Tema4 funcs elementales_3

FUNCIONES ELEMENTALES

TEMAS 4 y 5 Polinómicas,racionales, irracionales, logarítmicas,exponenciales,

Transformaciones elementalesFunciones a trozos

Aurora Domenech

Polinómicas grado1 :RECTAS

• EXPRESIÓN GENERAL: f(x)=mx+n• m: pendiente de la recta (relación entre desplazamiento

vertical y horizontal)

• n: ordenada en el origen (pasa por el punto (0,n)

CARACTERÍSTICAS:RECTASRECTAS• DOMINIO: todos los reales• CONTINUIDAD• NO MÁXIMOS NI MÍNIMOS• SIEMPRE CRECIENTE (m>0)• SIEMPRE DECRECIENTE (m<0)• No peridicidad• No simetrías

Polinómicas grado 2PARÁBOLAS

• Forma general: • Tipo de gráfica:

• Elementos importantes:• Eje x=-b/2a• Vértice (-b/2a; f(-b/2a))

cbxaxxf 2)(

PARÁBOLAS:CARACTERÍSTICASCARACTERÍSTICAS

• DOMINIO: todos los reales• Imagen: tiene una cota o superior o inferior• Continua• Dos ramas: una creciente y otra decreciente• Siempre cóncava (a>0)• Siempre convexa (a<0)• Un solo máximo o un solo mínimo=vértice• Simetría respecto a su propio eje,pero nunca al origen de Simetría respecto a su propio eje,pero nunca al origen de

coordenadas, y muy pocas veces al de ordenadascoordenadas, y muy pocas veces al de ordenadas• No periódoca

FUNCIONES RACIONALES

• Expresión general:

• Función racional “patrón”:

)(

)()(

xQ

xPxf

x

kxf )(

Si k>0

FUNCIONES RACIONALES

• Expresión general:

• Función racional “patrón”:

)(

)()(

xQ

xPxf

x

kxf )(

Si k<0

Dominio

imagen

crecimeinto

curvatura

asíntotas

¿qué tendremos en cuenta?

Dominio

Todos los reales excepto los que hacen ceroel denominador.

f(x+a)

En verde la transformación de la función “patrón” según:

Dominio de funciones racionales

• Todos los valores reales excepto los que anulan el denominador.

0)(|\ xQxD

¿cómo se calcula?

• Igualamos a cero el denominador• Resolvemos la ecuación (con el método que

proceda)• El dominio será todo R menos las soluciones

que nos han salido.

Esto significará que en la gráfica, habrá algún tipo de “rotura”, que será lo que llamaremos discontinuidad

Resumiendo :

• Características Características – Dominio : todos los reales menos los que anulan Dominio : todos los reales menos los que anulan

el denominadorel denominador– Continuidad: solo en su dominioContinuidad: solo en su dominio– Tendencias: habrá que mirar los extremos y los Tendencias: habrá que mirar los extremos y los

puntos donde no hay continuidadpuntos donde no hay continuidad– Rectas especiales asociadas: asíntotasRectas especiales asociadas: asíntotas

Funciones con raíz cuadrada

xxf )(Función patrón

Características• Dominio: el conjunto de números reales

que hace positivo o cero el radicando• Continua en su dominio• Siempre creciente (crecimiento lento)• No tiene asíntotas

¿Cómo las dibujamos?• Tenemos en cuenta las transformaciones de

funciones a partir de la función “patrón”– F(x+k)– F(x)+k

• Calculamos el dominio • Hacemos una pequeña tabla de valores

Funciones exponenciales10)( aadondeaxf x

0<a<1 a>1

Características• Dominio: los reales• Imagen: reales positivos• Punto corte con eje vertical (0,1)• Asíntota horizontal y=0• Crece si a>1• Decrece si a<1

¿Cómo se dibuja? • Construimos una pequeña tabla de valores• Analizamos la base para saber si será

creciente o decreciente• Tenemos en cuenta la patrón • Aplicamos las transformaciones f(x+k) , f(x)+k

Funciones logarítmicas10log)( aaxxf a

a>1 0<a<1

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONESf(x)+k

Supone un desplazamiento vertical de cada punto de la gráfica, k unidades.

1)(

)(

2)(

xxf

xxf

xxf


Supone un desplazamiento vertical de k unidades en cada punto de la gráfica.

32

1)(

2

1)(

22

1)(

x

x

x

xf

xf

xf


Supone un desplazamiento vertical de k unidades en cada punto de la gráfica.

2)(

)(

2)(

2

2

2

xxf

xxf

xxf

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONESf(x+k)

Supone un desplazamiento horizontal de k unidades en cada punto de la gráfica.

22

2

2)(

)(

2)(

xxf

xxf

xxf

TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONESf(x+k)

Supone un desplazamiento horizontal de k unidades en cada punto de la gráfica.

2log)(

log)(

2log)(

xxf

xxf

xxf

Transformaciones en funciones de proporcionalidad inversa

0

0

0\

1)(

yhorizontalAsíntota

xverticalAsíntota

Dx

xf


3

0

0\

31

)(


xverticalAsíntota

Dx

xf

f(x)+k


f(x+k)

0

3

3\3

1)(


xverticalAsíntota

Dx

xf


f(x+k)+b

2

3

3\

23

1)(


xverticalAsíntota

Dx

xf

“RELACIÓN ENTRE ASÍNTOTAS Y DOMINIO”

Funciones definidas a trozos

• Necesario : – saber dibujar las funciones elementales– Interpretar correctamente el plano

cartesiano: donde varía la x y donde la y– Interpretar correctamente la expresión

algebraica de la definición de la función

),()(

),()(

),()(

)(

653

432

211

aaxsixg

aaxsixg

aaxsixg

xf

¿Cómo aparece su expresión algebraica?

41

4112

1

)(

xsix

xsix

xsix

xf

41

412

12

)(

xsix

xsi

xsix

xf x

Una función definida a trozos tiene distintas expresiones algebraicas dependiendo del intervalo de su dominio. La siguiente función está definida a trozos:

Está función tiene dos trozos , uno hasta que la x llegue a uno donde tengo que representar la parábola

y otro a partir de que la x valga uno donde tengo que representar la recta:

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