Tema3 Numeros Racionales

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Curso Iberoamericanode formación permanentede profesores de matemática

Tema 3: Números racionales


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Números racionales

Contenido de este documento:

Introducción

Expresiones fraccionarias

El conjunto de los números racionales

Operaciones básicas

Ordenación y representación

Potencias de exponente entero

Anexos

1. Introducción

Comúnmente identificamos un número racional porque puede

representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero, es decir, como una fracción.

El término fracción deriva del latín fractĭo y significa división de algo en partes o cada una de las partes separadas de un todo. También racional

alude a ración –del latín ratĭo, -ōnis, medida, proporción-, parte,

porción.

De ahí el uso cotidiano de las fracciones (y de los números racionales),

para contar cosas que están divididas en partes iguales y para expresar la relación entre algunos elementos de un grupo o conjunto con el total. Por

ejemplo, con frecuencia se emplean expresiones del tipo: las tres cuartas partes de la superficie de la Tierra están ocupadas por agua; sobró la

mitad de la pizza; sólo un tercio de los asistentes eran mujeres.

2. Expresiones fraccionarias

Definición Una fracción es cualquier expresión de la forma , donde

son números enteros y no es cero. La denotamos por:

a recibe el nombre de numerador y b de denominador


3

Ejemplos

Los numeradores de estas fracciones son 2, -13, 8, -7 y 1480, sus respectivos denominadores son 5, 26,-1, -3 y 154.

Los números fraccionarios o fracciones se utilizan para contar objetos que están divididos en partes iguales. También se usan para indicar la relación

entre algunos elementos de un grupo o conjunto de elementos con el total.

Teniendo en cuenta esto último, los dos elementos que forman la fracción indican:

El denominador, , en cuántas partes iguales se divide el objeto o

cuántos elementos hay en el conjunto.

El numerador, , cuántas partes iguales o cuántos elementos se

seleccionan del total.

Numerador y denominador

Es muy importante que los alumnos encuentren un significado al

numerador y al denominador.

El maestro debe incitar al alumno a reflexionar sobre la relación

que existe entre los datos de un reparto y la fracción que representa

el resultado de éste. El alumno debe descubrir que en el resultado de

un reparto se identifican el número de unidades que se repartieron y

el número de elementos entre los que se hizo el reparto o que,

mediante el análisis de los datos del reparto se puede anticipar el

resultado.

Ejemplos

1. Si repartimos 5 pizzas entre 4 personas, a cada una le toca 1 pizza + 1/4 de pizza, que es lo mismo que 5/4. En la fracción 5/4 el numerador indica el

número de pizzas que se repartieron y el denominador indica el número de personas entre los que se hizo el reparto.

2. Las tabletas de chocolate de cierta marca comercial vienen divididas en 12 cuadraditos iguales, cada una. Un grupo de 5 amigos nos hemos comido 3

cuadraditos por cabeza. Entonces:


4

cada uno come , tres doceavos, de la tableta 3 cuadraditos de los

12 que tiene la tableta;

entre todos se comen , quince doceavos, de las tabletas 15

cuadraditos, 12 de una tableta y 3 más de otra;

cada cuadradito de chocolate es , un doceavo, de la tableta.

Este ejemplo se ilustra en la figura 1 que aparece más adelante.

3. Si en una fiesta hay 10 hombres y 15 mujeres, podemos decir que:

15 de las 25 personas son mujeres y lo escribiremos

matemáticamente con la fracción el numerador, 15, indica

cuántos elementos se seleccionan –en este caso, mujeres- del total –

los asistentes a la fiesta-, que son 25, el denominador.

10 de las 25 personas son hombres y lo escribiremos

matemáticamente con la fracción

Fracción unitaria

En el Antiguo Egipto ya se calculaba utilizando fracciones

unitarias –aquéllas cuyo numerador es 1 y cuyos denominadores

son enteros positivos–. Cualquier fracción que escribimos con un

numerador no unitario, los egipcios la escribían como suma de

fracciones unitarias distintas. De ahí que las sumas de fracciones

unitarias se conozcan como “fracciones egipcias”. Además, se puede

demostrar que cualquier número racional positivo se puede

escribir como fracción egipcia.

El jeroglífico de una boca abierta ( ) denotaba la barra de

fracción (/), y un jeroglífico numérico escrito debajo de la "boca

abierta", denotaba el denominador de la fracción.

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una

potencia de 60. En la escritura, la fracción la expresaban con un

óvalo –que significaba parte o partido– y debajo o al lado ponían el

denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias,

cuya utilización persistió hasta la época medieval.

En el siglo XIII Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci,

introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador

y denominador en las fracciones.


5

Aunque pueda parecer una trivialidad, debe tenerse claro que si los dos

términos de la fracción (numerador y denominador) son iguales, entonces

la fracción es igual a la unidad. Es decir:

a/a = 1, cualquiera que sea el número a, siempre que sea distinto de

cero.

Hay fracciones que, a pesar de tener numeradores y denominadores

diferentes, representan la misma cantidad; se dice entonces que son

equivalentes.

