2 Guia 01 Semestre 1 Numeros Racionales

Profesor: Erwin Coronado C. Sector: Matemática Puerto Montt Curso: 1° Medio

1

Guía de ejercicios N°1, Primer Semestre

Tema: El conjunto de los números racionales y su representación

fraccionaria. (Primera Parte)

En esta guía se definirá un número racional, identificando su representación

fraccionaria y su representación decimal. EL trabajo en esta guía se centrará en

la representación fraccionaria, donde, además de reconocer la pertenencia de un

número a este conjunto, se retomará el trabajo realizado en cursos anteriores

como identificar los tipos de fracciones, amplificar y simplificar una fracción,

ordenar fracciones, ubicar en la recta numérica y operar fracciones.

El conjunto de los números racionales

Debes saber que:

Los números racionales o fracciones aparecieron muy pronto en la historia de las matemáticas.

Como la gran mayoría de los conceptos matemáticos, su descubrimiento fue debido a la necesidad

de resolver un problema. Los antiguos necesitaban medir longitudes, áreas, tiempo, pesos y todo

otro tipo de medidas. Al enfrentarse a esto en la vida cotidiana, pronto descubrieron que no era

suficiente poder contar con los números naturales para hacerlo de manera exacta, ya que estas

medidas eran susceptibles de divisiones más pequeñas que la unidad, o divisiones mayores que la

misma pero que no eran números naturales, por lo que fue necesario ampliar el concepto de número

natural. Así surgieron los números racionales.

Las fracciones aparecen ya en los primeros textos matemáticos de los que hay constancia, quizás

uno de los más antiguos y más importantes sea el Papiro Rhind de Egipto, escrito hacia el 1.650

a.C. y que pasa por ser la mayor fuente de conocimiento de la matemática egipcia.

En Occidente tuvieron que pasar muchos siglos hasta que los musulmanes introdujeron su sistema

de numeración, conocido como indoarábigo. Este paso fue clave para la comprensión y el estudio

de los números racionales en la vieja Europa.

Sin embargo, no fue hasta el S. XIII cuando Leonardo de Pisa, más conocido por su apodo

Fibonacci, introdujo el concepto de números quebrados o números “ruptus”, empleando además la

raya para separar el numerador del denominador.

Fuente: Francisco Luis Flores Gil – Historia y Didáctica de los Números Racionales e Irracionales.

Desde la antigüedad, se generaron situaciones en que los números naturales, y tampoco los números

enteros eran suficientes para dar solución a estas situaciones. Por ejemplo, si tienes la expresión

2 3 4,x el valor que da solución a esta ecuación, no pertenece a los números enteros, en efecto,

1.

2x En general, diremos que los números enteros dan solución a ecuaciones de la forma 0,ax b


2

solo cuando el entero b es múltiplo del entero a . Por lo tanto, surge la necesidad de incorporar un

nuevo conjunto de números que permita siempre dar solución a este tipo de ecuaciones. Este conjunto

es el conjunto de los racionales, que se simboliza por , y se define como

/ , , 0p

p q qq

Esto indica que este conjunto está compuesto por todos los números que tienen la forma p

q, es decir,

una fracción, donde los valores p y q deben ser enteros y el valor q no puede ser cero.

Ejemplo

7

9 , en efecto, 7 , 9 y 9 0 , por lo tanto, cumple la condición.

Conclusión

Todo entero a ( a ) es un número racional. En efecto 11

aa a , es decir a

( , 1a y 1 0 , luego se cumple la condición para ser un racional)

Recuerda que:

En la fracción p

q, se identifica a p como el numerador y a q como el denominador

El numerador es el número de partes que se considera de la unidad o total.

El denominador es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad o total.

Un número racional tiene una representación fraccionaria y una representación decimal

Expresión Decimal

Expresión Fraccionaria

pp q

q


3

Ejercicios

1. Indique con el símbolo o , según corresponda

a. 3

5

e. 0

15

i. 2

2

b. 6

13

f.

