz con entradas enteras, i,c~lSles pueden ser 10s valores de det A ?

336


- Cap. 6

4. Prutbese que si se suma el mliltiplo de un rengl6n a otro no se cambia el valor del determinante.

*5. Dada la matriz A = (ajj), sea A i j la matriz obtenida de la A quitando el i-esimo renglon y la ,j-esima columna. Sea M I.J. = ( - 1)"' det Aij. A Mij se le suele llamar cofactor de ail. PruCbese que det A = airMi, + ... +ainM,.6. a) Si A y B son submatrices ccadradas, prutbese que

det

(

:]A2

= (det A ) (det B ) .

h ) Generalicese la parte !a) a

det

[ 1)...

donde cada A ; es una submatriz cuadrada.

7. Si C(f) es la matriz compafiera del polinomio j'(x), prutbese que la ' ecuacion secular de C(j )esjlx).

8. Usando 10s problemas 6 y 7 prutbese que la ecuacion secular de A es su polinomio caracteristico. (Vtase la secci6.n I ; esto prueba la observacion que antes hicimos de que las raices de p,(x) aparecen con multiplicidades iguales a sus multiplicidades como raices caracteristicas de T.)

9. Usando el problema 8, proporcionese una prueba alternativa del teorema de Cayley-Hamilton.10. Si F es el campo de 10s numeros rationales, calclilense la ecuacion secular y las raices caracteristicas con sus multiplicidades de

11. Para cada una de las matrices de problema 10, verifiquese, por calculo matricial directo, que satisface su ecuaci6n secular. -

*12. Si el rango de A es r, prukbese que hay una submatriz cuadrada r x r de A de determinante distinto de 0, y si r 0 para r # 0 entonces llamamos a T positka (o positii.amente definida) y escribimos T > 0. Queremos distinguir a estas transformaciones lineales por sus raices caracteristicas. LEMA 6.37. La transformacibn lineal hermitiana T es no negatira (positica) si y sdlo si todas sus raices caracteri'sti *asson no negatiras (positiras).Prueba. Supongamos que T 2 0 ; si 1 es una raiz caracteristica de T, entonces uT = l r ? para algun r # 0. Luego 0 < ( r T , r ) = (Au, r ) = 1(c, u); como ( r , u) > 0, se deduce que 12 0. Reciprocamente, si Tes hermitiana con raices caracteristicas no negativas. entonces podemos encontrar una base ortonormal { r , , ..., r,) consistente en vectores caracteristicos de T. Para cada r , , r i T = ,Ii r i , donde l i 2 0. Dado ~ E Vr , = L a i c i de donde cT = x a i r i T = Xi.,.airi. Per0 entonces (vT, v) = ( I l i a i : , , L a i c i ) = Lliaicxi por la ortonormalidad de las r i . Como l i 2 0 y aicxi 2 0, se tiene ( r T . r ) 2 0, de donde T 2 0. Los resultados correspondientes para el caso "positivo" se dejan como ejercicio.

LEMA 6.38. T 2 0 si y s61o si T

= AA* para alguna A.

Prueba. Demostramos primer0 que AA* 0. Dado ~ E V(uAA*, L ! ) = , ( r A , P A ) = 0, de donde AA* 2 0.

348


- Cap. 6

Por otra parte. si 7 2 0 podemos encontrar una rnatriz unitaria U tal que-

donde cada ibi una raiz caracteristica de 7. luego toda i i 2 0.Sea es

como cada i i 2 0,cada hermitiana: per0

pies real, luego S hermitiana. Por tanto U*SU es

Hemos representado a 7 en la forrna AA*, donde A = U*SU. Notese que realrnente hernos probado un poco mhs; a saber, si al construir S hubieramos escogido la raiz no negativa para cada l i , entonces S, y U*SU, habria sido no negativa. Luego T 2 0 es el cuadrado de una transformacion lineal no negativa; es decir, toda 7 3 0 tiene una raiz cuadrada no negativa. Esta raiz cuadrada no negativa puede demostrarse que es unica (vease

Algebra Moderna (Grupos_ Anillos_ Campos & Galois) - i n Herstein (Trillas_ 1970)

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