Ejemplo

Se tiene una pizza y se divide en cuatro partes iguales. La fracción 2/4

representa la mitad de la pizza puesto que de las cuatro partes en que se ha partido la pizza, se han tomado 2. Pero si la dividimos en 8 partes iguales y tomamos 4, tendremos la fracción 4/8 que también representa la mitad de la

pizza. Las dos fracciones son equivalentes y ese es el sentido que se les da: representan la misma cantidad.

Definición Las fracciones equivalentes son aquéllas que expresan la

misma relación o proporción entre el numerador y el

denominador. Una caracterización es la siguiente:

son fracciones equivalentes si y sólo si

Se denota por

Manipulación de la equivalencia

Dominar la equivalencia de fracciones es fundamental tanto para

aprender el concepto de número racional, como para realizar

comparaciones, sumas y restas con este tipo de números. Por eso el

docente debe propiciar recursos variados y manipulativos –dibujos,

folios, elementos de nuestro alrededor, regletas, calculadoras – que

faciliten la adquisición de dicho conocimiento –dibujando,

partiendo, doblando, midiendo –, y dedicarle el tiempo necesario.


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Ejemplos

1. El ejemplo anterior de las tabletas de chocolate también puede expresarse de

otra forma.

Cada amigo come o, lo que es equivalente a decir que, cada uno

come la cuarta parte de la tableta, . Estas fracciones son equivalentes

(indican, en este caso, la misma cantidad de chocolate): ,

además se cumple que 3·4=12·1

Entre todos se comen o, lo que es lo mismo, comen cinco cuartas

partes, . Estas fracciones son equivalentes (indican, en este caso, la

misma cantidad de chocolate): , además se cumple que

15·4=12·5

Fig. 1: Ilustración del ejemplo de las tabletas de chocolate

2. El ejemplo de la fiesta puede expresarse de la forma:

Como 15 de las 25 personas son mujeres, se puede afirmar también

que 3 de cada 5 de los asistentes son mujeres. De ambas formas se indica la misma relación o proporción, por tanto esas fracciones son

equivalentes: ; además se cumple que 15·5=25·3

Como 10 de las 25 personas son hombres, es posible decir también

que 2 de cada 5 de los asistentes son hombres. De ambas formas se indica la misma relación, por tanto esas fracciones son equivalentes:

; además se cumple que 10·5=25·2


7

Proposición Para cualquier número entero no nulo, h, resulta que las

fracciones y son equivalentes, es decir:

Demostración

Las fracciones y son equivalentes, puesto que:

gracias a la propiedad conmutativa del producto de números

enteros.

Por tanto, para obtener fracciones equivalentes a partir de una fracción

dada sólo tenemos que multiplicar o dividir por el mismo número el

numerador y el denominador. Si dividimos obtenemos fracciones

equivalentes de numerador y denominador más pequeños que los dados;

este cálculo lo llamamos simplificar. Por el contrario, si multiplicamos

entonces el numerador y el denominador resultan mayores que los de la

fracción dada. Pero ambas son equivalentes.

Definición Una fracción que no puede simplificarse se llama fracción

irreducible. Ello ocurre cuando el numerador y el denominador no son divisibles por ningún número salvo el 1.

Es decir:

Ejemplos

1. Fracciones equivalentes a son, por ejemplo, .

Para hallarlas se ha multiplicado numerador y denominador por 2, 5, 10 y -3, respectivamente.

2. La fracción puede simplificarse dividiendo numerador y denominador por

11; se obtendría así la fracción . También puede amplificarse multiplicando


8

numerador y denominador por 2, resultando .

Esas tres fracciones son equivalentes, siendo la que es irreducible.

3. En el dibujo (Fig. 2) se demuestra que las fracciones son

equivalentes, puesto que determinan la misma área –coloreada en azul- de la barra que se toma como unidad.

Fig. 2: Fracciones equivalentes

Definición Una fracción propia es una fracción, distinta de cero, cuyo numerador es menor que su denominador y, por

consiguiente, tiene un valor menor que la unidad.

Una fracción propia da cuenta de la idea de una porción o parte de un

todo.

Ejemplos

1. es una fracción propia puesto que 5 < 8. Además, si, por ejemplo,

comemos cinco octavos de una pizza estamos comiendo menos de la unidad

–que es la pizza completa, es decir 8/8.

2. es una fracción propia puesto que 1 < 4. Además, si, por ejemplo,

pintamos la cuarta parte de una pared habremos pintado menos de la unidad

–que es la pared entera–.


9

Definición Una fracción impropia es una fracción que puede

convertirse en la suma de un número entero y una fracción propia. Por tanto, una fracción impropia siempre es mayor

que la unidad y, por consiguiente, su numerador es mayor que su denominador.

Una fracción impropia, suma del número entero n y de la fracción propia

irreducible , puede escribirse de la forma n recibiendo, entonces, el

nombre de número mixto.

Ejemplo

es una fracción impropia puesto que 7 > 2 .

Si suponemos que se trata de dar medio pan a cada uno de siete niños,

entonces tendremos que partir por la mitad cuatro panes, obteniendo ocho

mitades de las que se reparten siete. Por tanto, para conseguir panes

necesitamos tres panes y medio más (superamos la unidad).