5

0 j.

19

0

c. 25

106

g. 6

k.

6.254

896.254.125

d. 6

64

h.

125

1.254.689

l. 0

Según la relación que exista entre el numerador y el denominador, se pueden distinguir los siguientes

tipos de fracciones:

a. Fracción igual a la unidad: El numerador es igual al denominador. Por ejemplo 3

3 ;

5

5 ;

23

23

b. Fracción propia: El numerador es menor que el denominador. Por ejemplo, 3

7;

1

4;

12

13

c. Fracción impropia: El numerador es mayor que el denominador. Por ejemplo, 5

2;

10

7;

12

11

Observación:

1. Una fracción compuesta se llama cuando en el numerador o en el denominador o en ambos se

presenta a su vez una fracción. Por ejemplo

15

32103

85

es una fracción compuesta.


4

Ejercicios

1. Clasifique las siguientes fracciones en propias, impropias, mixtas o compuestas.

a. 3

4 e.

325

42 i.

5

542

b. 8

5 f.

7.825

25.631 j.

10

13

c. 24

35 g.

510

19 k.

564

23

d. 2

53

h.

11

51

37

28

l.

1

34

11

8

Observación:

1. Una fracción impropia se puede escribir como un número entero, si el numerador es múltiplo

del denominador, o bien como número mixto, que se forma con un número entero y una

fracción propia. Por ejemplo

De fracción impropia a fracción mixta

Para realizar esto, debemos dividir el numerador por el denominador y el cuociente será la parte entera

de la fracción mixta y el resto de la división corresponderá al numerador de la fracción propia

manteniéndose el denominador de la fracción impropia.

Por ejemplo transformar la fracción impropia 17

4 a fracción mixta.

Solución

17 4 4

16

1

Luego

17 14

4 4

Denominador

Cuociente

Resto


5

De fracción mixta a fracción impropia

En general, dada la fracción mixta bc

a , para obtener la fracción impropia correspondiente, se procede

como sigue:

bc

a c ba

c

Ejercicios

1. Transforme las siguientes fracciones impropias en mixtas

a. 13

6 b.

45

8 c.

63

2

d.

145

13 e.

79

13

2. Transforme las siguientes fracciones mixtas en fracciones impropias

a. 2

53

b. 2

79

c. 12

113

d. 1

823

e. 11

1313

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo valor, pero se escriben de

forma distinta. Si a

b es equivalente con la fracción

c

d , entonces se escribe

a c

b d

Es importante que tengas en cuenta que

a ca d b c

b d

Es decir, si quieres determinar si dos fracciones son equivalentes los resultados de las multiplicaciones

de los valores arriba indicados deben ser iguales.

Tres conceptos de mucha utilidad son

1. Amplificación

Amplificar una fracción significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo

número obteniendo una nueva fracción equivalente a la inicial. Es decir a a c ac

b b c bc


6

2. Simplificación

Simplificar una fracción significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo

número, obteniendo una nueva fracción equivalente a la inicial. Es decir a a c

b b c

3. Fracción irreductible

Una fracción es irreductible cuando ya no la puedes simplificar más.

Ejemplo

Obtengamos la fracción irreductible correspondiente a la fracción 27

36

Solución.

27 27 9 3

36 36 9 4

Es decir, la fracción 3

4 es la fracción irreductible, ya que no se puede simplificar más.

Ejercicios

1. Utiliza los símbolos o , para indicar si los siguientes pares de fracciones son

equivalentes o no.

a. 1 7

6 42

d.

21 7

14 2 g.

7 4

6 3

b. 2 5

8 12

e. 11 2

12 3

h. 20 40

25 50

c. 9 3

15 5

f. 16 4

24 6

i.

153 35

21 4

2. Amplifica las siguientes fracciones según el valor indicado y comprueba que la fracción

resultante es equivalente a la fracción inicial.

a. 9

2 por 3 c.