Veamos que que es suma de un entero y una fracción propia:

Este resultado también lo podemos poner como el número mixto 3

Manipulación

Todos los conceptos vistos son más fáciles de asimilar a través de

la experiencia manipulativa, especialmente si estamos trabajando

con alumnos que se inician en el tema.

Hay muchos ejemplos de objetos cotidianos que suelen dividirse en

partes iguales –pizzas, tabletas de chocolate, quesos en porciones,

tartas, banderas, sándwiches, folios, reglas, cintas métricas –.

Podemos aprovechar esa familiaridad para que el alumno


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entienda bien el significado y uso de las fracciones.

Así, en clase podríamos hacer particiones de galletas, de

rebanadas de pan de molde, o esta sencilla actividad con folios

(Anexo I).

Expresión decimal de una fracción

Las fracciones se pueden escribir en forma decimal, para ello tan solo hay que efectuar la división del numerador entre el denominador.

Definición La expresión decimal de una fracción es el cociente de

la división

Las fracciones equivalentes guardan la misma proporción entre el numerador y el denominador; por lo tanto, al dividir ambos obtenemos el

mismo resultado.

Así, la expresión decimal de todas las fracciones equivalentes entre sí

coincide. La propia palabra equivalente, referida a una cosa, significa que es igual a otra en valor.

Ejemplo

La expresión decimal de la fracción , pues la división .

También las expresiones decimales de las fracciones , que son

equivalentes a , es 0’75.

Se comprueba simplemente realizando las divisiones correspondientes:

, ,

La expresión decimal de los números fraccionarios sólo puede ser de dos categorías:

-Decimal exacto o finito: su parte decimal tiene un número finito de cifras.

-Decimal periódico: su parte decimal tiene infinitas cifras y, además, un grupo de cifras decimales se repite indefinidamente. A este grupo de cifras


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se llama período. Los números periódicos se denotan con un arco sobre las cifras que forman el período y, a su vez, se clasifican en dos tipos:

a) Periódico puro: aquellos en los que las cifras periódicas aparece inmediatamente después de la coma decimal.

b) Periódico mixto: hay algunas cifras decimales fuera de período, es decir, no toda la parte decimal se repite por lo que existen cifras

decimales antes del primer período que reciben el nombre de parte

anteperiódica.

Ejemplos

1. La expresión decimal de la fracción es exacta pues el cociente de la

división 3 : 4 es 0’75 y el resto es 0.

3 0 4

2 0 0’75

0

La escribimos de la forma

2. La expresión decimal de la fracción es periódica pura puesto que la

división 23 : 11 no se termina, dando el cociente 2’090909…, con infinitas

cifras decimales repetidas en el mismo orden. El resto de la división se repite

una y otra vez.

2 3 11

0 1 0 0 2’0909…

0 1 0 0

0 1

⁞


90'211

23


12

3. La expresión decimal de la fracción es periódica mixta puesto que la

división 5 : 30 no se termina, dando el cociente 0’1666666… El período está

formado por el 6 pero entre la coma decimal y el primer 6 aparece un 1 que

es la parte que hemos llamado anteperiódica.

5 0 30

2 0 0’1666…

2 0

2

⁞


Identificación de números

Los números decimales –o, al menos su noción- conviene

estudiarlos a la vez que las fracciones, dada su estrecha relación.

Los alumnos deben ser capaces de identificaras fracciones

habituales como 1/2, 1/3, 1/4 ó 3/4 , así como las que tienen por

denominador las primeras potencias de base 10, con sus

expresiones decimales. Esto favorecerá, además, la conexión con los

porcentajes (la mitad es el 50 %, el 20% es la quinta parte, etc.)

La actividad con folios propuesta puede ampliarse anotando en

cada pedazo, junto a la fracción, su valor decimal. Así se visualiza

que, por ejemplo, 0’5 es mayor que 0’125 (resultado que no suele

resultar fácil de comprender).

Expresión fraccionaria de un número decimal o fracción generatriz

Cualquier número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción. Es algo así como lo recíproco de lo visto anteriormente.

Vamos a proceder a estudiar cómo obtener la fracción que genera a un número decimal exacto o periódico. Esa expresión fraccionaria se obtiene

atendiendo a su categoría. La presentamos mediante un ejemplo y después escribimos el algoritmo para conseguirlo:

Ejemplo

1. Sea el número decimal exacto x = 47’156.

Multiplicamos por 1000 ambos miembros y se tiene:

1000x = 47156

61'030

5


13

Despejando x se obtiene:

a) Decimales exactos o finitos: Su expresión fraccionaria tiene por numerador el número decimal escrito sin la coma (47156), y por

denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras

decimales haya (1000).

Ejemplo

2. Sea el decimal periódico puro x = 390’543543…

Multiplicamos por 1000 ambos miembros:

1000x = 390543’543…

Restando 1000x – x se tiene:

1000x – x = 999x = 390543’543… - 390’543… = 390543 – 390

Al despejar la x se tiene como expresión fraccionaria:

b) Decimales periódicos puros: La expresión fraccionaria de un

número decimal periódico puro tiene como numerador la diferencia entre el número entero formado por la parte entera y un período

completo (390543) y la parte entera (390). Como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo (999).

Ejemplo

3. Se considera el número decimal periódico mixto x = 5’81212…

Para dejar la parte periódica inmediatamente después de la coma decimal

multiplicamos por 10 ambos miembros:

10x = 58’1212…

Ahora multiplicamos por 100:

1000x = 5812’1212…

Restamos esas dos expresiones:

1000x – 10x = 990x = 5812’1212… - 58’1212… = 5812 – 58


14

Despejando x, se tiene, finalmente como expresión fraccionaria:

c) Decimales periódicos mixtos: Su expresión fraccionaria tiene por numerador la diferencia entre el número entero formado por la parte

entera, la parte anteperiódica y el primer período (5812), y el

entero formado por la parte entera y la parte anteperiódica (58). El denominador se forma con tantos nueves como cifras periódicas y

tantos ceros como cifras tiene la parte anteperiódica (990).

3. El conjunto de los números racionales

Definición Un número racional es el conjunto de todas las fracciones

equivalentes a una dada.

Ejemplos

1. El número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes

a tales como ; cualquiera de estas fracciones representa

al número racional

2. El número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a

como cualquiera de estas fracciones representa al

número racional

El conjunto de los números racionales se denota por .

La notación se debe al término latino quotĭens que significa cociente.


15

La expresión decimal de un número racional es la expresión decimal de cualquiera de las fracciones equivalentes que lo representan, es decir

es el cociente del numerador entre el denominador.

Todo número racional puede escribirse en forma de decimal exacto o

periódico, y viceversa:

Todo número decimal exacto o periódico tiene una expresión

fraccionaria y, por tanto, es un número racional.

Por supuesto, para pasar de decimal a fracción se procede como vimos al final del apartado anterior.

Como consecuencia de la simplificación de fracciones, todo número racional tiene un representante con numerador y denominador primos

entre sí, es decir, una fracción irreducible.

Definición El representante canónico de un número racional es la fracción irreducible con denominador positivo.

representante canónico de un número racional

m.c.d.(a, b) = 1 , b>0

Es decir, de todas las fracciones que representan el mismo número

racional se toma como representante canónico de éste la fracción irreducible, la más sencilla.

Ejemplos

y su expresión decimal es 0’333… , periódica pura.

y su expresión decimal es 2’5 , exacta.

La notación que se emplea para un número racional del tipo es

simplemente a. Por ejemplo, el número entero 6 se identifica con ,

, etc.

El conjunto de números enteros está incluido en el de los números

racionales:


16

Entonces, podemos representar el conjunto de números racionales con su subconjunto de enteros y el subconjunto de éste formado por los naturales (Fig. 3).

4. Operaciones básicas

Consolidar los conceptos

Se sugiere plantear situaciones para practicar sumas o

restas sin necesidad de utilizar el algoritmo convencional.

Trabajando la equivalencia y el orden entre las fracciones,

detenidamente, se logra evitar a los alumnos dificultades

para inferir los resultados de las sumas o restas.

Los trozos de folios resultan útiles para sumar o restar

fracciones intuitivamente, puesto que, por ejemplo, 1/4 +

2/4 es tomar 3 pedazos de papel de un cuarto de folio, es

decir 3/4 de folio. Lo mismo sucede con la multiplicaión y

con la división de una fracción por un natural –basta

recordar que no son más que la suma del mismo sumando, y

el reparto por igual, respectivamente. Para operar con

fracciones con otros denominadores el alumno puede

ayudarse de la tabla de fracciones equivalentes que se

adjunta (Anexo II).

Con ayuda de materiales manipulativos el error frecuente de

sumar fracciones como si fueran números naturales (es

decir, resultando en el numerador la suma de los

numeradores y en el denominador, la de los denominadores)

se logra evitar o disminuir.

Además, para que comprendan el significado de las

Fig. 3: Representación del conjunto de los números racionales


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fracciones empleadas, es importante asociarlas a unidades

de medida -por ejemplo, 1/4 de hora, 1/2 metro, 3/4 de

litro-, y no trabajar con fracciones en abstracto.

En el transcurso de la escolaridad las situaciones de

reparto, de medición y de relación que involucran el uso de

las fracciones van haciéndose más complejas, para que que

los procedimientos iniciales empleados por los alumnos

evolucionen.

La introducción de los formalismos para operar con

fracciones debe esperar a que los métodos intuitivos estén

consolidados.

Suma de números racionales

Hemos visto que los números racionales son fracciones y éstas

representan partes de un total. Pensando de este modo, la suma y la resta son sencillas. Se pueden presentar dos situaciones:

Si son fracciones con el mismo denominador (el que indica el tamaño de la partición) sólo tenemos que sumar (o restar) los

numeradores (los que indican las partes que usamos).

Si son fracciones con denominadores distintos, previamente las

sustituimos por fracciones equivalentes con el mismo denominador,

y después sumamos (o restamos) los numeradores. Suele utilizarse como denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores

–que a menudo coincide con su producto–; así el resultado queda más simplificado.