9

8 por 10 e.

9

2 por 8

b. 5

12 por 2 d.

11

24 por 4 f.

15

25 por 18


7

3. Simplifica las siguientes fracciones según el valor indicado y comprueba que la fracción

resultante es equivalente a la fracción inicial.

a. 21

15 por 3 c.

90

70 por 10 e.

125

85 por 5

b. 18

24 por 2 d.

48

16 por 4 f.

121

55 por 11

4. Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener una fracción irreductible.

a. 12

14 c.

39

30 e.

50

75

b. 48

96 d.

100

1000 f.

45

60

Orden en las fracciones

El conjunto de los números racionales es ordenado. Dados dos racionales a

b y

c

d, puede ocurrir que:

A. a c

b d , en este caso se cumple que

a ca d b c

b d

Recuerda que cuando más arriba las identificamos como fracciones equivalentes

B. a c

b d en este caso se cumple que

a ca d b c

b d

Ejemplo.

Determine la relación entre las fracciones 2

5 y

3

7

Solución

Multiplicando cruzado, obtenemos 2 7 14

5 3 15

y 14 15 entonces

2 3

5 7


8

C. a c

b d en este caso se cumple que

a ca d b c

b d

Ejemplo

Determinar la relación entre la fracciones 4

9 y

5

12

Solución

Multiplicando cruzado, obtenemos que 4 12 48

9 5 45

y 48 45 entonces

4 5

9 12

Ejercicios

1. Indica con los símbolos , o , la relación entre los siguientes pares de fracciones.

a. 6 2

8 3

d. 11 33

8 24

g. 1 4

8 33

b. 5 20

8 32

e. 10 2

15 3

h. 20 3

30 2

c. 5 4

8 3

f. 12 3

15 4

i.

16 64

32 128

2. Ordena de menor a mayor los siguientes grupo de fracciones.

a. 2

5,

2

6,

5

6,

3

5 b.

3

4,

1

2,

5

3,

3

5

,

0

5

3. Ordena de mayor a menor los siguientes grupo de fracciones.

a. 5

8

,

10

7

,

0

5,

1

5 b.

7

4,

3

2,

4

7,

9

5,

29

28

Ubicación en la recta numérica.

El conjunto de los racionales al ser ordenado nos permite ubicarlos en la recta numérica. Para ello

ubiquemos por ejemplo el racional 3

5 en la recta utilizando el siguiente método:

1. Se marca en una recta el 0 y la unidad.


9

2. Se dibuja una recta perpendicular a la recta anterior, que pase por 0 y se marcan cinco puntos

a igual distancia.

3. Se dibuja un segmento desde el quinto punto hasta la unidad. Se traza un segmento paralelo

respecto al segmento dibujado que pase por el cuarto punto.

4. Se dibujan los otros segmentos paralelos en los puntos restantes. Los puntos de intersección

entre los segmentos dibujados y el segmento unidad son 1

5,

2

5 ,

3

5 y

4

5.

Ejercicios

1. Ubica en la recta numérica las siguientes fracciones.

a. 7

3 d.

1

2 g.

8

10

b. 4

8 e.

5

9

h.

6

8

c. 2

5 f.

3

4 i.

1

6

En una misma recta ubica las fracciones de los ejercicios b. y d. y en otra los ejercicios f. y h.

¿Qué puedes concluir?


10

Los números racionales y las operaciones.

Los números racionales se pueden operar en forma usual, es decir, los números racionales se pueden

sumar, restar, multiplicar y dividir.

Una propiedad importante que cumplen los números racionales con estas operaciones es que sin

importar la operación que se aplique, el resultado obtenido siempre será un número racional. A esta

propiedad se le conoce como cerradura, y por lo tanto se dice que el conjunto de los números racionales

es cerrado con respecto a estas operaciones.