Ejemplos

Volvamos al ejemplo de las tabletas de chocolate:

De una tableta se separa un trozo de 3 cuadraditos y quedan 9 sin

repartir. Entonces, entre lo repartido y el resto teníamos una tableta entera (la unidad), y lo podemos expresar con varias sumas, usando las equivalencias ya vistas. La Fig. 4 lo muestra.


18

Fig. 4: Ilustración de la suma de fracciones con tabletas de chocolate

También resulta que si de una tableta quitamos uno de esos trozos de 3 cuadraditos quedan 9. Lo podemos expresar de varias

maneras, como con esta resta:

A continuación daremos una definición más rigurosa de la suma de números racionales, sus propiedades y el caso particular de la resta.

Definición La adición o suma de números racionales es la

operación:

Ejemplos:

1. En el supermercado José compra ¾ kg de carne molida, un trozo de

queso que pesa medio kg y ¼ kg de arroz. ¿Cuánto peso lleva en total?

Observamos que dos fracciones tienen el 4 como denominador. Por tanto si sustituimos 1/2 por la fracción equivalente 2/4, la suma de las tres

fracciones es sencilla:

Da 3/2 kg , o sea, 1 kg y medio.

2

3

4

6

4

1

4

2

4

3

4

1

2

1

4

3


19

2. En la suma el m.c.m. (3, 5) = 15 que coincide con 5·3,

porque se trata de dos números primos.

15

26

15

206

35

5432

3

4

5

2

3. Veamos un ejemplo en el que el mínimo común múltiplo de los

denominadores no es igual a su multiplicación:

m.c.m.(10, 6) = 30

Sustituimos cada sumando por la fracción equivalente con denominador

30, para después sumar resulta:

15

14

30

28

30

253

30

25

30

3

6

5

10

1

Aplicando la definición de la suma se llega a un resultado equivalente,

15

14

30

28

60

56

60

506

610

51061

6

5

10

1

El caso particular de que todos los sumandos sean iguales, evidentemente, se trata de una multiplicación de un número natural

por una fracción – el sumando –.

Ejemplo

Este es un ejemplo cotidiano y fácil para que el alumno se dé cuenta de que multiplicar un natural por una fracción es tener varias veces esa fracción.

La cantidad de agua, expresada como fracción y como decimal, que contienen

tres botellas de 21 litro cada una, es:

6

5

10

1

3

4

5

2


20

Tres veces un medio son tres medios litros, es decir, un litro y medio.

La suma de números racionales verifica las siguientes propiedades.

Propiedades:

a) Asociativa:

b) Elemento neutro: es el neutro y se denota por 0

c) Elemento simétrico u opuesto: dado un número racional se

define su simétrico u opuesto, y se denota por , como el

número racional

d) Conmutativa:

Veamos con ejemplos que se cumplen estas propiedades de la suma.

Ejemplos

a) Asociativa: se pueden agrupar los sumandos, efectuar la suma

parcialmente y el resultado final es siempre el mismo.

30

67

30

5215

15·2

2·26151

15

26

2

1

35

5432

2

1

3

4

5

2

2

1


21

30

67

30

4027

3·10

10·439

3

4

10

9

3

4

5·2

2·251

3

4

5

2

2

1

b) Elemento neutro: la suma de un racional y el neutro da el mismo racional.

4

7

4

07

14

4017

1

0

4

7

c) Elemento opuesto: la suma de un racional y su opuesto da 0 (el neutro).

049

0

49

5656

77

7)8(78

7

8

7

8

7

8

7

8

d) Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma.

60

53

60

10855

512

12)9(511

5

9

12

11

60

53

60

55108

125

511129

12

11

5

9

Como ocurre con los números enteros, restar es no es más que sumar el

primer número con el opuesto del segundo.

Definición La sustracción, resta o diferencia de dos números

racionales se realiza sumando al primero el opuesto del segundo.

La resta de números racionales no es conmutativa.

Ejemplo


22

Multiplicación de números racionales

Definición La multiplicación o producto de números racionales

tiene como resultado otro número racional cuyo numerador es la multiplicación de los numeradores y cuyo denominador

es la multiplicación de los denominadores.

Ejemplo

Multiplicar fracciones es fraccionar una fracción, veámoslo interpretándolo

geométricamente.

Ejemplo

Vamos a deducir el valor de la multiplicación dándole un significado

geométrico, como vemos en el dibujo (Fig. 5).

En un rectángulo R señalamos sus tres cuartas partes (zona naranja). A continuación, en la zona resultante señalamos las cuatro quintas partes (zona

verde). Esta última zona obtenida, la verde, es un rectángulo cuya base mide

de la base de R, y cuya altura mide de la altura de R, por lo tanto su área

medirá del área de R:

área verde = base x altura =

Además observamos que el rectángulo cuya área hemos hallado, el verde, está

dividido en 12 celdas iguales, y el rectángulo R, en 20. Por tanto, hemos señalado 12 celdas de un total de 20, es decir:

área verde =

Entonces, llegamos a que:


23

Fig. 5: Interpretación gráfica del producto de fracciones

Manipulación

La multiplicación de fracciones, tal y como se demuestra en el

ejemplo anterior, puede realizarse también doblando y partiendo

hojas de papel.

La idea que se transmite es que el producto de fracciones es hacer

una partición de una partición (así, no resulta extraño que el

resultado pueda ser menor que alguno de los factores).

La multiplicación de números racionales verifica las siguientes

propiedades.

Propiedades:

a) Asociativa:

b) Elemento neutro: es el neutro o unidad y se denota por 1


24

c) Elemento inverso: dado un número racional b

a distinto de 0, se

define su inverso, y se denota por

1

b

a , como el número

racional

a

b

b

a

1

resultando que 1 .

. . .

1

ab

ba

a

b

b

a

b

a

b

a

d) Conmutativa:

e) Distributiva con respecto a la suma:

Veamos con ejemplos que se cumplen estas propiedades del producto.

Ejemplos

a) Asociativa: se pueden agrupar los factores, efectuar la multiplicación

parcialmente y el resultado final es siempre el mismo.

b) Elemento unidad: el producto de un racional y la unidad da el mismo

racional.


25

c) Elemento inverso: el producto de un racional no nulo y su inverso da 1.

121

21

3 . 7

7 . 3

3

7.

7

3

7

3 .

7

31

d) Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

e) Distributiva con respecto a la suma:

son el mismo número racional puesto que son fracciones

equivalentes

Con frecuencia se utiliza la fracción como un operador para hallar tantas partes de cierta cantidad: la mitad de 150$ , un cuarto de un queso

de 2 kg, la quinta parte de una clase de 35 alumnos, etc. El cálculo se efectúa multiplicando el numerador de la fracción por la cantidad y

dividiendo el resultado por el denominador, o en orden contrario.

Simplemente se trata del producto de la fracción por la fracción .

Ejemplo

En un jarrón, los 3/4 de sus 28 flores son blancas. Es decir, 21 flores son de color blanco.


26

Realmente se pueden tener flores –o simularlas con lápices o palillos –,

agruparlas por igual y contar las que hay en 3 de esos grupitos.

O también:

Definición La división o cociente de un número racional entre otro distinto de 0, se define como la multiplicación del primero por

el inverso del segundo.

Invertir algo es darle la vuelta, por eso para obtener la fracción inversa a una dada cambiamos el numerador por el denominador.

La división de números racionales no es conmutativa.

Ejemplo

Al cambiar el orden el resultado no es el mismo, por tanto la división no cumple la propiedad conmutativa:

Proposición Dados dos números racionales, y , con no nulo, la

ecuación siempre admite solución única en el

conjunto de los números racionales.


27

El problema existente en con este tipo de ecuaciones queda solventado

en .

5. Ordenación y representación

El conjunto de los números racionales está ordenado.

Definición Un número racional es racional positivo si el producto de su numerador y denominador es un entero positivo.

Un número racional es racional negativo si el producto de

su numerador y denominador es un entero negativo.

es racional positivo :

es racional negativo:

Ejemplos

1. Los números racionales son positivos, pues:

Los números racionales son negativos, pues:

2. El número racional puede representarse también por

, entre otros. Todos estos representantes son

racionales positivos, al igual que el canónico , ya que:

De la misma manera, se demuestra que un número racional negativo se

representa siempre mediante racionales negativos.


28

El orden entre los números racionales se define de la forma siguiente:

Definición

Un número racional es menor o igual que otro si la

diferencia del segundo menos el primero es un racional positivo.

Ordenación de los racionales.

Las definiciones anteriores no deben emplearse en el aula salvo

para cursos superiores. Captar la ordenación de los racionales a

nivel intuitivo –con actividades como la de los folios o con la ayuda

de la tabla de fracciones equivalentes- es más conveniente que la

introducción prematura de cualquier algoritmo para comparar

fracciones.

Ejemplo

El número racional es menor o igual que , pues:

Esta definición establece la igualdad entre dos números racionales. Recordemos que un número racional es el conjunto de todas las fracciones

equivalentes entre sí, y cada una de ellas representa a éste; por lo tanto,

podemos tener dos expresiones fraccionarias distintas, ,

representantes del mismo número real –porque son equivalentes, es decir

-. Así, podemos decir que tomando dos racionales,

Todos los números racionales son comparables, es decir, si tenemos dos

racionales cualesquiera, siempre uno es menor o igual que el otro.


29

Otra importante propiedad que se da en el conjunto de los números racionales es denso:

Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.

Nos damos cuenta en seguida de que eso es cierto, si pensamos en los números en forma decimal.

Ejemplo

Entre los números racionales hay infinitos racionales, como por ejemplo

o o , etc.

Efectivamente,

Como consecuencia de esta propiedad de no tiene sentido hablar del

racional siguiente o anterior a uno dado. Esto, evidentemente, no ocurría

ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros .

Representación lineal de

Al igual que los números naturales y los enteros, los racionales pueden representarse de forma lineal, es decir, como puntos de una recta. Para

ello se toma una recta cualquiera y en un punto cualquiera se fija el cero. Por convenio, a la derecha del 0 se marca el 1; ese es el segmento unidad

y sobre esa recta ya puede ser representado cualquier número racional, es decir, a cada número racional le corresponde un punto único de la recta

(Fig. 6).