I. Suma

La relación fundamental en la suma de fracciones es que:

a c a c

b b b

(* )

Es decir, cuando se tienen dos fracciones de igual denominador, se conserva el denominador y se

suman los numeradores.

Entonces cuando se tienen fracciones con distinto denominador, podemos utilizar lo anterior junto

con la amplificación y obtener el siguiente resultado al sumar dos fracciones:

Amplificando para igualar denominadoresa c ad bc

b d bd bd

luego

Aplicando la relación fundamental en la sumaad bc ad bd

bd bd bd

(*)

Es decir a c ad bc

b d bd

Ejemplo

Obtener el resultado de 5 3

7 8

5 3 5 8 3 7 40 21

+ Amplificando cada fracción para igualar denominadores7 8 7 8 8 7 56 56

luego

5 3 40 21 61

Aplicando la relación fundamental en la suma7 8 56 56


11

Otro método es identificar el mínimo común múltiplo entre los denominadores y realizar la

amplificación según este m.c.m. Para obtener este m.c.m. se utiliza la descomposición prima.

Ejemplo

Sumar:5 3 1

6 8 4

Obtengamos el m.c.m.(4,6,8)

4 6 8 2

2 3 4 2 luego el . . .(4,6,8) 2 2 2 3 24mc m

1 3 2 2

1 3 1 3

1 1 1 24

Luego, se tiene 5 3 1 20 9 6 20 9 6 35 11

16 8 4 24 24 24 24 24 24

Ejercicios

1. Determinar el resultado de las siguientes sumas de fracciones utilizando la definición general.

Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

(Si el resultado es negativo, ten en cuenta que a a a

b b b

)

a. 5 3

6 6 e.

3 2

5 6 i.

2 5 1

3 8 2

b. 4 2 1

5 6 3

f.

13

2 j.

2 13 2

5 2

c. 2

57

g. 4 1 2 1

5 2 5 10

k. 4 3

5 8

d. 8 1 5

49 4 3

h.

48

5 l.

5 8 3 7

4 5 2 6

Cuando sumas un entero con una fracción, como en los ejercicios c., f. y h. ¿Qué puedes concluir

respecto del tipo de fracción que se obtiene?


12

2. Determina el resultado de las siguientes sumas de fracciones utilizando el mínimo común

denominador. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según

corresponda.

a. 4 3

14 7 e.

5 2

8 6

i.

1 6 1

6 12 18

b. 10 1 1

3 6 3

f.

8 58

21 7

j.

3 1 11

8 12 6

c. 1 4 1

5 3 2 g.

2 1 1 2

3 9 4 12

k.

3 3 3

8 4 8

d. 5 4 1

9 3 12

h.

1 1 52

5 5 6

l. 2 1 5 4

5 10 12 6

II. Resta

En la resta la relación fundamental solo varía en el signo:

a c a c

b b b

(* )

De igual forma, respecto de fracciones con distinto denominador, solo varía el signo, quedando la

definición para la resta de fracciones como:

Amplificando para igualar denominadoresa c ad bc

b d bd bd

luego

Aplicando la relación fundamental en la restaa c ad bd

b d bd

(*)

Ejemplo

Por ejemplo, obtener el resultado de 2 1

5 6

2 1 2 6 1 5 12 5

Amplificando cada fracción para igualar denominadores5 6 5 6 6 5 30 30

luego

12 5 12 5 7

Aplicando la relación fundamental en la resta30 30 30 30


13

Ejercicios

1. Determinar el resultado de las siguientes restas de fracciones utilizando la definición general.

Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

(Si el resultado es negativo, recuerda que a a a

b b b

)

a. 4 1

5 6 e.

16 12

7 6 i.

3 9 51

7 2 14

b. 5 8 1

4 3 3 f.

3 15

4 2 j.

1 7 7

6 12 4

c. 4 8 3

5 50 2 g.