Fig.6:Representación en la recta de los números racionales


30

En la recta numérica apreciamos con claridad las nociones del signo y del

orden en :

Todo número racional es positivo si está a la derecha del cero.

Todo número racional es menor que los que están a su derecha.

Medir

Los problemas contextualizados en situaciones de medición de

longitudes, así como el uso de reglas, cintas métricas, tiras de

papel o cordones, contribuye a la comprensión de la recta

numérica. Además, se recomienda hacer uso tanto de la forma

fraccionaria como de la expresión decimal para situar números

racionales en la recta.

Ejemplos

1. El número 3/4 en la recta será un punto

comprendido entre 0 y 1, puesto que es una fracción propia. Para dibujarlo dividimos el

segmento unidad en cuatro partes y tomamos 3,

contando desde el 0 (Fig. 7 ).

Además vemos que 3/4 está a la izquierda de 1 y, por tanto, es menor que 1.

Fig.7 Representación de 3/4

2. El número 8/5 en la recta es

un punto comprendido entre 1 y 2, puesto que es una

fracción impropia que se descompone en suma de 1

más la fracción propia 3/5. Así, para representar 8/5 debemos dividir el segmento

[1,2] en 5 partes y tomar 3,

contando desde el 1 (Fig.8).

Fig. 8 : Representación de 8/5

El carácter denso del conjunto de los números racionales nos permite

representar un conjunto infinito de números racionales entre dos cualesquiera.


31

Sin embargo, a pesar de que a cada número racional le corresponde un punto de la recta, éstos no la completan, esto es, en la recta también hay

infinitos puntos a los que no corresponde ningún número racional.

6. Potencias de exponente entero

En el conjunto de números racionales también se definen otras

operaciones, heredadas de las definidas con naturales y enteros.

La potenciación en no es más que la extensión lógica de la potenciación

en y . Se amplía la definición de potencia quedando la siguiente:

Definición Una potencia de exponente natural es el resultado de multiplicar un número por sí mismo tantas veces como

indique el exponente. El número que multiplicamos se llama base.

Ejemplo

Definición Una potencia de exponente entero negativo es el inverso

de la potencia formada por la misma base y que tiene de

exponente el opuesto al exponente dado. Simbólicamente:

Ejemplo

Sea , entonces y el número racional inverso a es

. Es decir:


32

En el caso particular de los números fraccionarios, las definiciones

anteriores pueden expresarse de una manera más práctica:

Proposición La potencia de base fraccionaria y exponente entero

es igual a:

Demostración

Veamos primero cuando el exponente es positivo:

Hemos aplicado la definición de potencia con base ,

después la de producto de números racionales, y de nuevo

la de potencia con bases los enteros y .

El otro apartado, el de exponente negativo es cierto

porque:

n

b

a

por definición, es el inverso de (dejamos la base y

cambiamos el exponente por su opuesto, que es positivo).

Según acabamos de demostrar , por lo tanto el

número racional inverso a éste es


33

Ejemplos

Los ejemplos anteriores suelen calcularse en la práctica según lo propuesto

sobre estas líneas:

Por supuesto, como ocurre con los números enteros, si el exponente es 0

el valor de la potencia es 1.

Para comprobarlo basta emplear los resultados anteriores y los ya

conocidos de :

Basándonos en la proposición y en las propiedades que tienen las potencias de números enteros, podemos demostrar que las potencias de

números racionales también las verifican. Utilizando la notación fraccionaria, las recordamos.

Propiedades:

a) El producto de potencias de la misma base es otra potencia de

la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes dados.

b) El cociente de potencias de la misma base es otra potencia de

la misma base cuyo exponente es la resta del exponente del dividendo menos el del divisor.

c) La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y

cuyo exponente es el producto de los exponentes.


34

d) El producto de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las

bases.

e) El cociente de potencias con el mismo exponente es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las

bases.

Ejemplos

a) Multiplicamos potencias de igual base manteniendo la base y sumando los

exponentes.

b) Dividimos potencias de igual base manteniendo la base y restando los

exponentes.

c) La potencia de una potencia se hace manteniendo la base y multiplicando

los exponentes.

d) Si en el producto de potencias lo que coincide es el exponente, se

mantiene y se multiplican las bases.

e) Si en el cociente de potencias lo que coincide es el exponente, se

mantiene y se dividen las bases.


35

Así como la necesidad de extender el conjunto de los números enteros al de los racionales surgió porque un determinado tipo de ecuaciones no

siempre era resoluble en , presenta un nuevo problema:

Dados un número racional y un número natural , la solución de

la ecuación no es siempre un número racional.

Esto llevará a la construcción del conjunto de los números reales, , que

además de los racionales incluye los números irracionales –es decir, no racionales–, que no pueden escribirse en forma de fracción.

Bibliografía y enlaces:

Arias, F. (2001). Representación gráfica de los números: Números

fraccionarios. Descartes 2D. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Representacion_

en_la_recta/Numeros2.htm

Barbero, A. (1999) Los números reales. Invitación a las Matemáticas.