4 1 2

5 10 5

k. 8 6 10 8

3 9 15 6

d. 3 11 5

7 42 84

h.

9 54

4 36 l.

9 1 3 7

4 3 24 12

2. Determina el resultado de las siguientes restas de fracciones utilizando el mínimo común

denominador. Exprese el resultado como fracción irreductible o como fracción mixta, según

corresponda.

a. 3 5

10 10 e.

3 12

5 6

i.

2 6 1

4 8 6

b. 9 1 5

12 8 3

f.

5 16

6 4

j. 3 2

414 7

c. 1 3 5

36 4 8

g.

2 5 2 5

5 6 5 30

k. 3 1 7 1

8 6 24 12

d. 1 3 1 7

4 5 40 8

h. 1 6 1 4

62 4 2 5

3. Determinar el valor de los siguientes ejercicios combinados de sumas y restas. Utiliza el

método que más te acomode y expresa el resultado como fracción mixta en caso que

corresponda.

a. 5 3 1 2

4 4 4 4

e.

5 3 1

4 4 4

b. 1 2 5

16 8 12

f. 4 2

5 1025 50


14

c. 25 5 6

24 12 5

g.

25 5 9 1

24 12 6 12

d. 5 8 15 4

560 60 30 15

h.

1 2 1 5 52

13 13 2 26 2

III. Multiplicación

Para multiplicar dos fracciones se opera como sigue:

a c a c ac

b d b d bd

Ejemplo

Obtener el resultado de 3 5

4 8

se tiene

3 53 5 15

4 8 4 8 32

Una observación importante en la operación multiplicación es considerar la simplificación antes de

operar. Por ejemplo, si se tiene

. =a c b e d a d acbedad a a

b d c d a d e bdcdade

b c d d e

a b c d d d e = Ordenando y Simplificando

a

d Conviene realizar

a

b

c

d

b

c

e

d

d

a

a .

d

d e Simplificando antes de operar

a

d

Ejemplo

Multipliquemos las fracciones 5 3 5 7 4 3 2

.6 4 3 8 5 7 3

5 3

6

4

7

3

9 4

8

5

3

7

5.

3

9 5 3 3

6 8

5

2 3

15 Descomponiendo en factores primos

168


15

Ejercicios

1. Determinar el resultado de las siguientes multiplicaciones de fracciones. Exprese el resultado

como fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda. (Recuerda que

1

aa )

a. 1 8

5 6 d.

6 6

12 8

g.

4 3 1

7 4 2

b. 8 3 1

5 12 4

e.

1 128

4 13

h.

5 7 1

4 12 5

c. 20 8 3

3 10 5 f.

3 1 5

4 6 8

i.

1 2 1 30 81

3 9 15 6 9

2. Determina el resultado de los siguientes ejercicios combinados. Exprese el resultado como

fracción propia irreductible o como fracción mixta, según corresponda.

a. 4 3 6

5 4 8

d.

5 3 7 1

4 5 6 2

g.

7 1 2 3 2

3 4 4 5 3

b. 9 1 5 1

5 2 7 14

e.

5 4 16

6 3 3

h.

3 1 2 2 12

5 6 7 3 5

c. 1 3 2

26 4 5

f.

5 4 1 2 5

3 6 6 12 4

i.

8 3 1 2 7 1

9 8 6 3 24 12

IV. División

Para dividir dos fracciones se opera como sigue:

a

a c a d a d adbcb d b c b c bc

d

Para resumir, se multiplica la primera fracción por la segunda fracción invertida.


16

Ejemplo

Determinemos el valor de 5 6

4 7

Solución: 5 6 5 7 35 11

14 7 4 6 24 24

Ejercicios

1. Determinar el resultado de las siguientes divisiones de fracciones. Exprese el resultado como


a. 2 1

7 6 d.

7 2

13 26 g.

4 3 1

7 4 2

b. 6 3 1

8 8 3

e.

6 8 30

15 12 9

h.