Cabezón, M. A. (2004). Números reales. Aproximaciones. Descartes 3D.

http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros1.htm

Núñez, A. (2001). Fracciones, decimales y porcentajes. Descartes 2D. http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Fracciones_decimale

s_porcentajes/

V.V.A.A. (2002). Libro para el maestro. Mi ayudante.

http://miayudante.upn.mx/docint/DILM5.html


V.V.A.A. Fracciones. (2007). Aula Matemática Digital.

http://www.aulamatematica.com/ESO2/P_2ESO.htm#02

V.V.A.A. Número racional. Wikipedia.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

http://www.ite.educacion.es/w3/recursos/primaria/matematicas/fracciones/menu.html

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Representacion_en_la_recta/Numeros2.htm

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http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Fracciones_decimales_porcentajes/

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http://www.aulamatematica.com/ESO2/P_2ESO.htm#02

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional




36

ANEXO 1

Fracciones de colores

Cada folio es una unidad y vamos a dividirlo en partes iguales según de qué color sea.

Escribiremos en cada trozo la fracción correspondiente.

Los folios verdes los partimos en dos, hacemos

medios:

Los folios amarillos los partimos en cuatro, hacemos

cuartos:

Los folios azules los partiremos en ocho, hacemos

octavos:

El folio rosa lo partiremos en dieciséis, hacemos

dieciseisavos:

Dobla y parte los folios verdes por la mitad,

escribiendo en cada trozo la fracción correspondiente, en este caso ½. Continúa el

Material necesario para

cada alumno:

2 folios verdes

2 folios amarillos

2 folios azules

1 folio rosado.


37

proceso, dividiendo los dos folios amarillos en cuatro partes iguales, los azules en ocho y el rosado en dieciséis partes iguales. Escribe en cada

pedazo la fracción de folio que representa.

1. Comparando los trozos que has obtenido, responde a las siguientes

preguntas:

¿Qué fracción es mayor: 2

1 ó 4

1 ? Completa:

¿Qué fracción es mayor: 2

1 ó 8

3 ? Completa:

¿Qué fracción es menor: 4

2 ó

16

9? Completa:

¿Qué fracción es menor: 8

5 ó 16

5? Completa:

2. Elige dos fracciones distintas a las anteriores mostrándolas con los trozos

de folio adecuados. Observa en cada caso la superficie de papel que

abarcan para poder ordenar las fracciones de mayor a menor.

Del mismo modo, escoge otras dos fracciones y ordénalas de menor a

mayor.

3. Separa un pedazo de cada color, colócalos por su tamaño y escribe las

fracciones ordenadas de menor a mayor.

Repite el ejercicio ahora con dos pedazos de cada color, después con tres y con cuatro.

Fijándote en lo que has escrito, ordena las series de fracciones:

a) 24

1,

12

1,

6

1,

3

1

b) 1000

3,

100

3,

10

3

c) 7

1,

6

1,

5

1,

4

1,

3

1,

2

1


38

Redacta la conclusión a la que hayas llegado sobre el orden de las fracciones de igual numerador.

¿Qué ocurre si comparas varios agrupamientos de trozos del mismo color? Redacta la norma sobre el orden de las fracciones de igual denominador.

4. Coloca el signo < , > , = entre cada par de las siguientes fracciones

según convenga:

a) 8

3

4

2 b)

8

5

2

1 c)

2

1

16

5

d) 8

4

16

8 e)

8

3

4

3 f)

16

5

4

1

5. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones, ayudándote de los

pedazos de folio:

8

5

16

1

16

4

8

3

2

1

4

3

6. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones, ayudándote de los

pedazos de folio:

8

7

16

5

8

3

4

5

2

3

7. ¿Cómo son las fracciones 4

2,

2

1? ¿Y

8

4,

2

1? ¿Y

16

8,

2

1?

Las fracciones 16

8,

8

4,

4

2,

2

1 se llaman _______________ .

Se escribe

Observa los numeradores: 1, 2. 4, 8.

Partiendo del 1, ¿cómo consigues el 2?



Observa los denominadores: 2. 4, 8, 16.




Reflexiona sobre los apartados anteriores y escribe una regla para obtener fracciones equivalentes.


39

Anexo II: Tabla de fracciones equivalentes

1

2

1 2

1

3

1 3

1 3

1

4

1 4

1 4

1 4

1

5

1 5

1 5

1 5

1 5

1

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1

7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1

8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1

9

1 9

1 9

1 9

1 9

1 9

1 9

1 9

1 9

1

10

1 10

1 10

1 10

1 10

1 10

1 10

1 10

1 10

1 10

1

12

1 12

1 12

1 12

1 12

1 12

1 12

1 12

1 12

1 12

1 12

1 12

1

13

1 13

1 13

1 13

1 13

1 13

1 13

1 13

1 13

1 13

1 13

1 13

1 13

1

14

1 14

1 14

1 14

1 14

1 14

1 14

1 14

1 14

1 14

1 14

1 14

1 14

1 14

1

Tema3 Numeros Racionales

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