8 5 21

9 18 3

c. 3 1

510 5

f. 5 2 6

4 12 12

i.

7 1 4 3

14 2 8 9

Operaciones combinadas

Como lo viste en la guía anterior, para realizar operaciones combinadas, recuerda que existe una

prioridad en las operaciones y además un orden para eliminar paréntesis.

Ejemplo

Determinar el resultado de 5 6 3 7 4 1 1

4 7 4 3 5 2 4

5 6 3 7 4 1 1 35 3 28 2 1 35 3 28 1 35 3 7

4 7 4 3 5 2 4 24 4 15 4 24 4 15 4 24 4 15

35 3 7 35 45 28 35 73 350 292 58 29

24 4 15 24 60 24 60 240 240 120


17

Ejercicios

1. Determinar el resultado de las siguientes operaciones combinadas. Exprese el resultado como


a. 2 1 1 3 4

7 5 2 5 3

d.

3 1 2 2 7 14 5 1

5 12 24 3 2 1 3 2

b. 7 1 12

32 2 10

e.

5 3 1 2 1 1

8 4 2 3 4 4

c. 6 3 1 4 1 5

8 8 3 6 2 6

f.

20 4 8 2 3 51

15 3 9 3 2 4

Fracciones compuestas

El determinar el valor de una fracción compuesta, significa aplicar las operaciones necesarias para que

esta fracción se convierta en una fracción simple.

Ejemplo

21 5 21 26 26 261 111 5 1 5

265 5 5 5 54 41 1 1 1 1 2 3 1 5

2 2 2 22 2 3 2 1 121 1

13 3 3 33

Ejercicios

1. Determinar el resultado de las siguientes fracciones compuestas. Exprese el resultado como


a.

5

4

4 1

c.

6 2

4 51

15

e.

24

33

5

b.

11

2

5

d.

53

11

34

55

f.

41

12

41

1351

14


18

Problemas

1. Una familia gasta 1

4 de sus ingresos en el alquiler de su vivienda,

1

8 en alimentación y

1

12 en

las facturas del gas y teléfono. ¿Qué fracción de los ingresos le queda para otros gastos?

2. Un ciclista ha estado corriendo durante tres horas. En la primera hora, ha recorrido los 5

18 de

un trayecto; en la segunda hora, ha recorrido los 7

25del trayecto, y en la tercera hora, ha

recorrido los 11

45del trayecto. Calcula:

a. La fracción del total del trayecto que ha recorrido en las tres horas.

b. La fracción del trayecto que le queda por recorrer.

c. Los kilómetros recorridos en las tres horas, si el trayecto es de 450 km.

3. Un depósito estaba lleno de agua. Primero, se sacaron 5

8de su contenido y después se sacó

1

5

del agua que quedó en el depósito. Calcula:

a. La fracción de contenido que quedó después de sacar los 5

8del contenido.

b. La fracción de contenido que quedó después de sacar 1

5del agua que quedaba.

c. Los litros de agua que quedaron en el depósito, si el depósito contenía 120 litros de

agua.

4. Un estudiante prepara un examen durante la mitad de un mes de 30 días. Un tercio de los días

que restan se dedica a limpiar su habitación, los tres quintos de los restantes hace deporte y el

resto es tiempo libre. ¿Cuál es el orden creciente de las actividades que realiza ese mes según

el tiempo que le dedica a cada una?

5. Andrés y Laura han plantado unos árboles. La tercera parte son almendros, y 2

9son nogales. Si

entre almendros y nogales suman 10 árboles, ¿cuántos árboles han plantado en total?

6. Don Elías reparte 1

35

kg. de alimento entre los animales de su granja. Si cada uno come 8

15

kg. de alimento.

a. ¿Cuántos animales hay en su granja?

b. ¿Cuánto alimento necesitaría si la cantidad de animales se duplicara?

2 Guia 01 Semestre 1 Numeros Racionales

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